ΓΙΑ ΣΗΝ ΦΘΙΝΟΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ Το μακθματικό μοντζλο με το οποίο ςχεδόν πάντα περιγράφεται μια φκίνουςα μθχανικι ταλάντωςθ είναι θ ακόλουκθ γραμμικι ομογενισ διαφορικι εξίςωςθ θσ τάξθσ με ςτακεροφσ ςυντελεςτζσ και με αρχικζσ ςυνκικεσ: x( t) x( t) x( t) 0 0, 0 x(0) x, x(0) 0 (1) Οι ιδιότθτεσ και οι μακθματικζσ λεπτομζρειεσ των λφςεων τθσ (1) ζγιναν αντικείμενο ζντονθσ ςυηιτθςθσ πριν δφο χρόνια ςτο δίκτυο. Υπάρχει όμωσ και το ηιτθμα του πότε ιςχφει μια βαςικι προχπόκεςθ τθσ (1), δθλαδι το πότε θ αντίςταςθ που ςυναντά ςτθν κίνθςι του ο ταλαντωτισ είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτάσ του, F b. Συνικωσ αναφζρεται ότι μια τζτοιασ μορφισ αντίςταςθ είναι θ αντίςταςθ που δζχεται ζνα ςϊμα όταν κινείται με μικρι ταχφτθτα μζςα ςε κάποιο ρευςτό. Εδϊ ίςωσ υπονοείται ο νόμοσ του Stokes που όμωσ ιςχφει με πολφ περιοριςτικζσ προχποκζςεισ. Κάποια ςτοιχεία από την Μηχανική Ρευςτών Αποδεικνφεται [1, ς.59] ότι αν μια ςφαίρα ακτίνασ r κινείται με ςτακερι ταχφτθτα υ μζςα ςε ρευςτό πυκνότθτασ ρ και ιξϊδουσ 1 θ, θ αντίςταςθ που ςυναντά είναι F 6 r () αν. και r Re 1 (3) (Νόμοσ Stokes) Η αδιάςτατθ ποςότθτα Re λζγεται αρικμόσ Reynolds. Ουςιαςτικά θ (3) εξαςφαλίηει ότι θ ροι γφρω από τθν ςφαίρα είναι τόςο αργι ϊςτε θ αδράνεια του ρευςτοφ να μπορεί να κεωρθκεί αμελθτζα. Μια τζτοια ροι λζγεται ζρπουςα (creeping) και είναι ειδικι περίπτωςθ ςτρωτισ (laminar) ροισ. Πειραματικά, αποκλίςεισ από το νόμο Stokes ζχουν παρατθρθκεί για Re>0,5 [3, ς.111]. Οπότε ςαν πρακτικι προχπόκεςθ ιςχφοσ τθσ () μποροφμε να κεωριςουμε τθν r 0,5 (4). Είναι φανερό ότι θ ιςχφσ τθσ () ευνοείται από μικρότερο μζγεκοσ και μικρότερθ ταχφτθτα του ςϊματοσ και από μεγαλφτερθ τιμι του πθλίκου (που λζγεται κινθματικό ιξϊδεσ του ρευςτοφ). Παρόμοια είναι θ εξάρτθςθ τθσ αντίςταςθσ από τθν ταχφτθτα και για ςϊματα με άλλα ςχιματα όταν θ ροι είναι ζρπουςα. Για κυκλικό δίςκο π.χ. ακτίνασ r που κινείται αργά μζςα ςε ρευςτό με ταχφτθτα υ κάκετθ ςτο επίπεδό του ιςχφει F 16 r [1, ς.61]. 1 Κάκε πραγματικό ρευςτό παρουςιάηει όταν ρζει εςωτερικι τριβι ι ιξϊδεσ (viscosity). Αν κεωριςουμε ςε ςτρωτι ροι δφο διαδοχικά λεπτά ςτρϊματα ρευςτοφ που κινοφνται παράλλθλα με διαφορετικζσ ταχφτθτεσ, θ παράλλθλθ προσ τθ ροι δφναμθ ανά μονάδα επιφάνειασ που το κακ ζνα εξαςκεί ςτο άλλο είναι ανάλογθ προσ τθν μεταξφ τουσ βακμίδα ταχφτθτασ κάκετα προσ τθ df d df ροι:. (Το λζγεται διατμθτικι τάςθ. Η προθγοφμενθ ςχζςθ οφείλεται ςτον Νεφτωνα και ιςχφει για όλα τα αζρια ds dy ds και τα ςυνθκιςμζνα υγρά). Αυτζσ οι δυνάμεισ εςωτερικισ τριβισ οφείλονται ςτθ μεταφορά ορμισ από το ζνα ςτρϊμα ςτο άλλο μζςω των κινιςεων των μορίων (αζρια) ι μζςω των ελκτικϊν διαμοριακϊν δυνάμεων ςυνοχισ (υγρά). Το θ λζγεται ςυντελεςτισ ιξϊδουσ και εξαρτάται από τθν φφςθ του ρευςτοφ και τθν κερμοκραςία. Είναι αφξουςα ςυνάρτθςθ τθσ κερμοκραςίασ για τα αζρια και φκίνουςα για τα υγρά. Για τα αζρια το θ είναι ανεξάρτθτο τθσ πυκνότθτασ με τθν προχπόκεςθ ότι θ μζςθ ελεφκερθ διαδρομι των μορίων είναι πολφ μεγαλφτερθ τθσ διαμζτρου των και πολφ μικρότερθ των διαςτάςεων του δοχείου. Θεμελιϊδθσ ςυνοριακι ςυνκικθ ςτθν επιφάνεια επαφισ ςτερεοφ με ρευςτό είναι ότι θ ταχφτθτα του ρευςτοφ ωσ προσ το ςτερεό ςτα ςθμεία τθσ επιφάνειασ αυτισ είναι πάντα μθδζν. Δθλαδι το ρευςτό ποτζ δεν ολιςκαίνει ςτθν επιφάνεια του ςτερεοφ. Κάκε ςτοιχειϊδεσ τμιμα ds τθσ επιφάνειασ του ςτερεοφ δζχεται από το ρευςτό εκτόσ από τθν κάκετθ δφναμθ λόγω τθσ πίεςθσ και μια παράλλθλθ προσ το ds δφναμθ λόγω τθσ διατμθτικισ τάςθσ που δθμιουργεί το ιξϊδεσ του ρευςτοφ.
