Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.8

Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 9, υ..8

Περιεχόµενα Εισαγωγη Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 7. Αλυτα Προβληµατα.............................. 9 υναµεις Πινακων και Αντιστροφος Πινακας. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................. Αλυτα Προβληµατα.............................. 9 Οριζουσες Ι. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................. Αλυτα Προβληµατα.............................. Οριζουσες ΙΙ 6. Θεωρια.................................... 6. Λυµενες Ασκησεις.............................. 6. Αλυτες Ασκησεις............................... 6 5 Επιλυση Γραµµικων Συστηµατων µε Οριζουσες 7 5. Θεωρια.................................... 7 5. Λυµενα Προβληµατα............................. 8 5. Αλυτα Προβληµατα.............................. 6 Λυση Συστηµατων µε Απαλοιφη Gauss 6 6. Θεωρια.................................... 6 6. Λυµενα Προβληµατα............................. 7 6. Αλυτα Προβληµατα.............................. 7 ιανυσµατικοι Χωροι 7 7. Θεωρια.................................... 7 7. Λυµενα Προβληµατα............................. 9 7. Αλυτα Προβληµατα.............................. 58 iv i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8 Συστηµατα Εξισωσεων και ιανυσµατικοι Χωροι 6 8. Θεωρια.................................... 6 8. Λυµενα Προβληµατα............................. 6 8. Αλυτα Προβληµατα.............................. 68 9 Γενικευση των Εννοιων του Πινακα και του ιανυσµατικου Χωρου 7 9. Θεωρια.................................... 7 9. Λυµενα Προβληµατα............................. 7 9. Αλυτα Προβληµατα.............................. 7 Ιδιοτιµες και Ιδιοδιανυσµατα 7.Θεωρια.................................... 7.Λυµενα Προβληµατα............................. 75.Αλυτα Προβληµατα.............................. 8 Ορθογωνιοτητα Ι 88.Θεωρια.................................... 88.Λυµενα Προβληµατα............................. 9.Αλυτα Προβληµατα.............................. 9 Ορθογωνιοτητα ΙΙ 9.Θεωρια.................................... 9.Λυµενα Προβληµατα............................. 9.Αλυτα Προβληµατα.............................. 5 ii

Προλογος Το παρον τευχος περιεχει συντοµες σηµειωσεις ϑεωριας, λυµενες και αλυτες ασκησεις Γραµµικης Αλγεβρας και Αναλυτικης Γεωµετριας. Το τευχος προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης, ως συµπληρωµα των διδακτικων ϐιβλιων που διανεµονται σε αυτους. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση ασκησεων οσο περισσοτερες ασκησεις τοσο καλυτερα. Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αριθµος λυµενων και αλυτων ασκησεων. Ο αναγνωστης πρεπει να χρησιµοποιησει τις λυµενες ασκησεις ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων ασκησεων. Με αλλα λογια, αν ο αναγνωστης δεν λυσει ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων ασκησεων δεν ϑα ωφεληθει ιδιαιτερα (δεν αρκει δηλ. να µελετησει τις ηδη λυµενες ασκησεις). Ευχαριστω τους ϕοιτητες που κατα καιρους µου υπεδειξαν λαθη και παραλειψεις, τα οποια προσπαθησα να διορθωσω. Για ατελειες οι οποιες πιθανον να παραµενουν η ευθυνη ειναι δικη µου. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Νοεµβρης 8 iii

Εισαγωγη Η Γραµµικη Αλγεβρα εχει τρια κυρια αντικειµενα µελετης (τα οποια ειναι στενα συνδεδε- µενα µεταξυ τους, οπως ϑα ϕανει παρακατω):. τους πινακες,. τα συστηµατα γραµµικων εξισωσεων,. την γεωµετρια του N-διαστατου χωρου, οπου N =,,,.... Επιπλεον, η Γραµµικη Αλγεβρα χαρακτηριζεται, οπως ϑα περιµεναµε, απο την αλγε- ϐρικη προσεγγιση. Η ειδικη περιπτωση στην οποια N = (δηλ. η αλγεβρικη µελετη της γεωµετριας του τρισδιαστατου χωρου) ειναι αντικειµενο της Αναλυτικης Γεωµετριας. Η Αναλυτικη Γεωµετρια πειοριζεται στον χωρο των η διαστασεων, χρησιµοποιει πολλες εννοιες και εργαλεια της Γραµµικης Αλγεβρας, αλλα επεκτεινεται και σε µη γραµµικες µαθηµατικες οντοτητες (π.χ. τις δευτεροβαθµιες επιφανειες). Στο παρον τευχος δινουµε µεγαλυτερη εµφαση στη Γραµµικη Αλγεβρα παρα στην Αναλυτικη Γεωµετρια. Θεωρουµε γνωστη την εννοια συστηµα γραµµικων εξισωσεων", οπως επισης και τις στοιχειωδεις µεθοδους επιλυσης τετοιων συστηµατων. Επισης ϑεω- ϱουµε γνωστα τα ϐασικα στοιχεια των διανυσµατων και της αναλυτικης γεωµετριας του επιπεδου. Χρησιµοποιουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, γνωστο και απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατρερα τα εξης.. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικων αριθµων µε C.. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι ο εξης N a n = a + a +... + a N. n=. Η λεξη ανν σηµαινει αν και µονο αν. Ακοµη και N = περιλαµβανεται ως µια πολυ ειδικη και τετριµµενη περιπτωση. iv

Κεφάλαιο Πινακες Στα µαθηµατικα (οπως και στην καθοµιλουµενη) πινακας σηµαινει µια ορθογωνια διαταξη αριθµων. Αυτο που κανει του µαθηµατικουσ πινακες ιδιαιτερα χρησιµους ειναι οτι µπορουµε να τους εφοδιασουµε µε πραξεις. Ετσι µπορουµε να ϑεωρησουµε τους πινακες ως γενικευµενους αριθµους µε τους οποιους (οπως ϑα ϕανει σε εποµενα κε- ϕαλαια) µπορουµε να επιλυσουµε πολλα µαθηµατικα προβληµατα ευκολοτερα και συντοµοτερα.. Θεωρια... Ενας πινακας A ειναι µια ορθογωνια διαταξη αριθµων : a a... a N A = a a... a N............. a M a M... a MN Το στοιχειο του A στην m-στη γραµµη και στην n-στη στηλη συµβολιζεται µε A mn (και λεµε οτι εχει συντεταγµενες m, n).... Παραδειγµα. ενας πινακας µπορει να ειναι ο [ ] A =. 6... Πιο αυστηρα, ενας M N πινακας ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο {,,..., M} {,,..., N} και πεδιο τιµων το R: {,,..., M} {,,..., N} R. ηλ. σε καθε Ϲευγαρι (m, n) {,,..., M} {,,..., N} αντιστοιχιζουµε εναν αριθµο a mn, που ειναι το στοιχειο του πινακα στην ϑεση µε συντεταγµενες m, n.... Ο παραπανω ορισµος του πινακα µπορει να γενικευτει, πραγµα που ϑα κανουµε στο κεφαλαιο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..5. Παραδειγµα. εστω ο πινακας [ ] A =. 7 Το στοιχειο a ειναι το, το στοιχειο a ειναι το, το στοιχειο a ειναι το 7...6. Για το τυχον στοιχειο a mn του πινακα, λεµε οτι m ειναι ο δεικτης γραµµης και n ειναι ο δεικτης στηλης...7. Οταν ο A εχει M γραµµες και N στηλες, λεµε οτι εχει διασταση M N...8. Αν ο A εχει διασταση N N, τοτε λεµε οτι ειναι τετραγωνικος...9. Παραδειγµα. Ο πινακας 5 7 8 9 ειναι τετραγωνικος πινακας.... υο M N πινακες A, B ειναι ισοι (γραφουµε A = B)ανν για m =,..., M και n =,..., N ισχυει A mn = B mn.... Παραδειγµα. Για να ειναι ισοι οι πινακες [ ] [ ] x z A =, B = y πρεπει να εχουµε x =, y = και z =.... Οταν ο A εχει στηλη (M ) λεµε οτι ειναι πινακας-στηλη: A = a a... a M... Οταν ο A εχει γραµµη ( N) λεµε οτι ειναι πινακας-γραµµη:. A = [ a a... a N ].... Οι πινακες-γραµµες και οι πινακες-στηλες λεγονται και διανυσµατα...5. Μπορουµε να γραψουµε ενα πινακα ως συνδυασµο των γραµµων του : A = r r... r M, οπου (για m =,,..., M): r m = [ a m a m... a mn ].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..6. Επισης µπορουµε να γραψουµε τον πινακα ως συνδυασµο των στηλων του : οπου (για n =,,..., N): A = [ c c... c N ], c n = a n a n... a Mn..7. Ο αναστροφος του A συµβολιζεται A T και προκυπτει αν µετατρεψουµε τις γραµµες του A σε στηλες και τις στηλες σε γραµµεσ: ( ) A T = A mn nm. ηλ. A = r r r M.... AT = [ ] r T r T... r T M...8. Ενας τετραγωνικος πινακας A λεγεται συµµετρικος αν A T = A...9. Ενας τετραγωνικος πινακας A λεγεται αντισυµµετρικος ανν A T = A.... Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται διαγωνιος ανν για m =,,..., N, n =,,..., N εχουµε m n a mn =. ηλ. a... a...... A = a............................... a NN... Παραδειγµα. Ο πινακας [ ] ειναι διαγωνιος.... Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται ανω τριγωνικος ανν για m =,,..., N, n =,,..., N εχουµε m n a mn =. ηλ. a a a... a N a a...... A = a............................... a NN

