ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

ÊåöÜëáéï 8 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 24: -Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß -ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò -ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ -Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý -áíôßèåôïé áñéèìïß -Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá 25: -Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

24 ÂéâëéïìÜèçìá Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý - Áíôßèåôïé áñéèìïß Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Θετικοί ονοµαζονται οι αριθµοί, εκτός από το µηδέν, που είναι µεγαλύτερος από το µηδέν. Έχουν µπροστά τους το πρόσηµο συν (+), ή δεν έχουν πρόσηµο. Αρνητικοί ονοµαζονται οι αριθµοί, εκτός από το µηδέν, που είναι µικρότερος από το µηδέν. Έχουν µπροστά τους το πρόσηµο ( ). Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ακέραιοι; Οι φυσικοί αριθµοί, καθώς και οι αρνητικοί αριθµοί που προκύπτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουµε µπροστά το πρόσηµο ( ) αποτελούν το σύνολο των ακέραιων. Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ακέραιων αριθµών; Το σύνολο των ακέραιων αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµµα Ζ και είναι: Ζ = {..., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3,...}. Τι συµβολίζουµε µε το Ζ* Το σύνολο των ακέραιων αριθµών, χωρίς το µηδέν το συµβολίζουµε µε το Ζ* και είναι: Ζ* = {..., 3, 2, 1, +1, +2, +3,...}. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ρητοί; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών; Τι συµβολίζουµε µε το Q*

298. Οι ρητοί αριθµοί Οι αριθµοί που είναι σε κλασµατική µορφή ή που µπορούν να γραφούν σαν κλάσµα, καθώς και οι αντίστοιχοι αρνητικοί τους λέγονται ρητοί αριθµοί.το σύνολο όλων αυτών των αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµµα Q. Mε το συµβολισµό Q* ( που το διαβάζουµε : Q άστρο ) δηλώνουµε το σύνολο των ρητών, χωρίς το µηδέν. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται οµόσηµοι και ποιοι ετερόσηµοι; ύο ή περισσότεροι µη µηδενικοί ρητοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο λέγονται οµόσηµοι. ύο µη µηδενικοί ρητοί που έχουν διαφορετικά πρόσηµα λέγονται ετερόσηµοι. Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α; Έστω ένας ρητός αριθµός α και Α το σηµείο που παριστάνει τον αριθµό α πάνω στον άξονα. Η απόσταση του σηµείου Α από το σηµείο Ο λέγεται απόλυτη τιµή του α και συµβολίζεται µε α. Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίθετοι; ύο αριθµοί λέγονται αντίθετοι όταν έχουν έχουν ίδια απόλυτη τιµή και διαφορετικά πρόσηµα. Πως συµβολίζεται ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α; Ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α είναι ο α. Τι γνωρίζετε γιά τις αποστάσεις των αντίθετων αριθµών από την αρχή Ο του άξονα; Τα σηµεία τα οποία παριστάνουν αντίθετους αριθµούς στον άξονα ισαπέχουν από το σηµείο Ο. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 299. Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός. Η απόλύτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του. Η απόλυτη τιµή του µηδενός είναι το µηδέν. Πώς συγκρίνουµε δύο ρητούς αριθµούς; Από δύο ρητούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα Από δύο θετικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Από δύο αρνητικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µικρότερη απόλυτη τιµή. Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθµό. Το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό. Nα εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων: α. Κέρδος 300. β. Ζηµία 2500. γ. 2350 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. δ. 1850 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. ε. Το έτος 333 π.χ. στ. Το έτος 35 µ.χ. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

300. Οι ρητοί αριθµοί ζ. Πτώση της θερµοκρασίας κατα 4 0 C. η. Άνοδο της θερµοκρασίας κατα 3 0 C. ι. Θερµοκρασία 35 0 C πάνω από το µηδέν. ια. Αύξηση του πληθυσµού κατα 1,5%. α. +300 ευρώ β. 2500 ευρώ γ. +2350 µέτρα δ. -1850 µέτρα ε. 333 έτη στ. +35 έτη ζ. µεταβολή της θερµοκρασίας κατά 4 0 C η. µεταβολή της θερµοκρασίας κατά +3 0 C ι. θερµοκρασία +35 0 C ια. µεταβολή του πληθυσµού κατα +1,5% Να περιγράψετε τι εκφράζουν οι αριθµοί +200, 330, 1000, +550, 0, +2004: α. σε υψόµετρα από την επιφάνεια της θάλασσας που µετρήθηκαν σε µέτρα. β. σε έτη µε αρχή το έτος της γέννησης του Χριστού. Οι παραπάνω αριθµοί εκφράζουν: α. 200 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας, 330 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλλασας, 1000 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλλασας, 550 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας, στην επιφάνεια της θάλλασας, 2004 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας αντίστοιχα. β. το έτος 200µ.Χ, το έτος 330π.Χ, το έτος 1000π.Χ, το έτος 550µ.Χ, (0) το έτος γέννησης του Χριστού, το έτος 2004 µ.χ. αντίστοιχα. Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι θετικοί και ποιοί είναι αρνητικοί; Θετικοί είναι οι αριθµοί +8, +0,33, +8, 3,5, +0,33, 0, 0,001, 3 + 5 3 2 +, -5 5 7 Αρνητικοί είναι οι αριθµοί 3,5, 0,001, 2 5 7 Το µηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθµός. Σε µία πόλη έχει παρατηρηθεί ότι η ελάχιστη θερµοκρασία κατά τις πρώτες πρωινές ώρες του χειµώνα φτάνει 9 0 C, ενώ το καλοκαίρι +15 0 C. Αν µε x συµβολίσου- µε τις τιµές της ελάχιστης θερµοκρασίας σε βαθµούς κελσίου, να γράψετε τις ακέραιες τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή x. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 301. Η µεταβλητή x µπορεί να πάρει τις τιµές 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10, +11, +12, +13, +14, +15 Nα τοποθετήσετε τους αριθµούς 5, +9, 8, 3,1 +2,5, 1 2 3, + 2 5 3 πάνω στον άξονα. -9-8 -7-6 -5 3,1-4 -3-2 -1 1 2,5 +3 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3, 1 2 2 3 Να βρείτε ποιούς αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία Α, Β, Γ,, Ε και Ζ στον παρακάτω άξονα. -9-8 Ã=+6 Ä= 2 Z E -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = +0,5 B = +2,5 Α 8,4 Β 3,3 Γ 6,5 1,9Ε7,8Ζ2,7 Να βρείτε τα σηµεία του επιπέδου Α(2,5), Β(-4,2), Γ(-4,-3), (7,-3). Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α,Β,Γ,. Είναι: Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