Για να αποκτιςουμε τϊρα μιαν αίςκθςθ των περιοριςμϊν που βάηει θ (4) ασ κεωριςουμε τθν κίνθςθ ςφαίρασ 0,5 διαμζτρου r=4cm ςε τρία αντιπροςωπευτικά ρευςτά : αζρα, νερό, γλυκερίνθ. Η (4) γράφεται και (5) r Σφμφωνα με το *1,ς.46] οι τιμζσ του για τα προθγοφμενα ρευςτά ςε κερμοκραςία 0ο C είναι αντίςτοιχα : 0,15cm /s, 0,01cm /s, 6,8cm /s οπότε θ (5) δίνει : Για να ιςχφει με ακρίβεια ο νόμοσ του Stokes για τθν ςφαίρα αυτι κα πρζπει, ςτον αζρα: 0,19 mm, ςτο νερό: 0,01 mm, ςτθ γλυκερίνθ: 8,5 mm Για μεγαλφτερα s s s ςϊματα οι ταχφτθτεσ κα πρζπει να είναι ακόμα μικρότερεσ. Επίςθσ για να ιςχφει ο ν. Stokes για ςφαιρίδιο ακτίνασ r 0,5 που κινείται π.χ. με ταχφτθτα υ=1cm/s μζςα ςτο νερό κα πρζπει r 0,05mm. Οι προθγοφμενεσ τιμζσ δείχνουν κακαρά ότι ο νόμοσ του Stokes δεν ιςχφει για ςυνθκιςμζνεσ κινιςεισ ςυνθκιςμζνων αντικειμζνων μζςα ςε αζρια και λεπτόρρευςτα υγρά όπωσ το νερό (για κινιςεισ ςε παχφρευςτα υγρά όπωσ θ γλυκερίνθ κα επανζλκουμε).. Ουςιαςτικι εφαρμογι ο νόμοσ αυτόσ βρίςκει ςε κινιςεισ πολφ μικρϊν ςωματιδίων όπωσ π.χ. ςτθν ςυςχζτιςθ τθσ οριακισ ταχφτθτασ των ςταγονιδίων ελαίου ςτο πείραμα του Millikan με τα άλλα μεγζκθ του πειράματοσ, ι ςτον υπολογιςμό τθσ οριακισ ταχφτθτασ των ςωματιδίων τθσ ςκόνθσ και των ςταγονιδίων τθσ ομίχλθσ ςτθν ατμόςφαιρα. Είναι ενδιαφζρον ότι ο ν. Stokes χρθςιμοποιικθκε και από τον Einstein ςτθν εργαςία του για τθν κίνθςθ Brown Μια επιπλζον δυςκολία για ςϊμα που κάνει ταλάντωςθ μζςα ςε ρευςτό είναι ότι ο ν. Stokes προχποκζτει και ςτακερι ταχφτθτα του ςϊματοσ. Για μεγαλφτερεσ τιμζσ του αρικμοφ Reynolds όταν δεν ιςχφει ο ν. Stokes, θ εξάρτθςθ τθσ αντίςταςθσ από τθν ταχφτθτα είναι πολφπλοκθ και από όςο γνωρίηουμε δεν υπάρχει γενικι αναλυτικι ςχζςθ που να τθν εκφράηει. Εκφράηεται μόνο με πειραματικζσ καμπφλεσ *1,ς.181]. Όταν όμωσ ο Re γίνει αρκετά μεγάλοσ 3 (χονδρικά 10 3 <Re<10 5 ), κφριοσ παράγων Στο *1,ς.89+ αποδεικνφεται ότι ςφαίρα ακτίνασ r που κάνει ταλάντωςθ ςυχνότθτασ ω μζςα ςε ρευςτό δζχεται δφναμθ απόςβεςθσ F 6 r (1 r ), με τθν προχπόκεςθ ότι τα ω και Re είναι αρκετά μικρά ι το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ αρκετά μικρό. ο προθγοφμενοσ τφποσ τείνει προσ τον ν.stokes. r Όταν 3 Ο αρικμόσ Reynolds, για ςτακερι ροι, εκφράηει τθν τάξθ μεγζκουσ του πθλίκου τθσ ολικισ δφναμθσ ςε ζναν ςτοιχειϊδθ όγκο ρευςτοφ dv προσ τθν δφναμθ λόγω ιξϊδουσ ςτον dv (με τθν παραδοχι ότι δεν υπάρχουν εξωτερικζσ δυνάμεισ). Για μεγάλεσ τιμζσ του Re (π.