Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

ii Περιεχόμενα Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το 1969. Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 1979 και από το 197 μέχρι σήμερα εργάζεται σ αυτό. ISBN 978-960-456-183-4 Copyright 009 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ Eκδόσεις ZHTH Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία www.ziti.gr Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 39.07. - Fax: 39.07.9 e-mail: info@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7-546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ.: 310-03.70 Fax 310-11.305 e-mail: sales@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) - 105 64 AΘHNA Tηλ.-Fax: 10-311.097 AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 114 71 Aθήνα Tηλ.-Fax: 10-3816.650 e-mail: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις iii H Φύση είναι μια συνέχεια απέραντη χωρίς αρχή και τέλος ένα αδιάκοπο γίγνεσθαι. Εκείνος που παρατηρεί κάνει αναγκαστικά ένα κομμάτιασμα στη Φύση ξεσηκώνει αυθαίρετα ένα κομμάτι και του βάζει ο ίδιος αρχή και τέλος. Το φαινόμενο που το πήραμε έτσι χωριστά το ειδικεύουμε μπορούμε να το βάλουμε σε κάποιο γένος να το θεωρήσουμε όμοιο με άλλα φαινόμενα. Το ξεχώρισμα αυτό το τεχνητό επιτρέπει να το περιγράψουμε να το ταξινομήσουμε να του δώσουμε όνομα και να το μετρήσουμε. Στη Φύση όμως τίποτε δεν είναι όμοιο πολύ λιγότερο το ίδιο μ ένα άλλο. Τα πράγματα γίνονται όμοια αν κλείσουμε το μάτι στις διαφορές τους. Η επιστήμη είναι μια γλώσσα που μας χρησιμεύει για να μεταφράσουμε σ αυτή τα φαινόμενα. Στη γλώσσα αυτή τίποτε δεν είναι κυριολεξία παρά όλα μεταφορές. Το γεγονός είναι μεταφορά του δοσμένου ο νόμος πάλι μεταφορά του πρώτου δηλαδή μεταφορά μεταφοράς. Χ. ΘΕΟΔΩΡΙΔΗ Εισαγωγή στη Φιλοσοφία ( η Έκδοση) (Γνωσιοθεωρία - ΙΙ. Το πρόβλημα για τη δυνατότητα) Εκδόσεις ΕΣΤΙΑΣ Αθήνα 1955

iv Περιεχόμενα Αφιερώνεται σ όλους όσους αγωνίζονται για το σεβασμό και την αλληλοκατανόηση της διαφορετικότητας των λαών και τη διατήρηση της παγκόσμιας ειρήνης.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις v Πρόλογος Τα φυσικά φαινόμενα συνήθως εκφράζονται καλύτερα με τις μερικές διαφορικές εξισώσεις γι αυτό και η γνώση τους μετά τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι απαραίτητες για τη μελέτη και την ανάλυση των προβλημάτων. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται οι μαθηματικές μέθοδοι για τη μελέτη και την επίλυση των διαφόρων μορφών των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο 1 αναφέρονται οι γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης το πρόβλημα του Cauchy (το πρόβλημα της αρχικής τιμής) οι εξισώσεις ολικών διαφορικών και η μέθοδος του Charpit για τις μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Στο κεφάλαιο μελετώνται οι βασικές μορφές οι ομογενείς και οι μη ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς και μη σταθερούς συντελεστές δεύτερης τάξης η μέθοδος της αναγωγής στην κανονική μορφή το πρόβλημα του Cauchy (το πρόβλημα της αρχικής τιμής) και η μέθοδος του διαχωρισμού των μεταβλητών. Στο κεφάλαιο 3 γίνεται ταξινόμηση των γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων και αναπτύσσεται μέθοδος επίλυσης των ολικά υπερβολικών γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο 4 δίνονται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων (μερικές εξισώσεις διαφορών μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς μέθοδος των χαρακτηριστικών). Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται αρκετά παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των μεθόδων που αναπτύσσονται και ασκήσεις. Στο κεφάλαιο 5 παραθέτουμε λυμένα προβλήματα που αναφέρονται σ όλη την ύλη των προηγούμενων κεφαλαίων και στο Κεφάλαιο 6 δίνονται ορισμένες χαρακτηριστικές εφαρμογές των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Τέλος ο τίτλος του βιβλίου είναι μετάφραση της αγγλικής ονομασίας Partial Differential Equations. Θεσσαλονίκη 009 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις vii Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Βασικές έννοιες και ορισμοί... 3. Ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης... 5 3. Εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 1. Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης... 1 1.1 Το πρόβλημα του Cauchy... 35. Εξισώσεις ολικών διαφορικών... 51 3. Μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Μέθοδος του Charpit... 60 3.1 Το πρόβλημα του Cauchy... 69 4. Ασκήσεις... 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 1. Ειδικές μορφές... 83. Ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές... 88.1 Αναγωγή στην κανονική μορφή... 95. Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών... 101 3. Μη ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης Αναγωγή στην κανονική μορφή... 105 4. Το πρόβλημα του Cauchy... 10 5. Διαχωρισμός των μεταβλητών... 139 6. Ασκήσεις... 144

viii Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Ταξινόμηση των γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων... 151. Ολικά υπερβολικά γραμμικά συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων... 164 3. Ασκήσεις... 186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Αναγωγή μερικών διαφορικών εξισώσεων σε μερικές εξισώσεις διαφορών... 191 1.1 Μέθοδος των τελεστών... 194 1. Μέθοδος του Laplace... 05 1.3 Μέθοδος του Lagrange Μέθοδος του διαχωρισμού των μεταβλητών... 09 1.4 Συστήματα μερικών εξισώσεων διαφορών... 15. Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς... 19 3. Μέθοδος των χαρακτηριστικών... 8 4. Ασκήσεις... 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Λυμένα προβλήματα... 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Κυματική εξίσωση... 39. Εξίσωση της θερμότητας... 335 3. Εξίσωση του τηλεγράφου... 338 4. Εξίσωση του Schrödinger... 34 5. Το άτομο του υδρογόνου... 347

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ix 6. Εξίσωση του Helmholtz... 350 7. Εξισώσεις του Maxwell...353 8. Εξίσωση της Ελαστικότητας...357 Βιβλιογραφία...371 Ευρετήριο όρων...37

x Περιεχόμενα Βιβλία του συγγραφέα ΘΩΜΑ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ Α. Διακριτά Μαθηματικά 1. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (σελ. 55 001).. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα) (σελ. 164 001). Β. Διαφορικές Εξισώσεις 1. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ Tόμος Πρώτος (σελ. 480 1987).. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ Tόμος Δεύτερος (σελ. 400 1988). 3. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ Tόμος Tρίτος (σελ. 478 1991) (Ποιοτική Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις) (σελ. 560 1998). 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (σελ. 51 007). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα) (σελ. 18 1993). 7. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN (σελ. 30 1994). 8. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (σελ. 384 009). Γ. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός 1. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής (Τεύχος Πρώτο σελ. 640 001 Τεύχος Δεύτερο σελ. 31 001).. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής (σελ. 64 005). 3. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών (σελ. 40 007). Δ. Σειρά Μαθηματικών 1. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τόμος Πρώτος (σελ. 68 005). (Άλγεβρα Αναλυτική Γεωμετρία Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός). ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τόμος Δεύτερος (σελ. 616 006). (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών) 3. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τόμος Τρίτος (σελ. 504 005). (Διανυσματική Ανάλυση Σειρές Fourier Μιγαδικές Συναρτήσεις Διαφορικές Εξισώσεις Εξισώσεις Διαφορών). Ε. Τοπολογία 1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ (Ασκήσεις) (σελ. 400 1977).. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ (σελ. 336 009).

