Μεταπτυχιακή Εργασία. Παπαδόπουλος Αθανάσιος. «Το Πρόβλημα της Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων : Μελέτη Περίπτωσης»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Μεταπτυχιακό : «Διοίκηση Επιχειρήσεων - (Μ.Β.Α.) Μεταπτυχιακή Εργασία Παπαδόπουλος Αθανάσιος Αριθμός Μητρώου: 292 «Το Πρόβλημα της Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων : Μελέτη Περίπτωσης» Επιβλέπων Γιαννίκος Ιωάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής Σεπτέμβριος 2015 1

Περίληψη Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη του Προβλήματος Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων (Vehicle Routing Problem), από θεωρητικής πλευράς, αλλά και η πρακτική αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων. Στα πλαίσια αυτά, μελετήθηκε σχετική βιβλιογραφία και αρθρογραφία και έγινε μια ανάλυση του προβλήματος, των παραλλαγών που το συναντάμε, των περιορισμών του, καθώς και των μεθόδων επίλυσης του. Επίσης, παρουσιάστηκαν τα τεχνολογικά μέσα που χρησιμοποιούνται σήμερα και συμβάλλουν στη λύση του προβλήματος. Τέλος, πέρα από την πλήρη θεωρητική παρουσίαση, επιλύθηκαν, με τη βοήθεια αλγορίθμων που αναπτύξαμε, δύο εκδοχές του προβλήματος δρομολόγησης και παρουσιάστηκαν τα αποτελέσματα. Επιλύθηκε μια εφαρμογή του προβλήματος δρομολόγησης για γαλακτοκομική μονάδα, με ανάγκες περισυλλογής γάλακτος από παραγωγούς, καθώς και ένα απλοποιημένο πρόβλημα εξυπηρέτησης διασπαρμένων κόμβων από ένα όχημα. 2

Περιεχόμενα Περίληψη 2 1 Εισαγωγή 5 1.1 Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση 6 1.2 Logistics Περιβάλλον Διανομών 7 1.3 Δίκτυα Διανομής 9 2 Δρομολόγηση Οχημάτων 12 2.1 Το Πρακτικό Πρόβλημα Περιορισμοί 14 2.2 Περίοδος Δρομολόγησης 18 2.3 Στόχοι Δρομολόγησης 19 2.4 Προβλήματα Δρομολόγησης και Μοντελοποίηση Δικτύου 21 2.5 Το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή 21 2.6 Το Πρόβλημα Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων 23 2.7 Παραλλαγές Προβλημάτων Δρομολόγησης 24 2.8 Βασικές Αρχές Αποτελεσματικής Δρομολόγησης 25 2.9 Αλγόριθμοι Επίλυσης 27 3 Κατηγορίες Προβλημάτων Δρομολόγησης 31 3.1 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Συγκεκριμένο Όριο Ικανότητας (Capacitated Vehicle Routing Problem CVRP) 31 3.2 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Χρονικά Παράθυρα (Vehicle Routing Problem with Time Windows VRPTW) 32 3.3 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Συλλογές κατά την Παράδοση (Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery VRPPD) 33 3.4 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Backhauls ( Vehicle Routing Problem with Backhauls VRPB ) 34 3.5 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Πολλές Αποθήκες ( Vehicle Routing Problem with Multiple Depot MDVRP ) 34 3.6 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων Περιόδου ( Periodic Vehicle Routing Problem PVRP ) 35 3.7 Στοχαστικά Πιθανολογικά Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων (Stochastic Vehicle Routing Problem SVRP) 36 3

3.8 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Διασπαρμένες Παραδόσεις (Split Delivery Vehicle Routing Problem SDVRP) 37 3.9 Άλλα Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων 37 4 Τεχνολογία και Δρομολόγηση Στόλου Οχημάτων 39 4.1 Ολοκληρωμένα Συστήματα 39 4.2 Πλεονεκτήματα Εποπτείας Διαχείρισης Στόλου 40 4.3 Πληροφοριακά Συστήματα Βέλτιστης Δρομολόγησης 41 4.4 Συστήματα Προγραμματισμού Δρομολογίων 42 4.5 Οφέλη και Χρήση Υπολογιστικών Συστημάτων 42 5 Μελέτη Περίπτωσης 45 5.1 Ανάπτυξη Αλγορίθμου 45 5.2 Πρόβλημα Α 49 5.3 Πρόβλημα Α, Επίλυση και Αποτελέσματα 51 5.4 Πρόβλημα Β 54 5.5 Πρόβλημα Β, Επίλυση και Αποτελέσματα 55 6 Συμπεράσματα 58 Παράρτημα 59 Βιβλιογραφία 66 4

1 Εισαγωγή Το πρόβλημα δρομολόγησης στόλου οχημάτων (Vehicle Routing Problem) έχει να κάνει με την εύρεση αποδοτικών διαδρομών για την διανομή ή περισυλλογή αγαθών σε συγκεκριμένα σημεία ενός δικτύου. Το πρόβλημα έχει γίνει αντικείμενο εκτεταμένης έρευνας, ενώ έχουν προταθεί διάφορα μοντέλα δρομολόγησης. Στο παρελθόν, γινόταν λύση των VRP χωρίς τη χρήση υπολογιστή, με χάρτες και με βάση την εμπειρία του ατόμου που την πραγματοποιούσε, κάτι εξαιρετικά δύσκολο λόγο του μεγάλου όγκου δεδομένων. Γενικά, ακόμη και όταν η δρομολόγηση γίνεται με τη χρήση υπολογιστή, η εμπειρία του ατόμου που υπολογίζει τη διαδρομή είναι πολύτιμη. Τα πιο βασικά χαρακτηριστικά τα οποία ξεχωρίζουν στα προβλήματα δρομολόγησης είναι η θέση των σημείων από τα οποία θα περάσει η διαδρομή, οι ιδιότητες του οχήματος το οποίο θα δρομολογηθεί και η ποιότητα της διαδρομής. Βέβαια, υπάρχουν και πληθώρα άλλων παραγόντων. Τα χαρακτηριστικά αυτά επηρεάζουν τα σχετικά δεδομένα που απαιτούνται και το βαθμό δυσκολίας της εύρεσης μιας βέλτιστης διαδρομής. Είναι ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα προβλήματα βελτιστοποίησης ροής και βρίσκει εφαρμογές σε πολλούς χώρους, όπου εμπλέκονται δίκτυα μεταφορών. Οι διαφορετικές τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη μίας ποικιλίας αλγορίθμων. Η εμπειρία οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η επίδοση των αλγορίθμων δρομολόγησης πρακτικά εξαρτάται άμεσα από τον βαθμό στον οποίο συμβαδίζουν με τους περιορισμούς, που υπαγορεύονται κατά την μετακίνηση μέσα στο δίκτυο, αλλά και από το κατά πόσο είναι σε θέση να αξιοποιήσουν εποικοδομητικά τη δομή του δικτύου. Ωστόσο, καθώς τα προβλήματα βελτιστοποίησης σε δίκτυα δρομολόγησης έχουν αποδειχθεί NP-hard, με μεγάλη πολυπλοκότητα και χωρίς πάντα βέλτιστη λύση, η αντιμετώπισή τους γίνεται συνηθέστερα με ευρετικούς αλγορίθμους (heuristic algorithms). Μερικά από τα δίκτυα στα οποία απαντώνται συχνά προβλήματα δρομολόγησης με ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι τα δίκτυα υπολογιστών, τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα, τα συγκοινωνιακά δίκτυα και τα δίκτυα βιομηχανικής παραγωγής. Ο τομέας των logistics, δηλαδή της διαχείρισης της λήψης, αποθήκευσης, μετακίνησης και διανομής υλικού και ειδικότερα ο τομέας των μεταφορών, κυριαρχείται σήμερα από τεχνολογίες που υποστηρίζουν τη λήψη 5

αποφάσεων σε πραγματικό χρόνο. Η χρήση σύγχρονων υπολογιστικών εργαλείων και λογισμικών επιτρέπει την ταχεία λήψη αποφάσεων που αφορούν ζητήματα εύρεσης εφαρμόσιμων δρομολογίων, βέλτιστων επιλογών και ταχείας αξιολόγησης εναλλακτικών σε δυναμικά επιχειρησιακά περιβάλλοντα. Νέες τεχνολογίες, που επιτρέπουν τον ακριβή εντοπισμό της θέσης ενός οχήματος (Geographic Positioning Systems GPS), και πληροφοριακά συστήματα, που επιτρέπουν τον υπολογισμό του φόρτου του δικτύου σε διάφορες χρονικές στιγμές, δημιουργούν νέα δεδομένα. Στη μεταπτυχιακή εργασία παρουσιάζουμε τη θεωρία της δρομολόγησης στόλου οχημάτων, τα πιθανά προβλήματα και περιορισμούς που συναντάμε, τις λογικές αντιμετώπισης, καθώς και τα εργαλεία επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί. Σε δεύτερη φάση, επιλύουμε δύο απλοποιημένες περιπτώσεις δρομολόγησης οχημάτων, αναπτύσσοντας τους αντίστοιχους αλγορίθμους, με στόχο τη βαθύτερη κατανόηση του προβλήματος και των δυσκολιών του. Οι αλγόριθμοι που αναπτύξαμε θα μπορούσαν να είναι τμήμα ενός ευρύτερου αλγορίθμου, που θα επιλύει ένα πολυσύνθετο πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων. 1.1 Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση Σε πολλά επιστημονικά πεδία συναντάμε προβλήματα βελτιστοποίησης (optimization), όπως και στο σύνολο των λειτουργιών μιας επιχείρησης. Βελτιστοποίηση, στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, είναι η αναζήτηση των βέλτιστων παραμέτρων ενός συστήματος. Συνήθως, τέτοια προβλήματα δίνονται ως προβλήματα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης μίας ή πολλών μεταβλητών. Στα πιο απλά προβλήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν αναλυτικές μέθοδοι επίλυσης, όμως η αύξηση της μη γραμμικότητας των συναρτήσεων καθιστά απαραίτητη τη χρήση προσεγγιστικών αλγορίθμων. Στη βελτιστοποίηση έχουμε κάποια κριτήρια καταλληλότητας μιας λύσης, τα οποία εξαρτώνται από το είδος του προβλήματος ή το χρήστη και μας βοηθούν να εντοπίσουμε τις επιθυμητές λύσεις. Βασικές έννοιες της βελτιστοποίησης [Μουρκούσης, 2008] είναι: 6

Περιορισμοί (constraints) : Τίθενται από το χρήστη ή προκύπτουν από το πρόβλημα και περιορίζουν το πλήθος των πιθανών λύσεων. Εφικτή λύση (feasible solution) : Λύση που να ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Ολική ή καθολική βελτιστοποίηση (global optimization) : Αναζήτηση της καλύτερης λύσης (βέλτιστης) ανάμεσα στο σύνολο των εφικτών. Τοπική βελτιστοποίηση (local optimization) : Αναζήτηση της καλύτερης δυνατής λύσης ανάμεσα σε ένα υποσύνολο των εφικτών. Αντικειμενική συνάρτηση (objective function) : Από τη μοντελοποίηση του προβλήματος προκύπτει αυτή η συνάρτηση, για να γίνει δυνατή η επίλυση με ένα αλγόριθμο. Στην ουσία, η διαδικασία της βελτιστοποίησης μετατρέπεται σε εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου της αντικειμενικής συνάρτησης. Αναλυτική επίλυση : Εφαρμόζεται μόνο σε απλά προβλήματα που μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς. Σε πιο σύνθετα προβλήματα χρησιμοποιούνται προσεγγιστικοί αλγόριθμοι. Αριθμητική ή προσεγγιστική επίλυση : Εφαρμόζεται σε πολύπλοκα προβλήματα και πραγματοποιείται με χρήση αλγορίθμων που ξεκινάνε από μια αρχική συνθήκη και παράγουν επαναληπτικά ακολουθίες σημείων, που προσεγγίζουν τη λύση. 1.2 Logistics Περιβάλλον Διανομών Παγκοσμίως χρησιμοποιείται ο όρος logistics, που είναι μία ελληνική λέξη και προέρχεται από τον όρο "λογιστική". Ο όρος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά κατά τους Βυζαντινούς χρόνους με την έννοια της μέριμνας για εξασφάλιση του στρατού με τρόφιμα, ρουχισμό, πολεμοφόδια και απαραίτητα υλικά. Είναι ξεκάθαρο ότι το αντικείμενο των logistics, όπως νοείται στην εποχή μας, είναι ευρύτατο. Πρωτίστως, ο τομέας των logistics περιλαμβάνει τη διαχείριση της λήψης, αποθήκευσης, μετακίνησης και διανομής υλικού. Ειδικότερα, ο τομέας των 7

