Ένθετη θεωρία για την αδρανειακή δύναµη D Alempert

Ένθετη θεωρία για την αδρανειακή δύναµη D Alempert Είναι γνωστό ότι ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα ισχύει µόνο για τα λεγόµενα αδρανεικά συστήµατα αναφοράς, δηλαδή για τα συστήµατα εκείνα που είναι συµβατά µε την αρχή της αδράνειας. Ένας παρατηρητής που έχει εγκατασταθεί σ ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς αναγνωρίζει σε κάθε σώµα δύο είδη δυνάµεων, τις δυνάµεις επαφής και τις δυνάµεις πεδίων (βαρυτικές δυνάµεις, ηλεκτρικές δυνάµεις, µαγνητικές δυνάµεις). Oι δυνά µεις αυτές είναι µακροσκοπικά αισθητές, δηλαδή είναι αντιληπτές µέσω των αισθήσεών µας και προέρχονται από το περιβάλλον του σώµατος, δηλαδή από τα σώµατα εκείνα µε τα οποία το θεωρούµενο σώµα βρίσκεται σε άµεση αλληλεπίδραση. Tο πρόβληµα που τίθεται τώρα είναι το εξής: Ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα ισχύει για ένα µη αδρανεικό σύστηµα ανα φοράς, λογουχάρη για ένα σύστηµα αναφοράς που εκτελεί σε σχέση µε ένα αδρανειακό σύστηµα καµυλόγραµµη µεταφορική κίνηση ή επιταχύνοµενη ευθύγραµµη κίνηση ή στροφική κίνηση ή ακόµη γενικότερα σύνθετη κίνηση; H προκαταβολική απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι η εξής: O δεύτερος νόµος κίνησης του Nεύτωνα ισχύει για ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, αν δεχθούµε ότι σε κάθε σώµα που εξετάζεται από ένα τέτοιο σύστη µα ενεργούν εκτός από τις πραγµατικές δυνάµεις που προέρχονται από το περι βάλλον του καί κάποιες υποθετικές δυνάµεις, που ονοµάζονται δυνάµεις αδρά νειας ή ψευδοδυνάµεις. Η κατανόηση της αναγκαιότητας των αδρανειακών δυνάµεων και ο καθορισ µός του χαρακτήρα τους, στην περίπτωση µη αδρανειακού συστήµατος που εκτελεί σύνθετη κίνηση (µεταφορική και στροφική) ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα, παρουσιάζει σηµαντικές µαθηµατικές δυσκολίες ακόµα και στο επίπεδο ενός σπουδαστή Φυσικής και για τον λόγο αυτόν θα εξεταστεί η σχετικά απλή περίπτωση µη αδρανειακού συστήµατος, που εκτελεί µεταφο ρική κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα. Θεωρούµε λοιπόν ένα σύστηµα αναφοράς Κ που είναι εφοδιασµένο µε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων O x y z', το οποίο κινείται ως πρός το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Κ (µε τρισορθογώνιο σύστηµα το Οxyz), ώστε όλα του τα σηµεία να έχουν κάθε στιγµή την ίδια ταχύτητα ως προς αυτό, η οποία θα συµπίπτει µε την ταχύτητα της αρχής Ο του συστήµατος (σχ. 1). Έστω ότι εξετάζεται η κίνηση ενός υλικού σηµείου Μ από τα δύο αυτά συστήµατα και r, r είναι τα διανύσµατα θέσεως του Μ ως προς τις αρχές Ο και Ο αντιστοίχως, κατά την χρονική στιγµή t. Τότε θα ισχύει η διανυσµατική σχέση:

