Κεφάλαιο Ιξώδης υμπεριφορά Οριμοί Ερπυμός (creep) καλείται η χρονικά εξαρτημένη παραμόρφωη του πετρώματος, που παρατηρείται όταν το πέτρωμα φορτίζεται υπό ταθερή εντατική κατάταη ε ταθερή θερμοκραία. Η ερπυτική υμπεριφορά του πετρώματος πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάλυη της ευτάθειας υπογείων έργων μόνιμης (ή μακροχρόνιας) χρήης, τα οποία μετά τη διάνοιξή τους υποβάλλονται υχνά ε περίπου ταθερά φορτία. Στο Σχήμα δείχνεται η γενική μορφή της καμπύλης τροπής-χρόνου (καμπύλη ερπυμού) που προκύπτει από δοκιμές ερπυμού (creep test). Σε αυτές τις δοκιμές επιβάλλεται μία ταχεία αύξηη της τάης, που τη υνέχεια διατηρείται ταθερή. Η τιγμιαία τροπή, λόγω της ελατικής αντίδραης του πετρώματος, ακολουθείται από τον πρωτογενή ή μεταβατικό ερπυμό (primary creep ή transient creep) όπου ο ρυθμός μεταβολής της τροπής μειώνεται με το χρόνο. Σε οριμένα πετρώματα ο πρωτογενής ερπυμός προεγγίζει ένα ταθερό ρυθμό μεταβολής της τροπής που οριοθετεί τη μετάβαη το δευτερογενή (secondary) ή ταθερό (steady-state) ερπυμό. Με τη φόρτιη του πετρώματος πέραν ενός ορίου, χαρακτηριτικό για κάθε πέτρωμα υπό υγκεκριμένες πειραματικές υνθήκες, τον δευτερογενή ερπυμό ακολουθεί ο τριτογενής (tertiary creep) ή επιταχυνόμενος (accelerated creep) ερπυμός με απότομη αύξηη του ρυθμού μεταβολής της τροπής που οδηγεί τελικά την ατοχία του πετρώματος. Σχήμα. (α) Τυπική καμπύλη ερπυμού του πετρώματος (Goodman, 989), (β) Διαφοροποίηη της μορφής της καμπύλης ερπυμού με την εφαρμοζόμενη τάη.
Οι τροπές που προκαλούνται λόγω ερπυμού υνήθως δεν είναι ανακτήιμες. Η δομή του πετρώματος διαταράεται, ιδιαίτερα υπό εφελκυτικές τάεις, και το πέτρωμα μπορεί να οδηγηθεί ε ατοχία. Στον πρωτογενή ερπυμό, ο ρυθμός μεταβολής της τροπής μειώνεται υνήθως ως δύναμη του χρόνου. Η εμπειρική αυτή υχέτιη παρατηρήθηκε πρώτα από τον Andrade (99) τα μέταλλα, και τη υνέχεια ε πολλά άλλα υλικά μεταξύ των οποίων και τα πετρώματα (Lockner, 993). Στο δευτερογενή ερπυμό ο ρυθμός μεταβολής της τροπής είναι πρακτικά ταθερός και εξαρτάται έντονα από το επίπεδο της εφαρμοζόμενης τάης (Σχήμα β). Σύμφωνα με τον Lockner (993) και τους Dusseault and Fordham, (993) ε πολλές περιπτώεις, ιδιαίτερα τα κληρά πετρώματα, ο δευτερογενής ερπυμός δεν είναι ξεκάθαρα ορατός αλλά εμφανίζεται ως ένα μεταβατικό τάδιο μεταξύ του πρωτογενούς και του τριτογενούς ερπυμού. Κατά τη διάρκεια του τελευταίου ο ρυθμός τροπής αυξάνεται ως δύναμη του χρόνου, όπως επίης και η καταγραφόμενη ακουτική εκπομπή. Οι δοκιμές ερπυμού τα πετρώματα πραγματοποιούνται υνήθως με μονοαξονική φόρτιη ε υνθήκες δωματίου (χωρίς πλευρική πίεη, θερμοκραία κοντά τους 0 o C, υγραία εωτερικού χώρου). Σε οριμένες περιπτώεις διερευνάται η επίδραη των υνθηκών περιβάλλοντος και η χέη τους με το χρόνο μέα τον οποίο το πέτρωμα μπορεί να ατοχήει λόγω ερπυμού. Ο χρόνος αυτός αυξάνεται με την αύξηη της πλευρικής πίεης και μειώνεται με την αύξηη της θερμοκραίας και της υγραίας. Τα περιότερα πετρώματα εμφανίζουν κάποιας μορφής ερπυμό ε διάφορες χρονικές κλίμακες (λεπτά, ημέρες, χρόνια). Επίης, εμφανίζουν ημαντική ερπυτική υμπεριφορά ε υψηλές θερμοκραίες και πιέεις (εκτός