μεταφορών κυριαρχείται σήμερα από τεχνολογίες που υποστηρίζουν τη λήψη αποφάσεων σε πραγματικό χρόνο. Η χρήση σύγχρονων υπολογιστικών εργαλείων επιτρέπει την ταχεία λήψη αποφάσεων που αφορούν ζητήματα εύρεσης εφαρμόσιμων δρομολογίων, βέλτιστων επιλογών, αξιόπιστης και ταχείας αξιολόγησης εναλλακτικών σχεδίων, καθώς και το γενικότερο σχεδιασμό υπηρεσιών σε δυναμικά επιχειρησιακά περιβάλλοντα. Τα κόστη μεταφοράς κυμαίνονται μεταξύ του ενός τρίτου και των δύο τρίτων του συνολικού κόστους logistics [Μουρκούσης, 2008]. Συνεπώς, είναι κομβικής σημασίας για κάθε εταιρεία η βελτίωση της απόδοσης, ώστε να επιτευχθεί η ορθή αξιοποίηση του εξοπλισμού διανομών και του προσωπικού. Οι διανομές αντιμετωπίζουν πολυσύνθετα προβλήματα, όπως ενδεικτικά : Υπολογισμός του βέλτιστου αριθμού σημείων εξυπηρέτησης και η τοποθέτηση αυτών, ώστε να ικανοποιηθούν οι ανάγκες των πελατών. Εύρεση του βέλτιστου αριθμού οχημάτων και των κατάλληλων διαδρομών. Για παράδειγμα, η χρονική διάρκεια που απαιτείται για τη μεταφορά των αγαθών διαμορφώνει τα κόστη μεταφοράς, αφού καθορίζει το μέγεθος του απαιτούμενου στόλου οχημάτων, το απαραίτητο προσωπικό και τα κόστη κίνησης. Για να επιτευχθεί βέλτιστη εξυπηρέτηση των πελατών σε συνδυασμό με τα ελάχιστα δυνατά μεταφορικά κόστη είναι απαραίτητος ο εντοπισμός των διαδρομών εκείνων για τα οχήματα ώστε να μειωθεί ο χρόνος παράδοσης ή παραλαβής και η διανυόμενη απόσταση. Γνωρίζουμε ότι για κάθε συγκεκριμένη εταιρεία υπάρχουν και διαφορετικές συνθήκες. Για παράδειγμα, μπορεί να υπάρχουν «Σταθερές παραδόσεις ή παραλαβές», δηλαδή να υπάρχει ζήτηση σταθερή εκ των προτέρων, εναλλακτικά μπορεί να έχουμε ζήτηση που δεν είναι γνωστή και οι παραγγελίες να δίνονται κατά τη διάρκεια επίσκεψης του οχήματος στον πελάτη. Επιπλέον, μπορεί να υπάρχουν απρόσμενα γεγονότα που αναγκάζουν μια εταιρεία να αλλάζει πλάνο διαδρομών. Άρα, απαιτούνται ρυθμίσεις σε πραγματικό χρόνο, όπως επανασχεδιασμός προγράμματος διαδρομών, για να προσαρμόζεται η δρομολόγηση στις νέες συνθήκες. Τέτοια γεγονότα μπορούν 8

να περιλαμβάνουν συνθήκες κίνησης στους δρόμους, βλάβες οχημάτων, απρόβλεπτες απαιτήσεις πελατών και άλλα. Από όλες τις παραμέτρους της δρομολόγησης, που θα εξεταστούν αναλυτικότερα και στα επόμενα κεφάλαια, γίνεται κατανοητό ότι δεν αρκεί ένα αποδοτικό αρχικό πλάνο για να έχουμε ένα επιτυχές αποτέλεσμα. Το αρχικό πλάνο δρομολόγησης θα πρέπει να είναι ευέλικτο, ώστε να παίρνουμε αποφάσεις σε πραγματικό χρόνο για την αντιμετώπιση απρόβλεπτων γεγονότων. Ενισχυτική στους ανωτέρω στόχους είναι και η αποτελεσματική χρήση της νέας τεχνολογίας. 1.3 Δίκτυα Διανομής Τμήμα της επιστήμης της Επιχειρησιακής Έρευνας ασχολείται με προβλήματα δικτύων διανομής. Οι εταιρείες πλέον αναγνωρίζουν τη μεγάλη σημασία του βέλτιστου σχεδιασμού δικτύων διανομής στη μείωση του κόστους και την καλύτερη εξυπηρέτηση των πελατών. Σημαντικά προβλήματα, που σχετίζονται με τα δίκτυα διανομής, είναι η διανομή προϊόντων από τα σημεία παραγωγής ή αποθήκευσής τους στα σημεία κατανάλωσής τους, η μεταφορά προσωπικού από και προς το χώρο εργασίας, η περισυλλογή σκουπιδιών, η μεταφορά αλληλογραφίας, η δρομολόγηση πλοίων και αεροπλάνων. Η γενικότερη μορφή τέτοιων προβλημάτων αναφέρεται στη σχεδίαση ενός δικτύου διαδρομών μεταξύ κάποιων δεδομένων κόμβων-πελατών που βρίσκονται σε γνωστές, γεωγραφικά διεσπαρμένες θέσεις, ενώ υπάρχει και κόμβος-αποθήκη, ώστε να δημιουργηθούν κάποια δρομολόγια οχημάτων. Τα δρομολόγια θα πρέπει να ικανοποιούν την ζήτηση του κάθε κόμβου. Υπάρχουν όμως και επιπλέον περιορισμοί που αναφέρονται στις χωρητικότητες, τον αριθμό οχημάτων, τη χρονική διάρκεια, το μήκος διαδρομών, τις ώρες εργασίας, τα περιθώρια εξυπηρέτησης, αλλά και άλλοι που τίθενται από το εκάστοτε επιχειρησιακό μοντέλο. Σε αυτά τα προβλήματα αντιστοιχεί κάποια αντικειμενική συνάρτηση, που πρέπει να βελτιστοποιηθεί. 9

Οι κόμβοι μέσα σε ένα δίκτυο συνδέονται μέσω του γραμμικού χαρακτηριστικού που ονομάζεται ακμή. Δηλαδή, κάθε ακμή αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος κόμβων (i, j) και συνδέει τον κόμβο i με τον κόμβο j. Συνεπώς, ένα δίκτυο ορίζεται ως ένας κατευθυνόμενο γράφημα G = (N, E) που αποτελείται από ένα σύνολο κόμβων Ν= n και ένα σύνολο ακμών E= m. Σχήμα 1: Ενδεικτικό μεταφορικό δίκτυο με κόμβους και ακμές Σε ένα μεταφορικό δίκτυο οι κόμβοι αντιστοιχούν σε στάσεις των γραμμών των μέσων μεταφοράς που απαρτίζουν το δίκτυο. Οι ακμές μεταξύ των κόμβων ενώνουν διαδοχικές στάσεις, δηλαδή είναι τμήματα της διαδρομής που εξυπηρετούν τις στάσεις κόμβους. Ένα μεταφορικό δίκτυο απεικονίζεται συνήθως μέσα στο πλαίσιο ενός γεωγραφικού πληροφοριακού συστήματος (GIS), οπότε κάθε κόμβος αντιστοιχεί σε μία τοποθεσία με γεωγραφικές συντεταγμένες. Τα μεταφορικά δίκτυα παρίστανται συνήθως από γραφήματα όπου δίπλα από κάθε ακμή υπάρχει μία αριθμητική τιμή (βάρος). Η τιμή αυτή παρουσιάζει το κόστος για να διασχίσουμε την ακμή και μπορεί να αναφέρεται σε χρόνο, απόσταση μεταξύ των δύο κόμβων, σε άλλες παραμέτρους, ή σε συνδυασμό των παραπάνω. 10

Βασικά στοιχεία δικτύου Τα βασικά στοιχεία ενός δικτύου, που συνήθως συναντάμε, είναι τα μονοπάτια, οι κύκλοι, οι στάσεις, τα κέντρα και οι στροφές. Μονοπάτι : Είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από διαδοχικούς κόμβους και διαδοχικές ακμές που εναλλάσσονται και στην οποία κάθε ακμή εμφανίζεται μόνο μία φορά. Σε ένα δίκτυο μεταφοράς, ένα μονοπάτι είναι μία ακολουθία διαδοχικών στάσεων. Συντομότερο Μονοπάτι : Συντομότερο μονοπάτι (shortest path), είναι αυτό με το ελάχιστο κόστος από έναν κόμβο αφετηρία προς έναν κόμβο προορισμό. Πρακτικά λοιπόν, το να βρούμε ένα συντομότερο μονοπάτι σημαίνει να βρούμε την ακολουθία εκείνη τοποθεσιών που μας οδηγεί από την αφετηρία στον προορισμό με το λιγότερο κόστος. Μονοπάτι Κύκλος : Είναι ένα κλειστό μονοπάτι, δηλαδή ένα μονοπάτι στο οποίο η αφετηρία και ο προορισμός συμπίπτουν. Στάση : Είναι μία τοποθεσία που επισκεπτόμαστε σε ένα μονοπάτι ή κύκλο. Κέντρο : Ένα κέντρο είναι μία τοποθεσία στην οποία παρέχονται κάποια αγαθά ή υπηρεσίες. Στροφή : Είναι η μετάβαση από μία ακμή του δικτύου σε μία άλλη. 11

2 Δρομολόγηση Οχημάτων Μια απαραίτητη εργασία, που πρέπει να ολοκληρωθεί στα logistics, είναι η δρομολόγηση οχημάτων. Οι σύγχρονες τεχνολογίες και τα πληροφοριακά συστήματα επιτρέπουν την καλύτερη επικοινωνία με τα οχήματα και την οργάνωση των διαδρομών. Όλη η τεχνολογική πρόοδος οδηγεί σε ακόμα πιο καινοτόμες προσεγγίσεις του προβλήματος και σε ακόμα πιο αποδοτικές λύσεις. Το Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων (Vehicle Routing Problem), είναι στην ουσία ένα συνδυαστικό πρόβλημα βελτιστοποίησης [Wiki, 10]. Επιδιώκεται η εξυπηρέτηση ενός αριθμού πελατών με ένα διαθέσιμο στόλο οχημάτων. Στη συνηθισμένη του μορφή έχει στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους παράδοσης στους πελάτες, που καταχωρούν παραγγελίες, των αγαθών που βρίσκονται σε μια κεντρική αποθήκη. Πολλές είναι οι παραλλαγές του προβλήματος, καθώς και οι μέθοδοι επίλυσης που έχουν προταθεί, αφού η εύρεση του ελάχιστου της συνάρτησης κόστους είναι μια σύνθετη διαδικασία. Υποθέτοντας ένα πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 2, όπου μια αποθήκη είναι περιτριγυρισμένη από πελάτες, οι οποίοι προμηθεύονται από εκεί προϊόντα. Η αποθήκη αναλαμβάνει να δημιουργήσει τις διαδρομές που θα ακολουθηθούν από τα οχήματα για τη διανομή των προϊόντων στους πελάτες. Σχήμα 2 : Αποθήκη (Depot) και πελάτες (Customers) 12