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ... Παραδειγµα. Οι πινακες ειναι ανω τριγωνικοι. [ ], 5... Ενας τετραγωνικος πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται κατω τριγωνικος ανν για m =,,..., N, n =,,..., N εχουµε m n a mn =. ηλ. a... a a...... A = a a a...................... a N......... a NN..5. Παραδειγµα. Οι πινακες ειναι κατω τριγωνικοι. [ ], 5 7 6 5..6. Η προσθεση πινακων οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M N) και B (διαστασης M N). Τοτε (A + B) mn = A mn +B mn (A B) mn = A mn B mn. Προσοχη! Η προσθεση A + B ειναι δυνατη µονο αν οι A και B εχουν ιδιες διαστασεις!..7. Παραδειγµα. [ ] [ ] [ ] 7 + = 6..8. Παραδειγµα. Η προσθεση [ ] [ ] 7 + 5 δεν ειναι δυνατη...9. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι αριθµο οριζεται ως εξησ: (κ A) mn = κ A mn.... Παραδειγµα. 5 [ ] = [ 5 5 ].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 5... Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι πινακα οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M P ) και B (διαστασης P N). Τοτε (A B) mn = P a mp b pn. Προσοχη! Ο πολλαπλασιασµος A B ειναι δυνατος µονο αν ο αρ. στηλων του A ειναι ισος µε τον αρ. γραµµων του B!... Ενας πινακας A µε διαστασεις M N, λεγεται µηδενικος ανν για m =,,..., M, n =,,..., N εχουµε A mn =, δηλ... =......................... Ο µηδενικος πινακας συµβολιζεται µε (οι διαστασεις M, N ϑεωρουµε οτι προκυπτουν απο τα συµφραζοµενα).... Ενας πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται µοναδιαιος ανν για m, n =,,..., N εχουµε A mm = και A mn = οταν m n, δηλ.......... I =............................... Ο µοναδιαιος πινακας συµβολιζεται µε I (η διασταση N ϑεωρουµε οτι προκυπτουν απο τα συµφραζοµενα).... Ισχυουν τα εξης (υποθετουµε οτι οι διαστασεις των πινακων παρακατω ειναι τετοιες ωστε ολες οι πραξεις ειναι δυνατες):. A + = A. p=. A + B = B + A.. A + (B + C) = (A + B) + C. k (A + B) = k A+k B = (A + B) k 5. I A = A I = A 6. A B B A 7. A (B C) = (A B) C

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 6 8. A (B + C) = A B + A C 9. (B + C) A = B A + C A..5. Για τετραγωνικους πινακες ισχυουν τα παρακατω.. (A + B) T = A T +B T.. (A B) T = B T A T.. Ο A + A T ειναι συµµετρικος και ο A A T ειναι αντισυµµετρικος.. A = (A + A T ) + (A A T ).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 7. Λυµενα Προβληµατα... ινονται οι πινακες [ ] [ ] [ ] A =, B =, C =. Υπολογιστε τα A + B, A B, AB, BA, AC, CA. Λυση [ ] [ ] [ ] [ ] + +. A + B = + = =. + 7 [ ] [ ] [ ] [ ]. A B = = =. + [ ] [ ] [ ] [ ] + + ( ) 7. AB = = =. + + ( ) 5 [ ] [ ] [ ] 9 8. BA = =, ειναι διαφορο του AB. [ ] [ ] [ ] + ( ) + + 5. AC = = = [ ] + ( ) + + 8 7 7 8 6. Ο πολλαπλασιασµος CA δεν µπορει να γινει.... Αποδειξτε οτι (A + B) T = A T +B T. Λυση. Εστω οτι οι πινακιες A, B εχουν διασταση M N. Τωρα, ( ) (A + B) T = (A + B) nm = A nm + B nm = ( A ) T + ( B ) T mn mn mn και αυτο ισχυει για καθε m {,,..., M} και n {,,..., N}. Οποτε (A + B) T = A T + B T.... Με ενα παραδειγµα ελεγξτε οτι ο A A T ειναι αντισυµµετρικος (υποθετουµε οτι ο A ειναι τετραγωνικος). [ ] [ ] [ ] Λυση. Π.χ. ϑετω A =. Τοτε A T = και A A T = [ ] [ ] = που ειναι αντισυµµετρικος.... Αποδειξτε οτι ο A A T ειναι αντισυµµετρικος (υποθετουµε οτι ο A ειναι τετραγωνικος). ( ) Λυση. A A T T = A T ( A ) T T = A T A = ( A A ) T. ηλαδη, αν ϑεσουµε B = A A T, δειξαµε οτι B T = B, οποτε ο B = A A T ειναι αντισυµµετρικος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 8..5. Με ενα παραδειγµα ελεγξτε οτι (AB) T = B T A T. [ ] [ ] Λυση. Π.χ. ϑετω A = και B =. Τοτε AB = 5 5 5 5 [ ] [ ] [ ] 5 και B T A T = 5 = = (AB) T. 5 5..6. Αποδειξτε οτι (AB) T = B T A T. Λυση. Εστω οτι ο A ειναι M K και ο B ειναι K N. Τοτε ( ) (AB) T = (AB) nm = mn K A nk B km = k= K A T knb T mk = k= K B T mka T kn = ( B T A ) T. mn Αφου αυτο ισχυει για καθε m {,,..., M} και n {,,..., N}, εχουµε (AB) T = B T A T. k= =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 9. Αλυτα Προβληµατα... Υπολογιστε την διασταση των παρακατω πινακων. [ ] [ ] [ ] [ ],,,, (Απ.,,,,.)... Υπολογιστε τους αναστροφους των παρακατω πινακων : [ ] [ ] 6,,, 8 [ ] [ ] (Απ., 6 8,.)... Αποδειξτε οτι ο A + A T ειναι συµµετρικος. [ ] + i. i... ειξτε οτι για καθε τετραγωνικο πινακα A εχουµε A = (A + A ) T + (A A ) T (αρα καθε πινακας µπορει να γραφτει ως αθροισµα ενος συµµετρικου και ενος αντισυµµετρικου πινακα)...5. Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] A =, B =. [ ] [ ] 7 (Απ., )..6. Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] A =, B =. 6 (Απ. Οι πραξεις αυτες δεν ειναι δυνατες.)..7. ινονται οι πινακες [ ] [ ] A =, B =, C = 5 7 Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. [ ] [ ] 7 6 5 (Απ.,, 9 5 9 8 7 9, D =, 7 9 5 7.) 6 7.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..8. ινονται οι πινακες [ ] [ ] 5 A =, B =, C =, D = 7 5. Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. Τι παρατηρειτε ; [ ] [ ] 8 6 6 8 (Απ.,, 5, 8.) 8 8 6 6..9. ινονται οι πινακες A =, B = Υπολογιστε τους AB, BA. Τι παρατηρειτε ; 6 9 8 (Απ., 6.) 6 8 8 6 8. 8... Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) τα παρακατω.. A B B A.. A (B C)= (A B) C.. A (B + C)= A B + A C.. (B + C) A= B A + C A. 5. (A B) T = B T A T. 6. Ο AA T ειναι συµµετρικος.... ινονται οι πινακες [ ] [ ] A =, B =, C =.. ειξτε (µε αριθµητικο υπολογισµο) οτι οι πινακες AA T, A T A, BB T, B T B, C T C, C T C ειναι συµµετρικοι.. Επισης δειξτε (µε αριθµητικο υπολογισµο) οτι (AB) T =B T A T, (BA) T =A T B T.... Αποδειξτε οτι αν ο A ειναι M K και ο B ειναι K N, τοτε (A B) T = B T A T.... Αποδειξτε οτι αν ο B και ο I ειναι N N, τοτε I B = B I = B. Γενικευστε για το (A B C... U) T.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ... Αποδειξτε οτι (A + I) (A + I) = A +A + I...5. ειξτε µε ενα παραδειγµα οτι, γενικα, (A + B) (A + B) A +AB + B...6. Για N N πινακες A, B, αποδειξτε οτι ο A B ειναι συµµετρικος ανν A B = B A...7. Για N N πινακα A και M N πινακα B, αποδειξτε οτι ο B T A B ειναι συµµετρικος.