302. Οι ρητοί αριθµοί 3 2 1 3 Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών 3, 2, +5, 9, 0, 1,3, +0.5, -,+, 3,+5 5 7 2 8 Είναι: 3 = 3, 2 = 2, +5 = 5, 9 = 9, 0 = 0, 1,3 = 1,3, +0,5 = 0,5, 3 3 =, 5 5 2 2 + =, 7 7 1 1 3 = 3, 2 2 3 3 + 5 = 5. 8 8 Να βρείτε ποιοι αριθµοί έχουν απόλυτη τιµή: α. 3 β. 4,2 γ. 0 δ. 5 α. Απόλυτη τιµή ίση µε 3 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί 3 και -3 β. Απόλυτη τιµή ίση µε 4,2 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί 4,2 και -4,2 γ. Απόλυτη τιµή ίση µε 0 έχει ο αριθµός 0 δ. εν υπάρχει αριθµός που να έχει απόλυτη τιµή ίση µε -5 γιατί ως γνωστόν η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι πάντα θετικός αριθµός ή µηδέν. Να βρείτε: α. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 5. β. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 6. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη από 5 είναι : 4, 3, 2, 1, 0, 1, +2, +3, +4. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 6 είναι : 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, +2, +3, +4, +5, +6. Να βρείτε έξι διαφορετικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 5. Ρητοί αριθµοί µε απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 5 είναι άπειροι. Έξι απ αυτούς είναι οι: 8, 9,2, +7,3, +12,1, 10, 12,1 Να κάνετε τις πράξεις: α. -3 + -9-2, β. -1 + -8 + +3 - -5, γ. -13,1 + -5,9 - -3 + +3. Επειδή α. 3 = 3, 9 = 9 και 2 = 2 έχουµε 3 + 9 2 = 3 + 9 2 = 12 2 = 10 β. 1 = 1, 8 = 8, +3 = 3, 5 = 5 έχουµε: Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 303. 1 + 8 + +3 5 = 1 + 8 + 3 5 = 9 + 3 5 = 12 5 = 7 γ. 13,1 = 13,1 5,9 = 5,9, 3 = 3 και +3 = 3 οπότε: 13,1 + 5,9 3 + +3 = 13,1 + 5,9 3 + 3 = 19 3 + 3 = 19 Να βρείτε τα αποτέλεσµατα των παραστάσεων. α. 2.3 2 5, β. 3.5 2 5.2 γ. 2.3 2 5 + 3.5 2 5.2 α. 2.3 2 5 = 2.9 5 = 18 5 = 13 β. 3.5 2 5.2 = 3.25 10 = 75 10 = 65 γ. Σύµφωνα µε τα α. και β. είναι: 2.3 2 5 + 3.5 2 5.2 = 13 + 65 = 13 + 65 = 78 Να συγκριθούν οι αριθµοί: α. 8, 13 β. +10, 20 γ. +30, 0, 13 α. Οι αριθµοί 8, 13 είναι αρνητικοί οπότε µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε την µικρότερη απόλυτη τιµή και επειδή 8 = 8, 13 = 13 και 8 < 13 συµπεραίνουµε ότι 13 < 8. β. Επειδή ο αριθµός 10 είναι θετικός και ο αριθµός 20 είναι αρνητικός (και ως γνωστόν κάθε θετικός ειναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό) συµπεραίνουµε ότι 20 < +10. γ. Επειδή το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό προκύπτει ότι 13 < 0 < +30. Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς: 8, +0,08, 5, +7, 3,3, +4,8, 0,2, +0,2, 0,3 και κατόπιν να τους τοποθετήσετε πάνω στον άξονα Οι αριθµοί 8, 5, 3,3, 0,2, 0,3 ειναι αρνητικοί και ως γνωστόν µικρότερος είναι αυτος που έχει µεγαλύτερη απόλυτη τιµή άρα έχουµε τη διάταξη 8 < 5 < 3,3 < 0,3 < 0,2. Από τους θετικούς +0,08, +10, +7, +4,8, +0,2, +0,08 µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή άρα: +0,08 < +0,2 < +4,8 < +7 Έχουµε λοιπόν: 8 < 5 < 3,3 < 0,3 < 0,2 < +0,08 < +0,2 < +4,8 < +7 Η διάταξη των παραπάνω αριθµών στον άξονα φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. -9-8 -7-6 -5 3,3 0,3 0,2 4,8 7 9-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 5 0,2 0,08 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

