1 η Εβδομάδα Δυναμική Περιστροφικής κίνησης Αρχή διατήρησης στροφορμής
Βασικές εξισώσεις Στροφορμή υλικού σημείου μάζας m ως προς σημείο Ο. L = r p = m( r υ) Στροφορμή στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του L = I ω dl dt = r F = τ
Στροφορμή και ροπή Σχεδιάζεις μοτέρ που περιστρέφει τροχό αγγειοπλαστικής. Ένα κομμάτι του αποτελείται από ομογενή κύλινδρο μάζας 90kgr και ακτίνας 0,4m (ροπή αδράνειας 1/mr ). O κύλινδρος περιστρέφεται με τη βοήθεια ιμάντα που ασκεί σταθερή ροπή στην περιφέρειά του. Τη χρονική στιγμή t=0s, ο κύλινδρος ξεκινά από ηρεμία και για t=5s, η γωνιακή ταχύτητα είναι 500στρ/λεπτό. α) Ποια η στροφορμή του κυλίνδρου για t=5s; β) Με ποιο ρυθμό αυξάνει η στροφορμή; γ) ποια η ροπή που ασκείται στον κύλινδρο; δ) Ποια η τριβή στο χείλος του κυλίνδρου; 1 1 π rad m L = Iω = mr ω = 90 kgr(0, 4 m) 500 377kgr = 60 s L 377 kgr m / s = = 15,1 kgr m / s t 5s dl L τ = = = 15,1 kgr m / s dt t f τ 15,1Nm = = = 37,7N r 0, 4m s
Στροφορμή και ροπή Γυναίκα μάζας 50kgr στέκεται στο χείλος δίσκου που περιστρέφεται με 0,5στρ./s γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο του. Αν η μάζα του δίσκου είναι 110kgr και η ακτίνα του 4m υπολογίστε την συνολική στροφορμή του συστήματος δίσκου γυναίκας θεωρόντας τη γυναίκα ως υλικό σημείο. 1 I = I + I = m R + m R = kg m disk woman disk woman 1680 ω = 0,5 στρ / s = 3,14 rad / s m L = Iω = (1680 kgr m )(3,14 rad / s) = 580kgr s
Διατήρηση της Στροφορμής dl τ = dt Όταν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρούν σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν τότε η ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται
τ = Διατήρηση της Στροφορμής dl dt Όταν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρούν σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν τότε η ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται
τ = Διατήρηση της Στροφορμής dl dt Όταν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρούν σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν τότε η ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται
Διατήρηση της Στροφορμής Η μάζα m εκτελεί κυκλική κίνηση και τριβές δεν υπάρχουν. Αν τραβήξω το νήμα τι θα πάθει η γωνιακή ταχύτητα της μάζας; Υπόδειξη: εξετάστε τη συνολική εξωτερική ροπή στη μάζα. τ = dl dt Όταν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρούν σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν τότε η ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται
Διατήρηση της Στροφορμής I ω = I ω 1 1
Διατήρηση της Στροφορμής I1 = 3kgr m + (5 kgr)(1 m) = 13kgr m I =, kgr m + (5 kgr)(0, m) =, 6kgr m ω 1 π rad = = π s s rad I1ω1 = Iω (13 kgr m )( π ) = (, 6 kgr m ) ω s rad ω = 5π =,5 στρ / s s Η γωνιακή ταχύτητα πενταπλασιάστηκε
Διατήρηση της Στροφορμής I1 = 13kgr m I =,6kgr m ω 1 rad = π s ω = 5π rad s Η γωνιακή ταχύτητα πενταπλασιάστηκε η στροφορμή έμεινε ίδια. Η κινητική ενέργεια;
Διατήρηση της Στροφορμής α) Υπάρχει ροπή στον πάνω δίσκο; Στον κάτω; Δύο δίσκοι είναι στερεωμένοι σε άξονα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο πάνω είναι ακίνητος και ο κάτω περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 50rad/s. Ο πάνω πέφτει στον κάτω και κολλάνε. Στον κάτω δίσκο υπάρχει ροπή δύναμης (τριβή) που προκαλεί τη μείωση της γωνιακής του ταχύτητας. Στον πάνω υπάρχει ροπή δύναμης (τριβή) που προκαλεί την αύξηση της γωνιακής του ταχύτητας. β) Διάλεξε σύστημα στο οποίο η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν Επειδή οι ροπές στους δύο δίσκους είναι ίσες και αντίθετες μπορούμε να πάρουμε το σύστημα των δύο δίσκων μαζί ως σύστημα στο οποίο η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδέν και άρα η στροφορμή διατηρείται.
Διατήρηση της Στροφορμής Δύο δίσκοι είναι στερεωμένοι σε άξονα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο πάνω είναι ακίνητος και ο κάτω περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 50rad/s. Ο πάνω πέφτει στον κάτω και κολλάνε. γ) Ποια η αρχική στροφορμή του συστήματος των δύο δίσκων; Η στροφορμή του πάνω δίσκου είναι 0. Για τον κάτω: L κατω 1 1 rad = Iκατωω = m1r1 ωi = 0kg(m) 50 = 000kg s δ) Ποια η τελική στροφορμή του συστήματος των δύο δίσκων; Ίδια με την αρχική L = L = f 1 κατω + L 0kg(m) πανω + = ( I 1 κατω + I 7kg(1m ) πανω ω f ) ω f = 1 = 43,5ω m R f 1 1 + 1 m R m s ω f =
Διατήρηση της Στροφορμής ε) Ποια η τελική γωνιακή ταχύτητα του συστήματος; Δύο δίσκοι είναι στερεωμένοι σε άξονα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο πάνω είναι ακίνητος και ο κάτω περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 50rad/s. Ο πάνω πέφτει στον κάτω και κολλάνε. L i m = L f 000kg = 43,5ω f ω f s = 46rad / s
Διατήρηση στροφορμής Θεωρώ σα σύστημα πόρτα + σφαίρα Η στροφορμή διατηρείται Αρχική στροφορμή: έχει μόνο η σφαίρα Τελική στροφορμή: έχει και η πόρτα και η σφαίρα L f = ( I + I πορτ σϕ ) ω
Διατήρηση στροφορμής
Διατήρηση στροφορμής Θεωρώ σα σύστημα πόρτα + σφαίρα Η στροφορμή διατηρείται L f = ( I + I πορτ σϕ ) ω
Διατήρηση στροφορμής