r = r '+ R όπου R το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεως της αρχής Ο ως προς την Ο. Παρα γωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: d r dt = d r ' dt + d R dt (1) (2) Σχήµα 1 Στην σχέση (2) το διάνυσµα d r /dt εκφράζει την ταχύτητα v του υλικού σηµείου στο σύστηµα αναφοράς Κ κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή t, το διάνυσµα d r '/dt εκφράζει την αντίστοιχη ταχύτητα v ' του Μ στο σύστη µα αναφοράς Κ και τέλος το διάνυσµα d R /dt εκφράζει την ταχύτητα V της µεταφορικής κίνησης του Κ ως προς το Κ την ίδια στιγµή. Έτσι η σχέση (2) παίρνει την µορφή: v = v '+ V Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d v dt = d v ' dt + d V dt Όµως τα διανύσµατα d v /dt και d v '/dt εκφράζουν τις επιταχύνσεις a και a ' του υλικού σηµείου στα συστήµατα Κ και Κ αντιστοίχως κατά την χρονική στιγµή t, ενώ το διάνυσµα d V /dt εκφράζει την αντίστοιχη επιτά χυνση A της µεταφορικής κίνησης του Κ ως προς το Κ. Έτσι η σχέση (3) γράφεται: a = a '+ A a '= a - A (4) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της (4) µε την µάζα m του υλικού ση µείου έχουµε: m a '= m a - m A (5) Όµως η διανυσµατική ποσότητα m a αποτελεί την συνισταµένη δύναµη, που δέχεται το υλικό σηµείο, όταν εξετάζεται από το αδρανειακό σύστηµα K, δηλαδή η ποσότητα αυτή εµπεριέχει όλες τις πραγµατικές δυνάµεις που (3) (3)

αντιλαµβάνεται για το σηµείο ο αδρανειακός παρατηρητής που έχει εγκατα σταθει στο Κ. Aν ο µη αδρανειακός παρατηρητής που µετέχει της µεταφο ρικής κίνησης του Κ δεχθεί επί του υλικού σηµείου τις δυνάµεις αυτές καί επί πλέον την υποθετική δύναµη -m A, τότε σύµφωνα µε την σχέση (5) µπο ρεί να εφαρµόζει για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτω να και να υπολογίζει επακριβώς την επιτάχυνσή του a '. H δύναµη -m A αποτελεί µια υποθετική δύναµη ή το ίδιο µια ψευδοδύναµη, διότι δεν ασκείται πάνω στο σηµείο από το περιβάλλον του. Aπλώς την δύναµη αυτή οφείλει να επινοήσει ο επιταχυνόµενος παρατηρητής του συστήµατος Κ, αν θέλει να καταλήξει σε σωστά συµπεράσµατα όταν εξετάζει την κίνηση του υλικού σηµείου. H ψευδοδύναµη -m A ονοµάζεται αδρανειακή δύναµη D' Alempert και είναι αντίρροπη της επιτάχυνσης A του µη αδρανειακού συστήµατος K, το δε µέτρο της είναι ίσο µε ma. Aπό όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω προκύπτει η εξής πρόταση: O δεύτερος νόµος κίνησης του Nεύτωνα ισχύει γιά σύστηµα αναφοράς που έ επιταχύνεται, εκτελώντας ευθύγραµµη ή καµµυλόγραµµη µεταφορική κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα, αν για κάθε σώµα που εξετάζεται από το σύστηµα αυτό ληφθούν υπ όψη οι πραγµατικές δυνάµεις που προέρχονται από το περιβάλλον του και επί πλέον η αδρανειακή ψευδοδύναµη D' Alempert. Για να κατανοηθεί η χρησιµοποίηση της αδρανειακής δύναµης D Alempert θα αναφερθούµε σε πέντε χαρακτηριστικά παραδείγµατα-ασκήσεις. P.M. fysikos ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Mικρό σώµα µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι δεµένο στο κατακόρυφο τοίχωµα ενός ευκίνητου οχήµατος µάζας M, όπως φαίνεται στο σχήµα (2). Eκτρέπουµε το σώµα οριζόντια από την θέση ισορροπίας του, ώστε το ελατήριο να τεντωθεί και κρατάµε το σύστηµα σώµα-όχηµα ακίνητο. Eάν στην συνέχεια το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο, να δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει στο σύστηµα αναφοράς του οχήµατος απλή αρµονική ταλαντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. ΛYΣH: Tην στιγµή που το σύστηµα όχηµα-σώµα αφήνεται ελεύθερο η ορµή του στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι µηδέν και επειδή το σύστηµα είναι µηχανικά µονωµένο η ορµή του θα είναι µηδενική κατά την διάρκεια που κινείται, δηλαδή κάθε χρονική στιγµή t θα ισχύει: m v + M V = 0 V = - m v /M (1) όπου v, V οι ταχύτητες του σώµατος και του οχήµατος ως πρός το έδαφος

κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Παραγωγίζοντας την σχέση (1) ως πρός τον χρόνο, παίρνουµε την διανυσµατική σχέση: d V dt = - m M d v dt a = - m a (2) M όπου a, a, οι επιταχύνσεις του σώµατος και του οχήµατος ως πρός το έδα φος κατά την χρονική στιγµή t. Aς εξετάσουµε τώρα την κίνηση του σώµα τος στο σύστηµα αναφοράς του oχήµατος. Eπειδή το σύστηµα αυτό επιτα χύνεται µεταφορικά ως πρός το έδαφος, δεν αποτελεί αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, οπότε ένας παρατήρητης που βρίσκεται στο όχηµα αναγνωρίζει ως πραγµατικές δυνάµεις επί του σώµατος το βάρος του w, την κατακόρυφη αντίδραση N του δαπέδου του οχήµατος και την δύναµη F " από το παρα Σχήµα 2 µορφωµένο ελατήριο, πρέπει όµως για να µη πλανηθεί στους υπολογισµούς του να δεχθεί επί του σώµατος και την αδρανειακή δύναµη =-m a. Επειδή το σώµα στο σύστηµα αναφοράς του οχήµατος δεν έχει κατακόρυφη κίνηση οι δυνάµεις w και N αληλλοαναιρούνται, ενώ κατά την οριζόντια διέυθυν ση η συνισταµένη δύναµη επί του σώµατος έχει αλγεβρική τιµή* που δίνε ται από την σχέση: (2) F(x) = -F " - $ = -kx - ma F(x) = -kx - m(ma " ) M όπου x η αποµάκρυνση του σώµατος από την θέση ισορροπίας του Ο, της οποίας το µέτρο εκφράζει και την επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσι κή του κατάσταση. Όµως το γινόµενο ma σ αποτελεί το µέτρο της δύναµης που επιταχύνει το σώµα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, δηλαδή είναι ίσο µε kx, οπότε η σχέση (3) γράφεται: (3) µε F(x) = -kx - mkx M D = k( m + M) / M = -k " m + M % $ ' x F(x) = -Dx (4) M & H σχέση (4) εγγυάται ότι το σώµα στο σύστηµα αναφοράς του οχήµατος εκτελεί απλή αρµονική ταλαντωση µε σταθερά επαναφοράς D=k(Μ+m)/Μ. H -------------------------------------------------- * H σχέση (3) καταστρώθηκε λαµβάνοντας αυθαίρετα ως θετική κατεύθυνση στον οριζόντιο άξονα Ox την κατεύθυνση της αποµάκρυνσης x.

περίοδος T της ταλάντωσης αυτής δίνεται από την σχέση: T = 2 m D = 2 Mm k(m + m) P.M. fysikos Ένα δοκάρι µάζας Μ ισορροπεί σε οριζόντιο έδαφος και πάνω σ αυτό βρίσκεται σφαίρα µάζας m και ακτίνας R. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο δοκάρι οριζόντια δύναµη F που διευθύνεται κατά την έννοια του µήκους του. Εάν ο συντελε στής οριακής τριβής µεταξύ σφαίρας και δοκαριού είναι n, να βρε θούν: i) η επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του δοκαριού και στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, όταν η σφαί ρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι και ii) η µέγιστη τιµή του µέτρου της F, για την οποία επίκειται ολίσ θηση της σφαίρας πάνω στο δοκάρι. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =2mR 2 /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντ ρο της. ΛΥΣΗ: i) Στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους το δοκάρι δέχεται το βάρος του M g, την κατακόρυφη αντίδραση Q του λείου οριζόντιου εδάφους, την οριζόντια δύναµη F και µια δύναµη από την σφαίρα, που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N (σχ. 3). Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτώνα παίρνουµε την σχέση: F - T = Ma a = (F - T)/M (1) Σχήµα 3 Σχήµα 4 όπου a η επιτάχυνση του δοκαριού στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Ας εξετάσουµε τώρα την σφαίρα στο σύστηµα αναφοράς του δοκαριού. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στο δοκάρι είναι ένας µη αδρανειακός παρατηρητής και αναγνωρίζει ως πραγµατικές δυνάµεις επί της σφαίρας το βάρος της m g και µια δύναµη επαφής από το δοκάρι, η οποία αναλύεται στην τριβή T ' και την κάθετη αντίδραση N '. (σχ. 4) Όµως ο παρατηρητής αυτός είναι υποχρεωµένος για να µελετά σωστά την κίνηση της σφαίρας να

δεχθεί ακόµη ότι ενεργεί στο κέντρο µάζας της η αδρανειακή ψευδοδύ ναµη D Alempert =-m a ". Επειδή η τριβή T ' παρουσιάζει ροπή περί το κέντρο, θα δηµιουργήσει αριστερόστροφη περιστροφή της σφαίρας περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το, µε αποτέλεσµα το σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το δοκάρι να αποκτήσει ταχύτητα οµόρροπη της T '. Όµως δεχθήκαµε ότι η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι, που σηµαίνει ότι το σηµείο Α έχει και µεταφορική ταχύτητα αντίθετη της προηγούµενης, δηλα δή η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι αντίρροπη της T '. Εφαρµόζοντας στο σύστηµα αναφοράς του δοκαριού τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτω να, παίρνουµε την σχέση: - T'= ma ma - T'= ma (2) όπου a η σχετική επιτάχυνση του κέντρου της σφαίρας ως προς το δοκάρι. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (αξίωµα δράσης-αντίδρασης) ισχύ ει T =- T οπότε η (2) γράφεται: (1) ma - T = ma m(f - T)/M - T = ma mf M - T m " M + 1 $ & % = ma mf M - T m + M $ & = ma " M (3) % Εξάλλου ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για την σφαίρα την σχέση; T'R = I ' TR = 2mR 2 '/5 T = 2mR'/5 όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως λόγω της κύλισης της σφαίρας ισχύει a =Rω, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: T = 2ma /5 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: mf M - 2ma 5 m + M$ & = ma " M % F M = a 5 1 + 2 5 + 2 " 5 m$ & M% F M = a 7 + 2 m $ & a " M = % 5F 7M + 2m Eάν a ' είναι η επίτάχυνση του κέντρου της σφαίρας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: a ' = a + a η οποία µε θετική φορά στην οριζόντια διεύθυνση την φορά κίνησης του δοκαριού µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει την µορφή: (5)

(1) a' = -a + a (4) a' = -a + (F - T)/M a' = -a + F M - 2ma 5M = F M - a 1 + 2m (5) $ & " 5M% a' = F M - 5F 7M + 2m 1 + 2m $ & a' " 5M = F % M - F 5M + 2m$ & 7M + 2m " M % a' = F 5M + 2m$ 1 - M " 7M + 2m & = % 2F 7M + 2m ii) Για να µη ολισθαίνει η σφαίρα πάνω στο δοκάρι πρέπει η τριβή T να είναι στατική, δηλαδή το µέτρο της πρέπει να ακολουθεί την σχέση: (6) (4) T' nn' T nmg (5) 2ma / 5 nmg 4mF ng(7m + 2m) nmg F 7M + 2m 4 F max = ng(7m + 2m) 4 P.M. fysikos Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k και φυσικού µήκους L, έχει στερεωθεί µικρό σφαιρίδιο µάζας m, ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί στο δάπεδο ανελ κυστήρα ο οποίος ηρεµεί. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου ο ανελκυστήρας εκκινεί επιταχυνόµενος προς τα πάνω µε σταθερή επιτάχυνση a. i) Να βρείτε την µορφή της διαφορικής εξίσωσης που καθορίζει την κίνηση του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του ανελκυστήρα. ii) Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του µήκους του ελατηρίου. iii) Να βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την ταχύτητα του σφαιρι δίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Εξετάζοντας το σφαιρίδιο ένας παρατηρητής που βρίσκεται µέσα στον ανελκυστήρα µελετάει την κίνησή του στο σύστηµα αναφοράς του ανελκυστήρα, αναγνωρίζει δε ότι η κίνηση αυτή διαµορφώνεται υπό την επίδραση του βάρους m g του σφαιριδίου, της αδρανειακής δύναµης D Alem pert -m a και της δύναµης F " από το παραµορφωµένο ελατήριο. Εφαρµόζον τας ο παρατηρητής για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει την σχέση:

