ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2011-2012 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χειμώνας- Άνοιξη Μάθημα: Δημόσια Οικονομική Διδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου 3 ο Πακέτο Ασκήσεων, Απαντήσεις Ημερομηνία παράδοσης: 6 Ιουνίου 2012 ΜΕΡΟΣ Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (Οι σωστές απαντήσεις είναι με μαύρα παχιά γράμματα) 1. Αν δεν υπάρχει πληθωρισμός και το επιτόκιο είναι 6%, τότε η αξία ενός ευρώ σήμερα είναι α. 1.00 ένα έτος από σήμερα αν επενδυθεί. β. 1.06 ένα έτος από σήμερα αν επενδυθεί. γ. 1.06 ένα έτος από σήμερα αν δεν επενδυθεί. δ. Η αξία του δεν μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς πρόσθετη πληροφόρηση. 2. Η παρούσα αξία μιας επένδυσης είναι α. Η διαφορά μεταξύ αρχικής καθαρής απόδοσης και αρχικού κόστους επένδυσης. β. Η διαφορά μεταξύ αρχικής καθαρής απόδοσης και της παρούσας αξίας του αρχικού κόστους επένδυσης. γ. Η διαφορά μεταξύ των προεξοφλημένων ροών καθαρών αποδόσεων και του αρχικού κόστους επένδυσης. δ. Το άθροισμα των προεξοφλημένων ροών καθαρών αποδόσεων και του αρχικού κόστους επένδυσης. 3. Το δημόσιο ποσοστό προεξόφλησης α. Είναι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου για ιδιωτικές επενδύσεις. β. Πρέπει να χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας των ιδιωτικών επιχειρήσεων. γ. Είναι η απόδοση που πρέπει να έχουν τα κεφάλαια που χρησιμοποιούνται για δημόσιες επενδύσεις αν αφεθούν στον ιδιωτικό τομέα. δ. Τα β και γ είναι σωστά ταυτόχρονα. 4. Ο ορισμός του άυλου οφέλους και κόστους ενός έργου είναι ότι a. Σε αυτά δεν μπορούν να δοθούν εύκολα ποσοτικές αξίες. β. αυτά δεν πρέπει να λαμβάνονται υπόψη. γ. Είναι εύκολο να δοθεί ποσοτική αξία στα οφέλη αλλά όχι στο κόστος. δ. Είναι εύκολο να δοθεί ποσοτική αξία στο κόστος αλλά όχι στα οφέλη.
2 5. Τα οφέλη στην απασχόληση από ένα επενδυτικό έργο πρέπει να λογίζονται ως οφέλη αν α. Η οικονομία είναι σε πλήρη απασχόληση. β. Οι εργάτες δεν απασχολούνται τώρα και δεν είναι απασχολήσιμοι αλλού. γ. Οι εργάτες που θα απασχοληθούν μπορούν να είναι παραγωγικοί σε άλλα κρατικά έργα ή στον ιδιωτικό τομέα. δ. Κανένα από τα πιο πάνω δεν είναι σωστό. 6. Η ωφελιμιστική συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας υποθέτει ότι η κοινωνία α. ενδιαφέρεται για την άνιση διανομή του εισοδήματος και μόνο. β. δεν ενδιαφέρεται για την ισότητα. γ. ενδιαφέρεται για τα άτομα στη δυσμενέστερη θέση δ. επιδιώκει την εξάλειψη των ανισοτήτων. 