Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το 1969. Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 1979 και από το 197 μέχρι σήμερα εργάζεται σ αυτό. ISBN set 960-41-951-5 ISBN T. 960-41-995-7 Copyright 006 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσεις ZHTH Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη. www.ziti.gr Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 90 7 (5 γραμ.) - Fax: 90 79 e-mail: ifo@ziti.gr EKΔOΣEIΣ ZHTH Aρμενοπούλου 7 546 5 Θεσσαλονίκη Tηλ. 10 070, Fax 10 1105 e-mail: sales@ziti.gr

«Καταλήγω λοιπόν στην ακόλουθη τοποθέτηση: αν η νόηση και η αληθής γνώμη είναι δύο διακριτά γένη, τότε οπωσδήποτε υπάρχουν όντα «αυτά καθαυτά», Ιδέες που τις συλλαμβάνουμε όχι με την αίσθηση αλλά μόνο με τη νόηση αν πάλι, ό- πως πιστεύουν μερικοί, η αληθής γνώμη δεν διαφέρει σε τίποτα από τη νόηση, τότε θα αποδώσουμε βέβαιη ύπαρξη μόνον σε όσα αισθανόμαστε διαμέσου του σώματος. Νόηση όμως και αληθής γνώμη είναι χωρίς αμφιβολία δύο διακριτά γένη, γιατί έχουν αναπτυχθεί χωριστά και διατηρούν ανόμοιο χαρακτήρα.» ΠΛΑΤΩΝ (49-47 π.χ.) Τίμαιος (51 cd)

Αφιερώνεται στη μνήμη των παππούδων μου Κωνσταντίνου και Σάββα

Πρόλογος Η σειρά με τον τίτλο «Ανώτερα Μαθηματικά», που αποτελείται από τρεις τόμους, γράφηκε για να προσφέρει σε Μαθηματικούς και μη Μαθηματικούς, μια αξιόπιστη και σχετικά συνοπτική παρουσίαση βασικών θεμάτων των Μαθηματικών, και κυρίως της Μαθηματικής Ανάλυσης. Τα θέματα που αναπτύσσονται αφορούν την Άλγεβρα, την Αναλυτική Γεωμετρία, τις Ακολουθίες και Σειρές πραγματικών αριθμών, το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό συναρτήσεων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, τη Διανυσματική Ανάλυση, τις Σειρές Fourier, τις Μιγαδικές Συναρτήσεις, τις Διαφορικές Εξισώσεις και τις Εξισώσεις Διαφορών. Η παρουσίαση αυτών των θεμάτων γίνεται με απλό, κατανοητό και πρακτικό τρόπο, χωρίς όμως να βλάπτεται η μαθηματική αυστηρότητα. Βέβαια ο απαιτητικός αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει σε άλλα πιο ειδικά βιβλία πάνω στα θέματα αυτά, όπου υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες και άλλη επιπλέον ύλη. Ο δεύτερος τόμος αποτελείται από τρία κεφάλαια. Στο έκτο κεφάλαιο περιέχονται βασικά θέματα του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, όπως το όριο, η συνέχεια, οι μερικές παράγωγοι, η διαφόριση, ο τύπος του Τaylor, οι πεπλεγμένες συναρτήσεις, τα ακρότατα συναρτήσεων και στοιχεία της θεωρίας καμπύλων στο χώρο Ñ. Στο έβδομο κεφάλαιο αναπτύσσονται βασικά θέματα του ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, όπως το διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα, τα γενικευμένα ο- λοκληρώματα και ολοκληρώματα εξαρτώμενα από παράμετρο. Στο όγδοο κεφάλαιο περιέχονται θέματα της διανυσματικής ανάλυσης, όπως ο διανυσματικός λογισμός, οι διανυσματικές συναρτήσεις, τα αριθμητικά και διανυσματικά πεδία, οι τελεστές (κλίση, απόκλιση, στροφή), τα επικαμπύλια ολοκληρώματα και ο τύπος του Gree, τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα και τα Θεωρήματα του Gauss και του Stokes. Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται ασκήσεις των οποίων οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. Θεσσαλονίκη, 005 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

