Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Ευστάθιος Ακρίδας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σειρές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των σει- ϱών. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Σειρές Περιεχόµενα 1 Σειρές Ορισµός Χρήσιµες Σειρές Σύγκλιση Σειρών 4 3 Κριτήρια Σύγκλισης Κριτήριο της σύγκρισης Κριτήριο της Σύγκρισης Ορίου ή του Πηλίκου Κριτήριο του Ολοκληρώµατος Εναλλασόµενες Σειρές Κριτήριο Leibniz Κριτήριο του Λόγου (Κριτήριο του d Alembert) Κριτήριο της Ρίζας (Κριτήριο του Cauchy) Κριτήριο Συµπύκνωσης (Cauchy) Κριτήριο του Raabe Κριτήριο του Gauss

3 Κ. Κυρίτσης 3 Σειρές 1 Σειρές 1.1 Ορισµός Θεωρούµε την ακολουθία a n. Κατασκευάζουµε µια άλλη ακολουθία S n, S n = n a k. (1) k=1 Ο όρος S n λέγεται n µερικό άθροισµα. Η ακολουθία S 1, S 2, S 3,... συµβολίζεται σαν a 1 + a 2 + a 3 + = a n, (2) και λέγεται άπειρη σειρά. Αν το όριο lim S n = S υπάρχει, τότε λέµε ότι η σειρά συγκλίνει και το άθροισµά της είναι S. Σε αντίθετη περίπτωση, η σειρά αποκλίνει. 1.2 Χρήσιµες Σειρές Γεωµετρική σειρά: Είναι η σειρά όπου a, r σταθερές. Συγκλίνει στο n=1 ar n 1, (3) n=1 S = a 1 r αν r < 1 και αποκλίνει για r 1. Το άθροισµα των n πρώτων όρων είναι Σειρά p: Είναι η σειρά (4) S n = a(1 rn ). (5) 1 r n=1 1 np, (6) όπου p σταθερά. Η σειρά συγκλίνει για p > 1 και αποκλίνει για p 1. Η ειδική περίπτωση p = 1 λέγεται αρµονική σιερά.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Σειρές 2 Σύγκλιση Σειρών Σχετικά µε την σύγκλιση σειρών έχουµε ότι: Εάν η σειρά a n συγκλίνει, τότε lim a n = 0. εν ισχύει όµως το αντίθετο! Εάν για µια σειρά a n ισχύει ότι lim a n 0, τότε η σειρά αποκλείνει. (Αντίθετη και και αντίστροφη πρόταση της παραπάνω). Πολλαπλασιασµός της σειράς µε σταθερό αριθµό, διάφορο του µηδενός, δεν επιρρεάζει την σύγκλιση. Αφαίρεση ή προσθήκη πεπερασµένου πλήθους όρων σε µια σειρά δεν επιρρεάζει την σύγκλιση. 3 Κριτήρια Σύγκλισης 3.1 Κριτήριο της σύγκρισης Εστω δύο σειρές a n και b n, µε a n, b n 0, n. Τότε 1. Αν 0 a n b n, n > N και η b n συγκλίνει, τότε ϑα συγκλίνει και η an. 2. Αν 0 a n b n, n > N και η a n αποκλίνει, τότε ϑα αποκλίνει η και η b n. 3.2 Κριτήριο της Σύγκρισης Ορίου ή του Πηλίκου Ας υποθέσουµε ότι για δύο σειρές a n, b n, είναι a n, b n 0 και επίσης Τότε lim a n b n = A. (7) Εαν A 0,, τότε ή και οι δυο συγκλίνουν ή και οι δύο αποκλίνουν. Αν A = 0 και η b n συγκλίνει, τότε συγκλίνει και η a n. Εαν A = και η a n αποκλίνει, τότε ϑα αποκλίνει και η b n. Σε κάθε άλλη περίπτωση το κριτήριο δεν εφαρµόζεται.

5 Κ. Κυρίτσης 5 Σειρές 3.3 Κριτήριο του Ολοκληρώµατος Εφαρµόζεται για σειρές µε µη αρνητικούς όρους. Ας υποθέσουµε ότι η f(x) είναι µια ϑετική, συνεχής και µονότονα ϕθίνουσα συνάρτηση για x N και επιπλέον f(n) = a n για n N. Τότε η σειρά a n ϑα συγκλίνει ή ϑα αποκλίνει αναλόγως αν το συγκλίνει ή αποκλίνει. ˆ N f(x)dx (8) 3.4 Εναλλασόµενες Σειρές Κριτήριο Leibniz Εναλλασσόµενη ονοµάζεται η σειρά της οποίας οι όροι είναι εναλλάξ ϑετικοί και αρνητικοί. Μια τέτοια σειρά ϑα συγκλίνει εαν 1. a n+1 a n για n > N 2. lim a n = 0. (9) Μια σειρά a n ϑα λέγεται απολύτως συγκλίνουσα αν η a n συγκλίνει. Θα λέµε ότι η a n συγκλίνει κατά συνθήκες αν η a n συγκλίνει αλλά η a n αποκλίνει. Για δύο απολύτως συγκλίνουσες σειρές, το άθροισµα, το γινόµενο και η διαφορά τους είναι µια απολύτως συγκλίνουσα σειρά. 3.5 Κριτήριο του Λόγου (Κριτήριο του d Alembert) Για την µελέτη της σειράς n=1 a n ϑεωρούµε το όριο Αν lim a n+1 a n = L. (10) 1. L > 1 η σειρά αποκλίνει. 2. Αν L < 1, τότε η σειρά συγκλίνει (απολύτως). 3. Αν τέλος L = 1, το κριτήριο δεν εφαρµόζεται.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Σειρές 3.6 Κριτήριο της Ρίζας (Κριτήριο του Cauchy) Για την µελέτη της σειράς n=1 a n ϑεωρούµε το όριο n lim an = L. (11) Αν 1. L > 1 η σειρά αποκλίνει. 2. Αν L < 1, τότε η σειρά συγκλίνει (απολύτως). 3. Αν τέλος L = 1, το κριτήριο δεν εφαρµόζεται. 3.7 Κριτήριο Συµπύκνωσης (Cauchy) Εστω η ακολουθία a n > 0 µε a n 0. Η σειρά n a n συγκλίνει ή αποκλίνει αν και µόνο αν η σειρά 2 n a 2 n συγκλίνει ή αποκλίνει. 3.8 Κριτήριο του Raabe Εστω Αν L = lim 1. L > 1 η σειρά αποκλίνει. 2. Αν L < 1, τότε η σειρά συγκλίνει (απολύτως). 3. Αν τέλος L = 1, το κριτήριο δεν εφαρµόζεται. 3.9 Κριτήριο του Gauss [ ( )] n 1 a n + 1. (12) Αν a n+1 = 1 L n + c n n2, (13) όπου c n < P, n > N, τότε η σειρά a n 1. αποκλίνει ή συγκλίνει κατάς συνθήκες αν L 1. a n a n 2. συγκλίνει απολύτως αν L > 1.

7 Κ. Κυρίτσης 7 Σειρές ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

8 Κ. Κυρίτσης 8 Σειρές Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

9 Κ. Κυρίτσης 9 Σειρές Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Σχετικά έγγραφα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των α- κολουθιών. Το ϕυλλάδιο διατίθεται