ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Απαντήστε και στις 4 υποχρεωτικές ερωτήσεις. Υποδείξτε τις δύο από τις τρεις προαιρετικές ερωτήσεις τοποθετώντας ένα σταυρό στο αντίστοιχο κουτί της φορμας που θα σας δοθεί. Για τις απαντήσεις σας χρησιμοποιείστε διαφορετικές κόλλες για κάθε απάντηση. Σελίδα 1/8 EL

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση f που ορίζεται από την σχέση x 1 f( x). x a) i. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της f, τα διαστήματα στα οποία αυτή είναι αύξουσα ή φθίνουσα και μία εξίσωση για κάθε ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. ii. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f. 5 1 Μονάδα b) i. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης της f στο σημείο ( 1, ) τέμνει τον άξονα των x στο σημείο A και των άξονα των y στο σημείο B. Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AB. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις γραμμες x 1 x. Σελίδα /8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ. ΑΝΑΛΥΣΗ Κατά την διάρκεια μιας χημικής αντίδρασης παράγεται μια νέα ουσία. Μετά από t δευτερόλεπτα η μάζα της παραγόμενης ουσίας που παρήχθει είναι m γραμμάρια. Η συνάρτηση mt () ικανοποιεί την παρακάτω διαφορική εξίσωση dm dt (50 m). 500 a) Να λυθεί η διαφορική εξίσωση αν είναι γνωστό ότι m = 0 την χρονική στιγμή t = 0. 6 b) i. Να υπολογίσετε την μάζα της ουσίας μετά από 100 δευτερόλεπτα. ii. Να υπόλογίσετε την χρονική στιγμή κατά την οποία η μάζα της ουσίας είναι 40 γραμμάρια. iii. Να δείξετε ότι η μάζα της ουσίας που παράγεται κατά την αντίδραση δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 50 γραμμάρια. Σελίδα 3/8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε τα σημεία. O(0, 0, 0), P (1, 1, 3), Q (1, 5, ), R (0, 3, 1) and S (1, 4, 1). a) i. Δείξτε ότι η ευθεία OP είναι κάθετη στις ευθείες OQ και OR. ii. Να βρεθεί μια Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου QOR, και μετά δείξτε ότι το σημείο S ανήκει στο επίπεδο αυτό. b) i. Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου P από το επίπεδο QOR. ii. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου SPR. 4 Σελίδα 4/8

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 4. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τέσσερις κάρτες επιλέγονται στην τύχη, η μια μετά την άλλη, χωρίς επανατοποθέτηση, μέσα από ένα πακέτο που περιέχει δέκα καρτες αριθμημένες από το 1 έως το 10. a) i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε όλοι οι αριθμοί που επιλέχθηκαν να είναι μικρότεροι ή ίσοι με 6. ii. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε το γινόμενο των αριθμών που επιλέχθηκαν να είναι αριθμός ζυγός. b) i. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε ο δευτερος αριθμός να είναι κατά 1 μεγαλύτερος από τον πρώτο, ο τρίτος κατά 1 μεγαλύτερος από τον δεύτερο και ο τέταρτος κατά 1 μεγαλύτερος από τον τρίτο. ii. Είναι γνωστό ότι οι δύο πρώτοι αριθμοί που επελέγησαν είναι ζυγοί. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε όλοι οι αριθμοί που θα επιλεγούν να είναι ζυγοί.. 4 Σελίδα 5/8

ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΉ ΕΡΩΤΗΣΗ I. ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση f η οποία ορίζεται από την σχέση : f ( x) ( x 4 x)e x. a) i. Να προσδιορίσετε Τα x για τα οποία είναι f (x)=0 Τα διαστήματα στα οποία η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Τις συντεταγμένες των ακροτάτων της γραφικής παράστασης της f. ii. Να μελετήσετε την συμπεριφορά της συνάρτησης f (x) όταν x και όταν x Να δώσετε μια εξίσωση κάθε ασύμπτωτης. 7 b) i. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης t στην γραφική παράσταση της f 4 στο x 1 μπορεί να γραφεί στην μορφή y x. e e ii. Να υπολογισθεί η οξεία γωνία που σχηματιζουν η t και ο άξονας των x. c) i. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f και την εφαπτομένη t στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii. Να προσδιορίσετε τις τιμές των b και c έτσι ώστε η F x x bx c e x να είναι μια αρχική της f (x). iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f και την εφαπτομένη t. 4 Σελίδα 6/8

ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ II. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σε μια μεγάλη πόλη, μια μελέτη του πληθυσμού U των χρηστών των δημόσιων μέσων μεταφοράς βρήκε ότι: 40% του U είναι άνδρες και 60% του U είναι γυναίκες. 5% των ανδρών του U και 50% των γυναικών του U έχουν ένα εισιτήριο διαρκείας. a) Επιλέγουμε στην τύχη ένα άτομο μέσα στο U. i. Δείξτε ότι η πιθανότητα ώστε αυτό πρόσωπο να έχει ένα εισιτήριο διαρκείας είναι 0.4. ii. Αν είναι γνωστό ότι αυτό το άτομο δεν έχει εισιτήριο διαρκείας να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε αυτό το άτομο να είναι άνδρας. b) 10 άτομα επιλέγονται τυχαία από το U. Να προσδιορίσετε την πιθανότητα ώστε i. Ακριβώς 6 από τους 10 να έχουν εισιτήριο διαρκείας. ii. Τουλάχιστον από τους 10 να έχουν εισιτήριο διαρκείας. c) Ένα τυχαίο δείγμα 00 ατόμων επιλέγεται από το U. Ας είναι X η τυχαία μεταβλητή που περιγράφει τον αριθμό των ατόμων που έχουν ένα εισιτήριο διαρκείας.. i. Να δοθεί η κατανομή πιθανότητας της X, και να υπολογίσετε τον μέσο και την τυπική απόκλιση της X. ii. Να υπολογισθεί η P(60 X 100) κάνοντας χρήση κατάλληλης προσέγγισης.. Δικαιολογείστε την χρήση αυτής της προσέγγισης. iii. Χρησιμοποιόντας την ίδια προσέγγιση να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του ακεραίου k που ικανοποιεί την σχέση PX ( k) 0.90. 5 5 Σελίδα 7/8

ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗ III. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε: Το επίπεδο : x y 3z 1 Την σφαίρα S : x y z x y z 1 6 4 0 and Τα σημεία A(1, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) and P(5, 1.5, 5). a) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής του με τους άξονες x, y και z. b) Τα σημεία A, B, C και η αρχή των αξόνων O είναι οι κορυφές μιας τριγωνικής πυραμίδας. Να υπολογίσετε τον όγκο αυτής της πυραμίδας. c) i. Να προσδιορίσετε μια εξίσωση της σφαίρας που διέρχεται από τις κορυφές της πυραμίδας OABC. Να επαληθεύσετε ότι αυτή η σφαίρα είναι η S. ii. Να επαληθεύσετε ότι το κέντρο της S βρίσκεται έξω από την πυραμίδα OABC. iii. Το επίπεδο τέμνει την σφαίρα S κατά ένα κύκλο. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα αυτού του κύκλου. 5 4 d) i. Δείξτε ότι το σημείο P βρίσκεται μέσα στην σφαίρα S. ii. Αν Q είναι ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας S τέτοιο ώστε η απόσταση του από το P να είναι η μικρότερη δυνατή. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του σημείου Q. iii. Το επίπεδο έχει μόνο το σημείο Q κοινό με την σφαίρα S. Να προσδιορίσετε μια καρτεσιανή εξίσωση του. Σελίδα 8/8