Κεφάλαιο υναµεις Πινακων και Αντιστροφος Πινακας. Θεωρια... Οπως ϑα ϕανει και απο την εποµενη προταση, δυναµεις και αντιστροφος ορι- Ϲονται µονο για τετραγωνικους πινακες!.... Εστω N N πινακας A. Αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ονοµαζουµε τον B αντιστροφο του A και τον συµβολιζουµε µε A = B.... Υπαρχουν τετραγωνικοι πινακες που δεν εχουν αντιστροφο. Π.χ. ο µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο.... Αν ενας πινακας εχει αντιστροφο αυτος ειναι µοναδικος...5. Για καθε τετραγωνικο πινακα A ισχυει (A A) A = A (A A). Γενικοτερα, για ολους τους ακεραιους m, n ισχυει A m A n = A m+n...6. Αρα µπορουµε να ορισουµε για καθε τετραγωνικο πινακα A και για καθε ακεραιο αριθµο k την k-στη δυναµη του A: A k = A A.. A (µε k πολλαπλασιασµους)..7. Μπορουµε επισης να ορισουµε και αρνητικες δυναµεισ: A k = A A.. A (µε k πολλαπλασιασµους)...8. Εστω πινακες A, B οι οποιοι εχουν αντιστροφους A, B. Ισχυουν τα εξης.. (A ) = A (δηλ. ο αντιστροφος του A ειναι ο A).. (A B) = B A.. (A T ) = (A ) T.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ..9. Συµβολιζουµε τον συµπληρωµατικο πινακα του A µε adj (A) και τον οριζουµε ως εξης ( ) + A ( ) + A... ( ) N+ A N adj (A) = ( ) + A ( ) + A... ( ) N+ A N............ ( ) +N A N ( ) +N A N... ( ) N+N A NN (οπου A mn ειναι η οριζουσα του υποπινακα που προκυπτει απο τον A αν διαγραψουµε την m-στη γραµµη και την n-στη στηλη.)... Ο A εχει αντιστροφο ανν A. Τοτε ο αντιστροφος δινεται απο τον τυπο. Λυµενα Προβληµατα A = adj (A). A [ ]... ινεται ο A =. Υπολογιστε τους A, A. Λυση. [ ] [ ] [ ] A = A A = =, A = A A [ ] [ ] [ ] = =. 6... ινεται ο B =. Υπολογιστε τους B, B. Λυση. Οµοια µε την προηγουµενη ασκηση εχουµε 7 6 5 B = B B = 6, B = B B B =. 8 [ ] [ ]... Επαληευστε οτι ο A = εχει τον αντιστροφο A = 5 5. 5 5 Λυση. Εχουµε [ ] [ ] [ ] [ ] + + 5 5 = 5 5 + ( )( )+ = 5 5 5 5 [ ] [ ] [ +( ) ( ) ] [ ] 5 5 = 5 5 =. 5 5... Επαληευστε οτι ο A = 5 5 + 5 5 εχει τον αντιστροφο A 7 7 = 7 7. 7 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Λυση. Εχουµε 5 5 7 7 5 7 7 = 5 =. 7 7 7 7 7 7 7 7 [ ] 5..5. Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =. [ ] Λυση. Εστω οτι A x x =. Πρεπει να εχουµε x x [ ] [ ] [ ] 5 x x =. x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις και x 5x = x + x = x 5x = x + x =. Λυνοντας το πρωτο συστηµα (µε αντικατασταση) εχουµε x = και x = λυνοντας το δευτερο συστηµα εχουµε x =, x = 5. Αρα [ ] 5 A =. Αυτο το επαληθευουµε κανοντας τον πολλαπλασιασµο [ ] [ ] [ ] 5 5 =. [ ] a a..6. Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =. [ ] a a Λυση. Εστω οτι A x x =. Πρεπει να εχουµε x x [ ] [ ] [ ] a a x x =. a a x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις a x + a x = a x + a x =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 5 και a x + a x = a x + a x =. Θα λυσουµε το πρωτο συστηµα µε αντικατασταση. Απο τη πρωτη εξισωση εχουµε οποτε στην δευτερη εξισωση παιρνουµε x = a x a a x a x + a x = a + a x = Με αντιστοιχο τροπο παιρνουµε Επισης εχουµε x = a a a x = και x =. a a a a a a a a a a και x = a a a a a a a a [ a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ] [ ] [ ] a a =. a a Οποτε εχουµε επαληθεσυει τον γενικο τυπο του αντιστροφου, που ειναι : Τελικα [ a a A a = a a a ] a a a a a. a a a a a a a a a Στην παραπανω επιλυση υποθεσαµε οτι A = a a a a. Αν ειχαµε A =, τοτε ο αντιστροφος του A δεν ϑα υπηρχε (δες και την παρακατω ασκηση)...7. Αποδειξτε οτι αν A = τοτε δεν υπαρχει ο A. Λυση. Εστω οτι A = και υπαρχει ο A. Ειναι γνωστη η ιδιοτητα A B = A B, οποτε ϑα ειχαµε = I = A A = A = το οποιο ειναι ατοπο...8. Χρησιµοποιωντας τον τυπο (για πινακα) A = A A A A A A A A A A υπολογιστε τον αντιστροφο των A =, B =, C =.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 6 Λυση. Για τον A = εχουµε A = = 5 A = =, A = =, A = =, A = =, A = =, A = =, A = =, A = = 7, A = =, Οποτε A = 7 5 Για τον B = εχουµε Οποτε B = = B = 6, B =, B =, B =, B =, B =, B =, B =, B =, / B = / / (Παρατηρειστε οτη ο B ειναι, οπως καιο B, διαγωνιος τι αλλο παρατηρειτε ;) Με την ιδια διαδικασια για τον C = ϐρισκουµε =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7 και οποτε =, =, =, =, =, =, =, =, = 8, =. ] [ Αξιζει να παρατηρησουµε οτι ο υποπινακας ειναι ο αντισττροφος του υποπινακα. [ ]..9. ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα τυχαιο πινακα).... ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του εαυτου του. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ;... Αποδειξτε οτι αν ενας πινακας εχει αντιστροφο, αυτος ειναι µοναδικος. Λυση. Εστω πινακας A που εχει δυο αντιστροφους, τους B και C. Τοτε πρεπει να εχουµε AB= BA = I AC= CA = I Πολλαπλασιαζοντας την πρωτη εξισωση απο δεξια µε C παιρνουµε CAB = CBA = C. Αλλα απο την δευτερη εχουµε CA = I, αρα IB = C δηλ. B = C. ηλαδη, αν ενας πινακας εχει αντιστροφο, εχει µοναδικο αντιστροφο.... Αποδειξτε οτι (A ) = A. Λυση. Εστω B = (A ). Θα πρεπει να εχουµε BA = A B = I. Αλλα ενας πινακας που ικανοποιει την παραπανω ειναι ο B = A. Επειδη ο αντιστροφος του A ειναι (αν υπαρχει) µοναδικος, εχουµε (A ) = B = A.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 8... Αποδειξτε οτι (A B) = B A. Λυση. ΑΡκει να παρατηρησουµε οτι ( B A ) A B= B A A B = B I B = B B = I (A B) (B A ) = A B B A = A I A = A A = I.... Αποδειξτε οτι : (I A) = I + A + A + A +.... Λυση. Παρατηρουµε οτι ( I + A + A +A +... ) (I A) = I + A + A +A +... A A A +... = I επειδη για καθε +A n υπαρχει το αντιστοιχο A n.(παρατηρηση: αυτη η αποδειξη δεν ειναι αυστηρη µι ααυστηρη αποδειξη ϑα αρξιζε οριζοντας τους πινακες B n = I + A + A +... + A n και ϑα εδειχνε οτι B n (I A) = I A n+. Κατοπιν ϑα επρεπε να δειξουµε οτι A n. Ποτε συµβαινει αυτο ;) [ ] K [ ] K i i..5. Υπολογιστε το και το (οπου i = ) για τυχοντα ϑετικο i i ακεραιο K. Λυση. Υπολογιζουµε µερικες απο τις παραπανω δυναµεισ: [ ] [ ] i i =, i i [ ] [ ] i i =, i i [ ] [ ] i =, i [ ] [ ] i =. i Καθε αριθµος K µπορει να γραφτει στην µορφη K = n + k, οπου k =,,,. Αρα εχουµε A K = A n+k = A k και [ ] A n+k = οταν k = [ ] i = οταν k = i [ ] = οταν k = [ ] i = οταν k =. i Παρατηρειτε την οµοιοτητα µε τις δυναµεις του i;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 9. Αλυτα Προβληµατα [ ]... ινονται οι A =, B =. Υπολογιστε τους A, A, B, B. [ ] [ ] 7 6 5 (Απ. A =, A =, B 6 = 6, B = 8 [ ] [ ] 5 5... ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του.... ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του. 6... Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει. [ ] [ ] [ ] 5,,. [ ] [ 5 ] (Απ.,, δεν υπαρχει)...5. Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει.,,. 6 (Απ.,, )...6. Υπολογιστε τον αντιστροφο των παρακατω πινακων, οταν αυτος υπαρχει.,, 5. 5 5 5 6 6 (Απ., 5, δεν εχει αντιστροφο.) 5 5 5 5 5 5..7. ειξτε οτι ο. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; τυχαιο πινακα). ειναι αντιστροφος του (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ..8. ειξτε οτι ο ειναι αντιστροφος του εαυτου του. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ;..9. Βρειτε τον αντιστροφο του A =. (Απ. A =.)... Αποδειξτε οτι : (A ) = A, (A B) = B A, (A T ) = (A ) T.... Αποδειξτε οτι : (I A) = I + A + A + A +.... [ ] K [ ] K i i... Υπολογιστε το και το για τυχοντα ϑετικο ακεραιο K. i i a... Αποδειξτε οτι b c d K a K = b K c K. d K [ ] K a... Υπολογιστε το για τυχοντα ϑετικο ακεραιο K. a [ ] K [ ] A A..5. Αποδειξτε οτι = K B B K, οπου A και B ειναι τετραγωνικοι πινακες. [ ] A A..6. Εστω οτι A =, οπου ο A ειναι N N, ο A A A ειναι N N και ο [ ] B B A ειναι N N (N = N + N ). Εστω επισης οτι B =, οπου ο B ειναι B B N N, ο B ειναι N N και ο B ειναι N N. Αποδειξτε οτι [ ] [ ] A A AB = A B = +A B A B +A B. A A A B +A B A B +A B..7. Εστω οτι A ειναι N N και A = I. Θετουµε B = (I + A), C = (I A). ειξτε οτι B = C = I και οτι BC =...8. Εστω οτι A, B ειναι N N και υπαρχει ο A. ειξτε οτι (A + B) A (A B) = (A B) A (A + B).

