ΑΣΚΗΣΗ [5 μονάδες (6+6+6+7)] www.onlineclassroom.gr Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR() = 100 + 16 όπου είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης, δίνεται και η συνάρτηση οριακού κόστους MC() = 50 6 + της επιχείρησης. Επιπλέον, η επιχείρηση έχει πάγιο κόστος (σταθερό) λειτουργίας FC = 0 Χρηματικές μονάδες. Η επιχείρηση δεν έχει κανένα άλλο έσοδο πέραν των εισπράξεων από τις πωλήσεις του προϊόντος της. (Α) Nα βρεθούν οι συναρτήσεις συνολικού κόστους TC, και μέσου κόστους AC. ΑΣΚΗΣΗ (Α) Για να υπολογίσουμε τη συνάρτηση συνολικού κόστους πρέπει να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση οριακού κόστους MC = 50 6+. Επομένως MC 50 6 TC = d TC = 50 6+ d TC = d d d TC = 50 6 * TC = 50 + c Η σταθερά c συμβολίζει το σταθερό κόστος (FC) το οποίο στην περίπτωσή μας είναι μηδέν. Επομένως c = 0. Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι TC = 50 TC AC = Το μέσο κόστος προκύπτει από τη σχέση και είναι TC 50 50 AC = AC = AC = AC = 50 +

(Β) Nα βρεθούν οι συναρτήσεις συνολικού εσόδου TR και ζήτησης P d (ως συνάρτηση του ) που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της. (6 μονάδες) (Β) Όπως και το συνολικό κόστος έτσι και το συνολικό έσοδο προκύπτει από την ολοκλήρωση της συνάρτησης του οριακού εσόδου ( MR). Επομένως έχουμε MR 100 + 16 TR = d TC = 100 16 d TR = d d d TR = 100 + 16 * TR =100 8 + c Η σταθερά c συμβολίζει τα σταθερά έσοδα της επιχείρησης τα οποία στην περίπτωσή μας δεν υφίστανται καθώς τα μόνα έσοδα που παρουσιάζει η μονοπωλιακή επιχείρηση προέρχονται από τις πωλήσεις της είναι δηλαδή μεταβλητά έσοδα. Επομένως c =0. Άρα η συνάρτηση συνολικών εσόδων είναι TR =100 8. Για να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση ζήτησης θα χρησιμοποιήσουμε τη TR TR = P * TR = P * P σχέση d d d και θα πάρουμε. Επομένως έχουμε TR =1008 TR 100 8 d d d P P P P d 100 8

(Γ) Nα βρεθεί η συνάρτηση συνολικού κέρδους Π της επιχείρησης καθώς και να προσδιορισθούν η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος που μεγιστοποιεί το κέρδος της επιχείρησης και το μέγιστο κέρδος. (6 μονάδες) (Γ) Για να προσδιορίζουμε το κέρδος της επιχείρησης θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Π = TR TC. Δηλαδή θα έχουμε TR TC (100 8 ) (50 ) 100 8 50 11 50 Τα κέρδη της επιχείρησης μεγιστοποιούνται όταν Π =0. Επομένως έχουμε ' 11 50 ' 50 Π = 0 θα έχουμε. ' 50 0 b Δ Επομένως έχουμε 1,= όπου b * a * c και a a b και c 50. Άρα *( ) *50 8 800 18 Άρα 1, 18 *( ) 5,8 8 Διαχωρίζοντας τις δύο λύσεις έχω: 5,8 1,8 1 1,7 8 8 5,8 57,8 και 7, 0 8 8 0 Η λύση αυτή απορρίπτεται διότι 0

