taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη προς στο άξοα τότε: α Να βρείτε τη f ( ) β Να δείξετε ότι το δείγμα είαι ομοιογεές γ Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο δ Α η ελάχιστη τιμή της f είαι ίση με τότε: ι) α βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω του δείγματος ιι) α βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f στο σημείο Α αυτής α αραγωγίζουμε τη συάρτηση ως προς R Είαι f ( ) S + β Αφού η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη προς το άξοα έχουμε f ( ) S ( ) + S > () οπότε ο S S συτελεστής μεταβολής είαι CV % % % άρα το δείγμα είαι S ομοιογεές () γ f ( ) S + S ( + ) θέση πιθαού ακρότατου Μελετάμε το πρόσημο της f ( ) Έχουμε f ( ) < < και f ( ) > > Άρα η f γησίως φθίουσα στο (, -] και η f γησίως αύξουσα στο [, + ) άρα στο παρουσιάζει ελάχιστο το f ( ) S( ) + ( ) S + S + + f άρα η εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f δ Αφού η ελάχιστη τιμή της f είαι ίση με ( ) και τότε από τη () S S ε Είαι A(, ) και λ f ( ) είαι y Άσκηση η + 7 Δίεται η συάρτηση f( ) και ο δειγματικός χώρος Ω που αποτελείται από απλά ισοπίθαα εδεχόμεα Θεωρούμε Α και Β δυο εδεχόμεα του Ω για τα οποία ισχύει P [( Α Β) '], P( A) lm f( ) και P ( B) κ 6 α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f β Να αποδείξετε ότι P ( A) γ Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P ( Α Β) δ Να βρείτε τη τιμή του κ έτσι ώστε τα εδεχόμεα Α και Β α είαι ασυμβίβαστα μεταξύ τους ααίρουμε τους περιορισμούς: ± και + 7 7 άρα το πεδίο ορισμού είαι το διάστημα A [ 7, ) (,) (, + ) + 7 β Έχουμε: ( ) ( ) ( + 7 )( + 7 + ) P A lm f lm lm + 7 + ( )( )
taeeolablogspotcom lm ( + 7 ) lm lm ( )( + 7 + ) ( )( + )( + 7 + ) ( + )( + 7 + ) ( + )( + 7 + ) P Α 6 6 δγια α είαι ασυμβίβαστα πρέπει P Α Β P Α + P Β + κ κ 6 6 γ Είαι ( Β) P[ ( Α Β) '] ( ) ( ) ( ) κ 8 Άσκηση η α Δίεται η συάρτηση f( ) e + 7 α Να βρεθού οι τιμές του α για τις οποίες f ( ) f ( ), για κάθε πραγματικό αριθμό β Να βρεθεί συαρτήσει του α, η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημέη γ Για α > α βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της εφαπτομέης ευθείας με το άξοα y y και το άξοα ατίστοιχα δ Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώου ΑΟΒ που σχηματίζει η εφαπτομέη με τους άξοες για α α α α α Είαι f ( ) ( e + 7) ( e ) ( α) e 6αe και α α α f ( ) ( 6αe ) 6α( α) e α e α f α α α ( ) f ( ) 6αe α e 6e ( α + α ) α 6e a( + a) α ή α β Έστω y λ + β η εξίσωση της εφαπτομέης Είαι λ f ( ) 6αe 6α 6α α Είαι f( ) e + 7 + 7 Επειδή η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης διέρχεται από το σημείο (,) θα έχουμε 6α + β β Έτσι η εξίσωση της εφαπτομέης είαι y 6α + γ Θα βρούμε τα σημεία τομής της εφαπτομέης ευθείας με τους άξοες y y και Για έχουμε y 6α + y δηλαδή τέμει το y y στο σημείο Α (, ) Για y έχουμε 6α + δηλαδή τέμει το στο σημείο B, α α δ Είαι ( ΑΟΒ ) ( ΟΑ)( ΟΒ) τμ δηλαδή ( ΑΟΒ ) Ε( α ) και α α α 6 6 6 Ε ( α) οπότε E 6 τμ α 9α 9 9 9
taeeolablogspotcom Άσκηση η Στο γραφείο τω καθηγητώ εός λυκείου υπάρχου συολικά στυλό από τα οποία τα έχου μπλε μελάι, τα μαύρο και τα υπόλοιπα κόκκιο ή πράσιο Επιλέγουμε έα στυλό στη τύχη Η πιθαότητα α έχει κόκκιο μελάι είαι P( Κ ), εώ η + πιθαότητα το στυλό α έχει πράσιο μελάι είαι P( ) με N 9 + α Να δείξετε ότι β Για α υπολογίσετε τις πιθαότητες P ( K) και P ( ) γ Να βρείτε το πλήθος τω στυλό με κόκκιο και πράσιο μελάι που υπάρχου στο γραφείο τω καθηγητώ Θεωρούμε αρχικά τα εδεχόμεα: Μ{το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι μπλε χρώματος} Μ{το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι μαύρου χρώματος} Κ{το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι κόκκιου χρώματος} {το στυλό που θα επιλεγεί α έχει μελάι πράσιου χρώματος} Είαι P ( Μ ), P ( Μ ), P( Κ ), P( ) + 9 + α Επειδή το άθροισμα τω πιθαοτήτω όλω τω στοιχειωδώ εδεχομέω εός δειγματικού χώρου είαι ίσο με έχουμε: P ( Μ) + P( Μ) + P( Κ) + P( ) ( 9 + ) + ( )( + ) ( + )( 9 + ) + + + + + 9 + 7 + + 8 8 + 6 7 + + 8 7 Η τιμή απορρίπτεται γιατί N άρα 7 β Για έχουμε P ( Κ ), P ( ) + 9 + Ν( Κ) Ν( ) γ Είαι P ( Κ ) Ν( Κ) 8 και P ( ) Ν( ) Άσκηση η Οι χρόοι που χρειάστηκα 7 μαθητές για α λύσου έα πρόβλημα στατιστικής ήτα: 6,,,,,, σε λεπτά, θετικός πραγματικός αριθμός α Να αποδείξετε ότι η διακύμαση τω παρατηρήσεω δίεται από τη συάρτηση 6 6 + 66 S ( ) 9 β Να βρείτε τη τιμή του, ώστε οι παρατηρήσεις α έχου όσο γίεται μικρότερη διασπορά γ Α το παίρει τιμές από το σύολο Ω {,,, } α υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου Α{ Η τυπική απόκλιση είαι μικρότερη από 66 } 7 α Γωρίζουμε ότι S { ( t ) t } S t t ()
taeeolablogspotcom Με εφαρμογή της () έχουμε: 6 + + + + + S 7 S + 7 + 8 7 7 S + 6 + + + + + + 7 + 7 7 7 + 9 6 6 6 + 66 S S 9 9 6 6 + δηλαδή S S ( ) 9 6 6 + β Θεωρούμε τη συάρτηση f( ) S ( ) Θα ααζητήσουμε τη τιμή 9 6 του για τη οποία η συάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο Έχουμε f ( ) 9 Βρίσκουμε αρχικά τις θέσεις τω πιθαώ ακρότατω λύοτας τη εξίσωση f ( ) 6 Έχουμε: f ( ) 6 Εξετάζουμε το πρόσημο της f ( ) 9 6 6 f ( ) > > > εώ f ( ) < < < Έτσι η f είαι 9 9 γησίως φθίουσα στο διάστημα, ],+ και για η f παρουσιάζει ελάχιστο Τα συμπεράσματα συοψίζοται στο διπλαό πίακα μοοτοίας-ακροτάτω γ Έχουμε: 66 66 6 6 + 66 66 S < S < < 7 9 9 9 6 6 > < 6 6 < (,6) 9 + 6 + 9 ( και γησίως αύξουσα στο [ ) Το πλήθος τω στοιχείω του εδεχομέου Α είαι ( Α) πλήθος τω στοιχείω του δειγματικού χώρου Ω είαι N ( ) Ν( Α) P ( Α ) Ν( Ω) Άσκηση 6 η 9 Δίοται οι συαρτήσεις f( ) και ( ) Ν γιατί Α{,,,,} εώ το Ω Έτσι + + 6 και τα εδεχόμεα Α και Β + 7 + P(A) lm f P B lmg g του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία υποθέτουμε ότι: ( ) και ( ) ( ) 9 και P ( A B) g ( ) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού τω συαρτήσεω f, g και α απλοποιήσετε το τύπο της συάρτησης g β Να υπολογίσετε τις πιθαότητες P ( A), P ( B) και P( A B) γ Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P( A B) δ Να υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχομέου: «πραγματοποιείται έα μόο από τα Α και Β» + f ( ) - + f mιn ( )
taeeolablogspotcom α Για τη συάρτηση f πρέπει 9 9 εώ για τη συάρτηση g πρέπει + 7 + και Έτσι Α R {9} και Α R {, } Ο τύπος της συάρτησης g γράφεται: g( ) β Είαι f ( + )( + ) + ( + )( + ) + ( )( + ) 9 ( ) lm lm lm lm 9 9 9 ( 9)( + ) 9 ( 9)( + ) 9 + 6 P A + + 6 + P( B) lm lm + 7 + + Για το υπολογισμό της P( A B) βρίσκουμε αρχικά τη παράγωγο της συάρτησης g ( ) ( + + 6) ( + 7 + ) ( + + 6)( + 7 + ) g + 7 + ( ) ( + )( + 7 + ) ( + + 6)( + 7) ( + 7 + ) + ( + 7 + ) + 8 + 8 + + άρα ( Β) g ( ) + + ( + 7 + ) 7 + 8 + 8 8 Α P ( + 7 + ) 8 8 γ Από το προσθετικό όμο έχουμε : 8 P ( Α Β) P( Α) + P( Β) P( Α Β) + 6 8 8 9 δ Η πιθαότητα του ζητούμεου εδεχομέου είαι: P [( Α Β) ( Β Α) ] και επειδή τα εδεχόμεα Α Β και Β Α είαι ασυμβίβαστα από το απλό προσθετικό όμο θα έχουμε : P Α Β Β Α P Α P Α Β + P Β P Α Β P Α + P Β P Α Β [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 + 8 7 8 Άσκηση 7 η Δίεται η συάρτηση f( ) ln α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης β Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο K ( e,f( e) ) γ Να μελετήσετε τη συάρτηση ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα δ Για τα εδεχόμεα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω υποθέτουμε ότι Α Β και το Α δε είαι το αδύατο εδεχόμεο P A lnp A + P B P B lnp B + P A Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α Είαι Α (, + ) β Έστω y λ + β () η εξίσωση της ζητούμεης εφαπτομέης Επειδή λ f ( e) αρχικά α βρούμε τη παράγωγο της συάρτησης f Έχουμε : g πρέπει
taeeolablogspotcom f ( ) ( ln ) ( ) ( ) ln + ( ln ) ln + ln + ln άρα λ f ( e) lne έτσι από τη () έχουμε: y + β () Είαι f ( e) elne e e e όποτε K ( e, ) και καθώς το Κ είαι σημείο της εφαπτομέης ευθείας από τη () έχουμε : e + β β e Επομέως η εξίσωση της εφαπτομέης ευθείας στο K ( e, ) είαι y e γ Βρίσκουμε για ποια Α η f ( ) μηδείζεται f ( ) ln e Εξετάζουμε το πρόσημο της f ( ) Έχουμε : f ( ) > ln > ln > ln > και f ( ) < ln < ln < ln < Από το πίακα μεταβολώ της συάρτησης συμπεραίουμε ότι η f είαι γησίως φθίουσα στο (,], γησίως αύξουσα στο [,+ ) και για παρουσιάζει ελάχιστο, το f( ) ln + f ( ) - + f ( ) mn δ Επειδή το Α δε είαι το αδύατο εδεχόμεο είαι < P( Α) Α είαι P ( Α) P( Β) Από τα προηγούμεα προκύπτει ότι P( Α) P( Β) συάρτηση f είαι γησίως φθίουσα στο (,] έχουμε : P ( Α) P( Β) f( P( Α) ) f( P( Β) ) P ( Α) lnp( Α) P( Α) P( Β) lnp( Β) P( Β) P( Α) lnp( Α) + P( Β) P( Β) lnp( Β) + P( A) Επίσης, επειδή Β < Επειδή η Άσκηση 8 η Δίεται η συάρτηση f,δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, για τη οποία ισχύου: f (), f () και f () Δίεται ακόμα η συάρτηση g( ) f( ) + f( ), R α Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της C f στο σημείο της A (, f () ) β Να βρείτε τη παράγωγο της συάρτησης g γ Να δείξετε ότι g ( ) 9 και g ( ) 9 B,g δ Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της g στο σημείο της ( ( )) ε Να βρείτε το αριθμό R α Έστω y λ + β + λ ώστε α ισχύει: ( λ ) g ( ) + g ( ) λ + η εξίσωση της εφαπτομέης της συάρτησης f στο σημείο Α (,f ( ) ) και επειδή από τη υπόθεση f () είαι Α (, ) Έχουμε λ f ( ) οπότε y + β και καθώς το σημείο Α (, ) είαι και σημείο της εφαπτομέης ευθείας για και y έχουμε + β β Έτσι η εξίσωση της εφαπτομέης είαι y + β Επειδή g( ) f( ) + f( ) () για α βρούμε τη παράγωγο της g εφαρμόζουμε καόα παραγώγισης σύθεσης συαρτήσεω Για R έχουμε g ( ) ( f( ) ) + ( f( ) ) ( ) f( ) + ( f( ) ) + f ( )( ) f( ) + f ( )( ) + f ( )( ) f( ) + f ( ) f ( ) Άρα g ( ) f( ) + f ( ) f ( ) () γ Για από τη () προκύπτει: g ( ) f( ) + f( ) f( ) + f( ) f( ) 9 Για από τη () προκύπτει : g f + f f f + f f f + f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9
taeeolablogspotcom δ Έστω τώρα y λ + β η εξίσωση της εφαπτομέης της συάρτησης g στο σημείο Β (,g( ) ) δηλαδή στο B (,9 ) λόγω του ερωτήματος γ Είαι λ g ( ) 9 έτσι η εξίσωση της εφαπτομέης γίεται y 9 + β και καθώς το σημείο Β (,9 ) είαι και σημείο της εφαπτομέης ευθείας για και y 9 έχουμε 9 9 + β β 9 Άρα y 9 9 η η εξίσωση της ζητούμεης ευθείας ε Βρίσκουμε τη g ( ) Για R έχουμε : g ( ) ( f( ) ) + ( f ( ) ) ( f ( ) ) f ( )( ) + ( ) f ( ) + ( f ( ) ) ) f ( )( ) f ( ) + ( f ( ) + f ( ) ) + f ( ) Για g ( ) f () + ( f () + f ( ) ) + f ( ) f ( ) + 9f ( ) + 9( ) λ ή Έτσι ( λ + ) g ( ) + g ( ) λ + ( λ + )( ) + 9 λ + λ + λ λ Άσκηση 9 η Μια αυτοκιητοβιομηχαία στο εξοπλισμό κάθε αυτοκιήτου της περιλαμβάει προαιρετικά δερμάτια καθίσματα και ράδιοσιτι Στις παραγγελίες που έγια για το έτος το % τω αυτοκιήτω που κατασκευάστηκα είχα δερμάτια καθίσματα, % ράδιοσιτι εώ έα % είχα ραδιοσιτι αλλά όχι δερμάτια καθίσματα Να βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω: α Το αυτοκίητο α μη έχει ράδιοσιτι β Το αυτοκίητο α μη έχει δερμάτια καθίσματα γ Το αυτοκίητο α έχει δερμάτια καθίσματα και ράδιοσιτι δ Το αυτοκίητο α έχει δερμάτια καθίσματα ή ραδιοσιτι ε Το αυτοκίητο α μη έχει ούτε δερμάτια καθίσματα ούτε ραδιοσιτί Θεωρούμε τα εδεχόμεα : Ρ: «το αυτοκίητο έχει ράδιοσιτι» και Δ: «το αυτοκίητο έχει δερμάτια καθίσματα» με P ( Ρ ) και P ( Δ) ατίστοιχα Εργαζόμαστε με καόες λογισμού πιθαοτήτω α P ( Ρ ) P( Ρ) 6 β P ( Δ ) P( Δ) γ P( Ρ Δ) P( Ρ) P( P Δ) P( Ρ Δ) P( P) P( P Δ) P( Ρ Δ) δ P( Ρ Δ) P( Ρ) + P( Δ) P( Ρ Δ) P( Ρ Δ) + P( Ρ Δ) ε P ( ) ( Δ) % P Δ P P
taeeolablogspotcom Άσκηση η Το πλήθος σε δεκάδες χιλιάδες κομμάτια τω πωλήσεω μιας εταιρίας που παράγει t ηλεκτροικούς υπολογιστές, δίεται από τη συάρτηση P() t, t, εκφράζει σε t + μήες το χρόο κυκλοφορίας του μοτέλου από τη κυκλοφορία του στη αγορά α Να βρείτε τις πωλήσεις του μοτέλου το μήα κυκλοφορίας του στη αγορά β Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής τω πωλήσεω της εταιρείας μετά από έα μήα από τη κυκλοφορία στη αγορά εός έου μοτέλου γ Να βρεθεί η χροική στιγμή κατά τη οποία οι πωλήσεις παίρου τη μέγιστη τιμή δ Να βρεθεί η μέγιστη ποσότητα σε δεκάδες χιλιάδες κομμάτια που πουλά η εταιρία το μήα που βρέθηκε στο β ερώτημα α Για t έχουμε P( ) δεκάδες χιλιάδες κομμάτια ή + κομμάτια ()( t t + ) t( t + ) β αραγωγίζουμε τη συάρτηση P Έχουμε: P () t ( t + ) t + 8t t Ο ρυθμός μεταβολής τω πωλήσεω το ( t + ) ( t + ) ο 96 μήα κυκλοφορίας του μοτέλου είαι P (), δεκάδες ( + ) 676 χιλιάδες κομμάτια ή κομμάτια γ Κάουμε μελέτη μοοτοίας και ακροτάτω της συάρτησης τω πωλήσεω Έχουμε : P P P () t () t () t t t t ( ) t + t > ( t + ) t < ( t + ) > t < t μεταβολώ της f φαίεται στο διπλαό σχήμα Η συάρτηση τω πωλήσεω παίρει τη μέγιστη τιμή για t δ Για t έχουμε: P( ) > t < t απορ γιατί t t ή t < < t < και t > t > Ο πίακας t + P ( t) + - P(t) ma δεκάδες χιλιάδες κομμάτια +
taeeolablogspotcom Άσκηση η Οι 7 δημόσιοι υπάλληλοι δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης μιας ομαρχίας έχου μέσο μηιαίο μισθό 8 Ευρώ, εώ οι υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης έχου μέσο μισθό Ευρώ Ο μέσος μισθός όλω τω υπαλλήλω στη ομαρχία είαι 89 ευρω Α α Να βρείτε πόσοι είαι οι υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης β οιο είαι το μηιαίο οικοομικό κοδύλι που απαιτείται για τη αποπληρωμή όλω τω εργαζομέω στη ομαρχία; Β Τη η Ιαουαρίου του έτους δόθηκε αύξηση Ευρώ μηιαία σε κάθε υπάλληλο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και % σε κάθε υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης Να υπολογίσετε: α Το μέσο μισθό τω υπαλλήλω δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και το μέσο μισθό τω υπάλληλοι παεπιστημιακής εκπαίδευσης όπως θα διαμορφωθεί μετά τη αύξηση β Το έο μισθό τω εργαζομέω στη ομαρχία Θεωρούμε Δ και το αριθμό τω υπαλλήλω της δευτεροβάθμιας και παεπιστημιακής εκπαίδευσης ατίστοιχα που εργάζοται στη ομαρχία Επίσης θεωρούμε Δ και τους μέσους μηιαίους μισθούς τω υπαλλήλω της δευτεροβάθμιας και παεπιστημιακής εκπαίδευσης ατίστοιχα και ο μέσος μηιαίος μισθός όλω τω υπαλλήλω Α α Θα έχουμε: Δ Δ + 7 8 + 89 89 89 Δ + 7 + 6 + 6 + 89 89 6 6 6 Άρα έχουμε υπαλλήλους παεπιστημιακής εκπαίδευσης β Αφού οι υπάλληλοι είαι συολικά 7 + και ο μέσος μηιαίος μισθός 89Ε το συολικό ποσό που απαιτείται για τη αποπληρωμή τους είαι 89Ε κάθε μήα Β α Μετά τη η Ιαουαρίου οι έοι μέσοι μηιαίοι μισθοί διαμορφώοται ως εξής : για τους υπαλλήλους της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Δ Δ + 8 + 8 Ε εώ για τους υπαλλήλους της παεπιστημιακής εκπαίδευσης +,, Ε β Ο έος μέσος μηιαίος μισθός όλω τω υπαλλήλω μετά τη η Ιαουαρίου είαι Δ Δ + 7 8 + 9 9, Ε + 7 + Δ
taeeolablogspotcom Άσκηση η Το μέσο ύψος 7 μαθητώ της Γ λυκείου είαι 7cm και η τυπική απόκλιση είαι s 7cm Η καταομή τω μαθητώ ως προς το ύψος είαι περίπου καοική α Να αποδείξετε ότι το δείγμα τω μαθητώ της Γ λυκείου έχει ομοιογέεια ως προς το ύψος β Να εκτιμήσετε πόσοι μαθητές της Γ λυκείου έχου ύψος μεταξύ 6 cm και 79 cm γ Επιλέγοτας τυχαία έα μαθητή της Γ λυκείου α βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου Α{ το ύψος του μαθητή είαι μεταξύ 6 cm και 9 cm } δ Α κατά τη μέτρηση του ύψους όλω τω μαθητώ είχε από λάθος μετρηθεί cm περισσότερο από το πραγματικό α βρείτε πόσο είαι το «πραγματικό» μέσο ύψος ε Λαμβάοτας υπόψη τα «πραγματικά» στοιχεία του ύψους τω μαθητώ, το δείγμα σε αυτή τη περίπτωση είαι περισσότερο ή λιγότερο ομοιογεές από το δείγμα για το οποίο είχαμε λάβει υπόψη τα «πλασματικά» στοιχεία του ύψους; α Υπολογίζουμε το συτελεστή μεταβολής για το δείγμα Είαι S 7 CV,6% < % άρα πράγματι έχει ομοιογέεια ως προς το ύψος 7 το δείγμα τω μαθητώ β Επειδή η καταομή του ύψους είαι καοική στο διάστημα ( S, + S) δηλαδή από 68 6 cm ως 79 cm βρίσκουμε το 68% του δείγματος δηλαδή 7 7 6 μαθητές γ Επειδή η καταομή είαι καοική τα ύψη από 6 cm ως 9 cm ατιστοιχού στο 99,7 68 διάστημα ( S, + S) στο οποίο βρίσκουμε το 68 + 68 +,8 8,8% τω παρατηρήσεω του δείγματος Έτσι η πιθαότητα επιλέγοτας τυχαία έα μαθητή η πιθαότητα του εδεχομέου Α είαι P ( Α ), 88 δ Το «πραγματικό» μέσο ύψος θα είαι y 7 7cm ε Η τυπική απόκλιση λαμβάοτας υπόψη τα «πραγματικά στοιχεία» του ύψους τω μαθητώ δε μεταβάλλεται έτσι S y S 7cm Ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος έχοτας τη «πραγματική» μέση τιμή του ύψους είαι S y 7 CVy,% > CV y 7 αρατηρούμε ότι λαμβάοτας τα πραγματικά στοιχεία του ύψους τω μαθητώ ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος αυξάει σε σχέση με το συτελεστή μεταβολής του δείγματος που υπολογίσαμε λαμβάοτας τα «πλασματικά» στοιχεία του ύψους, δηλαδή το δείγμα με τα «πραγματικά» στοιχεία του ύψους είαι λιγότερο ομοιογεές συγκριτικά με αυτό που είχαμε αρχικά
taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίοται τα εδεχόμεα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύου: P( Α '), P( Β '), και P( Α Β) με (,) + + α Για α εξετάσετε α τα εδεχόμεα Α και Β είαι ασυμβίβαστα β Να υπολογίσετε τη πιθαότητα P ( Α Β) γ Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή της P ( Α Β) δ Να υπολογίσετε τις πιθαότητες τω εδεχομέω Α Β, Β Α ε α βρείτε το ρυθμό μεταβολής της P [( Α Β) ( Β Α) ], ότα Έχουμε: + P ( A) P( A ) ( ) και P( Β ) P( Β ) (, ) + + + α Για έχουμε P ( A) και P ( Β ) + 7 P ( Α Β) P( Α) + P( Β) + > αδύατο γιατί P( Α Β) άρα τα εδεχόμεα 6 Α και Β δε είαι ασυμβίβαστα β ( + ) + + + + P( Α Β) P( Α) + P( Β) P( Α Β) + + + + + + + δηλαδή P( Α Β) με (, ) + + γ Θεωρούμε τη συάρτηση f με f( ) P( Α Β) με (, ) + ( ) ( ) ( )( ) + + + + ( + ) ( + ) + Έχουμε f ( ) + + + + (, ) ( + ) f ( ) + ( ) + ( + ) ή + Επειδή ( + ) > για κάθε (, ) το πρόσημο της ( ) του τριωύμου + στο διάστημα (, ) της f ( ) ( ) f εξαρτάται από το πρόσημο Συμπληρώουμε το πίακα μεταβολώ + ( ) f - + f ( ) mn
taeeolablogspotcom Για + η f παρουσιάζει ελάχιστο η τιμή του οποίου είαι ( ) ( + ) + + + + f + + P είαι Έτσι η ελάχιστη τιμή της ( Α Β) + + + + P( Β Α) P( B) P( Α Β) (, ) + + + + ε P[ ( Α Β) ( Β Α) ] P( Α Β) + P( Β Α) (, ) + + + + Θεωρούμε τη συάρτηση g( ) P[ ( Α Β) ( Β Α) ] (, ) + ( ) ( ) ( )( ) ( + )( + ) ( + ) + + + + g ( ) + + δ P( Α Β) P( Α) P( Α Β) (, ) ( ) + + + + + + και για ( + ) ( + ) + + + 9 9 + g ( ) έχουμε Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f( ) + α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης f β Να βρείτε τη παράγωγο της συάρτησης f γ Να βρείτε τα ακρότατα της συάρτησης f δ Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f που είαι παράλληλη προς τη ευθεία με εξίσωση y α ρέπει + που ισχύει για κάθε πραγματικό Άρα πεδίο ορισμού είαι το A R ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + β f ( ) ( + ) ( + ) ( + ) γ Βρίσκουμε που μηδείζεται η f ( ) Έχουμε: + f ( ) + ±, θέσεις πιθαώ ακροτάτω ( + ) Κάουμε μελέτη του προσήμου της f ( ) + f ( ) > > + > < < + > + ( ) ( ) ( ) + f < < + > + < < ή > ( + ) Κατασκευάζουμε το πίακα μεταβολώ της συάρτησης f
taeeolablogspotcom f - + f ( ) - + - f ( ) ΤΕ ΤΜ Η συάρτηση f παρουσιάζει για τοπικό ελάχιστο εώ για τοπικό μέγιστο δ Αφού η εφαπτομέη ευθεία είαι παράλληλη προς τη ευθεία y θα έχει συτελεστή διεύθυσης λ Είαι όμως: λ f ( ) ( + ) ( + ) + + ( + ) ( + ) + + Για + και έχει συτελεστή διεύθυσης λ, άρα έχει εξίσωση y + + είαι f( ) Επομέως η εφαπτομέη διέρχεται από το σημείο (,) Άσκηση η Δίεται μια καταομή με τα δεδομέα της ομαδοποιημέα σε τέσσερις κλάσεις Α Να βρεθού οι συχότητες,,, τω κλάσεω ότα : ι) το lm + ιι) το ισούται με τη κλίση της γραφικής παράστασης της συάρτησης f 6ln + A,f ( ) στο σημείο ( ( )) ιιι) το είαι η τιμή για τη οποία συάρτηση g με g( ) συεχής στο σημείο + + ιv) το + + α α Βα Να συμπληρώσετε το πίακα της καταομής που ακολουθεί λαμβάοτας υπόψη τα δεδομέα του ερωτήματος Α: Κλάσεις[ - ) Συχότητα Κέτρο Σχετική Αθροιστική Αθροιστική Γιόμεα Συχότητα Συχότητα Συχότητα f % Ν F % - -6 6- -8 Άθροισμα β Να βρεθεί η μέση τιμή τω παραπάω δεδομέω γ Α οι παραπάω κλάσεις ααφέροται στις απουσίες μαθητώ της γ τάξης εός λυκείου για το μήα Μάιο και οι κλάσεις είαι ομοιόμορφα καταεμημέες α βρεθεί ο αριθμός τω μαθητώ που έχου απουσίες από 6 ως και το ποσοστό τω μαθητώ που έχου τουλάχιστο απουσίες για το μήα αυτό είαι
taeeolablogspotcom Α ι) ( )( + + ) ( )( + + ) lm lm lm + ( + )( + + ) + ( )( + + ) lm( + + ) + + + lm Άρα ιι) 6 Είαι f ( ) 6 και επειδή η κλίση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης, δηλαδή ο συτελεστής διεύθυσης, στο A (,f ( ) ) είαι ίση με 6 f ( ) θα έχουμε f ( ) 6 6 7 Άρα 7 ιιι) Για α είαι η συάρτηση g συεχής στο σημείο πρέπει lm f( ) f( ) ( + ) + + + 9 + lm ιv) + + + 7 + 6 8 Bα Από το ορισμό της σχετικής συχότητας δηλαδή από τη ισότητα f% για,,, έχουμε διαδοχικά f %, f % 7,, f % 7,%, f % Με τη χρήση του ορισμού τω αθροιστικώ συχοτήτω, απόλυτω και σχετικώ, όπως και του κέτρου κλάσης συμπληρώουμε το παρακάτω πίακα Συχότητα Κέτρο Σχετική Αθροιστική Αθροιστική Κλάσεις[ - ) Συχότητα Συχότητα Ν Συχότητα F % f % - 7 8-6 7 7, 7, 9 6-9 7, 9-8 8 Άθροισμα 778 β Από το παραπάω πίακα βρίσκουμε 778 Έτσι 778 9, γ Επειδή οι κλάσεις είαι ομοιόμορφα καταεμημέες το σύολο τω μαθητώ που έχου από 6 ως απουσίες για το μήα Μάιο είαι το άθροισμα + δηλαδή όλοι οι μαθητές της ης κλάσης και οι μισοί της ης κλάσης Είαι + + 9 μαθητές Το ποσοστό τω μαθητώ που έχου τουλάχιστο απουσίες το Μάιο είαι F 9% Γιόμεα
taeeolablogspotcom Άσκηση 6 η Η βαθμολογία τω γραπτώ μαθητώ κυμάθηκε από έως Οι βαθμοί χωρίστηκα σε κλάσεις ίσους πλάτους για τις οποίες κατασκευάζοτας τα ιστογράμματα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω καθώς και το κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω παρατηρήθηκε ότι: ι) Στο ιστόγραμμα συχοτήτω το εμβαδό του ορθογωίου της κλάσης - ισούται με ιι) Στο ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, το ύψος του ορθογωίου της κλάσης 6-8 είαι % ιιι) Στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, το τόξο που ατιστοιχεί στη κλάση -6 είαι Είαι επίσης γωστό ότι οι μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από έως είαι τετραπλάσιοι από τους μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από 8 έως, α δείξετε ότι: α Το πλάτος της κάθε κλάσης είαι β Οι μαθητές με βαθμό από 8 έως είαι γ Να γίει πίακας καταομής συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω και α βρεθεί η μέση τιμή και η διάμεσος δ Να υπολογιστεί, επιλέγοτας τυχαία έα από τους παραπάω μαθητές, η πιθαότητα το γραπτό του α έχει βαθμολογηθεί με βαθμό μεγαλύτερο από α Το εύρος είαι R και επειδή οι κλάσεις είαι ισοπλατείς το πλάτος c R είαι c κ β Για τη κλάση [,) είαι E γιατί στο ιστόγραμμα συχοτήτω το εμβαδό κάθε ορθογωίου είαι ίσο με τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης Για τη κλάση [ 6,8) είαι f %, Για τη κλάση [,6) είαι α 6 6 Α η συχότητα της κλάσης [ 8,) και η συχότητα της κλάσης [,) τότε αφού οι μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από έως είαι τετραπλάσιοι από τους μαθητές που το γραπτό τους βαθμολογήθηκε από 8 έως Επειδή + + + + + + + + και άρα γ Κατασκευάζουμε το πίακα συχοτήτω Κλάσεις f % F % [,) [,) 6 [,6) 7 [ 6,8) 7 7 9 [ 8,) 9 7 6 Άθροισμα 78 Είαι f% οπότε διαδοχικά για,,, βρίσκουμε: f%, f%, f% f %, f %6 Είαι 78 άρα 78, 76 Για α βρούμε τη διάμεσο κατασκευάζουμε το πολύγωο τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω
taeeolablogspotcom Από τα όμοια τρίγωα ΑΒΓ και ΚΔΓ έχουμε: ΚΔ ΑΒ,8 ΚΓ ΑΓ 7 6 Άρα δ +,8, 8 δ Οι μαθητές με βαθμό μεγαλύτερο του είαι + + + + έτσι η πιθαότητα α επιλέξουμε μαθητή με βαθμό μεγαλύτερο του είαι Άσκηση 7 η Δίεται ο παρακάτω πίακας συχοτήτω : Κλάσεις Κέτρα Συχότητα f N F [-9) 6 [9-6) [6-7) [7-77) [77-8) 9 [8-89) 8 [89-9) 9 Σύολο α Να συμπληρώσετε το παραπάω πίακα β Να σχεδιάσετε το πολύγωο συχοτητω και Αθροιστικώ συχοτητω γ Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο α Το κέτρο κάθε κλάσης ισούται με το ημιάθροισμα τω άκρω της κλάσης Έχουμε: 9 + 6 6 + 7 7 + 77 77 + 8 6, 68, 7, 8 8 + 89 6 86 η γραμμή του πίακα: Είαι N Επίσης Ν 7 v +v + +v 7, άρα v f, και F f, v η γραμμή: f F -f,-,, Επίσης v f v και Ν + η γραμμή: Eίαι f F -F,-,,6 και v f v 6 Επίσης Ν + +
taeeolablogspotcom η γραμμή: v f, και F F +f,6 Επίσης Ν + + + 6 v η γραμμή: v f v f v 9 και F F +f,6+,9,7 v Επίσης Ν Ν + 6+97 6 η γραμμή: v f v και Ν 6 Ν + 6 8 6 6 7 η γραμμή: v7 8 Είαι Ν 7 -Ν 6 7 άρα 7-88 και f 7, 8 v Επίσης F 7 F 6 +f 7,8+,8 Οπότε ο πίακας συμπληρωμέος έχει τη παρακάτω μορφή : Κλάσεις Κέτρα Συχότητα f N F [-9) 6,, [9-6) 6,, [6-7) 68 6,6, [7-77) 7, 6,6 [77-8) 8 9,9 7,7 [8-89) 86, 8,8 [89-9) 9 8,8 Σύολο - - - β 9 6 7 77 8 89 9 κλάσεις Ν 8 6 9 6 7 77 8 89 9 κλάσεις
taeeolablogspotcom v + v + + 7v7 76 γ Είαι 7, 6 v Από το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω βρίσκουμε τη διάμεσο δ 7 Άσκηση 8 η Το μέσο βάρος ατόμω σε έα αελκυστήρα είαι 7 κιλά Σε κάποιο όροφο μπαίει έας επιπλέο που ζυγίζει 98 κιλά α όσο είαι το έο μέσο βάρος όλω μαζί ; β Α ο αελκυστήρας μπορεί α ατέξει μέσο βάρος 8 κιλά και το πολύ 6 άτομα, μέχρι πόσα κιλά πρέπει α ζυγίζει ο έκτος επιβάτης ; α Α,,, τα βάρη τω τεσσάρω ατόμω, έχουμε + + + + + + + + + 7 88 συμβολίζουμε το βάρος του επιπλέο ατόμου που μπαίει στο αελκυστήρα, άρα 98 Το έο μέσο βάρος όλω μαζί θα είαι + + + + 88 + 98 86 ' 77, κιλά β Α 6 το βάρος του έκτου επιβάτη, και '' το μέσο βάρος όλω μαζί, θα πρέπει + + + + + 6 86 + 6 '' 8 8 8 86 + 6 8 6 9 6 6 άρα ο έκτος επιβάτης μπορεί α ζυγίζει μέχρι 9 κιλά Άσκηση 9 η Σε μια καοική καταομή, το 9,8% τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστημα (,6) Να εξετασθεί α το δείγμα είαι ομοιογεές Στη καοική καταομή γωρίζουμε πως στο διάστημα ( S, + S ) 99,7 τω τιμώ της μεταβλητής Άρα το 9,8 θα βρίσκεται στο διάστημα ( S, ) στο (, + S ) Οπότε ( S, ) (,6) () ή (, + S) (,6) () S Από τη () έχουμε 6 και S, άρα CV,,% > % 6 βρίσκεται το 9% ή, άρα το δέιγμα είαι αομοιογεές S Από τη () έχουμε και S, άρα CV, % > %, άρα το δείγμα είαι αομοιογεές Άσκηση η έτε διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί έχου μέση τιμή 8 Να υπολογιστεί ο συτελεστής μεταβολής Θέτουμε, +, +, +, + τους ζητούμεους διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς Αφού έχου μέση τιμή 8, έχουμε:
taeeolablogspotcom + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + 8 + 6 Άρα οι ζητούμεοι αριθμοί θα είαι οι 6,7,8,9, Άσκηση η Εξετάσαμε έα δείγμα μαθητώ μιας τάξης ως προς το βάρος τους και διαπιστώθηκε ότι κυμαίεται από εως 7 κιλά, εώ η καταομή τω βαρώ είαι καοική α Να βρεθεί η μέση τιμή και το εύρος β Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές γ Α το άθροισμα τω βαρώ είαι 8 κιλά, α βρεθεί το μέγεθος του δέιγματος δ Τι ποσοστό τω μαθητώ έχει βάρος το οποίο κυμαίεται μεταξύ και 6 κιλώ; α Εφόσο η καταομή τω βαρώ τω μαθητώ είαι καοική, έχουμε ( S, + S ) (,7) άρα S () και + S 7 () ροσθέτοτας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε 6 κιλά Ατικαθιστώτας στη σχέση () ή () τη μέση τιμή που βρήκαμε, έχουμε S S 6 S κιλά Το εύρος R στη καοική καταομή ισούται R 6S άρα R 6 κιλά S β Είαι CV,8 8,% <% άρα το δείγμα είαι ομοιογεές 6 Σ 8 γ Έχουμε Σ 8, οπότε 6 v μαθητές v v δ Το ποσοστό τω μαθητώ τω οποίω το βάρος βρίσκεται μεταξύ ( S, + S) (,7) είαι 9%, άρα στο διάστημα ( S, ) (,6) θα βρίσκεται το 7,% τω μαθητώ Άσκηση η Δίεται συάρτηση f με f ()(-)( -9+), єr Α Να βρεθού τα ακρότατα της συάρτησης f Β Έστω,,, 6 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, με k κ, όπου κ,,,,,6 και ατίστοιχες συχότητες,,, 6 με < < και, +, 6 + όπου,, οι τετμημέες τω σημείω στα οποία η f παρουσιάζει ακρότατα : α Να βρεθεί η μέση τιμή β Να βρεθεί η διάμεσος Α Για κάθε R έχουμε: f '( ) ( )( )( ) + f () - + - + f ΤΕ ΤΜ ΤΕ H f παρουσιάζει: - τοπικό ελάχιστο στο - τοπικό μέγιστο στο - τοπικό ελάχιστο στο
taeeolablogspotcom Β Οι τιμές της μεταβλητής θα είαι:,, 6, 8,, 6 α Αφού < <, θα είαι,, Επίσης 6, + 8 και 6 + To μέγεθος του δέιγματος θα είαι: + ++ 6 8 Σv 6 + 6 + + 8 + 8 + Άρα η μέση τιμή θα είαι 8, v 8 β Το μέγεθος του δείγματος είαι 8 άρτιος, οπότε τοποθετώτας τις τιμές σε αύξουσα σειρά, η διάμεσος θα ισούται με το ημιάθροισμα της 9 ης και ης τιμής, άρα δ + Άσκηση η Έστω Χ μια ποσοτική μεταβλητή ως προς τη οποία εξετάσαμε έα δείγμα μεγέθους και,,, οι παρατηρήσεις με μέση τιμή > και τυπική απόκλιση S Θεωρούμε και τη συάρτηση f() -( ) +S A η f() παρουσιάζει για, ελάχιστο ίσο με f() -, τότε: α Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση β Να μελετηθεί το παραπάω δείγμα ως προς τη ομοιoγέεια γ Α θεωρήσουμε ότι η καταομή τω παρατηρήσεω είαι καοική, α επιλέξουμε τυχαία μια τιμή, τι ποσοστό τω τιμώ είαι μεταξύ, και,; α Αφού η f παρουσιάζει ακρότατο στο ακρότατο (ελάχιστο) πρέπει f () Έχουμε f '( ) 9 Αφού f '() 9 ( > ) Άρα η συάρτηση f γίεται: f() -9+S Αφού δίεται ότι f() - έχουμε 9 + S S S β Είαι CV,6 6% > % άρα το δείγμα είαι αομοιογεές 6 γ Αφού η καταομή τω παρατηρήσεω είαι καοική, το ποσοστό τω τιμώ που S, + S, θα είαι 68% βρίσκοται στο διάστημα ( ) ( ) Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f ( ) + + ( μ μ + ) Να βρεθεί το μ> εά γωρίζουμε ότι η μέγιστη τιμή της f είαι το Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f '( ) + ( ) Είαι: f ()> για < και f ()< για > Άρα στο, η f παρουσιάζει μέγιστο Είαι f () 8 + 6 + ( μ μ + ) μ μ + μ (αφού μ>)
taeeolablogspotcom Άσκηση η Έστω Α, Β εδεχόμεα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με P(A) < P(B) και η συάρτηση f ( ) + 6 με R Α P(A), P(B) είαι οι τιμές τω τοπικώ ακρότατω της f α βρείτε τα P(A), P(B) και α εξετάσετε α τα Α και Β είαι ασυμβίβαστα Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f '( ) + 6 f '( ) ( )( ) + f () + - + f Στο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, ίσο με f() Στο η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, ίσο με f() Αφού Ρ(Α)<Ρ(Β), έχουμε Ρ(Α) και Ρ(Β) Α τα εδεχόμεα Α και Β είαι ασυμβίβαστα, τότε Ρ(ΑUΒ)Ρ(Α)+Ρ(Β) + > το οποίο είαι αδύατο, άρα τα Α και Β δε είαι ασυμβίβαστα Άσκηση 6 η Η καταομή τω σχετικώ συχοτήτω τω βαθμώ φοιτητω μιας αεπιστημιακής Σχολής οι οποίοι εξεταστηκα επιτυχώς σε έα μάθημα, δίεται από το παρακάτω πίακα: Βαθμοί 6 7 8 9 Σχετική Συχότητα f,,,,8,,8 Α Να υπολογίσετε πόσοι φοιτητές: α πήρα βαθμό ίσο με 6 β πήρα βαθμό μικρότερο του 8 γ ήρα βαθμό τουλάχιστο 7 Β Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω Γ Να βρείτε τη μέση τιμή τω βαθμώ v Αφού f έχουμε v f v Οπότε: v,,,,,,,86,,, 6,86
taeeolablogspotcom Βαθμοί v f N, 6, 8 7, 8 6,8 6 9, 8 6,8 Σύολο - Α α βαθμό ίσο με 6 πήρα φοιτητές β βαθμό μικρότερο του 8 πήρα + + φοιτητές γ βαθμό τουλάχιστο 7 πήρα + + + 6 φοιτητές Β N 8 6 8 6 7 8 9 Σv + + 8 + 88 + 6 + 6 Γ 7, v Άσκηση 7 η Δίεται η συάρτηση f ( ) ( ) Να βρείτε σε ποιό σημείο της f, ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης ευθείας είαι ίσος με Στη συέχεια α βρείτε τη τιμή του γ ώστε η ευθεία y+γ α εφάπτεται στη f, στο σημείο που βρήκατε πρι Έστω Μ(,f( )) το ζητούμεο σημείο Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της f στο σημείο Μ είαι λf ( ) και αφού ισούται με, f ( ) Επειδή f ()(-) έχουμε f ( ) ή -6 ή H τεταγμέη του σημείου Μ θα είαι: f() Άρα το ζητούμεο σημείο είαι το Μ(,) Για α εφάπτεται η ευθεία y+γ στη f στο σημείο Μ(,) πρέπει οι συτεταγμέες του σημείου α επαληθεύου τη εξίσωσή της, δηλαδή +γ άρα γ-8
taeeolablogspotcom Άσκηση 8 η Δίεται η συάρτηση f()(+) + α Να μελετήσετε τη παραπάω συάρτηση ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα β Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της f, στο σημείο Α(-,f(-)) γ Να βρείτε το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζεται από τη παραπάω εφαπτομέη και τους άξοες και yy α Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f '( ) ( + ) - + f (χ) - + f H f είαι γησίως φθίουσα στο (,-] γησίως αύξουσα στο [-, + ) παρουσιάζει ελάχιστο στο - β Έστω yλ+β η εξίσωση της ζητούμεης ευθείας Είαι λf ( )f (-) Οπότε η εξίσωση γίεται y+β H τεταγμέη του σημείου επαφής είαι f(-) Επομέως Α(-,) Οι συτεταγμέες του σημείου Α επαληθεύου τη εξίσωση της εφαπτομέης, άρα: (-)+β ή β Η εφαπτομέη της f στο σημείο Α(-,) θα έχει εξίσωση y+ γ Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας y+ με τους άξοες και yy Για το θέτουμε y και έχουμε: + ή - Άρα το σημείο είαι το Β(-,) Για το yy θέτουμε και έχουμε: y Άρα το σημείο είαι το Γ(,) Το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζεται από τη παραπάω εφαπτομέη και τους OB OΓ άξοες και yy θα είαι E τμ Άσκηση 9 η Δίεται η συάρτηση f()α -β +- Nα βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε η συάρτηση f α έχει ακρότατα στα σημεία και Στη συέχεια α μελετήσετε τη f ως προς τη μοοτοία ακρότατα Εφόσο η συάρτηση f έχει ακρότατα στα σημεία και, θα πρέπει f () και f () Eίαι f ()α -6β+ f '() a 6β + α β + α β () f '() α 6β + 8α β + α β () Αφαιρώτας κατα μέλη τις () και () έχουμε: α και ατικαθιστώτας στη () ή τη () προκύπτει β Άρα η συάρτηση γράφεται: f() -9 +- Η f είαι παραγωγίσιμη στο R με f () -8+(-)(-)
taeeolablogspotcom + f () + - + f TM TE H f είαι: Γησίως αύξουσα στο (,] και στο [, + ) Γησίως φθίσουσα στο [,] Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ίσο με f()8, και τοπικό ελάχιστο στο, ίσο με f() Άσκηση η Δύο φίλοι Α και Β λύου έα πρόβλημα μαθηματικώ Η πιθαότητα α το λύσει τουλάχιστο έας από τους δύο είαι, εώ η πιθαότητα α το λύσου και οι δύο είαι Α η πιθαότητα α μη λύσει το πρόβλημα ο Α είαι / α υπολογιστεί: α Η πιθαότητα α μη λύσει το πρόβλημα ο Β β Η πιθαότητα α λύσει το πρόβλημα μόο ο Β γ η πιθαότητα α λύσει το πρόβλημα μόο ο Α ή μόο ο Β Θεωρούμε τα εδεχόμεα: Α{ο Α λύει το πρόβλημα τω μαθηματικώ} και Β{ο Β λύει το πρόβλημα τω μαθηματικώ} Είαι Ρ(ΑUΒ) και Ρ(Α Β) Επίσης Ρ(Α ) α Ζητείται η πιθαότητα Ρ(Β ) Αφού Ρ(Α ) τότε Ρ(Α)- Είαι Ρ(ΑUΒ)Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) άρα Ρ(Β) Ρ(ΑUΒ)-Ρ(Α)+ Ρ(Α Β) ή Ρ(Β) - + β Ρ(Β-Α)Ρ(Β)-Ρ(Α Β) - γ Είαι Ρ(Α-Β)Ρ(Α)-Ρ(Α Β) - 6 Ζητείται η Ρ[(Α-Β)U(B-A)] Ρ(Α-Β)+ Ρ(Β-Α) + Άσκηση η Θεωρούμε τη συάρτηση f()α +β -+ α Να βρείτε τους αριθμούς α, β για του οποίους ισχύει f (-) f () β Α α και β, τότε α βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f α Η παράγωγος f () της f, είαι f ()α +β- f (-) οπότε α-β- () και f () δηλαδή α+β- ()
taeeolablogspotcom ροσθέτωτας τις () και () κατά μέλη έχουμε 6α-6 δηλαδή α Και ατικαθιστώτας α σε μία από τις () και () έχουμε β β Η f() - είαι παραγωγίσιμη στο R με f ()6 + f () - + f Στο (,] η f είαι γησίως φθίουσα και στο [, + ) η f είαι γησίως αύξουσα Στο σημείο η f παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με f()-