7. Ο Rawls υποστηρίζει ότι λόγω αβεβαιότητας για το ποια είναι η θέση ενός ατόμου στη διανομή του εισοδήματος α. Τα άτομα θα επιλέξουν να μην υπάρχουν φόροι και μεταβιβάσεις. β. Τα άτομα θα επιλέξουν να μεγιστοποιείται η ευημερία του πιο πλούσιου ατόμου. γ. Τα άτομα θα επιλέξουν να μεγιστοποιείται η ευημερία του ατόμου με τη μικρότερη χρησιμότητα. δ. Τα άτομα θα επιλέξουν να μεγιστοποιείται η ευημερία του ατόμου με τη μέση χρησιμότητα. 8. Αν υπάρχουν πολλά πλούσια άτομα και ένας φτωχός, τότε α. Δεν χρειάζεται να παρέμβει το κράτος. β. Η καλύτερη απάντηση της κυβέρνησης είναι να χορηγήσει μια μεταβίβαση σε ρευστό στο φτωχό άτομο. γ. δεν υπάρχει θέμα δωρεάν χρήστη. δ. κανένα από τα πιο πάνω δεν είναι σωστό. 9. Οι μεταβιβάσεις εις είδος θα πρέπει να επιτρέπουν α. Στους φτωχούς να αγοράζουν από το είδος που χορηγείται τόσο όσο θα αγόραζαν σε επιδοτούμενη τιμή. β. Στους φτωχούς να αγοράζουν από το είδος που χορηγείται όσο επιθυμούν μέχρι ενός ποσού. γ. Να δίνεται στους φτωχούς όσο ρευστό τους χρειάζεται. δ. Το α και β είναι σωστά. 10. Με μια προσθετική ωφελιμιστική συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας α. Η αποτελεσματικότητα στην παραγωγή δεν παίζει κανένα ρόλο. β. Η ευημερία του κάθε ατόμου έχει το ίδιο βάρος.
3 γ. Η αναδιανομή από τους πλούσιους στους φτωχούς δεν δικαιολογείται επειδή δεν είναι βελτίωση κατά Pareto. δ. Η αποτελεσματικότητα κατά Pareto επιτυγχάνεται ακόμη και όταν δεν ισχύει τέλειος ανταγωνισμός. 11. Υποθέστε ότι μια κοινωνία αποτελείται από 3 άτομα και έχει συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας την W = U 1 + U 2 + U 3, όπου U i είναι η χρησιμότητα του ατόμου i. Αν υποθέσουμε ότι όλα τα άτομα έχουν την ίδια συνάρτηση ατομικής χρησιμότητας, ότι η ατομική οριακή χρησιμότητα είναι φθίνουσα και ότι το συνολικό εισόδημα στην κοινωνία είναι δεδομένο (I), ποια είναι η άριστη διανομή εισοδήματος μεταξύ των τριών ατόμων; (α) U 1 = Ι, U 2 = 0, U 3 = 0 (β) U 1 = 0, U 2 = Ι, U 3 = 0 (γ) U 1 = ½ Ι, U 2 = ½ Ι, U 3 = 0 (δ) U 1 = 1/3 Ι, U 2 = 1/3 Ι, U 3 = 1/3 Ι (ε) δεν μπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που μας δίνονται. 12. Υποθέστε ότι μια οικογένεια έχει 1000 να ξοδέψει σε τρόφιμα και σε «άλλα αγαθά». Αρχικά ξοδεύει 200 σε τρόφιμα και 800 σε άλλα αγαθά. Η κυβέρνηση αποφασίζει να δώσει στην οικογένεια κουπόνια τροφίμων αξίας 200. Ποιον από τους παρακάτω συνδυασμούς δεν θα επιλέξει η οικογένεια όταν πάρει τα κουπόνια για τρόφιμα; (α) Τρόφιμα = 100, Άλλα αγαθά = 1100 (β) Τρόφιμα = 300, Άλλα αγαθά = 900 (γ) Τρόφιμα = 250, Άλλα αγαθά = 950 (δ) Τρόφιμα = 350, Άλλα αγαθά = 850 (ε) Κανένα από τα παραπάνω δεν είναι η σωστή απάντηση. ΜΕΡΟΣ Β. ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ (Απαντήστε όλες τις πιο κάτω ερωτήσεις) Εξηγήστε συνοπτικά αν τα πιο κάτω ερωτήματα είναι σωστά ή λάθος 1. Μια επιχείρηση έχει να επιλέξει μεταξύ δύο επενδυτικών σχεδίων, του Χ και του Y. Το C 0 (j) συμβολίζει το κόστος του σχεδίου j για την περίοδο 0 και το B 1 (j) συμβολίζει το όφελος από το σχέδιο j κατά την περίοδο 1, όπου j = X, Y. Ας υποθέσουμε ότι C 0 (Χ) > C 0 (Υ) και B 1 (Χ) > B 1 (Υ). Ας υποθέσουμε επίσης ότι για ένα συγκεκριμένο επιτόκιο i > 0, η NPV (καθαρή παρούσα αξία) του σχεδίου Χ είναι ίσο με τη NPV του σχεδίου Υ. Συμφωνείτε με την άποψη ότι καθώς το επιτόκιο αυξάνεται σε επίπεδα πάνω από το i, ο λόγος NPV(Χ)/NPV(Υ) θα μειώνεται; Απάντηση:
4 Αβέβαιο. Αν NPV (Χ) = NPV(Υ) > 0 τότε αν αυξηθεί το επιτόκιο, ο λόγος NPV (Χ)/ NPV(Υ) θα μειωθεί. Αν όμως NPV (Χ) = NPV(Υ) < 0 και το επιτόκιο αυξηθεί, ο λόγος αυτός θα αυξηθεί. 2. Ο διάμεσος ψηφοφόρος είναι πάντα ο ψηφοφόρος με το διάμεσο εισόδημα. Συμφωνείτε ή όχι, και γιατί; Αβέβαιο. Ο διάμεσος ψηφοφόρος δεν είναι πάντα ο ψηφοφόρος με το διάμεσο εισόδημα, εκτός και αν η κατανομή των προτιμήσεων ταυτίζεται με την κατανομή του εισοδήματος η οποία έχει σχήμα κανονικής καμπύλης. 3. Η ανάλυση κόστους οφέλους υποθέτει ότι η αξία της ζωής είναι απείρως μεγάλη. Λάθος. Αν η ανθρώπινη ζωή εθεωρείτο απείρως μεγάλη, κάθε έργο που θα έσωζε τη ζωή ενός ατόμου θα ήταν προτιμητέο έναντι κάθε άλλου (ανεξάρτητα του πόσο καλό είναι) που δεν σώζει τη ζωή κάποιου ατόμου. Π.χ. κάθε έργο για την παιδεία δύσκολα θα εγκρινόταν αφού τα βασικά οφέλη της εκπαίδευσης πολύ λίγο αναφέρονται στη διάσωση της ζωής ανθρώπων. 4. Ένα κυβερνητικό πρόγραμμα που μεταβιβάζει εισόδημα από τη μεσαία τάξη στους πλούσιους και τους φτωχούς θα υποστηριχθεί από κάποιον που έχει τη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας του Rawls. Σωστό. Με βάση το κριτήριο του Rawls (maximin) η κοινωνική ευημερία θα αυξηθεί αν βελτιωθεί η θέση του ατόμου που είναι στη δυσμενέστερη κατάσταση, ανεξάρτητα από το τι θα γίνει με τη θέση των άλλων ατόμων. Επομένως είναι απόλυτα συμβατό με το κριτήριο αυτό να έχουμε βελτίωση της κοινωνικής ευημερίας ακόμη και αν η διαφορά εισοδημάτων μεταξύ πλούσιων και φτωχών αυξηθεί. 5. Στις προεδρικές εκλογές των Ηνωμένων Πολιτειών το 1992 υπήρχαν τρεις υποψήφιοι, ο Clinton, o Bush και ο Perot. Ο υποψήφιος που θα κέρδιζε στις εκλογές στην πολιτεία του Οχάιο, θα έπαιρνε και την πλειοψηφία των ψήφων σε όλη τη χώρα. Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή των ψήφων στο Οχάιο έχει ως εξής: Υποψήφιος Clinton 40% Bush 38% Perot 22% Ποσοστό Σύμφωνα με αυτήν την κατανομή, Ο Clinton κέρδισε τις εκλογές. Ας υποθέσουμε όμως ότι ο Perot δεν ήταν υποψήφιος. Σύμφωνα με τις δημοσκοπήσεις, ο Perot πήρε περισσότερες