της περιοχής ενδιαφέροντος των υνήθων δομημάτων). Μερικά πετρώματα, όπως ορυκτά άλατα, εβαπορίτες, αργιλικοί χιτόλιθοι (shale), εμφανίζουν ερπυμό ε υνθήκες πίεης και θερμοκραίας που υναντώνται τα υνήθη δομήματα. Αυτά τα πετρώματα μπορούν να μελετηθούν το εργατήριο ή επί τόπου για την κατανόηη των μηχανιμών που προκαλούν τον ερπυμό, ή για την εκτίμηη παραμέτρων υπολογιμού της ερπυτικής υμπεριφοράς. Η μελέτη του ερπυμού είναι επίης χρήιμη για την κατανόηη διαχρονικών γεωλογικών φαινομένων. Δοκιμές ερπυμού Η πειραματική διαδικαία για την εξέταη της ερπυτικής υμπεριφοράς κατάλληλα διαμορφωμένων κυλινδρικών δοκιμίων πετρώματος ε μονοαξονική θλίψη (ε υνήθεις ή ε υψηλές θερμοκραίες) περιγράφεται από το πρότυπο D 434-03 της ASTM (ASTM, 003). Σύμφωνα με την ASTM οι δοκιμές ερπυμού μπορούν να παρέχουν παραμέτρους υπολογιμού για την ανάλυη της ευτάθειας υπογείων κατακευών. Εντούτοις, οι ιδιότητες παραμόρφωης και αντοχής που μετρούνται εργατηριακά δεν αντιπροωπεύουν τις επί τόπου ιδιότητες της βραχομάζας, καθώς οι τελευταίες επηρεάζονται από την παρουία αυνεχειών, ρηγμάτων, επιπέδων αδυναμίας κλπ. Η υκευή φόρτιης που θα χρηιμοποιηθεί τη δοκιμή θα πρέπει να διατηρεί το επιθυμητό φορτίο ταθερό. Σημειώνεται ότι, υπό ταθερό φορτίο η τάη ε μία διατομή κάθετα τον άξονα του δοκιμίου μεταβάλλεται καθώς το πέτρωμα παραμορφώνεται. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
3 Έτι, η ASTM προτείνει εκτέλεη της δοκιμής είτε με ταθερό φορτίο είτε με ταθερή τάη, με ακρίβεια %. Το δοκίμιο τοποθετείται τη υκευή και φορτίζεται με ένα μικρό αξονικό φορτίο περίπου 00 N. Αυξάνεται η θερμοκραία με μέγιτο ρυθμό o C/min μέχρι να επιτευχθεί η επιθυμητή τιμή και ταθεροποιηθούν οι παραμορφώεις, που οφείλονται την αύξηη της θερμοκραίας. Το αξονικό φορτίο εφαρμόζεται με ταθερό ρυθμό εντός χρονικού διατήματος 0s και διατηρείται τη υνέχεια ταθερό. Καταγράφονται οι αξονικές και διαμετρικές παραμορφώεις και χεδιάζεται η μεταβολή τους με το χρόνο. Τυπικά πειραματικά αποτελέματα δίνονται το Σχήμα. Σχήμα. Αξονική και διαμετρική τροπή από δοκιμή ερπυμού. Το πρότυπο D 4553-0 της ASTM (00) περιγράφει την πειραματική διαδικαία για τον προδιοριμό της ερπυτικής υμπεριφοράς του επιτόπου πετρώματος. Η δοκιμή, που δείχνεται το Σχήμα 3, εκτελείται με την εφαρμογή φορτίου τα τοιχώματα μίας υπόγειας τοάς, αφού πρώτα διαμορφωθούν ώτε να είναι επίπεδα και παράλληλα. Το φορτίο εφαρμόζεται το ένα τοίχωμα μέω πλάκας που πιέζεται από υδραυλικό έμβολο τηριζόμενο ε δοκό αντίδραης που μεταβιβάζει τα φορτία το άλλο τοίχωμα της τοάς. Η αύξηη του φορτίου την επιθυμητή τιμή πρέπει να επιτευχθεί μέα ε χρονικό διάτημα min. Καταγράφονται οι παραμορφώεις ε διατήματα μερικών λεπτών έως μερικών ωρών και χεδιάζεται η καμπύλη παραμόρφωης-χρόνου. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
4 (α) Σχήμα 3. (α) Σκαρίφημα τυπικής διάταξης επί τόπου δοκιμής ερπυμού, (β) επιφάνεια πετρώματος και πλάκα φόρτιης 3 Μηχανιμοί ερπυμού Διάφοροι μηχανιμοί, που δρουν τη μικροκλίμακα της δομής του πετρώματος, προκαλούν το φαινόμενο του ερπυμού. Οι μηχανιμοί του ερπυμού χετίζονται τόο με την ορυκτολογική ύταη του πετρώματος όο και με την κρυταλλική του δομή και διαφέρουν ανάλογα με το πέτρωμα (Dusseault and Fordham, 993) και με τις υνθήκες πίεης, θερμοκραίας, υγραίας και άλλων εξωγενών παραγόντων. Στα κληρά ψαθυρά πετρώματα με χαμηλό πορώδες ως κύριος μηχανιμός ερπυμού έχει προταθεί η αλληλεπίδραη και επέκταη μικρορωγμών (Scholz 97, Lockner 993). Η διαδικαία αυτή είτε ταθεροποιείται (καταλήγοντας ε μηδενικούς ρυθμούς παραμόρφωης) είτε επιταχύνεται, υνοδευόμενη από αύξηη της ογκομετρικής παραμόρφωης, οδηγώντας ε τριτογενή ερπυμό και τελικά ε ατοχία του πετρώματος. Η άποψη αυτή υποτηρίζεται από πειραματικά δεδομένα, όπως μέτρηη των αξονικών και διαμετρικών παραμορφώεων και καταγραφή της ακουτικής εκπομπής. Σύμφωνα με τον Kranz (979) η επέκταη των μικρορωγμών κατά τον ερπυμό, όπου η εξωτερική τάη διατηρείται ταθερή, οφείλεται είτε την αλληλεπίδραη τους με γειτονικές μικρορωγμές, που αυξάνει την ένταη τα άκρα τους, είτε τη μείωη της αντοχής των άκρων τους λόγω επίδραης παραγόντων όπως η υγραία και η θερμοκραία. Τέτοια φαινόμενα προκαλούν υποκρίιμη διάδοη μικρορωγμών (sub-critical crack growth), η οποία έχει εξηγηθεί θεωρώντας τη θραύη των ατομικών δεμών το άκρο μίας μικρορωγμής λόγω αυξομείωης της θερμοκραίας, που ενιχύεται λόγω της υψηλής υγκέντρωης τάεων εκεί (Atkinson, 99). Υπό αυτές τις υνθήκες οι μικρορωγμές εξακολουθούν να επεκτείνονται ακόμη και αν η εφαρμοζόμενη τάη παραμένει ταθερή. Κατά τη φόρτιη ε μονοαξονική θλίψη η διαδικαία αυτή ξεκινάει για εφαρμοζόμενες τάεις μεγαλύτερες του 70%-80 % του φορτίου ατοχίας. Εντούτοις, πειράματα των Szczepanik et. al. (003) έδειξαν ότι, (β) ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
5 δοκίμια γρανίτη που φορτίθηκαν μονοαξονικά ε τάη μεγαλύτερη του 80% του φορτίου ατοχίας για χρόνο έως μερικούς μήνες, δεν οδηγήθηκαν ε ατοχία. Στα δοκίμια αυτά εφαρμόθηκε χολατική λείανη των άκρων τους ώτε να ελαχιτοποιηθεί η τριβή μεταξύ δοκιμίου και πλακών φόρτιης της υκευής θλίψης. Από τα πειράματα αυτά φαίνεται πως η πειραματική διάταξη και ιδιαίτερα ο πιθανός περιοριμός της ελευθερίας κίνηης των δοκιμίων τα άκρα (π.χ. λόγω τριβής) μπορεί να επηρεάζει τα εργατηριακά αποτελέματα. Τα ορυκτά άλατα, ε αντίθεη με τα ψαθυρά πετρώματα, υχνά υμπεριφέρονται ως όλκιμα υλικά ε χετικά χαμηλές θερμοκραίες και πιέεις. Έτι εμφανίζουν έντονο πρωτογενή ερπυμό, ακολουθούμενο από δευτερογενή ταθερό ερπυμό, που εξαρτάται από τις ακούμενες διαφορικές τάεις, τη θερμοκραία και την υγραία. Ως κύριοι μηχανιμοί δευτερογενούς ερπυμού ε αυτά τα πετρώματα έχουν προταθεί η διάλυη υπό πίεη, η ολίθηη εκτοπίεων και η ανάπτυξη μικρορωγμών. Οι μηχανιμοί αυτοί μπορούν να υμμετέχουν ταυτόχρονα τον ερπυμό και να προκαλούν διαφορετικούς ρυθμούς παραμόρφωης που έχουν αθροιτικό αποτέλεμα την μετρούμενη παραμόρφωη του πετρώματος. Οι εκτοπίεις (dislocations) είναι ένας τύπος ατέλειας ή ελαττώματος του κρυταλλικού πλέγματος. Για την κατανόηη των εκτοπίεων μπορεί κάποιος να φαντατεί ότι κόβει το κρυταλλικό πλέγμα ε ένα επίπεδο, απομακρύνει τις δύο πλευρές του επιπέδου κοπής μεταξύ τους τρεβλώνοντας το πλέγμα και προθέτει (νοητά) μία ειρά ατόμων τον κενό χώρο που δημιουργείται. Οι εκτοπίεις διαχωρίζονται ε εκτοπίεις παρεμβολής (edge dislocations) και οι εκτοπίεις μετάθεης (screw dislocations). Οι εκτοπίεις διαδίδονται μέα το κρυταλλικό πλέγμα με θραύη των ατομικών δεμών του πλέγματος μπροτά από την εκτόπιη και επαναύνδεη πίω από αυτήν. Σχήμα 4. (α) Εκτοπίεις (dislocations) το κρυταλλικό πλέγμα. (β) διάδοη εκτοπίεων μετάθεης εκτός του επιπέδου τους και αναρρίχηη εκτοπίεων. Εργατηριακά πειράματα για την κατανόηη των μηχανιμών του δευτερογενούς ερπυμού τα ορυκτά άλατα έδειξαν ότι ε πιέεις κάτω από 5 MPa και μετρούμενους ρυθμούς τροπής μικρότερους από 0-7 s - ο ερπυμός οφείλεται ε ολίθηη εκτοπίεων το κρυταλλικό πλέγμα (π.χ. Wawersik & Zeuch, 986). Ως κύριος μηχανιμός που ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
6 ελέγχει το ρυθμό παραμόρφωης ε θερμοκραίες 0-00 C εμφανίζεται η διάδοη εκτοπίεων μετάθεης εκτός του επιπέδου τους (cross-slip of screw dislocations, CS). Σε υψηλότερες θερμοκραίες, π.χ. 00-00 C, ως μηχανιμός ελέγχου του ρυθμού της τροπής υπερτερεί η αναρρίχηη των εκτοπίεων παρεμβολής (dislocation climb, DC). Άλλα πειράματα ε θερμοκραίες 50-00 C (Horseman et al. 99, Carter et al. 993) παρουιάζουν μηχανικά και μικρομηχανικά δεδομένα για ένα τύπο ορυκτού άλατος που υποδεικνύουν ερπυμό λόγω CS για ρυθμούς τροπής μεγαλύτερους του 0-7 έως 0-9 s - και με DC ε χαμηλότερους ρυθμούς. Εκτός από τους μηχανιμούς που χετίζονται με τις εκτοπίεις, πειράματα ε λεπτοκοκκώδη φυικά άλατα έδειξαν ότι όταν υφίταται ένα ελάχιτο ποοτό υγραίας τα όρια των κόκκων η παραμόρφωη μπορεί να οφείλεται ε διάλυη υπό πίεη (pressure solution, PS). Ο μηχανιμός αυτός περιλαμβάνει διάλυη υλικού τα όρια των κόκκων υπό υψηλή μέη τάη, διάχυη δια μέω του ρευτού των διεπιφανειών των κόκκων και καθίζηη τα όρια των κόκκων ε περιοχές χαμηλής μέης ορθής τάης Πραγματοποιείται έτι αλλαγή του χήματος των κόκκων χωρίς εωτερική παραμόρφωη. Γενικά, παρατηρείται αύξηη της διαλυτότητας όταν το κρυταλλικό πλέγμα βρίκεται υπό πίεη. Για την περιεκτικότητα ε υγραία και για το μέγεθος των κόκκων των υνήθων ορυκτών αλάτων, ο μηχανιμός αυτός πιθανότατα δεν θα εντοπιθεί εργατηριακά, υμμετέχει όμως την παραμόρφωη του επιτόπου πετρώματος (Dusseault and Fordham, 993). Στα ανθρακικά πετρώματα υπό υψηλά φορτία και παρουία νερού ο ερπυμός οφείλεται ε διάλυη και πλατική διαρροή τη μειωμένη διεπιφάνεια των κόκκων (Dusseault and Fordham, 993). Οι ιχυροί χαλαζιακοί ψαμμίτες υμπεριφέρονται όπως τα κληρά ψαθυρά πετρώματα και υνήθως εμφανίζουν περιοριμένο πρωτογενή ερπυμό που ταθεροποιείται. Αθενώς τερεοποιημένοι πορώδεις ψαμμίτες εμφανίζουν ερπυμό με μείωη του πορώδους, που υνοδεύεται από διάλυη, μικρορωγμάτωη και ολίθηη εκτοπίεων. Ο ρυθμός του ερπυμού εξαρτάται και από το μέγεθος των κόκκων. Λεπτοκοκκώδεις ψαμμίτες εμφανίζουν μεγαλύτερο ρυθμό ερπυμού από τους αδροκοκκώδεις. 4 Πρότυπα ροϊκής υμπεριφοράς (Rheological models) Στα μηχανικά υτήματα καμία επίδραη δεν είναι πραγματικά ακαριαία και ως εκ τούτου οι κατατατικές εξιώεις του πετρώματος είναι ουιατικά πεπλεγμένες υναρτήεις του χρόνου. Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές η τροπή του πετρώματος μπορεί να υπολογιθεί ικανοποιητικά αγνοώντας την επίδραη του χρόνου. Όταν όμως το πέτρωμα ανταποκρίνεται αργά ε μεταβολές της επιβαλλόμενης τάης ή τροπής, εμφανίζει δηλαδή ιξώδη (ή αλλιώς βικώδη) υμπεριφορά, απαιτείται περαιτέρω διερεύνηη. Rheology ρεολογία: κλάδος της μηχανικής που αχολείται με τη ροή των τερεών ωμάτων. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