304. Οι ρητοί αριθµοί Να βρείτε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι: α. µεγαλύτεροι από τον -6 και µικρότεροι από τον -3. β. µεγαλύτεροι από τον -3,2 και µικρότεροι από τον -3,1. α. Πέντε ρητοί οπως αυτοί που ζητάµε είναι οι 5,5, 5, 4,5, 4, 3,5 και 3,8 αφου ισχύει: 6 < 5 < 4,5 < 4 < 3,8 < 3,5 < 3 β. Πέντε ρητοί οπως αυτοί που ζητάµε είναι οι 3, 18, 3,17, 3,15, 3,13 3,12 αφου ισχύει: 3,2 < 3,18 < 3,17 < 3,15 < 3,13 < 3,12 < 3,1 Να συγκρίνετε τους αριθµούς: α. 20 και 12 β. 5,5 και 4,5 γ. 2,5 και 0,1 δ. 5 και 4,8 ε. 0, 1,3 στ. 20004 και 2004 Είναι: α. 20 < 12 β. 5,5 < 4,5 γ. 2,5 < 0,1 δ. 4,8 < 5 ε. 1,3 < 0 στ. 20004 < 2004 Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που προκύπτει να είναι αληθής. α. 7... 10 ε. 8... 8 β. 8... 3 στ. 9... ( 9) γ. 10... 20 ζ. -13... 13 δ. 3... 3 η. -0,1... 0,1 α. 7 > 10 β. 8 < 3 γ. 10 > 20 δ. 3 = 3 ε. 8 = 8 (επειδή 8 = 8) στ. 9 = ( 9) ( 9) = 9 = 9 ζ. 13 = 13 ( 13 = 13) η. 0,1 < 0,1 ( 0,1 = 0,1) Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 305. 1. Να εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων τους αριθµούς κέρδη 3000, ζηµία 5000, δαπάνες 30.000, αύξηση θερµοκρασίας 5 0 C, µείωση της θερµοκρασίας 3 0 C, αύξηση του ύψους κατα 10cm, 500π.Χ. 2. Να περιγράψετε τι συµβολίζουν οι αριθµοί +2, 3, +5, 7, 11 σε ένα θερµόµετρο το οποίο είναι βαθµολογηµένο σε βαθµούς Κελσίου. 3. Ποιοί από του παρακάτω αριθµούς είναι θετικοί και ποιοι είναι αρνητικοί 20, 0, 3, +9, 8,2, +3, 5, 1 2, 3 2 5 4. Να βρείτε ποιοι από τους αριθµούς 9, +5, +2, -3, +9, +3, 5,6, +7,1 είναι οµόσηµοι µε τον: α. +3 β. 2. 5. Να χωρίσετε τους αριθµούς 3, +2,2, 5,2, 7, +2, 9, σε δύο οµάδες οµόσηµων αριθµών. 1 2 2 5, + 7, 9 3 5 7 6. Να σχεδιάσετε το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία του επιπέδου Α(4,5), Β(2,1) και Γ(7,1). Να σχεδιάσετε το ύψος Α του τριγώνου και να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου. 7. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών του πενταγώνου ΑΒΓ Ε. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

306. Οι ρητοί αριθµοί 8. Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών: 8, 14, 32, 1,32, +7,2, 2, 3 12 +, 5 1 2, 5 1 +2 9 9. Να βρείτε ποιοι αριθµοί έχουν απόλυτη τιµή: α. 8 β. 5,1 γ. 0 δ. 7 10. Να βρείτε: α. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 4. β. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 4. γ. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του µηδενός. δ. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του µηδενός. 11. Να βρείτε έξι διαφορετικούς θετικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 3. 12. Να βρείτε έξι διαφορετικούς αρνητικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 8. 13. Να κάνετε τις πράξεις: α. 5 + 4 2, β. 3 + 7 + 2 5, γ. 1,12 + 4,88 4 + +4. 