Καμπύλες και επιφάνειες
Μοντελοποίηση αντικειμένων με πολυγωνικό πλέγμα Εναλλακτικά: μοντελοποίηση με καμπύλες και επιφάνειες.
Αναλυτική μορφή καμπυλών και επιφανειών (explicit representation) 2 διαστάσεις: έκφραση της εξαρτημένης μεταβλητής ως προς την ανεξάρτητη y=f(x), x=g(y) Μια τέτοια έκφραση μπορεί να μην υπάρχει για συγκεκριμένη καμπύλη Ευθεία y=mx+h, δεν καλύπτει ευθείες κάθετες στον x Κύκλος: 2 y = ± r x 2,0 x r
Αναλυτική μορφή καμπυλών και επιφανειών (explicit representation) 3 διαστάσεις: Καμπύλες: y=f(x), z=g(x) Επιφάνειες: z=f(x,y) Περιορισμένες δυνατότητες Ευθεία y=ax+b, z=cx+d Δεν περιλαμβάνονται οι ευθείες σε επίπεδο με σταθερό x(κάθετο στον άξονα x). Η σφαίρα δεν μπορεί να παρασταθεί με μοναδική εξίσωση z=f(x,y)
Πεπλεγμένη μορφή καμπυλών και επιφανειών (implicit representation) Καμπύλη σε 2 διαστάσεις: f(x,y)=0 ax+by+c=0, x 2 +y 2 -r=0 Συναρτήσεις αυτής της μορφής είναι συναρτήσεις ελέγχου ιδιότητας μέλους (membership functions) Επιφάνειες σε 3 διαστάσεις: f(x,y,z)=0 ax+by+cz+d=0
Πεπλεγμένη μορφή καμπυλών και επιφανειών (implicit representation) Καμπύλες σε 3 διαστάσεις: τομή δύο επιφανειών (δεν υπάρχει πάντα) f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 Η πεπλεγμένη μορφή δεν είναι εύχρηστη Δυσκολία στο να δημιουργήσουμε σημεία της καμπύλης/επιφάνειας.
Πεπλεγμένη μορφή καμπυλών και επιφανειών (implicit representation) Αλγεβρικές επιφάνειες: ησυνάρτησηf(x,y,z) πολυώνυμο των 3 μεταβλητών Επιφάνειες 2ου βαθμού (quadric surfaces): κάθε όρος μέχρι 2ου βαθμού π.χ. zy, x 2 Παριστούν κοινές επιφάνειες (σφαίρες, κώνους,..) 2 το πολύ τομές με ευθείες
Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation) Καμπύλες στις 3 διαστάσεις x=x(u), y=y(u), z=z(u) Ομοιομορφία με την αναπαράσταση στις 2 διαστάσεις p(u)=[x(u), y(u), z(u)] T Ταχύτητα διάσχισης της καμπύλης, καθώς μεταβάλλεται το u, διάνυσμα εφαπτόμενο στην καμπύλη. dp( u) dx( u) dy( u) dz( u) T = du du du du
Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation)
Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation) Επιφάνειες στις 3 διαστάσεις x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) p(u,v)=[x(u,v), y(u,v), z(u,v)] T Διανύσματα στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας: p( uv, ) xuv (, ) yuv (, ) zuv (, ) T = v v v v p( uv, ) xuv (, ) yuv (, ) zuv (, ) T = u u u u
Παραμετρική μορφή καμπυλών και επιφανειών (parametric representation)
Πολυωνυμικές παραμετρικές καμπύλες Οι παραμετρικές μορφές δεν είναι μοναδικές. Θα χρησιμοποιήσουμε μορφές με πολυώνυμα ως προς το u (καμπύλες) και τα u,v (επιφάνειες). Πολυωνυμική παραμετρική καμπύλη βαθμού n 3(n+1) βαθμούς ελευθερίας p( u) c = n k = 0 u k xk yk zk k c = c c c k T
Πολυωνυμικές παραμετρικές καμπύλες Τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις με n+1 βαθμούς ελευθερίας (μεταβλητές) ηκαθεμία: n pu ( ) = k = 0 k uck Θεωρούμε 0<=u<=1 για τμήμα καμπύλης
Πολυωνυμικές παραμετρικές επιφάνειες 3(n+1)(m+1) βαθμούς ελευθερίας p( uv, ) = c n m i= 0 j= 0 i j uv = c c c ij xij yij zij c T 0<=u,v<=1: περιοχή της επιφάνειας ij
Πολυωνυμικές παραμετρικές επιφάνειες Κάθε περιοχή μπορεί να θεωρηθεί σαν σύνολο καμπυλών που δημιουργούνται κρατώντας τη μια παράμετρο σταθερή και μεταβάλλοντας την άλλη
