Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47
Περιεχόµενα I. Θεωρήµατα Wedderburn Κλασικά αποτελέσµατα II. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn III. Σχέσεις µηδενιστικών, δυϊκών και ψευδο-h-(τοπολογικών) αλγεβρών - Υλοποίηση συµπληρουσών απεικονίσεων µέσω µηδενιστών - Ψευδο-Hilbert-άλγεβρες ως δυϊκές άλγεβρες IV. Μητρικές αναπαραστάσεις αλγεβρών Ambrose Βιβλιογραφία 2 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Εισαγωγή Οι µηδενιστικές απεικονίσεις παίζουν σπουδαίο ϱόλο σε Wedderburn αναλύσεις τοπολογικών αλγεβρών, όπως των συµπληρούµενων τοπολογικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1993] µηδενιστικών αλγεβρών [Μ.Χ. 1994] αλγεβρών Ambrose [Μ.Χ. 1995, 2004, 2007] και ψευδο-h-αλγεβρών [Μ.Χ. 2011]. Η ουσία σε οποιαδήποτε θεωρία δοµής τύπου Wedderburn είναι καταρχάς, η ύπαρξη ταυτοδύναµων στοιχείων. Μέσω των µηδενιστών ορίζονται δύο κλάσεις τοπολογικών αλγεβρών οι µηδενιστικές και οι δυϊκές τοπολογικές άλγεβρες. Μία δυϊκή άλγεβρα είναι µηδενιστική. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Μέσω συνθηκών και H-(τοπολογικών δοµών) οι έννοιες µηδενιστική άλγεβρα και δυϊκή άλγεβρα συµπίπτουν [Μ.Χ. 2012]. 3 / 47
Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47
Ι. Θεωρήµατα Wedderburn - Κλασικά αποτελέσµατα Η ϑεωρία Wedderburn ξεκίνησε στις αρχές του 1900 και οδήγησε στην περίφηµη εργασία του, όπου ο Joseph Henry Maclagan Wedderburn παρουσίασε κοµψές δυνατές αναλύσεις µοναδιαίων αλγεβρών µέσω απλούστερων υποδοµών ή ακόµη µέσω αλγεβρών πινάκων. Οι αποδείξεις που έδωσε ο Wedderburn ϐασίζονται στην ύπαρξη κάποιων στοιχείων (πρωταρχικά, ταυτοδύναµα) που αποτελούν τους γεννήτορες των υποδοµών που εµπλέκονται στις αναλύσεις. Οµως ο Wedderburn περιορίστηκε στην πεπερασµένη διάσταση. 4 / 47
Για µοναδιαίες προσεταιριστικές άλγεβρες τα ϑεωρήµατα δοµής Wedderburn διατυπώνονται ως εξής : Το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn - Αναγωγή σε άλγεβρες που είναι µηδενοδύναµες και ηµιαπλές αντίστοιχα Μία πεπερασµένης διάστασης άλγεβρα A (υπεράνω ενός σώµατος χαρακτηριστικής 0) µε ριζικό Jacobson R(A), αναλύεται (µέσω ενός ισοµορφισµού διανυσµατικών χώρων) στο ευθύ άθροισµα του R(A) και µιάς ηµιαπλής υπάλγεβρας B, που είναι µοναδική (ως προς έναν ισοµορφισµό). 5 / 47
Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie (1888-1890) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47
Το πρώτο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε απλές άλγεβρες (εµπνευσµένο από το ϑεώρηµα Cartan-Killing για άλγεβρες Lie (1888-1890) ϐάσει του οποίου, έχουµε ουσιαστικά, ταξινόµηση των πεπερασµένης διάστασης ηµιαπλών αλγεβρών Lie). Κάθε ηµιαπλή άλγεβρα εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο (εκτός από τη σειρά) ως το ευθύ άθροισµα απλών 2-πλευρων ιδεωδών. Επίσης, ο Cartan απέδειξε ότι στην πεπερασµένη διάσταση, κάθε ηµιαπλή άλγεβρα υπεράνω του σώµατος των πραγµατικών ή ακόµα του σώµατος των µιγαδικών αριθµών είναι ευθύ άθροισµα full µητρικών αλγεβρών. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει, γενικότερα, όταν οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω αυθαίρετων σωµάτων και οφείλεται στον Wedderburn. 6 / 47
Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47
Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn - Αναγωγή σε µητρικές και διαιρετικές άλγεβρες Κάθε απλή άλγεβρα A µπορεί να εκφραστεί ως το ευθύ γινόµενο A = M D, όπου M είναι µία ολική άλγεβρα πινάκων και η D είναι µία διαιρετική άλγεβρα (και οι δύο άλγεβρες είναι µοναδικές ως προς ισοµορφισµούς). Μία παραλλαγή του τελευταίου αποτελέσµατος διατυπώνεται ως εξής : 7 / 47
Θεώρηµα - Μητρική αναπαράσταση Μία πεπερασµένης διάστασης, µοναδιαία άλγεβρα (υπεράνω ενός σώµατος F χαρακτηριστικής 0) είναι απλή αν και µόνο αν A = M n (D) για κάποιον ακέραιο n 1 και κάποια διαιρετική άλγεβρα D υπεράνω του F. Στην περίπτωση που το F είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε A = M n (F) για κάποιο θετικό ακέραιο n. 8 / 47
Στο πλαίσιο της αφηρηµένης άλγεβρας, διαπιστώνεται µια αξιόλογη παρουσίαση των ϑεωρηµάτων δοµής για διαφορετικές κλάσεις προσεταιριστικών ή ακόµη µη προσεταιριστικών αλγεβρών µε την έννοια του Wedderburn. Για παράδειγµα, έχει αναπτυχθεί µια δοµική ϑεωρία από τον ίδιο τον Wedderburn για την κλάση των προσεταιριστικών αλγεβρών όπως έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω. Για το κύριο (πρωταρχικό) ϑεώρηµα Wedderburn, και για την προσεταιριστική περίπτωση υπάρχουν εργασίες από τους Albert, Campbell, Chaffer, Hemminger kai Rodabaugh. Σχετικές εργασίες έχουν δοθεί από τον Helemskii για µη µεταθετικές συµµετρικές άλγεβρες και τον Kolesnikov για σύµµορφες (conformal) άλγεβρες. Για εναλλάσσουσες (alternative) άλγεβρες από τους Schafer, Smith, ενώ για άλγεβρες Jordan από τους Albert, Khan, Penico, Thedy. το κύριο ϑεώρηµα Wedderburn έχει αντιµετωπιστεί για ορισµένα τριπλά συστήµατα ( Kamiya). οµική ϑεωρία Wedderburn σε άλγεβρες Banach έχει δοθεί από τους Curtis, Bade-Dales, Feldman, Johnson, Solovej και τον White. - Ανάλυση ή και ισχυρή ανάλυση Wedderburn (Wedderburnian άλγεβρα, η ονοµασία οφείλεται στον Glaeser). 9 / 47
Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47
Τι κοινό έχουν οι θεωρίες δοµής τύπου Wedderburn Το πρότυπο της δοµικής ϑεωρίας είναι, κατά κάποιο τρόπο, αξιοσηµείωτα παρόµοιο. Πράγµατι, και στις δύο περιπτώσεις την προσεταιριστική και την µη- προσεταιριστική, καθορίζεται η έννοια ενός ϱιζικού, και όταν είναι µηδέν, κάθε άλγεβρα, όπως περιγράφηκε παραπάνω, αναλύεται σε ένα πεπερασµένο άθροισµα απλών υπο-δοµών που µοιράζονται ορισµένα χαρακτηριστικά κληρονοµούµενα σε αυτές, από την αρχική άλγεβρα. 10 / 47
Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47
Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47
Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47
Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47
Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47
Στις µη-νορµαρισµένες τοπολογικές άλγεβρες, χρησιµοποιούµε τις ακόλουθες ονοµασίες : Το πρώτο θεώρηµα δοµής, για να υποδηλώσουµε τις εκφράσεις είτε µέσω του ϐάθρου είτε µέσω µιας οικογένειας αξόνων της τοπολογικής άλγεβρας. ( Υπαρξη ελαχίστων ιδεωδών - Οικονοµικές Αναλύσεις). Το κύριο (πρωταρχικό) θεώρηµα δοµής Wedderburn, για διασπάσεις µέσω του ϱιζικού. Η ονοµασία αυτή είναι η συνήθης. Το δεύτερο θεώρηµα δοµής Wedderburn για εκφράσεις µέσω τοπολογικά απλών υπο-δοµών (ιδεώδη). Και Το τρίτο θεώρηµα δοµής Wedderburn όταν µία τοπολογική άλγεβρα µπορεί να ϑεωρηθεί ως άλγεβρα πινάκων. 11 / 47
ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47
ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47
ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47
ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47
ΙΙ. Ψευδο-H-δοµές Κανονικές µηδενιστικές άλγεβρες Θεωρήµατα Wedderburn Ολοι οι διανυσµατικοί χώροι και οι άλγεβρες λαµβάνονται υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και οι άλγεβρες ϑεωρούνται προσεταιριστικές. Ορισµός Ενας ψεύδο-h-χώρος είναι ένας διανυσµατικός χώρος E εφοδιασµένος µε µία οικογένεια (<, > α ) α A ϑετικά ηµι-ορισµένων (: ψευδο-)εσωτερικών γινοµένων έτσι ώστε η επαγόµενη τοπολογία κάνει τον E τοπικά κυρτό χώρο. Μία ψεύδο-h-άλγεβρα είναι ένας ψεύδο-h-χώρος και άλγεβρα που είναι τοπικά κυρτή µε χωριστά συνεχή πολλαπλασιασµό (ή ακόµη m-κυρτή). Η τοπολογία µιάς ψεύδο-h-άλγεβρας E ορίζεται από µία οικογένεια ηµινορµών (p α ) α A έτσι ώστε p α (x) =< x, x > 1/2 α για κάθε x E. 12 / 47
Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47
Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47
Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47
Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47
Ορισµός Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E καλείται αριστερά modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα αν ικανοποιεί τις συνθήκες : (1) Οποιοδήποτε αριστερό ή δεξιό ιδεώδες I στην E µε I = (0) είναι πυκνό στην E (ιδιότητα της πυκνότητας). (2) M M l(e) M = (0) και M είναι ένα αριστερό ιδεώδες για κάθε M M l (E) (ιδιότητα της τοµής). γνησίως αριστερά προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα αν E = M M για κάθε µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E. 13 / 47
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην ιδιότητα τοµής, η δεύτερη συνθήκη ικανοποιείται για οποιαδήποτε ψεύδο-h-άλγεβρα (E, (<, > α ) α A ) που έχει την ιδιότητα: Για κάθε x E, υπάρχει, x E µε < xy, z > α =< y, x z > α για όλα τα α A. για κάθε α A. (Θεωρούµε για παράδειγµα µία τοπικά κυρτή H -άλγεβρα - το υπόβαθρο των αλγεβρών Ambrose ). 14 / 47
Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47
Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47
Θεωρία οµής Μία ψεύδο-h-άλγεβρα E έχει αριστερά την ιδιότητα Peirce αν ικανοποιεί τη συνθήκη: Αν x 0 είναι µία δεξιά µονάδα για την E modulo ένα µέγιστο κανονικό αριστερό ιδεώδες M της E, τότε x 0 M και το M είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Η τελευταία ορολογία δικαιολογείται από το γεγονός ότι η ιδιότητα Peirce οδηγεί στην ανάλυση Peirce για Hausdorff ψεύδο-h-άλγεβρες. Για ευκολία µία ψεύδο-h-άλγεβρα που ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce αριστερά και δεξιά καλείται συντόµως Peirce H-άλγεβρα. 15 / 47
Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47
Πρώτο Θεώρηµα οµής Εστω (E, (p α ) α A ) µία ηµιαπλή Hausdorff γνησίως προσυµπληρούµενη H-άλγεβρα, που ικανοποιεί την ιδιότητα της πυκνότητας. Τότε η E είναι µία Q modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα µε πυκνό ϐάθρο. 16 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Βήµατα της απόδειξης Η E, ως µη ϱιζική, περιέχει γνήσια κανονικά αριστερά ιδεώδη και άρα περιέχει µέγιστα ιδεώδη τέτοιου τύπου. Αποδεικνύουµε ότι η E ικανοποιεί την ιδιότητα Peirce και εποµένως γίνεται µία Q -άλγεβρα. Από την ηµιαπλότητα, ικανοποιείται επίσης η ιδιότητα της τοµής. Ετσι η E είναι µία modular συµπληρούµενη H-άλγεβρα. Η µεγιστότητα ενός ιδεώδους, έστω M, όπως προηγουµένως, δίνει ένα ελάχιστο αριστερό ιδεώδες M και έτσι το αριστερό ϐάθρο της E ορίζεται. Ανάλογα, οδηγούµαστε στην ύπαρξη του δεξιού ϐάθρου της E. Χρησιµοποιώντας εκτός άλλων, την ηµιαπλότητα της E, αποδεικνύουµε ότι το ορθογώνιο του αλγεβρικού αθροίσµατος S = M όπου το M διατρέχει τα µέγιστα κανονικά αριστερά ιδεώδη της E ταυτίζεται µε το (0). Επειδή S S E η ιδιότητα της πυκνότητας οδηγεί στην πυκνότητα του ϐάθρου. 17 / 47
Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47
Ορολογία - Σύµβολα Εστω E µία άλγεβρα. Αν ( )S E, τότε A l (S) συµβολίζει τον αριστερό µηδενιστή του S. Το A l (S) είναι ένα αριστερό ιδεώδες της E, το οποίο είναι ιδιαίτερα, 2-πλευρο αν το S είναι ένα αριστερό ιδεώδες. Ανάλογα ορίζεται ο δεξιός µηδενιστής A r (S) του S µε αντίστοιχες ιδιότητες. Στην περίπτωση µιας τοπολογικής άλγεβρας (χωριστά συνεχής πολλαπλασιασµός) τα προηγούµενα ιδεώδη είναι κλειστά. Μία άλγεβρα E καλείται αριστερά (αντ. δεξιά ) προµηδενιστική αν A l (E) = (0) (αντ. A r (E) = (0)). Αν A l (E) = A r (E) = (0), τότε η E καλείται προµηδενιστική άλγεβρα. Για µία δεξιά προµηδενιστική άλγεβρα χρησιµοποιείται επίσης ο όρος γνήσια άλγεβρα. 18 / 47