Στο Σχήμα 3 βλέπουμε τις διαδρομές των οχημάτων από την αποθήκη προς τους πελάτες. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το VRP μετατρέπεται σε ένα πρόβλημα σχεδιασμού διαδρομών οχημάτων γνωστής χωρητικότητας, με στόχο την διανομή των προϊόντων στους πελάτες, σε συγκεκριμένο χρόνο, για να καλύπτεται η ζήτηση. Σχήμα 3 : Αποθήκη, πελάτες, διαδρομές οχημάτων Οι διαδρομές των οχημάτων σχεδιάζονται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η συνολική απόσταση που θα διανύσουν τα οχήματα. Η παραπάνω περίπτωση είναι μια κλασσική περίπτωση του προβλήματος. Βεβαίως, το VRP έχει πολλές παραλλαγές και ως πρόβλημα έχει απασχολήσει ευρέως την επιστημονική κοινότητα. Ακολούθως, το VRP θα αναλυθεί σε διάφορες εκφάνσεις του. 13

2.1 Το Πρακτικό Πρόβλημα - Περιορισμοί Το Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων μπορεί να περιλαμβάνει πολλούς περιορισμούς στις διαδρομές που δύναται να ακολουθήσουν τα οχήματα (π.χ. ώρες εργασίας προσωπικού) και περιορισμούς που έχουν να κάνουν με τους πελάτες. Στην ουσία, πρόσθετοι περιορισμοί και αλλαγές στις απαιτήσεις διαμορφώνουν και τις παραλλαγές του προβλήματος που συναντάμε στην πράξη. Σε μια προσπάθεια να συγκεντρώσουμε περιορισμούς που συναντάμε σε τέτοια προβλήματα [Sbihi, Eglese, 2007, Erdogan, Miller-Hooks, 2011, Μουρκούσης, 2008] έχουμε : Περιορισμοί στα σημεία παραγωγής ή τις αποθήκες διανομής Η ύπαρξη περισσότερων του ενός αρχικών σημείων παραγωγής ή διανομής από τα οποία πρέπει να εξυπηρετηθούν οι πελάτες. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα γίνεται αρκετά πολυσύνθετο. Σε πολλές περιπτώσεις υπάρχει δυνατότητα μέσα από τη μελέτη να προκύψουν βιώσιμες οικονομικά προτάσεις είτε για τη δημιουργία νέων αποθηκών είτε για τη μείωσή τους. Υπάρχει το ενδεχόμενο σε κάθε χρονική στιγμή να μην είναι διαθέσιμα όλα τα σημεία παραγωγής. Ο προγραμματισμός της διανομής δυσκολεύει ακόμα περισσότερο σε τέτοιες περιπτώσεις. Η πιθανή διαφοροποίηση ως προς τα προϊόντα, τα οποία είναι διαθέσιμα σε διαφορετικά σημεία παραγωγής ή σε διαφορετικές αποθήκες. Περιορισμοί ως προς το στόλο οχημάτων Τα οχήματα έχουν όριο χωρητικότητας μεταφερόμενων εμπορευμάτων. Αυτός ο περιορισμός είναι κομβικός σε ένα VRP, καθώς υπάρχει το ενδεχόμενο να έχουμε οχήματα συγκεκριμένης χωρητικότητας για την εξυπηρέτηση των πελατών. Σε πολλά προβλήματα έχουμε να επιλέξουμε ανάμεσα σε τύπους οχημάτων διαφορετικής χωρητικότητας, αυτόν που είναι ιδανικός για την κάλυψη των αναγκών της εταιρείας. Επιπλέον, μπορεί να απαιτείται η 14

δόμηση ενός ανομοιογενούς στόλου οχημάτων για την αποδοτικότερη λειτουργία της διανομής. Το κόστος του κάθε οχήματος είναι ένας καθοριστικός παράγοντας στην εξίσωση. Η εταιρεία οφείλει στους υπολογισμούς της να συνυπολογίσει το κόστος απόκτησης, συντήρησης και κίνησης (καύσιμα) διαφορετικών τύπων οχημάτων. Πολλές φορές όλο αυτό ενσωματώνεται σε ένα σταθερό κόστος για την διανομή, ώστε να έχει σε υπηρεσία ένα όχημα, και σε ένα μεταβλητό κόστος, ανάλογα με τις χιλιομετρικές αποστάσεις που καλύπτονται. Ο τρόπος κοστολόγησης εξαρτάται και από το αν τα οχήματα είναι ιδιόκτητα ή ενοικιαζόμενα. Ο χρόνος, που πρέπει να μεσολαβήσει από την αναχώρηση του οχήματος από την αποθήκη έως την επιστροφή του, υπόκεινται σε περιορισμούς είτε νομικούς (π.χ. ώρες απασχόλησης οδηγών, νωπά προϊόντα) είτε άλλους (π.χ. ώρες λειτουργίας εγκαταστάσεων, φόρτος διελεύσεων στις αποθήκες). Επιπλέον, στόχος σε τέτοια προβλήματα είναι η βέλτιστη αξιοποίηση του εξοπλισμού της εταιρείας. Τα διαστήματα στα οποία ένα όχημα παραμένει άεργο. Αυτό οφείλεται σε διάφορους λόγους. Για παράδειγμα, οι οδηγοί έχουν συγκεκριμένο ωράριο εργασίας και τα οχήματα πρέπει να υπόκεινται σε τεχνικούς ελέγχους και συντηρήσεις. Τεχνολογικές διαφοροποιήσεις οχημάτων. Υπάρχουν οχήματα κάθε τύπου : διαφορετικά μεγέθη, διαφορετική ιπποδύναμη ή αυτονομία, ψυγεία, βυτία. Έτσι, έχουμε διαφορετικές ταχύτητες κίνησης στο οδικό δίκτυο, διαφορετικούς χρόνους φορτοεκφόρτωσης, διαφορετικές προδιαγραφές κίνησης σε μικρότερους ή χωμάτινους δρόμους κτλ. Περιορισμοί σχετικοί με τους πελάτες Οι πελάτες έχουν συγκεκριμένες απαιτήσεις για προϊόντα που πρέπει να παραδοθούν (π.χ. τροφοδοσία καταστημάτων) ή για υλικά που πρέπει να συλλεχθούν από αυτούς (π.χ. απορρίμματα). Υπάρχει και η περίπτωση να απαιτούν συλλογή και παράδοση ταυτόχρονα (παραλαβή και επιστροφή προϊόντων). Μερικές φορές οι ποσότητες 15

είναι γνωστές επακριβώς και διευκολύνεται ο προγραμματισμός, ενώ αντίθετα αν υπάρχει μερική γνώση των ποσοτήτων, δυσκολεύει η επίλυση του προβλήματος. Σε κάποιες περιπτώσεις, ικανοποιούνται πρώτα από κάθε όχημα οι διανομές και στη συνέχεια, αφού το όχημα έχει ήδη αδειάσει, αναλαμβάνει παραλαβές και μεταφέρει προϊόντα από κάποιους πελάτες στην κεντρική αποθήκη. Στις απλές περιπτώσεις υπάρχει μόνο μια επιστροφή σε κάθε διαδρομή, ενώ στις πιο πολύπλοκες υπάρχουν περισσότερες από μία επιστροφές στο κάθε δρομολόγιο. Ακόμα, υπάρχουν και περιπτώσεις όπου ένα συγκεκριμένο όχημα πρέπει να παραλάβει κάποια προϊόντα από ένα σημείο και να τα παραδώσει σε κάποιο άλλο, διαφορετικό από την κύρια αποθήκη. Κάθε πελάτης εξυπηρετείται σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα (χρονικά παράθυρα). Περιορισμοί, που σχετίζονται με τον χρόνο επίσκεψης, περιλαμβάνονται στα περισσότερα επιχειρησιακά προβλήματα. Σε αυτή την περίπτωση, τα οχήματα θα πρέπει να εξυπηρετήσουν κάποια ή όλα τα σημεία του δικτύου μεταξύ συγκεκριμένων χρονικών ορίων, που αποτελούν το χρονικό παράθυρο (time window). Τα χρονικά παράθυρα είναι χρήσιμα στους πελάτες, αφού τους βοηθάνε να προγραμματίσουν τις εργασίες τους. Για παράδειγμα, ένα κατάστημα λιανικής πώλησης επιθυμεί να προμηθευτεί τα εμπορεύματα νωρίς το πρωί, πριν αρχίσουν να τα ζητούν οι πελάτες. Από την αντίθετη σκοπιά, αυτές οι πρακτικές είναι δεσμευτικές για την εταιρεία που παραδίδει προϊόντα, περιορίζουν την ευελιξία της και δυσκολεύουν τη λύση του προβλήματος δρομολόγησης στόλου οχημάτων. Ο χρόνος εξυπηρέτησης, δηλαδή παραμονής του οχήματος σε κάθε πελάτη, συνήθως είναι σταθερός. Σε πολλές περιπτώσεις όμως, εξαρτάται από τον πελάτη, από την ποσότητα παραγγελίας, από την ευκολία πρόσβασης του οχήματος και άλλους παράγοντες. Υπάρχουν προβλήματα όπου δεν μπορούν το σύνολο των οχημάτων να εξυπηρετήσουν το σύνολο των πελατών, καθώς έχουμε περιορισμούς προσέγγισης στα σημεία παράδοσης (π.χ. όγκος οχήματος). Σε πραγματικά προβλήματα δρομολόγησης υπάρχουν 16

λόγοι που επιβάλουν την προτίμηση κάποιων πελατών σε κάποια συγκεκριμένα οχήματα (οδηγούς), λόγω της σχέσης που έχουν αναπτύξει, αλλά και λόγω των ιδιαιτεροτήτων των πελατών που γνωρίζει ο οδηγός. Υπάρχουν ασυμβατότητες μεταξύ πελατών. Για παράδειγμα, λόγω ανταγωνισμού μεταξύ γειτονικών πελατών, πολλές φορές η επιχείρηση προσπαθεί να τους εξυπηρετεί από διαφορετικά δρομολόγια. Οι πελάτες εξυπηρετούνται με σειρά προτεραιότητας. Μπορεί σε κάποιες περιπτώσεις να μην επαρκούν τα προϊόντα ή τα οχήματα και να πρέπει να γίνει επιλογή πελατών που θα ικανοποιηθούν, με βάση κριτήρια που θέτει η εταιρεία. Ο πελάτης μπορεί να αποδεχτεί ακόμα και διασπαρμένες παραδόσεις ή παραλαβές, από διαφορετικά οχήματα. Άλλοι παράγοντες Ταξίδια με το όχημα πολλών ωρών, με ολονύχτιες στάσεις. Οχήματα χωρισμένα σε διαμερίσματα, με διαφορετικούς τύπους προϊόντων για παράδοση σε κάθε διαμέρισμα. Ύπαρξη πολλών αποθηκών και ολοκλήρωση του δρομολογίου σε διαφορετική αποθήκη από την αφετηρία. Πολλαπλοί ανεφοδιασμοί την ίδια ημέρα από το ίδιο όχημα. Για την μοντελοποίηση της πραγματικότητας με τον καλύτερο δυνατό τρόπο θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι χρόνοι μεταφοράς εξαρτώνται από εξωγενείς παράγοντες. Επί παραδείγματι, μπορεί τις μεσημεριανές ώρες, ο απαιτούμενος χρόνος για την κάλυψη μίας απόστασης, να είναι πολύ μεγαλύτερος από το χρόνο που απαιτείται για την κάλυψη της ίδιας απόστασης τις βραδινές ώρες. 17