Περιεχόμενα ΤΟΜΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1. Εισαγωγή... 1.1 Τοπολογική δομή του Ñ Ακολουθίες... 8. Όριο και συνέχεια συνάρτησης.1 Όριο... 16. Συνέχεια... 8. Μερικές παράγωγοι Ολικά διαφορικά.1 Μερικές παράγωγοι... 8. Διαφόριση Πίνακας του Ηesse (Εσσιανή)... 51 4. Παραγώγιση και διαφόριση σύνθετων συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση... 68 5. Τύπος του Taylor... 84 6. Πεπλεγμένες συναρτήσεις... 9 7. Εξαρτημένες και ανεξάρτητες συναρτήσεις... 110 8. Ακρότατα συναρτήσεων... 117 8.1 Πραγματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών... 10 8. Πραγματικές συναρτήσεις μεταβλητών... 18 8. Άκρες τιμές πεπλεγμένων συναρτήσεων... 16 8.4 Άκρες τιμές συνάρτησης με συνθήκες... 140 8.5 Άκρες τιμές πεπλεγμένης συνάρτησης με συνθήκες... 156 9. Στοιχεία της θεωρίας καμπύλων 9.1 Διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής... 160 9. Διαφορικοί τελεστές (Κλίση, Απόκλιση, Στροφή)... 171 9. Συνοδεύον τρίεδρο Τύποι του Fréet... 174 10. Aσκήσεις... 181

viii Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Δεύτερος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1. Στοιχεία της θεωρίας επιφανειών... 19 1.1 Καμπύλες σε επιφάνεια... 194 1. Εφαπτόμενο επίπεδο Θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης... 197 1. Μήκος τόξου καμπύλης που είναι σε επιφάνεια... 0 1.4 Γενίκευση... 04 1.5 Επιφάνειες δευτέρου βαθμού... 05. Διπλό ολοκλήρωμα... 11.1 Ορισμός του διπλού ολοκληρώματος... 16. Ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος... 7. Υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος Θεώρημα του Fubii....4 Αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα... 5.5 Εφαρμογές του διπλού ολοκληρώματος... 68.6 Προσεγγιστικές μέθοδοι... 80. Τριπλό ολοκλήρωμα.1 Ορισμός του τριπλού ολοκληρώματος... 86. Ιδιότητες του τριπλού ολοκληρώματος... 90. Υπολογισμός του τριπλού ολοκληρώματος Θεώρημα του Fubii... 9.4 Αλλαγή μεταβλητών στο τριπλό ολοκλήρωμα... 0.5 Εφαρμογές Μάζα, κέντρο μάζας και ροπές αδρανείας... 1.6 Το πολλαπλό ολοκλήρωμα... 17 4. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 4.1 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αριθμητικής συνάρτησης... 19 4. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες... 1 4. Εφαρμογές... 6 5. Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα... 9 5.1. Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών... 51 5. Εφαρμογές... 6 6. Γενικευμένα πολλαπλά ολοκληρώματα... 68 6.1 Το διπλό και το τριπλό ολοκλήρωμα σαν συνάρτηση των ορίων του... 87 7. Ολοκληρώματα εξαρτώμενα από παράμετρο... 90 8. Ασκήσεις... 99

Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Διανύσματα Γινόμενα διανυσμάτων... 411. Διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής... 4. Αριθμητικά και διανυσματικά πεδία Τελεστές (Κλίση, Απόκλιση, Στροφή)... 4 4. Επικαμπύλια ολοκληρώματα Τύπος του Gree 4.1 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης... 448 4. Επικαμπύλια ολοκληρώματα ανεξάρτητα του δρόμου ολοκλήρωσης Συντηρητικά πεδία... 461 4. Θεώρημα του Gree Tύπος του Gree... 470 5. Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων... 49 5.1 Θεώρημα του Gauss (της απόκλισης) Τύπος του Gauss... 509 5. Θεώρημα του Stokes Tύπος του Stokes... 58 6. Ασκήσεις... 551 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Συνοπτική παρουσίαση βασικών εννοιών και τύπων... 559 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ... 577 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 599 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ... 600

ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ [Συνοπτική παρουσίαση διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.] ΤΟΜΟΣ ΤΡΙΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ι. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

Βιβλία του συγγραφέα Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ 1. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Πρώτος, (σελ. 480, 1987). 1α. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 46, 004).. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, Tόμος Δεύτερος, (σελ. 400, 1988).. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Tρίτος, (σελ. 478, 1991). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (σελ. 560, 1998). 5. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα), (σελ. 18, 199). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα), (σελ. 164, 001). 7. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, (σελ. 58, 001). 8. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (σελ. 0, 1994). 9. TOΠOΛOΓIA (Aσκήσεις), (σελ. 400, 1977). 10. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (Δύο Tεύχη: A, σελ. 640, 001 B, σελ. 1, 001). 11. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής (σελ. 64, 005). 1. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Τόμος Πρώτος, σελ. 64, Τόμος Δεύτερος, σελ. 616, Τόμος Τρίτος, σελ. 504, 006).

xii Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Δεύτερος ΠΙΝΑΚΑΣ Ειδικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων θ 0 180 ημθ 0 συνθ ± 1 εφθ 0 0 150 1 45 15 σφθ ± ± ± 1 ± ± 60 10 90 70 ± 1 1 ± 0 ± ± 1 ± ± ± 0 Το άνω πρόσημο αντιστοιχεί στην πρώτη γραμμή των τιμών της γωνίας θ και το κάτω πρόσημο στη δεύτερη γραμμή των τιμών της γωνίας θ. Η αντιστοιχία των μοιρών της γωνίας θ σε ακτίνια είναι: και 0 0 45 60 90 0 π 6 π 4 180 150 15 10 70 π 5π 6 π 4 π π π π

Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων xiii Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων ημ( θ1 + θ ) = ημθ1συνθ + συνθ1ημθ, ημ( θ1 - θ ) = ημθ1συνθ - συνθ1ημθ συν( θ1 + θ ) = συνθ1συνθ - ημθ1ημθ, συν( θ1 - θ ) = συνθ1συνθ + ημθ1ημθ ημθ = ημθ συνθ, συνθ = συν θ - ημ θ = συν θ - 1 = 1 - ημ θ θ + θ θ -θ συνθ συνθ συν συν 1 1 1 + =, θ + θ θ -θ συνθ1 - συνθ = - ημ ημ 1 1 θ + θ θ -θ ημθ ημθ ημ συν 1 1 1 + =, θ - θ θ + θ ημθ1 - ημθ = ημ συν 1 1 εφ( θ θ ) εφθ + εφθ εφθ - εφθ 1 1 1 + =, εφ( θ1 - θ ) = 1 - εφθ1εφθ 1 + εφθ1εφθ 1 συνθ1συνθ = [ συν( θ1 + θ ) + συν( θ1 - θ )] 1 ημθ1ημθ = [ συν( θ1 -θ ) - συν( θ1 + θ )] 1 ημθ1συνθ = [ ημ( θ1 + θ ) + ημ( θ1 - θ )] ημθ = ημθ - 4ημ θ, συνθ = 4συν θ - συνθ