Εισαγωγή 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 Βασικές έννοιες και ορισμοί Πολλά φυσικά φαινόμενα όπως στον τομέα της δυναμικής των ρευστών του ηλεκτρισμού του μαγνητισμού της οπτικής ή της διάδοσης της θερμότητας μπορούν να περιγραφούν γενικά με μερικές διαφορικές εξισώσεις. Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συνήθως περιγράφουν με περισσότερη ακρίβεια τα φυσικά προβλήματα και η μελέτη τους παρουσιάζει μεγαλύτερες δυσκολίες από τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Με την έκφραση μερική διαφορική εξίσωση (θα γράφουμε σύντομα ΜΔΕ) εννοούμε μια εξίσωση της μορφής Ê u u u u u ˆ FÁx x º x u º º = 0 Ë 1 n 1 1 1 όπου u= u( x1 x º x n ) δηλαδή περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x1 x º xn την άγνωστη συνάρτηση αυτών u= u( x1 x º x n ) και τις μερικές παραγώγους της μέχρι μιας ορισμένης τάξης. Η μεγαλύτερη τάξη της παραγώγου της u λέγεται τάξη της μερικής διαφορικής εξίσωσης. Λύση της ΜΔΕ είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση u= φ( x x º x ) ( x x º x ) ŒDÃo 1 n 1 Ê φ φ φ φ φ ˆ FÁx x º x φ º º = 0 Ë 1 n 1 1 1 n n για κάθε ( x1 x º xn) Œ D. Π.χ. η ΜΔΕ u u + = 0

4 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις όπου u= u( x y) είναι δεύτερης τάξης και μία λύση της είναι η συνάρτηση u= x - y ( x y) Œo που την επαληθεύει. Μερική λύση της ΜΔΕ είναι μία λύση της η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές ή συναρτήσεις. Υπενθυμίζουμε εδώ την έννοια της μερικής παραγώγου συνάρτησης τριών 3 μεταβλητών u= u( x y z) ( x y z) ŒDÃo. Οι μερικές παράγωγοι ορίζονται από τα παρακάτω όρια u u x y u u( x+ h y z) -u( x y z) = = lim hæ0 h u u( x y+ h z) -u( x y z) = = lim hæ0 h u uxyz ( + h) -uxyz ( ) uz = = lim. hæ0 h Ανάλογα ορίζονται και οι μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης 3 u u u u u u u º x y y z x z Π.χ. αν είναι 3 u= x y+ y z ( x y z) ŒDÃo τότε έχουμε u u u x xx xy u = = xy u = = y u = = x u = 0 u uy = = x + yz u u yy yz 3 u = = z u = = y u = º u u u z zz xz u = = y u = = 0 u = = 0 Πρακτικά όταν παραγωγίζουμε ως προς μία μεταβλητή θεωρούμε τις υπόλοιπες μεταβλητές ως σταθερές και εφαρμόζουμε τους κανόνες παραγώγισης συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Εισαγωγή 5 Τα παραπάνω γενικεύονται ανάλογα για συναρτήσεις της μορφής u= u( x x º x ) ( x x º x ) ŒDÃo. 1 n 1 Η γενική λύση μιας ΜΔΕ εξαρτάται από αυθαίρετες συναρτήσεις και συνήθως υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ της τάξης της ΜΔΕ και του πλήθους των αυθαίρετων συναρτήσεων. Π.χ. η ΜΔΕ u = 0 αυθαίρετες συναρτήσεις ενώ η ΜΔΕ x n έχει τη γενική λύση u= f( x) + g( y) όπου f g είναι u = e x n έχει τη γενική λύση u= ye + f( x) όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. Η παρουσία αυθαίρετων συναρτήσεων στην έκφραση της γενικής λύσης μιας ΜΔΕ δείχνει τις δυσκολίες που παρουσιάζονται στην μελέτη τους. Τα βασικά ερωτήματα είναι: α) Κάτω από ποιές προϋποθέσεις υπάρχει λύση του προβλήματος; (Πρόβλημα Ύπαρξης) β) Αν υπάρχει λύση του προβλήματος αυτή είναι μοναδική; (Πρόβλημα μοναδικότητας) Ταξινόμηση μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι γενικά περίπλοκες και δύσκολες στην αναζήτηση των λύσεών τους ειδικά όταν η F δεν είναι γραμμική. Αλλά η ποικιλία των ΜΔΕ που εμφανίζονται στα φυσικά προβλήματα και τις εφαρμογές είναι αρκετά περιορισμένη και μπορεί να συνοψισθεί στην ημιγραμμική ΜΔΕ δεύτερης τάξης z z z Ê ˆ α( x y) + β( x y) + γ( x y) = f x y z x y x y Á Ë. (1) Όταν η συνάρτηση f είναι της μορφής Ê ˆ f x y z = f1( x y) z + f( x y) + f3( x y) + f4( x y) Ë Á τότε η ΜΔΕ (1) λέγεται γραμμική.

6 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Η ΜΔΕ (1) ταξινομείται στους παρακάτω τύπους: υπερβολικού τύπου όταν ισχύει παραβολικού τύπου όταν ισχύει ελλειπτικού τύπου όταν ισχύει α α α - 4βγ> 0-4βγ= 0-4βγ< 0 "( x y) ŒDÃo "( x y) ŒDÃo "( x y) ŒDÃo. Ειδικά όταν η ΜΔΕ (1) είναι γραμμική μπορεί να μελετηθεί ως προς τον τύπο της και με τον παρακάτω τρόπο: Αν υπάρχει ( x0 y0) Œ D τέτοιο ώστε αx ( 0 y0) π 0 ή βx ( 0 y0) π 0 ή γx ( 0 y0) π 0 και λ1 λ είναι οι δύο πραγματικές ιδιοτιμές (χαρακτηριστικές τιμές) του πίνακα Èαx ( 0 y0) βx ( 0 y0) Í βx ( 0 y0) γx ( 0 y0) Î τότε η γραμμική ΜΔΕ (1) ταξινομείται ως εξής: αν λ1 λ < 0 είναι υπερβολικού τύπου αν λ1 λ = 0 είναι παραβολικού τύπου αν λ1 λ > 0 είναι ελλειπτικού τύπου 1 3 σε κάποια ανοικτή περιοχή D με Π.χ. η κυματική εξίσωση ( x y ) ŒDÃo. 0 0 z z - c = f( x y) c> 0 είναι υπερβολικού τύπου ενώ η εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας z - α = f( x y) α> 0 είναι παραβολικού τύπου. z z Η εξίσωση Laplace + = 0 και η εξίσωση Poisson όπου f ( x y ) είναι το δυναμικό είναι ελλειπτικού τύπου. z z + = f ( x y)