2.2 Περίοδος Δρομολόγησης Η δρομολόγηση διακρίνεται σε στρατηγική, περιοδική, επιχειρησιακή και πραγματικού χρόνου ή δυναμική [Μουρκούσης, 2008] : Η στρατηγική δρομολόγηση είναι η δυσκολότερη περίπτωση γιατί καταστρώνονται δρομολόγια, για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη τις διακυμάνσεις της ζήτησης και όλων των στοχαστικών παραμέτρων που υπεισέρχονται. Το ζητούμενο είναι να βρεθεί εκείνο το δρομολόγιο που θα είναι βέλτιστο για μεγάλα χρονικά διαστήματα, έως και 12 μήνες. Η στρατηγική δρομολόγηση σε δίκτυα διανομής είναι αναγκαία, διότι τα δρομολόγια δεν μπορεί να έχουν μεγάλη διαφοροποίηση, ακόμα και εάν κάποιος δρομολογητής προτείνει κάτι τέτοιο για την εξοικονόμηση. Αυτό, γιατί το κόστος από τις καθυστερήσεις, που οφείλονται στην οδήγηση σε διαφορετικούς δρόμους ή στην αλληλεπίδραση με διαφορετικούς πελάτες, μπορεί να είναι μεγαλύτερο. Η περιοδική δρομολόγηση είναι υποπερίπτωση της στρατηγικής. Αναζητούνται δρομολόγια για μεγάλο χρονικό διάστημα, αλλά διαφορετικά ανάλογα την ημέρα (π.χ. ξεχωριστά δρομολόγια για κάθε ημέρα της εβδομάδας). Σε αυτή την περίπτωση, δεν εξυπηρετούνται κάθε μέρα οι ίδιοι πελάτες, αλλά το δρομολόγιο για μια συγκεκριμένη ημέρα παραμένει το ίδιο για μεγάλο χρονικό διάστημα. Η επιχειρησιακή δρομολόγηση πραγματοποιείται κάθε ημέρα. Λαμβάνει υπόψη τα δρομολόγια για την συγκεκριμένη ημέρα μαζί με τη ζήτηση των πελατών που πρέπει να εξυπηρετηθούν τη συγκεκριμένη ημέρα και κάνοντας τροποποιήσεις στα στρατηγικά δρομολόγια, εξάγει τα δρομολόγια που πρέπει να ακολουθηθούν. Η δυναμική δρομολόγηση (πραγματικού χρόνου) ενσωματώνει την περίπτωση προβλήματος μετά την έναρξη της δρομολόγησης. Η αποτελεσματικότητα της στηρίζεται στην άρτια γνώση της κατάστασης του οδικού δικτύου, των θέσεων των οχημάτων και των τρεχουσών ζητήσεων των πελατών. Έτσι, είναι αναγκαία η χρήση σύγχρονου εξοπλισμού και δορυφορικών συστημάτων. Γίνεται επαναδρομολόγηση οχημάτων σε περίπτωση έκτακτων αλλαγών, όπως η μεγάλη καθυστέρηση εξυπηρέτησης πελατών, η ακινητοποίηση οχήματος από βλάβη, το κυκλοφοριακό σε δρόμους και οι νέες παραγγελίες. 18

2.3 Στόχοι Δρομολόγησης Όπως παρουσιάσαμε και νωρίτερα, το VRP είναι ένα πρόβλημα σύνθετου μαθηματικού προγραμματισμού. Αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος είναι το κόστος μεταφοράς, το οποίο θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε, ενώ πρέπει να τηρούνται και οι περιορισμοί. Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε λοιπόν σε κάποιους βασικούς στόχους της δρομολόγησης : Η ελαχιστοποίηση του συνολικού στόλου οχημάτων, είτε σε αριθμό είτε σε σύνολο χωρητικότητας, οδηγεί σε οικονομίες κλίμακας, ενώ πρέπει να συνυπολογίζεται η εξοικονόμηση από τους λιγότερους οδηγούς και τις μικρότερες εγκαταστάσεις, τα οποία είναι κατά βάση σταθερά κόστη. Η ελαχιστοποίηση της απόστασης (ή του χρόνου) που συνολικά διανύεται από τα οχήματα, εκτός ότι συντελεί στο στόχο μείωσης του στόλου, αντιπροσωπεύει και τη μείωση του μεταβλητού κόστους για την κίνηση. Το ιδανικό είναι να μπορέσει η εταιρεία, συνδυάζοντας τη μείωση οχημάτων και τη μείωση της απόστασης, να πετύχει το βέλτιστο μεταφορικό κόστος, λαμβάνοντας υπόψη και όλους τους περιορισμούς. Το κόστος διατήρησης του στόλου οχημάτων, στα περισσότερα προβλήματα, είναι σταθερό κόστος, ενώ το κόστος για την κίνησή τους στις διαδρομές είναι μεταβλητό κόστος. Όπως γίνεται αντιληπτό, η ελαχιστοποίηση και των δύο οδηγεί σε ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους. Προφανώς, η εταιρεία οφείλει να ικανοποιεί τους πελάτες της στο βαθμό που ορίζει η πολιτική της, δηλαδή μπορεί να υπάρχει ο στόχος ικανοποίησης του συνόλου της ζήτησης ή ενός μεγάλου τμήματος της ζήτησης ή ακόμα και κάποιων σημαντικών πελατών. Το λογισμικό, οι τεχνολογίες και οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιεί η επιχείρηση για τη βέλτιστη δρομολόγηση, θα πρέπει να συντονίζουν κάθε λεπτομέρεια της διαδικασίας διανομής ώστε να πετυχαίνονται τα ακόλουθα : 19

Τα δεδομένα, που χρησιμοποιούνται, να είναι πραγματικά και να προέρχονται τόσο από τους πελάτες όσο και από την εταιρεία. Να προτείνονται τα δρομολόγια χαμηλότερου κόστους συνυπολογίζοντας κάθε παράγοντα, όπως για παράδειγμα την ποιότητα του οδικού δικτύου. Να αξιοποιείται στο μέγιστο το προσωπικό και ο μηχανολογικός εξοπλισμός. Να βελτιώνεται το επίπεδο εξυπηρέτησης πελατών. Να μειώνεται το κόστος διανομής. Να ελαττώνεται η επιβάρυνση του περιβάλλοντος (καυσαέρια). Λαμβάνονται υπόψη και άλλοι παράγοντες που δεν έχουν σχέση με το οικονομικό κόστος, όπως η ασφάλεια των μεταφερομένων, ή ο κίνδυνος προκλήσεως ατυχήματος κτλ. Συνεπώς, η αποτελεσματική δρομολόγηση είναι ένα εργαλείο λήψης αποφάσεων, προγραμματισμού λειτουργιών και ανάπτυξης της εταιρικής στρατηγικής, ώστε να αυξηθεί η αποδοτικότητα και τα κέρδη. Η μείωση του λειτουργικού κόστους συνδυάζεται με αύξηση της παραγωγικότητας. Το λειτουργικό κόστος ελαττώνεται με τη μείωση των χιλιομετρικών αποστάσεων, που συνεπάγεται μείωση στα έξοδα συντήρησης, ανταλλακτικών, καυσίμων, υπερωριών κ.α. Επιπλέον, με καλύτερη κατανομή του έργου πετυχαίνεται η χρησιμοποίηση λιγότερων οχημάτων και πρόσθετη εξοικονόμηση μισθών και κεφαλαίων. Ταυτόχρονα η επιχείρηση οδηγείται σε αυξημένη παραγωγικότητα, αφού ελαττώνεται ο χρόνος παραδόσεων και παραλαβών, χρησιμοποιούνται βέλτιστες διαδρομές και ελάχιστοι πόροι (οχήματα, προσωπικό), γίνεται δυναμικός προγραμματισμός δρομολογίων, καλύπτονται έκτακτες ανάγκες και απρόβλεπτες εξελίξεις, ικανοποιούνται οι σημαντικοί πελάτες κτλ. 20

2.4 Προβλήματα Δρομολόγησης και Μοντελοποίηση Δικτύου Γνωρίζουμε ότι στο πολυσύνθετο επιχειρηματικό περιβάλλον υπάρχει πληθώρα παραλλαγών του προβλήματος δρομολόγησης. Όμως, το βασικό πρόβλημα δρομολόγησης είναι ένα πρόβλημα εύρεσης μιας διαδρομής μέσα σε δίκτυο. Μπορεί να υπάρχουν πολλαπλά σημεία προέλευσης και προορισμού, ενώ σε άλλα προβλήματα, το σημείο προέλευσης και προορισμού να είναι το ίδιο. Είναι κοινά αποδεκτό ότι δεν υπάρχει βέλτιστος αλγόριθμος για τη δρομολόγηση σε κάθε μεταφορικό δίκτυο. Ιδιαίτερα σημαντικός είναι ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η μοντελοποίηση του δικτύου, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο οργανώνουμε τους κόμβους στο δίκτυο και τις κατηγορίες στις οποίες διακρίνονται αυτοί οι κόμβοι, με βάση κάποια κριτήρια. Ο στόχος είναι να υπάρχει μία «καλή» σχέση ανάμεσα στη μοντελοποίηση και στα heuristics, δηλαδή τις τεχνικές που χρησιμοποιούν οι αλγόριθμοι που θα «τρέξουν». Οι κόμβοι στα μεταφορικά δίκτυα έχουν συνήθως διαφορετικά επίπεδα σημασίας. Δηλαδή υπάρχουν κόμβοι που είναι πιο κεντρικοί, οι οποίοι ενώνουν γραμμές ή αποτελούν σημεία μεγάλης σημασίας για ποικίλους λόγους και είναι περισσότερο σημαντικοί από τους υπόλοιπους κόμβους στο δίκτυο. Στόχος είναι οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται να αξιοποιήσουν αυτό το γεγονός. Άρα, υπάρχει μία σχέση αλληλεπίδρασης ανάμεσα στο δίκτυο και τον τρόπο που μοντελοποιείται (π.χ. τα ιεραρχικά επίπεδα στα οποία το οργανώνουμε) και τους αλγόριθμους που επιλέγονται προς εφαρμογή και τις «ευριστικές» τεχνικές που αυτοί χρησιμοποιούν. 2.5 Το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή Το πλέον θεμελιώδες πρόβλημα προγραμματισμού διανομής είναι αυτό του πλανόδιου πωλητή (ΠΠΠ) - Traveling Salesman Problem (TSP), στο οποίο ο πωλητής επισκέπτεται πολλαπλές πόλεις (σημεία πώλησης) και επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης [Wiki, 9]. Το πρόβλημα αυτό συνίσταται στην εύρεση μίας μόνο διαδρομής που να συνδέει τις k πόλεις (κόμβους), με τέτοιο τρόπο, 21

