ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15 e-mail: nsagias@uop.gr
Ένας αριθμός ηλεκτρονίων ελευθερώνονται λόγω θερμικής ενέργειας Ο θερμικός θόρυβος (thermal noise) προκαλείται από την μη προσανατολισμένη κίνηση ελεύθερων ηλεκτρονίων μέσα στις ηλεκτρονικές διατάξεις Ο θόρυβος υπάρχει παντού ( Its like death & taes, Robert Gallager - MIT) Συνεχής στο χρόνο Σε όλες τις συχνότητες Είναι αδύνατο να προβλέψουμε τη χρονική εξέλιξη των τιμών του θορύβου Το μοντέλο του λευκού προσθετικού Γκαουσσιανού θορύβου (additive white Gaussian noise AWGN) είναι το δημοφιλέστερο
Προσθετικός (θόρυβος) σημαίνει ότι προστίθεται στο σήμα σύμφωνα με το παρακάτω μοντέλο s(t) σήμα τη χρονική στιγμή t n(t) θόρυβος τη χρονική στιγμή t r(t) = s(t) + n(t) t (ms).1..3 s(t) 1 1-1 1 n(t).1 -..3.7 r(t) 1.1.8 -.7 1.7 Ο θερμικός θόρυβος αλλοιώνει τα εκπεμπόμενα σύμβολα Υπό την επίδραση του θορύβου ο δέκτης θα πάρει λάθος αποφάσεις A 1 1 1 Ο θόρυβος είναι στατιστικό φαινόμενο και υπακούει στη Gaussian κατανομή A T b T b 3T b 4T b 5T b t 1 1 1 T b T b 3T b 4T b 5T b t 3
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gaussian κατανομής, N(μ,σ ): f X () f X ( ) 1 = ep π σ ( µ ) σ μ και σ : μέση τιμή και διακύμανση, αντίστοιχα + µ =Ε X = fx ( )d + + σ =Ε X Ε X = fx ( ) d fx ( ) d Gaussian κατανομή με μ = και σ = 1 Ο θόρυβος AWGN έχει μηδενική μέση τιμή μ = και άρα το σ είναι η μέση ισχύς του 4
Αθροιστική συνάρτηση Gaussian κατανομής N(,1): ( ) = { } = ( ) = ( ) F Pr X f d 1 f d X n n + 1 = 1 ep d= 1 Q π Για Gaussian κατανομή N(μ,σ ): + ( ) f n () Q() µ FX ( ) = 1 Q σ X Τιμές και ιδιότητες της συνάρτησης Q: Q() =.5, Q(+ ) =, Q(- ) = 1, Προσέγγιση, αν >> 1 (πρακτικά όταν > 4) Gaussian κατανομή με μ = και σ = 1 1 1 π ( ) ep Q Q() =.5 erfc( / ), με erfc( ) τη συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος Q() 5
Φασματική πυκνότητα ισχύος λευκού θορύβου: N S ( ) n f =, < f < + N = k T: φασματική πυκνότητα ισχύος θορύβου μονής πλευράς (W/Hz) T: η θερμοκρασία του περιβάλλοντος (Kelvin) k: η σταθερά Boltzmann, k = 1.38 1-3 Joules/Kelvin Η φασματική πυκνότητα ισχύος περιγράφει την ισχύ που φέρει κάθε Hz Ο λευκός θόρυβος έχει την ίδια ισχύ σε όλο το φάσμα συχνοτήτων Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης θορύβου: n { n } 1 ( τ) E ( ) ( τ) F ( ) R = ntnt+ = S f = N N = Sn f j f f = j f f = ( ) ep( π τ) d ep( π τ) d δ( τ) δ(τ): συνάρτηση Δέλτα του Dirac, δ ( τ), τ = =, τ S n (f) N / - + + f δ(τ) ( ) ε δ τ 1, τ ε / = ε,αλλού - + Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης περιγράφει την ομοιότητα μεταξύ δύο σημείων με χρονική διαφορά τ Όπως προκύπτει παραπάνω, οι τιμές του θορύβου, μεταξύ δύο σημείων με χρονική διαφορά τ >, δεν παρουσιάζουν καμία ομοιότητα -ε/ ε/ 1/ε τ 6
Ισχύς θορύβου AWGN: Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του AWGN μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ισχύ του N N= E n( t) = E ntnt ( ) ( + ) = Rn ( τ = ) = δ( τ = ) = Συνεπώς, το μοντέλο του AWGN θορύβου εμφανίζει άπειρη μέση ισχύς! Στην πράξη N <. Εναλλακτικά, στο πεδίο της συχνότητας η ισχύς μπορεί να υπολογιστεί ως N N N = Sn ( f ) df = df = = Ισχύς θορύβου στη λήψη: Αν στη λήψη χρησιμοποιήσουμε ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο εύρους ζώνης BW, η μέση ισχύς του θορύβου, ο οποίος εισέρχεται στο δέκτη, θα είναι: S n (f) N / Εμβαδό ( BW) (N / ) Χαρακτηριστική μεταφοράς φίλτρου BW BW N N N = S ( ) d d n f f = f = ( BW ) = N BW BW BW - + -BW BW f 7
Παράμετροι στις Ψηφιακές Επικοινωνίες Λόγος ισχύος σήματος προς ισχύς θορύβου (signal-to-noise ratio SNR) S E T R E = = N N B B N b b b b w w E b : είναι η μέση τιμής της ενέργειας που δαπανάμε προκειμένου να μεταδώσουμε1 bit Λόγος της μέσης ενέργειας ανά bit προς τη φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου, E b / N Πιθανότητα σφάλματος bit (probability of bit error), P be, είναι το μέσο ποσοστό των σφαλμάτων bit στο δέκτη Εύρος ζώνης του καναλιού, BW Εύρος ζώνης του σήματος, B w Χωρητικότητα καναλιού (channel capacity), C Ρυθμός μετάδοσης bit (bit rate), R b Rb C = BW log 1+ S N BW 8
Κριτήρια Επιλογής Σχήματος Διαμόρφωσης Απόδοση ισχύος (power efficiency): Εκφράζει την ικανότητα ενός σχήματος διαμόρφωσης να διατηρεί την πιστότητα του ψηφιακού μηνύματος σε χαμηλά επίπεδα ισχύος Εκφράζεται συνήθως μέσω του απαιτούμενου λόγου ενέργειας ανά bit προς φασματική πυκνότητα ισχύος θορύβου (E b / N ) για συγκεκριμένη τιμή της πιθανότητας σφάλματος Απόδοση εύρους ζώνης (bandwidth efficiency): Εκφράζει την αξιοποίηση του διαθέσιμου φάσματος, δηλαδή την ικανότητα ενός σχήματος διαμόρφωσης να επιτυγχάνει μεγάλο ρυθμό μετάδοσης bit για δεδομένο εύρος ζώνης Εκφράζεται μέσω του λόγου ρυθμός μετάδοσης bit, R b, προς εύρος ζώνης σήματος, B w Άλλα κριτήρια: R η = B b w Ανταλλαγή απόδοσης ισχύος και εύρους ζώνης (π.χ. με κώδικες ελέγχου σφάλματος) Κόστος, πολυπλοκότητα υλοποίησης και ανοχή σε προβλήματα καναλιού μετάδοσης όπως διαλείψεις, παρεμβολές, κλπ 9