Η ρίζα 1 = - 1,7 απορρίπτεται ως άτοπη καθώς δεν υφίσταται αρνητική ποσότητα. Μόνη επομένως αποδεκτή λύση μένει = 7,. Η δεύτερη συνθήκη μεγιστοποίησης θα επαληθεύσει αν όντως υπάρχει μέγιστο κέρδος για = 7,. Επομένως υπολογίζω τη δεύτερη παράγωγο των κερδών ' '' ( 50) 8 Άρα για = 7, έχουμε, δηλαδή ισχύει ' ' 8 8* 7, 57,8 5,8 Π < 0 που σημαίνει ότι για = 7, η μονοπωλιακή επιχείρηση έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. Για να υπολογίσουμε το μέγιστο κέρδος αντικαθιστούμε στη συνάρτηση κέρδους 11 50 (7,) * 7, 11* 7, 50 * 7, 50,91 575 61,50,59 (Δ) Nα βρεθεί το σύνολο των ποσοτήτων παραγωγής που δίνουν μη αρνητικό κέρδος Π της επιχείρησης. Επιβεβαιώστε το εύρημά σας γραφικά στο EXCEL, σχεδιάζοντας τις συναρτήσεις TC, TR, Π στο ίδιο γράφημα θέτοντας στον οριζόντιο άξονα τις τιμές της ποσότητας από 0 έως 1 με βήμα 0,5. (7 μονάδες) (Δ) Το κέρδος πρέπει πάντα να είναι θετικό ή ίσο με μηδέν Π 0. Επομένως έχουμε 11 50 0 * ( 11 50) 0. Άρα δεδομένου ότι η ποσότητα είναι πάντα θετική 0 η παραπάνω σχέση ισοδυναμεί με 11 50 0 Θα λυθεί ως εξίσωση και μετά θα διαπιστώσουμε το πρόσημο της όπως κάναμε στις ασκήσεις των πεδίων ορισμού: 11 50 0 Από τη b Δ δευτεροβάθμια εξίσωση θα πάρουμε 1,= όπου a a b 11και c 50. Έτσι έχουμε b * a * c και 11 * ( ) *50 11 66,67 87,67 Άρα 11 87,67 1119,69 1, Διαχωρίζοντας τις δύο λύσεις έχω: 8 *( ) 1119,69 8,69 1,6 0 και,6667,6667 1119,69 0,69 11,51 0,6667,6667

Άρα αφού πρέπει Π >0 και η δευτεροβάθμια έχει δύο ρίζες 1 = -,5 και = 11,9 σημαίνει ότι για τιμές ανάμεσα στις δύο ρίζες η συνάρτηση του κέρδους είναι ετερόσημη του a=, δηλαδή θετική. Για τις υπόλοιπες η συνάρτηση του κέρδους είναι ομόσημη του a, δηλαδή αρνητική. παρακάτω σχήμα Διαγραμματικά αυτό φαίνεται στο ομόσημη του a = -,6 ετερόσημη του a, = 11,51 ομόσημη του a, δηλαδή αρνητική δηλαδή θετική δηλαδή αρνητική Άρα για να ισχύει Π 0 θα πρέπει η μεταβλητή να παίρνει θετικές τιμές 0. Άρα θα λαμβάνει τιμές στο διάστημα [ 0, 11,51 ]. TC TR Π 0,00 0,00 0,00 0,00 0,50,8 51,96 7,58 1,00 8,00 107,67 59,67 1,50 71,6 166,88 95,5,00 96,00 9, 1,,50 11,88 9,79 17,9,00 150,00 6,00 1,00,50 181,1,71 5,58,00 16,00 506,67 90,67,50 55,8 581,6 6,5 5,00 00,00 658, 58, 5,50 50,6 76,5 85,9 6,00 08,00 816,00 08,00 6,50 7,88 896,6,58 7,00 56,00 977,67 1,67 7,50 68,1 1059,8 1,5 8,00 70,00 111, 1, 8,50 8,8 1,9 00,9 9,00 96,00 105,00 69,00 9,50 1061,6 186,1,58 10,00 100,00 166,67 66,67 10,50 151,88 156,1 19,5 11,00 1518,00 16, 106, 11,50 1699,1 1701,0 1,9 1,00 1896,00 1776,00-10,00 1,50 109,8 188,96-60, 1,00 0,00 1919,67-0,

500,00 Συνολικά Έσοδα, Συνολικό Κόστος, Κέρδη TC, TR, Π 000,00 1500,00 1000,00 500,00 0,00-500,00-1000,00 0,00 1,00,00,00,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 1,00 1,00 TC TR Π E-mail: info@onlineclassroom.gr