ώστε να ελαχιστοποιείται η συνολική διανυθείσα απόσταση ή ο συνολικός χρόνος. Κάθε σημείο πρέπει να δέχεται επίσκεψη μόνο μία φορά. Αν θεωρήσουμε: Πόλεις : 1,2,,n (συμβολίζονται με i, j) d ij την απόσταση από την πόλη i στην j Μεταβλητή απόφασης x ij όπου, x ij =1 αν ο πωλητής πηγαίνει από την πόλη i στην j αλλιώς x ij = 0 Η αντικειμενική συνάρτηση, εκφράζει τη συνολική απόσταση που διανύει ο πωλητής και είναι: n n min xij dij, για i j i=1 j=1 xij {0, 1}, για i j n xij = 1 j = 0,, n i=0,i j n xij = 1 i = 0,, n j=0,i j Παρά την ιδιαίτερα απλή διατύπωσή του προβλήματος, είναι πρακτικά αδύνατη η αναλυτική επίλυση του. Αν αντιστοιχιστεί ένα μονοπάτι για κάθε ζευγάρι σημείων, ο συνολικός αριθμός δυνατών λύσεων για n σημεία είναι n!/2. Αποτέλεσμα είναι να μην μπορεί να ευρεθεί η βέλτιστη λύση για το πρόβλημα, ακόμα και για μικρές σχετικά τιμές του n. Συνεπώς, έχουν προταθεί πολλοί ευρετικοί αλγόριθμοι και το TSP έχει αντιμετωπισθεί εκτενώς, με πληθώρα μεθόδων επίλυσης. Ο πιο απλός, μεταξύ των ευρετικών αλγορίθμων, θεωρείται του Πλησιέστερου Γείτονα (Nearest Neighbor). Ξεκινώντας από το σημείο εκκίνησης, επιλέγεται ως επόμενο σημείο επίσκεψης αυτό με την ελάχιστη απόσταση από το τρέχον σημείο. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι ο πωλητής να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης, έχοντας επισκεφτεί το σύνολο των σημείων. 22

2.6 Το Πρόβλημα Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων Η γενίκευση του προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή είναι το πρόβλημα της Δρομολόγησης Στόλου Οχημάτων (Vehicle Routing Problem, VRP) [Wiki, 10]. Στο πρόβλημα αυτό, οχήματα γνωστής χωρητικότητας εκκινούν από κοινό σημείο, επισκέπτονται πολλαπλά σημεία πώλησης και επιστρέφουν στο σημείο εκκίνησης. Ο αντικειμενικός σκοπός του προβλήματος είναι εύρεση των στάσεων και της αλληλουχίας επίσκεψης τους από κάθε όχημα, που να ελαχιστοποιεί το συνολικό χρόνο του ταξιδίου ή την απόσταση για το σύνολο του στόλου. Το πρόβλημα ορίζεται σε δίκτυο όπου: I. Τα τόξα αντιπροσωπεύουν τις διαδρομές από κάθε στάση σε κάθε άλλη στάση και από κάθε στάση στο σημείο εκκίνησης/τερματισμού. II. Οι κόμβοι αντιπροσωπεύουν τους πελάτες και το σημείο εκκίνησης/τερματισμού. Κάθε τόξο είναι κατευθυντικό ή μη, ανάλογα με το αν το όχημα μπορεί να το διασχίσει μόνο προς την μία ή και προς τις δύο κατευθύνσεις (οδοί μονής και διπλής κατεύθυνσης). Τα τόξα επίσης χαρακτηρίζονται από το κόστος διέλευσης, το οποίο συνήθως αντιπροσωπεύεται από το μέτρο του τόξου ως απόσταση. Η απλή διατύπωση του προβλήματος είναι : έστω n οχήματα διαθέσιμα, χωρητικότητας V και έστω d i (i=1..m) τα φορτία, που απαιτείται να διανεμηθούν σε m κόμβους πελάτες P j (j=1..m) από ένα αρχικό κόμβο αποθήκη P 0. Δεδομένων των αποστάσεων (ή κόστους) c yz μεταξύ των κόμβων, ζητείται να υπολογιστούν k κυκλικές διαδρομές, όπου k m, που ξεκινούν και καταλήγουν στο P 0 και εξυπηρετούν τους m κόμβους, ελαχιστοποιώντας τη συνολική διανυόμενη απόσταση από τα οχήματα. Άρα, θα πρέπει να οριστούν έτσι οι κυκλικές διαδρομές ώστε να εξυπηρετείται η ζήτηση των πελατών στον ελάχιστο χρόνο (κόστος), ενώ ταυτόχρονα να μην υπερβαίνεται η χωρητικότητα των n οχημάτων. Το Σχήμα 4 είναι ενδεικτικό για να κατανοήσουμε τη δημιουργία των κυκλικών διαδρομών. 23

Σχήμα 4 : Κυκλικές διαδρομές για εξυπηρέτηση πελατών (κόμβων) 2.7 Παραλλαγές Προβλημάτων Δρομολόγησης Σε πολλά προβλήματα δρομολόγησης, στον τομέα των μεταφορικών δικτύων, οι σύνδεσμοι διακρίνονται από δύο ή και περισσότερα χαρακτηριστικά όπως μήκος, κόστος, χρόνος κ.α.. Στα πλαίσια της επίλυσης, είναι δυνατόν να ενοποιήσουμε τα χαρακτηριστικά αυτά σε ένα και μοναδικό χαρακτηριστικό, το οποίο αναφέρεται ως «γενικευμένο κόστος» και προκύπτει από το συνδυασμό των επιμέρους χαρακτηριστικών. Στην περίπτωση αυτή, αναζητούμε μονοπάτια με ελάχιστο «γενικευμένο κόστος». Βέβαια, σε κάποιες περιπτώσεις, ο συγκερασμός των χαρακτηριστικών δεν εξυπηρετεί, οπότε και πρέπει να αντιμετωπίσουμε τα χαρακτηριστικά ως διακεκριμένα, για να βρούμε βέλτιστες λύσεις. Τα προβλήματα αυτού του είδους είναι γνωστά ως multicriteria shortest-path προβλήματα. Ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά σε προβλήματα δρομολόγησης σε μεταφορικά δίκτυα είναι ο χρόνος. Η κατηγορία προβλημάτων, που λαμβάνουν υπ όψιν τους τον χρόνο, είναι γνωστή ως κατηγορία των dynamic shortestpath. Στα προβλήματα αυτά, το κυριότερο μέγεθος είναι ο χρόνος μεταφοράς d ij (t), το οποίο συνδέεται με μια ακμή ( i, j ), ώστε αν t είναι ο χρόνος 24

αναχώρησης από την κορυφή i, τότε t + d ij (t) είναι ο χρόνος άφιξης στην κορυφή j. Η καθυστέρηση λαμβάνεται υπ' όψιν ανεξάρτητα από τυχόν άλλα μέτρα που επιβαρύνουν την ακμή, π.χ. το κόστος c ij. Ωστόσο, ο χρόνος μπορεί να υπεισέρχεται στα προβλήματα αυτά και με διαφορετικούς τρόπους (π.χ. δυνατότητα αναμονής στις κορυφές). Έχουν αναλυθεί διάφορα μοντέλα για τα dynamic shortest path προβλήματα που ποικίλλουν ανάλογα με τις ιδιότητες των συναρτήσεων καθυστέρησης, τη δυνατότητα αναμονής στις κορυφές και την επιλογή του χρόνου αναχώρησης από την κορυφή αφετηρία. Λοιπόν, η αναμονή μπορεί να μην επιτρέπεται ή να επιτρέπεται, σε οποιαδήποτε κορυφή ή μόνο σε αυτή της αφετηρίας. Τέλος, υπάρχουν μοντέλα που απευθύνονται σε dynamic shortest path προβλήματα, για καθορισμένο χρόνο αναχώρησης, ή άλλα, που εξετάζουν όλους τους δυνατούς χρόνους αναχώρησης. Συνήθως, δουλεύουμε με την παραδοχή ότι το πρωτύτερα αγορασμένο εμπόρευμα πουλιέται πρώτο (FIFO). Έτσι, η ποσότητα των αποθεμάτων προέρχεται από τις τελευταίες αγορές, ενώ η ποσότητα και η αξία των πωληθέντων εμπορευμάτων προέρχεται από τις αρχικές αγορές. 2.8 Βασικές Αρχές Αποτελεσματικής Δρομολόγησης Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (Traveling Salesman Problem), που παρουσιάστηκε νωρίτερα, μπορεί να επεκταθεί στη Δρομολόγηση και τον Προγραμματισμό Στόλου Οχημάτων (Vehicle Routing & Scheduling Problem, VRP). Η ουσιαστική διαφορά είναι ότι σε τέτοια προβλήματα υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί, μερικούς από τους οποίους έχουμε παρουσιάσει ήδη. Αυτοί οι περιορισμοί, κάνουν το πρόβλημα πολύπλοκο και δυσεπίλυτο. Μερικές βασικές αρχές [Πουπούζας, 2007], που ακολουθούνται από τους δρομολογητές στα περισσότερα προβλήματα, είναι οι ακόλουθες : Στα οχήματα αναθέτονται στάσεις, τις οποίες χωρίζει ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους. Στόχος είναι να ελαχιστοποιηθεί η διανυόμενη απόσταση, το κόστος και ο χρόνος ταξιδιού. 25

Όταν στάσεις πρέπει να εξυπηρετηθούν σε διαφορετικές ημέρες, είναι ορθό να μην ανήκουν σε επικαλυπτόμενες διαδρομές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, κάθε ημέρα θεωρείται ότι είναι ένα ξεχωριστό πρόβλημα δρομολόγησης. Όμως, θα πρέπει να αποφεύγεται η διέλευση των οχημάτων σε σημεία τα οποία έχουν ήδη επισκεφτεί κάποια προηγούμενη ημέρα. Έτσι, πετυχαίνεται η ελαχιστοποίηση του αριθμού των οχημάτων που απαιτούνται για την κάλυψη της ζήτησης και η μείωση των αποστάσεων και του χρόνου κίνησης. Σχεδιάζονται οι διαδρομές έτσι ώστε τα οχήματα να ξεκινούν από την πιο απομακρυσμένη στάση από την αποθήκη. Ειδικά σε περιπτώσεις που γίνεται περισυλλογή αγαθών, με αυτή την κίνηση, έχουμε εξοικονόμηση καυσίμων, αφού το όχημα πηγαίνει όλη την απόσταση ως την πιο απομακρυσμένη στάση χωρίς φορτίο και επιστρέφει προς την αποθήκη φορτώνοντας. Το όχημα περισυλλέγει πρώτα σε στάσεις που βρίσκονται κοντά στην πιο απομακρυσμένη. Σε περιπτώσεις που τα οχήματα επιστρέφουν στην αποθήκη από όπου ξεκίνησαν, τότε οι στάσεις που θα εξυπηρετήσουν θα πρέπει να ακολουθούν μια κυκλική διαδρομή για εξοικονόμηση χρόνου και κόστους. Αν και πρέπει να αποφεύγονται οι διασταυρώσεις στις διαδρομές, πολλές φορές αυτό δεν είναι εφικτό (π.χ. χρονικά παράθυρα). Η χρήση των μεγαλύτερων οχημάτων οδηγεί σε οικονομίες κλίμακας. Αν υπάρχει η δυνατότητα ένα μεγάλο όχημα να καλύψει μεγάλο μέρος της ζήτησης, τότε μειώνεται η διανυόμενη απόσταση και το κόστος. Όταν υπάρχουν εκτός από παραδόσεις και συλλογές προϊόντων, τότε είναι προτιμότερο αυτές να γίνονται ταυτόχρονα. Αν πετυχαίνεται οι συλλογές να πραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια των παραδόσεων, τότε μειώνεται ο αριθμός των διασταυρώσεων μονοπατιών μιας διαδρομής. Απαραίτητο είναι βέβαια τα οχήματα και το προσωπικό να έχουν αυτή τη δυνατότητα. Μια στάση, που απέχει αρκετά από τις υπόλοιπες, είναι πολλές φορές προτιμότερο να εξυπηρετηθεί από όχημα άλλου τύπου. Ειδικά οι απομονωμένες στάσεις, με απαιτήσεις μικρού όγκου, καταναλώνουν 26

