κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα. Οι αριθμοί που έχουν πρόσημο «+» λέγονται θετικοί αριθμοί. Οι αριθμοί που έχουν πρόσημο «-» λέγονται αρνητικοί αριθμοί. Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός. Όταν αναφερόμαστε στους θετικούς αριθμούς, μπορούμε να παραλείπουμε το πρόσημο «+» π.χ. αντί να γράφουμε +12, μπορούμε να γράφουμε 12 Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. Τετμημένη ενός σημείου που βρίσκεται πάνω σε μια αριθμημένη ευθεία, είναι ο αριθμός που μας δείχνει τη θέση του σημείου. ΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να γράψετε έναν αριθμό που να εκφράζει το καθένα από τα παρακάτω μεγέθη ή τις μεταβολές α/α Έκφραση Συμβολισμός 1 Θερμοκρασία: 5 o C κάτω από το μηδέν 2 Θερμοκρασία: 35 o C πάνω από το μηδέν 8m 3 Βάθος: κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας 4 Υψόμετρο: θάλασσας 2m πάνω από την επιφάνεια της 5 ζημιά 6. ευρώ 6 κέρδος 2. ευρώ 7 έξοδα 5. δραχμές 8 έσοδα 3 ευρώ 9 Μείωση κατά 5 μονάδες 1 ύξηση κατά 5 μονάδες Άσκηση 2 Να σημειώσετε στον παρακάτω άξονα τους αριθμούς: 3 5 +2, -3, +4, -5, +2,5, -1,5, +, -, +8, -7 2 2-1 +1 Άσκηση 3 Να σημειώσετε στον παρακάτω άξονα τους αριθμούς: 5, 3, 15, 18 1 και 5, Επιμέλεια: +35, +2, Τριανταφυλλίδου +23 Ιωάννα
Άσκηση 4Σε κάθε μέγεθος της πρώτης στήλης να αντιστοιχίσετε το σύμβολο του από την 1. Θερμοκρασία 5 βαθμοί κάτω από το μηδέν A. +17 2. Θερμοκρασία 17 βαθμοί πάνω από το μηδέν B. 3. Κέρδος 2 ευρώ Γ. -17 4. Έξοδα 2 ευρώ Δ. -5 5. Βάθος 17 μέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας E. +2 Άσκηση 5 Σε κάθε μέγεθος, ενέργεια, τοπικό προσδιορισμό και μεταβολή της πρώτης στήλης, να αντιστοιχίσετε το αντίθετο του από την 1. Κέρδος. κάτω 2. Κατάθεση Β. μείωση 3. Πάνω Γ. ζημιά 4. Έσοδα Δ. έξοδα 5. ύξηση Ε. ανάληψη Άσκηση 6 Να χαρακτηρίσετε με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) την κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις: α/α Πρόταση 1 Οι αριθμοί +3, +12, -7, +64 είναι θετικοί αριθμοί 2 Οι αριθμοί -3, -12, -7, -64 είναι αρνητικοί αριθμοί 3 Οι αριθμοί που έχουν πρόσημο "+" λέγονται θετικοί 4 Οι αριθμοί που έχουν πρόσημο "+" λέγονται αρνητικοί 5 Οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο λέγονται ομόσημοι 6 Οι αριθμοί με διαφορετικό πρόσημο λέγονται ετερόσημοι 7 Οι αριθμοί +3, +12, -7, +64 είναι ακέραιοι αριθμοί 8 Οι αριθμοί με το ίδιο πρόσημο λέγονται ετερόσημοι 9 Οι αριθμοί με το ίδιο πρόσημο λέγονται ομόσημοι 1 Οι αριθμοί -3, -12, -7, -64 είναι ομόσημοι 11 Οι αριθμοί +3 και -7 είναι ετερόσημοι 12 Οι αριθμοί +3, +12, -7, +64 είναι ακέραιοι αριθμοί 13 Οι αριθμοί +3, +12, -7, +64 είναι ομόσημοι 14 Οι αριθμοί που έχουν πρόσημο "-" λέγονται θετικοί 15 Οι αριθμοί που έχουν πρόσημο "-" λέγονται αρνητικοί 16 Τα σημεία Κ και Ρ έχουν την ίδια τετμημένη 17 Οι τετμημένες των σημείων Μ,Ν,Ρ, είναι θετικοί αριθμοί 18 Οι τετμημένες των σημείων Ε,Κ,Λ,Β είναι θετικοί αριθμοί Άσκηση 7 Στις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε την κατάλληλη απάντηση Β -4 K -3 Λ Ε -1 Μ +1 Ν +2 Ρ +3 +4 Σωστό Λάθος Β -4 Τ -3 Λ Ε -1 Κ +1 Υ +2 Σ +3 +4 α/α Ερώτηση Β Γ Δ 1 Η τετμημένη του σημείου Λ είναι: +2 άλλο 2 Η τετμημένη του σημείου Σ είναι: +12-3 +3 3 Το όνομα που σχηματίζεται από τα γράμματα με τετμημένες -4,, ΡΟΥΛ ΜΡΙ ΒΟΥΛ ΣΟΥΛ +2,, +4 είναι: σκήσεις βιβλίου, σελ.117: σκ. 3, 4α)β)γ)δ)ε)στ), 5, 6 2 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα
πόλυτη τιμή αριθμού -1 +3 Ρ K -3 +1 +2 +3 +3 =3-3 -1 +1 +2-3 =3 Aπόλυτη τιμή ενός αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου με τετμημένη α, από την αρχή Ο του άξονα. Η απόλυτη τιμή ενός ακεραίου αριθμού α συμβολίζεται με α α -1 +1 +2 α α α -1 +1 +2 Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετος του Η απόλυτη τιμή του μηδενός είναι μηδέν ντίθετοι* ονομάζονται δυο αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή και είναι ετερόσημοι. Β -4-4 -3 +4-1 +1 +2 +3 +4 ντίθετος του +4 είναι ο -4 ντίθετος του -4 είναι ο +4 Συγκρίσεις-Παρατηρήσεις 1) Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν 2) Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν 3) Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από οποιονδήποτε θετικό 4) Μεταξύ δυο αρνητικών αριθμών, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ απόλυτη τιμή. 5) Μεταξύ δυο θετικών αριθμών, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. -4-3 -1 +1-4<-3 διότι -4 =4>3= -3-1 +1 +2 +3<+4 διότι +3 =3<4= +4 6) Μεταξύ δυο αριθμών α και β, μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλο πάνω στον άξονα. α β α<β +3 +4 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε όλους τους ακέραιους που έχουν απόλυτη τιμή:α) μικρότερη του 5 β) μικρότερη ή ιση του 3 2. Να βρείτε τους αντίθετους των αριθμών α) +3 β) -8 γ) δ) +5 3. Να γράψετε τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά: -3, +5, -5,,, 1, -4, 3 4. Να κάνετε τις πράξεις: a ) 3 2 7 5 ) 4 3 6 9 σκήσεις Βιβλίου σελ. 121: σκ. 6, 9, 1, 11, 12, 13 *υπάρχει και άλλος ορισμός «δύο αριθμοί είναι αντίθετοι όταν το άθροισμά τους είναι ίσο με μηδέν» τον οποίο θα δούμε αργότερα 3 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα
Πρόσθεση φαίρεση ακεραίων Για να προσθέσουμε δυο ομόσημους ακέραιους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα τους βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Π.χ. (-12)+(-4) = -16, (+3)+(+8) = 11 Για να προσθέσουμε δυο ετερόσημους ακέραιους αριθμούς, αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Π.χ. (-12)+(+4)= -8 Ιδιότητες που ισχύουν στην πρόσθεση 1. ντιμεταθετική ιδιότητα: Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των προσθετέων ενός αθροίσματος. α+β=β+α 2. Προσεταιριστική ιδιότητα: Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμα τους και να διώχνουμε παρενθέσεις που δείχνουν τη σειρά των προσθέσεων. α+(β+γ)=(α+β)+γ=α+β+γ 3. Ουδέτερο στοιχείο: Το μηδέν όταν προστεθεί σε ένα ακέραιο αριθμό δεν τον μεταβάλει. α+=+α=α 4. ντίθετο στοιχείο: Το άθροισμα δυο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν. α+(-α)=(-α)+α= Παρατηρήσεις: -ν για δυο αριθμούς α και β ισχύει α+β= τότε ή (α=β=) ή (α, β είναι αντίθετοι). - ν για δυο μη μηδενικούς αριθμούς α και β ισχύει α+β= τότε α, β είναι αντίθετοι Υπολογισμός αθροίσματος πολλών προσθετέων 7 8 5 9 2 5 3 Διαγράφουμε τους αντίθετους αριθμούς αν υπάρχουν 7 8 5 9 2 5 3 7 2 3 8 9 12 17 5 Η αφαίρεση στους ακεραίους είναι στην πραγματικότητα πρόσθεση με τον αντίθετο αριθμό. α β = α + (-β) Στο εξής λοιπόν δεν θα διαχωρίζουμε τις πράξεις και θα θεωρούμε ότι υπάρχει μόνο πρόσθεση αφού μπορούμε να μετατρέψουμε την αφαίρεση σε πρόσθεση. (+5)-(+7)= (+5)+(-7), (-12)-(-8)= (-12)+(+8) παλοιφή παρενθέσεων: Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της «+» μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το «+» και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα ίδια πρόσημα που έχουν. (Το ίδιο κάνουμε αν μια παρένθεση δεν έχει μπροστά της πρόσημο) π.χ. (+3)+(-7)=+3-7=-4, (4-6+8)+(2-5-4)= 4-6+8+2-5-4=-1 Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της «-» μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το «-» και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα. π.χ. (+3)-(-7)=+3+7=+1, (7)-(3-8)=7-3+8=+1 Χωρίζουμε τους αρνητικούς από τους θετικούς Προσθέτουμε τους θετικούς και τους αρνητικούς χωριστά Βρίσκουμε το άθ ροισμα τους 4 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα
ΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Σε κάθε πρόσθεση της πρώτης στήλης να αντιστοιχίσετε το αποτέλεσμα της από την 1. (+7)+(-3)= A. Μηδέν 2. (-7)+(-3)= B. 4 3. (-1)+(+14)= C. -1 4. (+4)+(-14)= D. +4 Άσκηση 2 Σε κάθε πρόσθεση της πρώτης στήλης να αντιστοιχίσετε το αποτέλεσμα της από την 1. (+8)+(-9)= A. -17 2. (-8)+(-9)= B. -1 3. ()+(+3)= C. +1 4. +(-1)= D. άλλο Άσκηση 3 Σε κάθε πρόσθεση της πρώτης στήλης να αντιστοιχίσετε το αποτέλεσμα της από την 1. (+6)+(+8)= A. 2. (+6)+(-8)= B. -12 3. (-7)+(-5)= C. +14 4. (-7)+(+7)= D. Μηδέν Άσκηση 4 Σε κάθε πρόσθεση της πρώτης στήλης να αντιστοιχίσετε το αποτέλεσμα της από την 1. (+5)+(-7)+(-4)= A. +2 2. (-7)+(-3)+(+12)= B. -4 3. (-1)+(+14)+(-12)= C. -6 4. (+4)+(-6)+(+12)+(-14)= D. -8 Άσκηση 5 Να αντιστοιχίσετε κάθε διαφορά της πρώτης στήλης στο άθροισμα που μετατρέπεται από τη 1. (-5)-(+3) A. (+5)+(-3) 2. (-5)-(-3) B. (-5)+(-3) 3. (+5)-(-3) C. (-5)+(+3) 4. (+5)-(+3) D. (+5)+(+3) Άσκηση 6 Να κάνετε τις πράξεις: α) (+5)+(-7)+(+6)+() β) 2+(-3)+(+3)+(-7) γ) (-3)+()-(+7)-(-6) δ) 5-(-8)+()-(+6)+(+3) Άσκηση 7. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων, αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή παρενθέσεων: α) (-3+2)-(5-3)+(7-8) β) 1-(3-5+1)+(+5-7) γ) 6-(-3)+(-7+8-3)-(-5+2-3) δ) (α-3)-(β-3)+(-α+β) ε) 7-(2+α)-(-α+β)+(-3+β) στ) 1 (α-β+γ)+(-β+α)-(-γ-β)-β+5 ζ) 1+[5 -(-6+2)] η) -[-7+( -3+5-7)] -( -5+3) θ) 5 +[ -3 (6)] () σκήσεις βιβλίου, σελ.125: σκ.4,5, σελ.128 σκ. 2α)β), 3, 4, 5, 8α) 5 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα
Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ακεραίων Για να πολλαπλασιάσουμε δυο ομόσημους ακέραιους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο τους βάζουμε το πρόσημο «+». Για να πολλαπλασιάσουμε δυο ετερόσημους ακέραιους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο τους βάζουμε το πρόσημο «-». Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ντιματαθετική Προσεταιριστική Ουδέτερο στοιχείο +1 Επιμεριστική ιδιότητα του Ορισμοί- Παρατηρήσεις 1 1 1 πορροφητικό στοιχείο + πορροφητικό στοιχείο - Σύμφωνα με τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού σε ένα γινόμενο μπορούμε: να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενο τους να διώχνουμε τις παρενθέσεις που μας δείχνουν τη σειρά των πράξεων - Δυο αριθμοί που έχουν γινόμενο 1 λέγονται αντίστροφοι. ντίστροφος του α είναι ο a 1. Για να υπάρχει ο αντίστροφος του α πρέπει ο α να είναι διάφορος του μηδενός. ντίστροφος του +1 είναι ο και αντίστροφος του -1 είναι ο. Δυο αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι. ως προς την + Επιμεριστική ιδιότητα του - Το πρόσημο του γινομένου πολλών παραγόντων εξαρτάται από το πλήθος των αρνητικών παραγόντων. Συνεπώς για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο με περισσότερους από δυο παράγοντες πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των παραγόντων και στο γινόμενο τους βάζουμε: «+» όταν όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί «+» όταν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο (ζυγό) «-» όταν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό (μονό) ν σε ένα γινόμενο ένας τουλάχιστον παράγοντας είναι μηδέν, τότε και το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν. Στη διαίρεση εντελώς ανάλογα με τον πολλαπλασιασμό, για να διαιρέσουμε δυο ομόσημους ακέραιους αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο τους βάζουμε το πρόσημο «+». ως προς την + Επιμεριστική ιδιότητα του ως προς την - 6 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα
Για να διαιρέσουμε δυο ετερόσημους ακέραιους αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο τους βάζουμε το πρόσημο «-». + : + = + : = + + : = : + = Η διαίρεση α:β μπορεί και να εκφραστεί και ως. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι μια διαίρεση είναι στην πραγματικότητα ένας πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο δηλαδή 1 : Προσοχή! Όπως και στους φυσικούς, διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται. ΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Στις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση α/α Ερώτηση Β Γ Δ 1 Το γινόμενο (-3)(+8) είναι +5-11 4 +24 2 Το γινόμενο (-4)(-5) είναι +2 +1-9 3 Το γινόμενο (+7)(-6) είναι -42 +42 +13-1 4 Το γινόμενο (+7)(-5)() είναι -7 +7 +14 5 Το γινόμενο (-4)()(-3) είναι 4 +24-9 +9 6 Το γινόμενο (+7)(-1)(-6)() είναι -16-84 +84 7 Το γινόμενο (-4)(-6)(+23) είναι +1-12 552 Άσκηση 2 Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α) (+5).(+6) β) (-8).(-3) γ) (+3).(-5) δ) (-6).(-7) ε) (-8).(-1) στ) (+3)(+2)(-4) ζ) (-6)(+3)() θ) ()(+3)(-5)(-1) ι) (-5)(+1)()(-6)(-4) ια) 4(-1)(+2)(-3) Άσκηση 3 Να κάνετε τις πράξεις: α) 7+3(-4) β) 5 2(-3) γ) 5.2+3(-4) δ) 7+3(-5) 2(-6) ε) 1 2[-3+(8 2. 5)] στ) 2(3 7)+3[-17 2(-8)] ζ) (5 3 2)[ -3 4+7()] 3() η) 1 2[3-(-4+5)][+(7-8)] Άσκηση 4 Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) (+15):(+3) β) (4):(-8) γ) (-45):(+9) δ) (+39):(-13) ε) (-6):() στ) (-18):6 η) 25:(-5) Άσκηση 5 Να κάνετε τις πράξεις: α) 3(x+y) β) 7(x - y+2) γ) -5(x y -4) δ) (x +y)(-4) ε) (3x y)(-4) Άσκηση 6ν x+y= 3 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: = 2x (x y) + 3 B = 5-3(x - 2y) + 5(x y) + y σκήσεις βιβλίου, σελ.132: σκ.2α)β)δ)ε), 3α), 5α), 6, 7, 8)Β) 7 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα
ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες ισχύει: i) x 5 ii) x 2 iii) x iv) x 2 v) x 1 vi) x 1 2. Να κάνετε τις πράξεις: i) 3 5 2 1 6 ii)( 13) ( 8) ( 6) ( 8) ( 9) iii)( 7) ( 15) ( 9) ( 15) ( 2) iv) 2 ( 3) ( 3) ( 7) v)7 ( 1) ( 5) ( 13) ( 1) vi)( 5) 2 ( 7) 9 vii)7 8 2 5 1 viii) 6 5 7 3 2 8 ix)5 18 7 15 2 3. ν α = 12 15, β = -5+3, γ = 3 7+1 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης = α+β+γ 4. Να κάνετε τις πράξεις: i)( 12) ( 3) ( 7) ( 5) ( 4) ii) 3 ( 6) ( 5) 7 ( 2) iii) 7 5 1 6 iv) 2 ( 6) 3 ( 7) ( 5) ( 1) v) 8 ( 2) ( 9) 35 5. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή των παρενθέσεων και των αγκύλων: i) 2 38 (5 7) ( 9 6 1) ii) 3 ( 1 4 5) (9 7 2) ( 6 2) iv iii) 5 3 8 1 7 4 ( 2 6) ) 2 1 4 39 6 ( 5 7) 6. ν x = 5 (2 3) ( -5 +8) -1 και y = 1- [2 + (7 1)] να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης = + ( x 3) [2 (y 1)] 7. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης = 3 [α (β x)] (y α) (β 1), όταν x + y = -6 8. Να βάλετε τους δύο τελευταίους όρους της παράστασης = x + 5 y μέσα σε παρένθεση η οποία να έχει μπροστά α) + β) 9. Στις παρακάτω παραστάσεις να βάλετε τον 2 ο και 3 ο όρο σε παρένθεση που μπροστά να έχει και στους δύο τελευταίους όρους παρένθεση που να έχει μπροστά «+» = 3 x + 5 + y 2 B = 5 + 7 x y + 2 Γ = - 2 3 x + 4 y + 1 1. Να κάνετε τις πράξεις: i) 2 ( 5) ii) 74 iii) 8( 6) iv)( 2)( 3)( 5)( 1) v) 4( 1)( 2)( 3) vi) 5( 1)( 4)( 6)( 1)( 2) 11. ν α =, β = -3, γ = -1, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: = 3α β + 5γ Β = αβ βγ + γ Γ = γ αβγ + 2β Δ = (α β)(β 3γ) 12. ν οι αριθμοί α, β είναι αντίθετοι και οι x, y αντίστροφοι, να υπολογίσετε την παράσταση = α (5 β) x(3 y) + 3x 8 Επιμέλεια: Τριανταφυλλίδου Ιωάννα