Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε. Π.χ. (πεπερασμένο), (απειρίζεται) 4 8 6 4 5 Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Π.χ. Το αποτέλεσμα εδώ δεν είναι ξεκάθαρο. Είναι 0; Είναι ; Ή τίποτα από τα δύο; (στην πραγματικότητα η σειρά αυτή αποκλίνει) Προσοχή: Μια άπειρη σειρά δεν αποτελεί απλά ένα παράδειγμα πρόσθεσης. Το άπειρο άθροισμα πραγματικών αριθμών είναι κάτι το τελείως διαφορετικό. π.χ.... 4 8 6 Δεν μπορούμε να προσθέσουμε όλους τους όρους - αυτό είναι αδύνατον. Μπορούμε όμως να προσθέτουμε έναν-έναν τους όρους από την αρχή, ψάχνοντας για κάποια χαρακτηριστική συμπεριφορά και εξετάζοντας πως εξελίσσονται τα μερικά αθροίσματα. Έτσι, s s s... s... 4 4 Χαρακτηριστική συμπεριφορά: Τα μερικά αθροίσματα σχηματίζουν μια ακολουθία η οποία συγκλίνει στο. Ο πρώτος όρος αυτής της ακολουθίας είναι s, έχει τιμή και απέχει από το : Ο δεύτερος όρος s έχει τιμή,5 και απέχει από το : Ο τρίτος όρος s απέχει από το : 4 Ο -οστός όρος s απέχει από το : Έτσι δημιουργείται μια ακολουθία με γενικό όρο s γιατί 0, όταν ** Ο νέος όρος που προστίθεται σε κάθε μερικό άθροισμα είναι:,,,,... Έτσι το άθροισμα τείνει 4 8 τελικά στο. Έτσι μπορούμε να έχουμε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός (Άπειρη σειρά) Έστω μια ακολουθία αριθμών { }. Τότε κάθε έκφραση της μορφής...... είναι μια άπειρη σειρά. Ο αριθμός σειράς σχηματίζουν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. s s s... s k... κάθε ένας από τους οποίους είναι πεπερασμένο άθροισμα. είναι ο -στός όρος της σειράς. Τα μερικά αθροίσματα της k

Σύγκλιση-Απόκλιση Σειράς Αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων έχει όριο s καθώς, τότε η σειρά k συγκλίνει στο k άθροισμα s. Δηλαδή, k...... k s, διαφορετικά λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. π.χ. από το προηγούμενο παράδειγμα έχουμε: 4 0 Το άθροισμα... τείνει στο. Άρα η σειρά 4 8 6 Παρατήρηση: Η σειρά : συγκλίνει στο s R αν lim s s συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η αντίστοιχη σειρά απόλυτων τιμών (η αντίστοιχη ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι s... ) απειρίζεται θετικά (ή αρνητικά) αν lim κυμαίνεται αν το s lim δεν υπάρχει στο R R, s ~ Αν μια σειρά συγκλίνει απολύτως τότε θα συγκλίνει και απλά: Η απόλυτη σύγκλιση είναι ισχυρότερη της απλής. Δηλαδή, αν μια σειρά συγκλίνει απολύτωςσυγκλίνει και απλά.

Ιδιότητες συγκλινουσών σειρών Αν και είναι συγκλίνουσες σειρές, τότε k k i. άθροισμα σειρών: ii. διαφορά σειρών: iii. πολ/σιο σειράς με σταθερό αριθμό k: k Παράδειγμα: Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς.. 6 6 6 6 6 6 6 6 4 6 5 5 6 Παράδειγμα: Να βρεθεί το άθροισμα της σειράς 4 / 4 4 4 4 8

Ειδικές κατηγορίες σειρών Γεωμετρική σειρά είναι κάθε σειρά της μορφής 0, όπου πραγματικός αριθμός. Η Γεωμετρική σειρά επομένως είναι το άθροισμα άπειρων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο. Έτσι, εύκολα μπορούμε να έχουμε τα μερικά αθροίσματα αφού είναι πεπερασμένα αθροίσματα γεωμετρικής προόδου που γνωρίζουμε τον τύπο του αθροίσματος όρων (δείτε το ειδικό φυλλάδιο που διανέμεται σχετικά με προόδους). Θα έχουμε λοιπόν την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της γεωμετρικής σειράς να δίνονται από: s..., 0,,,... Παρατήρηση: Κάθε όρος της γεωμετρικής προόδου προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον προηγούμενο με κάποια σταθερά που καλείται λόγος. Δηλαδή, η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, αν και μόνο αν ισχύει με 0 όρος μιας γεωμετρικής προόδου, δίνεται από τον τύπο. Από τον ορισμό αυτό, προκύπτει ότι ο -οστός μιας γεωμετρικής προόδου, δίνεται από τον τύπο S. Η Γεωμετρική σειρά μπορεί να είναι της μορφής: όπου και σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και 0. Το άθροισμα των πρώτων όρων αρνητικός. Το -στό μερικό άθροισμα της γεωμετρικής σειράς, 0 0. Ο λόγος μπορεί να είναι θετικός ή ( ) s (... ), 0 θα είναι: Παραδείγματα: Η σειρά... ( )... 0 4 είναι γεωμετρική, με λόγο Η σειρά... ( )... 0 9 είναι γεωμετρική, με λόγο 4

Σύγκλιση της Γεωμετρικής Σειράς 0 Έχοντας τα μερικά αθροίσματα s s s... s... είναι εύκολο να μελετήσουμε την τελική συμπεριφορά της σειράς και επομένως τη σύγκλιση της σειράς. Έτσι, θα έχουμε: lim s lim(... ) lim 0 Από τις ιδιότητες των ορίων των ακολουθιών προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα αναφορικά με τη σύγκλιση μιας γεωμετρικής σειράς. Η Γεωμετρική σειρά συγκλίνει στο άθροισμα κυμαίνεται αν. αν, απειρίζεται θετικά αν και ** Το διάστημα καλείται διάστημα σύγκλισης. Η σειρά συγκλίνει στο αν γιατί αν τότε 0 όταν, οπότε το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς δίνεται από τον τύπο: s... και lim s Παραδείγματα (από υλικό ΣΕΥ). η σειρά. η σειρά 0 0 0. η σειρά 0 συγκλίνει στο γιατί απειρίζεται θετικά γιατί κυμαίνεται γιατί. Η δοθείσα σειρά γράφεται: 0 ( ) ( ) ( ) ( )... και κυμαίνεται γιατί έχει μερικά αθροίσματα με 0 τιμές που εναλλάσσονται μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών. Πράγματι, έχουμε: 0 s ( ) s s 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 8) 5 ΠΡΟΣΟΧΗ: όταν η άθροιση ξεκινάει από έχουμε έναν όρο λιγότερο, οποίος από το άθροισμα της σειράς πρέπει να αφαιρεθεί. Ο όρος αυτός είναι για 0. Π.χ. 0 5

Τηλεσκοπικές σειρές: είναι σειρές που γράφονται στη μορφή, N με, b b N και b, N μια ακολουθία της οποίας η τελική συμπεριφορά μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί. Χαρακτηρισμός μιας τηλεσκοπικής σειράς: το μερικό άθροισμα εξαρτάται μόνο από τον πρώτο και τον τελευταίο όρο του αθροίσματος μιας ακολουθίας, γιατί: s... b b b b b b... b b b b b b 4 Άρα το μερικό άθροισμα μιας τηλεσκοπικής σειράς θυμάται μόνο τον πρώτο όρο της σειράς και τον τελευταίο. Το άθροισμα της σειράς δίνεται από τον τύπο: b lim b και εξαρτάται από την ύπαρξη του lim b Παρατήρηση: Η εμφάνιση δύο διαδοχικών αριθμών, των και, στο γενικό όρο της σειράς μας δηλώνει μια πιθανή μετατροπή της σειράς σε τηλεσκοπική μορφή. Παράδειγμα (τηλεσκοπική σειρά). Να βρεθεί το άθροισμα. Η σειρά είναι τηλεσκοπική. Ψάχνουμε να βρούμε κάποια χαρακτηριστική συμπεριφορά στην ακολουθία των μερικών αθροισμάτων ώστε να βρούμε τον τύπο του s k Το δοθέν κλάσμα μπορεί να γραφεί σαν διαφορά δύο κλασμάτων ως εξής: b b Άρα, το μερικό άθροισμα k ()... 4 kk γράφεται λόγω της (): s... ( ) k s s s b b 4 k k k k k k k Επομένως b lim b lim 0 Αρμονικές σειρές και p-σειρές: p-σειρές είναι οι σειρές που έχουν τη μορφή:......, οι οποίες συγκλίνουν αν p ενώ αποκλίνουν αν p p p p p p Η p-σειρά, για p λέγεται αρμονική σειρά: Η σειρά Η σειρά (αρμονική σειρά) δεν συγκλίνει γιατί p συγκλίνει γιατί είναι p-σειρά με p 6