μεγάλους πόρους του συστήματος για να εξυπηρετηθούν. Συνεπάγεται ότι η χρήση μικρών οχημάτων για αυτές οδηγεί σε μεγάλη εξοικονόμηση. Αποφεύγονται τα περιορισμένα «χρονικά παράθυρα» για τη κάλυψη στάσεων, αφού συχνά εκτινάσσουν το κόστος και οδηγούν σε παρεκκλίσεις από την ιδανική δρομολόγηση. 2.9 Αλγόριθμοι Επίλυσης Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (TSP), όπως αναλύσαμε και νωρίτερα, είναι ένα NP-hard πρόβλημα της συνδυαστικής βελτιστοποίησης [Μουρκούσης, 2008], σημαντικό στην επιχειρησιακή έρευνα και τη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών. NP-hard (Non-deterministic Polynomial-time hard) στη θεωρία πολυπλοκότητας είναι μια κατηγορία προβλημάτων που είναι τουλάχιστον τόσο δύσκολα όσο τα δυσκολότερα προβλήματα. Ως εκ τούτου, η εύρεση ενός αλγορίθμου για την επίλυση κάθε NP-hard προβλήματος είναι απίθανη, ενώ πολλοί από τους αλγόριθμους που χρησιμοποιούνται θεωρούνται σκληροί (μεγάλος χρόνος επίλυσης). Συνεπώς, στο TSP πρόβλημα είναι πιθανό ο χρόνος που τρέχει η λύση με κάθε αλγόριθμο να αυξάνεται πολλαπλάσια, ίσως και εκθετικά, με τον αριθμό των πόλεων. Το πρόβλημα αρχικά αναλύθηκε το 1930 και είναι ένα από τα πιο εντατικά μελετημένα προβλήματα στη βελτιστοποίηση. Χρησιμοποιείται ως σημείο αναφοράς για πολλές μεθόδους βελτιστοποίησης. Ακόμη και αν το πρόβλημα είναι υπολογιστικά δύσκολο, ένας μεγάλος αριθμός των heuristics και ακριβείς μέθοδοι είναι γνωστές, έτσι ώστε σε μερικές περιπτώσεις, με δεκάδες χιλιάδες πόλεις, μπορεί να λυθεί ικανοποιητικά. Για την αντιμετώπιση ενός NP-hard προβλήματος ακολουθούνται οι εξής μέθοδοι : Η επινόηση αλγορίθμων για ακριβείς λύσεις (που λογικά θα λειτουργούν γρήγορα μόνο για προβλήματα μικρού μεγέθους). 27

Η επινόηση αλγορίθμων «αναντίστοιχων» ή ευρετικών, δηλαδή αλγορίθμων που παρέχουν είτε φαινομενικά ή μάλλον καλές λύσεις, αλλά οι οποίες δεν θα μπορούσε να αποδειχθεί ότι είναι οι βέλτιστες. Η εύρεση ειδικών περιπτώσεων για το πρόβλημα «υποπεριπτώσεις», για τις οποίες είναι δυνατή είτε η επίλυση είτε η εφαρμογή heuristics. Η αποτελεσματική, άμεση επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος καθίσταται αδύνατη, ειδικά για μεγάλο αριθμό στάσεων, γιατί ο χρόνος επίλυσης είναι συνάρτηση του παραγοντικού του αριθμού των στάσεων. Παρόλα αυτά, έχουν αναπτυχθεί κάποιοι αλγόριθμοι για μικρό αριθμό στάσεων. Διάφοροι heuristics και αλγόριθμοι προσέγγισης, οι οποίοι αποφέρουν γρήγορα καλές λύσεις, έχουν επινοηθεί. Σύγχρονες μέθοδοι μπορούν να βρουν λύσεις για προβλήματα εξαιρετικά μεγάλα (εκατομμύρια στάσεων), εντός εύλογου χρονικού διαστήματος, οι οποίες απέχουν μόλις 2-3% μακριά από τη βέλτιστη λύση. Ευρετική αναζήτηση Προκειμένου να μειωθεί ο γιγάντιος, για ρεαλιστικά προβλήματα, χώρος αναζήτησης και ο απαιτούμενος, για την εύρεση της λύσης, χρόνος, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αλγόριθμοι που εκμεταλλεύονται ευρετικούς μηχανισμούς, δηλαδή στρατηγικές (συνήθως συναρτήσεις που εξαρτώνται από το εκάστοτε πρόβλημα), οι οποίες αξιολογούν προσεγγιστικά τις ενδιάμεσες καταστάσεις ως προς την εκτιμώμενη απόσταση τους από μία τελική κατάσταση, επεκτείνουν πρώτα αυτές με τη βέλτιστη ευρετική τιμή (οι οποίες αναμένεται να οδηγήσουν συντομότερα σε λύση) ή και κλαδεύουν τις υπόλοιπες. Οι ευρετικοί μηχανισμοί δεν είναι αντικειμενικοί και παρόλο που κωδικοποιούνται αλγοριθμικά, υπό τη μορφή της ευρετικής συνάρτησης, δεν μπορούν να θεωρηθούν αλγόριθμοι. Αυτό γιατί προκειμένου να μειώσουν το χώρο αναζήτησης ή να επιταχύνουν την εύρεση της λύσης, λειτουργούν προσεγγιστικά και «διαισθητικά» (περίπου όπως οι άνθρωποι), ενώ οι αλγόριθμοι είναι ακριβείς και λειτουργούν πάντα ορθά. Στην πλειονότητα των περιπτώσεων πάντως, οι ευρετικές στρατηγικές οδηγούν σε πολύ καλά αποτελέσματα (αναλόγως βέβαια του προβλήματος), ωστόσο απέχουν πολύ από το να προσομοιώνουν τους μηχανισμούς της 28

ανθρώπινης σκέψης. Η τελευταία, χρησιμοποιεί επίσης ευρετικές μεθόδους, οι οποίες όμως είναι ποιοτικές και όχι ποσοτικές / αριθμητικές, ενώ φαίνεται να αποδίδουν καλύτερα. Ο αλγόριθμος πλησιέστερου γείτονα (nearest neighbor algorithm) αφήνει ο πωλητής να επιλέγει την πλησιέστερη πόλη, που δεν έχει επισκεφτεί, στην επόμενη κίνησή του. Αυτός ο αλγόριθμος αποδίδει γρήγορα μια αποτελεσματική και σύντομη διαδρομή. Για Ν πόλεις τυχαία κατανεμημένες, ο αλγόριθμος κατά μέσο όρο αποδίδει μια διαδρομή 25% μεγαλύτερη από το συντομότερο δυνατό δρόμο. Ωστόσο, υπάρχουν πολλές ειδικά διαμορφωμένες διανομές που κάνουν τον αλγόριθμο πλησιέστερου γείτονα να δίνει τη χειρότερη διαδρομή. Μια παραλλαγή του αλγορίθμου ΝΝ, που ονομάζεται Nearest Fragment (NF) operator, ο οποίος συνδέει μια ομάδα των πλησιέστερων πόλεων που δεν έχει επισκεφτεί ο πωλητής, μπορεί να βρει τη συντομότερη διαδρομή με διαδοχικές επαναλήψεις. Ο NF μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε μια αρχική λύση που λαμβάνεται από NN αλγόριθμο για περαιτέρω βελτίωση σε ένα ελιτίστικο μοντέλο, στο οποίο γίνονται δεκτές μόνο οι καλύτερες λύσεις. Μια άλλη εποικοδομητική ευρετική τεχνική είναι η Match Twice and Stitch (MTS), η οποία εκτελεί δύο διαδοχικά ταιριάσματα, όπου το δεύτερο ταίριασμα εκτελείται μετά τη διαγραφή όλων των ακμών του πρώτου ταιριάσματος, για να αποδώσει μια σειρά από κύκλους. Οι κύκλοι στη συνέχεια ενώνονται για να παραχθεί η τελική διαδρομή. Επιπλέον, ο αλγόριθμος Σάρωσης (sweep algorithm) αποτελεί ένα διαδεδομένο ευρετικό αλγόριθμο για το VRP. Ο αλγόριθμος Σάρωσης εφαρμόζεται σε επίπεδα γραφήματα. Αρχικά, δημιουργούνται συστάδες πελατών περιστρέφοντας µια ακτίνα που ξεκινά από την αποθήκη. Οι συστάδες που δημιουργούνται δεν πρέπει να παραβιάζουν τους περιορισμούς χωρητικότητας των οχημάτων. Για κάθε συστάδα λύνεται το πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή (TSP) και δημιουργείται έτσι µία διαδρομή που θα εξυπηρετηθεί από ένα όχημα. Σε μερικές υλοποιήσεις του αλγορίθμου Σάρωσης υπάρχει και µια φάση επεξεργασίας στην οποία εναλλάσσονται κορυφές μεταξύ γειτονικών συστάδων, για περαιτέρω βελτίωση των διαδρομών. Μια μέθοδος τοπικής αναζήτησης είναι η Αναζήτηση Μεγάλης Γειτονιάς (Large Neighbourhood Search - LNS). Η Αναζήτηση Μεγάλης Γειτονιάς 29

[Γκορτσίλας, 2014] βασίζεται στη διαδικασία της χαλάρωσης και επαναβελτιστοποίησης. Για το VRP αυτό σημαίνει ότι ένας αριθμός πελατών αφαιρείται από το πλάνο δρομολόγησης (χαλάρωση του προβλήματος). Στη συνέχεια υπολογίζεται το πλάνο δρομολόγησης µε όσους πελάτες απέμειναν και έπειτα οι πελάτες που είχαν αφαιρεθεί επανατοποθετούνται στο πλάνο δρομολόγησης. Η τρόπος που γίνεται η επανατοποθέτηση είναι η ελαχίστου κόστους επανατοποθέτηση. Δημιουργείται ένα δέντρο αναζήτησης και γίνεται η εξερεύνησή του, προκειμένου να βρούμε το σημείο στο οποίο θα γίνει η επανατοποθέτηση των πελατών. Μια επανάληψη της αφαίρεσης και της επανατοποθέτησης των πελατών θεωρείται ως εξέταση µια γειτονιάς. 30

3 Κατηγορίες Προβλημάτων Δρομολόγησης Ανάλογα με την πολυπλοκότητα του εκάστοτε προβλήματος και με τα ζητούμενα κάθε εταιρείας, παρουσιάζονται διαφορετικοί τύποι προβλημάτων δρομολόγησης [Γκορτσίλας, 2014, Πουπούζας, 2007, Sbihi, Eglese, 2007], όπως αναλύονται παρακάτω. 3.1 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Συγκεκριμένο Όριο Ικανότητας (Capacitated Vehicle Routing Problem CVRP) Η συνηθέστερη μορφή των προβλημάτων δρομολόγησης είναι τα «Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Συγκεκριμένο Όριο Ικανότητας» (CVRP). Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός οχημάτων, καθορισμένης χωρητικότητας, που εξυπηρετεί τις ήδη γνωστές απαιτήσεις των πελατών για προϊόντα από μία αποθήκη. Στόχος είναι να γίνουν οι παραδόσεις στο ελάχιστο δυνατό κόστος. Στην ουσία, μιλάμε για ένα κλασσικό πρόβλημα VRP με τη διαφορά ότι κάθε όχημα έχει ανώτατο επίπεδο χωρητικότητας. Διατυπώνοντας καλύτερα ένα τέτοιο πρόβλημα έχουμε: Οι n πελάτες εξυπηρετούνται από μια αποθήκη. Ο κάθε πελάτης απορροφά ποσότητα q i προϊόντων ( i = 1,2,,n ). Στη διάθεσή μας υπάρχει ένας αριθμός οχημάτων χωρητικότητας Q. Από μαθηματικής άποψης, σε σχέση με ένα VRP πρόβλημα, προστίθεται ο περιορισμός ότι η συνολική απαίτηση των πελατών, που εξυπηρετούνται από μία διαδρομή R i, δεν πρέπει να υπερβαίνει τη χωρητικότητα των οχημάτων Q: i=1 di Q. Τα οχήματα, αφού έχουν περιορισμένη χωρητικότητα, θα πρέπει να επιστρέφουν περιοδικά στην αποθήκη για να ξαναφορτώσουν. Ο πελάτης δεν εξυπηρετείται από διαφορετικά οχήματα, άρα σε μια εφικτή λύση ο πελάτης δέχεται επίσκεψη μόνο μια φορά, ενώ η μέγιστη απαίτηση σε προϊόντα μιας διαδρομής δεν πρέπει να υπερβαίνει τη χωρητικότητα Q του οχήματος που την εκτελεί. Κάθε διαδρομή αρχίζει και ολοκληρώνεται στην αποθήκη, ενώ στόχος m 31

