Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η οποία μεγιστοποιεί τα κέρδη του έχει ως εξής: maximize z = 50x 1 + 20x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) 3x 1 + 2x 2 18 (διαθέσιμη ποσότητα ασημιού, ουγκιές) 2x 1 + 4x 2 24 (διαθέσιμη ποσότητα μετάλλου, ουγκιές) x 1 4 (απορροφητικότητα της αγοράς σε μπρασελέ) x 1, x 2 0 1. Να βρεθεί η άριστη λύση του. 2. Υπολογίστε το διάστημα αριστότητας των αντικειμενικών συντελεστών. 3. Υπολογίστε το διάστημα εφικτότητας των δεξιών μελών του μοντέλου. 4. Υποθέστε ότι η διαθέσιμη ποσότητα ασημιού μπορεί να ανέβει στις 22 ουγκιές. Ποια επίδραση θα έχει κάτι τέτοιο στην άριστη λύση; 1/12
2/12
Μια οικογένεια διαθέτει 410 εκτάρια καλλιεργήσιμης γης στην περιοχή της Μακεδονίας στην οποία καλλιεργεί καπνό και ρύζι. Κάθε εκτάριο που καλλιεργείται με καπνό κοστίζει (:σπορά, καλλιέργεια, συγκομιδή, κλπ) κατά μέσο όρο 105 χρηματικές μονάδες, ενώ κάθε εκτάριο ρυζιού κοστίζει αντίστοιχα 210 χ.μ. Η οικογένεια διαθέτει έναν προϋπολογισμό ύψους 52500 χ.μ. για την τρέχουσα χρονιά. Υποθέστε ότι ο τοπικός Αγροτικός Συνεταιρισμός περιορίζει το πλήθος των εκταρίων που μπορούν να καλλιεργηθούν με ρύζι στα 100 το πολύ, κι ότι το κάθε εκτάριο καπνού αποδίδει κατά μέσο όρο (καθαρό κέρδος) 300 χ.μ., ενώ το κάθε εκτάριο ρυζιού 520 χ.μ. Να διαμορφώσετε ένα πρότυπο π.γ.π. για τον προσδιορισμό του βέλτιστου σχεδίου καλλιέργειας. Στη συνέχεια να το επιλύσετε γραφικά. Πόση έκταση θα πρέπει να καλλιεργηθεί από κάθε προϊόν και πόσο θα είναι το συνολικό καθαρό κέρδος; Θα μείνει έκταση ακαλλιέργητη και πόση; Θα καλλιεργηθούν όλα τα επιτρεπόμενα εκτάρια ρυζιού; Ένας γείτονας της οικογένειας προσπαθεί να πείσει την οικογένεια να νοικιάσουν τη δική του γη προς 100 χ.μ. το εκτάριο. Πιστεύετε ότι πρέπει να δεχθούν; Υποθέστε ότι η οικογένεια του παραδείγματός μας σκέφτεται να πάρει ένα μικρό δάνειο ώστε να αυξήσουν τον διαθέσιμο προϋπολογισμό τους για τις καλλιέργειες που περιγράψαμε παραπάνω. Ο τόκος που πρόκειται να πληρώσουν είναι της τάξης του 25%. Πιστεύετε ότι θα πρέπει να προχωρήσουν; Αν η οικογένεια αποφασίσει να μειώσει την καλλιεργήσιμη γη κατά 50 εκτάρια πως επηρεάζεται το προταθέν σαν βέλτιστο σχέδιο καλλιέργειας για τον καπνό; 3/12
4/12
Αγροτικός συνεταιρισμός κερδίζει 4, 3 και 6 χρηματικές μονάδες από τις πωλήσεις που πραγματοποιεί αντίστοιχα στις τρεις διαφορετικές κονσέρβες, έστω Α, Β και Γ, που παράγει αναμιγνύοντας ροδάκινο, βερίκοκο κι ανανά. Σε γενικές γραμμές η συζητούμενη παραγωγική διαδικασία μπορεί να διαχωριστεί σε δύο στάδια : την αποφλοίωση/κοπή (Σ1) και τη μείξη/συσκευασία (Σ2). Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι απαιτήσεις του κάθε προϊόντος σε πρώτες ύλες (Kr) και σε χρόνους επεξεργασίας (min), καθώς επίσης και η διαθεσιμότητα κάθε παραγωγικού συντελεστή ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΟΝΣΕΡ Ροδάκινο Βερίκοκο Ανανάς 1ο Στάδιο 2ο Στάδιο (Kr) (Kr) (Kr) (min) (min) Α 3 2 1 1.2 1 Β 2 2 2 1.4 2 Γ 1 2 3 1.5 1 ΔΙΑΘ/ΤΗΤΑ 920 900 930 1,260 600 1. Αφού διαπιστώσετε ποιο είναι το πρόβλημα του συνεταιρισμού, διαμορφώσετε ένα π.γ.π. που μπορεί να το επιλύσει. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη λύση και την ανάλυση ευαισθησίας που δίνεται στη συνέχεια από το LINDO, απαντήστε στα εξής ερωτήματα : 2. Πόσο πρέπει να είναι το κέρδος του προϊόντος Β ώστε να είναι συμφέρουσα η παραγωγή του και γιατί; 3. Ο συνεταιρισμός εξετάζει την περίπτωση να αντικαταστήσει το μηχανολογικό εξοπλισμό των παραγωγικών σταδίων Σ1 και Σ2 πριν την έναρξη της παραγωγής. Ο καινούργιος εξοπλισμός είναι δυναμικότητας 1,200 λεπτών για το 1ο στάδιο και 700 λεπτών για το 2ο στάδιο. Θα μεταβληθεί η βέλτιστη λύση; 4. Αν ο συνεταιρισμός είχε τη δυνατότητα να προμηθευτεί 10 επιπλέον κιλά ροδάκινα ή βερίκοκα ποιο φρούτο έπρεπε να προτιμήσει και γιατί; 5/12