χ. Re > 10 3 ) οι δυνάμεισ ιξϊδουσ μποροφν να αγνοθκοφν και να κεωρθκεί ότι θ ολικι δφναμθ ςε κάκε dv οφείλεται μόνο ςτθν βακμίδα πίεςθσ. Αυτά δεν ιςχφουν ς ζνα λεπτό ςτρϊμα ρευςτοφ ςτθν επιφάνεια του ςϊματοσ που λζγεται ςυνοριακό ςτρϊμα (boundary layer) όπου υπάρχει ςθμαντικι βακμίδα ταχφτθτασ κάκετα ςτθ ροι και το ιξϊδεσ παίηει ςθμαντικό ρόλο. Το ςυνοριακό ςτρϊμα αποκολλάται από το ςϊμα κατά μικοσ μιασ γραμμισ ςτθν επιφάνεια του ςϊματοσ (δθλαδι οι ρευματικζσ γραμμζσ του ςυνοριακοφ ςτρϊματοσ απομακρφνονται από το ςϊμα) και ςχθματίηεται μια περιοχι ςτροβιλϊδουσ ροισ πίςω από το ςϊμα που λζγεται ολκόσ (wake).για μεγάλεσ τιμζσ του Re θ ροι ςτον ολκό γίνεται τυρβϊδθσ (χαοτικι). Η πίεςθ ςτον ολκό είναι μικρότερθ από τθν πίεςθ μπροςτά ςτο ςϊμα και αυτι θ διαφορά πίεςθσ δθμιουργεί κυρίωσ τθν αντίςταςθ για μεγάλο Re (δθλαδι θ δφναμθ λόγω διαφοράσ πίεςθσ είναι πολφ μεγαλφτερθ από τθν δφναμθ λόγω τθσ διατμθτικισ τάςθσ που δθμιουργεί το ιξϊδεσ ςτθν επιφάνεια του ςϊματοσ). Όςο πιο πίςω ςτο ςϊμα γίνεται θ αποκόλλθςθ τόςο λεπτότεροσ είναι ο ολκόσ και μικρότερθ θ αντίςταςθ. Το που γίνεται θ αποκόλλθςθ δεν εξαρτάται από τον αρικμό Reynolds και από το ιξϊδεσ, αλλά από τθν μορφι και τθν υφι τθσ επιφάνειασ του ςϊματοσ, όςο θ ροι ςτο οριακό ςτρϊμα είναι ςτρωτι. Τότε θ αντίςταςθ δεν εξαρτάται από το ιξϊδεσ και προκφπτει με διαςτατικι ανάλυςθ ότι είναι ανάλογθ του τετραγϊνου τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ, του εμβαδοφ τθσ μετωπικισ 3 5 5 του επιφάνειασ και τθσ πυκνότθτασ του ρευςτοφ. Για λεία ςφαίρα αυτά ιςχφουν όταν 10 Re 10. Όταν όμωσ Re 10 εμφανίηεται ζνα φαινόμενο που λζγεται κρίςθ αντίςταςθσ (Drag crisis) όπου θ αντίςταςθ μειϊνεται απότομα κατά 4 ι 5 φορζσ (μειϊνεται ο C D ) [1,ς.18]. Αυτό οφείλεται ςτο ότι θ ροι ςτο ςυνοριακό ςτρϊμα γίνεται τυρβϊδθσ με αποτζλεςμα θ γραμμι αποκόλλθςθσ να μετατοπιςτεί προσ τα πίςω ςτο ςϊμα και ο ολκόσ να γίνει λεπτότεροσ (τα μπαλάκια του τζνισ καταςκευάηονται με μαλλιαρι επιφάνεια ϊςτε θ ροι ςτο ςυνοριακό ςτρϊμα να γίνεται τυρβϊδθσ και να εμφανίηεται θ κρίςθ αντίςταςθσ για μικρότερεσ ταχφτθτεσ). Για ακόμα μεγαλφτερεσ τιμζσ του Re ο C D μεγαλϊνει πάλι, αλλά όταν θ ταχφτθτα του ςϊματοσ πλθςιάηει