6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1. Εισαγωγή Οι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, που είναι το αντικείμενο αυτού και των δύο επομένων κεφαλαίων, ορίζονται σε υποσύνολα του χώρου Ñ,, των διατεταγμένων -άδων πραγματικών αριθμών και παίρνουν τιμές σε υποσύνολα m του Ñ,m 1, Για = m= 1 έχουμε τις συναρτήσεις f: ÑÆ Ñ, που είναι οι πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής. Για, m = 1 έχουμε τις συναρτήσεις f : Ñ Æ Ñ, δηλαδή 1 1 (x,x, º,x ) ŒÑ Æ f(x,x, º,x ) ŒÑ, που είναι οι πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Π.χ. για παράδειγμα έχουμε α) f (x,y) = x + y, (x,y)œñ, β) g( x, y ) = 4 - x - y, (x,y) Œ A = {(x,y) Œ Ñ : x + y 4}, xy γ) θ( x, y, z ) =, (x,y,z) ŒÑ -{(x,y,0): (x,y) ŒÑ }. z Το γράφημα ( x, y, f ( x, y )) μιας συνάρτησης z = f(x,y) είναι μια επιφάνεια z π.χ. η συνάρτηση z = x + y, (x,y) ŒÑ είναι ένα παραβολοειδές από περιστροφή (x, y, x +y ) της παραβολής z = y περί του άξονα Οz. Ένας άλλος τρόπος γεωμετρικής παρουσίασης των συναρτήσεων είναι: Ο α) οι ισοσταθμισμένες καμπύλες της συνάρ- x (x, y) y

4 Κεφάλαιο 6 τησης f(x,y), δηλαδή το σύνολο των καμπύλων { f ( x, y ) = c, c σταθερή, ( x, y ) ŒA ÃÑ }, β) οι ισοσταθμισμένες επιφάνειες της συνάρτησης f(x,y,z), δηλαδή το σύνολο των επιφανειών { f ( x, y, z ) = c, c σταθερή, (x,y,z) ŒBÃÑ }. α) Παράδειγμα 1 Nα βρεθούν οι ισοσταθμισμένες καμπύλες των συναρτήσεων: f(x,y) = 4- x - y, (x,y) Œ A = {(x,y): x + y 4}, x f(x,y) =, (x,y) ŒÑ -{(0,0)} x + y β) α) Για c σταθερή έχουμε τις ισοσταθμισμένες καμπύλες 4- x - y = c fi x + y = 4- c, 0 c που είναι ομόκεντροι κύκλοι, με κέντρο το (0,0). β) Για c σταθερή έχουμε τις ισοσταθμισμένες καμπύλες x Ê 1ˆ 1 Á = c x- + y =, cπ0, x + y Ë c c δηλαδή κύκλους με κέντρο Ê1 ˆ Á, 0 Ë c και y c = ½ c =1 Ο 1 4 x ακτίνα 1, cπ 0. c α) Παράδειγμα Nα βρεθούν οι ισοσταθμισμένες επιφάνειες των συναρτήσεων: f (x,y,z) = x + y + z, x f(x,y,z) = x + y β) (x,y,z)œñ,, (x,y,z) ŒÑ, με (x,y) π(0,0).

Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 5 α) Για c σταθερή έχουμε τις ισοσταθμισμένες επιφάνειες x + y + z = c, c> 0, που είναι μια οικογένεια ομόκεντρων σφαιρών, με κέντρο (0,0,0). β) Για c σταθερή έχουμε τις ισοσταθμισμένες επιφάνειες z x Ê 1ˆ 1 Á = c x- + y =, cπ0 x + y Ë c c οι οποίες στο χώρο Ñ είναι μια οικογένεια ομογενέτειρων κυλίνδρων: Ê 1ˆ 1 Áx - + y =, cπ0, z Ë c c αυθαίρετο. c = c =1 y Ο ½ 1 Κύλινδροι για c =1, c = x Γραμμικές και ομοπαραλληλικές συναρτήσεις Δύο σημαντικοί τύποι συναρτήσεων f : m Ñ Æ Ñ, είναι οι γραμμικές και οι ομοπαραλληλικές συναρτήσεις. Η συνάρτηση f λέγεται γραμμική όταν, για x, y ŒÑ και α, β ŒÑ, ισχύει f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y). Από τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση f είναι γραμμική αν και μόνον αν οι συνιστώσες συναρτήσεις της f = ( f 1, f, º, f m ) είναι γραμμικές. f : Ñ Æ Ñ, i = 1,, º,m, i Π.χ. η συνάρτηση f : Ñ Æ Ñ, που ορίζεται από την απεικόνιση 1 Œ Æ 1 = 1 + 1-1 (x,x ) Ñ f(x,x ) (x x, x x,x ), είναι γραμμική, εφόσον οι συνιστώσες συναρτήσεις της f :