Κεφάλαιο Οριζουσες Ι. Θεωρια... Οπως ϑα ϕανει και απο την εποµενη προταση, οριζουσες οριζονται µονο για τετραγωνικους πινακες!.... Σε καθε τετραγωνικο πινακα A (N N) αντιστοιχει ενας αριθµος, η οριζουσα του A. Η οριζουσα του A συµβολιζεται A και οριζεται ως εξης.. Αν ο A ειναι, δηλ. A = [a ], τοτε A = A.. Αν ο A ειναι N N και N >, τοτε A = ( ) + A A + ( ) + A A +... + ( ) +N A N A N, οπου A n (για n =,,..., N) ειναι η οριζουσα του υποπινακα που προκυπτει απο τον A αν διαγραψουµε την πρωτη γραµµη και την n-στη στηλη.... Βλεπουµε οτι η οριζουσα ταξης N οριζεται χρησιµοποιωντας τνν οριζουσα ταξης N.... Ισχυει οτι AB = A B...5. Ισχυει οτι A = A T. Αρα οι εποµενες ιδιοτητες ισχυουν οχι µονο για στηλες αλλα και για γραµµες...6. Εστω ενας N N πινακας A (τον οποιο ϑα γραφουµε σε µορφη στηλων : A = [ a a... a N ] ). Τοτε ισχυουν οι παρακατω ϐασικες ιδιοτητες.. [ a... κa n +λb n... a N ] = κ [ a... a n... a N ] + λ [ a... b n... a N ].. [ a... a m... a n... a N ] = [ a... a n... a m... a N ].. I =...7. Απο τις ϐασικες ιδιοτητες προκυπτουν και οι εξηω επιπλεον ιδιοτητες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ι. [ a...... a N ] =.. [ a... κa n... a N ] = κ [ a... a n... a N ].. [ a... a m... a n... a N ] = [ a... a m... a n + a m... a N ].. [ a... a m... κa m... a N ] =.. Λυµενα Προβληµατα... Υπολογιστε την οριζουσα. Λυση. = =.... Υπολογιστε την οριζουσα 5 6. Λυση. 5 6 = + 5 6 6 + 5 = ( ) ( 8) + ( 7) =.... Υπολογιστε την οριζουσα 5 6. Λυση. 5 6 = + 5 6 6 + 5 = + =.... Αποδειξτε οτι a a a a + a b a b = a a + b a a + b. Λυση. a a + b a a + b = a a + a b a a b a = a a b a + a b a a = a a a a + a b a b...5. Αποδειξτε οτι a κ a a κ a = κ a a + b a a + b.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ι Λυση. a κ a a κ a = a κa κa a = κ (a κa a a ) = κ a a a a......6. Αποδειξτε οτι a a... a N............ =. a N a N... a NN Λυση.... a a... a N a... a N............ =......... a N a N... a NN a N... a NN a... a N......... a N... a NN +... = a a... a N..7. Αποδειξτε οτι a a... a N............ =. a N a N... a NN Λυση. Θελουµε να δειξουµε οτι οταν ενας πινακας εχει δυο ιδιες σειρες, η οριζουσα του ειναι µηδεν. Χρησιµποιωντας µια ϐασικη ιδιοτητα των οριζουσων εχουµε : a a... a N a a... a N κ a κ a... κ a N a a... a N............ = a a... a N............ + a a... a N............ a N a N... a NN a N a N... a NN a N a N... a NN Παιρνοντας κ = εχουµε a a... a N a a... a N ( ) a ( ) a... ( ) a N a a... a N............ = a a... a N............ + a a... a N............ a N a N... a NN a N a N... a NN a N a N... a NN a a a a... a N a N... = a a... a N............ = a a... a N............ a N a N... a NN a N a N... a NN Απο την προηγουµενη ασκηση εχουµε οτι η τελευταια οριζουσα ισουται µε. Γενικοτερα, µπορουµε να δειθουµε οτι µια οριζουσα µε δυο οµοιες σειρες ειναι µηδενικη. a a... a N..8. Αποδειξτε οτι a a... a N............ =. a N a N... a NN

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ι T a a... a N a a... a N a a... a N Λυση. a a... a N............ = a a... a N............ = a a... a N............ = a N a N... a NN a N a N... a NN a N a N... a NN (απο την προηγουµενη ασκηση). Γενικοτερα, µπορουµε να δειθουµε οτι µια οριζουσα µε δυο οµοιες στηλες ειναι µηδενικη.. Αλυτα Προβληµατα... Υπολογιστε τις παρακατω οριζουσες., 99 7,, 6, 5 6, 5. ( Απ., 6, 7,,, 6.) a... a...... Αποδειξτε οτι a............... = a a............... = a a...a NN.... a NN a N a N... a NN... Αποδειξτε οτι a a a a + b b b b a + b a + b a + b a + b.... Αποδειξτε οτι a a a a + a b a b = a a + b a a + b...5. Αποδειξτε οτι a κ a a κ a = κ a a a a. Με τι ισουται κ a κ a κ a κ a ; a a a (..6. Ελεγξτε αν a a a a a a = a a a a a a a a a a + a a ) a a a x y + z z..7. Αποδειξτε οτι x + y + z + z + =. + a..8. Αποδειξτε οτι + a + a = a + a. a b..9. Αποδειξτε οτι c d e f = a b c d e f g h. g h

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ι 5 i... Αποδειξτε οτι i =.... Αποδειξτε οτι a b c b + c c + a a + b =....... Αποδειξτε οτι για η οριζουσα N-στης ταξης............... ισουται µε ( ) N (N )...... Αποδειξτε οτι = και οτι =. Μ- πορειτε να γενικευσετε αυτα τα αποτελεσµατα για N N οριζουσα ; x x... Αποδειθτε οτι y y = (x y) (y z) (z x). z z a a a a..5. Αποδειξτε οτι a b b b a b c c = a (b c) (d c) (a b). a b c d..6. Αποδειξτε οτι A B C = A C, οπου ο A και ο C ειναι M M...7. Βρειτε την παραγωγο ως προς x της οριζουσας x x x +. (Απ. x ). x + x e x..8. Βρειτε την παραγωγο ως προς x της οριζουσας x + e x x + e x x 7 x. (Απ. 7x e x + x 5 e x x + x + 9 + 8x e x 6x 5 + e x x + e x x e x 5x e x )...9. Αν για τον πινακα A ισχυει a ij = a ji (οπου z ειναι ο µιγαδικος συζυσης του z), αποδειξτε οτι A ειναι πραγµατικος αριθµος.