Δύναμη ελατηρίου [N] αντίςταςθσ γίνεται θ αδράνεια του ρευςτοφ και θ διαφορά πίεςθσ ςτο εμπρόσ και το πίςω μζροσ του ςϊματοσ, προκφπτει δε με ςυνδυαςμό κεωρίασ και πειράματοσ ότι θ αντίςταςθ είναι ανάλογθ του τετραγϊνου τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ και δεν εξαρτάται από το ιξϊδεσ του ρευςτοφ. Συγκεκριμζνα για κατάλλθλα μεγάλο Re, F 1 C A (6) D όπου ρ θ πυκνότθτα του ρευςτοφ, Α το εμβαδόν τθσ προβολισ του ςϊματοσ ςε επίπεδο κάκετο ςτθν κίνθςθ και C D ο ςυντελεςτισ αντίςταςθσ που εξαρτάται από το ςχιμα του ςϊματοσ. Ιδιαίτερα για λεία ςφαίρα προχπόκεςθ ιςχφοσ τθσ (6) είναι θ 4 5 10 Re 10 και C 0, 45 [1,ς.18]. Αλλά και ςτο ευρφτερο διάςτθμα D 3 5 10 Re 10 (όπωσ προκφπτει από πειραματικζσ καμπφλεσ *1,ς.18+) μποροφμε να δεχτοφμε ότι ιςχφει προςεγγιςτικά θ (6) για ςφαίρα. Για τθν ςφαίρα Α=πr οπότε θ (6) γίνεται F (7) με 0, r (8). 6 Για ςφαίρα διαμζτρου 4cm που κινείται μζςα ςτο νερό, για το οποίο 10 m / s, θ προχπόκεςθ ιςχφοσ τθσ (6) γίνεται 0, 05 m / s 5 m / s Πειραματικζσ διαδικαςίεσ Χρθςιμοποιοφμε ταλαντωτι με ελατιριο ςτακεράσ Κ=3N/m, ςτο κάτω άκρο του οποίου είναι κρεμαςμζνο βαράκι 00g και κάτω από το βαράκι είναι ςυνδεδεμζνο με ςφρμα μικουσ 0cm μπαλάκι ping-pong διαμζτρου r=4cm γεμιςμζνο με ςκάγια. Η ςυνολικι ανθρτθμζνθ μάηα ςτο ελατιριο είναι m=0,43kg. Το πάνω άκρο του ελατθρίου αναρτάται ςτον αιςκθτιρα δφναμθσ του MultiLog. Κατ αρχιν παρατθροφμε ότι ςτον αζρα, ταλάντωςθ αρχικοφ πλάτουσ 5cm του ταλαντωτι αυτοφ για 40s είναι ςχεδόν αμείωτθ. Στθ ςυνζχεια βυκίηουμε το μπαλάκι ςε ευρφ δοχείο με νερό ςε βάκοσ 1cm. Απομακρφνουμε κατακόρυφα τον ταλαντωτι από τθν κζςθ ιςορροπίασ περίπου κατά cm 6,0 και τον αφινουμε ελεφκερο. Επακολουκεί φκίνουςα ταλάντωςθ με αρχικό πλάτοσ cm όπου το μπαλάκι κινείται ςυνεχϊσ μζςα ςτο νερό. Καταγράφουμε με το MultiLog τθν ταλάντωςθ τθσ δφναμθσ του ελατθρίου για 40s (ο αιςκθτιρασ απόςταςθσ για προφανείσ πρακτικοφσ λόγουσ δεν είναι δυνατόν να χρθςιμοποιθκεί). Εξάγουμε από το DB-Lab τισ Ταλάντωση στο νερό,5 μετριςεισ ςαν αρχείο *.csv και με το πρόγραμμα γραφικϊν παραςτάςεων GraphPad,0 0 5 10 15 0 Χρόνος [s] 5 30 35 40 Prism καταςκευάηουμε τθν γραφικι παράςταςθ του Σχ.1. χ. 1 Πειραματική καμπφλη τησ ταλάντωςησ τησ δφναμησ του ελατηρίου Επειδι F mg F Kx (9) (F αν : άνωςθ, x: απομάκρυνςθ), οι ταλαντϊςεισ τθσ δφναμθσ του ελατθρίου και τθσ απομάκρυνςθσ φκίνουν με τον ίδιο ακριβϊσ τθν ταχφτθτα του ιχου ςτο ρευςτό θ κατάςταςθ ξεφεφγει από το προθγοφμενο πλαίςιο διότι θ ροι παφει να μπορεί να κεωρθκεί αςυμπίεςτθ.