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Διαδραστική μορφοποίηση καμπυλών και επιφανειώνγιαναπετύχωτοεπιθυμητό σχήμα Ανάλογο: κατασκευή μοντέλου από ευλύγιστες σανίδες
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Κατασκευή της συνολικής καμπύλης με συνένωση μικρών τμημάτων Τοπικός έλεγχος του σχήματος, απαραίτητος για την αλληλεπιδραστική μοντελοποίηση
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Χρήση σημείων ελέγχου (control, data points) για τον προσδιορισμό του σχήματος της καμπύλης Μεταβολή των σημείων ελέγχου για μεταβολή του σχήματος της καμπύλης. Ανάλογο: χρήση καρφιών για την μορφοποίηση των σανίδων
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Πιθανή επιλογή: η καμπύλη να περνάει από κάποια σημεία ελέγχου και κοντά από κάποια άλλα.
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Μας ενδιαφέρουν συνήθως ομαλές, συνεχείς καμπύλες Στις πολυωνυμικές καμπύλες & επιφάνειες υπάρχουν όλες οι παράγωγοι και μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά. Οι καμπύλες & επιφάνειες είναι συνεχείς Τα μόνα σημεία όπου μπορεί να υπάρξει ασυνέχεια είναι στις ενώσεις 2 καμπυλών ή επιφανειών.
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες
Μοντελοποίηση αντικειμένων με καμπύλες & επιφάνειες Ευστάθεια Μικρές αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου (σημεία ελέγχου, παραμέτρους καμπύλης) πρέπει να προκαλούν μικρές αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου (σχήμα καμπύλης) Οι πολυωνυμικές καμπύλες έχουν αυτό το γνώρισμα. Τοπικός έλεγχος σχήματος Ταχύτητα απεικόνισης
Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Επιλογή πολυωνυμικών καμπυλών Επιλογή βαθμού Πολυωνυμικές καμπύλες υψηλού βαθμού Πολλές ελεύθερες παράμετροι - μεγαλύτερη ευελιξία στον προσδιορισμό του σχήματος Υψηλό κόστος για τον υπολογισμό των σημείων της καμπύλης. Οι καμπύλες μπορεί να μην είναι πολύ ομαλές
Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Πολυωνυμικές καμπύλες μικρού βαθμού Λιγότερες ελεύθερες παράμετροι - μικρότερη ευελιξία στον προσδιορισμό του σχήματος Πιο ομαλές καμπύλες Αν δουλέψουμε σε μικρά τμήματα μπορώ να έχω ικανοποιητικό έλεγχο του σχήματος και με λίγες παραμέτρους Χρήση κυβικών πολυωνυμικών καμπυλών.
Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) k T p( u) = c + cu+ c u + c u = c u = u c 2 3 0 1 2 3 [ ] c= c c c c u 0 1 2 3 2 3 T = 1 u u u T ck = ckx cky c kz Οπίνακαςc (12x1) περιέχει όλες τις παραμέτρους που θα πρέπει να προσδιορίσουμε T 3 k = 0 k
Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Τo c θεωρείται διανύσμα στήλης 4x1 με κάθε στοιχείο τους ένα διάνυσμα στήλης 3x1 Ο χρήστης καθορίζει τα σημεία ελέγχου και από αυτά προσδιορίζονται οι παράμετροι c της καμπύλης. Χρειάζομαι 12 ανεξάρτητες εξισώσεις Τρία ανεξάρτητα σύνολα τεσσάρων εξισώσεων (ένα για κάθε συντεταγμένη)
Κυβικές παραμετρικές καμπύλες (parametric cubic polynomial curves) Διάφορα είδη καμπυλών ανάλογα με το πώς δίνουμε τις προδιαγραφές (σημεία ελέγχου) για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου u. Η καμπύλη να περνάει από τα σημεία ελέγχου για συγκεκριμένες τιμές του u Η καμπύλη να έχει συγκεκριμένες τιμές παραγώγων σε συγκεκριμένες τιμές του u Συνθήκες συνέχειας στα σημεία ένωσης δύο τμημάτων Η καμπύλη να περνάει κοντά από κάποια σημεία ελέγχου.
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Κυβικές καμπύλες που περνάνε από δοσμένα σημεία Χρησιμοποιούνται σπάνια στην πράξη Χρήσιμα για τον καθορισμό της μεθοδολογίας. Τέσσερα σημεία ελέγχου p 0, p 1, p 2, p 3 p k x y z k = k k
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Ψάχνουμε τις τιμές των παραμέτρων στο c ώστε η καμπύλη p(u)=u T c να περνάει από τα p ι σε ισαπέχουσες τιμές του u: 0, 1/3, 2/3, 1
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής p = p(0) = c 0 0 2 3 1 1 1 1 p = p( ) = c + c + c + c 3 3 3 3 1 0 1 2 3 2 3 2 2 2 2 p = p( ) = c + c + c + c 3 3 3 3 p = p(1) = c + c + c + c 2 0 1 2 3 3 0 1 2 3
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής p = Ac [ ] p= p p p p 0 1 2 3 1 0 0 0 2 3 1 1 1 1 3 3 3 A = 2 3 2 2 2 1 3 3 3 1 1 1 1 T
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Δεν έχουμε τις τυπικές πράξεις πινάκων! Τα p, c θεωρούνται διανύσματα στήλης 4x1 με κάθε στοιχείο τους ένα διάνυσμα στήλης 3x1 Πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου του A με ένα στοιχείο των p, c : γινόμενο διανύσματος στήλης με βαθμωτό μέγεθος
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Ο Α αντιστρέψιμος, ο αντίστροφος του είναι ο interpolating geometry matrix M I 1 0 0 0 5.5 9 4.5 1 1 = A = 9 22.5 18 4.5 4.5 13.5 13.5 4.5 c=m I p εύρεση των συντελεστών της καμπύλης.
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής Αν έχουμε m σημεία ελέγχου απ όπου θέλουμε να περνάει η καμπύλη: Χρήση καμπύλης βαθμού m-1 και προσδιορισμός των παραμέτρων Χρήση κυβικών καμπυλών σε τετράδες σημείων, μερικά επικαλυπτόμενων (p o, p 1, p 2, p 3 ), (p 3, p 4, p 5, p 6 ), Ο ίδιος πίνακας M I για όλες τις καμπύλες Δεν έχω συνέχεια παραγώγων στα συνδετικά σημεία.
Κυβικά πολυώνυμα (καμπύλες) παρεμβολής
Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) Δίνουν τη σχέση των σημείων της καμπύλης με τα control points T T T p( u) = u c= u M p= b( u) p b( u) M u b0 ( u) b( u) T 1 = I = b2 ( u) I b3 ( u)
Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) p( u) = b ( u) p + b( u) p + b ( u) p + b ( u) p 0 0 1 1 2 2 3 3
Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) Μπορούμε να δούμε την επίδραση των σημείων ελέγχου στα σημεία της καμπύλης Απλή περίπτωση: γραμμική παρεμβολή μεταξύ δύο σημείων p( u) = b ( u) p + b( u) p b ( u) = (1 u) 0 0 0 1 1 b( u) 1 = u
Πολυώνυμα ανάμειξης (blending polynomials) Ισοδύναμη θεώρηση: τα σημεία ελέγχου βαρύνουν τα πολυώνυμα ανάμειξης. Στην περίπτωση της παρεμβολής, τα πολυώνυμα ανάμειξης 3ου βαθμού έχουν τις 3 ρίζεςτουςστοδιάστημα[0,1] Πρέπει να μεταβάλλονται σε σημαντικό βαθμό, όχι ιδιαίτερα ομαλά Αποτέλεσμα του ότι έχουμε θέσει αυστηρές συνθήκες Σε συνδυασμό με τη μη συνέχεια παραγώγων στα άκρα, κα8ιστούν τα πολυώνυμα παρεμβολής μη ελκυστικά.
Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής p( uv, ) = = 2 3 3 i= 0 j= 0 C= c ij T p( uv, ) = u Cv v 1 v v 3 v i j uv C : πίνακας 4x4 με στοιχεία διανύσματα στήλης 3x1 c ij
Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Για κάθε ζεύγος u,v έχω 3 εξισώσεις. Ένα δικυβικό τμήμα επιφανείας (surface patch) προσδιορίζεται πλήρως από τα 16 3x1 διανύσματα c ij ή ισοδύναμα από τα 48 στοιχεία του C Αν έχω 16 σημεία ελέγχου p ij,, i j = 0...3 και θέλουμε η επιφάνεια να περνάει από αυτά στις τιμές 0, 1/3, 2/3, 1 των u,v τότε έχω 16 σετ τριών εξισώσεων (48 εξισώσεις)
Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Παράδειγμα για u=v=0 1 0 p = [ 1 0 0 0] C = c 0 0 00 00
Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Εναλλακτική θεώρηση: θεωρώντας την μία παράμετρο σταθερή (π.χ. v=0) παίρνουμε μια καμπύλη με παράμετρο την u που περνά από 4 σημεία. Για v=0 παίρνω την καμπύλη που περνάει από τα p 00, p 10, p 20, p 30 p00 1 T 10 T 0 ( u,0) p p = u M I = u C p 20 0 p 30 0
Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Κάνω το ίδιο για τις άλλες τιμές του v και συμπυκνώνω σε μία έκφραση p( uv, ) = T P : πίνακας 4x4 με στοιχεία διανύσματα στήλης 3x1 (τα σημεία ελέγχου) Μπορώ να το παραστήσω με τη μορφή συναρτήσεων ανάμειξης. 3 3 i= 0 j= 0 I T I u M PM v p( uv, ) b( ub ) ( v) p = i j ij
Δικυβικές (bicubic) επιφάνειες παρεμβολής Οι συναρτήσεις ανάμειξης είναι ίδιες με αυτές που εμφανίζονται στις καμπύλες. Κάθε b i (u) b j (v) είναι μια επιφάνεια ανάμειξης. Η επιφάνεια συντίθεται με την ανάμειξη των επιφανειών ανάμειξης με βάρη τα σημεία ελέγχου. Οι επιφάνειες ανάμειξης δεν είναι ιδιαίτερα ομαλές αφού έχουν τα μηδενικά τους στο μοναδιαίο τετράγωνο. Διαχωρίσιμες επιφάνειες p(u,v)=f(u)g(v)
Καμπύλες Hermite Απαιτούμε από την καμπύλη να περνάει μόνο από δύο σημεία ελέγχου p 0, p 3 (αρχή και τέλος) p0 = p(0) = c0 p = p(1) = c + c + c + c 3 0 1 2 3 Απαιτούμε από την καμπύλη να έχει συγκεκριμένη κλίση (παράγωγο) στα p 0, p 3
Καμπύλες Hermite Δίνω 2 σημεία και δύο τιμές κλίσης
Καμπύλες Hermite dx du dy p'( u) = = c + 2uc + 3u c du dz du p' = p'(0) = c 0 1 2 1 2 3 p' = p'(1) = c + 2c + 3c 3 1 2 3 4 τριάδες εξισώσεων για τον προσδιορισμό των παραμέτρων c
Καμπύλες Hermite p0 1 0 0 0 3 1 1 1 1 p q= = c p ' 0 1 0 0 0 p ' 3 0 1 2 3 c= M q M H H 1 0 0 0 0 0 1 0 = 3 3 2 1 2 2 1 1
Καμπύλες Hermite T T p( u) = u M q= b( u) q H Τα τέσσερα πολυώνυμα ανάμειξης δεν έχουν καμιά ρίζα στο εσωτερικό του (0,1) και άρα είναι πολύ πιο ομαλά από τα αντίστοιχα στην περίπτωση της παρεμβολής
Καμπύλες Hermite Στα σημεία σύνδεσης δύο τμημάτων μπορώ να απαιτήσω ίδιες τιμές των συναρτήσεων και των παραγώγων
Επιφάνειες Hermite 3 3 p( uv, ) b( ub ) ( v) q = i= 0 j= 0 i j ij Τέσσερα από τα q ij είναι οι κορυφές της επιφάνειας, τα υπόλοιπα δίνουν τιμές παραγώγων στις κορυφές αυτές Στις διαδραστικές εφαρμογές είναι διαισθητικά πιο εύκολο να δίνουμε σημεία παρά να ορίζουμε τις παραγώγους.
Συνέχεια Δύο καμπύλα τμήματα που προσδιορίζονται από τα πολυώνυμα p(u) q(u) Εφαρμόζουμε διάφορες συνθήκες συνέχειας εξισώνοντας τιμές των πολυωνύμων ή των παραγώγων στο u=1 για το p(u) και το u=0 για το q(u)
Συνέχεια Συνέχεια των τιμών της συνάρτησης, C 0 παραμετρική συνέχεια px(1) qx(0) p(1) = py(1) (0) qy(0) = q = pz(1) qz(0) Συνέχεια των παραγώγων, C 1 παραμετρική συνέχεια p'(1) x q'(0) x p'(1) = p' y(1) '(0) q' y(0) = q = p'(1) z q'(0) z Κάθε σχέση είναι 3 συνθήκες
Συνέχεια Χαλαρότερη συνθήκη: οι παράγωγοι (εφαπτόμενα διανύσματα) να είναι ανάλογες p (1)=aq (0) για κάποιο θετικό a Ίδια διεύθυνση, διαφορετικό μέτρο. G 1 γεωμετρική συνέχεια. Απαιτούμε εκπλήρωση 2 συνθηκών Η 3η μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ικανοποιηθεί κάποιο άλλο κριτήριο. Επέκταση C n G n
Συνέχεια Η διαφορά στο μέγεθος των εφαπτομενικών διανυσμάτων παίζει ρόλο. Σε αρκετές περιπτώσεις (καμπύλες κίνησης σε animation) η G 1 συνέχεια δεν είναι αρκετή.
Καμπύλες Bezier Απαιτούμε και πάλι από την καμπύλη να περνάει από δύο σημεία ελέγχου p 0, p 3 (αρχή και τέλος) p0 = p(0) = c0 p = p(1) = c + c + c + c 3 0 1 2 3 Απαιτούμε από την καμπύλη να έχει συγκεκριμένη κλίση (διανυσματική παράγωγο) στα p 0, p 3
Καμπύλες Bezier Διαφορά από καμπύλες Hermite: Η παράγωγος στα p 0, p 3 δίνεται με βάση δύο άλλα σημεία ελέγχου p 1, p 2 p1 p0 p '(0) = 1/3 p3 p2 p '(1) = 1/3 3( p p ) = c 1 0 3( p p ) = c + 2c + 3c 3 2 1 1 2 3
Καμπύλες Bezier
Καμπύλες Bezier c= M p B T p( u) = u M p B Bezier geometry matrix M B 1 0 0 0 3 3 0 0 = 3 6 3 0 1 3 3 1
Καμπύλες Bezier Για m σημεία ελέγχου χρήση καμπυλών Bezier σε τετράδες σημείων, μερικά επικαλυπτόμενων (p o, p 1, p 2, p 3 ), (p 3, p 4, p 5, p 6 ), Έχω C 0 συνέχεια αλλά όχι C 1 συνέχεια Δεν έχω συνέχεια παραγώγων στα συνδετικά σημεία.
Καμπύλες Bezier Παράσταση με blending functions T T p( u) = u M p= b( u) p B 3 (1 u) 2 T 3 u(1 u) b( u) = MBu= 2 3 u (1 u) 3 u
Καμπύλες Bezier Τα blending functions είναι Bernstein polynomials
Καμπύλες Bezier Οιρίζεςτουςείναισταu=0, u=1 Είναι ομαλά 0<b i (u)<=1 για 0<u<1 3 i= 0 b( u) = 1 i Ηκαμπύλημαςείναιέναconvex sum 3 p( u) = bi( u) p i= 0 i
Καμπύλες Bezier Η καμπύλη βρίσκεται μέσα στο convex hull των σημείων ελέγχου Παρόλο που δεν περνάει από τα p 1, p 2 βρίσκεται κοντά σε αυτά.
Καμπύλες Bezier Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με το ότι δίνω σημεία ελέγχου κάνουν τις καμπύλες Bezier κατάλληλες για διαδραστική σχεδίαση.
Επιφάνειες Bezier p( uv, ) = T B T B u M PM v P : πίνακας 4x4 με στοιχεία διανύσματα στήλης 3x1 (τα σημεία ελέγχου) Η επιφάνεια περιέχεται πλήρως στο convex hull των σημείων ελέγχου και περνάει από τα p 00, p 03, p 30, p 33 Τα υπόλοιπα σημεία ελέγχου χρησιμοποιούνται για να προσδιοριστούν οι παράγωγοι στα 4 άκρα της καμπύλης.
Επιφάνειες Bezier
Επιφάνειες Bezier p(0,0) = p 00 p(0,0) p10 p00 = u 1/3 p(0,0) p01 p00 = v 1/3 2 p(0,0) = 9( p00 p01 + p10 p11) vu
Cubic B-splines Οι καμπύλες και επιφάνειες Bezier έχουν C 0 συνέχεια στα σημεία (η τιςκαμπύλες) των ενώσεων. Για μεγαλύτερου βαθμού συνέχεια στα σημεία αυτά δεν απαιτούμε από τις καμπύλες/επιφάνειες να περάσουν από τα σημεία ελέγχου αλλά απλά να τα προσεγγίσουν. Εκμεταλλευόμαστε τις χαλαρές απαιτήσεις στασημείαελέγχουγιαναπετύχουμε
Cubic B-spline καμπύλες Θα μελετήσουμε συγκεκριμένο τύπο κυβικής B-spline καμπύλης. Τετράδα σημείων ελέγχου, [p i-2, p i-1, p i, p i+1 ] μέσα σε ένα μεγαλύτερο σύνολο σημείων Καθώς η παράμετρος u μεταβάλλεται μεταξύ 0 και 1 η καμπύλη διατρέχει το διάστημα μεταξύ p i-1, p i, χωρίς να περνάει από αυτά.
Cubic B-spline καμπύλες Όμοια για το [p i-3, p i-2, p i-1, p i ] όπου η καμπύλη κινείται μεταξύ των p i-2, p i-1 Οι τετράδες σημείων ελέγχου έχουν επικάλυψη 3 σημεία και η καμπύλη κινείται μεταξύ των δύο μεσαίων. Έστω p(u) η καμπύλη μεταξύ των p i-1, p i και q(u) μεταξύ των p i-2, p i-1
Cubic B-spline καμπύλες Συνθήκες μεταξύ των p(0) και q(1) αλλά και μεταξύ του p(1) και της αρχής της στα δεξιά καμπύλης. 2 1 1 ( ) T i i i i u + = = p u Mp p p p p p 3 2 1 ( ) T i i i i u = = q u Mq p p q p p
Cubic B-spline καμπύλες Χρήση διαφόρων ειδών συνθηκών. Οι συνθήκες πρέπει να χρησιμοποιούν σημεία ελέγχου που είναι κοινά στα δύο εφαπτόμενα τμήματα 1 p(0) = q(1) = ( pi 2 + 4 pi 1+ pi) 6 1 p'(0) = q'(1) = ( pi pi 2) 2
Cubic B-spline καμπύλες p(u)=u T c 1 c0 = ( pi 2 + 4 pi 1+ pi ) 6 1 c1 = ( pi pi 2 ) 2 Αντίστοιχες συνθήκες για το p(1) 1 p(1) = c0 + c1+ c2 + c3 = ( pi 1+ 4 pi + pi+ 1) 6 1 p'(1) = c1 + 2c2 + 3 c3 = ( pi+ 1 pi 1) 2
Cubic B-spline καμπύλες Β-spline geometry matrix M S 1 4 1 0 1 3 0 3 0 = 6 3 6 3 0 1 3 3 1
Cubic B-spline καμπύλες Πολυώνυμα ανάμειξης 3 (1 u) 2 3 T 4 6u + 3u b( u) = MSu= (1/6) 1 + 3 u+ 3 u 3 u 3 u 2 3
Cubic B-spline καμπύλες Η καμπύλη περιέχεται στο convex hull των τεσσάρων σημείων ελέγχου, αλλά δεν καλύπτει όλη του την έκταση
Cubic B-spline καμπύλες Επιβάλλαμε C 1 συνέχεια στα άκρα αλλά στην πραγματικότητα η καμπύλη είναι C 2 συνεχής Τρεις φορές η δουλειά που απαιτείται για τις καμπύλες Bezier ή τις καμπύλες παρεμβολής. Στα splines ηεπικάλυψηείναι3 σημεία ελέγχου ενώ στις άλλες καμπύλες μόνο ένα. Για κάθε καινούργιο σημείο ελέγχου έχω να υπολογίσω τις παραμέτρους μιας νέας καμπύλης Στα άλλα είδη καμπύλών νέα καμπύλη για κάθε 3 νέα σημεία ελέγχου.
Cubic B-spline καμπύλες Κάθε σημείο ελέγχου επιδρά σε 4 γειτονικά τμήματα της καμπύλης (τοπικότητα) T T p( u) = u M p= b( u) p B Θεωρώότιηπαράμετροςu είναι συνεχής στα διαδοχικά διαστήματα. 0 3 2 0 u< i 2 b ( u+ 2) i 2 u< i 1 b1 ( u+ 1) i 1 u< i Bi ( u) = { b ( u) i u< i+ 1 b ( u 1) i+ 1 u< i+ 2 0 u i+ 2
Cubic B-spline καμπύλες Συνάρτηση βάσης Σχηματίζεται από σύνθεση τεσσάρων μετατοπισμένων πολυωνύμων ανάμειξης
Cubic B-spline καμπύλες Η συνολική καμπύλη που ορίζεται από τα σημεία ελέγχου p 0, p 1,... p i,... p m δίνεται από το γραμμικό συνδυασμό μετατοπισμένων συναρτήσεων βάσης, κάθε μία κεντραρισμένη στο u=i και μη μηδενική σε διάστημα μήκους 4 m 1 p( u) = Bi( u) p i= 1 i
Cubic B-spline καμπύλες
Cubic B-spline επιφάνειες Η B-spline επιφάνεια που προσδιορίζεται από 16 σημεία ελέγχου εκτείνεται μόνο στο κεντρικό τμήμα του πλέγματος που ορίζεται απότασημείααυτά. Σημαντικά πιο ομαλές από τις επιφάνειες Bezier, 9 φορές περισσότερη δουλειά.
Β-splines γενικής μορφής m+1 σημεία ελέγχου p 0, p 1,... p i,... p m Θέλω να ορίσω μια καμπύλη στο διάστημα u min u max που να περνάει κοντά από τα σημεία ελέγχου Έχω έναν πίνακα κόμβων (knot array), n+1 τιμές του u umin = u0 u1... un = umax Σε κάθε διάστημα u K u k+1 πολυώνυμο βαθμού d d j p( u) = cjku, uk u u k + j= 0 1
Β-splines γενικής μορφής Για spline βαθμού d πρέπει να ορίσω n(d+1) συντελεστές c jk για το σύνολο της καμπύλης. Συνθήκες συνέχειας και σχέση με τα σημεία ελέγχου. d=3 κυβικά πολυώνυμα 4n συνθήκες. n-1 εσωτερικοί κόμβοι, για C 2 (άρα και C 0 C 1 ) συνέχεια 3(n-1) συνθήκες. Αν θέλω να περνάει από n+1 σημεία ανάλογος αριθμός συνθηκών. Global spline
Β-splines γενικής μορφής Στα Β-splines βαθμού d η καμπύλη συντίθεται από συναρτήσεις βάσης που είναι πολυώνυμα τάξης d μεταξύ των κόμβων, μη μηδενικές μεταξύ λίγων κόμβων και κάθε μία επηρεάζεται από ένα σημείο ελέγχου m p( u) = B ( u) p 1 d i= 0 m id i
Β-splines γενικής μορφής Σημαντικός τύπος Β-splines: αναδρομικός υπολογισμός των συναρτήσεων βάσης για κάθε θέση k: B k0, B k1, B kd (αναδρομή CoxdeBoor) B k 0 1 uk u uk = { 0 otherwise + 1 u u u u B ( u) = B ( u) + B ( u) k k+ d kd k, d 1 k + 1, d 1 uk+ d uk uk+ d+ 1 uk+ 1
Β-splines γενικής μορφής Κάθε B kd βαθμού d μη μηδενικό σε d+1 διαστήματα, μεταξύ των κόμβων u k και u k+d+1. Κάθε σημείο ελέγχου σχετίζεται με d+2 κόμβους και επηρεάζει d+1 διαστήματα C d-1 συνέχεια στους κόμβους Διαφορετικό σετ συναρτήσεων βάσης B kd για διαφορετικό βαθμό και πίνακα κόμβων.
Β-splines γενικής μορφής Για καμπύλες από u 0 μέχρι u n+1 χρειάζομαι d-1 επιπλέον κόμβους Οι τιμές τους καθορίζονται από συνθήκες για την αρχή ή το τέλος της καμπύλης. Αν οι κόμβοι ισαπέχουν τότε έχω uniform spline. Πίνακας κόμβων: {0,1,2,...n} Οι συναρτήσεις βάσης είναι μετατοπισμένες εκδόσεις της ίδιας συνάρτησης.
Β-splines γενικής μορφής Nonuniform Β-splines: οι κόμβοι δεν ισαπέχουν Μπορώ να έχω κόμβους με την ίδια τιμή u k =u k+1 Στην αναδρομή Cox-deBoor 0/0 ορίζεται ως 1 Κόμβοι με πολλαπλότητα ωθούν την καμπύλη κοντά στο αντίστοιχο σημείο ελέγχου. Αν σε καμπύλη βαθμού d υπάρχει κόμβος με πολλαπλότητα d+1 ή καμπύλη περνάει από το αντίστοιχο σημείο.
Β-splines γενικής μορφής Τεχνική για να περνάει από τα ακραία σημεία ελέγχου: επανάληψηκόμβωνστηναρχήκαι στο τέλος και ισαπέχοντες κόμβοι στο εσωτερικό (οpen splines) {0, 0, 0,0,1,2,...n-1,n,n,n,n} δημιουργεί κυβικό spline που περνάει από τα άκρα. {0, 0, 0,0,1,1,1,1} κυβική καμπύλη Bezier
Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) p( u) = m i= 0 m i= 0 B ( u) wp id i i B id ( u) w i Κάθε συνιστώσα είναι ρητή συνάρτηση του u Διατηρούν όλες τις ιδιότητες των non-rational (π.χ. συνέχεια)
Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Μπορώ να θεωρήσω τα σημεία ελέγχου σε ομογενείς συντεταγμένες pi xi xi y i = y i, i w q = i z i z i 1 Χρησιμοποιώ τα w i για να δώσω βάρος στα σημεία ελέγχου
Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Συνιστώσες x,y,z της καμπύλης xu ( ) m q( u) = y( u) = Bid ( u) wipi i= 0 zu ( ) Συνιστώσα w της καμπύλης m wu ( ) = Bid ( uw ) i= 0 i
Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Προοπτική διαίρεση για να πάω σε κανονικές συντεταγμένες 1 p( u) = q( u) = wu ( ) m i= 0 m i= 0 B ( u) wp id i i B id ( u) w i
Μη ομοιόμορφα ρητά Β-splines (NURBS) Τα non-rational είναι αμετάβλητα σε affine μετασχηματισμούς Γιαναβρωτηνμετασχηματισμένηκαμπύληαρκεί να βρω τον μετασχηματισμό των σημείων ελέγχου. Όχι όμως και σε προοπτική προβολή! Τα NURBS είναι αμετάβλητα και σε προοπτική προβολή. Τα NURBS μπορούν να παραστήσουν ακριβώς καμπύλες & επιφάνειες 2ου βαθμού (κύκλους, ελλείψεις, παραβολές,...)