14. Να κάνετε τις πράξεις: 1 3 1 1 3 1 1 α. ++ 2 3 + β. 0,5 ++ 3 2 + 2 5 10 4 4 2 3 1 1 γ. 0,5 + + 3, 2 2 + 4 2 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 307. 15. Να βρείτε τα αποτέλεσµατα των παραστάσεων. α. 3.2 2 5.2, β. 5.4 2 3.5 2 γ. 3.2 2 5.2 + 5.4 2 3.5 2 16. Να βρεθούν οι ρητοί αριθµοί x για τους οποίους ισχύει: α. x = 2, β. x = 3, γ. x = 4 δ. x = 0,3 ε. x = 1 2 17. Να βρείτε τους αντίθετους των αριθµών: +3,2, 4,8, +8,2, 5, 9, +7, 2 2 1 2, 3, +, 3 7 5 7 3 18. ύο σηµεία Α, Β του άξονα παριστάνουν δύο αντίθετους αριθµούς. Αν η απόσταση τους είναι ίση µε 30 µονάδες, να βρείτε ποιούς αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία αυτά. 19. Να συγκριθούν οι αριθµοί σε κάθε περίπτωση: α. 8 και 15 β. 32 και 20 γ. 22 και 0 δ. 15 και 0 ε. 30 και 2 στ. 5,1 και -5,01 20. Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς: 9, +11, +1,08, 4, +8, 4,3, +5,8, 0,3, +0,3, 0,4 και κατόπιν να τους τοποθετήσετε πάνω στον άξονα. 21. ίνονται οι αριθµοί 3,5, +7,2, 3,1, 0,2, +3,8, 0. α. Να τους παραστήσετε πάνω στον άξονα. β. Να τους διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο. 22. Να βρείτε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι: α. µεγαλύτεροι από τον 8 και µικρότεροι από τον 4. β. µεγαλύτεροι από τον 2,2 και µικρότεροι από τον 2,1. 23. Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που προκύπτει να είναι αληθής. α. 8... 10 β. 9... 7 γ. 10... 30 δ. 5... 5 ε. 9... 9 στ. 6... ( 6) ζ. 12... 12 η. 0,3... 0,3 24. Αν για την µεταβλητή x ισχύει x < 5, να βρείτε όλες τις ακέραιες τιµές της µεταβλητής x. 25. Οµοίως αν: α. x 3 β. 8 < x < 2 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

308. Οι ρητοί αριθµοί Ερώτηση 1 α. Ποιοί αριθµοί ονοµάζονται θετικοί και ποιοί αρνητικοί; β. Ποιοί αριθµοί λέγονται αντίθετοι; Πως συµβολίζεται ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α; Ερώτηση 2 α. Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α; β. Με τι ισούται η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού, ενός αρνητικού και του µηδενός; Άσκηση 1 Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που προκύπτει, να είναι αληθής. α. 7... 3 β. 9... 6 γ. 9... 6 δ. 0... 5 ε. 3... 3 στ. 5... 5 ζ. 13...0 η. 13...13 Άσκηση 2 Να γίνουν οι πράξεις: α. 5 + 3 + 9 β. 8 4 + 15 γ. 13,5 + 3,5 3,1 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

25 ÂéâëéïìÜèçìá Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí Πώς προσθέτουµε δύο οµόσηµους ρητούς; Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο άθροισµα αυτό βάζουµε το κοινό πρόσηµό τους. Πώς προσθέτουµε δύο ετερόσηµους ρητούς; Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αφαιρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από την µεγαλύτερη και στην διαφορά αυτή βάζουµε το πρόσηµο του ρητού που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Αν η διαφορά των απόλυτων τιµών είναι µηδέν, τότε το άθροισµα είναι µηδέν. Πως αφαιρούµε δύο ακέραιους; Για να βρούµε τη διαφορά δύο ακέραιων αριθµών, προσθέτουµε στον µειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Ο παραπάνω κανόνας ισχύει και στην περίπτωση που θέλουµε να αφαιρέσουµε δύο οποιουσδήποτε ρητούς αριθµούς. Τι ονοµάζουµε διαφορά του ρητού αριθµού β, από τον ρητό αριθµό α; Αν έχουµε τους ρητούς αριθµούς α και β, τότε ο ρητός αριθµός x ο οποίος προστιθέµενος στον β µας δίνει τον α ονοµάζεται διαφορά του β από τον α.