Εισαγωγή 7 3 Εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής Οι μορφές των ΜΔΕ που εμφανίζονται στα φυσικά προβλήματα είναι ουσιαστικά τρεις. Η πλειοψηφία των φυσικών προβλημάτων μπορούν (με ακρίβεια ή προσεγγιστικά) να περιγραφούν με μία από τις παρακάτω ΜΔΕ: όπου u = k u t u λ u = t η κυματική εξίσωση (υπερβολική) η εξίσωση θερμότητας (παραβολική) u = 0 η εξίσωση Laplace (ελλειπτική) u= f( x y z) η εξίσωση Poisson (ελλειπτική) u είναι η λαπλασιανή u u u u= + + u= u ( x y z t ) και k λ είναι θετικές σταθερές. Οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμένες με τη χρήση διαφορικών τελεστών αλλά για να λυθεί η ΜΔΕ πρέπει αυτή η μορφή τους να μετατραπεί σε κάποια άλλη σε δοσμένο σύστημα αναφοράς. Οι βασικοί διαφορικοί τελεστές είναι: κλίση απόκλιση στροφή. Α. Κλίση (gradient) Αν f ( x y z ) είναι πραγματική (βαθμωτή) συνάρτηση τότε η κλίση της δίνεται από τον τύπο f f f grad f = f = x0+ y0+ z0 όπου x0 y0 z 0 οι διανυσματικές μονάδες των αξόνων Ox Oy Oz αντίστοιχα και είναι το σύμβολο ανάδελτα = x0+ y0+ z0. Είναι f = f ( εσωτερικό γινόμενο) η προβολή του διανύσματος

8 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις της κλίσης της f κατά τη διεύθυνση της παραγώγισης και σε καρτεσιανό σύστημα Oxyz γράφεται f f f f = + +. Β. Απόκλιση (divergence) Αν είναι u= u1( x y z) x0+ u( x y z) y0+ u3( x y z) z0 = ( u1 u u3) διανυσματική συνάρτηση λέμε απόκλιση της u τον αριθμό u u div u = = + + 1 u u 3 όπου σημαίνει εσωτερικό γινόμενο. Αν είναι u= f το διανυσματικό πεδίο u λέγεται συντηρητικό και η αριθμητική συνάρτηση f λέγεται δυναμικό του. Γ. Στροφή (rotation) Αν είναι u= u1( x y z) x0+ u( x y z) y0+ u3( x y z) z0 = ( u1 u u3) διανυσματική συνάρτηση λέμε στροφή της u το διάνυσμα Ê u u ˆ Ê u u ˆ Ê u u ˆ rot u = Á - x + - y + - z Ë Ë Á Ë 3 1 3 1 0 Á 0 0 που γράφεται rot u = u όπου σημαίνει εξωτερικό γινόμενο. Συμβολικά η στροφή γράφεται x0 y0 z0 rot u = u = x y z u u u 1 3 και θεωρούμε το ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Επομένως οι προηγούμενες βασικές μερικές διαφορικές εξισώσεις γράφονται στο καρτεσιανό σύστημα Oxyz με τις μορφές:

Εισαγωγή 9 u Ê u u uˆ = k Á + + t Ë η κυματική εξίσωση u Ê u u uˆ = λ t Á + + Ë η εξίσωση θερμότητας u u u + + = 0 η εξίσωση Laplace u u u + + = f ( x y z) η εξίσωση Poisson. Ένα βασικό πρόβλημα είναι το πρόβλημα της μετάβασης από ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς Oxyz σ ένα άλλο Ox1xx 3. Θεωρούμε τη διανυσματική συνάρτηση F= ( f ( x x x ) f ( x x x ) f ( x x x )) 1 1 3 1 3 3 1 3 η οποία μεταφέρει το σύστημα αναφοράς Oxyz στο Ox1xx 3 με τις εξισώσεις. x = f1( x1 x x3) y = f( x1 x x3) z= f3( x1 x x3). Το τελευταίο σύστημα των τριών εξισώσεων έχει λύση της μορφής σε κάποιο τόπο x 1 = g 1 ( x y z) x = g ( x y z) x 3 = g 3 ( x y z) 3 D Ão αν και μόνον αν η ιακωβιανή ορίζουσα f f f D( f f f ) f f f J = = Dx ( x x) x x x 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 f3 f3 f3 1 3 είναι διάφορη του μηδενός στον τόπο 3 D Ão. Μετρικοί συντελεστές Αν Oxyz είναι το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς και Ox1xx 3 το σύστημα αναφοράς που μεταβαίνουμε με τη διανυσματική συνάρτηση

10 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις F= ( f ( x x x ) f ( x x x ) f ( x x x )) = ( x y z) 1 1 3 1 3 3 1 3 τότε η στοιχειώδης απόσταση δύο σημείων (ευκλείδεια απόσταση) δίνεται από τη σχέση ( ) ( ) ( ) 11( 1) ( ) 33( 3) ds = dx + dy + dz = g dx + g dx + g dx όπου τα g11 g g 33 είναι οι μετρικοί συντελεστές g 11 Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Á Ë Á 1 Ë Á 1 Ë 1 Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ g = Á + + Á Á = + + g 33 Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ = Á + + Ë Á Ë Á Ë. 3 3 3 Θέτουμε G= g11 g g33 και έχουμε τους τύπους: Ë Ë Ë 3 1 f 0 f =  xi g i= 1 ii 3 1 Ê ˆ =  G u Á Ë u G x g i i= 1 i i ii 1 0 0 0 όπου x1 x x 3 τα μοναδιαία διανύσματα στο σύστημα αναφοράς Ox1xx 3 όπου u= ( u1 u u3) στο σύστημα αναφοράς Ox1xx 3 3 1 È G f f = Â Í όπου f = f( x y z) G = i Î gii i i 1 f = f. Για παράδειγμα να γραφούν οι διαφορικοί τελεστές f u f σε κυλινδρικές συντεταγμένες ( ρθz ) οι οποίες σχετίζονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες ( x y z ) με τους τύπους x = ρσυνθ y= ρσυνθ z = z ρ 0 θœ [0 π]. Εδώ είναι Fρθz ( ) = ( ρσυνθ ρσυνθ z) οπότε είναι και έχουμε τις μερικές παραγώγους x= f = ρσυν θ y = f = ρημθ z = f = z 1 3

Εισαγωγή 11 f 1 = ρ συν θ 1 f f =- 1 ρημθ = 0 θ f = ημθ ρ f θ = ρσυνθ f = 0 f3 = 0 ρ f3 = 0 θ f3 = 1. Άρα η ιακωβιανή ορίζουσα είναι συν θ - ρημθ 0 D( f1 f f3) J = = ημθ ρσυνθ 0 = ρπ 0 για ρ > 0 Dρθz ( ) 0 0 1 οπότε η αλλαγή μεταβλητών μπορεί να γίνει. Ακόμη έχουμε ʈ ʈ ʈ 11 = + + = + = 1 g Á συν θ ημ θ Ë ρ Á Ë ρ Á Ë ρ ʈ Ê ˆ ʈ g = Á + Á + Á = ρ συν θ+ ρ ημ θ= ρ Ë θ Ë θ Ë θ ʈ Ê ˆ ʈ g33 = Á + Á + Á = 1 = 1 Ë Ë Ë και G= g11gg = ρ fi G = ρ. Επομένως οι διαφορικοί τελεστές γίνονται: 1 f 1 f 1 f f = ρ + + θ + z = g g g 0 0 0 11 ρ θ 33 f 1 f f = ρ0+ θ0+ z0 ρ ρ θ όπου ρ0 θ0 z 0 οι διανυσματικές μονάδες στο καρτεσιανό σύστημα Ορθz και 1 È È G È G È G u= Í Í u1 + Í u + Í u3 = G Í ρ g θ g 11 Í Í g Î ÍÎ Î Î 33

