Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί να ειλύει τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: ημx =α, συνx=α, εφx=α και άλλες ου ανάγονται σ αυτές. Να γνωρίζει τους τύους του αθροίσματος της διαφοράς και του διλάσιου τόξου, καθώς και τις αοδείξεις αυτών και με την βοήθεια αυτών να υολογίζει την τιμή αραστάσεων των τριγωνομετρικών α- ριθμών. Να ειλύει τριγωνομετρικές εξισώσεις. Να αοδεικνύει τριγωνομετρικές ταυτότητες.
10. Τριγωνομετρία Τύοι - Βασικές έννοιες ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ: Τύοι - Βασικές έννοιες Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω Τεταρτημόρια ημω συνω εφω σφω Ι + + + + ΙΙ + - - - ΙΙΙ - - + + ΙV - + - - Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών ω (μοίρες) ω (rad) ημω συνω εφω σφω o ο ο o o o o o 0 0 45 60 90 180 70 60 0 6 4 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 Ταυτότητα Με την ροϋόθεση ημ ω+ συν ω= 1 ω R ημω εφω = ω R, συνω 0 συνω συνω σφω = ω R, ημω 0 ημω εφω σφω = 1 ω R, ημω συνω 0 ημ εφ ω ω 1 εφ ω = ω R, συνω 0 + 1 = ω R, συνω 0 + συν ω 1 εφ ω
Τύοι - Βασικές έννοιες Τριγωνομετρία 11. ημ συν εφ σφ x ημx συνx εφx σφx x 90 x συνx ημx σφx εφx + x 90 + x συνx ημx σφx εφx x 180 x ημx συνx εφx σφx + x 180 + x ημx συνx εφx σφx x 70 x συνx ημx σφx εφx + x 70 + x συνx ημx σφx εφx x 60 x ημx συνx εφx σφx + x 60 + x ημx συνx εφx σφx Περιοδική συνάρτηση * Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T R + τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύουν: i. x+ T A, x T A, ii. f( x+ T) = f( x T) = f( x) O αριθμός T λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με: ημx = ημ(x rad) Η συνάρτηση ημίτονο είναι εριοδική με ερίοδο διότι: ημ(+x) = ημx, για κάθε x R Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [0,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση συνημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο συν (x rad) λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και τη συμβολίζουμε με: συνx = συν (x rad) Η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο., διότι: συν(+x)=συνx για κάθε x R
1. Τριγωνομετρία Τύοι - Βασικές έννοιες Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [0,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση εφατομένη Η συνάρτηση εφατόμενη ορίζεται ως το ηλίκο του ημιτόνου ρος το συνημίτονο. ημx Είναι: f(x) = εφx = με εδίο ορισμού το A = {x R:συνx 0} συνx Η συνάρτηση εφx είναι εριοδική με ερίοδο διότι: εφ( + x) = εφx, για κάθε x A. Άρα η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται η ίδια σε κάθε διάστημα λάτους. Όταν το x λησιάζει ( τείνει ) στο με x < η εφx τείνει στο + γι αυτό λέμε ότι η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f με f(x) = εφx. Οι συναρτήσεις f(x) = ρημ(ωx), όου ρ, ω > 0 και g(x) = ρσυν(ωx), όου ρ, ω > 0 Εειδή 1 ημx 1 έχουμε 1 ημx(ωx) 1 και εειδή ρ > 0 είναι: ρ ρημ(ωx) ρ -ρ f (x) ρ Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι το ρ και η ελάχιστη τιμή της είναι το - ρ. Το ω καθορίζει την ερίοδο Τ της f ου είναι: T = ω
Τύοι - Βασικές έννοιες Τριγωνομετρία 1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις ημx = ημθ x = κ+ θ ή x = κ + θ, κ Ζ συνx = συνθ x = κ ± θ, κ Ζ εφx = εφθ x = κ + θ, κ Ζ σφx = σφθ x = κ + θ, κ Ζ Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς συν(α + β) = συνασυνβ - ημαημβ ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ συν(α - β) = συνασυνβ + ημαημβ ημ(α - β) = ημασυνβ - συναημβ εφα + εφβ εφα εφβ εφ(α + β) = εφ(α β) = 1 εφαεφβ 1 + εφαεφβ σφασφβ 1 σφ(α + β) = σφα + σφβ σφασφβ + 1 σφ(α β) = σφβ σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί του α 1. ημα = ημασυνα α. συνα = συν α ημ α β. συνα = συν α 1 γ. συνα = 1 ημ α εφα. εφα σφ α 1 = 4. σφα = 5. 1 εφ α σφα εφα ημα = 1 + εφ α 6. συνα 1 εφ α 1 συνα 1 συνα = 7. εφ α = 8. ημ α = 1 + εφ α 1+ συνα 1+ συνα 9. συν α = 10. = 11. συνα = 4συν α συνα ημα ημα 4ημ α
14. Τριγωνομετρία Βήμα 1 ο [Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφορές γωνίων] ΘΕΩΡΙΑ 1 συν(α β) = συνασυνβ + ημαημβ Αόδειξη Χωρίς αόδειξη ΘΕΩΡΙΑ συν(α + β) = συνασυνβ ημαημβ Αόδειξη Αν στον τύο (1) αντικαταστήσουμε το β με β έχουμε : συν[α ( β)] = συν(α + β) συν[α ( β)] = συνασυν( β) + ημαημ( β) = συνασυνβ ημαημβ ΘΕΩΡΙΑ ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ Αόδειξη Εειδή συν( / x) = ημx και ημ( / x) = συνx έχουμε : ημ(α + β) = συν[ / (α + β)] = συν[( / α) β] = = συν(/ α)συνβ+ ημ(/ α)ημβ= ημασυνβ+ συναημβ ΘΕΩΡΙΑ 4 ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ Αόδειξη Αν στον τύο () αντικαταστήσουμε το β με το β έχουμε : ημ[α + ( β)] = ημ(α β) ημ[α + ( β)] = ημασυν( β) + συναημ( β) = ημασυνβ συναημβ
Βήμα 1 ο Τριγωνομετρία 15. ΘΕΩΡΙΑ 5 Αόδειξη εφα + εφβ εφ(α + β) =, συν(α + β) 0 και συνα 0 και 1 εφαεφβ συνβ 0. ημ(α + β) ημασυνβ + συναημβ εφ(α + β) = = συν(α + β) συνασυνβ ημαημβ = (Διαιρούμε με συνασυνβ 0 ) ημασυνβ συναημβ + συνασυνβ συνασυνβ εφα + εφβ = = συνασυνβ ημαημβ + 1 εφαεφβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ ΘΕΩΡΙΑ 6 εφ(α β) = 1 + εφαεφβ Αόδειξη Aν στον τύο (5) αντικαταστήσουμε το β με β έχουμε : εφ(α β) = εφ[α + ( β)] εφα + εφ( β) εφα εφβ εφ[α + ( β)] = = 1 εφαεφ( β) 1+ εφαεφβ [Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α] ΘΕΩΡΙΑ 7 ημα = ημασυνα Αόδειξη ημα = ημ(α + α) = ημασυνα + συναημα = ημασυνα ΘΕΩΡΙΑ 8 συνα = συν α ημ α = συν α 1 = 1 ημ α Αόδειξη συνα = συν(α + α) = συνασυνα ημαημα= συνα ημ α συν α ημ α = συν α (1 συν α) = συν α 1+ συν α = συν α 1
16. Τριγωνομετρία Βήμα 1 ο συν α ημ α= 1 ημ α ημ α= 1 ημ α εφα ΘΕΩΡΙΑ 9 εφα = 1 εφ α Αόδειξη εφα + εφα εφα εφα = εφ(α + α) = = 1 εφαεφα 1 εφ α 1 + συνα ΘΕΩΡΙΑ 10 συν α = Αόδειξη Αό τον τύο () έχουμε: 1+ συνα συνα = συν α 1 συνα + 1 = συν α συν α = 1 συνα ΘΕΩΡΙΑ 11 ημ α = Αόδειξη Αό τον τύο () έχουμε: 1 συνα συνα = 1 ημ α ημ α = 1 συνα ημ α = ΘΕΩΡΙΑ 1 1 συνα εφ α = 1 + συνα Αόδειξη εφ α 1 συνα ημ α 1 συνα συν α 1+ συνα 1+ συνα = = =
Βήμα ο Τριγωνομετρία 17. Α. Αό το σχολικό βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 00. 1.1 Α Ομάδα: 5, 6, 7, 8 Β Ομάδα:, 1. Α Ομάδα: 5, 6, 8, 9, 10, 11, 1 Β Ομάδα: 1,, 1. Α Ομάδα: 6, 8, 10, 11 Β Ομάδα: 1,,, 4, 6, 8 1.4 Α Ομάδα: 6, 7, 8, 9, 10 Β Ομάδα:,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Β. Αό τα Βιβλιομαθήματα ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα ο : Προτεινόμενες ασκήσεις: 1,, 4, 5, 7, 8 Βιβλιομάθημα ο : Προτεινόμενες ασκήσεις:, 4, 6, 9, 1, 14, 16, 18 Βιβλιομάθημα 4 ο : Προτεινόμενες ασκήσεις:,, 5, 8, 9, 10, 1
18. Τριγωνομετρία Βήμα ο 1. Δίνεται η συνάρτηση: x f(x) = α ημ + β με x R και α > 0, β R i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι το και η γραφική της αράσταση C f τέμνει τον yy στο σημείο (0,1), βρείτε τα α,β R. ii. Να κάνετε την γραφική της αράσταση σε διάστημα λάτους μιας εριόδου. iii. Βρείτε τα σημεία ου η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο διάστημα μιας εριόδου. Λύση: i. i H C f τέμνει τον yy στο (0,1), άρα το σημείο ( ) f M 0,1 C f (0) = 1 β= 1 i Για x R ισχύει: x 1 ημ 1 x α α ημ α (ολλαλασιάζουμε με α > 0) (ροσθέτουμε το 1) x α+ 1 α ημ + 1 α+ 1 α+ 1 f(x) α+ 1 Δηλαδή η μέγιστη τιμή της f είναι το α+ 1, άρα α+ 1= α = και τελικά: x f(x) = ημ + 1 με x R ii. i H f είναι εριοδική με ελάχιστη θετική ερίοδο Τ= =.
Βήμα ο Τριγωνομετρία 19. Άρα θα την μελετήσουμε στο διάστημα [ 0, ]. Η f είναι γνησίως μονότονη κατά διαστήματα ως εξής: Ο ίνακας τιμών της f είναι: Άρα η γραφική αράσταση της f είναι η εόμενη: iii. Θα λύσουμε την εξισωση f (x) 0 στο διάστημα [ 0,] = Βρίσκουμε καταρχάς τις γενικές λύσεις της εξίσωσης: x ημ 1 0 + = x = κ ή 6 Πρέει: x 1 ημ = = ημ 6 x 7 7 = κ + x = κ ή x = κ + 6 4 4 0 κ και 4 κ + 4 4 1 1 κ 1 1 7 0 κ + 4 7 7 κ 4 4 7 5 κ 1 1 Άρα κ = 1 Άρα κ = 0
0. Τριγωνομετρία Βήμα ο 11 Άρα η γραφική αράσταση της f τέμνει τον xx στο Α,0 ου ροκύτει 4 αό την x= κ αν θέσουμε κ = 1 7, και στο Β,0 ου ροκύτει αό 4 4 την 7 x= κ + αν θέσουμε κ = 0. 4. Στο διλανό σχήμα, φαίνεται η γραφική αράσταση μιας εριοδικής συνάρτησης f στο διάστημα μιας εριόδου της οοίας ο τύος είναι της μορφής: f () t = ρημ( ωt) + β, και οι τιμές f(t) είναι οι ωλήσεις σε χιλιάδες κομμάτια ενος ροϊόντος στην διάρκεια μιας οκταετίας. i. Βρείτε τον τύο της συνάρτησης. ii. Σε οιες χρονικές στιγμές οι ωλήσεις f(t) ειναι 100.000 κομμάτια; iii. Σε οιο χρονικό διάστημα οι ωλήσεις υερβαίνουν τις 100.000 κομμάτια; Λύση: i. O τύος της f είναι: ( ) f (t) ρημ ωt β με 0 t 8καιρ 0 = + > Εειδή είναι εριοδική με ερίοδο 8 έχουμε: 8 = ω = ω 4 Είσης ισχύει: 1 ημ t 1 ρ ρ ημ t ρ 4 4 Όμως 5 f (t) 15, άρα: β ρ ρ ημ t + β β+ ρ 4 Άρα τελικά ο τύος της f είναι: β ρ= 5 β + ρ = 15 β ρ f(t) β+ ρ β = 150 ρ = 15 β β= 75 ρ = 50 f (t) = 50ημ t + 75 με 0 t 8 4
Βήμα ο Τριγωνομετρία 1. ii. Λύνουμε την εξίσωση: f (t) = 100 1 50ημ t + 75 = 100 ημ t = 4 4 ημ t = ημ t = κ + ή t = κ + 4 6 4 6 4 6 Όμως t [ 0,8] άρα: Τότε είναι: t = ή iii. Λύνουμε την ανίσωση: t = 8κ + ή 10 t = 8κ+ με κ 0 8κ+ 8 8κ και κ = 0 10 10 14 0 8κ+ 8 8κ 10 t = 1 t 5 f (t) > 100 ημ t > < < 4 6 4 6 10 10 < t< t,.i. Δείξτε ότι: συν( x + y) συν( x y) = συν x + συν y 1 ii. Λύστε την εξίσωση: iii. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ορθογώνιο. Λύση: i. Ισχύει: συν( x + y) συν( x y) = 1 συν x + συν x = 6 6 συν Α + συν Β = 1 + συνγ, δείξτε ότι είναι = ( συνx συνy ημx ημy) ( συνx συνy + ημx ημy) = συν x συν y ημ x ημy = = ( ) ( ) συν x συν y 1 συν x 1 συν y = = = συν x συν y 1+ συν y + συν x συν x συν y = = συν x + συν y 1
. Τριγωνομετρία Βήμα ο ii. Η εξίσωση γράφεται: 1 συν x συν x 1 + = συν x + συν 1 = 6 6 6 1 συν x + 1 4 = συν x = συνx = ή συνx = 4 συνx = συν ή συνx = συν x = κ ± ή x = κ ±, κ iii. Ισχύει: συν Α + συν Β = 1+ συνγ ή συν Α + συν Β 1= συνγ ή συν( Α + Β) συν( Α Β) = συνγ ή συνγ συν( Α Β) = συνγ ή συνγ + συνγ συν( Α Β) = 0 ή συνγ[ 1+ συν( Α Β) ] = 0 ή συνγ = 0 ή συν( Α Β) = 1 ή Γ= 90 ή Α Β=, ου είναι αδύνατο. Άρα Γ= 90. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Α Β Β Γ Γ Α i. Δείξτε οτι: εφ εφ + εφ εφ + εφ εφ = 1 Α 1 Β 1 ii. Αν εφ = και εφ =, βρείτε την γωνία Γ. Λύση: i. Ισχύει: Α+ Β+ Γ= 180 Α Β Γ 90 + + = Α + Β = 90 Γ Οότε: Α Β Γ εφ + = εφ 90 ή Α Β εφ + εφ 1 = Α Β Γ 1 εφ εφ εφ ή Α Β εφ + εφ = σφ Γ Α Β 1 εφ εφ Α Β Γ Α Β εφ + εφ εφ = 1 εφ εφ ή ή Α Γ Β Γ Α Β εφ εφ + εφ εφ + εφ εφ = 1
Βήμα ο Τριγωνομετρία. ii. Εφόσον Α 1 εφ = και Β 1 εφ = σύμφωνα με το i. ερώτημα είναι: 1 Γ 1 Γ 1 εφ + εφ + = 1 ή 6 Άρα ˆΓ= 90. Γ Γ εφ + εφ = 5 ή Γ εφ 1 = ή Γ 45 = 5 5. Αν < α< και εφα=. 4 1 i. Δείξτε οτι: εφα = 5. ii. Λύστε την εξίσωση εφ( x α) + εφα = εφx, εφόσον Λύση: εφ =. 5 i. Ισχύει: 5 εφα 5 εφα = = 1 1 εφ α 1 Θέτουμε y 5 εφ α 5 = 4 εφα 5 εφ α 4 εφα 5 = 0 5y 4y 5= 0 y= 5 ή = εφα και η εξίσωση γίνεται: ( 4) ± 6 4 ± 6 y = y = 5 10 1 y =. Άρα εφα = 5 ή 5 1 εφα = 5 Εειδή < α < είναι εφα > 0, οότε εφα = 5. 4 εφx εφα ii. εφ( x α) + εφα = εφx + 5 = εφx 1+ εφx εφα εφx 5 + 5= εφx εφx 15 + 5 + 5 εφx = εφx + 15 εφ x 1+ 5 εφx 15 εφ x 5 εφx + 10 = 0 εφ x 5 εφx + = 0 Θέτουμε y y 5y + = 0 = εφx και η εξίσωση γίνεται: ( 5) ± 1 y = 5± 1 y = y= 1 ή 6 y =
4. Τριγωνομετρία Βήμα ο Άρα εφx = 1 ή εφx = x = κ + ή 4 x = κ + με κ Z. 5 6.α. Δείξτε ότι: συν συν1 συν57 συν78 = β. Δείξτε ότι: εφ + σφ67 = 1 εφ σφ67 γ. Δείξτε ότι: συν ( 45 α) ημ ( 45 α) = ημα δ. Δείξτε ότι: συν ημ + ημ συν = 8 8 8 8 4 Λύση: α. Παρατηρούμε οτι: i + 57 = 90 άρα συν57 = ημ και i 1 + 78 = 90 άρα συν78 = ημ1 συν συν1 συν57 συν78 = συν συν1 ημ ημ1 = συν( + 1 ) = συν45 = β. Παρατηρούμε οτι: i + 67 = 90 άρα σφ67 = εφ Οότε: εφ + εφ67 = 1 εφ σφ67 εφ + εφ = 1 εφ εφ εφ + εφ = 1 εφ( + ) = 1 εφ45 = 1, ου είναι αληθές 1 εφ εφ γ. Ισχύει: συν ( 45 α) ημ ( 45 α) = συν ( 45 α) = συν( 90 α) = ημα [ ] δ. Ισχύει: συν ημ + ημ συν = ημ συν συν + ημ = 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 1 ημ συν = ημ συν = ημ = = 8 8 8 8 4 4 7.i. Αν ισχύει: 8 συν x + + ημ x + =, δείξτε ότι: 5 4 συνx =. 5
Βήμα ο Τριγωνομετρία 5. ii. Αν 0 < x < βρείτε τα ημx, συνx. iii. Αν ισχύει: εφ( y + x) = 1 δείξτε οτι Λύση: i. Ισχύει: 17 εφy =. 1 8 συν x + + ημ x + = 5 8 συνx συν ημx ημ + ημx συν + συνx ημ = 5 1 8 8 4 συνx ημx + ημx + συνx = συνx = συνx = 5 5 5 ii. Ισχύει: 16 9 ημ x = 1 συν x ημ x = 1 ημ x = 5 5 Εειδή Οότε: 0 < x < είναι ημx > 0. Οότε i 4 4 ημx = ημxσυνx = = 5 5 5 ημx =. 5 16 7 i συνx = συν x 1 = 1 = 5 5 ημx 4 i εφx = = συνx 7 iii. Ισχύει: εφ( y x) 1 + = εφy + εφx = 1 1 εφy εφx 7 εφy + 4 = 7 4 εφy 1 εφy = 17 ημx = ή 5 ημx = 5 4 4 εφy + = 1 εφy 7 7 17 εφy = 1 8.i. Δείξτε ότι: x x + = 8 8 ημ ημ ημx
6. Τριγωνομετρία Βήμα ο ii. Λύστε την εξίσωση: Λύση: i. Ισχύει: x x 4 ημ + ημ = συνx 8 8 x x ημ ημ 1 συν + x 1 συν x + = 4 4 8 8 = 1 συν + x 1+ συν x συν x συν x + 4 4 = 4 4 = συν συνx + ημ ημx συνx συν + ημx ημ 4 4 4 4 = ημx ημ 4 = ημ ημx = ημx 4 ii. Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: x 4 ημ ημ συνx + = 8 8 4 4 ημx = συνx ημ x = συνx 1 συνx = συνx 1 συνx = συνx 1 1 = συνx συνx = συνx = συν x = κ ± x = κ ±, κ Z 6 9.i. Αν το 4 είναι ρίζα της εξίσωσης: α συν4x+ β ημ x= 0, δείξτε οτι β= α. ii. Αν α 0, λύστε την εξίσωση.
Βήμα ο Τριγωνομετρία 7. Λύση: i. Το 4 είναι ρίζα της εξίσωσης άρα: α συν+ β ημ = 0 4 ii. Η εξίσωση γράφεται: α συν4x+ α ημ x = 0 α 0 συν4x + ημ x = 0 συν x 1+ 1 συνx = 0 1 α+ β = 0 β= α 1 συνx συν x 1+ = 0 συνx ( συνx 1) = 0 συνx = 0 ή x = κ + ή κ x = + ή 4 συν x συνx = 0 συν x = συν x = κ + ή 4 x = κ ±, κ Z 6 1 συνx = x = κ ± 10. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συν x ημx ημ x συνx με x. i. Δείξτε οτι: 1 f(x) = ημ4x 4 1 ii. Λύστε την εξίσωση: f(x) + εφ f x = 8 4 iii. Βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: g(x) = 8 f(x) 1 με x Λύση: i. Για x ισχύει: ( ) f (x) = συνx ημx συν x ημ x f (x) = ημx συνx συνx 1 1 1 f (x) = ημx συνx f(x) = ημx συνx f(x) = ημ4x 4 4 ii. Η εξίσωση γράφεται: 1
8. Τριγωνομετρία Βήμα ο 1 1 1 ημ4x + εφ ημ 4x = 4 4 4 ημ4x + εφ συν4x = 1 ημ4x + εφ συν4x = 1 ημ ημ4x + συν4x 1 = συν ημ4x συν + συν4x ημ = συν ημ 4x + = ημ 6 4x+ = κ + ή 6 4x= κ ή 6 5 4x+ = κ + 6 4x= κ + x = κ ή 4 iii. Για x έχουμε: g(x) = 8 f(x) 1= ημ4x 1 Για x ισχύει: 1 ημ4x 1 ημ4x ημ4x 1 1 g(x) 1 Άρα -, 1 η ελάχιστη και η μέγιστη αντίστοιχα τιμή της g. κ x = +, κ Z 8 11.i. Δείξτε ότι: ii. Δείξτε ότι: ημα συνα α = εφ ( 1 + συνα) ( 1 + συνα) 1 + συνα + συνα = σφα ημα + ημα ημx ημx 1+ συνx+ συνx iii. Λύστε την εξίσωση: = ( 1 + συνx) ( 1 + συνx) ημx + ημx Λύση: ημα συνα ημα συνα συνα = = 1+ συνα 1+ συνα 1+ συν α 1 1+ συνα i. Ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )
Βήμα ο Τριγωνομετρία 9. α α ημ συν = = = 1+ συνα α 1+ συν 1 ημα συν α ημα ( συν α ) ( 1+ συνα) α α α ημ συν ημ = = εφ α α α συν συν ii. Ισχύει: 1+ συνα + συνα 1+ συν α 1+ συνα = = ημα + ημα ημα συνα + ημα συνα ( συνα + 1) συνα = = σφα ημα ( συνα + 1) ημα ημx συνx 1+ συνx + συνx iii. Η εξίσωση γράφεται: = ( 1+ συνx ) ( 1+ συνx ) ημx + ημx x x εφ σφx = εφ x 1 εφ x = εφx εφ = 1 x εφ = 1 εφx x 1 εφ x x εφ 1 εφ = x εφ = ή x = κ + ή 6 εφ 1 εφ = x x 1 = x εφ = εφ x = εφ ή 6 x = κ 6 x = κ + ή x εφ = εφ 6 x = κ, κ Z
0. Τριγωνομετρία Βήμα 4 ο 1. Θεωρούμε τις συναρτήσεις: i. x f(x) = ημ, ii. g(x) = συνx, iii. x h(x) = 1 + ημ 4 Να βρεθούν: α. η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή, β. η ερίοδος, των αραάνω συναρτήσεων.. Η θερμοκρασία μιας όλης t ώρες μετά τα μεσάνυκτα εριγράφεται συναρτήσει του χρόνου t αό τη σχέση: θ= ρημ σε 0 C, [ ] t 1 t 0,4. α. Βρείτε το ρ αν γνωρίζετε ότι στις μετά τα μεσάνυκτα η θερμοκρασία της όλης είναι 4 C. β. Να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της θερμοκρασίας συναρτήσει του χρόνου σε διάστημα λάτους μίας εριόδου.
Βήμα 4 ο Τριγωνομετρία 1.. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις : 1 i. συνx =, ii. συνx =, iii. x εφ 0 4 + = 4. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: i. ημ x + συν x = ημxσυνx(ημx + συνx) ii. συν x + ημ x = 1 iii. 1 εφx + συνx = συνx
. Τριγωνομετρία Βήμα 4 ο 5. Έστω η συνάρτηση: f(x) = ημ x + 4 α. Να βρείτε τα x για τα οοία η f αρουσιάζει ελάχιστο στο διάστημα [ 0, ]. β. Να βρείτε τα σημεία στα οοία η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x. 6. Για την γωνία ω ισχύει ότι: συνω + 5συνω + = 0 i. Να αοδείξετε ότι: ii. Αν ειλέον ισχύει: 1 συνω = αριθμούς: ημω, συνω και εφω. ω να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς......
Βήμα 4 ο Τριγωνομετρία. 7. Δίνονται οι αραστάσεις: x + ημα xσυνα Α = 1 xημα συνα και Β = 1 συνα xεφ α + 1+ x+ συνα i. Να αοδείξετε ότι οι αραάνω αραστάσεις είναι ανεξάρτητες του x. ii. Αν α =, να αοδείξετε ότι: Α Β + = +. 8.Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις : i. 1 + συνx = ημ( x) ii. iii. συν x ημ x = 1 ημ4x 1 συν x =......
4. Τριγωνομετρία Βήμα 4 ο 5 11 7 1 9. Να αοδείξετε ότι: 1 + συν 1 + συν 1 + συν 1 + συν = 1 1 1 1 16 10. Να αοδείξετε ότι: 1 εφ (15 α) 1 + εφ (15 α) = ημα
Βήμα 4 ο Τριγωνομετρία 5. 11. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = συνx ημx. i. Να αοδείξετε ότι η f αίρνει τη μορφή: ( ) 5 f x = ημ x 4 ii. Να λύσετε την εξίσωση: συνx ημx = 1 1. Να αοδείξετε ότι 1 + εφα συνα = 1 εφα 1 ημα και στη συνέχεια με τη βοήθεια του τύου αυτού να υολογίσετε την εφ 1.
6. Τριγωνομετρία Βήμα 4 ο 1. Έστω η συνάρτηση ( ) 4 f x = ημ x + συν x. i. Να αοδείξετε ότι: ( ) 1 f x = ημx 4 ii. Να αοδείξετε ότι: f ( x) = f( x) iii. Βρείτε τα x [ 0,) για τα οοία η f αίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Βήμα 5 ο Τριγωνομετρία 7. α. Αν α, β, α + β κ +, με κ Ζ Θέμα 1 ο, δείξτε ότι: εφ( α β) εφα + εφβ + = 1 εφαεφβ (Μονάδες 5) β.i. Αν το 6 είναι ρίζα της εξίσωσης 1 αημ x + συν x =, βρείτε το α. (Μονάδες 5) βγ ii. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Δείξτε ότι: ημβ = α (Μονάδες 5) iii. Δείξτε ότι: 4 4 συν α ημ α = ημα (Μονάδες 5) α α iv. Δείξτε ότι: 1+ ημα = ημ + συν (Μονάδες 5)
8. Τριγωνομετρία Βήμα 5 ο Θέμα ο Αοδείξτε τις ισότητες: α. β. ημ19 συν6 + ημ71 συν64 = (Μονάδες 5) εφ 5α εφ α 1 εφ 5αεφ α = εφ8α εφα (Μονάδες 10) γ. ημ συν + συν = (Μονάδες 10) 8 8 4 Λύστε τις εξισώσεις: α. Θέμα ο εφ + x εφ x = 1 (Μονάδες 10)
Βήμα 5 ο Τριγωνομετρία 9. β. συνx + ημ = 0 (Μονάδες 15) x Θέμα 4 ο 4 4 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ημ x+ συν x με x R. α. Δείξτε ότι ( ) συν4x + f x =, με x R. 4 (Μονάδες 5) β. Να κάνετε την γραφική αράσταση της f. (Μονάδες 10) γ. Λύστε την εξίσωση 8f ( x) = 7 στο διάστημα 0,. (Μονάδες 10)