Δύναμη ελατηρίου [N] 6,0,5,0 F 1.7 exp( 0.059 t) cos(8.6t 3.5) 4.14 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Χρόνος [s] χ. Η ταλάντωςη τησ δφναμησ του ελατηρίου αν η αντίςταςη ήταν ανάλογη τησ ταχφτητασ τρόπο. Η απόςβεςθ προφανϊσ οφείλεται ςτθν αντίςταςθ που δζχεται το μπαλάκι από το νερό. Θζλουμε να ελζγξουμε αν θ αντίςταςθ αυτι υπακοφει ςτο νόμο Stokes. Ζςτω ότι υπακοφει. Τότε κα πρζπει b 6r οπότε b 3r. m m Για το νερό ςτουσ 0 ο C 3 kg 4 1 10 ςυνεπϊσ 4,4 10 s. ms Επίςθσ K 1 0 74,4s 0 8,6s. m Επειδι 0 μποφμε να κεωριςουμε ότι το πλάτοσ παρουςιάηει εκκετικι μείωςθ exp( t) 0 οπότε για t=40s ζχουμε 0 exp( t) 1, 018. Αυτό όμωσ είναι ςε προφανι αντίκεςθ με τθν πειραματικι καμπφλθ (Σχ.1) απ όπου φαίνεται 0 ότι 5 Δθλαδι θ ταλάντωςθ φκίνει πολφ πιο γριγορα από ότι κα ζφκινε αν ίςχυε για τθν αντίςταςθ ο ν. Stokes. Συνεπϊσ θ αντίςταςθ που ςυναντά το μπαλάκι από το νερό απζχει πολφ από το να υπακοφει ςτο νόμο Stokes. Μιπωσ όμωσ θ αντίςταςθ αυτι είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ με μια πολφ μεγαλφτερθ ςτακερά αναλογίασ b; Αν ςυμβαίνει αυτό τότε, όπωσ προκφπτει από τθν (9), πρζπει θ δφναμθ του ελατθρίου F ελ να ταλαντϊνεται ςφμφωνα με ςχζςθ τθσ μορφισ: F Aexp( t) ( t ) C (10) με Α=1,7Ν (θ θμιδιαφορά τθσ αρχικισ μζγιςτθσ και ελάχιςτθσ τιμισ τθσ δφναμθσ). Το GraphPad ζχει τθν δυνατότθτα με μια διαδικαςία που λζγεται μθ γραμμικι παλινδρόμθςθ (nonlinear regression) να υπολογίςει τισ ςτακερζσ Λ, ω, κ, C, ϊςτε θ γραφικι παράςταςθ τθσ (10) να προςεγγίηει με βζλτιςτο τρόπο τθν πειραματικι καμπφλθ του Σχ.1. Το αποτζλεςμα τθσ διαδικαςίασ αυτισ είναι Λ=0,059, ω=8,6, κ=-, C=4,14 (S.I.) και θ γραφικι παράςταςθ τθσ (10) φαίνεται ςτο Σχ.. Παρατθροφμε ότι θ καμπφλθ αυτι διαφζρει ςθμαντικά από τθν πειραματικι καμπφλθ. Δείχνει μικρότερο ρυκμό μείωςθσ τθσ ταλάντωςθσ ςτθν αρχι τθσ και μεγαλφτερο αργότερα ςε ςχζςθ με τθν πραγματικι ταλάντωςθ. Άρα θ αντίςταςθ που δζχεται το μπαλάκι από το νερό όχι μόνο δεν υπακοφει ςτο νόμο του Stokes αλλά και δεν μπορεί να είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ. 1 Από τθν (9) τϊρα προκφπτει ( t) F ( t). Με βάςθ τθ ςχζςθ αυτι το GraphPad μπορεί από τθν πειραματικι K καμπφλθ (Σχ. 1) να δϊςει τθν καμπφλθ τθσ ταχφτθτασ απ όπου μποροφμε να εκτιμιςουμε ότι θ μζγιςτθ ταχφτθτα του ταλαντωτι ςτθν αρχι και το τζλοσ του χρ. διαςτιματοσ *0, 40s+ είναι τθσ τάξθσ των 0,5m/s και 0,08m/s αντίςτοιχα. Άρα για το μεγαλφτερο μζροσ του *0, 40s+ ικανοποιείται θ προχπόκεςθ 0,05m/s < υ < 5m/s για να ιςχφει θ (6). Αν λοιπόν δεχτοφμε ότι θ δφναμθ απόςβεςθσ είναι τθσ μορφισ (6) ο οσ Νόμοσ του Newton δίνει τθν ακόλουκθ μθ γραμμικι διαφορικι εξίςωςθ για τθν απομάκρυνςθ: x() t K x t x t x t m x() t m ( ) [ ( )] ( ) 0 (11) Από τθν (8) 0, r 1 0,643m. Επίςθσ m m K m 74,4s Οπότε θ (11) γίνεται x() t x t x t x t x() t ( ) 0,643 [ ( )] 74,4 ( ) 0 (1)