Κεφάλαιο Οριζουσες ΙΙ. Θεωρια. Λυµενες Ασκησεις. Αλυτες Ασκησεις 6

Κεφάλαιο 5 Επιλυση Γραµµικων Συστηµατων µε Οριζουσες 5. Θεωρια 5... Εστω το συστηµα N γραµµικων εξισωσεων µε N αγνωστους a x + a x +... + a N x N = b a x + a x +... + a N x N = b... a N x + a N x +... + a NN x N = b N Το συστηµα µπορει να γραφτει και στην µορφη Ax = b. 5... Αν για το παραπανω συστηµα ισχυει A =, τοτε αυτο εχει την µοναδικη λυση (κανονας του Cramer): b a... a N a b... a N a a... b b a... a N a b... a N a a... b.................................... b N a N... a NN a N b N... a NN a N a N... b N x =, x a a... a N =,..., x a a... a N N =. a a... a N a a... a N a a... a N a a... a N.................................... a N a N... a NN a N a N... a NN a N a N... a NN 5... Εστω οτι ο A ειναι M N, και M < N. Το συστηµα Ax = b, δηλ. a a... a N a a... a N............ = a M a M... a MN x x... x N b b... b N 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 8 ειναι µη τετραγωνικο και µαλιστα εχει περισσοτερους αγνωστους αποτι εξισωσεις. Ω- στοσο, µπορει να λυθει µε τον κανονα του Cramer, ως εξης. Το ξαναγραφουµε στην µορφη a a... a M x b b a,m+ a,m+... a,n a a... a M x............... = b... = b... a,m+ a,m+... a,n............ a M a M... a MM x M bn b N a M,M+ a M,M+... a M,N και υπολογιζουµε τους αγνωστους x, x,..., x M συναρτησει των x M+,..., x N. 5... Αν Ax = b, οπου ο A ειναι τετραγωνικος και A, τοτε x = A b. 5..5. Για το τετραγωνικο συστηµα Ax = b ισχυουν τα εξης.. Αν A, το συστηµα εχει µοναδικη λυση αυτη που δινεται απο τον κανονα του Cramer. Στην ειδικη περιπτωση που το συστηµα ειναι οµογενες (b = ) η µοναδικη λυση ειναι η µηδενικη : x = x =... = x N =.. Αν A = και b = (οµογενες συστηµα) το συστηµα εχει την µηδενικη και απειρες αλλες λυσεις.. Αν A = και b (µη οµογενες συστηµα) το συστηµα ϑα εχει ή απειρες η καµµια λυση. 5. Λυµενα Προβληµατα 5... Λυστε τα παρακατω συστηµατα (οπου αυτο ειναι δυνατο) χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. Λυση. Για το x + x = x x =, x + x = 5 x x =, x + x = x + x = x + x = x x = εχουµε Για το x = =, x = =. x + x = 5 x x = x M+ x M+... x M

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 9 εχουµε 5 5 x = =, x = =. Για το x + x = x + x = παρατηρουµε οτι =, οποτε ο κανονα στου Cramer δεν εφαρµοζεται. Επισης παρατηρουµε οτι οι δυο εξισωσεις ειναι ασυµβατες, αρα το συστηµα ειναι ασυµβατο. 5... Λυστε το παρακατω συστηµα χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x + x = x x + x =. x + x + x = Λυση. x = = 5 =, x = = 5 5 =, x = = 5 =. 5... Λυστε το παρακατω συστηµα χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x + x = x x + x =. x + x + x = Λυση. Εχουµε = αρα καταρχην δεν µπορουµε να εφαρµοσουµε τον κανονα του Cramer. Οµως µπορουµε να εφαρµοσουµε το εξης τεχνασµα. Παιρνουµε τις δυο πρωτες εξισωσεις και εχουµε το υπο-συστηµα το οποιο ξαναγραφουµε ως x + x + x = x x + x = x + x = x x x = x.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Για το συστηµα αυτο εχουµε x x x x x = = x, x = =. Επαληθευουµε την τριτη εξισωση. Πραγµατι εχουµε x + x + x = x + + x =. Οποτε η λυση του αρχικου συστηµατος ειναι x x = = x. x Φαινεται δηλαδη οτι το x = t επιλεγεται αυθαιρετα και εχουµε απειρια λυσεων (µια για καθε τιµη του x ). Η λυση µπορει γραφτει και ως εξησ: x = t. 5... Λυστε το παρακατω συστηµα χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x + x = x x + x =. x + x + x = Λυση. Εχουµε = αρα καταρχην δεν µπορουµε να εφαρµοσουµε τον κανονα του Cramer. Οµως µπορουµε να εφαρµοσουµε το εξης τεχνασµα. Παιρνουµε τις δυο πρωτες εξισωσεις και εχουµε το υπο-συστηµα x + x + x = x x + x = το οποιο ξαναγραφουµε ως x + x = x. x x = x Για το συστηµα αυτο εχουµε x x x x x = = x, x = =.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Επαληθευουµε την τριτη εξισωση. Πραγµατι εχουµε x + x + x = x + + x =. Οποτε η λυση του αρχικου συστηµατος ειναι x = + t (απειρια λυσεων). Ποια ειναι η σχεση του συστηµατος µε αυτο της προηγουµενης ασκησης ; Πια ειναι η σχεση των λυσεων ; 5..5. Υπολογιστε τον αντιστροφο του A = µε χρηση του κανονα του Cramer. x x x Λυση. Για A = x x x πρεπει να εχουµε x x x x x x x x x = x x x το οποιο µπορει να ξαναγραφτει ως τρια χωριστα υποσυστηµατα : x x =, x x x =, x x x =. Για το πρωτψο συστηµα εχουµε x = =, x = =, x = = x Με αντιστοιχο τροπο υπολογιζουµε τα x, x,..., x και τελικα παιρνουµε =.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5..6. Λυστε τα συστηµατα των Ασκησεων - µε χρηση του αντιστροφου πινακα. Λυση. Θα µετατρεψουµε καθε συστηµα στην µορφη Ax = b και ϑα ϐρουµε την λυση απο την σχεση x = A b. Για το εχουµε Για το εχουµε x + x = x x = [ ] [ ] A =, b =, A = [ ] [ ] [ ] [ ] x x = = 5 5 =. x 5 5 x + x = 5 x x = [ ] [ ] 5 A =, b =, A = [ ] [ ] [ ] [ ] x x = = 5 =. x [ 5 5 5 5 [ Για το x + x = x + x = παρατηρουµε οτι A = =, οποτε ο A δεν υπαρχει. Για το 5..7. εχουµε x + x + x = x x + x = x + x + x = A =, b =, A 5 5 =, 5 5 5 5 x 5 5 x = x = =. 5 5 x 5 5 Για το x + x + x = x x + x = x + x + x =. ], ],

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5..8. εχουµε A = και A = = αρα ο A δεν υπαρχει. Το ιδιο ισχυει για το 5. Αλυτα Προβληµατα x + x + x = x x + x =. x + x + x = 5... Λυστε τα παρακατω συστηµατα (οπου αυτο ειναι δυνατο) χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x = x x =, x + x = 5 x x =, x + x = 5 x x = (Απ. (x =, x = ), (x =, x = ), (x = 9 5, x = 7 5 )). 5... Λυστε τα παρακατω συστηµατα (οπου αυτο ειναι δυνατο) χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x x = x + x x = 5, x + x = x = x + x + x = x x + x =, x + x + x = x + x x = x x = 5. x + x x = (Απ. (x =, x =, x =, x = 8), (x =, x = x, x = x ), x =, x 6 =, x = )). 5... Λυστε τα παρακατω συστηµατα (οπου αυτο ειναι δυνατο) χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x x = 5 x x + x =, x + x + x = x + x x = 5 x + x x = x + x =, x x + x =. x + x + x = x + x + x = ), (x =, x =, x = ), (x =, x =, x = ) ). (Απ. ( x =, x = 8, x = 5... Λυστε τα παρακατω συστηµατα (οπου αυτο ειναι δυνατο) χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x + x x = x + x x = x + x 5x =, x + x x = x + x x = x + x 5x =, x + x x = x + x x = x + x 5x =. (Απ. ( x = x, x = x, x = x ), (x = x, x = x, x = x + ), δεν εχει λυση.)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5..5. Λυστε τα συστηµατα των Ασκησεων - µε χρηση του αντιστροφου πινακα. 5..6. Λυστε τα παρακατω συστηµατα (οπου αυτο ειναι δυνατο) χρησιµοποιωντας τον κανονα του Cramer. x 9. x = (Απ. x = 7 8 ). x x 9. x = (Απ. x = 7 8 ). x 5 x ˆt. x = (Απ. x = ˆt 7 + ). x ˆt + 5 x. x x = (Απ. x = ). 5 x 5 5 x 5 5. x x = (Απ. x = ). 5 x 5 5 x 6. x x = (Απ. x = ). x 5..7. Λυστε τα συστηµατα της Ασκησης 6 µε χρηση του αντιστροφου πινακα. 5..8. Λυστε τα παρακατω συστηµατα. a b. a a = (Απ. x = a + a + a + b x x x.. a b c b c a a + b b + c c + a x x x = x x x / = (Απ. x = (Απ. x = ˆt ˆt + ˆt +bˆt +a a ˆt +a a+abˆt + aˆt +a ˆt c cˆt +abˆt b ac b+bcˆt a ˆt b ac ). ˆt ). ).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 5 5..9. Λυστε τα παρακατω συστηµατα.. a b a a b a x x x = (Απ. x = a b a + a+b+ b a a + b a + a a b c x c. b c a x = (Απ. x = +bc ab a a c +bc ab a ). b+c c b a x c +bc ab a a x a. a x = (Απ. x = a ). x a... x a N a... x.... a x.................. =... (Απ. x =... a a ).... x N ).