Εναλλάσσουσες σειρές: Εναλλάσσουσες σειρές είναι οι σειρές των οποίων οι όροι εναλλάσσουν το πρόσημό τους συνεχώς. Είναι οι σειρές της μορφής Για τις εναλλάσσουσες σειρές υπάρχει το κριτήριο του Leibitz για τον έλεγχο της συμπεριφοράς τους. Κριτήριο Leibitz Αν σε μια εναλλάσσουσα σειρά, η ακολουθία N που την παράγει είναι θετική, φθίνουσα και έχει όριο το μηδέν, τότε η σειρά συγκλίνει και για το τελικό άθροισμά της s, ισχύει ότι: s k k k Αυτό σημαίνει ότι: αν προσεγγίσουμε το άθροισμα της σειράς με το μερικό άθροισμα των όρων μέχρι και τάξης, τότε το σφάλμα που προκύπτει δεν υπερβαίνει κατ απόλυτη τιμή τον όρο της επόμενης τάξης, δηλαδή τον όρο. Με άλλα λόγια: το σφάλμα αποκοπής όλων των όρων μετά το -οστό μερικό άθροισμα θα είναι μικρότερο ή ίσο του. Παράδειγμα 0 4 8 6 64 8 0.664065 (γεωμ. πρόοδος με λόγο ) 0 Παρατηρούμε, αν προσεγγίσουμε το άθροισμα με το μερικό άθροισμα 7 ης τάξης (δηλ. παίρνουμε όρους για =0,,,..,7), ότι 7 0.664065 0.0060466 0. 009065 56 0 0 56 9 Σημείωση: Τα ίδια που ισχύουν για την εναλλάσσουσα σειρά ισχύει και για τις σειρές της 0 μορφής ή το κριτήριο Leibitz.....γιατί μπορούν εύκολα να μετατραπούν στη μορφή που απαιτεί Έτσι, και 0 0 0 7

Παράδειγμα Δίνεται η σειρά 0, η οποία συγκλίνει (γιατί;). Να υπολογίσετε το πλήθος των όρων της σειράς που απαιτούνται για να πετύχουμε σφάλμα προσέγγισης μικρότερο του 0 0. 0 Λύση Η σειρά 0 γιατί η ακολουθία Πράγματι, 0 είναι εναλλάσσουσα. Η σειρά συγκλίνει σύμφωνα με το κριτήριο Leibitz είναι θετική, φθίνουσα και μηδενική. N 0 και lim lim lim 0 0 Από το κριτήριο Leibitz έχουμε ότι η σειρά συγκλίνει και επιπλέον: k k k s. Επομένως, για να πετύχουμε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων, δηλαδή το σφάλμα της προσέγγισης να είναι μικρότερο του 0 0. 0 θα πρέπει 0 0 00 00 00 97 48.5 48.5 άρα απαιτείται το άθροισμα των πρώτων 49 όρων της σειράς. 8