Δύναμη ελατηρίου [Ν] Δύναμη ελατηρίοσ(ν) Η (1) με αρχικζσ ςυνκικεσ x(0) 0.055m και x(0) 0 μπορεί ςτο χρονικό διάςτθμα *0, 40s+ να επιλυκεί αρικμθτικά με το Mathematica και να μασ δοκεί θ γραφικι παράςταςθ τθσ λφςθσ, με τισ διαδοχικζσ εντολζσ: NDSolve[{x''[t]+0.643*Sign[x'[t]]*x'[t]^+74.4*x[t]==0,x[0]==0.055,x'[0]==0},x,{t,0,40}] και Plot[x[t]/.%,{t,0,40}] Όπωσ βλζπουμε ςτο Σχ.3 θ γραφικι παράςταςθ τθσ λφςθσ 0.04 τθσ (1) ςυμφωνεί αρκετά καλά με τθν πειραματικι καμπφλθ ςτο Σχ.1. Η υπόκεςθ λοιπόν που κάναμε ότι θ 0.0 αντίςταςθ που ςυναντά ο ταλαντωτισ από το νερό είναι τθσ 10 0 30 40 μορφισ (6) δεν αντιτίκεται εμφανϊσ ςτα πειραματικά δεδομζνα. Αυτό βζβαια δεν ςθμαίνει ότι θ αντίςταςθ ςε 0.0 κάκε χρονικι ςτιγμι κα ζχει τθ μορφι (6). Όταν θ ταχφτθτα ζχει τιμι αρκετά κοντά ςτο μθδζν ο Re κα είναι αρκετά 0.04 μικρότεροσ από το όριο 10 3 και δεν κα ιςχφει θ (6). Οι χ.3 Γραφική παράςταςη τησ λφςησ τησ (1) μικρότερεσ ταχφτθτεσ όμωσ δεν επθρεάηουν πολφ τθν απόςβεςθ άρα και τθν πειραματικι καμπφλθ. Η ομοιότθτα των δφο καμπυλϊν δείχνει ότι θ αντίςταςθ που ςυναντά το μπαλάκι κινοφμενο μζςα ςτο νερό είναι πιο κοντά ςτθν μορφι (6). Μποροφμε να επαναλάβουμε το προθγοφμενο πείραμα χρθςιμοποιϊντασ γλυκερίνθ αντί για νερό. Λόγω περιοριςμϊν 6 5 4 3 0,5 1,0 1,5,0,5 Χρόνος(s) χ. 4 Σαλάντωςη ςτην γλυκερίνη ςτθν ποςότθτα τθσ γλυκερίνθσ (L) το περιζχον το ρευςτό δοχείο είναι αρκετά μικρότερο από ότι ςτθν περίπτωςθ με το νερό. Η καταγραφι με το MultiLog όπωσ προθγουμζνωσ μασ δίνει τθν πειραματικι καμπφλθ του Σχ.4. Εδϊ παρατθροφμε πολφ μεγαλφτερθ απόςβεςθ τθσ ταλάντωςθσ από ότι ςτο νερό και αυτό πρζπει να οφείλεται ςτο πολφ μεγαλφτερο ιξϊδεσ τθσ γλυκερίνθσ (περίπου 1kg/m*s ζναντι 10-3 kg/m*s του νεροφ, ενϊ θ πυκνότθτα τθσ γλυκερίνθσ - 1,6g/cm 3 - είναι λίγο μεγαλφτερθ από αυτιν του νεροφ). Οπότε θ αντίςταςθ που ςυναντά το μπαλάκι δεν μπορεί να είναι τθσ μορφισ (6) κακϊσ πρζπει να εξαρτάται από τον ςυντελεςτι ιξϊδουσ. Για να ελζγξουμε αν θ αντίςταςθ είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ προςαρμόηουμε με μθ γραμμικι παλινδρόμθςθ τθν (10) ςτα πειραματικά ςθμεία. Το αποτζλεςμα φαίνεται ςτο Σχ.5 όπου παρατθροφμε ότι θ προςαρμογι είναι πολφ καλι οπότε δεν οδθγεί ςε λάκοσ να δεχτοφμε ότι θ αντίςταςθ είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ με 6,0 Πειραματικά σημεία Προσαρμοσμένη καμπύλη b m kg s 1 0,431,44 1,. Η τιμι αυτι όμωσ δεν ςυμφωνεί με τον νόμο του Stokes ςφμφωνα με τον οποίοb 6r 0,38kg s Αυτι θ διαφορά ίςωσ ζχει ςχζςθ και με τον τφπο ςτθν υποςθμείωςθ. 1,5,0 1,5 F, 6exp( 1.44 t) cos(7.99t 5.06) 4.05 0,5 1,0 1,5,0,5 Χρόνος [s] χ.5 Θα ιταν ενδιαφζρον να επαναλθφκεί το πείραμα ςε μεγαλφτερο δοχείο με μεγαλφτερθ ποςότθτα γλυκερίνθσ και με ταλαντωτι που περιλαμβάνει ελατιριο ςτακεράσ 15N/m (δφο ελατιρια των 30N/m ςε ςειρά) ςτο οποίο είναι κρεμαςμζνθ μάηα kg και κάτω από αυτιν ςτερεωμζνο με ςφρμα μικουσ 0cm ςφαιρίδιο διαμζτρου 1cm, για να