5 ψήφους από τον Βush και όχι από τον Clinton. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η κατανομή των ψήφων, χωρίς τον Ρerot, θα ήταν το 1992 ως εξής: Υποψήφιος Clinton 45% Bush 55% Ποσοστό Ο Bush θα κέρδιζε τις εκλογές με διαφορά. Ποιος κανόνας συλλογικής λήψης αποφάσεων (σύμφωνα με τον Arrow) παραβιάζεται σε αυτό το παράδειγμα; Απάντηση: Ο κανόνας της ανεξαρτησίας των άσχετων εναλλακτικών επιλογών. Η κοινωνική επιλογή μεταξύ του Clinton και του Bush θα έπρεπε να εξαρτάται από τις ατομικές επιλογές μόνο μεταξύ αυτών των δύο, και όχι από το εάν ο Perot είναι υποψήφιος. ΜΕΡΟΣ Γ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (Απαντήστε όλα τα πιο κάτω προβλήματα) Πρόβλημα 1. Το Πανεπιστήμιο Αθηνών αγοράζει ηλεκτρονικούς υπολογιστές για ένα από τα εργαστήριά του. Το κόστος των υπολογιστών είναι 50.000. Το πανεπιστήμιο θεωρεί ότι οι υπολογιστές θα λειτουργούν για 5 χρόνια. Μετά από πέντε χρόνια, θα μπορέσει να τους πουλήσει για 5.000. Το καθαρό ετήσιο όφελος από τη χρήση των υπολογιστών υπολογίζεται σε 10.000. Το επιτόκιο είναι 2%. (α) Υπολογίστε την καθαρά παρούσα αξία της επένδυσης, υποθέτοντας ότι το ετήσιο καθαρό όφελος πραγματοποιείται στο τέλος του κάθε έτους. (β) Ποια είναι η καθαρά παρούσα αξία στο ερώτημα (α) όταν η τιμή πώλησης των υπολογιστών στο τέλος του πέμπτου έτους είναι (i) 4.000 και (ii) 3.000; Θα συστήνατε στο πανεπιστήμιο να αγοράσει τους υπολογιστές; Πρόβλημα 1. Απάντηση. 5 10 5 (α) NPV 50 t 1, 63 1 5 1,02 t 1,02 5 10 4 (β) NPV 50 t 0, 757 1 5 1,02 t 1,02 5 10 3 NPV 50 t 1 5 1,02 t 1,02 0,148
6 Αν η τιμή πώλησης των υπολογιστών στο τέλος των 5 ετών είναι 5.000 ή 4.000, το πανεπιστήμιο θα πρέπει να αγοράσει τους υπολογιστές. Αν η τιμή πώλησης είναι 3.000, θα του συστήναμε να μην τους αγοράσει. Πρόβλημα 2. Υποθέστε ότι μία κοινωνία αποτελείται από δύο άτομα, τον Στέλιο και τη Μαρία. Οι ατομικές συναρτήσεις χρησιμότητας των δύο ατόμων είναι U Σ =100(Υ Σ ) 1/2 και U M =100(Y M ) 1/2 +0,8U Σ. Η διανομή του εισοδήματος αρχικά είναι ίση, με τα δύο άτομα να έχουν από 100 ευρώ το καθένα. Μπορεί να υπάρξει βελτίωση της κατανομής κατά Pareto; Μια μεταβίβαση εισοδήματος από την Μαρία στον Στέλιο κατά 36 ευρώ αποτελεί βελτίωση κατά Pareto και αυξάνει την συνολική κοινωνική ευημερία; (υποθέστε ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι αθροιστική). Πρόβλημα 2. Απάντηση. Βελτίωση κατά Pareto θα αποτελούσε μια ανακατανομή εισοδήματος που αυξάνει (ή δε μειώνει) την χρησιμότητα του κάθε ατόμου. Με αυτά τα δύο άτομα, η χρησιμότητα της Μαρίας αυξάνει καθώς αυξάνει η χρησιμότητα του Στέλιου. Επομένως, ενδεχομένως να είναι δυνατόν να ανακατανείμουμε εισόδημα από την Μαρία στον Στέλιο και να αυξήσουμε την χρησιμότητα και των δύο. Με την αρχική κατανομή εισοδήματος, η χρησιμότητα του Στέλιου είναι U Σ =100(100) 1/2, ή U Σ =1.000. Η χρησιμότητα της Μαρίας είναι U M =100(100) 1/2 +0,8(1.000), ή U M =1.800. Αν η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι αθροιστική, η κοινωνική ευημερία στην αρχική κατανομή είναι W=U Σ +U M =1.000+1.800=2.800. Με μια μεταβίβαση εισοδήματος από την Μαρία στον Στέλιο κατά 36 ευρώ, το εισόδημα του Στέλιου τώρα είναι 136, ενώ της Μαρίας 64. Η χρησιμότητα του Στέλιου είναι U Σ =100(136) 1/2, ή U σ =1.166,19. Η χρησιμότητα της Μαρίας στη νέα κατανομή εισοδήματος είναι U M =100(64) 1/2 +0,8(1.166,19), ή U M =800+932,952=1.732,952. Σε αυτήν την περίπτωση, η χρησιμότητα του Στέλιου αυξάνεται από 1.000 σε 1.166,190, ενώ της Μαρίας μειώνεται από 1.800 σε 1.732,952. Η κοινωνική ευημερία αυξάνεται με την αναδιανομή, από 2.800 σε 2.899,142. Επομένως η μεταβίβαση εισοδήματος αυξάνει την κοινωνική ευημερία, αλλά δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Πρόβλημα 3. Υποθέστε ότι η Ελένη έχει την ακόλουθη συνάρτηση χρησιμότητας : U=C 1/5 O 4/5, όπου το C είναι η ποσότητα τυριού που καταναλώνει και το O είναι η ποσότητα που καταναλώνει από όλα τα άλλα αγαθά. Το εισόδημά της είναι 300. Οι τιμές είναι: P C =2 and P O =1.
7 (α) Υποθέστε ότι η κυβέρνηση δίνει στην Ελένη μια χρηματική μεταβίβαση ύψους 120. Ποιες ποσότητες τυριού και άλλων αγαθών θα επιλέξει να καταναλώσει η Ελένη; (β) Υποθέστε ότι η κυβέρνηση αποφασίζει να δώσει στην Ελένη μια μεταβίβαση σε είδος (60 μονάδες τυριού), την οποία η Ελένη δε μπορεί να μεταπωλήσει. Σχεδιάστε την γραμμή εισοδηματικού περιορισμού της Ελένης. Τι θα επιλέξει τώρα; (γ) υποθέστε ότι η κυβέρνηση δίνει στην Ελένη μια μεταβίβαση σε είδος 30 μονάδων τυριού και επιπλέον μια χρηματική μεταβίβαση ύψους 60. Σχεδιάστε τη νέα γραμμή εισοδηματικού περιορισμού της Ελένης. Ποιες θα είναι οι επιλογές της; Πρόβλημα 3. Απάντηση. Με δεδομένο ότι οι συναρτήσεις χρησιμότητας είναι της μορφής Cobb-Douglas, όπως ξέρουμε από τη μικροοικονομική, οι συναρτήσεις ζήτησης δίνονται από τις σχέσεις: (α) 4 5 300 120 O * 336 1 4 1 5 5 (β) Ο εισοδηματικός περιορισμός είναι η κόκκινη γραμμή.
8 Όλα τα άλλα αγαθά Τυρί Προφανώς η μεταβίβαση σε είδος μετακινεί την Ελένη σε υψηλότερη καμπύλη χρησιμότητας. Η Ελένη τώρα πρέπει να καταναλώσει 60 μονάδες τυριού. Το να καταναλώσει λιγότερη ποσότητα τυριού δεν σημαίνει ότι θα έχει περισσότερο εισόδημα (εφόσον δε μπορεί να μεταπωλήσει το τυρί). Η Ελένη όμως δε θέλει να καταναλώσει περισσότερο από 60 μονάδες τυριού, αφού η επιλογή της στην περίπτωση της ισόποσης εισοδηματικής μεταβίβασης ήταν ( C= 42, O = 336). Επομένως, η επιλογή της τώρα είναι C = 60 και θα χρησιμοποιήσει όλο το εισόδημά της ( 300) για να αγοράσει άλλα αγαθά (Ο = 300) (γ) Ο εισοδηματικό περιορισμός είναι η κόκκινη γραμμή. Όλα τα άλλα αγαθά Τυρί Αφού ο προτιμώμενος συνδυασμός περιελάμβανε 42 μονάδες τυριού (το οποίο είναι
9 μεγαλύτερη ποσότητα από τη μεταβίβαση σε είδος, η Ελένη μπορεί να έχει την επιλογή {C,O} = {42, 336} με το νέο πρόγραμμα μεταβίβασης σε είδος. (Το σημείο {42, 336} είναι η προτιμώμενη επιλογή της Ελένης, όταν όλες οι εισοδηματικά ισοδύναμες μεταβιβάσεις είναι στη μορφή μετρητών). Επομένως θα επιλέξει αυτόν τον συνδυασμό χρησιμοποιώντας το εισόδημά της για να αγοράσει 12 μονάδες τυριού και 336 μονάδες από τα άλλα αγαθά. Πρόβλημα 4. Ένα έργο αποδίδει ένα ετήσιο όφελος 25 ετησίως, που αρχίζει από το επόμενο έτος και διαρκεί για πάντα. Ποια η παρούσα αξία των ωφελειών αν το επιτόκιο είναι 10%; [Νύξη: Το άπειρο άθροισμα x + x 2 + x 3 +... ισούται με x/(1 - x), όπου x είναι ένας αριθμός μικρότερος από το 1.] Γενικεύστε την απάντηση σας για να δείξετε ότι αν το διαρκές ετήσιο όφελος είναι B και το επιτόκιο είναι r, τότε η παρούσα αξία είναι B/r. Πρόβλημα 4. Απάντηση Η παρούσα αξία των 25/0,10 = 250. Η παρούσα αξία του διαρκούς ετήσιου οφέλους είναι B B B PV... 2 3 1 r (1 r) 1 r Θέτοντας Β/(1+r) = α και 1/(1+r) = x, έχω PV a(1 x x 2 x 3...) (1) Πολλαπλασιάζοντας με x, έχω PVx a( x x 2 x 3...) (2) Αφαιρώντας τη (2) από την (1) PV( 1 x) a Αντικαθιστώντας τα x και α 1 B PV (1 ) PV 1 r 1 r Πρόβλημα 5 B r
10 Τρεις ψηφοφόροι, ο Α, ο Β και Γ, καλούνται να αποφασίσουν με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας αν θα εγκριθούν τα προγράμματα Χ και Υ. Η ψηφοφορία για κάθε πρόγραμμα θα γίνει ξεχωριστά. Η μεταβολή του καθαρού οφέλους (σε ευρώ) για κάθε ψηφοφόρο από την πραγματοποίηση του κάθε προγράμματος έχει ως εξής: Ψηφοφόρος Πρόγραμμα Χ Υ Α +6-3 Β -1 +4 Γ -2-3 Πιστεύετε ότι το σύστημα της αλληλοϋποστήριξης με ανταλλαγές ψήφων θα αύξανε την αποτελεσματικότητα της ψηφοφορίας; Πρόβλημα 5. Απάντηση Χωρίς ανταλλαγή ψήφων δεν θα εγκριθεί κανένα πρόγραμμα. Αν γίνουν ανταλλαγές ψήφων, ο Β θα συμφωνήσει να ψηφίσει υπέρ του X αν ο Α ψήφιζε υπέρ του Υ, και έτσι θα εγκρίνονταν και τα δύο προγράμματα. Το