είναι η εύρεση του συνδυασμού των διαδρομών που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος. Αυτό πετυχαίνεται μέσα από την ελαχιστοποίηση τόσο του συνολικού στόλου οχημάτων, όσο και του συνολικού χρόνου ταξιδιού. 3.2 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Χρονικά Παράθυρα (Vehicle Routing Problem with Time Windows VRPTW) Το πρόβλημα αυτό, εκτός από τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά ενός CVRP προβλήματος, περιλαμβάνει, για την αποθήκη αλλά και για κάθε πελάτη c i ( i = 0, n ), ένα χρονικό παράθυρο [b i, e i ] κατά τη διάρκεια του οποίου ο κάθε πελάτης θα πρέπει να εξυπηρετηθεί. Ο νωρίτερος χρόνος εκκίνησης από την αποθήκη είναι b 0 και ο αργότερος χρόνος επιστροφής στην αποθήκη e 0. Κάθε κόμβος πελάτης εξυπηρετείται από το όχημα μέσα στο χρονικό παράθυρο. Σε περίπτωση που το όχημα φτάσει στον κόμβο πριν από το νωρίτερο χρόνο b i, τότε είναι υποχρεωμένο να περιμένει μέχρι τη χρονική στιγμή που ορίζει το παράθυρο. Ο χρόνος αναχώρησης από πελάτη c i πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος από το χρόνο e i. Ο αριθμός u των διαθέσιμων οχημάτων πολλές φορές πρέπει να υπολογιστεί. Το κόστος μιας διαδρομής i υπολογίζεται από τον τύπο C VRPTW (R i )= c i,i+1 + d i,i+1 + w ui όπου i=(0,m) και ο χρόνος αναμονής του πελάτη u i είναι w ui. Στόχος ενός τέτοιου προβλήματος είναι η ελαχιστοποίηση του στόλου οχημάτων, η ελαχιστοποίηση του χρόνου ταξιδιού και των χρόνων αναμονής για την εξυπηρέτηση των πελατών. Ως προς την εφικτότητα, το VRPTW σε σχέση με το VRP χαρακτηρίζεται από τους ακόλουθους επιπλέον περιορισμούς : Μια λύση είναι μη εφικτή αν ο πελάτης εξυπηρετείται μετά το άνω όριο του χρονικού παραθύρου. Άφιξη οχήματος σε πελάτη πριν από το κάτω όριο του χρονικού παραθύρου, οδηγεί σε επιπρόσθετο χρόνο αναμονής. 32

Κάθε διαδρομή αρχίζει και ολοκληρώνεται εντός του χρονικού παραθύρου της αποθήκης. Όταν υπάρχουν ευέλικτα χρονικά παράθυρα, η εξυπηρέτηση ενός πελάτη με καθυστέρηση δεν επηρεάζει την εφικτότητα της λύσης, απλά καθυστερεί επόμενες παραδόσεις. 3.3 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Συλλογές κατά την Παράδοση (Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery VRPPD) Πρόκειται για ένα VRP πρόβλημα, στο οποίο προβλέπεται ότι οι πελάτες επιστρέφουν κάποια προϊόντα. Συνεπώς, πρέπει να προβλεφθεί χώρος στο όχημα για τα επιστρεφόμενα προϊόντα, καθιστώντας το πρόβλημα αρκετά περίπλοκο ως προς την ορθή χρησιμοποίηση της χωρητικότητας των οχημάτων. Στα VRPPD όλες οι παραγγελίες ξεκινούν από την αποθήκη και όλα τα επιστρεφόμενα επιστρέφουν στην αποθήκη, δεν υπάρχει ανταλλαγή προϊόντων μεταξύ πελατών και οι πελάτες δέχονται μόνο μια επίσκεψη. Σε μια απλοποιημένη μορφή του προβλήματος, το όχημα παραδίδει όλες τις παραγγελίες πριν δεχτεί επιστροφές. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αριθμού των χρησιμοποιηθέντων οχημάτων και του χρόνου των διαδρομών σε συνδυασμό με την απόλυτη κάλυψη τόσο των αναγκών παραδόσεων όσο και επιστροφών. Μια λύση είναι εφικτή εφόσον η συνολικά μεταφερόμενη ποσότητα από κάθε όχημα, συμπεριλαμβανομένων και των επιστροφών, δεν υπερβαίνει τη χωρητικότητα του οχήματος. 33

3.4 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Backhauls (Vehicle Routing Problem with Backhauls VRPB) Σε αυτά τα προβλήματα, όπως και στα VRPPD, οι πελάτες έχουν τη δυνατότητα, εκτός από το να παραλαμβάνουν, να επιστρέφουν και κάποια προϊόντα. Η διαφορά των δύο προβλημάτων είναι ότι στο VRPPD απαιτείται να γίνει πρόβλεψη ώστε οι επιστροφές να χωρούν στα οχήματα, αντίθετα στο VRPB όλες οι παραδόσεις γίνονται πριν από τις επιστροφές. Με αυτή τη μέθοδο αποφεύγεται η αντιοικονομική αναδιοργάνωση των φορτίων στα σημεία παράδοσης. Οι ποσότητες των προϊόντων που παραδίδονται και επιστρέφονται είναι εκ των προτέρων γνωστές. Συνεπώς, στη διατύπωση του προβλήματος υπάρχουν περιορισμοί από τον αριθμό των παραδόσεων και επιστροφών και τον όγκο του φορτίου. Στόχος είναι ο σχεδιασμός της βέλτιστης διαδρομής που θα ελαχιστοποιήσει τη συνολικά διανυόμενη απόσταση, ενώ σε μια εφικτή λύση υπάρχει ένα σύνολο διαδρομών, όπου όλες οι παραδόσεις για κάθε διαδρομή γίνονται πριν αρχίσουν επιστροφές. 3.5 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Πολλές Αποθήκες (Vehicle Routing Problem with Multiple Depot MDVRP) Στις περιπτώσεις αυτές, οι πελάτες εξυπηρετούνται από περισσότερες από μία αποθήκες. Όταν όλοι οι πελάτες είναι συγκεντρωμένοι γύρω από τις αποθήκες, τότε το πρόβλημα μπορεί να εξεταστεί ως συνδυασμός ανεξάρτητων VRP προβλημάτων. Όμως στις περισσότερες περιπτώσεις οι πελάτες δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι γύρω από τις αποθήκες και τότε λύνεται ως MDVRP. Γίνεται ανάθεση των πελατών σε διάφορες αποθήκες, που έχουν δικούς τους στόλους οχημάτων, και κάθε όχημα, που έχει αφετηρία μια αποθήκη, επιστρέφει στο τέλος σε αυτή. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αριθμού των χρησιμοποιούμενων οχημάτων και της διανυόμενης απόστασης, 34

ενώ οι διάφορες αποθήκες πρέπει να ικανοποιήσουν τη συνολική απαίτηση των πελατών. Λέμε μια λύση εφικτή, όταν ικανοποιούνται οι περιορισμοί ενός VRP προβλήματος και τα οχήματα αρχίζουν και επιστρέφουν στην ίδια αποθήκη. 3.6 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων Περιόδου (Periodic Vehicle Routing Problem PVRP) Αντίθετα με τα συνηθισμένα προβλήματα στα οποία ρυθμίζονται οι παραδόσεις για μία ημέρα, το PVRP επεκτείνει το διάστημα προγραμματισμού των διανομών σε M ημέρες. Είναι ένα πολύ-επίπεδο συνδυαστικό πρόβλημα βελτιστοποίησης όπου σε πρώτο επίπεδο πρέπει να καθοριστεί η περίοδος με την οποία γίνονται οι διανομές σε κάθε πελάτη (π.χ. κάθε δύο ημέρες), σε δεύτερο επίπεδο επιλέγονται οι εναλλακτικές λύσεις για κάθε πελάτη και σε τρίτο επίπεδο λύνεται ένα VRP πρόβλημα για κάθε ημέρα της περιόδου. Στόχος είναι τόσο η ελαχιστοποίηση του συνολικού αριθμού οχημάτων όσο και του συνολικού χρόνου ταξιδιού για την εξυπηρέτηση των πελατών. Μία λύση θεωρείται εφικτή εφόσον καλύπτονται όλοι οι περιορισμοί του προβλήματος VRP, με τη διαφορά ότι ένα όχημα μπορεί να μην επιστρέψει στην αποθήκη την ίδια ημέρα με αυτή που αποχώρησε από την αποθήκη. Επιπλέον, στις Μ ημέρες της περιόδου διανομής, κάθε πελάτης δέχεται τουλάχιστον μία επίσκεψη. 35

3.7 Στοχαστικά Πιθανολογικά Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων (Stochastic Vehicle Routing Problem SVRP) Στα SVRP προβλήματα, ένα ή περισσότερα στοιχεία του προβλήματος (π.χ. πελάτες, απαιτήσεις σε εμπορεύματα) δεν θεωρούνται σταθερά. Ενδεικτικές περιπτώσεις SVRP είναι : Στοχαστικοί πελάτες : Η πιθανότητα κάθε πελάτης i να πραγματοποιεί παραγγελία είναι p i, ενώ δεν πραγματοποιείται παραγγελία με πιθανότητα 1- p i. Στοχαστικές απαιτήσεις πελατών : Η ζήτηση d i κάθε πελάτη δεν είναι σταθερή. Στοχαστικό χρόνος ταξιδιού : Ο χρόνος, που απαιτείται για την προσέγγιση ενός πελάτη, αλλά και ο χρόνος για την εξυπηρέτησή του, δεν είναι σταθερός. Στα SVRP προβλήματα υπάρχουν δύο στάδια επίλυσης. Στην αρχή, δίνεται μια πρώτη λύση πριν γίνουν γνωστές οι τυχαίες μεταβλητές, ενώ στη συνέχεια, γνωρίζοντας τις τιμές των τυχαίων μεταβλητών, διορθώνεται η πρώτη λύση. Στόχος είναι τόσο η ελαχιστοποίηση του συνολικού αριθμού οχημάτων όσο και του συνολικού χρόνου ταξιδιού για την εξυπηρέτηση των πελατών. Επειδή οι τιμές κάποιων μεταβλητών δεν είναι σταθερές, αλλά μεταβάλλονται συνέχεια, δεν μπορούν να ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί για κάθε πιθανή τιμή. Ο υπεύθυνος δρομολόγησης έχει λοιπόν δύο επιλογές : Να ικανοποιήσει κάποιους από τους περιορισμούς με μια δεδομένη πιθανότητα. Να ενσωματώσει ένα πρότυπο διορθωτικών ενεργειών, που να ενεργοποιείται όταν δεν ικανοποιείται κάποιος περιορισμός. 36