Δύναμη ελατηρίου[n] Άνω περιβάλλουσα δύναμης ελατηρίου[n] ελζγξουμε αν ςτθν περίπτωςθ αυτι θ αντίςταςθ είναι πιο κοντά ςτο νόμο του Stokes. Όταν θ ταλάντωςθ του ταλαντωτι ελατθρίου μάηασ γίνεται ςτον αζρα θ αντίςταςθ του αζρα είναι πολφ μικρότερθ από τθν αντίςταςθ ςτο νερό οπότε μπορεί να γίνονται ςθμαντικοί και άλλοι δφο παράγοντεσ απόςβεςθσ. Οι δυνάμεισ τριβισ ςτα άκρα του ελατθρίου και οι ενεργειακζσ απϊλειεσ λόγω τθσ (ζςτω πολφ μικρισ) μθ γραμμικότθτασ του ελατθρίου που εκφράηονται από το εμβαδόν του βρόγχου υςτζρθςθσ και οφείλονται ςε εςωτερικζσ τριβζσ μζςα ςτο μζταλλο του ελατθρίου. Για τθν πειραματικι μελζτθ τθσ ταλάντωςθσ ςτον αζρα ςτον προθγοφμενο ταλαντωτι αντικακιςτοφμε το μπαλάκι του ping-pong (και το ςφρμα των 0cm) με βαράκι 150g κάτω από το οποίο κολλάμε οριηόντια ζνα CD ϊςτε να είναι πικανόν θ αντίςταςθ του αζρα να είναι ο κυριότεροσ παράγων απόςβεςθσ. Καταγράφουμε όπωσ και προθγουμζνωσ τθν ταλάντωςθ τθσ δφναμθσ του ελατθρίου με το MultiLog όπωσ φαίνεται ςτο Σχ.6. Άνω περιβάλλουσα πειραματικών τιμών Προσαρμοσμένη εκθετική καμπύλη Ταλάντωση στον αέρα,5,5,0 0 50 100 150 00 50 300 Χρόνος[s],0 0 50 100 150 00 50 300 Χρόνος[s] χ. 6 χ. 7 Στο Σχ.7 βλζπουμε τθν άνω περιβάλλουςα των πειραματικϊν τιμϊν τθσ δφναμθσ του ελατθρίου (κόκκινθ καμπφλθ) και τθν πλθςιζςτερθ προσ αυτι εκκετικι καμπφλθ με τθν ίδια αρχι (πράςινθ καμπφλθ) θ οποία ζχει προκφψει με μθ γραμμικι παλινδρόμθςθ. Επειδι οι δφο καμπφλεσ διαφζρουν αρκετά, θ άνω περιβάλλουςα των πειραματικϊν ςθμείων δεν είναι εκκετικι καμπφλθ άρα θ ςυνολικι δφναμθ που προκαλεί τθν απόςβεςθ τθσ ταλάντωςθσ δεν είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ. Μποροφμε να παρατθριςουμε ότι θ διαφορά των δφο καμπυλϊν ςτο Σχ.7 είναι του ίδιου είδουσ με τθν διαφορά των άνω περιβαλλουςϊν ςτα Σχ.1 και Σχ.. Μηχανική ταλάντωςη με ηλεκτρομαγνητική απόςβεςη (δινορεφματα) Υπάρχουν αναφορζσ (μεταξφ άλλων και κάπου ςτον Feynman) ότι όταν θ δφναμθ απόςβεςθσ οφείλεται ςε δινορεφματα (eddy currents) τότε είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ. Δεν μπόρεςα να βρω κάποια απόδειξθ ι τισ προχποκζςεισ που ιςχφει. Μποροφμε να κεωριςουμε όμωσ το ακόλουκο απλοποιθμζνο μοντζλο που είναι και μια καλι άςκθςθ. Στον ταλαντωτι ελατθρίου μάηασ κάτω από τθν μάηα ςτερεϊνουμε ορκογϊνιο ςυρμάτινο πλαίςιο αντίςταςθσ R του οποίου θ κατακόρυφθ πλευρά είναι αρκετά μεγαλφτερθ από τθν οριηόντια. Η κάτω πλευρά του πλαιςίου μικουσ α βρίςκεται μζςα ςε οριηόντιο ομογενζσ μαγνθτικό πεδίο Β κάκετο ςτο επίπεδο του πλαιςίου. Αν ο ταλαντωτισ κάνει κατακόρυφθ ταλάντωςθ ϊςτε θ κάτω πλευρά του πλαιςίου να βρίςκεται ςυνεχϊσ μζςα ςτο μαγνθτικό πεδίο και θ πάνω εκτόσ, τότε ςτο πλαίςιο δρα κατακόρυφθ μαγνθτικι δφναμθ τθσ μορφισ F b, όπου B b, θ οποία λειτουργεί ςαν δφναμθ απόςβεςθσ. R