6 Κεφάλαιο 6 1 1 1 1 : Ñ Æ Ñ 1 = 1 -, : Ñ Æ Ñ 1 = 1, f : Ñ Æ Ñ, f (x,x ) = x + x, f, f (x,x ) x x f, f (x,x ) x είναι όλες γραμμικές. Η συνάρτηση m g : Ñ Æ Ñ λέγεται ομοπαραλληλική, αν υπάρχει γραμμική συνάρτηση m f : Ñ Æ Ñ και σταθερό στοιχείο m c ŒÑ, τέτοιο ώστε να ισχύει g(x) = f(x) + c, xœñ. Π.χ. η συνάρτηση g : Ñ Æ Ñ, με g( x, y ) = α1x + αy + c όπου α,α, 1 c ŒÑ είναι ομοπαραλληλική και το γράφημά της στο αx 1 + αy + c= z fi αx 1 + αy - z+ c= 0, με κάθετο διάνυσμα σ αυτό ( -α 1, - α,1). Ñ είναι το επίπεδο Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρούμε τις συναρτήσεις m g: A ÆÑ, f : BÆÑ, όπου k m Α ÃÑ, BÃÑ. Όταν είναι g( A) à B τότε ορίζεται η σύνθεση f g των συναρτήσεων g και f από τη σχέση (f g)(x) = f( g(x) ), xœa ÃÑ, g(x) ŒBŒÑ m και είναι f g : A ÆÑ, AÃÑ. Π.χ. αν έχουμε τη συνάρτηση g : ÑÆ Ñ, με f : Ñ Æ Ñ, με k g( x ) = ( x, x,1) και είναι È -x -y -z f(x,y,z) = Í,,, Îx + y + z x + y + z x + y + z τότε η σύνθετη συνάρτηση f g: ÑÆ Ñ ορίζεται από τη σχέση È -x -x -1 (f g)(x) = f( g(x) ) =Í,, 4 4 4. Îx + x + 1 x + x + 1 x + x + 1

Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 7 Νορμικές Θεωρούμε το σύνολο των διατεταγμένων -άδων πραγματικών αριθμών Ñ = {(x, x, º,x ): x,x, º,x ŒÑ }, το οποίο με τον ορισμό της πρόσθεσης 1 1 (x 1,x, º,x ) + ( y 1,y, º,y ) = (x1 + y 1, x + y, º,x + y ) και του αριθμητικού πολλαπλασιασμού λ(x 1,x, º,x ) = (λx 1, λx, º,λx ), λœñ, γίνεται διανυσματικός χώρος, πάνω στο σώμα Ñ, διάστασης. Η βάση (e 1,e, º,e ) του Ñ, όπου e 1 = (1,0,0, º,0), e = (0,1,0, º,0), º,e = (0,0,0, º,1), λέγεται ορθοκανονική βάση. Αν x = (x 1, x, º,x ) ŒÑ τότε γράφεται x = xe 1 1+ xe +º+ xe, δηλαδή το x i είναι η i-συνιστώσα του x. + Μια απεικόνιση P: Ñ Æ Ñ = {υ ŒÑ : υ 0} λέγεται νορμική όταν επαληθεύει τα τρία αξιώματα: [ 1] P( x ) = 0 x = ( 0,0, º,0 ) = 0 μηδενικό στοιχείο, [ ] P(λx) = λ P(x), " x Œ Ñ, " λœñ, [ ] P( x + y ) P( x ) + P( y ), " x, y ŒÑ. Η νορμική σημειώνεται Ñ επαληθεύεται, εύκολα, ότι οι παρακάτω συναρ- Στο διανυσματικό χώρο τήσεις ορίζουν νορμικές: P( x ) = x, " x ŒÑ. P(x) = x = x + x +º+ x, 1 1 1 1 P(x) = x = [ x + x +º+ x ] (ευκλείδεια νορμική), 1 P(x) = x = max{ x, x, º,x }, 1 όπου x = (x 1,x, º,x ) ŒÑ.