Κεφάλαιο 6 Λυση Συστηµατων µε Απαλοιφη Gauss 6. Θεωρια a x +a x +...+a N x N = b a x +a x +...+a N x N = b 6... Εστω το (γενικα µη τετραγωνικο) συστηµα.... a M x +a M x +...+a MN x N = b M a a... a N b [ 6... Ο επαυξηµενος πινακας του συστηµατος ειναι ο A b ] = a a... a N b............. a M a M... a MN b N 6... Λεµε οτι ο M N πινακας C ειναι σε κλιµακωτη µορφη αν υπαρχουν αριθµοι n, n,..., n M τετοιοι ωστε. = n < n <... < n M.. Για m =,,..., M εχουµε c mn = οταν n < n m και c mnm. 6... Τα στοιχεια c, c n,..., c nm λεγονται κοµβοι. Αν n =, n =, n =,..., n M = M, τοτε λεµε οτι ο πινακας ειναι σε τριγωνικη µορφη. 6..5. Απο το συστηµα Ax = b [ σχηµατιζουµε τον επαυξηµενο πινακα A b ]. Αν αυτος ειναι σε κλιµακωτη (τριγωνικη) µορφη, λεµε οτι και το συστηµα Ax = b ειναι σε κλιµακωτη (τριγωνικη) µορφη. r r 6..6. Εστω πινακας C =... r M. Οριζουµε τωρα τρεις γραµµοπραξεις... Εναλλαγη Γραµµων. Εναλλαγη των r m και r n, συµβολιζεται r m r n.. Πολλαπλασιασµος Γραµµης επι Αριθµο. Αντικατασταση της r m απο ενα πολλαπλασιο του εαυτου της, συµβολιζεται r m kr m, οπου k. 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS 7. Προσθεση Γραµµων. Αντικατασταση της r m απο το αθροισµα του εαυτου της και ενος πολλαπλασιου της r n, συµβολιζεται r m r m + kr n, οπου k. 6..7. Ο Αλγοριθµος Απαλοιφης του Gauss ειναι ο εξησ: Με χρηση γραµµοπραξεων ϕερνουµε τον επαυξηµενο πινακα σε κλιµακωτη µορφη κατοπιν λυνουµε το αντιστοιχο συστηµα (το οποιο εχει τις ιδιες λυσεις µε το αρχικο). 6..8. Το συστηµα Ax = b µπορει παντα να µετασχηµατιστει σε κλιµακωτη µορφη, για την οποια ϑα ισχυει ενα απο τα εξης ενδεχοµενα.. Αν η κλιµακωτη µορφη εχει µια η περισσοτερες εξισωσεις της µορφης = b m το συστηµα δεν εχει καµµια λυση (ειναι αδυνατο).. Αν η κλιµακωτη µορφη δεν εχει εξισωσεις της µορφης = b m και δεν ειναι τριγωνικη το συστηµα εχει απειρες λυσεις.. Αν η κλιµακωτη µορφη ειναι τριγωνικη το συστηµα εχει µοναδικη λυση. 6. Λυµενα Προβληµατα 6... Λυστε το συστηµα x + x + x = x + x =. x + x + x = 7 Λυση. Αφαιρουµε απο την δευτερη εξισωση ϕορες την πρωτη και προσθετουµε στην τριτη εξισωση ϕορες την πρωτη : x + x + x = x + x + x = x + x (x + x + x ) = x x =. x + x + x + (x + x + x ) = 7 + x + x = 8 Κατοπιν προσθετουµε στην τριτη εξισωση δυο ϕορες την δευτερη x + x + x = x + x + x = x x = x x =. x + x + ( x x ) = 8 + ( ) x = `Το τελικο συστηµα ειναι ισοδυναµο µε το αρχικο (δηλ. εχει τις ιδιες λυσεις). Τωρα λυνω το τελικο συστηµα ως εξης. x = x =, x x = x =, x + x + x = x = x =. ηλ. η λυση (του τελικου και του αρχικου συστηµατος) ειναι x =, x =, x =.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS 8 6... Λυστε το ιδιο συστηµα γραµµενο σε µορφη πινακων x x =. 7 και χρησιµοποιωντας γραµµοπραξεις. Λυση. Ο επαυξηµενος πινακας ειναι. (6.) 7 Με τις γραµµοπραξεις r r + ( ) r και r r + r ο (6.) γινεται + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = + + + 7 + 8 (6.) Με την γραµµοπραξη r r + r το δεξι µελος της (6.) γινεται = (6.) + + ( ) + ( ) 8 + ( ) Απο τον επαυξηµενο πινακα στο δεξι µελος της (6.) παιρνουµε τους πινακες A =, b = και το αρχικο συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση πινακων x x = δηλ. x + x + x = x x = x = το οποιο µπορει να λυθει µε προς-τα-πισω-αντικατασταση: x = x =, x x = x =, x x x + x + x = x = x =. ηλ. η λυση (του τελικου και του αρχικου συστηµατος) ειναι x =, x =, x =.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS 9 6... Λυστε το συστηµα x + x + x = 6 x + x + x = 8. x + x = Λυση. Ο επαυξηµενος πινακας ειναι 6 8 Με γραµµοπραξεις εχουµε 6 r r + ( ) r 8 r r 6 r r Το τελικο συστηµα, που ειναι ισοδυναµο µε το αρχικο, ειναι : x + x + x = 6 x = x + x = x = x = x = 6... Λυστε το συστηµα x x x x Λυση. Ο επαυξηµενος πινακας ειναι 5 5 =. 6 Με εφαρµογη των r r r, r r r παιρνουµε 5 5 ( ) 5 = 7 7 ( ) 5 Με εφαρµογη της r r r παιρνουµε 5 5 7 7 = 7 7 ( 7) ( 7) που αντιστοιχει στο συστηµα 7 x x x x = 5 7,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS αλλα η τελευταια εξισωση δεν επηρεαζει την λυση και ετσι εχουµε ισοδυναµα [ ] x [ ] x 7 = 5 7 Οι αντιστοιχες εξισωσεις ειναι απο τις οποιες προκυπτει x = 7 + 7x x x x + x x + x = 5 x 7x = 7 x = 5 x + x x = 5 x + (7x 7) x = 9 x + x Η τελικη λυση ειναι x = 9 a, x = b, x = a, 7 + 7b, x = b, οπου a, b αυθαιρετες σταθερες. ηλαδη το συστηµα εχει απειρες λυσεις που µπορουν να γραφουν και µε την µορφη : x 9 x x = 7 + a + b 7. 6..5. Λυστε το συστηµα 5 7 x x x x x Λυση. Ο επαυξηµενος πινακας ειναι 5 7 5 =. 5 Με τις r r r και r r 5 r παιρνουµε ( ) = 7 7 5 5 5 7 5 5 ( ) 5 5 5 5 Με την r r r παιρνουµε 5 7 7 = 7 ( 7) 5 ( 5) 5 7 7 5.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS Το αντιστοιχο συστηµα ειναι 7 x x x x = 5 7 5 και ϐλεπουµε οτι η τελευταια εξισωση ειναι x + x + x + x = 5, η οποια ειναι αδυνατη. Το τελικο (αρα και το αρχικο) συστηµα δεν εχει λυση. 6..6. Λυστε το συστηµα Λυση. x x x x x 5 Ο επαυξηµενος ειναι. Εχουµε και 5 Οποτε οι εξισωσεις γινονται r r r r r r r r r x + x + x + x x 5 = = 5 5 Η τριτη δινει οτι x + x x 5 = x x x + 5x 5 = x + x x 5 = x = x + x 5 +. Αντικαθιστωντας στην δευτερη παιρνουµε ( x x + ) x 5 + x + 5x 5 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS οποτε x = x + x 5 +. Τελος, αντικαθιστωντας στην πρωτη εχουµε ( x + x + x 5 + ) ( + x + ) x 5 + + x x 5 = οποτε Τελικα x = x x x x x 5 x = x x 5 +. x x 5 + / / / = x + x 5 + x + x 5 + = / + a / / + b / /. 6..7. Λυστε το συστηµα x = 6 Λυση. Ο επαυξηµενος ειναι και µε γραµµοπραξεις γινεται οποτε οι εξισωσεις ειναι x x 5 6 6 x + x + x = x 6x = x = και αρα x =, x = ( 6) / ( ) = και x =. Τελικα x =.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS 6..8. Λυστε το συστηµα x = Λυση. Ο επαυξηµενος ειναι και µε γραµµοπραξεις γινεται 8 6 8 6 8 6 6. Η τριτη εξισωση δεν δινει καµµια πληροφορια (=). Οι δυο πρωτες γινονται x + x + x = 8 x 6x = 6 οποτε x = (6 6x ) / = x και x = + 5x. Τελικα 5 x = + a. 6..9. Λυστε το συστηµα x = Λυση. Εξουµε 8 8 8 6 6 Αυτο σηµαινει οτι η τελευταια εξισωση ειναι = που ειναι αδυνατη. Αρα το συστηµα ειναι αδυνατο. 6... Λυστε το συστηµα [ Λυση. Εχουµε [ 6 5 ] ] [ 6 x = 5 ] [ 6 ]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS οποτε και τελικα 6. Αλυτα Προβληµατα x + x + x = 6 x + x = 9/ / / x = / + a / + b 6... Υπολογιστε την κλιµακωτη µορφη των παρακατω πινακων.. (Απ. 8 ). 7 9 7 7. (Απ. 8 5 7 ). 7 5 9 6 6 6. 5 (Απ. 6 ). 7. 5 (Απ. 6 8 6 6 9 8 ). 6 6 a a a a 5. a a (Απ. a a a ). a a a + a 6 6... Λυστε τα παρακατω συστηµατα µε απαλοιφη Gauss. [ ] [ ] [ ] 8. x = (Απ. x =.) 8 [ ] [ ] [ ] [ ] 8 8. x = (Απ. x = + a.) 6 6. x = (Απ. x =.) 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS 5 5. x = (Απ. x = a.) 8 5 5. x = (Απ. x = + a.) 6 8 6. x = (Απ. Το συστηµα ειναι αδυνατο.) 7. x = 5 (Απ. x = + a.) 5 [ ] [ ] 6 6 8. x = (Απ. x = 5 + a + b.) 6 9. x = (Απ. x = 5 9 + a + b 7 7.). x = (Απ. Το συστηµα ειναι αδυνατο.) 6... Λυστε τα παρακατω συστηµατα µε απαλοιφη Gauss και µε τον κανονα του Cramer. Συγκρινετε τις απαντησεις. [ ] [ ] [ ] 8. x = (Απ. x =.) 8. x = (Απ. x =.) 6. x = 5 (Απ. x = + a.) 5. x = (Απ. x = + a.)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAU SS 6 8 5. x = (Απ. x =.)