1 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις 1 È Èρ Èρ Èρ = u1 u u3 ρ Í + + = ρíî1 θíρ ÍÎ1 Î Î 1 È = ( ρu1) ( u) ( ρu3) ρí + + = ρ θ Î 1È u u u u u 1 u u = + + + = + + + Î 1 3 1 1 3 Íu1 ρ ρ ρ ρ θ z ρ ρ ρ θ z όπου u= ( u1( ρ θ z) u( ρ θ z) u3( ρ θ z) ) και f 1 È È G f È G f È G f = Í Í + Í + Í = G Í ρíî g ρ 11 θîg θ Îg33 Î 1È È f È1 f È f = Í Íρ + Í + Íρ = ρî ρî ρ θîρ θ Î 1È f f 1 f f = Í + ρ + + ρ = ρíî ρ ρ ρ θ f 1 f 1 f f = + + +. ρ ρ ρ ρ θ

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 15 1 ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Μια μερική διαφορική εξίσωση (θα γράφουμε στο εξής ΜΔΕ) πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση που συνδέει δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές x1 x º xn μια άγνωστη συνάρτηση αυτών z= z( x1 x º x n ) και τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης της z. Π.χ. οι ΜΔΕ + = z ʈ + + Á = y. Ë Ê ˆ Αν έχουμε τη ΜΔΕ FÁx y z = 0 τότε μια συνάρτηση z= z( x y) Ë είναι λύση της αν την επαληθεύει ταυτοτικά. x Π.χ. η συνάρτηση z= e ( y- x) είναι λύση της ΜΔΕ z x γιατί έχουμε = e ( y - x) - e x + = z z = e x x x x x και ισχύει η ταυτότητα e ( y-x) - e + e e ( y- x). Ορισμένες απλές μορφές ΜΔΕ μπορούν να λυθούν με απευθείας ολοκλήρωση ή με μεθόδους των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. z Π.χ. η ΜΔΕ = x + y με ολοκλήρωση ως προς x έχει τη λύση 1 3 z= x + xy+ φ( y) 3 όπου φy ( ) είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του y.

16 Κεφάλαιο 1 Η ΜΔΕ z - yz = 1 λύνεται ως γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (η μεταβλητή y θεωρείται σαν σταθερή) y dx - y dx xy -xy z= e Ú È 1 e Ú dx+ φ( y) = e È e dx+ φ( y) Í = ÎÚ ÎÚ xy È 1 -xy 1 xy = e Í- e d( - xy) + φ( y) =- + e φ( y) yú Î y όπου φy ( ) είναι αυθαίρετη συνάρτηση του y. Παρατηρείστε ότι στη θέση των αυθαίρετων σταθερών θέτουμε αυθαίρετες συναρτήσεις της μεταβλητής που θεωρούμε σαν σταθερή. Η γενική λύση μιας ΜΔΕ πρώτης τάξης δίνεται από μία κατάλληλη αυθαίρετη συνάρτηση και κάθε λύση της που εξαρτάται από δύο αυθαίρετες σταθερές λέγεται πλήρης λύση της. Κωνικό στοιχείο Αν z= φ( x y) είναι η εξίσωση μιας επιφάνειας τότε έχουμε dz = dx + dy = pdx + qdy όπου φ φ p= q= y οπότε τα διανύσματα [ dx dy dz ] (εφαπτόμενα στην επιφάνεια) και Npq [ - 1] (κάθετα στην επιφάνεια) είναι κάθετα μεταξύ τους. Σ ένα σημείο M( x y z ) και ένα ζεύγος p q που επαληθεύουν τη ΜΔΕ Fx ( y z p q= ) 0 (1) φέρουμε από το M το κάθετο διάνυσμα Npq [ - 1] (από το M παράλληλα προς τον άξονα Ox παίρνουμε απόσταση p παράλληλα προς τον άξονα Oy παίρνουμε απόσταση q και απόσταση - 1 παράλληλα προς τον άξονα Oz ). Στο σημείο M κατασκευάζουμε ένα μικρό τμήμα του καθέτου επιπέδου στο διάνυσμα N (που εξαρτάται από τα p q ) το οποίο το λέμε επίπεδο επαφής. Κρατώντας το M σταθερό για όλα τα p q που επαληθεύουν τη ΜΔΕ (1) δημιουργούμε τα επίπεδα επαφής στο σημείο M. Κατασκευάζουμε τέτοια επίπεδα επαφής και στ άλλα σημεία του χώρου όπου ορίζεται η ΜΔΕ (1) κι έτσι σχηματίζεται ένα πεδίο επιπέδων επαφής. Η ΜΔΕ (1) σε κάθε σημείο M( x y z ) ορίζει μια μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων επαφής. Από τη ΜΔΕ (1) έχουμε (λύνοντας ως προς q )

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 17 q= f( x y z p) () οπότε σ ένα δοσμένο σημείο M( x y z ) το p παίρνει αυθαίρετη τιμή και σε κάθε τέτοια τιμή του p το q προσδιορίζεται από την εξίσωση (). N [p q 1] κωνικό στοιχείο N N M (x y z) επίπεδο επαφής Λύση z = φ(xy) Καθώς το p μεταβάλλεται κατά συνεχή τρόπο το επίπεδο επαφής εφάπτεται συνέχεια μιας επιφάνειας και περνάει από το M οπότε παράγεται μια κωνική ε- πιφάνεια με κορυφή στο σημείο M που λέγεται κωνικό στοιχείο του σημείου M. Επομένως η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε μια επιφάνεια z= φ( x y) να είναι λύση της ΜΔΕ (1) είναι σε κάθε σημείο της να εφάπτεται στο κωνικό στοιχείο του σημείου. Σημειώνουμε ότι όταν η ΜΔΕ (1) είναι γραμμική πρώτης τάξης Ax ( yp ) + Bx ( yq ) + Γx ( yz ) = Δx ( y) τότε το επίπεδο επαφής σ ένα σημείο καθώς το p μεταβάλλεται περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία και το κωνικό στοιχείο εκφυλίζεται σ αυτήν την ευθεία. Το αντίστροφο πρόβλημα είναι να βρεθεί η ΜΔΕ πρώτης τάξης της οποίας έχουμε μία πλήρη λύση της ή τη γενική λύση της. Α) Απαλοιφή αυθαίρετων σταθερών 1. Να βρεθεί η ΜΔΕ που έχει πλήρη λύση τη συνάρτηση z= ( x- α) + ( y- β) α β αυθαίρετες σταθερές.

18 Κεφάλαιο 1 Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση z ως προς x και ως προς y και έχουμε p = = ( x-α) p= = ( y-β) (χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς p = x q = ) απ όπου παίρνουμε y p q α=- + x β=- + y. Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές των α β στη δοσμένη συνάρτηση προκύπτει η ζητούμενη ΜΔΕ Ê p ˆ Ê q ˆ p q Ê z x x y y z 4z z ˆ Ê z ˆ = Á + - + + - fi = + fi = + Ë Á Ë Á 4 4 Ë Á Ë.. Να βρεθεί η ΜΔΕ που έχει ως λύση τη συνάρτηση z= αxy α αυθαίρετη σταθερή. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση z ως προς x p p = = αy fi α = y και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση z= αxy παίρνουμε τη ΜΔΕ z = px fi z= x. x Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση z ως προς y q q = = αx fi α = x και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση z= αxy παίρνουμε τη ΜΔΕ z = qy fi z = y. y Εξισώνοντας τις δύο τιμές της αυθαίρετης σταθερής α παίρνουμε τη ΜΔΕ px - qy = 0 fi x - y = 0.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 19 Σημείωση Για να έχουμε μία ακριβώς ΜΔΕ τάξης n 1 από απαλοιφή αυθαίρετων σταθερών πρέπει στην πλήρη λύση να εμφανίζονται ( 3) αυθαίρετες σταθερές. nn+ Π.χ. για n = 1 έχουμε 1(1 + 3) = αυθαίρετες σταθερές. Β) Απαλοιφή αυθαίρετης συνάρτησης 1. Να βρεθεί η ΜΔΕ που έχει γενική λύση Φ( x - y + z x -y - z ) = 0 όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Θέτουμε u = x - y + z υ = x -y - z. Παραγωγίζουμε την Φ ως προς x και έχουμε ΦÊ u u ˆ ΦÊ υ υ ˆ Á + + Á + = 0 u Ë υ Ë Φ Φ fi (1 + p) + (x- zp) = 0. (i) u υ Παραγωγίζουμε την Φ ως προς y και έχουμε ΦÊ u u ˆ ΦÊ υ υ ˆ Á + + Á + = 0 u Ë υ Ë Φ Φ fi (- 1 + q) + (-y- zq) = 0. (ii) u υ Φ Φ Το σύστημα (i) (ii) έχει μη μηδενική λύση ως προς όταν η ορίζουσα των συντελεστών του ισούται με μηδέν. u υ Φ Φ Μ αυτόν τον τρόπο κάνουμε την απαλοιφή των δηλαδή της αυθαίρετης συνάρτησης Φ. u υ Έχουμε λοιπόν 1 + p x-zp - 1+ q -y-zq = 0 fi (1 + p)( -y- zq) -(- 1 + q)(x- zp) = 0

0 Κεφάλαιο 1 fi (1 + p)( y+ zq) + (- 1 + q)(x- zp) = 0 fi y + zq+ yp+ zpq - x+ zp + xq - zpq = 0 fi y + zq+ yp- x+ zp + xq= 0 fi ( y- x) + p( y+ z) + q( z+ x) = 0. Παρατήρηση Η παραπάνω διαδικασία καταλήγει στον τύπο: p q -1 u u u υ υ υ p q -1 = 0 fi 1-1 1 = 0 x -y -z fi p(y+ z) -q(-z- x) + (-1)(- y + x) = 0 fi ( y + z) p + ( x+ z) q+ y- x = 0.. Αν έχουμε τη συνάρτηση x - y + z = f ( x -y - z ) όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση τότε γράφουμε z = y - x + f ( x -y - z ) και θέτουμε υ = x -y - z. Παραγωγίζοντας την z (που είναι z= z( x y) ) προς x και ως προς y παίρνουμε Ê ˆ = =- + Á + fi =- + - 1 f υ υ z Ë 1 f p p ( x zp x υ x z x υ ) f Ê υ υ ˆ f q= = 1 + Á + fi q= 1 + (-y- zq). υë υ Λύνουμε τις εξισώσεις αυτές ως προς f υ f p+ 1 q-1 = = υ x-zp -y-zq και τις εξισώνουμε fi -yp -zpq -y - zq = xq -zpq - x+ zp fi ( y + z) p + ( x+ z) q+ y- x = 0.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 1 Ασκήσεις Να βρεθούν οι η ΜΔΕ που έχουν: α) την πλήρη λύση z= αx - βy α β αυθαίρετες σταθερές β) τη γενική λύση Φ( x + y + z xyz) = 0 Φ αυθαίρετη συνάρτηση γ) τη γενική λύση z=- ( x+ y) + f( xyz) f αυθαίρετη συνάρτηση. 1 Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Η γενική μορφή της ΜΔΕ πρώτης τάξης είναι Ê ˆ F Áx y z = 0 Ë και αν η (1) μπορεί να πάρει τη μορφή P( x y z) + Q( x y z) = R( x y z) τότε λέγεται σχεδόν γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης. Αν η ΜΔΕ (1) μπορεί να πάρει τη μορφή P( x y) + Q( x y) = R( x y z) (1) (1.1) (1.) τότε λέγεται ημι-γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης και αν μπορεί να πάρει τη μορφή P( x y) + Q( x y) + R( x y) z = Δ( x y) (1.3) τότε λέγεται γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης. I) Μέθοδος των χαρακτηριστικών Για τη γραμμική ΜΔΕ (1.3) θεωρούμε ότι οι συναρτήσεις P Q R και Δ είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις σ έναν τόπο D Ão και μία τουλάχιστον από τις συναρτήσεις P και Q δεν μηδενίζεται στο D δηλαδή P( x y) π 0 ή Q( x y) π 0 "( x y) Œ D.

Κεφάλαιο 1 Θεωρώντας το διάνυσμα αxy ( ) = ( P( x y) Q( x y) ) η (1.3) γράφεται zα + R( x y) z = Δ( x y) με Ê ˆ z = Á Ë όπου zα (εσωτερικό γινόμενο) είναι η παράγωγος της z= z( x y) κατά τη διεύθυνση του διανύσματος α. Αν έχουμε την καμπύλη c0: r() s = x() s x0+ ysy () 0 sœião όπου s είναι το αλγεβρικό μήκος τόξου της c 0 που μετριέται από ένα σταθερό σημείο της (φυσική παράμετρος) για την οποία ισχύει dr α = ds α όπου α το ευκλείδειο μήκος του διανύσματος α τότε το διάνυσμα α είναι ε- φαπτόμενο σε κάθε σημείο της καμπύλης c 0 και η c 0 λέγεται χαρακτηριστική της (1.3). dr dr Άρα θα έχουμε α= α αφού = ε0 είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο ds ds διάνυσμα της καμπύλης c 0. Επομένως έχουμε ( εσωτερικό γινόμενο) dr dr dz zα = z α = α z = α ds ds ds όπου z= z() s = zxs ( () y( s)) στα σημεία της χαρακτηριστικής οπότε η ΜΔΕ (1) παίρνει τη μορφή dz α R( x y) z Δ( x y) ds + =. Από την ΜΔΕ (1.3) προκύπτει επίσης ότι ισχύει dz z z α z α P( x y) = Q( x y) ds = + ενώ είναι dz dx dy Êdx dy ˆ dr = + = z Á x0+ y0 = z. ds ds ds Ëds ds ds Έχουμε λοιπόν τις ισότητες dx dy α = P( x y) α = Q( x y) ds ds