8 Κεφάλαιο 6 Aποδεικνύεται, ότι για κάθε x ŒÑ ισχύουν οι ανισότητες x x x x, 1 οπότε οι τρεις αυτές νορμικές είναι ισοδύναμες (ορίζουν τα ίδια ανοικτά σύνολα του Ñ ). Από μια νορμική ορίζεται πάντοτε μία απόσταση με την απεικόνιση όπου + d : Ñ Ñ Æ Ñ = { υœñ : υ 0}, d( x, y ) = x - y, " x, y ŒÑ. Επομένως, στο Ñ oρίζονται οι αποστάσεις: d(x,y) = x - y + x - y + + x - y, 1 1 1 1 = È 1-1 + - + + - d (x,y) Î (x y ) (x y ) (x y ) (ευκλείδεια απόσταση), d (x,y) = max{ x1 - y 1, x - y, º, x - y }, όπου x = (x 1,x, º,x ), y = ( y 1,y, º,y ). Ανάλογα, αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι ανισότητες d ( x, y ) d ( x, y ) d ( x, y ) d ( x, y ), 1 οπότε οι τρεις αυτές αποστάσεις είναι ισοδύναμες (δηλαδή ορίζουν τα ίδια ανοικτά σύνολα του Ñ ). 1.1. Τοπολογική δομή του Ñ Ακολουθίες Θεωρούμε το Ñ με την απόσταση d( x, y ), " x, y ŒÑ και ορίζουμε τις έννοιες: ανοικτή σφαιρική περιοχή είναι το σύνολο 0 0 B( x, ε ) = { x Œ Ñ : d( x, x ) < ε}, όπου x 0 είναι το κέντρο της και ε > 0 η ακτίνα της. κλειστή σφαιρική περιοχή είναι το σύνολο 0 0 Β(x,ε) = { xœ Ñ : d(x,x) ε},

Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 9 όπου x 0 είναι το κέντρο της και ε > 0 η ακτίνα της. σφαιρική επιφάνεια είναι το σύνολο 0 0 S( x,ε ) = { x Œ Ñ : d( x, x ) = ε}, όπου x 0 είναι το κέντρο της και ε > 0 η ακτίνα της. Π.χ. στο Ñ έχουμε τα παρακάτω σχήματα με την ευκλείδεια απόσταση 1 1 1 d(x,y) = [(x - y) + (x - y )], " x,yœñ. y ε y ε y ε x 0 x 0 x 0 Ο x Ο x Ο x Ανοικτή σφαιρική περιοχή: εσωτερικό του κύκλου Είδη σημείων Κλειστή σφαιρική περιοχή: εσωτερικό του κύκλου και περιφέρεια Σφαιρική επιφάνεια: η περιφέρεια του κύκλου Έστω A Ã Ñ και α ŒÑ : αν το αœ Α και υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε Β(α,ε) à Α, τότε λέμε ότι το α είναι εσωτερικό σημείο του Α. αν το αœ Α και υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε Β(α,ε) «Α= {} α, τότε λέμε ότι το α είναι μεμονωμένο σημείο του Α. αν το αœα ή αœ Α και για κάθε ε > 0 ισχύει ( Β( α, ε ) -{ α })«Α π, τότε λέμε ότι το α είναι σημείο συσσώρευσης του Α. αν το αœα ή αœ Α και για κάθε ε > 0 ισχύει Β( α, ε ) «Α π, τότε λέμε ότι το α είναι σημείο περιβλήματος του Α.

10 Κεφάλαιο 6 αν το αœα ή αœ Α και για κάθε ε > 0 ισχύει Β( α, ε ) «Α π και Β( α, ε ) «( Ñ - A ) π, τότε λέμε ότι το α είναι συνοριακό σημείο του Α. Το σύνορο του υποσυνόλου A à Ñ, συμβολίζεται A και είναι το σύνολο των συνοριακών σημείων του. Αν θέσουμε cα = Ñ - A το συμπλήρωμα του Α, τότε ισχύει A= A«cA, οπότε το σύνορο του συνόλου Α είναι κλειστό σύνολο. Σημειώνουμε με Å όλα τα εσωτερικά σημεία του Α και με A όλα τα σημεία περιβλήματος του Α. Προφανώς, ισχύει η βασική σχέση Å Ã Αà Α. Όταν είναι Α = Å το σύνολο Α λέγεται ανοικτό και όταν είναι Α= Α το σύνολο Α λέγεται κλειστό. Τα σύνολα Ñ και το κενό σύνολο είναι ανοικτά και κλειστά σύνολα, συγχρόνως. Κάθε ανοικτό διάστημα του Ñ I = { x = (x,x,,x ) Œ Ñ : α < x < β, i = 1,, º,}, 1 i i i είναι ανοικτό υποσύνολο του Ñ και κάθε κλειστό διάστημα του Ñ 1 1 i i I = { x = (x,x, º,x ) Œ Ñ : α x β, i = 1,, º,} είναι κλειστό υποσύνολο του Ñ. Για παράδειγμα, για το σύνολο (λωρίδα) A = {(x,y) ŒÑ : x Œ Ñ, 1< y }, έχουμε: A = {(x,y) ŒÑ : x Œ Ñ, 1< y < }, A = {(x,y) ŒÑ : x Œ Ñ, 1 y } και A = {(x,y) ŒÑ : x Œ Ñ, y = 1, y = }. Επίσης, για το σύνολο έχουμε B = {(x,y) ŒÑ : x - y > 1},

Διαφορικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών 11 B = B, B = {(x,y) ŒÑ : x - y 1}, και Β = {(x,y) ŒÑ : x - y = 1}. y A y Β 1 1 Ο 1 x Ο x Ακολουθίες του χώρου Ñ Κάθε συνάρτηση f : ÍÆ Ñ, που απεικονίζει στο σύνολο των φυσικών αριθμών Í = { 1,,, º, k, º } στο χώρο Ñ λέγεται ακολουθία σημείων του χώρου Ñ και συμβολίζεται (x k ), όπου (k) (k) (k) k 1 Ñ x = (x, x,,x ) Œ, " k ŒÍ. Η ακολουθία (x k ) λέγεται συγκλίνουσα στο σημείο x0 ŒÑ, (0) (0) (0) x = (x,x,,x ), αν για κάθε ε > 0, $ k 0(ε) ŒÍ τέτοιο ώστε: 0 1 " k > k0 fi d(x k,x 0 ) < ε, όπου d είναι η απόσταση στο χώρο Γράφουμε lim xk = x0 ή απλώς lim xk = x0, kæ+ Ñ. όπου και το x 0 λέγεται όριο της ακολουθίας (x k ). Το επόμενο θεώρημα είναι βασικό για τη σύγκλιση και τον προσδιορισμό του ορίου ακολουθίας του Ñ. = º ŒÑ, είναι μια ακο- ΘEΩPHMA 1: Aν λουθία του (x k ), όπου Ñ και kæ+ (k) (k) (k) x k (x 1,x,,x ) (0) (0) (0) 0 1 x = (x,x, º,x ) ŒÑ, τότε ισχύει (k) (0) k 0 kæ+ i i lim x = x lim x = x, i = 1,, º,.