Κριτήρια σύγκλισης σειρών. Κριτήριο -οστού όρου : Αν η σειρά συγκλίνει 0 **μπορούμε να έχουμε τη διαπίστωση της μη σύγκλισης μιας σειράς αν η ακολουθία που την παράγει δεν τείνει στο μηδέν. ** Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή υπάρχουν πολλές σειρές που δεν συγκλίνουν αν και παράγονται από μηδενικές ακολουθίες. Η σειρά έχει πιθανότητες να συγκλίνει γιατί lim lim 0. Η σειρά 0 είναι γεωμετρική και πράγματι συγκλίνει στον αριθμό. Η αρμονική σειρά αν και παράγεται από μηδενική ακολουθία 0 δεν συγκλίνει γιατί είναι αρμονική σειρά με p. Κριτήριο -οστού όρου για απόκλιση : Η σειρά Η σειρά 0 δεν συγκλίνει γιατί lim lim Η σειρά δεν συγκλίνει γιατί Η σειρά 0 δεν συγκλίνει γιατί lim lim αποκλίνει αν lim δεν υπάρχει ή είναι 0. 0 0. Κριτήριο απόλυτης σύγκλισης: Αν η σειρά Η σειρά... 4 9 6... 4 9 6 συγκλίνει τότε και η συγκλίνει γιατί η αντίστοιχη σειρά απόλυτων τιμών 9

. Κριτήρια σύγκρισης σειρών Θεωρούμε τις σειρές, 0, 0 για τις οποίες ισχύει:, N, τότε:. Αν η σειρά των μεγαλύτερων όρων όρων b. Αν η σειρά c. Αν συγκλίνεικαι η σειρά των μικρότερων Η σειρά Λύση: Θα εφαρμόσουμε το κριτήριο σύγκρισης (). Έχουμε. Ελέγχουμε την, για την οποία ισχύει: Η σειρά... είναι γεωμετρική με λόγο, άρα 9 7 Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης σειρών () και η σειρά 4. Γενικευμένο κριτήριο σύγκρισης σειρών (κριτήριο οριακής σύγκρισης) Αν 0 και 0 N (Ν θετικός ακέραιος), τότε: b i. αν lim c 0, τότε οι σειρές και b θα συγκλίνουν ή θα αποκλίνουν b ταυτόχρονα (δηλαδή, έχουν την ίδια συμπεριφορά ως προς τη σύγκλιση). ii. Αν lim 0 και b συγκλίνει b iii. Αν lim και b αποκλίνει b αποκλίνει. Η σειρά συγκλίνει γιατί αν τη συγκρίνουμε με τη συγκλίνουσα γεωμετρική σειρά έχουμε: lim lim lim 0 0 0

5. Κριτήριο λόγου (d Alembet) Με το κριτήριο λόγου μετράμε τον ρυθμό αύξησης (ή ελάττωσης) μιας σειράς εξετάζοντας το λόγο. Έστω μια σειρά πραγματικών αριθμών με 0 p, όπου p σταθερός φυσικός αριθμός, δηλαδή το μηδέν δεν περιέχεται στους όρους της σειράς από κάποιο δείκτη και μετά. Τότε: 0 0 p ή lim i. Αν ii. Αν p 0 0 ή lim δεν συγκλίνει (απειρίζεται ή κυμαίνεται) iii. Αν lim δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς Παράδειγμα: Να δείξετε αν η σειρά! Εφαρμόζουμε το κριτήριο του d Alembet.!! lim lim lim lim!! Άρα σύμφωνα με το κριτήριο d Alembet η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει.!!.! 0 lim lim 0 0 Παράδειγμα: Η σειρά Σύμφωνα με το θεώρημα d Alembet έχουμε: lim lim lim lim άρα

6. Κριτήριο -οστής ρίζας: Έστω η σειρά i. αν, N 0 0.Τότε lim ή lim τότε η σειρά ii. αν για άπειρο πλήθος δεικτών ή lim τότε η σειρά δεν συγκλίνει iii. αν lim δεν μπορούμε να αποφανθούμε για σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς. Παράδειγμα: Η σειρά 4 5 άρα βάσει του κριτηρίου -οστής ρίζας 6i 4 4 4 Έχουμε 5 5 5 4 5 Παράδειγμα: Η σειρά δεν άρα σύμφωνα με το κριτήριο της -οστής ρίζας 6ii η σειρά αποκλίνει.