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 3 απ όπου παίρνουμε dx dy ds = = fi P( x ydy ) = Qx ( ydx ) P( x y) Q( x y) α που είναι η δ.ε. των χαρακτηριστικών της ΜΔΕ (1.3). Π.χ. να βρεθούν οι χαρακτηριστικές της ΜΔΕ α1 + α = 1 α1 αœo. Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών αυτής της ΜΔΕ είναι Ú Ú α dy = α dx fi α dy = α dx 1 1 fi α1y = αx + α3 α 3 αυθαίρετη σταθερή fi α α y = x αx β α + = + 3 1 α1 α α3 όπου α = (δοσμένη σταθερή) και = β αυθαίρετη σταθερή. α 1 α 1 Άρα οι χαρακτηριστικές της ΜΔΕ είναι οι ευθείες γραμμές με συντελεστή α διεύθυνσης α =. α Παραδείγματα 1 1. Να λυθεί η ΜΔΕ x + y = 1. (1) Βρίσκουμε τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ (1). Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών είναι dy y dy dx dy dx = fi = fi Ú = dx x y x y Ú x xy π 0 fi ln y = ln x + ln α fi y = αx α αυθαίρετη σταθερή. Εκτελούμε την αλλαγή μεταβλητών (η επιλογή του ξ είναι αυθαίρετη) ξ = x y η = x fi ξ ξ = 1 = 0 με η y η 1 =- = x x 1 0 Dξ ( η) 1 = y 1 = π0 D( x y) - x x x για x π 0

4 Κεφάλαιο 1 και με τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε ξ η y = + = - ξ η ξ η ξ η 1 = + =. ξ η η x Αντικαθιστώντας στην ΜΔΕ (1) παίρνουμε Ê y ˆ y z Á - + = 1 fi ξ = 1 ξ Ë x η x η ξ ξ fi z = ξ π0 fi z = ln ξ + f( η) ξ όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Άρα η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι x όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. Ê yˆ z= ln x + f Á Ë x. Να λυθεί η ΜΔΕ xy - y + xz = 0 x Œ o y > 0. (1) Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών της ΜΔΕ (1) είναι dy y =- x π 0 dx xy και έχει τις λύσεις x dy + y dx = 0 fi d( xy) = 0 fi xy = α α αυθαίρετη σταθερή που είναι οι χαρακτηριστικές της (1). Με το μετασχηματισμό ξ = xy η= y (η επιλογή του η είναι αυθαίρετη) έχουμε ξ = y ξ η η = x = 0 = 1 με Dξ ( η) y x y 0 D( x y ) = 0 1 = >

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 5 και = y ξ z z z = x + ξ η οπότε η ΜΔΕ(1) γίνεται 3 z η + ξz = 0 ξ Œ o η > 0. η Η γενική λύση της τελευταίας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης είναι η ξ ξ dt - -Ú 1 3 tξ η 0 0 z= z( ξ η) = f ( ξ) e = f ( ξ) e ξœ o η> 0 και αν θέσουμε f( ξ) = f ( ξ) e ξœo τότε παίρνουμε τον τύπο 0 ξ - ξ η z( ξ η) = f( ξ) e ξœ o η> 0. Άρα η γενική λύση της ΜΔΕ (1) δίνεται από τη σχέση όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση. x y zx ( y) = f( xy) e x Œ o y > 0 3. Να λυθεί η ΜΔΕ xy - x + yz = 0 x > 0 y > 0. (1) Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών της ΜΔΕ (1) είναι dy x x =- =- fi ydy+ x dx = 0 dx xy y και έχει τις λύσεις y + x = α α αυθαίρετη σταθερή που είναι οι χαρακτηριστικές της (1). Με το μετασχηματισμό ξ = x η= y + x (η επιλογή του ξ είναι αυθαίρετη) έχουμε ξ ξ = 1 = 0 Dξ ( η) 1 0 με y 0 η η D( x y ) 4x y = 4 x = y

6 Κεφάλαιο 1 και z z z z z = + 4 x = y. ξ η η Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ (1) παίρνουμε ξ + z = 0 fi + ξ = 0 ξ z ξ fi ln zξ = ln f( η) fi zξ= f( η) όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση. z π 0 Άρα η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι συνάρτηση. 1 ( ) z = f y + x όπου f αυθαίρετη x IΙ) Μέθοδος των πρώτων ολοκληρωμάτων Θεωρούμε μια ΜΔΕ πρώτης τάξης σχεδόν γραμμική δηλαδή της μορφής ή P( x y z) + Q( x y z) = R( x y z) u u u P( x y z u) + Q( x y z u) + R( x y z u) = T( x y z u) (1) (1)ʹ όπου τα P Q R T είναι συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών τους και της άγνωστης συνάρτησης z= z( x y) για την (1) και u= u( x y z) για την (1)ʹ. Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις P Q R T δεν μηδενίζονται συγχρόνως σ έναν τόπο 3 D Ão ή 4 1 D Ão αντίστοιχα και είναι κλάσης C. θeωphma: Αν ο συναρτήσεις u 1 ( x y z) = α υ 1 ( x y z) = β είναι δύο ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος ΔΕ dx dy dz = = () P( x y z) Q( x y z) R( x y z) τότε η αυθαίρετη συνάρτηση

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 7 είναι η γενική λύση της ΜΔΕ (1) Απόδειξη Φu ( 1( x y z ) υ 1 ( x y z ) = 0 με Φ π 0 Από το σύστημα ΔΕ () έχουμε dx dy dz = = = λ π0 fi dx = λp dy = λq dz = λr (i) P Q R και διαφορίζοντας τα πρώτα ολοκληρώματα παίρνουμε u1 u1 u1 dx + dy + dz = 0 υ1 υ1 υ1 dx + dy + dz = 0. Απ αυτές τις εξισώσεις και τις σχέσεις (i) καταλήγουμε στο σύστημα των εξισώσεων (είναι λ π 0 ) u u u P + Q =-R 1 1 1 υ1 υ1 υ1 P + Q =-R. (ii) Λύνουμε το (ii) ως γραμμικό σύστημα ως προς P Q: Du ( 1 υ1) R Dyz ( ) P = Du ( 1 υ1) D( x y) Du ( 1 υ1) R D ( zx ) Q = Du ( 1 υ1) D( x y) με ιακωβιανή ορίζουσα u1 u1 Du ( 1 υ1) = π0 D( x y) υ1 υ1 απ όπου τελικά παίρνουμε

8 Κεφάλαιο 1 P Q R = = = μ π 0. (iii) Du ( 1 υ1) Du ( 1 υ1) Du ( 1 υ1) D(( y z) D( zx ) D( x y) Από τη σχέση Φu ( 1 ( x y z ) υ1 ( x y z )) = 0 με παραγώγιση ως προς x και y παίρνουμε το σύστημα ΦÊ u1 u1 ˆ ΦÊ υ1 υ1 p ˆ Á + + Á + p = 0 u Ë υ Ë 1 1 ΦÊ u1 u1 ˆ ΦÊ υ1 υ1 q ˆ + + + q = 0 u Á Ë υ Á Ë 1 1 Φ όταν η ορίζουσα των συ- υ Φ το οποίο έχει μη μηδενική λύση ως προς u1 ντελεστών του είναι μηδέν δηλαδή όταν είναι 1 u1 u1 υ1 υ1 + p + p u1 u1 υ1 υ1 + q + q = 0. Αναπτύσσοντας την ορίζουσα καταλήγουμε στην εξίσωση ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) p Du υ + q Du υ = Du υ Dyz ( ) D( zx ) D( x y) την οποία αν πολλαπλασιάσουμε με μ ( μ π 0) λόγω των σχέσεων (iii) παίρνουμε τη ΜΔΕ P( x y z) p+ Q( x y z) q= R( x y z). (1) Άρα η συνάρτηση Φuυ ( ) = 0 είναι λύση της ΜΔΕ (1). Φ Η συνθήκη π 0 εξασφαλίζει τον ορισμό των μερικών παραγώγων p = q = από τις σχέσεις x y Φ Φ Φ Φ + = 0 + = 0. Η υπόθεση ότι οι συναρτήσεις P Q R είναι κλάσης 1 C δηλαδή είναι συνε-

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 9 χείς με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης συνεχείς εξασφαλίζει τη μοναδικότητα των λύσεων του συστήματος ΔΕ () και την ύπαρξη των δύο ανεξάρτητων πρώτων ολοκληρωμάτων του (). Στο Κεφάλαιο 5 Λυμένο Πρόβλημα 1 αποδεικνύονται οι παρακάτω Προτάσεις 1 και. ΠΡΟΤΑΣΗ 1: Aν z= z( x y) είναι λύση της ΜΔΕ (1) που περνάει από το σημείο M( x0 y0 z 0) τότε αυτή περιέχει και τη λύση του συστήματος ΔΕ () που περνάει από το σημείο Μ. ΠΡΟΤΑΣΗ : Θεωρούμε την επιφάνεια F( x y z ) = 0 που είναι μια μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων του συστήματος ΔΕ (). Αν η επιφάνεια F( x y z ) = 0 έχει την ιδιότητα το εφαπτόμενο επίπεδό της σε κάθε σημείο της δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα Oz τότε είναι λύση της ΜΔΕ (1). ΠΡΟΤΑΣΗ 3: Κάθε επιφάνεια z= z( x y) που είναι λύση της ΜΔΕ (1) μπορεί να παραχθεί από μία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων που είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ (). Απόδειξη Θεωρούμε μια επιφάνεια z= z( x y) που είναι λύση της ΜΔΕ (1) και πάνω της μια καμπύλη c που δεν είναι λύση του συστήματος ΔΕ (). Η μονοπαραμετρική οικογένεια των λύσεων του () που είναι καμπύλες και τέμνουν την καμπύλη c παράγουν τη δοσμένη επιφάνεια z= z( x y) που είναι λύση της ΜΔΕ (1) (Πρόταση 1). Από τις εξισώσεις των δύο ανεξάρτητων πρώτων ολοκληρωμάτων του () u 1 ( x y z) = α υ 1 ( x y z) = β α β αυθαίρετες σταθερές και από τις εξισώσεις της καμπύλης c απαλείφουμε τις μεταβλητές x y z και βρίσκουμε μία σχέση β = φα ( ). Επομένως οι καμπύλες που είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ () και τέμνουν την καμπύλη c δίνονται από τις εξισώσεις u 1 ( x y z) = α υ 1 ( x y z) = φ( α) όπου α είναι αυθαίρετη σταθερή (παράμετρος).

30 Κεφάλαιο 1 Σημειώσεις α) Από το θεώρημα προκύπτει ότι η σχέση u 1 = α 1 υ 1 + α όπου α1 α είναι αυθαίρετες σταθερές είναι μια πλήρης λύση της ΜΔΕ (1). β) Αν δύο λύσεις της ΜΔΕ (1) τέμνονται σ ένα σημείο Μ η τομή τους είναι λύση του συστήματος ΔΕ () που περνάει από το σημείο Μ επειδή αυτό α- νήκει και στις δύο επιφάνειες που είναι λύσεις της (1) (Πρόταση 1). γ) Σύμφωνα με τις Προτάσεις 1 3 η λύση z= z( x y) της ΜΔΕ (1) είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από τη συνένωση καμπύλων που είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ (). Για τη ΜΔΕ (1) το σύστημα διαφορικών εξισώσεων dx dy dz = = () P( x y z) Q( x y z) R( x y z) και για τη ΜΔΕ (1)ʹ το σύστημα διαφορικών εξισώσεων dx dy dz du = = = ()ʹ P( x y z u) Q( x y z u) R( x y z u) T( x y z u) λέγεται χαρακτηριστικό σύστημα της ΜΔΕ (1) και (1)ʹ αντίστοιχα. Σημειώνουμε ότι οι λύσεις του συστήματος ΔΕ () (αντ. ()ʹ) λέγονται χαρακτηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ (1) (αντ. (1)ʹ) και οι προβολές τους στο επίπεδο Οxy λέγονται χαρακτηριστικές της ΜΔΕ (1) (αντ. (1)ʹ). Αναζητούμε πρώτα ολοκληρώματα του χαρακτηριστικού συστήματος () ή 3 4 ()ʹ τα οποία να είναι ανεξάρτητα σ έναν τόπο D Ão ή D Ão αντίστοιχα. Αν u 1 ( x y z) = α υ 1 ( x y z) = β α β αυθαίρετες σταθερές είναι δύο ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος () τότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1) δίνεται από τη σχέση Φu ( 1( x y z) υ1( x y z )) = 0 Φ όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση με π 0. Αν u1( x y z u) = α1 u( x y z u) = α u3( x y z u) = α3 όπου α 1 α α 3 αυθαίρετες σταθερές είναι τρία ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος ()ʹ τότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1)ʹ δίνεται από τη σχέση 1 3 Fu ( ( x y z u) u ( x y z u) u ( x y z u )) = 0

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 31 F όπου F είναι αυθαίρετη συνάρτηση με π 0. u Τα πρώτα ολοκληρώματα είναι ανεξάρτητα σ έναν τόπο D όταν ο πίνακας È u1 u1 u1 Í Í Í υ1 υ1 υ1 Í Î ή È u1 u1 u1 u1 Í u Í Í u u u u Í u Í Í u3 u3 u3 u3 Í u Î έχει ορίζουσα ή 3 3 αντίστοιχα διάφορη του μηδενός στον τόπο 3 D Ão ή 4 D Ão αντίστοιχα. Πώς θα βρούμε πρώτα ολοκληρώματα Σημειώνουμε ότι πρώτο ολοκλήρωμα του συστήματος ΔΕ () ή ()ʹ είναι μια επιφάνεια από τα σημεία της οποίας περνάνε λύσεις του (καμπύλες) που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια. Α) Στο αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα αναζητούμε ισότητες λόγων οι ο- ποίες είναι ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις. Προσοχή! Καμία από τις μεταβλητές x y z του () ή x y z u του ()ʹ δεν μπορεί να θεωρηθεί σαν σταθερή. Β) Μπορούμε να κάνουμε συνδυασμούς λόγων με σκοπό: i) να μηδενίζεται ο παρονομαστής και ο αριθμητής να είναι ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης ii) εξισώνοντας αυτόν το λόγο με έναν άλλο λόγο να δημιουργείται ολοκληρώσιμη διαφορική εξίσωση. Γ) Αν κάποιο πρώτο ολοκλήρωμα που βρήκαμε είναι απλής μορφής μπορούμε ν απαλείψουμε (λύνοντάς το ως προς μια μεταβλητή) από το χαρακτηριστικό σύστημα μια μεταβλητή έτσι ώστε να προκύψει ολοκληρώσιμη διαφορική εξίσωση. Παραδείγματα 4. Να λυθεί η ΜΔΕ ( y + zx) -( x + yx) = x -y. (1)