Δύναμη ελατηρίου[ν] Άνω περιβάλλουσα δύναμης ελατηρίου[ν] Για τθν πειραματικι διερεφνθςθ τθσ απόςβεςθσ με δινορεφματα κα χρθςιμοποιιςουμε μια πιο πρακτικι διάταξθ. Ο ταλαντωτισ αποτελείται από ελατιριο με Κ=3Ν/m ςτο οποίο είναι κρεμαςμζνθ μάηα 0,5kg και κάτω από τθν μάηα αναρτθμζνοσ κατάλλθλα ραβδόμορφοσ μαγνιτθσ. Η ςυνολικά ανθρτθμζνθ μάηα ςτο ελατιριο είναι m = 0,6kg. Ο μαγνιτθσ βρίςκεται εν μζρει μζςα ςε κατακόρυφο χαλκοςωλινα μικουσ 13cm και διαμζτρου cm περίπου, όπωσ φαίνεται ςτθν διπλανι εικόνα. Όταν ο ταλαντωτισ κάνει κατακόρυφθ ταλάντωςθ, ο μαγνιτθσ κινείται ςτον άξονα του ςωλινα και επάγει ςτον χαλκό δινορεφματα των οποίων το μαγνθτικό πεδίο εξαςκεί ςτον μαγνιτθ τθν δφναμθ απόςβεςθσ. Καταγράφουμε με το MultiLog όπωσ και προθγουμζνωσ τθν ταλάντωςθ τθσ δφναμθσ του ελατθρίου που φαίνεται ςτο Σχ.8. Στο Σχ.9 υπάρχει θ άνω περιβάλλουςα των πειραματικϊν τιμϊν (κόκκινθ καμπφλθ), και θ εγγφτερθ ςε αυτιν εκκετικι καμπφλθ (πράςινθ) θ οποία προζκυψε με μθ γραμμικι προςαρμογι τθσ y Aexp( t) C ςτθν άνω περιβάλλουςα των πειραματικϊν τιμϊν (A=,04, Λ=0,05, C=6,6). Η ςφμπτωςθ των δφο καμπυλϊν ςθμαίνει ότι θ δφναμθ απόςβεςθσ είναι πράγματι ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ 4. 9 9,0 8,5 8 8,0 7,5 7 7,0 6,5 6 6,0 5 Απόσβεση με δινορεύματα Άνω περιβάλλουσα πειραματικών τιμών Προσαρμοσμένη εκθετική καμπύλη 4 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 Χρόνος[s] Χρόνος[s] χ. 8 χ. 9 4 Είναι δυνατόν να προςαρμόςουμε και τθν (10) ςτθν πειραματικι καμπφλθ του Σχ. 8 και να διαπιςτϊςουμε ότι θ καμπφλθ που προκφπτει ςυμπίπτει με τθν πειραματικι ( F, 04 exp( 0, 048 t) (7,38t 5,8) 6, 3 ).
Κάποια ςυμπεράςματα. Αν και χρειάηονται περιςςότερα και ακριβζςτερα πειράματα για τθν εξαγωγι αςφαλϊν ςυμπεραςμάτων, τα προθγοφμενα ςε ςυνδυαςμό με το κεωρθτικό πλαίςιο δείχνουν ότι θ δφναμθ αντίςταςθσ που προζρχεται από τθν κίνθςθ ταλαντευόμενου ςϊματοσ ςυνθκιςμζνου μεγζκουσ μζςα ςε ρευςτό, ζχει πικανότθτεσ να είναι ανάλογθ τθσ ταχφτθτάσ του μόνον όταν το ρευςτό είναι κάποιο παχφρευςτο υγρό και θ κίνθςθ του ςϊματοσ είναι αρκετά αργι. Το πεδίο λοιπόν ακριβοφσ εφαρμογισ του μοντζλου που περιγράφεται από τθν (1) ςτισ μθχανικζσ ταλαντϊςεισ είναι μάλλον πολφ πιο περιοριςμζνο απ όςο πικανϊσ νομίηουμε. Δεν αλθκεφει ότι οι δυνάμεισ απόςβεςθσ είναι ςυνικωσ ανάλογεσ τθσ ταχφτθτασ *4,παρ.3]. Στισ ταλαντϊςεισ όμωσ με απόςβεςθ μζςω δινορευμάτων το μοντζλο (1) φαίνεται να εφαρμόηεται πολφ καλά. Η ςχεδόν αποκλειςτικι χριςθ του μοντζλου (1) ςε όλα τα βιβλία οφείλεται ίςωσ ςε ςθμαντικό βακμό ςτο ότι επιλφεται εφκολα, μπορεί να εφαρμοςτεί και προςεγγιςτικά, αλλά και ςτο ότι ςτισ φκίνουςεσ θλεκτρικζσ ταλαντϊςεισ εφαρμόηεται πολφ καλφτερα [,ς.173]. ΑΝΑΦΟΡΕ [1] Landau L. D. and Lifshitz E. M. Fluid Mechanics, nd ed. Pergamon Press 1987 [] Taylor J. R. Classical Mechanics, University Science Books 005 [3] Tritton D. J. Physical Fluid Dynamics, nd ed. Oxford U.P. 1988 [4] http://arxiv.org/html/physics/0109067/ Δθμιτρθσ Βλάχοσ