καθαρό όφελος θα ήταν +3 για το πρόγραμμα X και -2 για το πρόγραμμα Y, επομένως η ανταλλαγή ψήφων οδηγεί σε καθαρό όφελος +1. Πρόβλημα 6. Υποθέστε ότι η περιφέρεια Θεσσαλίας εξετάζει την εγκατάσταση ενός νέου αρδευτικού έργου και σας προσλαμβάνει ως Σύμβουλο για να της κάνετε μια μελέτη κόστους οφέλους. Το έργο κοστίζει σήμερα 1.000, τον επόμενο χρόνο 1.000 και το μεθεπόμενο χρόνο πάλι 1.000. Τα οφέλη από την άρδευση σε γεωργικό προϊόν είναι 100 για κάθε χρόνο αρχίζοντας από του χρόνου. Επιπλέον η αξία της αρδευόμενης γης αυξάνεται κατά 2.000. Το επιτόκιο είναι 5%. Πρέπει να γίνει το έργο αυτό; (Νύξη: το άπειρο άθροισμα μπορεί να υπολογιστεί ως (r+r 2 +r 3 +.=r/(1-r)). Πρόβλημα 6. Απάντηση Το έργο δεν πρέπει να γίνει: B=παρούσα αξία των προεξοφλημένων ωφελειών =2000 (αύξηση στην αξία της γης) Ή = 100/(1+0,05)+100/(1+0,05) 2 +.=100/0,05=2000 C= παρούσα αξία κόστους =1000+1000/(1+0,05)+1000/(1+0,05) 2 =2859. PV=B-C=2000-2859<0. Το τρικ στην περίπτωση μας είναι ότι όταν μετράμε τα οφέλη μετρούμε είτε την παρούσα αξία των ροών των οφελών είτε την αύξηση της αξίας της γης. Αν λάβουμε υπόψη μας και τα δύο τότε έχουμε διπλό υπολογισμό. Η αξία της γης αυξάνει ακριβώς επειδή υπάρχουν τα οφέλη από το αρδευτικό έργο.
11 Πρόβλημα 7. Υποθέστε ότι σε μια κοινωνία υπάρχουν δύο άτομα, ο Σίμος και η Χαρίκλεια, που πρέπει να μοιραστούν μεταξύ τους ένα σταθερό εισόδημα 100. Για το Σίμο η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος δίνεται από τη σχέση MU Σ = 400-2I Σ και για τη Χαρίκλεια από τη σχέση MU Χ = 400-6I Χ, όπου I Σ, και I Χ είναι τα εισοδήματα του Σίμου και της Χαρίκλειας αντίστοιχα. α. Ποια η άριστη διανομή εισοδήματος αν η συνάρτηση κοινωνικής ευημερία είναι προσθετική ωφελιμιστική; β, Ποια η άριστη διανομή εισοδήματος αν η κοινωνία ενδιαφέρεται μόνο για τη χρησιμότητα της Χαρίκλειας; Ποια αν ισχύει το αντίθετο είναι σωστό; γ. Πώς θα άλλαζε η απάντηση σας αν η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος και για τα δύο άτομα είναι σταθερή: MU Σ = 400 MU Χ = 400; Πρόβλημα 7. Απάντηση α. Για να μεγιστοποιηθεί η κοινωνική ευημερία εξισώνουμε τις οριακές χρησιμότητες με τον εισοδηματικό περιορισμό I Σ + I Χ = 100. Έτσι έχουμε 400-2I Σ = 400-6I Χ. Θέτοντας I Χ = 100 I Σ βρίσκουμε 2I Σ = 6 (100 I Σ ). Άρα I Σ = 75, I Χ = 25. β. Αν η κοινωνία ενδιαφέρεται μόνο για τη Χαρίκλεια, τότε της δίνουμε εισόδημα μέχρις ότου MU X = 0. Άρα 400-6 I Χ = 0; και, I Χ = 66,67. Αν η κοινωνία ενδιαφέρεται μόνο για το Σίμο τότε με παρόμοιο σκεπτικό MU Σ = 0 αν I Σ = 100. Κανονικά μεγιστοποιείται η ευημερία του αν I Σ = 200. γ. MU Σ = MU Χ για όλα τα επίπεδα εισοδήματος. Άρα η κοινωνία είναι αδιάφορη μεταξύ όλων των διανομών εισοδήματος.