Κεφάλαιο 7 ιανυσµατικοι Χωροι 7. Θεωρια 7... Ενα διανυσµα στο επιπεδο R ειναι ενα Ϲευγος αριθµων (x, x ). Ακριβεστερα, ενα τετοιο διανυσµα ειναι ενα ευθυγραµµο τµηµα το οποιο αρχιζει στην αρχη των αξονων και τελειωνει στο σηµειο του επιπεδου (x, x ). Στην πραγµατικοτητα, το (x, x ) δεν αντιπροσωπευει µονο το συγκεκριµενο ευθυγραµµο τµηµα, αλλα ολα τα ευθυγραµµα τµηµατα µε το ιδιο µηκος, διευθυνση και ϕορα δηλ. µιλαµε για ελευθερα διανυσµατα. 7... Μπορουµε να αντιστοιχισουµε σε καθε τριαδα (x, x, x ) ενα διανυσµα στο (τριδιαστατο) χωρο. 7... Γενικοτερα, ενα διανυσµα στον N-διαστατο χωρο ειναι µια N-αδα (x, x, x,..., x N ). Θα συµβολιζουµε το συνολο των N-διαστατων διανυσµατων µε R N : R N = {x : x = (x, x,..., x N ), µε x, x,..., x N R}. 7... Μπορουµε ακοµη ϑα συµβολιζουµε τα διανυσµατα µε πινακες-γραµµες ή πινακεςστηλες. ηλ. αντι για (x, x,..., x N ) ϑα γραφουµε x = [ ] x x... x N ή x = x x... x N. 7..5. Το µηδενικο διανυσµα (η αρχη των αξονων) ειναι = [... ] ή =.... 7..6. Εστω δυο οποιαδηποτε διανυσµατα του N-διαστατου χωρου, a, b R N, και δυο οποιοιδηποτε αριθµοι x, y R. Τοτε η εκφραση xa + yb λεγεται γραµµικος συνδυασµος των a και b. Ο γραµµικος συνδυασµος δυο διανυσµατων ειναι επισης ενα διανυσµα. ηλ. για οποιοδηποτε N ισχυει x, y R, a, b R N : xa + yb R N. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 8 7..7. Γενικοτερα, εστω K διανυσµατα a, a,..., a K. Τοτε το διανυσµα x a + x a +... + x K a K, οπου οι x, x,..., x K ειναι αριθµοι, λεγεται γραµµικος συνδυασµος των a, a,..., a K. 7..8. Ενα συνολο διανυσµατων S λεγεται διανυσµατικος χωρος αν εχει την ιδιοτητα a, b S, x, y R : xa + yb S. 7..9. Εστω ενας Χ S και ενα συνολο διανυσµατων T S. Λεµε οτι το ο T ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του S αν εχει την ιδιοτητα a, b T, x, y R : xa + yb T. 7... Λεµε οτι το συνολο διανυσµατων {a, a,..., a N } ειναι γραµµικα ανεξαρτητο ανν x a +x x +...+x N a N = x = x =... = x N =. Λεµε οτι το {a, a,..., a N } ειναι γραµµικα εξαρτηµενο ανν υπαρχουν αριθµοι x, x,..., x N, οχι ολοι ισοι µε µηδεν, τετοιοι ωστε x a +x x +...+x N a N =. 7... Ισοδυναµα, το συνολο {a, a,..., a N } ειναι γραµµικα ανεξαρτητο αν το συστηµα Ax = (οπου A = [ ] a a... a N ) εχει µονο την µηδενικη λυση. 7... Το συνολο {a,..., a N } ειναι γραµµικα εξαρτηµενο ανν τουλαχιστον ενα απο τα a,..., a N µπορει να εκφραστει σαν γραµµικος συνδυασµος των υπολοιπων. 7... Το συνολο {a,..., a N } (οπου τα τα a, a,..., a N ειναι διανυσµατα του R N ) ειναι γραµµικα εξαρτηµενο ανν A = (οπου A = [ ] a a... a N ). 7... Η διασταση ενος διανυσµατικου χωρου S συµβολιζεται µε dim(s) και οριζεται ως εξης dim(s) =. \ο µεγιστος αριθµος γρ. ανεξαρτητων διανυσµατων του S" 7..5. Εστω ενας Χ S για τον οποιο ισχυει dim (S) = N. Αν {a,..., a N } S ειναι ενα γρ. ανεξαρτητο συνολο, τοτε λεµε οτι αυτο ειναι µια ϐαση του S. 7..6. Εστω ενας Χ S για τον οποιο ισχυει dim (S) = N. Εστω οτι το {a,..., a N } ειναι µια οποιαδηποτε ϐαση του S. Τοτε καθε διανυσµα b S γραφεται ως γραµµικος συνδυασµος της ϐασης. ηλ. υπαρχουν αριθµοι x, x,..., x N τετοιοι ωστε b = x a + x a +... + x N a N. 7..7. Εστω ενας Χ S και τα διανυσµατα a,..., a M S. Το αναπτυγµα των a,..., a M γραφεται span (a,..., a M ) και οριζεται ως εξησ: span (a,..., a M ) = {b : b =x a + x a +... + x M a M µε x, x,..., x M R}. Λεµε και οτι τα a,..., a M γεννουν το span (a,..., a M ). 7..8. Το span (a,..., a M ) ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του S. 7..9. Αν τα a,..., a M ειναι µια ϐαση του S, τοτε S = span (a,..., a M ). ηλαδη µια οποιαδηποτε ϐαση του S γεννα τον S.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 9 7. Λυµενα Προβληµατα 7... Εστω τα -διαστατα διανυσµατα x=, y=, z =. Υπολογιστε τους γραµµικους συνδυασµους x + y, z y, x + y + z Λυση. Εχουµε x + y= + =, z y= =, x + y + z= + + = 9, 7... ειξτε οτι το επιπεδο R ειναι ενας Χ; Βρειτε µερικους διανυσµατικους υποχωρους αυτου. [ ] [ ] [ ] x y ax + by Λυση. Για καθε x = και y = εχουµε οτι ax+by = R x y ax + by. Αρα ο R. Θεωρειστε τωρα τον \πρωτο αξονα" αυτος µπορει να οριστει ως εξης { [ ]} x T = x : x =. Ο T ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του R. ιοτι, αν ϑεωρησουµε x, y T, ϑα εχουµε [ ] [ ] x y x =, y = και τοτε για καθε a, b R ϑα εχουµε [ ] x ax + by = a + b [ y ] [ ] ax + by = T. { [ Ο \δευτερος αξονας", ο οποιος µπορει να οριστει ως εξησ: U = x : x = x ]}, ειναι επισης ενας διανυσµατικος υποχωρος του R (γιατι ;). Γενικοτερα, µια ευθεια του R που περναει απο την αρχη των αξονων µπορει να γραφτει ως εξης { [ ]} x W = x : x = kx