m d2 r dt = F - mg - ma m d2 r 2 " dt 2 = k ( L - r ) - m( g + a) d 2 r dt 2 d 2 r dt 2 = k ( m L - r ) - ( g + a) d2 r dt + kr 2 m = kl m - ( g + a ) + 2 r = kl m - ( g + a ) µε 2 = k m (1) Σχήµα 5 όπου r το διάνυσµα θέσεως του σφαιριδίου µε αρχή το σηµείο Ο του δαπέ δου, στο οποίο έχει στερεωθεί το ελατήριο. Η (1) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση της κίνησης του σφαιριδίου. ii) Εξάλλου η (1) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συνελεστές και δέχεται µερική λύση r (t) της µορφής: r (t) = 1 kl " 2 % $ m - g + a ( ) & ( = m ' k % $ kl m - ( g + a ) Η λύση r (t) της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης είναι: ( ) & ( = L - m g + a ' k (2) r (t) = A"µ (t + $ ) (3) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθή κες κίνησης του σφαιριδίου. Η γενική λύση της (1) είναι: (2),(3) r(t) = r (t) + r (t) r(t) = L - m ( g + a ) k + Aµ ("t + ) (4) Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της ταχύτητας v του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του ανελκυστήρα, δηλαδη θα έχουµε:

v = dr(t) = A"$ (t + %) (5) dt Tην χρονική στιγµή t=0 που εκκινεί ο ανελκυστήρας εκ της ηρεµίας είναι r(0)=l-mg/k και v(0)=0, οπότε οι σχέσεις (4) και (5) για t=0 δίνουν: L - mg k 0 = A$%&" = L - m ( g + a ) k ' + Aµ" ) ( * ) Aµ" = ma/k & ' $%" = 0 ( µ" = ma/ak > 0 & ' $%" = 0 ( A = ma/k $ = " / 2 % και οι σχέσεις (4), (5) γράφονται: r(t) = L - m ( g + a ) k + ma k µ $ "t + ' - & ) % 2( / v(t) = ma" k *+, $ & "t +. ' / ) % 2( 0 / r(t) = L - mg k v(t) = - ma$ k - ma k %µ$t ( 1 - "$t ) & ( ' ( ) (6) Aπό την πρώτη εκ των (6) προκύπτει η µέγιστη και η ελαχιστη τιµή του µήκους του ελατηρίου, δηλαδή θα έχουµε: r max r min = L - mg/k ( ) / k = L - m g + 2a " iii) Στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους η ταχύτητα του ανελκυστήρα δίνεται από την σχέση V A =at, οπότε η αντίστοιχη ταχύτητα του σφαιριδίου είναι V Σ =v+v A, δηλαδή θα έχουµε: (6) V = v + gt V = - ma" k µ"t + gt µε 2 = k m P.M. fysikos Τα σώµατα Σ 1, Σ 2 του σχήµατος (6) έχουν την ίδια µάζα m και συνδέονται µε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθε ράς k και φυσικού µήκους L, ισορροπούν δε πάνω σε λείο οριζόν τιο έδαφος. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το σώµα Σ 1 δέχεται οριζόντια σταθερή δύναµη F, της οποί ας ο φορέας ταυτίζεται µε τον άξονα του ελατηρίου, µε αποτέλεσµα

το συστηµα να τεθεί σε κίνηση επί του εδάφους. Να βρείτε τις εξισώσεις κίνησης των δύο σωµάτων: i) στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους και ii) στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας των δύο σωµάτων αποτελεί ένα µη αδρανειακό σύστηµα που κινείται σε σχέση µε το έδαφος ευθύγραµµα µε επιτάχυνση a = F /2m. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται στο κέντρο µάζας αντιλαµβάνεται τα εξής: α) Το σώµα Σ 1 κινείται υπό την επίδραση της αδρανειακής δύναµης D Alem pert f 1 =-ma =- F /2 και της δύναµης F 1 που προέρχεται από ένα ελατήριο φυσικού µήκους L/2 και σταθεράς 2k, του οποίου το ένα άκρο είναι ακίνητο στην θέση του παρατηρητή. Σχήµα 6 β) Το σώµα Σ 2 δέχεται την αδρανειακή δύναµη D; Alempert f 2 =-ma =- F /2, την δύναµη F και την δύναµη F 2 που προέρχεται από το άλλο µισό ελατή ριο φυσικού µήκους L/2 και σταθεράς 2k, του οποίου το ένα άκρο είναι επίσης ακίνητο στην θέση του παρατηρητή. Εφαρµόζοντας ο παρατηρητής για τα δύο σώµατα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει τις σχέσεις: m d2 r 1 = F dt 2 1 + f 1 m d2 r 2 = F dt 2 2 + f 2 + F " $ m d2 r 1 = F dt 2 1 - m d2 r 2 dt 2 = F 2 - F 2 F 2 + F = F 2 + όπου r 1, r 2 τα διανύσµατα θέσεως των σωµάτων Σ 1, Σ 2 αντιστοίχως µε αρχή το κέντρο µάζας. Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) έχουµε: m d2 r 2 dt - d2 r 1 $ " 2 dt 2 & = F F 2 + % 2 - F 1 + F 2 m d2 r dt 2 2 - F 2 ( r 1 ) = " $ (1) F 2 - F 1 + F m d2 r dt = F 2 2 - F 1 + F (2)

όπου r το διάνυσµα θέσεως του Σ 2 µε αρχή το Σ 1. Αν θεωρήσουµε ως θετική φορά την κατεύθυνση κίνησης του κέντρου µάζας, η διανυσµατική σχέση (2) µετατρέπεται σε αλγεβρική που έχει την µορφή: m d2 r dt 2 = -F 2 - F 1 + F (3) Όµως έχουµε και τις σχέσεις: F 1 = F 2 = 2k r 2 - L $ & " 2% = k( r - L) οπότε η (3) γράφεται: m d2 r dt 2 = -2k ( r - L ) + F d2 r dt + 2k 2 m r = 2kL + F m d 2 r dt 2 + 2 r = 2kL + F m µε 2 = 2k m (4) Η (4) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συνελεστές και δέχεται µερική λύση r (t) της µορφής: r (t) = 2kL + F = 2kL + F m" 2 2k = L + F 2k (5) Η λύση r (t) της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης είναι: r (t) = A"µ (t + $ ) (6) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης του συστήµατος. Η γενική λύση της (4) είναι: (5),(6) r(t) = r (t) + r (t) r(t) = L + F 2k + Aµ ("t + ) (7) Παραγωγίζοντας την (7) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την σχετική ταχύτη τα v 2.1 (αλγεβρική τιµή) του Σ 2 ως προς το Σ 1, δηλαδη θα έχουµε: v 2.1 = dr(t) dt = A"$ (t + %) (8) Tην χρονική στιγµή t=0 είναι r(0)=l και v 2,1 (0)=0, οπότε οι σχέσεις (7) και (8) για t=0 δίνουν: L = L + F/2k + Aµ" 0 = A$%&" ' ( ) µ" = -F/2Ak < 0& ' $%" = 0 ( = 3"/2 $ A = F/2k%

και η (8) γράφεται: r(t) = L + F 2k + F 2k µ $ "t + 3 ' & ) % 2 ( r(t) = L + F * 2k 1 + µ $ "t + 3 ' -, & ) / (9) + % 2 (. Oι εξισώσεις κίνησης των Σ 1 Σ 2 στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας έχουν την µορφή: r 1 (t) = - r(t) 2 r 2 (t) = r(t) 2 (9) (9) r 1 (t) = - L 2 - F * 4k 1 + µ $ "t + 3 ' -, & ) / + % 2 (. (10) r 2 (t) = L 2 + F * 4k 1 + µ $ "t + 3 ' -, & ) / + % 2 (. (11) ii) Η εξίσωση κίνησης του κέντρου µάζας στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους έχει την µορφή: R (t) = a t2 2 = Ft2 4m (12) Oι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης των σωµάτων Σ 1 και Σ 2 είναι: (10),(12) R 1 (t) = R (t) + r 1 (t) (11),(12) R 2 (t) = R (t) + r 2 (t) R 1 (t) = Ft2 4m - L 2 - F * 4k 1 + µ $, & "t + 3 + % 2 R 2 (t) = Ft2 4m + L 2 + F * 4k 1 + µ $, & "t + 3 + % 2 ' - ) / (. ' - ) / (. P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα µαζας m, βρίσκεται στο δάπεδο ενός αµαξιδίου το οποίο µπορεί να ολισθαίνει επί οριζόντι ου εδάφους. Το σώµα είναι στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι δεµένο στο αµαξίδιο, όπως φαίνεται στο σχήµα (7). Εάν µε την επέµβαση εξωτερικής δύναµης αναγκάσουµε το αµαξίδιο να εκτε λεί στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους οριζόντια αρµονική κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση: x A = x 0 µ"t

όπου x 0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του σώµατος στο σύστηµα ανα φοράς του εδάφους. Να δεχθείτε ασήµαντη τριβή σε όλες τις επα φές. ΛΥΣΗ: Ένας παρατηρητής που βρίσκεται επί του αµαξιδίου είναι µη αδρανειακός παρατηρητής και αναγνωρίζει ότι το σώµα κινείται πάνω στο δάπεδο του αµαξιδίου υπό την επίδραση του βάρους του w που εξουδετε ρώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση N του δαπέδου, την δύναµη F " από το ελατήριο και την αδρανειακή ψευδοδύναµη d Alempert =-m a A, όπου a A η επιτάχυνση του αµαξιδίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Εφαρµόζοντας για το σώµα ο παρατηρητής αυτός τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνει την σχέση: m a " = -k x " - ma A (1) όπου a " η επιτάχυνση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του αµαξιδίου και x " η αντίστοιχη µετατόπισή του, µετρούµενη αυθαίρετα µε αρχή την θέ ση Ο του σώµατος, όταν το ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Σχήµα 7 Όµως η εξίσωση κίνησης του αµαξιδίου εγγυάται ότι η επιτάχυνση a A έχει την µορφή: a A = -x 0 2 "µt = - 2 x A (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε: m a " + k x " = m 2 x A (3) Όµως, αν a είναι η επιτάχυνση του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους και x η αντίστοιχη µετατόπισή του, θα έχουµε σύµφωνα µε τα γνωστά των σχετικών κινήσεων, τις σχέσεις: a " = a " - a A και x " = x " - x A oπότε η σχέση (3) παίρνει την µορφή: m(a - a A ) + k(x - x A ) = m" 2 x A

(2) ma - ma A + kx = m" 2 x A + kx A ma + m" 2 x A + kx = kx A + m" 2 x A ma + kx = kx A m dx 2 dt + kx = kx 2 A dx 2 dt + k 2 m x = kx 0 m "µt (4) H (4) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση της κίνησης του σώµατος στο σύστηµα αναφορας του εδάφους και εκφράζει µια εξαναγκασµένη ταλάν τωση χωρίς απόσβεση. P.M. fysikos