3 Κεφάλαιο 1 Σχηματίζουμε το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα dx dy dz = = y + zx -( x + yz) x - y απ όπου κάνοντας συνδυασμούς των λόγων παίρνουμε: 1 ( ) Ê ˆ d x + y -z x dx + ydy-zdz Ë = fi u1 = x + y - z = α 0 0 και ydx+ xdy dz = fi d( xy) + dz = 0 fi υ 1 = xy + z = β -( x -y ) x -y τα δύο ανεξάρτητα για x π± y πρώτα ολοκληρώματα. Άρα η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι όπου Φ αυθαίρετη συνάρτηση. Φ( x + y - z xy + z) = 0 () 5. Να λυθεί η ΜΔΕ z + z = x+ y. (1) Από το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα dx dy dz = = z z x + y z π 0 x + y π 0 () παίρνουμε την ισότητα λόγων dx dy = fi dx = dy fi u1 = y - x= α α αυθαίρετη σταθερή z z που είναι πρώτο ολοκλήρωμα. Θέτοντας την τιμή y = x+ α στην ισότητα λόγων dx dz dx dz = fi = fi ( x+ α) dx= zdz z x+ y z x+ α z απ όπου προκύπτει = x + αx+ β και επειδή α = y - x παίρνουμε το δεύτερο πρώτο ολοκλήρωμα z υ1 = -x -( y - xx ) = β β αυθαίρετη σταθερή. Το υ 1 μπορεί να γραφεί υ = z - xy= β (θέσαμε πάλι β αντί β). 1

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 33 Τα πρώτα ολοκληρώματα u1 = y- x= α υ1 = z - xy= β είναι ανεξάρτητα για x π 0 οπότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι όπου Φ αυθαίρετη συνάρτηση. Φ( y-x z - xy) = 0 6. Να λυθεί η ΜΔΕ ( ) z y - x + ( x + z - 4 x) + yz = 0. (1) Από το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα dx dy dz = = y( -x) x + z -y -4x -yz προκύπτουν οι ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις dx dz ( ) 0 d - = xπ zπ fi x = dz fi u z 1 = = α -x -z -x z -x και (για z π 0 ) () dz ( ) dz z υ 1 x dx + ydy+ z dz d x + y + z = fi = fi = = β - y( x + y + z ) -yz x + y + z z x + y + z όπου α β είναι αυθαίρετες σταθερές. Τα πρώτα ολοκληρώματα u1 υ 1 είναι ανεξάρτητα για yz π 0 x π οπότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1) δίνεται από τη σχέση όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Ê z z ˆ Φ 0 x = Ë Á - x + y + z Εφαρμογή: Επιφάνειες ορθογώνιες σε μονοπαραμετρική οικογένεια επιφανειών. Δίνεται η μονοπαραμετρική οικογένεια επιφανειών f ( x y z) = c c παράμετρος (α) και θέλουμε να βρούμε τις επιφάνειες που τέμνουν ορθογώνια κάθε επιφάνειά της.

34 Κεφάλαιο 1 Το κάθετο διάνυσμα σε σημείο M( x y z ) μιας επιφάνειας της οικογένειας (α) έχει τους αριθμούς διεύθυνσης È f f f [ P Q R] = Í = f κλίση της f. Î Αν η επιφάνεια z= z( x y) τέμνει τις επιφάνειες της οικογένειας (α) ορθογώνια τότε το κάθετο διάνυσμά της στο σημείο M( x y z ) έχει αριθμό διεύθυνσης È Í -1 Î και είναι κάθετο στο προηγούμενο διάνυσμα [ P Q R ]. Επομένως έχουμε το εσωτερικό γινόμενο fi È [ P Q R] Í - 1 = 0 fi P + Q = R x y Î f f f + = z. (β) Άρα κάθε λύση της ΜΔΕ (β) τέμνει ορθογώνια τις επιφάνειες της οικογένειας (α) οπότε η γενική λύση της δίνει τις ζητούμενες ορθογώνιες επιφάνειες στις επιφάνειες (α). Δηλαδή οι ορθογώνιες επιφάνειες της οικογένειας (α) είναι οι επιφάνειες που σχηματίζονται από τη συνένωση των καμπύλων οι οποίες είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ dx dy dz = = f f f που είναι το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα της ΜΔΕ (β). Π.χ. να βρεθούν οι επιφάνειες οι οποίες τέμνουν ορθογώνια τις επιφάνειες της μονοπαραμετρικής οικογένειας των ελλειπτικών παραβολοειδών x + y - z = c c παράμετρος. Εδώ είναι f ( x y z) = x + y - z = c (α) οπότε έχουμε f f f = x = y =-

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 35 και οι ζητούμενες επιφάνειες είναι λύσεις της ΜΔΕ f f f + = fi x + y =- ή ακόμη x + y =-1. (β) Σχηματίζουμε τ αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα της ΜΔΕ (β) dx dy dz = = x y - 1 απ όπου βρίσκουμε τα δύο ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματά του: dx dy x = fi x= αy fi u( x y z) = = α x y y dx dy z xe β x = -1 fi = z fi υ( x y z) = xe = β όπου α β είναι αυθαίρετες σταθερές. Επομένως οι ζητούμενες ορθογώνιες επιφάνειες στις επιφάνειες της οικογένειας (α) δίνονται από τη συνάρτηση x z ΦÁ Ê xe ˆ = 0 Ë y Φ όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση με π 0. 1.1 Το πρόβλημα του Cauchy Δίνονται η ΜΔΕ P( x y z) + Q( x y z) = R( x y z) και η καμπύλη c : x= x( t) y = yt () z= z() t tœião t παράμετρος ή c: f1( x y z ) = 0 f ( x y z ) = 0 ως τομή δύο επιφανειών. (1) Το πρόβλημα της εύρεσης της λύσης της ΜΔΕ (1) που περνάει από τη δοσμένη καμπύλη c είναι γνωστό ως πρόβλημα του Cauchy ή πρόβλημα αρχικής τιμής.

36 Κεφάλαιο 1 z χαρακτηριστικές καμπύλες της (1) z = z(x y) λύση της (1) c O c 0 (προβολή της c) y x χαρακτηριστική της (1) Η λύση z= z( x y ) της ΜΔΕ (1) είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από τη συνένωση χαρακτηριστικών καμπύλων της. Το πρόβλημα έχει μοναδική λύση όταν ισχύει η σχέση D = Q( x() t y() t z() t ) dx P( x() t y() t z() t ) dy 0 t Ι dt - dt π " Œ. Για να βρούμε αυτήν τη λύση βρίσκουμε δύο ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματα του αντίστοιχου χαρακτηριστικού συστήματος της ΜΔΕ (1) dx dy dz = = () P( x y z) Q( x y z) R( x y z) έστω τα u 1 ( x y z) = α υ 1 ( x y z) = β και εργαζόμαστε ως εξής: α) Από τις εξισώσεις u1 ( x( t) y( t) z( t) ) = α υ1 ( x() t y() t z() t ) = β απαλείφουμε την παράμετρο t και παίρνουμε τη σχέση ρ( α β ) = 0. Η ζητούμενη λύση είναι ρu ( 1( x y z) υ1( x y z )) = 0. β) Από τις τέσσερις εξισώσεις u 1 ( x y z) = α υ 1 ( x y z) = β f 1 ( x y z ) = 0 f ( x y z ) = 0 απαλείφουμε τις μεταβλητές x y z και παίρνουμε τη σχέση ρ( α β ) = 0. Η ζητούμενη λύση είναι ρu ( 1( x y z) υ1( x y z )) = 0.