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5 (γιατι ;) και ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του R. ιοτι, αν ϑεωρησουµε x, y W, ϑα εχουµε [ ] [ ] x y x =, y = kx ky και τοτε για καθε a, b R ϑα εχουµε [ ] x ax + by = a + b kx [ y ky ] [ = ] ax + by W. k (ax + by ) Τελος, αξιζει να σηµειωσουµε οτι το συνολο που περιεχει µονο µηδενικο διανυσµα, δηλ. X = {} (δηλ. η αρχη των αξονων) ειναι επισης ενας υποχωρος του R. ιοτι αν παρουµε x, y X, τοτε ϑα πρεπει να εχουµε x = y =, οποτε για καθε a, b R ϑα εχουµε ax + by = a + b = X. 7... ωστε παραδειγµατα αναλογα µε αυτα της προηγουµενης ασκηση για τον R. Λυση. Για προφανεις λογους, ο τριδιαστατος χωρος R ειναι ενας διανυσµατικος χωρος. Επισης, οι τρεις του αξονες ειναι διανυσµατικοι υποχωροι. Π.χ., ο αξονας R γραφεται ως εξησ: A = x : x = και ειναι ευκολο να δειχτει οτι ολοι οι γραµµικοι συνδυασµοι στοιχειων του A ειναι επισης στοιχεια του A (δηλ. αν σχηµατισουµε οποιοδηποτε γραµµικο συνδυασµο διανυσµατων απο αυτο τον αξονα, ο γραµικος συνδυασµος ανηκει στον αξονα επισης). Αρα ο A ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του R. Παροµοια, ϑεωρειστε το επιπεδο του R που οριζεται ως εξησ: x B = x : x = x (γιατι ειναι αυτο ενα επιπεδο ; ποιο επιπεδο ειναι ;). Τοτε για οποιαδηποτε x, y B και a, b R εχουµε x y x + y x + y = x + y = x + y B (δηλ. αν σχηµατισουµε οποιοδηποτε γραµµικο συνδυασµο διανυσµατων απο αυτο το επιπεδο, ο γραµικος συνδυασµος ανηκει στον επιπεδο επισης). Αρα το B ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του R. Το ιδιο ισχυει για το επιπεδο x C = x : x = x οπως και για το επιπεδο D = x : x = x x x.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5 Γενικοτερα, εστω ενα επιπεδο E του R το οποιο µπορει να γραφτει ως εξησ: x E = x : x = x. kx + λx Καθε τετοιο επιπεδο περναει απο την αρχη των αξονων (γιατι ;). Τοτε για οποιαδηποτε x, y E και a, b R εχουµε x y x + y x + y = x kx + λx + y ky + λy = x + y k (x + y ) + λ (x + y ) E, Αρα ο E ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του R. Και τελος το X = {} ειναι ενας υποχωρος του R. 7... ειξτε οτι το υποσυνολο T του R που οριζεται απο την σχεση x T = x : x, x, x R, x + x + x x δεν ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος του R. ωστε µια γεωµετρικη ερµηνεια του συνολου T και εξηγειστε γεωµετρικα γιατι δεν ειναι ενας διανυσµατικος υποχωρος. / Λυση. Ευκολ αβλεπουµε οτι x = / T. Οµως το y = 5x δεν ανηκει στον T. 7..5. ειξτε οτι τα διανυσµατα,, του R ειναι γραµµικα ανεξαρτητα. Λυση. Πραγµατι, αν εχουµε αριθµους x, x, x τετοιους ωστε x + x + x = τοτε ϑα ισχυει το συστηµα δηλ. x = x = x =. 7..6. ειξτε οτι τα διανυσµατα του R ειναι γραµµικα ανεξαρτητα. x + x + x = x + x + x = x + x + x =,,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5 Λυση. Πραγµατι, αν εχουµε αριθµους x, x, x τετοιους ωστε x + x + x = τοτε ϑα ισχυει το συστηµα x + x + x = x + x + x = x x x =. Απο την πρωτη εξισωση εχουµε x =. Αντικαθιστωντας στην δευτερη εχουµε x + x = +x =, οποτε x =. Τελος, αντικαθιστωντας στην τριτη, εχουµε x x x = x =, οποτε x =. [ ] [ ] 7..7. ειξτε οτι τα διανυσµατα, ειναι γραµµικα ανεξαρτητα. Λυση. Αν εχουµε αριθµους x, x τετοιους ωστε [ ] [ ] [ ] x + x = τοτε ϑα ισχυει το συστηµα x + x = x x =. Απο την δευτερη εξισωση εχουµε x = x. Αντικαθιστωντας στην πρωτη εχουµε x +x = x =, οποτε x = x = και τα διανυσµατα ειναι γραµµικα ανεξαρτητα. [ ] [ ] 7..8. ειξτε οτι τα διανυσµατα, δεν ειναι γραµµικα ανεξαρτητα Λυση. Αν εχουµε αριθµους x, x τετοιους ωστε [ ] [ ] [ ] x + x = τοτε ϑα ισχυει το συστηµα x + x = x + x =. Το συστηµα αυτο εχει λυσεις της µορφης x = a, x = a/. Π.χ., µια λυση ειναι η x =, x = / µε αλλα λογια ισχυει [ ] ( + ) [ ] [ ] = [ ] δηλ. τα διανυσµατα ειναι γραµµικα εξαρτηµενα. Παρατηρειστε οτι, γεωµετρικα, τα, [ ] ειναι συγγραµικα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5 7..9. ειξτε οτι τα τα,, ειναι γραµµικα εξαρτηµενα. 6 Λυση. Αν εχουµε αριθµους x, x, x τετοιους ωστε x + x + x = 6 τοτε ϑα ισχυουν οι εξισωσεις x + x x = x + x x = x + 6x x =. Το συστηµα αυτο εχει λυση x = a + b, x = a, x = b. Π.χ., µια λυση ειναι x =, x =, x =. ηλαδη + + = 6 και τα διανυσµατα ειναι γραµµικα εξαρτηµενα. Παρατηρειστε οτι, γεωµετρικα, τα διανυσ- µατα ειναι συγγραµικα. 5 7... ειξτε οτι τα,, 5 ειναι γραµµικα εξαρτηµενα. Λυση. Αν εχουµε αριθµους x, x, x τετοιους ωστε 5 x + x + x 5 = τοτε ϑα ισχυει το συστηµα x + x + 5x = x + x + 5x = x x + x =. το οποιο εχει λυσεις της µορφης x = a, x = a, x = a. Π.χ., µια λυση ειναι x =, x =, x =. ηλαδη 5 + 5 = και τα διανυσµατα ειναι γραµµικα εξαρτηµενα. Παρατηρειστε οτι, γεωµετρικα, τα διανυσ- µατα ειναι συνεπιπεδα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 5 7... ειξτε οτι τα,, ειναι γραµµικα ανεξαρτητα Λυση. Αυτο ισχυει επειδη =. 7... ειξτε οτι τα,, ειναι γραµµικα ανεξαρτητα. Λυση. Αυτο ισχυει διοτι =. 5 7... ειξτε οτι τα,, 5 ειναι γραµµικα εξαρτηµενα. 5 Λυση. Πραγµατι 5 =. 7... ειξτε οτι η διασταση του R ειναι, δηλ. dim (R ) =. Λυση. Αφενος [ ] υπαρχουν [ ] τουλαχιστον δυο γραµµικα ανεξαρτητα διανυσµατα[ στον ] R (π.χ. τα, ειναι γραµµικα ανεξαρτητα το ιδιο ισχυει και για τα, [ ] ). Απο την αλλη µερια, ας υποθεσουµε οτι υπαρχουν τρια γραµµικα ανεξαρτητα διανυσµατα, εστω οτι ειναι τα [ ] [ ] [ ] a a a a =, a =, a =. a Αν τα a, a, a ειναι γρ. αν., τοτε ϑα ειναι γρ. αν. και τα a, a (γιατι ;). Οποτε ϑα ισχυει a a a a. (7.) Αντιστοιχα, ϑα ειναι γρ. ανεξαρτητα τα a, a, οποτε ϑα ισχυει a a a a (7.) οπως και τα τα a, a, οποτε ϑα ισχυει a a a a (7.) a a

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 55 Επισης, αν ειναι γρ. ανεξαρτητα τα a, a, a, τοτε το συστηµα a x + a x + a x = a x + a x + a x = ϑα εχει µονο την µηδενικη λυση. Οµως, αν ξαναγραψουµε το συστηµα ως a x + a x = a x (7.) a x + a x = a x παρατηρουµε οτι (αφου a a a a ) αυτο εχει λυσεις a x a a x a a a a a x = a a = a a a a x a a a a x a a x a a a a x = a a = a a a a x. a a Αλλα, απο τις (7.) (7.) προκυπτει οτι οταν x τοτε και x, x. Αρα κακως υπθεσαµε οτι υπαρχουν τρια γρ. αν. διανυσµατα στον R. Ο µεγιστος αριθµος γρ. αν. διανυσµατων ειναι δυο, δηλαδη dim (R ) =. 7..5. ειξτε οτι dim (R )= Λυση. Τα a =, a =, a = ειναι τρια γρ. αν. διανυσµατα του R, ο οποιος εχει διασταση. Αρα τα a, a, a ειναι µια ϐαση του R. 7..6. Βρειτε δυο ϐασεις του R. Λυση. Τα a =, a =, a = ειναι τρια γρ. αν. διανυσµατα του R, ο οποιος εχει διασταση. Αρα τα a, a, a ειναι µια ϐαση του R. Μια αλλη ϐαση (για του ιδιους λογους) ειναι τα,, (παρατηρειστε οτι = 5.) 7..7. Βρειτε µιαϐαση του R. Λυση. Π.χ. τα,,, ειναι µια ϐαση του R.