3.8 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων με Διασπαρμένες Παραδόσεις (Split Delivery Vehicle Routing Problem SDVRP) Πρόκειται για μια παραλλαγή του VRP προβλήματος στην οποία κάθε πελάτης δύναται να εξυπηρετηθεί από περισσότερα του ενός οχήματα, εφόσον έτσι πετυχαίνονται μειωμένα κόστη διανομής. Σε περιπτώσεις που ο όγκος παραγγελιών του πελάτη είναι μεγαλύτερος από τη χωρητικότητα του οχήματος, το SDVRP δίνει πραγματικές λύσεις. Στο SDVRP γίνεται κατάτμηση των παραδόσεων, με διάσπαση της παραγγελίας του πελάτη, για να επιτευχθεί στη συνέχεια ελαχιστοποίηση του κόστους παραδόσεων. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού αριθμού οχημάτων που χρησιμοποιούνται και η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους διαδρομών για την εξυπηρέτηση των πελατών. Η εφικτή λύση υπάρχει όταν ικανοποιούνται οι περιορισμοί του VRP, με τη διαφοροποίηση της εξυπηρέτησης του πελάτη από περισσότερα του ενός οχήματα. 3.9 Άλλα Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων Πιο συνοπτικά παρουσιάζουμε και κάποια άλλες παραλλαγές του VRP. Χρόνο εξαρτώμενη Δρομολόγηση Στόλου Οχημάτων (Time Dependent Vehicle Routing Problem TDVRP) : Λαμβάνεται υπόψη η κίνηση του δικτύου κάθε στιγμή. Άρα, ο χρόνος κίνησης μεταξύ δύο πελατών μεταβάλλεται. Δρομολόγηση Ετερογενούς Στόλου Οχημάτων (Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem HFVRP) : Υπάρχει στόλος οχημάτων με διαφορετικά χαρακτηριστικά. Η διαφορά μπορεί να βρίσκεται στη χωρητικότητα των οχημάτων, στο κόστος λειτουργίας, στην τεχνολογία και σε ποικίλους άλλους τομείς. Δρομολόγηση Στόλου Οχημάτων με Εξισορρόπηση Διαδρομών (Vehicle Routing Problem with Route Balancing VRPRB) : Σε αυτά 37

τα προβλήματα πρέπει να μειωθεί η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης σε μήκος διαδρομής. Αυτός ο περιορισμός είναι σημαντικός για την ίση κατανομή φόρτου εργασίας μεταξύ των οδηγών. Δυναμική Δρομολόγηση Στόλου Οχημάτων (Dynamic Vehicle Routing Problem DVRP) : Ο πελάτης δύναται να ακυρώνει παραγγελίες ή να ενσωματώνει νέες παραγγελίες πέρα από τις ήδη γνωστές. 38

4 Τεχνολογία και Δρομολόγηση Στόλου Οχημάτων Παρακάτω παρουσιάζεται συνοπτικά η χρήση των τεχνολογιών τηλεματικής καθώς και των πληροφοριακών συστημάτων [Κεχαγιάς, 2013], για την αποτελεσματική δρομολόγηση στόλου οχημάτων. 4.1 Ολοκληρωμένα Συστήματα Το ολοκληρωμένο σύστημα (Σχήμα 5) στηρίζεται στις τεχνολογίες GIS (Geographic Information System), GPS (Global Position System) και GSM (Global System for Mobile Communication). Η ολοκλήρωση των τεχνολογιών αυτών προσφέρει δυνατότητες για τη διαχείριση στόλων οχημάτων (π.χ. των φορτηγών μιας εταιρείας, των ασθενοφόρων κ.α.). Για τη βασική λειτουργία ενός τέτοιου συστήματος απαιτείται η συλλογή πληροφοριών για τα οχήματα και η χρήση ενός εξειδικευμένου λογισμικού, για την επεξεργασία και την εξαγωγή αποτελεσμάτων. Τα δεδομένα μεταβιβάζονται συνήθως μέσω του δικτύου GSM, είτε με την υπηρεσία μηνυμάτων SMS, είτε με την χρήση του GPRS. Βέβαια, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες δεν γίνεται να χρησιμοποιηθεί το δίκτυο GSM (πλοία στον ωκεανό κ.α.). Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο προσδιορισμός της θέσης γίνεται συνήθως χρησιμοποιώντας ένα δίκτυο δορυφόρων. Στην πλειονότητα χρησιμοποιείται το δίκτυο GPS, ωστόσο υπάρχουν και άλλα παρόμοια συστήματα (GLONASS, Compass, IRNSS). 39

Σχήμα 5 : Ολοκληρωμένο σύστημα 4.2 Πλεονεκτήματα Εποπτείας Διαχείρισης Στόλου Τα κυριότερα πλεονεκτήματα της όλο και μεγαλύτερης ενσωμάτωση των συστημάτων διαχείρισης στόλου στον επιχειρηματικό κλάδο είναι : Αυτοματοποιημένος εντοπισμός των οχημάτων Αποδοτικότερη δρομολόγηση των οχημάτων Δυνατότητα προσθήκης περιορισμών ασφαλείας (ακινητοποίηση οχήματος σε περίπτωση κλοπής) Αυτόματη εξαγωγή δεδομένων για την λειτουργία του στόλου Μείωση κατανάλωσης καυσίμων Αποτελεσματικότερη αντιμετώπιση έκτακτων καταστάσεων Παροχή αισθήματος ασφάλειας στους οδηγούς Αύξηση της απόδοσης του στόλου οχημάτων Μείωση του κόστους λειτουργίας Αύξηση του επιπέδου υπευθυνότητας των οδηγών 40

Ηλεκτρονικές αναφορές δελτίων κινήσεως Στατιστικές αναφορές που διευκολύνουν την ανάλυση, σχεδιασμό και λήψη αποφάσεων 4.3 Πληροφοριακά Συστήματα Βέλτιστης Δρομολόγησης Τα Συστήματα Βέλτιστης Δρομολόγησης παίρνουν ένα μεγάλο αριθμό παραγγελιών, τον οποίο και επεξεργάζονται, υπολογίζοντας τον πιο αποδοτικό τρόπο για την υλοποίηση τους. Καθορίζουν το χρόνο και τους πόρους που θα απαιτηθούν, λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς παραλαβών και παραδόσεων και ακολουθώντας τις προαποφασισμένες παραμέτρους (π.χ. η ταχύτητα στους δρόμους, το μέγεθος του φορτίου, οι ώρες παραλαβών των πελατών). Λόγω της ταχύτητας υπολογισμών, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο δυναμικό προγραμματισμό των δρομολογίων αλλά και ως εργαλείο στρατηγικής ανάλυσης. Οι δρομολογητές μπορούν να βελτιστοποιήσουν ακόμα περισσότερο τα δρομολόγια αυτά, χρησιμοποιώντας τις εξειδικευμένες γνώσεις τους, όπως γνώσεις περί σχέσεων με πελάτες κ.α. Οι δυνατότητες τέτοιων συστημάτων περιλαμβάνουν: Ελαχιστοποίηση των απαιτήσεων σε πόρους, όπως αριθμό οχημάτων και οδηγών Καθορισμός του πιο κατάλληλου αποθηκευτικού χώρου για την εξυπηρέτηση συγκεκριμένων παραγγελιών Τήρηση των περιορισμών πρόσβασης του πελάτη, π.χ. ημέρες και ώρες αργίας, χρονικά όρια παραλαβών κ.α. Μείωση των διανυόμενων χιλιομέτρων (έμφορτο και χωρίς φορτίο) Δυναμικό υπολογισμό παραδόσεων και παραλαβών κατά τη διάρκεια του δρομολογίου 41

4.4 Συστήματα Προγραμματισμού Δρομολογίων Τα συστήματα προγραμματισμού δρομολογίων είναι λογισμικά, τα οποία περιλαμβάνουν το οδικό δίκτυο σε ψηφιοποιημένους χάρτες και την δυνατότητα να υπολογίζεται η βέλτιστη διαδρομή ανάμεσα σε 2 τοποθεσίες. Ο δρομολογητής ομαδοποιεί τα δρομολόγια και τις παραδόσεις και χρησιμοποιεί το πρόγραμμα ως εργαλείο για να βρει την καλύτερη διαδρομή (συντομότερη, αποφεύγοντας συγκεκριμένους δρόμους κτλ.) και την ορθή ροή των παραδόσεων. Στα Συστήματα Προγραμματισμού Δρομολογίων, ο δρομολογητής μπορεί να έχει τις αναφορές δρομολογίων, όπως και στα Συστήματα Βέλτιστης Δρομολόγησης. Αυτά τα συστήματα είναι ιδανικά για εταιρείες που δεν έχουν ιδιαίτερα πολύπλοκες απαιτήσεις στην εκτέλεση των δρομολογίων τους και για όσες έχουν στόλους κάτω των 10 οχημάτων. Το κόστος κτήσης ενός τέτοιου προγράμματος είναι σημαντικά μικρότερο από τα αντίστοιχα Συστήματα Βέλτιστης Δρομολόγησης. 4.5 Οφέλη και Χρήση Υπολογιστικών Συστημάτων Τα οφέλη από τη χρήση ενός συστήματος βέλτιστης δρομολόγησης είναι η καλύτερη αξιοποίηση των πόρων της εταιρείας, η αύξηση παραγωγικότητας με περισσότερες παραδόσεις και λιγότερα δρομολόγια, η μείωση του κόστους διανομής (χρόνου προγραμματισμού, υπερωριών, αριθμού οχημάτων που απαιτούνται, χιλιομετρικών αποστάσεων που διανύονται), η ακριβέστερη και αξιόπιστη πρόβλεψη των χρόνων παράδοσης και παραλαβής, η βελτίωση του επιπέδου λειτουργίας και εξυπηρέτησης, η μείωση του χρόνου αναμονής για φόρτωση ή παράδοση και η δημιουργία ενός ισχυρού εργαλείου διοίκησης. Συνεπώς, η χρήση τους από τις σημερινές επιχειρήσεις είναι : Επιχειρησιακή: Χρησιμοποιούνται στον καθημερινό προγραμματισμό και βελτιστοποίηση των εργασιών. Στρατηγική : Ο επιχειρηματίας μπορεί να τα χρησιμοποιήσει για το σχεδιασμό μελλοντικών ενεργειών. Για παράδειγμα, μπορεί να γίνουν 42

υπολογισμοί των μελλοντικών αναγκών σε πόρους και τα κόστη εναλλακτικών σεναρίων/επιλογών. Εμπορική : Ο υπεύθυνος πωλήσεων μπορεί να πάρει κοστολογικά στοιχεία για υπάρχουσες και μελλοντικές δραστηριότητες για να προετοιμάσει στοιχειοθετημένες προσφορές. Τα συστήματα αυτά αποθηκεύουν ένα πλήθος στοιχείων καθημερινά. Έτσι, υπάρχει πρόσβαση σε μια πληθώρα αναφορών και στοιχείων, που πριν δεν ήταν διαθέσιμα : o Λεπτομερείς αναφορές δρομολογίων o Χρήση πόρων και κόστος o Αποδοτική χρήση οδηγών και φορτηγών o Μετρήσεις παραγωγικότητας και αποδοτικότητας o Σύνολο δρομολογίων με στοιχεία αποστάσεων, χρόνων, αριθμού πελατών κτλ o Επιστροφές και κόστη o Γραφικές απεικονίσεις των χρόνων οδήγησης, εξυπηρέτησης σημείων, διαλειμμάτων και κόστη o Μια μεγάλη γκάμα από κοστολογικές αναφορές Τα αποτελέσματα της χρήσης των Συστημάτων Βέλτιστης Δρομολόγησης φαίνονται στο Σχήμα 6. 43

Σχήμα 6 : Αποτελέσματα Συστημάτων Βέλτιστης Δρομολόγησης 44