ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 6o Εγραστήριο Σ.Α.Ε

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 6o Εγραστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα: Προσομοίωση Σ.Α.Ε. με το πρόγραμμα Comprehensive Control Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Κατά τη διεξαγωγή της εργαστηριακής άσκησης θα χρησιμοποιηθεί το πρόγραμμα προσομοίωσης Comprehensive Control (CC). Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η χρησιμοποίηση του προγράμματος προσομοίωσης CC για τη μελέτη των Σ.Α.Ε 4

Περιεχόμενα ενότητας Γενικά για τo Πρόγραμμα Προσομοίωσης Cc Παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS Μορφές συνάρτησης μεταφοράς Διαγράμματα BODE Περιθώρια κέρδους και φάσης Σχεδίαση του Γεωμετρικού τόπου των ριζών Χώρος κατάστασης Ανάδραση μεταβλητών κατάστασης Eργαστηριακή άσκηση 5

Γενικά για τo Πρόγραμμα Προσομοίωσης Cc (1) Για την σωστή σχεδίαση και ανάπτυξη ενός Συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου απαιτούνται γνώσεις στα Μαθηματικά στην Φυσική στην Μηχανική στην Ηλεκτρολογία Ηλεκτρονική. Σήμερα υπάρχουν διάφορα προγραμματιστικά πακέτα τα οποία αναλαμβάνουν να μας απαλλάξουν από πολύπλοκες πράξεις, δίνοντας μας έγκυρα και γρήγορα τα επιθυμητά αποτελέσματα, όπως επίλυση πολύπλοκων μαθηματικών πράξεων, εξαγωγή γραφημάτων, σχεδίαση ηλεκτρικών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων κ.τ.λ. Δύο πολύ γνωστά πακέτα τα οποία εξειδικεύονται τόσο στα Αναλογικά Σ.Α.Ε. όσο και στα Ψηφιακά Σ.Α.Ε. είναι το MATLAB και CC ( Comprehensive Control ). 6

Γενικά για τo Πρόγραμμα Προσομοίωσης Cc (2) Αναφορικά το πρόγραμμα CC (Comprehensive Control) είναι ένα πακέτο υπολογισμού και σχεδίασης συστημάτων ελέγχου το οποίο παρουσιάζει εκτεταμένες ικανότητες όσον αφορά τους ακόλουθους τύπους γραμμικών Σ.Α.Ε. 1. Αναλογικά 2. Ψηφιακά 3. Βέλτιστα 4. Πολυμεταβλητά Τα παραπάνω συστήματα μπορεί να είναι αναλογικά ψηφιακά η διακριτού χρόνου. Το πρόγραμμα λειτουργεί σε MS DOS ή σε WINDOWS και η σχεδίαση των συστημάτων γίνεται μέσω εντολών που πληκτρολογούνται από τον χρήστη μαζί με τις κατάλληλες παραμέτρους. 7

Παρουσίαση των PROMPTS του COMPREHENSIVE CONTROL Τα prompts του CC μέσα από τα οποία αναλύουμε τις διάφορες συναρτήσεις συνεχούς και διακριτού χρόνου είναι τα εξής : CC > Συναρτήσεις μετασχηματισμού Laplace ( Αναλογικά Σ.Α.Ε. ) DIG > Συναρτήσεις μετασχηματισμού Zeta ( Ψηφιακά Σ.Α.Ε. ) STATE > Πίνακες στο χώρο κατάστασης εξισώσεων διαφορών και διαφορικών εξισώσεων DATA > Επεξεργασία αρχείων δεδομένων MACRO > Κειμενογράφος για μακροεντολές 8

Συνοπτική παρουσίαση των εντολών του Compreh. Control (1) 9

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε 1. Εντολή : ENTER CC > enter Option >1 MS DOS (1) 1 = transfer function ( command GENTER ) 2 = transfer function, z^-1 notation ( command ZENTER ) 3 = transfer function, shorthand notation...( command SENTER ) 4 = transfer function matrix ( command HENTER ) 5 = function of transfer functions ( command FENTER ) 6 = real matrix or state space quadruple..( command PENTER ) 13

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (2) 7 = complex matrix..(command CENTER ) 8 = real or complex data file.. ( command DENTER ) 9 = time series, real vector data file ( command INPUT Enter transfer function > f Enter each polynomial as follows : order, coefficients high to low For example, enter 1*s^3+2*s^2+3*s+4 as follows : 3,1,2,3,4 Enter # of polynomials in numerator > 2 Enter poly # 1 > 1,1,1 Enter poly # 2 > 1,2,3 14

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών Enter # of polynomials in denominator > 2 Enter poly # 1 > 2,1,2,4 Enter poly # 2 > 3,2,5,2,4 CC > genter, f, 2, 1,1,1, 1,2,3, 2, 2,1,2,4, 3,2,5,2,4 του πακέτου CC σε MS DOS (3) Παρατήρηση : Δίνοντας την genter μαζί με το όνομα της συνάρτησης g και τους συντελεστές της παίρνουμε απ ευθείας την επιθυμητή συνάρτηση 15

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (4) 2. Εντολή : ILT ( α ). Παρουσίαση της εντολής ILT 16

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (5) Εντολή : ILT ΣΥΝΕΧΕΙΑ ( β ). Θεωρητική απόδειξη της F(t) 17

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (6) 3. Εντολή : IZT Η εντολή IZT μας επιστρέφει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Z μιας διακριτής συνάρτησης. ( α ). Παρουσίαση της εντολής IZT CC > dig Now in digital mode Enter sample time T > 0.1 Sample time T = 0.1, Rate 1/T = 10 Foldover Pi/T = 31.41593 DIG > genter, f, 2, 1,1,1,1,1,0, 1, 2,1,1,1 18

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (7) Εντολή : IΖT ΣΥΝΕΧΕΙΑ ( γ ). Θεωρητική απόδειξη της F(n) 19

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (8) Εντολή : IΖT ΣΥΝΕΧΕΙΑ 20

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (9) Εντολή : IΖT ΣΥΝΕΧΕΙΑ 21

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (10) 4. Εντολή : BODE Παρουσίαση της εντολής BODE. CC > f = (s+100)^4/(s*(s+5)*(s^2+2*s+5)) CC > frequency, f, 0.1, 200, 1000, 0 FREQ data file created CC > bode Enter [ # ; REDO ; or tf, REDO ] > 3 22

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών 1 = Mag(G) 2 = Phase(G) 3 = Mag(G) and Phase(G) REDO = Previous transfer function, previous parameters Tf, REDO = New transfer function, previous parameters Automatic entry of remaining parameters? [ AUTO = yes, default = no ] > y του πακέτου CC σε MS DOS (11) 23

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (12) Εντολή : BODE ΣΥΝΕΧΕΙΑ 24

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (13) 5. Εντολή : ROOT LOCUS Παρουσίαση της εντολής ROOT LOCUS Να χαραχθεί το διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ. της Χ.Ε. του συστήματος το οποίο έχει συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου. Και να σχεδιαστεί το κατάλληλο διορθωτικό κύκλωμα που θα μας δώσει απόκριση χρόνου με χαρακτηριστικά: M p 10948. t 03. sec p GH( s) K s ( s 3 ) ( s 50 ) 25

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών Εντολή : ROOT LOCUS ΣΥΝΕΧΕΙΑ α ) Σχεδίαση Γ.Τ.Ρ. της Χ.Ε. CC > f=1/(s*(s+3)*(s+50)) CC > root locus, f Στο παραπάνω διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ. της Χ.Ε. με την βοήθεια του Cursor (option C) υπολογίζουμε την κρίσιμη συχνότητα. η οποία και είναι η ωcr = 12.25 rad/sec για Κ = 7950. του πακέτου CC σε MS DOS (14) 26

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (15) Εντολή : ROOT LOCUS ΣΥΝΕΧΕΙΑ 27

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (16) Επιλέγοντας το ( I ) βλέπουμε τους πόλους ( poles ) καθώς και τα μηδενικά ( zeros ) της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού ( Open Loop )καθώς και την αντίστοιχη γωνία ( angle ). Η τιμή Center of gravity μας δίνει το σημείο στο οποίο τέμνονται οι ασύμπτωτες ευθείες.η τιμή Asymptotic infinite patterns μας επιστρέφει το πλήθος των ασύμπτωτων ευθειών για την περίπτωση που το Κ > 0. Η τιμή Angle μας δίνει τις γωνίες των ασύμπτωτων ευθειών με τον οριζόντιο άξονα. Η τιμή Breakpoint μας επιστρέφει το σημείο αποχώρησης των κλάδων του Γ.Τ.Ρ. από τον πραγματικό άξονα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση για Κ > 0 είναι ίσο με 1.476821 για Κ = 109.1511 Gain. Για τις αρνητικές τιμές του Κ το σημείο αυτό είναι το 33.85651 για Κ = - -16865 28

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (17) Εντολή : ROOT LOCUS ΣΥΝΕΧΕΙΑ Option > N Με την επιλογή Ν παίρνουμε τον συμπληρωματικό διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ. για αρνητικές τιμές του Κ. 29

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε MS DOS (18) 30

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε WINDOWS (1) Θα αναλύσουμε μερικές από τις βασικότερες εντολές του προγράμματος CC για την ανάλυση και σχεδίαση των συστημάτων ελέγχου. Το πρόγραμμα βασίζεται στην εισαγωγή μιας σειράς εντολών στην ενεργό γραμμή του παράθυρου εντολών. 31

Αναλυτική παρουσίαση μερικών εντολών του πακέτου CC σε WINDOWS (2) Function ENTER για την εισαγωγή συνάρτησης μεταφοράς. Από αυτό το παράθυρο μπορούμε να εισάγουμε κάθε ένα από τα πολυώνυμα του αριθμητή και του παρονομαστή της Σ.Μ. 32

Μορφές συνάρτησης μεταφοράς Το πρόγραμμα διαθέτει εντολές με τις οποίες φέρουμε τις Σ.Μ σε διάφορες μορφές χρήσιμες για τη μελέτη μας. 33

Ανάπτυξη της Σ.Μ σε άθροισμα μερικών κλασμάτων 34

Εύρεση αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace 35

Διασύνδεση συστημάτων Απλοποιήσεις Σ.Μ 36

Χρονική απόκριση 37

Διαγράμματα BODE Περιθώρια κέρδους και φάσης (1) Το πρόγραμμα CC διαθέτει τη δυνατότητα σχεδίασης διαφορετικών τύπων διαγραμμάτων (Bode, Nyquist, Nichols κ.α). Παρακάτω δίνονται οι διάφοροι τρόποι σύνταξης της εντολής bode(g) με την οποία σχεδιάζεται το διάγραμμα Bode (πλάτος και φάση ) της Σ.Μ. καθώς και της εντολής margin(g) με την οποία υπολογίζονται τα περιθώρια κέρδους και φάσης. 38

Διαγράμματα BODE Περιθώρια κέρδους και φάσης (2) 39

Διαγράμματα BODE Περιθώρια κέρδους και φάσης (3) 40

Σχεδίαση του Γεωμετρικού τόπου των ριζών (1) 41

Χώρος κατάστασης (1) 44

Χώρος κατάστασης (2) 45

Ανάδραση μεταβλητών κατάστασης (1) 46

Ανάδραση μεταβλητών κατάστασης (2) 47

Eργαστηριακή άσκηση (1) Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς ενός αυτόματου συστήματος πλοήγησης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί στην αεροδυναμική ευστάθεια του, κάνοντας την πτήση ποιο σταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί με την βοήθεια του Comprehensive Control. 48

Eργαστηριακή άσκηση (2) Συγκεκριμένα ζητείται : ( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. ( γ ). Να σχεδιαστεί η βηματική και η κρουστική απόκριση του συστήματος ανοιχτού και κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση. Θεωρητική απόδειξη. ( δ ). Να ελεγχθεί ως προς την ευστάθεια το σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηση ( routh stability ). Θεωρητική απόδειξη. ( ε ). Να χαραχθεί το διάγραμμα Bode του κλειστού συστήματος μοναδιαίας ανατροφοδότησης και έπειτα να σχεδιαστούν οι ασύμπτωτες πάνω στο διάγραμμα Bode. Να αποδειχθεί και θεωρητικά. 49

Eργαστηριακή άσκηση (3) Για να απαντήσετε στα 2 πρώτα ερωτήματα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. 50

Eργαστηριακή άσκηση (4) Οπότε : 51

Eργαστηριακή άσκηση (5) Για να απαντήσετε στο Γ ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. 52

Eργαστηριακή άσκηση (6) Άρα έχουμε: Εφαρμόζουμε αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace : Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές επαληθεύουν την γραφική παράσταση. 53

Eργαστηριακή άσκηση (7) Για να απαντήσετε στο Δ ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. Θεωρητική απόδειξη : Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου για Κ=1 (stability ) δίνεται από την σχέση p(s) στην οποία θα εφαρμόσουμε το κριτήριο Routh. Προφανώς το σύστημά για Κ=1 είναι ευσταθές αφού οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. 54

Eργαστηριακή άσκηση (8) Για να απαντήσετε στο Ε ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. Θεωρητική απόδειξη : Θέτουμε s=j*ω στην συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s)H(s) Οπότε έχουμε : Γωνιακές συχνότητες\θλάσης ω1= ω2=1 rad/sec ω3= 2 rad/sec 55

Eργαστηριακή άσκηση (9) Η φάση δίνεται από τον παρακάτω τύπο. Έτσι για διάφορες τιμές του ω προκύπτει ο ποιο κάτω πίνακας. Οι τιμές αυτές επαληθεύουν το διάγραμμα φάσης. 56

Eργαστηριακή άσκηση (10) Για να απαντήσετε στο ΣΤ ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. 57

Eργαστηριακή άσκηση (11) 58

Eργαστηριακή άσκηση (12) Για να απαντήσετε στο Z ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος C C. 59

Eργαστηριακή άσκηση (14) Pole Zero mapping : Εφαρμόζοντας την μεθοδολογία που αναπτύξαμε σε σχετική ενότητα (εντολή CONVERT) 61

Eργαστηριακή άσκηση (17) Για να απαντήσετε στο Η ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. 64

Eργαστηριακή άσκηση (18) Από την y(n) εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος συμπίπτει με τις τιμές των αποτελεσμάτων μας. 65

n n Z e n e n y z F z Y 2 1 T, ] [ 5 3.97 3.98) 1.991 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 Eργαστηριακή άσκηση (19) Κρουστική απόκριση ανοιχτού συστήματος. Ομοίως : 66

Eργαστηριακή άσκηση (20) Από την y(n) εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος συμπίπτει με τις τιμές των αποτελεσμάτων μας 67

Eργαστηριακή άσκηση (21) Για να απαντήσετε στο Θ ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. Για να απαντήσετε στο Ι ερώτημα γράψτε τις κατάλληλες εντολές του προγράμματος CC. 68

Eργαστηριακή άσκηση (22) Μελέτη ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ με την εντολή Stability 69

Eργαστηριακή άσκηση (23) Αναλογιστείτε τα συμπεράσματα ως προς το εάν τα αποτελέσματα της προσομοίωσης επαληθεύουν τα αποτελέσματα των θεωρητικών αποδείξεων. 70

Τέλος Ενότητας