5. Η διοίκηση πληροφορείται ότι υπάρχουν διαθέσιμα ακόμα 50 κιλά ανανά. Αν τα χρησιμοποιήσει ποια θα είναι η επίδραση στο συνολικό κέρδος; LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2280.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 210.000000 0.000000 X2 0.000000 2.000000 X3 240.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 50.000000 0.000000 3) 0.000000 1.500000 4) 0.000000 1.000000 5) 648.000000 0.000000 6) 150.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 4.000000 2.000000 2.000000 X2 3.000000 2.000000 INFINITY X3 6.000000 6.000000 2.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 920.000000 INFINITY 50.000000 3 900.000000 25.000000 280.000000 4 930.000000 420.000000 50.000000 5 1260.000000 INFINITY 648.000000 6 600.000000 INFINITY 150.000000 6/12
1. Φανερά, ο συνεταιρισμός ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το πλήθος των κονσερβών τύπου Α, Β και Γ που πρέπει να παράγει μέσα στις συγκεκριμένες διαθεσιμότητες των παραγωγικών του συντελεστών σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος. Ορίζουμε να είναι x Α, x B, x Γ το πλήθος των κονσερβών Α, Β και Γ που πρέπει να παραχθούν. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε 4x Α + 3x B + 6x Γ χρηματικές μονάδες. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν αφενός μεν από τη διαθεσιμότητα των φρούτων, αφετέρου δε από το διαθέσιμο χρόνο στα δύο στάδια της επεξεργασίας : 3x Α + 2x B + x Γ 920 (διαθέσιμη ποσότητα ροδάκινων, Kr) 2x Α + 2x B + 2x Γ 900 (διαθέσιμη ποσότητα βερίκοκων, Kr) x Α + 2x B + 3x Γ 930 (διαθέσιμη ποσότητα ανανά, Kr) 1.2x Α + 1.4x B + 1.5x Γ 1,260 (διαθέσιμος χρόνος στο 1ο Στάδιο, min) x Α + 2x B + x Γ 600 (διαθέσιμος χρόνος στο 2ο Στάδιο, min) x Α, x B, x Γ 0 Από τα αποτελέσματα του LINDO βλέπουμε ότι η βέλτιστη λύση του προβλήματος x Α = 210, x Γ = 240 οδηγεί σε κέρδος 2,280 χρηματικών μονάδων. 2. Το ερώτημα αφορά το ευκαιριακό κόστος της x B που είναι ίσο με 2. Αν το κέρδος από τις κονσέρβες τύπου Β γίνει τουλάχιστον 5 (= 3 + 2) χρηματικές μονάδες τότε θα συμφέρει η παραγωγή τους. 7/12
3. Οι περιορισμοί που αναφέρονται στο διαθέσιμο χρόνο για τα δύο στάδια της παραγωγικής διαδικασίας είναι χαλαροί με περιθώριες τιμές 648 (ο 4 ος που αφορά το στάδιο Σ1) και 150 (ο 5 ος που αφορά το στάδιο Σ2). Η δοθείσα τροποποίηση θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιμή του 5 ου κατά 100 μονάδες και θα ελαττώσει αυτή του 4 ου κατά 60. Συνεπώς, η βέλτιστη λύση θα παραμείνει η ίδια. 4. Ο πόρος με τη μεγαλύτερη αξία (: δυική τιμή) είναι τα «βερίκοκα» (για την ακρίβεια, η βέλτιστη λύση αφήνει ανεκμετάλλευτα 50Kr ροδάκινων). 5. Ο πόρος «ανανάς» έχει δυϊκή τιμή ίση με 1. Συνεπώς αύξηση της διαθέσιμης ποσότητάς του κατά 50Kr θα οδηγήσει σε αύξηση του συνολικού κέρδους κατά 1 50 χρηματικές μονάδες. 8/12
Μια εταιρεία δημοσκοπήσεων που συμφώνησε να προχωρήσει σε μια έρευνα αγοράς, προσπαθεί να υπολογίσει τον αριθμό των "συνεντευκτών" που θα απαιτηθούν για τη διεξαγωγή της. Η έρευνα θα γίνει με τη μέθοδο της προσωπικής συνέντευξης και της τηλεφωνικής επικοινωνίας, με τον κάθε συνεντευκτή να μπορεί να πραγματοποιήσει σε ημερήσια βάση 80 τηλεφωνικές ή 40 προσωπικές επαφές. Σύμφωνα με τον σχεδιασμό αντιπροσωπευτικότητας της έρευνας, θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 1000 τηλεφωνικές και τουλάχιστον 800 προσωπικές συνεντεύξεις, με το σύνολό τους να πρέπει να είναι τουλάχιστον 3000. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ημερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" συνεντευκτή ανέρχεται στις 50 χρηματικές μονάδες, ενώ για τον κάθε "προσωπικό" στις 70 1. υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση του αριθμού συνεντευκτών που θα απαιτηθούν σε τρόπο ώστε η έρευνα να πραγματοποιηθεί με το μικρότερο δυνατό κόστος, 2. δώστε το πλήθος των "τηλεφωνικών" και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιμοποιηθούν, 3. βρείτε τη νέα (;) βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ημερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" συνεντευκτή υπο-διπλασιαστεί, 4. βρείτε τη νέα (;) βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ημερήσιο κόστος για τον κάθε "προσωπικό" συνεντευκτή διπλασιαστεί. 5. Υποθέστε ότι αν μειωθούν οι ελάχιστες απαιτήσεις μιας μόνο εκ των τεχνικών συνέντευξης (προσωπικής ή τηλεφωνικής) η αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος δεν επηρεάζεται. Στην περίπτωση αυτή, ποια θα έπρεπε να επιλεγεί ώστε η εταιρεία δημοσκοπήσεων να εξοικονομήσει όσο το δυνατόν περισσότερα χρήματα. 9/12
1. Ορίζουμε να είναι x 1, x 2 το αντίστοιχο πλήθος των «τηλεφωνικών» και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιμοποιηθούν. Τότε το συνολικό κόστος για την εταιρεία δημοσκοπήσεων που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ανέρχεται σε (50x 1 + 70x 2 ) χρηματικές μονάδες. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν από i) το ελάχιστο συνολικό πλήθος συνεντεύξεων που πρέπει να πραγματοποιηθούν : 80x 1 + 40x 2 3,000 ii) το ελάχιστο πλήθος τηλεφωνικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγματοποιηθούν : 80x 1 1,000 iii) το ελάχιστο πλήθος προσωπικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγματοποιηθούν : 40x 2 800 i) τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης : x 1, x 2 0. 10/12
Το σημείο B(27.5, 20) αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση και δίνει τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 2,775. Συνεπώς για την πραγματοποίηση της έρευνας απαιτούνται x 1 = 27.5 «τηλεφωνικοί» και x 2 = 20 προσωπικοί συνεντευκτές. 11/12
2. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα θα πρέπει να προχωρήσουμε σε ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειμενικό συντελεστή c 1. Το σημείο B(27.5, 20) είναι η άριστη λύση στο πρόβλημά μας όσο που δίνει κλίση της ευθείας κλίση της ευθείας z κλίση της ευθείας 80 40 c c (η κλίση της ευθείας που είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα είναι μηδέν). Έτσι για c 2 = 70 παίρνουμε ως εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 1 το [0, 140] Συνεπώς για c 1 = 25 (υπο-διπλάσιο κόστος «τηλεφωνικής» συνέντευξης) βέλτιστη λύση του προβλήματος παραμένει το σημείο Β(27.5, 20) με νέα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 2,087.50. 1 2 0 3. Ανάλογα, θα πρέπει να προχωρήσουμε σε ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειμενικό συντελεστή c 2. Το εύρος αριστότητάς του είναι το [25, ) και συνεπώς, για c 2 = 140 (διπλάσιο κόστος «προσωπικής» συνέντευξης), βέλτιστη λύση του προβλήματος παραμένει το σημείο Β(27.5, 20) με νέα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 4,175. 4. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα απαιτείται η γνώση των δυικών τιμών που αντιστοιχούν στον 2 ο (αξία μιας «τηλεφωνικής» συνέντευξης) και 3 ο (αξία μιας «προσωπικής» συνέντευξης) περιορισμό. Παρατηρούμε όμως ότι 2 ος περιορισμός είναι χαλαρός (με περιθώρια τιμή ίση με 1200) : το b 2 μπορεί να ελαττωθεί απεριόριστα χωρίς να μεταβληθεί η βέλτιστη λύση. Συνεπώς η αντίστοιχη δυική τιμή ισούται με μηδέν. Κάτι τέτοιο δε συμβαίνει και με τον 3 ο περιορισμό ο οποίος είναι δεσμευτικός (η βέλτιστη λύση είναι σημείο τομής των ευθειών και ). Η αντίστοιχη δυική τιμή είναι διάφορη του μηδενός,. 12/12