7 Ένα τερεό ώμα που παραμορφώνεται αργά και υνεχώς λόγω επιβολής διατμητικών τάεων, μπορεί να θεωρηθεί μερικώς ως ένα ιξώδες ρευτό. Το δυναμικό ιξώδες η, που χηματικά αναπαρίταται από ένα αποβετήρα, εκφράζει την αναλογία μεταξύ τάης και ρυθμού μεταβολής της τροπής. τ η & γ () Οι διατάεις του δυναμικού ιξώδους είναι F L - T, π.χ. MPa s (ή psi min). Τα πετρώματα που εμφανίζουν τόο "τιγμιαία" όο και χρονικά εξαρτώμενη ελατική υμπεριφορά, καλούνται ιξωδοελατικά και η χετική θεωρία καλείται ιξωδοελατικότητα. Στις πειραματικές καμπύλες ερπυμού υχνά προαρμόζονται διάφορες εμπειρικές χέεις που περιέχουν εκθετικές, λογαριθμικές, παραβολικές ή υπερβολικές υναρτήεις. Μία ειρά τέτοιων υναρτήεων (Πίνακας ) παρουιάζεται από τους Hudson and Harrison (997). Πίνακας. Εμπειρικοί νόμοι ερπυμού (Hudson and Harrison, 997). m ε At 3 n ε A+ Bsinh( C t ) ε A+ Bt 4 ε A + B t C exp( D t) ε A + Bt + Ct 5 ε At + B[ exp( C t) ] ε A + Bt + C t + Dt 6 ε A[ exp( Bt) ] + C [ exp( Dt) ] m 3 n 4 m n p 5 m n ε At + Bt p + C t q + Dt +... 7 n ε A + Blogt + C t 6 ε Alog t 8 ε A+ Bt + C t 7 ε A + B log t 9 ε A + B log t + C t 8 ε A log( B + t) 0 ε logt + Bt + C t 9 ε A log( B + C t) ε A log( + t / B) 0 A + B log( C + t) ε n ε A[ exp( B C t )] A + B log( t + D t) ε 3 ε A[ exp( Bt) ] ε A t /( + B t) 4 ε Aexp( B t) Είναι επίης δυνατόν να προαρμόζονται τα πειραματικά δεδομένα διάφορα προομοιώματα ροϊκής υμπεριφοράς, που είναι μηχανικά ανάλογα της υμπεριφοράς του πετρώματος, αποτελούμενα από μηχανικά τοιχεία, όπως ελατήρια (springs), αποβετήρες (dashpots) και ολιθητήρες (sliders). Τα προομοιώματα αυτά είναι χρήιμα για την κατανόηη της μηχανικής υμπεριφοράς του υλικού και επιτρέπουν τη διατύπωη κατατατικών νόμων. Διάφοροι υνδυαμοί των παραπάνω τοιχείων μπορούν να δώουν μία μεγάλη ποικιλία ροϊκών μοντέλων ανάλογα με το αν υνδέονται ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
8 παράλληλα ή ε ειρά. Οι υνδυαμοί μεταξύ δύο μηχανικών τοιχείων και τα αντίτοιχα ροϊκά μοντέλα δίνονται το Σχήμα 5 ενώ οριμένα γνωτά μοντέλα με περιότερους από δύο υνδυαμούς δίνονται το Σχήμα 6. Τα δύο κλαικά μοντέλα Maxwell και Kelvin περιέχουν ως μηχανικά τοιχεία το ελατήριο και τον αποβετήρα. Οι κατατατικοί νόμοι που υνδέονται με αυτά τα τοιχεία δίνονται από τις χέεις: Ελατήριο: Eε, Αποβετήρας: F dε / dt () Σχήμα 5. Ρεολογικά μοντέλα από ένα ή δύο μηχανικά ανάλογα (Hudson and Harrison, 997). Σχήμα 6. Ρεολογικά μοντέλα από τρία ή περιότερα μηχανικά ανάλογα (Hudson and Harrison, 997). ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
9 Το μοντέλο Maxwell αποτελείται από ένα ελατήριο και ένα αποβετήρα υνδεμένα ε ειρά. Η τάη και τα δύο τοιχεία είναι ίδια και η τροπή ε που αναπτύεται το υλικό είναι το άθροιμα των τροπών που αναπτύονται το ελατικό και το ιξώδες τοιχείο: ε ε E + ε V (3) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο: dε dε E dt dt dεv + dt d d + + dt E F E dt F Για ταθερή τάη ε χρόνο από t0 έως tt : d d ε dt + dt + C E dt F ε + t + C E F Αν τη χρονική τιγμή t0 εφαρμοθεί τάη 0 το υλικό υμπεριφέρεται τιγμιαία ως ελατικό υλικό και η τροπή που αναπτύεται είναι: ε 0 E από όπου προκύπτει ότι η ταθερά C0. Συνεπώς, υπό ταθερή τάη το μοντέλο Maxwell περιγράφει μία γραμμική μεταβολή της τροπής με το χρόνο: t ε + E F (4) Σχήμα 7. Καμπύλη ερπυμού γραμμικού μοντέλου Maxwell. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
0 Η υμπεριφορά του μοντέλου υπό ταθερή τάη δείχνεται το Σχήμα 7. Τη χρονική τιγμή t η υνολική τροπή θα είναι: t + E F ε 0 Το μοντέλο Kelvin αποτελείται από ένα ιξώδες και ένα ελατικό τοιχείο παράλληλα υνδεδεμένα. Η τροπή είναι ίδια και τα δύο τοιχεία και η τάη που αναπτύεται το υλικό είναι το άθροιμα των τάεων που αναπτύονται το ελατικό και το βικώδες τοιχείο: dε E + V ε E + F dt Θεωρώντας ότι τη χρονική τιγμή t0 εφαρμόζεται τάη 0 που παραμένει ταθερή, προκύπτει η εξίωη της τροπής υναρτήει του χρόνου: (5) E t F ε 0 e E (6) Η υμπεριφορά του μοντέλου υπό ταθερή τάη δείχνεται το Σχήμα 8. Η υνολική τροπή τη χρονική τιγμή tt είναι: E t 0 F ε e E (7) Σχήμα 8. Καμπύλη ερπυμού μη-γραμμικού μοντέλου Kelvin. Συνδυάζοντας τα μοντέλα Maxwell και Kelvin ε ειρά προκύπτει το μοντέλο Burger (Σχήμα 9). Η μηχανική του υμπεριφορά ε τάη που εφαρμόζεται τιγμιαία και διατηρείται ταθερή για χρόνο t δείχνεται το Σχήμα 9. Σε χρόνο t0 αναπτύεται μία ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
αρχική τροπή που μεταβάλλεται με ρυθμό μειούμενο εκθετικά με το χρόνο και τείνει αυμπτωτικά ε ένα ταθερό ρυθμό μεταβολής της τροπής. Το μοντέλο αυτό είναι το απλούτερο μοντέλο που μπορεί να περιγράψει την πειραματική καμπύλη ερπυμού του πετρώματος (Σχήμα ) μέχρι την έναρξη του τριτογενούς ερπυμού. Σχήμα 9. Καμπύλη ερπυμού μοντέλου Burg er. 5 Προδιοριμός ιξωδοελατικών ταθερών από δοκιμές Η απλούτερη διαδικαία για τον προδιοριμό των ιξωδοελατικών ταθερών του πετρώματος είναι μέω δοκιμών ερπυμού ε μονοαξονκή θλίψη κυλινδρικών δοκιμίων για παρατεταμένο χρονικό διάτημα. Η διαδικαία αυτή απαιτεί την εφαρμογή ταθερής τάης με ταθερή θερμοκραία και υγραία ε όλη τη διάρκεια της δοκιμής, που μπορεί να είναι ώρες, μέρες, εβδομάδες ή περιότερο. Το φορτίο μπορεί να εφαρμόζεται με μηχανικά ή υδραυλικά υτήματα φόρτιης. Απαιτείται προεκτικός χεδιαμός της δοκιμής που να εξαφαλίζει τυχόν απαιτούμενη διόρθωη του επιβαλλόμενου φορτίου λόγω μεταβολών της διαμέτρου του δοκιμίου (που θα μπορούε να οδηγήει ε μεταβολές της εφαρμοζόμενης τάης). Η διαδικαία μπορεί να εκτελεθεί ύμφωνα με το πρότυπο ASTM D 434-03. Η χέη αξονικής τροπής με το χρόνο για το μοντέλο Burger ε ένα υλικό που υποβάλλεται ε ταθερή αξονική τάη είναι (Goodman, 989): ( ) + t ( t / η ) ε() t + + e G (8) 9Κ 3G 3G 3η όπου ΚΕ/[3(-v)] είναι το μέτρο υτολής και η, η, G και G ιδιότητες του πετρώματος που προδιορίζονται από τις εργατηριακές δοκιμές. Στο Σχήμα 0 δίνεται το διάγραμμα της αξονικής τροπής ε υναρτήει του χρόνου ύμφωνα με την προηγούμενη εξίωη. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
Σχήμα 0. Καμπύλη ερπυμού κατά τη μονοαξονική θλίψη πετρώματος που υμπεριφέρεται ύμφωνα με το μοντέλο Burger. Για χρόνο t0 το αποτεμνόμενο τμήμα τον άξονα των τροπών είναι: ε + 0 (9) 9Κ 3G Σε χρόνο t η τροπή τείνει αυμπτωτικά την ευθεία με αποτεμνόμενο τμήμα τον άξονα των τροπών ε Β ίο με: ε + B + (0) 9Κ 3G 3G και κλίη 3η. Η διαφορά Δε μεταξύ της καμπύλης ερπυμού και της τροπής ε χρόνο t είναι: Δε ε + B ( ) t ( ) () + G t / η t ε + + t t + + e + 3η 9Κ 3G 3G 3η 9Κ 3G 3G 3η ( G t / η ) Δ ε e () 3G ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
3 Λογαριθμίζοντας προκύπτει: G ln( Δ ε ) ln t 3G () η Η παραπάνω χέη χεδιάζεται ε ημιλογαριθμικούς άξονες ως ευθεία γραμμή, από την οποία μπορούν να υπολογιθούν τα G και η, υπολογίζοντας το αποτεμνόμενο τμήμα ίο με 3G και την κλίη G η. Αν ταυτόχρονα με τις αξονικές τροπές ε καταγράφονται και διαμετρικές ε 3, η ογκομετρική τροπή υπολογίζεται από τη χέη: ΔV V ε + ε 3 Η μέη τάη για το δεδομένο εντατικό πεδίο είναι: (3) mean ( + + 3 ) ( + 0 + 0) 3 3 3 Το μέτρο διόγκωης του πετρώματος υπολογίζεται από τη χέη: ΔV V K mean 3K Από όπου προκύπτει: 3 ε K (4) ( ε + ) 3 και ε ε + (5) 3 3K Τέλος, για t0 η αξονική τροπή ε (0) είναι: ε ( ) 0 + 9Κ 3G (6) από όπου μπορεί να υπολογιθεί το G ύμφωνα με τη χέη: ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
4 G 3ε ( 0) 3K (7) Παράδειγμα Στο Σχήμα δίνεται η μεταβολή ε υνάρτηη με το χρόνο της αξονικής ε και διαμετρικής ε 3 τροπής κυλινδρικού δοκιμίου πετρώματος που υποβάλλεται ε μονοαξονική θλίψη με 55 MPa. 000 0 Αξονική τροπή, ε x0-6 (mm/mm) 950 900 850 800 750 700 650 Αξονική τροπή ιαμετρική τροπή -00-00 -300-400 -500 ιαμετρική τροπή, ε 3 x0-6 (mm/mm) 600-600 0 0 0 30 40 50 60 70 Χρόνος, t (min) Σχήμα. Μεταβολή της αξονικής και διαμετρικής τροπής ε υνάρτηη με το χρόνο. Για τον υπολογιμό των παραμέτρων του μοντέλου Burger με 55 MPa φέρεται αρχικά ευθεία γραμμή αυμπτωτικά την καμπύλη της αξονικής τροπής όπως το Σχήμα. Η ευθεία αυτή έχει: αποτεμνόμενο τμήμα ε Β 85x0-6 mm/mm κλίη 3η.5x0-6 (mm/mm)/min από όπου προκύπτει: 6 55.5 0 η 6 6 3η 3.5 0 3.5 0 6 8.5 0 MPa min Υπολογίζεται το Δε ε διάφορους χρόνους t. Η μεταβολή του Δε με το χρόνο δίνεται το Σχήμα. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
5 0 Χρόνος, t (min) 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 - -4-6 ln( ε) -8-0 - -4-6 -8 Σχήμα. Μεταβολή του Δε ε υνάρτηη με το χρόνο. Για t0, 6 Δε 80 0 G 3G 55 3Δε 3 80 0 6 0.7 0 3 MPa 0.7 GPa Με βέλτιτη προαρμογή ευθείας τα δεδομένα του διαγράμματος ln(δε)-t (Σχήμα ) προκύπτει ευθεία με κλίη G η 0. 569, από όπου η 0.7 / 0.569 648 GPa.min Για τον υπολογιμό του μέτρου διόγκωης K χεδιάζεται το διάγραμμα αξονικής τροπής υναρτήει της διαμετρικής τροπής που δίνεται το Σχήμα 3. με βέλτιτη προαρμογή ευθείας τα δεδομένα του διαγράμματος προκύπτει ευθεία με αποτεμνόμενο τμήμα τον άξονα των ε ίο με 740x0-6 mm/mm. Συνεπώς: 3K 6 740 0 K 3 740 0 6 4.8 GPa ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
6-600 -500-400 -300-00 -00 0 ιαμετρική τροπή, ε 3 x0-6 (mm/mm) 000 800 600 400 00 000 800 600 400 00 0 Αξονική τροπή, ε x0-6 (mm/mm) Σχήμα 3. Μεταβολή της ε υναρτήει της ε 3. Τέλος, το G υπολογίζεται από τη χέη: G 3ε ( 0) 3K 3 635 0 3 55 0 6 3 4.8 6 GPa Οι παράμετροι του πετρώματος ύμφωνα με το ιξωδοελατικό μοντέλο Burger και η καμπύλη ερπυμού που προκύπτει από την εφαρμογή του δίνονται το Σχήμα 4. 00 Αξονική τροπή, ε x0-6 (mm/mm) 000 900 800 700 600 500 G (GPa) G (GPa) K (GPa) η (GPa.min) η (GPa.min) 0.7 6 4.8 648 850 0 0 40 60 80 00 0 Χρόνος, t (min) Σχήμα 4. Καμπύλη ερπυμού που προκύπτει ύμφωνα με το μοντέλο Burger χρηιμοποιώντας τις παραμέτρους που υπολογίθηκαν από τα πειραματικά δεδομένα. ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx
7 Βιβλιογραφία Andrade, E. N. (90), The viscous flow in metals, and allied phenomena, Proc. R. Soc. A, 84,. Atkinson, B. (99), Fracture mechanics of rock, Geology series, Academic press. ASTM (00), Standard Test Method for Determining In Situ Creep Characteristics of Rock, ASTM Designation: D 4553 0. ASTM (003), Standard Test Method for Creep of Hard Rock Core Specimens in Uniaxial Compression at Ambient or Elevated Temperature, ASTM Designation: D 434 03. Carter, N. L., Horseman, S. T., Russell, J. E. and Handin, J. (993), Rheology of rocksalt. Structural Geology 5(0): 57-7 Dusseault, M.B., Fordham, C.J., (993), Time-dependent behaviour of rocks. In: Hudson, J.A. (Ed.), Comprehensive Rock Engineering Principles, Practice & Projects, vol. 3. Oxford, pp. 9 45. Goodman R.E. (989). Introduction to Rock Mechanics, nd Edition, Wiley. Horseman, S.T., Russel, J.E., Hardin, J. and Carter, N.L., (993), Slow experimental deformation of Avery Island Salt. In: H. Kakihana, H.R. Hardy Jr., T. Hoshi and K. Toyokura (Editors), Proc. Seventh Int. Symp. on Salt, April 6-9 99, Kyoto, Japan. Elsevier, Amsterdam, Vol. I, pp. 67-74. Hudson J.A. and Harrison J.P. (997), Engineering Rock Mechanics. An Introduction to the Principles. Pergamon. Kranz R., (979), Crack Growth and Development During Creep of Barre Granite, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 6, pp. 3-35. Lockner, D. (993), Room temperature creep in saturated granite, J. Geophys. Res., 98, 475 487. Miuraa K., Okui Y. and Horiic H. (003), Micromechanics-based prediction of creep failure of hard rock for long-term safety of high-level radioactive waste disposal system. Mechanics of Materials 35, 3-6, pp. 587-60. Szczepanik, Z., Milne, D., Kostakis, K., Eberhardt, E. (003), Long Term Laboratory Strength Tests in Hard Rock. ISRM 003 Technology roadmap for rock mechanics, South African Institute of Mining and Metallurgy. Scholz, C. (97), Static fatigue of quartz, J. Geophys. Res., 77(), 04 4. Wawersik, W. R. and D. H. Zeuch (984), Creep and Creep Modeling of Three Domal Salts A Comprehensive Update, SAND84-0568, Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM. Wawersik, W.R. and Zeuch, D.H., (986), Modeling and mechanistic interpretation of creep of rock salt below 00 C. Tectonophysics, pp. 5 5 ΕΜΠ, ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Προχωρημένη Μηχανική Πετρωμάτων Κεφάλαιο ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A_Viscous_behaviour.docx