310. Οι ρητοί αριθµοί Ο αριθµός α λέγεται µειωτέος και ο β αφαιρετέος και το α β διαφορά του β από το α. π.χ. ( 3) (+7) = ( 3) + ( 7) = 10. Ο ακέραιος α = 3 είναι ο µειωτέος, ο β = +7 ειναι ο αφαιρετέος και το αποτέλεσµα γ = 10 είναι η διαφορά του β = +7 από το α = 3 Στις ασκήσεις για να βρούµε την διαφορά α β δύο ρητών αριθµών α,β, προσθέτουµε στον α τον αντίθετο του β, δηλαδή: α β = α + ( β) Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα (οµόσηµοι): α. (+3) + (+4) β. (+4 ) + (+8) γ. ( 3 ) + ( 4) δ. ( 5) + ( 7 ) ε. ( 8 ) + ( 3) α. (+3) + (+4) = +7 β. (+4) + (+8) = +12 γ.( 3 ) + ( 4 ) = 7 δ. ( 5) + ( 7) = 12 ε. ( 8) + ( 3) = 11 Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα (ετερόσηµοι): α.(+4) + ( 3) β. (+4) + ( 8) γ. ( 3) + (+4) δ. ( 5) + (+7) ε. ( 8) + (+3) α. (+4) + ( 3) = +1 β. (+4) + ( 8) = 4 γ. ( 3 ) + (+4) = +1 δ. ( 5) + (+7) = +2 ε. ( 8) + (+3) = 5 Να υπολογισθούν τα παρακάτω αθροίσµατα: α. (+3) + (+4) β. (+2,2) + (+3,1) γ. ( 5) + ( 8) δ. ( 3,4) + ( 8,2) ε. ( 10) + (0) στ. (+5) + ( 2) ζ. (+9) + ( 12) η. ( 2,5) + (+7,3) θ. ( 0,8) + (+0,8) ι. 2 6 + + - 5 5 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 311. α. (+3) + (+4) = +7 β. (+2,2) + (+3,1) = +5,3 γ. ( 5) + ( 8) = 13 δ. ( 3,4) + ( 8,2) = 11,6 ε. ( 10) + (0) = 10 στ. (+5) + ( 2) = +3 ζ. (+9) + ( 12) = 3 η. ( 2,5) + (+7,3) = +4,8 θ. ( 0,8) + (+0,8) = 0 2 6 4 ι. + + - = - 5 5 5 Να υπολογίσετε τις διαφορές (οµόσηµοι): α. (+3) (+4) β. (+4) (+8) γ. ( 3) ( 4) δ. ( 5) ( 7) ε. ( 8) ( 3) α. (+3) (+4) = (+3) + ( 4) = 1 β. (+4) (+8) = (+4) + ( 8) = 4 γ. ( 3) ( 4) = ( 3) + (+4) = +1 δ. ( 5) ( 7) = ( 5) + (+7) = +2 ε. ( 8) ( 3) = ( 8) + (+3) = 5 Να υπολογίσετε τις διαφορές (ετερόσηµοι): α. (+4) ( 3), β. (+4) ( 8), γ. ( 3) (+4), δ. ( 5) (+7), ε. ( 8) (+3), α. (+4) ( 3 ) = (+4) + (+3) = +7 β. (+4) ( 8) = (+4) + (+8) = +12 γ. ( 3) (+4 ) = ( 3) + ( 4) = 7 δ. ( 5) (+7) = ( 5) + ( 7) = 12 ε. ( 8 ) (+3) = ( 8) + ( 3) = 11 Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. (+5) ( 2) β. (+5) (+4) γ. (+7) ( 9) δ. (+6) (+18) ε. ( 3) ( 8) στ. ( 3) (+7) ζ. ( 5) ( 3) η. ( 7) (+4) α. (+5) ( 2) = (+5) + (+2) = +7 β. (+5) (+4) = (+5) + ( 4) = +1 γ. (+7) ( 9) = (+7) + (+9) = +16 δ. (+6) (+18) = (+6) + ( 18) = 12 ε. ( 3) ( 8) = ( 3) + (+8) = +5 στ. ( 3) (+7) = ( 3) + ( 7) = 10 ζ. ( 5) ( 3) = ( 5) + (+3) = 2 η. ( 7) (+4) = ( 7) + ( 4) = 11 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α β και β α όταν: 1. α = +3, β = +5 2. α = +7, β = 10 3. α = 8, β = +13 4. α = 3, β = 9 1. α β = (+3) (+5) = (+3) + ( 5) = 2, β α = (+5) (+3) = (+5) + ( 3) = +2 2. α β = (+7) ( 10) = (+7) + (+10) = +17, β α = ( 10) (+7) = ( 10) + ( 7 ) = 17 3. α β = ( 8) (+13) = ( 8) + ( 13) = 21, β α = (+13) ( 8) = (+13) + (+8) = +21 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

312. Οι ρητοί αριθµοί 4. α β = ( 3) ( 9) = ( 3) + (+9) = +6, β α = ( 9) ( 3) = ( 9) + (+3) = 6 Να υπολογίσετε τον x ώστε να είναι αληθείς οι παρακάτω ισότητες: (να λυθούν οι εξισώσεις) α. x + (+5) = 8 β. x + ( 5) = 9 α. Είναι: x+ ( + 5) = 8 β. Είναι: x+ ( 5) = 9 ή x = 8 ( + 5) ή x = 9 ( 5) ή x = 8+ ( 5) ή x = 9+ ( + 5) x =+ 3 x = 14 Να λύσετε την εξίσωση: x + 3 = 4 ισχύει x + 3 = 4 Αν x + 3 = 4 είναι: x + 3 = 4 ή x + 3 = 4 οπότε x = 4 3 ή x = 4 3 Άρα x = 1 ή x = 7 Γενικά, αν x θ =, όπου θ θετικός αριθµός τότε είναι x θ = ή x θ = Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 313. 1. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 1. ( + 3) + ( + 7) 2. ( + 9) + ( + 10) 3. ( 8) + ( 13) 4. ( 12) + ( 31) 5. ( 5) + ( 8) 6. ( 9) + ( 12) 7. ( + 4) + ( + 15) 8. ( 10) + ( + 8) 9. ( 12) + ( + 13) 10. ( + 10) + ( 7) 11. ( + 8) + ( 3) 12. ( 13) + ( + 15) 13. ( 19) + ( + 8) 14. ( 20) + ( + 15) 15. ( 9) + ( + 32) 16. ( 15,3) + ( + 7,5) 17. ( 17, 4) ( 19,1) + + 18. 2 1 + + 3 5 19. 2 7 + + 5 3 2 3 20. + ( + 0, 2) 1 2 21. + + ( 0,31) 2. Να προσθέσετε καθένα από τους αριθµούς: 3, 5, +6 µε καθένα από τους αριθ- µούς: +3, +5, -6 3. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε: α. στο +10 για να βρούµε άθροισµα 15 β. στο 10 για να βρούµε άθροισµα 15 γ. στο +8 για να βρούµε άθροισµα 3 δ. στο 12 για να βρούµε άθροισµα 13 ε. στο +7 για να βρούµε άθροισµα +4 4. Να τοποθετήσετε κατάλληλα πρόσηµα στα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α. (+ 4) + (...8) = 12 β. ( 3) + (...4) = 7 γ. (...4) + ( 5) = 1 δ. (...5) + (...3) = +8 ε. (...4) + (...2) = 6 στ. (...9) + (...2) = 11 ζ. (...12) + (...10) = 2 η. (...3) + (...19) = +16 θ. (...1) + (...4) = 5 ι. ( 2) + (...3) =...1 ια.(+8) + (...5) =... 3 ιβ. (+5) + (...12) =...7 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

314. Οι ρητοί αριθµοί 5. Να συµπληρωθεί ο πίνακας: 6. Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες: α. (+3) + (+... ) =... 10 β. (... ) + ( 9) =... 17 γ. (...) + (+5) = 7 δ. (...) + (+20) = +5 7. Να υπολογίσετε το άθροισµα α + β όταν: i. α = +2, β = +3 ii. α = 5, β = 6 iii. α = 7, β = +5 iv. α = 4, β = 13 v. α = +8, β = 8 8. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 315. 9. Αν x = (+3) + ( 8) και y = ( 7) + ( 4), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A = x + y, Β = 2x = x + x, Γ = 2y = y + y, = Γ + y, E = B + 10. Αν 2 3 1 x = +,y= 3 + 4 και 5 5 2 1 1 z = 2 + + 3 να υπολογίσετε τις 2 5 παραστάσεις: A = x + y, B = x + z, Γ = y + z 11. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. ( 2 ) + (+ 9 ), β. (+ +8 ) + ( 10 ) 12. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. ( 3) ( 5) β. ( 13) ( 4) γ. ( 14) ( 5) δ. (+5) (+3) ε. ( 4) ( 12) στ. ( 9) (+7) ζ. (+12) (+10) η. ( 3) ( 19) θ. ( 1) ( 4) ι. ( 3) (0) ια. (0) ( 7) ιβ. (0) (+6) ιγ. ( 12) ( 12) ιδ. ( 13) (+13) 13. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. ( 2,5) (+3,2) β. ( 7,3) (+8,1) γ. ( 3,9) ( 2,1) δ. (+4,02) - (+2,13) ε. ( 5) (+6,2) στ. ( 7,6) (+7,6) ζ. ( 5,3) ( 5,3) η. (+14,82) (0) ι. (0) ( 9,15) 14. Να υπολογίσετε τις διαφορές: 2 1 α. + + 5 5 7 1 β. + + 2 2 2 4 γ. + + 3 3 1 1 δ. + + 5 5 6 3 ε. 7 8 2 3 στ. 5 8 1 2 ζ. 2 3 2 1 η. 5 7 2 5 θ. + 3 7 1 2 ι. + 5 3 1 7 ια. + 8 5 3 5 ιβ. + 8 4 2 ιγ. + 3 7 1 5 ιδ. + + ( 0, 2) 5 7 ιε. 2 + ( 0,1) 1 7 ιζ. + 3 + 2 2 ιη. 2 0 + 5 15. Η µέγιστη θερµοκρασία µίας περιοχής το καλοκαίρι είναι 40 ο C και η ελάχιστη το χειµώνα είναι 10 0 C. Να βρείτε τη διαφορά ανάµεσα στη µέγιστη και την ελάχιστη θερµοκρασία. Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

316. Οι ρητοί αριθµοί 16. Ένας αθλητής καταδύσεων εκτελεί κατάδυση από βατήρα ύψους 10m, και φτάνει σε βάθος 3,70 m.να βρείτε πόσο απέχει ο βατήρας από το σηµείο στο οποίο έφτασε ο αθλητής. 17. Nα λυθούν οι εξισώσεις: α. x + ( 2) = 5 β. x ( 3) = 8 γ. x (+6) = 8 δ. 4 + x = 7 ε. 8 x = 9 στ. ( 3) + x = 8 ζ. ( 5) x = 5 18. Ποιόν αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο 4 για να βρούµε άθροισµα ίσο µε: α. 5 β. 6 γ.10 δ. 16 1 ε. 0.6 στ. 2,1 ( 2,2) ζ. ( 0, 2) 2 η. 1 2 3 2 5 19. Να βρείτε από ποιόν αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε το ( 5) για να βρούµε διαφορά 1 α. 2 β. 3 γ. +7 δ. ( 0, 2) 20. Αν ( ) 2 ε. 1 2 3 2 5 1 3 α =, β = 0,2, γ = 2 να επαληθεύσετε την ισότητα: (α + β) γ = α +(β γ) 2 5 21. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α β και β α όταν: 1) α = +5, β = +8 2) α = +9, β = 12 3) α = 11, β = +16 4) α = 7, β = 12 22. Να αντικαστήσετε µε κατάλληλα πρόσηµα τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες: α. (+4) (...8) = 4 β. ( 3) (...4) = +1 γ. (... 4) ( 5) = +1 δ. (...5) ( 3) = +8 ε. (...4) (+2) = 6 στ. ( 9) (...2) = 11 23. Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες: α. (+3) (... ) =... 10 β. (... ) (+9) =... 17 γ. (... ) ( 5) = 7 δ. (...) ( 20) = +5 24. Να υπολογίσεται τη διαφορά α β όταν: i. α = +4, β = +6 ii. α = 4, β = 5 iii. α = 17, β = +15 iv. α = 8, β = 17 v. α = +10, β = 10 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 317. 25. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: 26. Αν x = (+3) (+2) και y = ( 7) (+2), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A = x y, Β = 2y = y + y, Γ = Α B 2 3 1 3 2 2 27. Αν x =, y= 3 ( 2) και 1 1 z = 3 2 3 4, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A = x y, B = y z, Γ = z x, = Α + Β + Γ. 28. Να υπολογίσεται τα αθροίσµατα: α. ( 3 ) (+ 8 ), β. (+ 5 ) ( 4 ) Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

318. Οι ρητοί αριθµοί Ερώτηση 1 α. Πως προσθέτουµε δύο οµόσηµους αριθµούς; β. Πως προσθέτουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς; Ερώτηση 2 α. Πως αφαιρούµε δύο ακεραίους; β. Τι ονοµάζουµε διαφορά του ρητού αριθµού β από τον ρητό αριθµό α; Άσκηση 1 Να γίνουν οι πράξεις: α. (+3) + (+4) β. (+5) + ( 8) γ. ( 8) + ( 9) δ. ( 10) + (+18) ε. ( 3) 1 + στ. 3 1 2 2 + + 3 3 5 2 1 ζ. + 5 4 η. ( 0,33) + (+1,22) Άσκηση 2 Να υπολογισθούν οι διαφορές α β και β α αν: α. α = 3 και β = 5 β. α = +7 και β = 4 γ. α = 0,5 και β = +0,7 Άσκηση 3 Να αντικαστήσετε µε κατάλληλα πρόσηµα τα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α. (+4) (...9) = 5 β. (...4) (+3) = 7 γ. (...4) ( 9) = +5 δ. (...5) ( 4) = +9 Άσκηση 4 Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α. (+3) (...) =... 8 β. (...) (+9) =... 12 γ. (...) ( 5) = 1 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών