Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr Τάσος Σωτηράκης, Καθηγητής Δ.Ε., 3 ο ΓΕΛ Ρόδου, tasotirakis@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε θέματα από τις Πανελλήνιες Εξετάσεις Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου που απαιτούν γεωμετρικές γνώσεις. Στόχος μας είναι να αναδείξουμε την χρησιμότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στους υποψηφίους και τα εφόδια που θα τους δώσει για την σωστή κατανόηση των διαφόρων μαθηματικών εννοιών και την διαπραγμάτευση θεμάτων στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. ABSTRACT In this project we present exercises from the Pan-Hellenic Exams at Math s 3 rd Grade of Lceum which required Knowledge of Geometr. ur target is to show the necessit of Euclidean Geometr to the candidates and the skills which give them the right understandings of various Mathematical concepts and the abilit to solve the exercises at the Pan-Hellenic Exams. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο ισχύον εξεταστικό σύστημα, η εξεταστέα ύλη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης περιλαμβάνει ένα κεφάλαιο Άλγεβρας (Μιγαδικοί αριθμοί) και τρία κεφάλαια Ανάλυσης (Συναρτήσεις, Διαφορικός Λογισμός, Ολοκληρωτικός Λογισμός). Στα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας έχουμε τρία κεφάλαια (Ανάλυση, Στατιστική, Πιθανότητες). Φαίνεται λοιπόν εκ πρώτης όψεως ότι οι μαθητές και υποψήφιοι φοιτητές δεν εξετάζονται καθόλου στην Γεωμετρία με επακόλουθο την λανθασμένη αντίληψη ότι δεν χρειάζεται να ασχολούνται σοβαρά οι μαθητές της Α και Β λυκείου με την Ευκλείδεια Γεωμετρία μιας και ο βαθμός των τάξεων αυτών δεν επηρεάζει την είσοδο στα ΑΕΙ και ΤΕΙ. Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι στο σύνολο των 330 ασκήσεων του σχολικού βιβλίου των Μαθηματικών Κατεύθυνσης υπάρχουν 77 ασκήσεις

που περιέχουν γεωμετρικές έννοιες δηλαδή ποσοστό περίπου 23,3%. Στους Μιγαδικούς το ποσοστό είναι 46% ενώ στην Ανάλυση 19,3%. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να αναδείξει την αναγκαιότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για ένα υποψήφιο και την βοήθεια που θα του προσφέρει για την καλύτερη αντιμετώπιση διαφόρων θεμάτων. Επιλέξαμε για λόγους αξιοπιστίας των επιχειρημάτων μας αλλά και περιορισμό του όγκου, υλικό μόνο από θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων. Υπάρχει και αρκετό υλικό στα σχολικά βιβλία των Μαθηματικών Κατεύθυνσης και Γενικής Παιδείας της Γ Λυκείου, στα θέματα από τα Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα του Υπουργείου Παιδείας αλλά και στην τράπεζα θεμάτων της ΕΜΕ. Εντοπίσαμε έννοιες και ασκήσεις που η κατανόηση τους απαιτεί γνώσεις Γεωμετρίας άμεσα ή έμμεσα και θα τις παρουσιάσουμε παρακάτω σημειώνοντας τις αντίστοιχες γεωμετρικές έννοιες που απαιτούνται και προτείνοντας πιθανές γεωμετρικές λύσεις. Προφανώς οι Επιτροπές Εξετάσεων που προτείνουν τα θέματα έχουν την δυνατότητα να δημιουργήσουν και άλλα θέματα που απαιτούν Γεωμετρικές γνώσεις αλλά θα είναι κοντά στα πλαίσια που θα κινηθούμε και εμείς. Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όσο αφορά τα θέματα της θεωρίας και τα θέματα της Ανάλυσης ένα γενικό συμπέρασμα είναι ότι η γεωμετρική εποπτεία των διαφόρων εννοιών και θεωρημάτων συμβάλλει σημαντικά στην σωστή κατανόηση τους και στην απόκτηση κριτικής ικανότητας ώστε κατά την επίλυση των ασκήσεων να υπάρχει αποδοχή ή απόρριψη της χρήσης θεωρημάτων και τεχνικών. Διαπιστώσαμε ότι έχουν τεθεί πολλά θέματα σχετικά με γεωμετρική ερμηνεία πολλών εννοιών και θεωρημάτων, όπως τα Θεωρήματα Μέσης Τιμής, Bolzano, Rolle, η γεωμετρική ερμηνεία μιας συνάρτησης 1 1, η γραφική ερμηνεία της σχέσης εφαπτομένης και μιας κυρτής συνάρτησης και η εποπτική απόδειξη κατάλληλης ανισότητας. Γενικά, υπάρχουν θέματα που η γεωμετρία εμφανίζεται έμμεσα και βοηθά στην σωστή γεωμετρική αντίληψη του θέματος, στην κατανόηση και την λύση του όπως οι εξισώσεις εφαπτομένων παράλληλων ή καθέτων με κάποιες ευθείες ή τον άξονα x x, εφαπτομένη που σχηματίζει γωνία 45 0 με άξονα x x, εμβαδά χωρίων, συμμετρίες σημείων ή γραφικών παραστάσεων, η συμμετρία των γραφικών παραστάσεων μιας συνάρτησης και της αντίστροφης της ως προς την διχοτόμο 1 ης 3 ης γωνίας των αξόνων. Υπήρξαν θέματα με γραμμικούς μετασχηματισμούς πινάκων όπου εμφανίζονταν οι έννοιες της στροφής, της συμμετρίας, της ομοιοθεσίας, της παράλληλης μεταφοράς, η συνθήκη συνευθειακών σημείων, οι

κατακορυφήν γωνίες, ο γεωμετρικός τόπος μεσοκαθέτου και κύκλου, η έννοια της κατακόρυφης ή άλλης ασύμπτωτης. Είχαμε επίσης την γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος ή διαφοράς μιγαδικών με τις διανυσματικές τους ακτίνες, την γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου διαφοράς μιγαδικών σαν απόσταση των εικόνων τους, συμμετρία των εικόνων ενός μιγαδικού και του συζυγή του ως προς άξονα x x, τριγωνική ανισότητα με μιγαδικούς, τον μοναδιαίο (Τριγωνομετρικό) κύκλο, Πυθαγόρειο Θεώρημα η ερμηνεία μέσω συμμετρίας της σχέσης z z z. Τέθηκε ακόμη θέμα πρόβλημα που η γεωμετρική αντίληψη και αίσθηση της κίνησης μεταβαλλόμενου σημείου βοηθούσε στην κατανόηση του. Εμφανίστηκαν οι έννοιες της ελάχιστης απόστασης σημείων και του εμβαδού και ο χωρισμός χωρίου σε κομμάτια για τον υπολογισμό εμβαδού μέσω ολοκληρωμάτων. Είχαμε θέμα με σύνολο τιμών που η γεωμετρική του ερμηνεία με προβολές σημείων στον άξονα, βοηθά στην διερεύνηση του πλήθους λύσεων της εξίσωσης f(x) = α. Στα παρακάτω θα ασχοληθούμε περισσότερο αναλυτικά με θέματα κυρίως από τους Μιγαδικούς Αριθμούς όπου απαιτείται γνώση γεωμετρικών εννοιών και θεωρημάτων. Στις επαναληπτικές του 2001, ζητήθηκε ο γεωμετρικός τόπος των z 16 εικόνων των μιγαδικών z έτσι ώστε z 16 4 z 1 ή 4.Εύκολα z 1 προκύπτει ότι z 4. Αν προσεγγίσουμε γεωμετρικά το θέμα, ζητούμε ο λόγος των αποστάσεων της εικόνας Μ του z από τα σημεία Α(-16, 0) και Β(-1, 0) να είναι σταθερός και ίσος με 4 δηλαδή (ΜΑ)/(ΜΒ) = 4. Γεωμετρικά ξέρουμε ότι αυτά τα σημεία θα ανήκουν σε Απολλώνιο κύκλο, δηλαδή σε κύκλο με διάμετρο τα σημεία που χωρίζουν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα ΑΒ σε απλό λόγο 4. Τα σημεία αυτά είναι τα Γ(-4, 0) και Δ(4, 0) οπότε έχουμε κύκλο με 4 κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ = 4. M 2 Αν οι μαθητές γνωρίζουν από την -15-10 -5 5 γεωμετρία ότι ο γεωμετρικός τόπος Α Γ Β Δ -2 των σημείων Μ του επιπέδου έτσι Α: (-16,00, 0,00) Β: (-1,00, 0,00) -4 ( ) ώστε Γ: (-4,00, 0,00) με Α, Β σταθερά -6 Δ: (4,00, 0,00) ( ) είναι ο Απολλώνιος κύκλος (Ευκλείδεια Γεωμετρία Α, Β Λυκείου,

παράγραφος 7.9, σελ. 161) που είναι μια εφαρμογή του θεωρήματος εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου και ότι στους μιγαδικούς μεταφράζεται στην μορφή z z1 z z2, τότε θα μπορούν να λύσουν και γεωμετρικά τα θέματα αυτά αλλά κυρίως μιας και οι περισσότεροι θα δουλέψουν αλγεβρικά θα είναι βέβαιοι για το αποτέλεσμα που θα πρέπει να βγάλουν. Εδώ δηλαδή η γνώση του αντίστοιχου γεωμετρικού συμπεράσματος εντοπίζει και προβλέπει το αποτέλεσμα και αποτρέπει πιθανό λάθος σε πράξεις. Επίσης ζητήθηκε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z έτσι ώστε z 1 z i που είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ, όπου Α(1, 0) και Β(0, 1). Επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, η ζητούμενη μεσοκάθετος θα είναι και διχοτόμος οπότε είναι η ευθεία = x. x' Β (0,1) ' =x Α(1,0) x Το 2002, δόθηκε μιγαδικός z με μέτρο 2 και όρισμα π/3 και ο μιγαδικός iz Ν(- 3, 1) που η εικόνα του προκύπτει από στροφή της διανυσματικής ακτίνας του z κατά 90 0. 60 Κατόπιν είχαμε το εμβαδόν του τριγώνου 0 χ Ο που ορίζεται από τις εικόνες τους και την αρχή των αξόνων και παρουσιάζουμε ' σχηματικά την λύση. Είναι i z z 2, δηλαδή (ΟΜ)=(ΟΝ)=2, οπότε (ΟΜΝ) = 2 τ.μ. Μ Γ (1, 3 ) χ Στις επαναληπτικές είχαμε την συνθήκη z 1 z 1 που αντιστοιχεί στο ημιεπίπεδο με ακμή την μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ χωρίς αυτή, όπου Α(-1, 0) και Β(1, 0), δηλαδή λόγω συμμετρίας προφανώς τον άξονα που περιέχει το σημείο Β αφού (ΜΑ) > (ΜΒ) και Μ εικόνα του z. Έτσι προκύπτει και α = Re(z) > 0. x' Α(-1,0) ' Ο Μ Β (1,0) x

Το 2003, είχαμε ένα μιγαδικό που η εικόνα του κινείται στην ευθεία = x 2 η οποία ορίζει με τους άξονες ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και ζητήθηκε το ελάχιστο δυνατό μέτρο του z που προφανώς είναι το κάθετο τμήμα από το Ο προς την ευθεία και είναι το μισό της υποτείνουσας που υπολογίζεται και με Πυθαγόρειο θεώρημα. χ Ο ' Β (0,-2) Μ Α (1,-1) (2,0) χ Στις επαναληπτικές χρειάστηκε η τριγωνική ανισότητα στους μιγαδικούς και η γεωμετρική περιγραφή του συνόλου των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τις συνθήκες z 2 και Im(z) 0 που δίνουν τόξο (ημικύκλιο) ενός κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ' 2 πάνω από x x και μαζί τα άκρα του Α, Β. Στην συνέχεια του θέματος είχαμε τον μιγαδικό 1 4 w ( z )... Re( z) R και επειδή 2 Re (z) 2 οι εικόνες των w 2 z θα κινούνται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του σχήματος. Το 2005, δόθηκαν οι μιγαδικοί z, w που ικανοποιούν σχέσεις που αντιστοιχούν σε δύο κυκλικούς δίσκους: z 1 3i 2 και w 3 i 2 Αυτοί εφάπτονται εξωτερικά και αυτό αποδεικνύεται με τις συνθήκες για τις σχετικές θέσεις κύκλων που γνωρίζουμε από την Γεωμετρία της Α Λυκείου. Έτσι γεωμετρικά αποδεικνύεται ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί z, w τέτοιοι ώστε z = w και το μέγιστο της Α K παράστασης z w είναι 2ρ 1 + 2ρ 2. Επίσης τα κέντρα Κ(1, 3), Λ(3, 1) των κύκλων είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο = x και το κοινό σημείο των ίσων κύκλων θα είναι το μέσο Μ(2, 2) της διχοτόμου που αντιστοιχεί στον μιγαδικό z = w = 2 + 2i. x ' Β Α(2,0) ' Μ Λ Β x

Το 2006, είχαμε τρεις μιγαδικούς όπου ζητήθηκε και ο γεωμετρικός τόπος τους. Σαν δεδομένο είχαμε z1 z2 z3 1 και z1 z2 z3 0 και τελικά είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 1 και περιστρέφεται Μ2 Μ μέσα σε αυτόν. Αποδεικνυόταν Μ ότι οι πλευρές του τριγώνου που Μ2 z 2 ορίζεται από τις εικόνες τους Μ1 Μ1 Ο είναι ίσες με πλευρά κανονικού z 1 Ο τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο λόγω του γνωστού τύπου από την Γεωμετρία Β Λυκείου αφού Μ3 (M) = z 1 + z 2 (M 2M 1) = z 1 - z 2 z z z z z z 3 R 3 1 2 2 3 3 1 3 Ζητήθηκε επίσης να αποδειχθεί ότι 2 z z 4 δηλαδή z z 2 που 1 2 1 2 ισχύει γιατί το z1 z2 παριστάνει χορδή του κύκλου που είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου 2R = 2. Μπορούμε να δούμε μια γεωμετρική αντιμετώπιση του θέματος. Έχουμε αρχικά: z z z z z z 1 z z Άρα το τρίγωνο ΟΜ 1 Μ είναι 1 2 3 1 2 3 1 2 ισόπλευρο και τελικά το παραλληλόγραμμο ΟΜ 1 ΜΜ 2 είναι ρόμβος και με νόμο συνημιτόνων ή Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα των 30 0 υπολογίζουμε τις πλευρές. Το 2008, μετά από πράξεις είχαμε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 2 και από την σχέση w (1 i) w (3 3 i) μεσοκάθετο ΑΒ. Παρατηρούμε ότι τα σημεία Α(1, -1) και Β(3, -3) A K ισαπέχουν από τους άξονες και αφού ορίζουν μια Ν M και μοναδική ευθεία θα είναι η διχοτόμος = - x της 2 ης 4 ης γωνίας των αξόνων με μεσοκάθετο Λ B που περνάει από το μέσο Μ(2, -2) του ΑΒ και εξίσωση = x 4. Το ελάχιστο μέτρο των w είναι το (ΟΜ) = (ΟΑ) + (ΑΜ) και μπορεί να υπολογιστεί και χωρίς την εύρεση του σημείου Μ μιας και το ΑΚΒΛ είναι τετράγωνο οπότε έχει κάθετες διαγώνιες που υπολογίζονται με Πυθαγόρειο Θεώρημα. Επίσης z w ( MN ) ( M ) ( N) 2 2 2 min.

Στις επαναληπτικές εμφανίστηκε και το μέτρο της διαφοράς μιγαδικού από τον συζυγή του που λόγω συμμετρίας θα είναι 2Re(z 1 ). Με την έννοια του ορίσματος που μπορούμε να αναφέρουμε όχι πολύ αυστηρά στους μαθητές και την έννοια της στροφής μπορούμε να δικαιολογήσουμε 1 3 γιατί ο μιγαδικός z1 i που έχει όρισμα 60 0 αν στραφεί τρεις φορές 2 2 η διανυσματική του ακτίνα κατά 60 0 θα πέσει στον αρνητικό ημιάξονα Οx 3 1 3 3 και αφού έχει μέτρο 1 θα έχουμε z1 ( i) 1, που δικαιολογεί και 2 2 δυνάμεις μιγαδικών με μεγάλους εκθέτες. Αν δεν έχουμε μέτρο 1 μπορούμε να αναφέρουμε και την έννοια της ομοιοθεσίας και στροφής, δηλαδή να αναφερθούμε σε βασικούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Το 2009, ζητήθηκε γ.τ. που ήταν η ευθεία = x 2 η οποία σχηματίζει με τους άξονες ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και με χρήση των θεωρημάτων για διάμεσο ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου που είναι ύψος και διχοτόμος (όπως 2003) απαντούσαμε στο ερώτημα περί ελαχίστου μέτρου. Επίσης σε θέμα μιγαδικών εμφανιζόταν ορθογώνιο αφού είχαμε ίσες διαγώνιες και εφαρμογή Πυθαγορείου Θεωρήματος. Έχω z1 z2 z1 z2, αφού (ΟΚ) = (ΑΒ) και υπολογίζω την ζητούμενη παράσταση 2 2 z z z z. 1 2 1 2 Ο Β(0, 4) Κ Α(2, 0) Το 2010, υπήρχε ερώτημα σχετικό με την διανυσματική ακτίνα της διαφοράς μιγαδικών και σαν γεωμετρικός τόπος ένας κύκλος όπου ζητήθηκε και μέγιστο ελάχιστο μέτρο που A τα έχουμε στα σημεία τομής της διακεντρικής ευθείας από K την αρχή αξόνων με τον κύκλο αφού γνωρίζουμε ότι ισχύει M B ( A) ( M ) ( B), δηλαδή ( K) w ( K). Στις επαναληπτικές στο θέμα των μιγαδικών είχαμε λύσεις δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αρνητική διακρίνουσα που είναι δύο συζυγείς μιγαδικοί οπότε οι εικόνες τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x x

και απέχουν (ΑΑ )= 2Im(z 1 ) =4. Η σχέση 2 2 2 w z w z z z, μεταφράζεται σε 1 2 1 2 (ΜΑ) 2 +(ΜΑ ) 2 = (ΑΑ ) 2 = 16, δηλαδή Πυθαγόρειο θεώρημα οπότε η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(Re(z 1 ), 0) και ακτίνα ρ = (ΑΑ )/2. Στην συνέχεια έχουμε δύο μιγαδικούς στον κύκλο αυτό με w1 w2 4 2, δηλαδή οι εικόνες τους είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου αυτού. Για να υπολογίσουμε το w1 w2 w1 ( w2 ) ( M1M 2 ') με Μ, 2 συμμετρικό του Μ 2 ως προς κέντρο την αρχή αξόνων αφού είναι αντίθετοι μιγαδικοί δουλεύουμε γεωμετρικά θεωρώντας τα σημεία Κ, Ο μέσα πλευρών του τριγώνου Μ 1 Μ 2 Μ 2 και τελικά (ΜΜ 2 ) = 2(ΟΚ) = 2 = ρ. Το 2011, στο θέμα των μιγαδικών είχαμε συζυγείς με εικόνες συμμετρικές ως προς x x και ίδια μέτρα καταλήγαμε σε κύκλο. Εδώ επισημαίνουμε ότι η σχέση -1 Α Α' M 1 M' 1 Re( z) 1 2 w 2 z 3i z 3i 2... z 3i 1, μπορούσε (όπως και έγινε αντιληπτό από συζητήσεις με μαθητές μας) να μπερδέψει τους μαθητές και να νομίσουν ότι είναι έλλειψη λόγω σταθερού αθροίσματος αποστάσεων αν δεν πρόσεχαν ότι το σταθερό άθροισμα 2 είναι μικρότερο από την υποτιθέμενη εστιακή απόσταση 6 και αναφέρεται στον ορισμό της έλλειψης. Παρουσιάζουμε παρακάτω γεωμετρικές λύσεις και το αντίστοιχο σχήμα. z 3i z 3i 2 ( MA) ( M ' A') 2, δηλαδή 2( MA) 2 ( MA) 1 w 1 z 3 i 3 3 2 Re( 3 ) 3 z z i i z i z i R w 1 z 3 i... 2Re( ) z 3i z z z, w z z z w z z w z z x' M1 K A A' M2' ' M2 x

Στο θέμα των μιγαδικών είχαμε την σχέση z i 1 Im( z) που με πράξεις προκύπτει η παραβολή x 2 = 4. Αν δούμε την σχέση γεωμετρικά θα δούμε ότι το z i είναι η απόσταση της εικόνας Μ του z από το σημείο Ε(0, 1) και το 1 + Im(z) 0 εκφράζει την απόσταση του Μ από την ευθεία δ: = -1, δηλαδή το Μ K(0, 3) ισαπέχει από σημείο και ευθεία και επομένως M(z) θα ανήκει σε παραβολή με εστία Ε και E(0, 1) διευθετούσα δ. Παρουσιάζουμε το σχήμα και Im(z) B A γεωμετρικές έννοιες που μπορούσαν να 1 χρειαστούν. Είχαμε κύκλο Κ(0, 3) και Λ = -1 2 2 ο οποίος εφάπτεται στην παραβολή στα Α, Β στα οποία έχουμε z = w, το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΚΑΒ και το ορθογώνιο ΚΑΛΒ. Το 2012, στο θέμα των μιγαδικών είχαμε την συνθήκη 2 2 z 1 z 1 4, που αν την μεταφράσουμε γεωμετρικά σημαίνει, (ΜΑ) 2 + (ΜΒ) 2 = (ΑΒ) 2, με Α(1, 0), Β(-1, 0) και Μ η εικόνα του z, δηλαδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ορθογώνιο αφού ικανοποιείται το Πυθαγόρειο Θεώρημα και έτσι το Μ βλέπει το τμήμα ΑΒ υπό ορθή γωνία και έτσι θα ανήκει σε κύκλο με διάμετρο ΑΒ. Επίσης αν το Μ ταυτιστεί με τα Α, Β ικανοποιείται η σχέση μας και τελικά έχουμε τον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 1. Στην συνέχεια είχαμε δύο μιγαδικούς z 1, z 2 στον κύκλο αυτό με z1 z2 2 2 4, οπότε το τρίγωνο ΟΜ 1 Μ 2 που ορίζουν οι εικόνες τους με την αρχή των αξόνων είναι ορθογώνιο και ισοσκελές αφού Μ 1 Μ 2 πλευρά κανονικού τετραγώνου

εγγεγραμμένου σε κύκλο. Αν Μ η εικόνα του z 1 +z 2 τότε το παραλληλόγραμμο ΟΜ 1 ΜΜ 2 θα είναι τετράγωνο αφού έχει ορθή γωνία και ίσες δύο διαδοχικές πλευρές ΟΜ 1 και ΟΜ 2 και θα έχει ίσες διαγώνιες οπότε z1 z2 z1 z2 2. Στα άλλα ερωτήματα είχαμε μιγαδικό w που κινείται σε έλλειψη και ζητήθηκαν μέγιστα και ελάχιστα μέτρα που με βάση το σχήμα έχουμε: max w ( A) ( A') a 3 και min w ( B) ( B ') 2 max z w ( ' A) ( A') 4 και min z w ( B) ( ' B ') 1 οπότε 1 z w 4 Το 2013, δόθηκε συνθήκη που μετά από πράξεις δίνει κύκλο με κέντρο Κ(2, 0) και ακτίνα ρ = 1 και ' ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι z 3. M2 Πράγματι ισχύει από την γεωμετρία 1 M ότι (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ), δηλαδή 1 z 3. Στην συνέχεια είχαμε δύο A K B μιγαδικούς z 1, z 2 στον κύκλο αυτό και ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης οπότε συζυγείς έτσι ώστε Im( z ) Im( z ) 2. 1 2 Αυτό μεταφράζεται με (Μ 1 Μ 2 ) = 2 που είναι και η μέγιστη δυνατή τιμή χορδής κύκλου (δηλαδή (Μ 1 Μ 2 ) 2), οπότε τα Μ 1, Μ 2 θα είναι αντιδιαμετρικά και συγχρόνως συμμετρικά ως προς τον άξονα x x και ως προς το Κ και έτσι z 1 = 2 + i και z 2 = 2 i και απαντούμε στα ζητούμενα. Το σχήμα μας δείχνει γεωμετρικά το θέμα αυτό. Στις επαναληπτικές είχαμε συμμετρία μιγαδικών και z z, Στο θέμα των μιγαδικών είχαμε δύο κύκλους που τελικά εφάπτονταν εξωτερικά και αυτή η θέση των κύκλων αποδεικνύει ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός που ικανοποιεί και τις δύο σχέσεις, δηλαδή ανήκει και στους δύο κύκλους. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μετά την παρουσίαση του υλικού αυτού γίνεται σαφές πως η διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και η καλή γνώση της είναι ένα αναγκαίο εργαλείο για ένα μαθητή της Γ λυκείου ώστε να πετύχει στις Πανελλήνιες Εξετάσεις στα Μαθηματικά αλλά και να γίνει περισσότερο x' -1 1 2 M1 3 x

ολοκληρωμένος και καταρτισμένος φοιτητής για να συνεχίσει τις σπουδές του. Πρέπει λοιπόν να επιμένουμε στην σωστή διδασκαλία της Γεωμετρίας στις δύο πρώτες τάξεις του Λυκείου και να δώσουμε στο μάθημα τον χαρακτήρα που αξίζει και είναι παγκοσμίως αναγνωρισμένος. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αργυρόπουλος Η., Βλάμος Π., Κατσούλης Γ., Μαρκάτης Σ., Σιδέρης Π., Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου, Αθήνα, ΥΠΕΠΘ.,Π.Ι. Ανδρεαδάκης Σ., Κατσαργύρης Β., Μέτης Σ., Μπρουχούτας Κ., Παπασταυρίδης Σ., Πολύζος Γ., Μαθηματικά Γ Γενικού Λυκείου, Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Αθήνα, ΥΠΕΠΘ., Π.Ι. ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ http://www.minedu.gov.gr/anazitisi-thematon-panelliniwneksetaseon.html, Αναζήτηση Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων.