Case 16: Αποδοτικότητα Νοσηλευτικών Μονάδων Μέθοδος DEA ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 16: Αποδοτικότητα Νοσηλευτικών Μονάδων Μέθοδος DEA ΣΕΝΑΡΙΟ Prime Health, τέσσερις νοσηλευτικές µονάδες σε τέσσερις διαφορετικές πόλεις Παράπονα σχετικά µε τηχρηµατοδότηση Παρεµβατικές κινήσεις από τη µητρική εταιρεία Υποστήριξη και βελτίωση των µονάδων που υστερούν Μέτρηση λειτουργικής απόδοσης οργανωσιακών µονάδων (organizational units, operating units, decision making units) Σύγκριση σχετικής απόδοσης λειτουργικών µονάδων Εισροές Εκροές Μία εισροή, µία εκροή ή πολλαπλές εισροές και εκροές 1

Γενικά για τη µεθοδολογία DEA (1) Μέτρηση σχετικής αποδοτικότητας (comparative efficiency) οµοιογενών λειτουργικών µονάδων Οµοιογενείς: όµοιες δραστηριότητες και στόχοι, ανάλογες εισροές και εκροές Charnes, Cooper και Rhodes (1978) Αξιολόγηση τραπεζικών υποκαταστηµάτων, εστατορίων γρήγορης εξυπηρέτησης, εκπαιδευτικών µονάδων, δηµόσιων υπηρεσιών, αστυνοµικών τµηµάτων, αγροτικών µονάδων κλπ. http://mat.gsia.cmu.edu/mstc/dea/dea.html και http://www.deazone.com 2

Γενικά για τη µεθοδολογία DEA (2) Βασική ιδέα: ένα πλήθος από οµοιογενείς λειτουργικές µονάδες (ΛΜ) δέχονται εισροές (inputs) και παράγουν εκροές (outputs) Αν ένας όγκος εκροών παράγεται από µία ΛΜ µε ένα δεδοµένο σύνολο εισροών, τότε κάτι ανάλογο ισχύει και για τις υπόλοιπες ΛΜ µε τιςδικέςτουςεισροέςκαιεκροές Για κάθε ΛΜ κατασκευάζουµε µία εικονική (σύνθετη composite) ΛΜ η οποία µπορεί να αποτελέσει γι αυτήν µέτρο σύγκρισης. 3

Γενικά για τη µεθοδολογία DEA (3) Το µέτρο της σχετικής αποδοτικότητας µπορεί να είναι: (Thanassoulis 1999) Η «απόσταση» ανάµεσα στο παρατηρηθέν και στο µέγιστο δυνατό output για δεδοµένα επίπεδα εισροών (output efficiency) Η «απόσταση» ανάµεσα στο παρατηρηθέν και στο ελάχιστο απαιτούµενο input για δεδοµένα επίπεδα εκροών (input efficiency) Συµβάλλει στον εντοπισµό των ΛΜ οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν από µειωµένη αποδοτικότητα σε σχέση µε εκείνεςµε τις οποίες συγκρίνονται 4

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα (1) Έστω τέσσερα τραπεζικά υποκαταστήµατα Α, Β, Γ, Μετρήθηκαν δύο εισροές που είναι το πλήθος των ταµιολογιστών (tellers) και ο χώρος εργασίας (τ.µ.) και µία εκροή που είναι οι συναλλαγές (µετρήσιµος δείκτης). Στον πίνακα έχει γίνει κανονικοποίηση στις 1.000 συναλλαγές 5

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα (2) Πρακτικά, η µέτρηση της αποδοτικότητας ενός υποκαταστήµατος (όταν διατηρούµε τις εκροές σταθερές), στηρίζεται στο κατά πόσο µπορούµε ναµειώσουµε ταεπίπεδατωνεισροώνµε την ίδια αναλογία κατανάλωσης µεταξύ τους, χωρίς όµως να µειωθεί το δεδοµένο output Για να το κάνουµε αυτό, δηµιουργούµε «υποκαταστήµατα» µε γραµµική παρεµβολή (interpolation) τα οποία είναι εφικτά, ακόµη κι αν δεν φαίνεται να είναι ρεαλιστικά. Για παράδειγµα, το υποκατάστηµα Ε, που είναι «κυρτός συνδυασµός» των Α και Β από τη σχέση 0.5 Α(3, 9) + 0.5 Β(4, 5) = Ε(3.5, 7), είναι ένα κατάστηµα µε 3.5 ταµιολογιστές και 7 τ.µ. χώρου το οποίο χειρίζεται 1.000 συναλλαγές (που βρίσκεται?). 6

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα (3) Τέτοια καταστήµατα όπως το Ε(3,5, 7) βρίσκονται στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα Α και Β. Σηµειώνεται ότι όλοι οι συνδυασµοί για επίπεδα εισροών (inputs) µε τιµές για ταµιολογιστές 3,5 και τ. µ. 7 είναι επίσης εφικτά αν και µη αποδοτικά(γιατί?). Αν σκεφτούµε µε τον παραπάνω τρόπο για όλες τις δυάδες των καταστηµάτων Α, Β, Γ, και, τότε κατασκευάζουµε ευθείες παρεµβολής ανάµεσα σταδιάφορασηµεία οι οποίες τελικά δίνουν (µε κατάλληλη επιλογή) την ακόλουθη καµπύλη: 7

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα ηκαµπύλη Pareto (4) Ε Efficiency Boundary 8

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα (5) Η καµπύλη ΑΒΓ και η περιοχή «επάνω» από αυτήν περιέχουν όλα τα σηµεία (καταστήµατα) µε επίπεδα εισροών ικανά να παράξουν 1.000 συναλλαγές (περιοχή παραγωγικών δυνατοτήτων). Τα καταστήµατα που βρίσκονται επάνω στην καµπύλη ορίζουν το αποδοτικό σύνορο (efficient frontier, efficient boundary). Το υποκατάστηµα είναι σχετικά µη αποδοτικό(σε σχέση µε τα υπόλοιπα µε τα οποία συγκρίθηκε) αφού για να παράξει τις 1.000 συναλλαγές χρησιµοποιεί περισσότερους πόρους (δηλαδή inputs: εισροές) απ όσες θα έπρεπε. 9

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα (6) Αν θελήσουµε να µειώσουµε και τις δύο εισροές του καταστήµατος διατηρώντας την αναλογία των εισροών σταθερή (6 προς 8) τότε πρέπει να κινηθούµε στην γραµµή Ο η οποία ονοµάζεται ακτίνα (radial). Το σηµείο υποδεικνύει τα ελάχιστα επίπεδα εισροών που απαιτούνται στο υποκατάστηµα γιαναπαράξει1.000 συναλλαγές. Οι συντεταγµένες του σηµείου ' είναι εύκολο να βρεθούν και είναι 3,93 (ταµιολογιστές) και 5,25 (χώρος). Με αυτές τις εισροές το σύνθετο υποκατάστηµα ' «παράγει» 1.000 συναλλαγές. Ο ακτινωτός δείκτης αποδοτικότητας (radial DEA efficiency) για το υποκατάστηµα είναι το πηλίκο? που σηµαίνει ότι, συγκρινόµενο µε το εικονικό κατάστηµα ', το θα µπορούσε να παράγει τις 1.000 συναλλαγές µε το65% των εισροών που δέχεται. 10

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα συµπεράσµατα (1) Τα υποκαταστήµατα Α και Β που ορίζουν το ευθύγραµµο τµήµα στο οποίο βρίσκεται το ' αποτελούν παραδείγµατα βελτίωσης για το και ονοµάζονται σηµεία αναφοράς για την απόδοση του (efficient referents, efficient peers). Οι εισροές του σηµείου ορίζουν τους αποδοτικούς στόχους για το σηµείο (efficient targets) Tο σηµείο ' προκύπτει ως κυρτός συνδυασµός των σηµείων Α και Β µε συντελεστές λ Α = 0,063 και λ Β = 0,937. ηλαδή: 0,063 (1000, 3, 9) + 0,937 (1000, 4, 5) = (1.000, 3,93, 5,25) που είναι η εκροή και οι εισροές του σηµείου '. Τα καταστήµατα τα οποία βρίσκονται επάνω στο σύνορο Pareto έχουν ακτινωτό δείκτη αποδοτικότητας ίσο µε τη µονάδα, αφού είναι αδύνατο να µειωθούν ταυτόχρονα και οι δύο εισροές και να διατηρηθεί η ίδια παραγωγή, δηλαδή χωρίς το σηµείο να µετακινηθεί κάτω από το Pareto σύνορο. Αυτό συνέβη µε το γιαναµετακινηθεί προς το ', χωρίς όµως όπως είδαµε ναµειωθεί και η απόδοση. 11

Μεθοδολογία DEA, εισαγωγικό παράδειγµα συµπεράσµατα (2) Η παραπάνω γραφική ανάλυση δεν είναι δυνατόν να πραγµατοποιηθεί όταν έχουµε περισσότερες από τρεις παραµέτρους Στις περιπτώσεις αυτές, η µέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας, δηλαδή ο εντοπισµός των λειτουργικών εκείνων µονάδων που υστερούν στη µετατροπή των πολλαπλών εισροών σε εκροές, γίνεται µε αλγεβρικέςµεθόδους. Η µέθοδος DEA αποτελεί µία διαδικασία µέτρησης για τον εντοπισµό των κατάλληλων συντελεστών στάθµισης, που καταδεικνύουν τις αποδοτικές και τις λιγότερο αποδοτικές λειτουργικές µονάδες. Στις πολύπλοκες αυτές περιπτώσεις, η διερεύνηση της σχετικής αποδοτικότητας µίας λειτουργικής µονάδας, πραγµατοποιείται αλγεβρικά µε τη βοήθεια του γραµµικού προγραµµατισµού 12

Επιστροφή στο αρχικό ΣΕΝΑΡΙΟ Αποδοτικότητα Νοσηλευτικών Μονάδων (συνέχεια) Έχουµε τέσσερις νοσηλευτικές µονάδες σε τέσσερις πόλεις Παράπονα σχετικά µε τηχρηµατοδότηση Παρεµβατικές κινήσεις από τη µητρική εταιρεία Υποστήριξη και βελτίωση των µονάδων που υστερούν Πραγµατοποιήθηκε συλλογή στοιχείων σχετικά µε πέντε εισροές και δύο εκροές που σχετίζονται µε την απόδοση των ενδονοσοκοµειακών υπηρεσιών (inpatient services) 13

εδοµένα (1) Εισροές Πηγή: Chen, Hwang and Shao (2005) 14

εδοµένα (2) Εκροές (δείκτες βαθµού απασχόλησης των πόρων) Στόχος: να εντοπιστούν εκείνες οι µονάδες που παρουσιάζουν µειωµένη αποδοτικότητα σε σχέση µε το σύνολο των συγκρινόµενων (σχετική αποδοτικότητα) 15

Βασικές Υποθέσεις (1) Ο χρονικός ορίζοντας ορίστηκε µία πενταετία, για την οποία υπολογίστηκαν οι µέσες τιµές των διάφορων εισροών και εκροών. Θα πρέπει να ισχύουν οι βασικές παραδοχές του γραµµικού προγραµµατισµού. Είναι σηµαντικό να γίνει η σωστή επιλογή των εισροών και των εκροών και ως προς το πλήθος και ως προς το είδος τους. Ένας γενικός κανόνας είναι να σχετίζεται το πλήθος των λειτουργικών µονάδων µε το πλήθος των παραµέτρων επιδιώκοντας µία αναλογία 1 προς 3 (µία λειτουργική µονάδα ανά τρεις παραµέτρους εισροής ή εκροής) χωρίς όµως αυτό να είναι απόλυτα δεσµευτικό Οι τιµές των εισροών και των εκροών γενικά πρέπει να είναι µη αρνητικές διαφορετικά καταφεύγουµε σεµετασχηµατισµούς. 16

Βασικές Υποθέσεις (2) Έλεγχος σταθερών ή µη, αποδόσεων κλίµακας (constant returns to scale - increasing or decreasing returns to scale). Σε κάθε περίπτωση επηρεάζεται το µοντέλο που θα χρησιµοποιηθεί. Ισοτονικότητα (isotonicity): ορίζει ότι όταν αυξάνεται έστω και µία εισροή, τότε παρατηρείται αύξηση σε τουλάχιστον µία εκροή και οπωσδήποτε όχι µείωση. Οµοιογένεια: αναφέρεται στην απαίτηση να προέρχονται οι λειτουργικές µονάδες από τον ίδιο τοµέα δραστηριότητας και να έχουν καταγραφεί για όλες τιµές από τις ίδιες παραµέτρους (εισροές και εκροές). 17

Το µοντέλο εισαγωγικά στοιχεία Η αξιολόγηση κάθε µονάδας πραγµατοποιείται ξεχωριστά. Έστω ότι θέλουµε να αξιολογήσουµε την µονάδα Α. Το µοντέλο θα οδηγήσει στην κατασκευή µίας εικονικής (σύνθετης) µονάδας (efficient target) που είναι σταθµισµένος µέσος όρος των υπολοίπων. Οι εκροές της θα είναι τουλάχιστον όσο και εκείνες της Α (πρώτη οµάδα περιορισµών) Οι εισροές που θα καταναλώνει η σύνθετη µονάδαπρέπειναείναιτοπολύ όσο και εκείνες της αξιολογούµενης (δεύτερη οµάδα περιορισµών) Η αντικειµενική συνάρτηση θα υποδεικνύει το ελάχιστο ποσοστό εισροών (ακτινωτός δείκτης αποδοτικότητας) που καταναλώνει η σύνθετη κλινική ώστε να έχει τουλάχιστον τις ίδιες εκροές µε τηναξιολογούµενη Αν η σύνθετη έχει τουλάχιστον µία εισροή µικρότερη από την Α τότε η Α δεν είναι αποδοτική (και αυτό σηµαίνει µετακίνηση προς την καµπύλη Pareto) 18

Το µοντέλο περιορισµοί (1) Το µοντέλο χρησιµεύει στον υπολογισµό των συντελεστών βαρύτητας κάθε πραγµατικής κλινικής µε τους οποίους κατασκευάζεται η σύνθετη, ως µέτρο σύγκρισης για την Α. x 1 = συντελεστής βαρύτητας για τις εισροές και εκροές της κλινικής Α x 2 = συντελεστής βαρύτητας για τις εισροές και εκροές της κλινικής Β x 3 = συντελεστής βαρύτητας για τις εισροές και εκροές της κλινικής Γ x 4 = συντελεστής βαρύτητας για τις εισροές και εκροές της κλινικής Περιορισµός που καθορίζει ότι οι συντελεστές βαρύτητας αθροίζουν στην µονάδα: 19

Το µοντέλο περιορισµοί (2) Παραγωγή οµάδας περιορισµών εκροών: Επίσης Εκροή Ε1 εκροή αξιολογούµενης µονάδας Α, άρα: δηλαδή: 43 και για την εκροή Ε2 είναι: Οι περιορισµοί διασφαλίζουν ότι αν υπάρχει άριστη λύση, εξασφαλίζει ότι η σύνθετη µονάδα έχει εκροές µεγαλύτερες ή ίσες από εκείνες της µονάδας Α που αξιολογείται. Μπορεί να γίνει ταυτόχρονη αξιολόγηση για όλες τις µονάδες µεένα µοντέλο? 20

Το µοντέλο περιορισµοί (3) Παραγωγή οµάδας περιορισµών εισροών: Εισροή Σ1 εισροήσ1 αξιολογούµενης µονάδας Α : ήκαλύτερα: όπου F (fraction) µία επιπλέον µεταβλητή που για τη σύνθετη µονάδα παριστάνει το ποσοστό κατανάλωσης της αντίστοιχης εισροής, εδώ η Σ1, σε σχέση µε την αξιολογούµενη Α. - Θα χρησιµοποιούµε τοίδιοf για όλους τους περιορισµούς εισροών ; - Αν το F προκύψει να είναι ίσο µε τηµονάδα τότε τι σηµαίνει αυτό για την αξιολογούµενη; - Αν το F προκύψει να είναι µικρότερο από τη µονάδα; -Τι είναι τελικά το F ; 21

Το µοντέλο υπόλοιποι περιορισµοί και αντικειµενική συνάρτηση Οι υπόλοιποι περιορισµοί των εισροών είναι: Αντικειµενική Συνάρτηση: Minimize z = F και φυσικά οι περιορισµοί µη αρνητικότητας: 22

Ανακεφαλαίωση 23

Σχόλια για το µοντέλο Η επίλυση του µοντέλου δίνει µία σύνθετη λειτουργική µονάδα που βρίσκεται στην καµπύλη Pareto (στο προηγούµενο παράδειγµα ήταν το σηµείο ) Ο λόγος F καθορίζει την ελάχιστη απαιτούµενη κατανάλωση πόρων (ως ποσοστό) που χρειάζεται η σύνθετη µονάδα για να παράγει τις ίδιες εκροές µε την Α και είναι ο ακτινωτός δείκτης απόδοσης Το F δεν µπορεί να πάρει τιµή µεγαλύτερη της µονάδας Όταν το F παίρνει τιµή µονάδα αυτό σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν αρκετές αποδείξεις για να χαρακτηριστεί η Α ως µη αποδοτική. Αν όµως είναι και οι χαλαρές µεταβλητές των περιορισµών των εισροών µη βασικές(τότε θα είναι και x1 = 1), τότε είναι αποδοτική και βρίσκεται στην καµπύλη Pareto Αν το F είναι µικρότερο της µονάδας, τότε η Α είναι µειωµένης σχετικά απόδοσης σε σχέση µε τις άλλες µονάδες και ο λόγος F υποδεικνύει τη συρρίκνωση που πρέπει να υποστούν οι εισροές της Α σε σχέση µε τηνοµάδα των efficient referents. Οι βασικές µεταβλητές της xj άριστης λύσης δείχνουν το σύνολο των efficient referents 24

Επίλυση Εισαγωγή δεδοµένων WinQSB 25

Επίλυση Συνδυασµένη αναφορά αποτελεσµάτων WinQSB? F = 0,7846, συνεπώς η σύνθετη είναι πιο αποδοτική από την Α 26

Επίλυση Συνοπτικά αποτελέσµατα Εκτελώντας τις πράξεις µε τους συντελεστές βαρύτητας προκύπτουν τα ακόλουθα: 27

Ανάλυση Ευαισθησίας δεξιών µελών Αρχικά σχόλια Ποιο είναι το φυσικό νόηµα των χαλαρών µεταβλητών ή των µεταβλητών πλεονασµού? Χαλαρή µεταβλητή S4 = 5,43, που σηµαίνει ότι η σύνθετη λειτουργική µονάδα καταναλώνει λιγότερο από το 78,46% της εισροής Σ1 απ ότι η κλινική Α (που είναι ίση µε 58). Πράγµατι, 0,7846 58 = 45,50 ενώ η σύνθετη καταναλώνει 40,07 (=45,50 5,43). Όµοια για τους περιορισµούς C5 και C8. Για τους περιορισµούς C6 και C7 παρατηρούµε ότι η σύνθετη νοσηλευτική µονάδα καταναλώνει ακριβώς το 78,46% των εισροών Σ3 και Σ4 αντιστοίχως οπότε οι χαλαρές µεταβλητές είναι µη βασικές. Η εκροή Ε1 είναι µεγαλύτερη κατά 6,68 µονάδεςαπόεκείνητηςα(e2 = 6,68) Η εκροή Ε2 της σύνθετης είναι ίση µε εκείνη της αξιολογούµενης (e3 = 0) Baseline 28

εξιό µέλος του περιορισµού C3 - µεταβολή εκροής Η σκιώδηςτιµή τουc3 είναι ίση µε 0,0557. Ποιο είναι το φυσικό της νόηµα? Ότι υποδεικνύει τη βελτίωση στο z, δηλαδή στον ακτινωτό δείκτη απόδοσης της αξιολογούµενης κλινικής, αν η εκροή της αυξηθεί κατά µία µονάδα. Το αποτέλεσµα είναι ελαφρώς παραπλανητικό αφού µεταβολή του b3 προϋποθέτει και ταυτόχρονη µεταβολή του αντίστοιχου τεχνολογικού συντελεστή της x1 στον περιορισµό C3. Για µικρές όµως µεταβολές του δεξιού αυτού µέλους, η µεταβλητή x1 παραµένει µηβασική, οπότε µπορούµε ναθεωρήσουµε ότι πρακτικά ισχύει η σκιώδης τιµή. Baseline 29

Επίλυση του µοντέλου για b3 = 11 και α31 = 11 (έξω από τα όρια του προηγούµενου διαστήµατος εφικτότητας) Baseline 30

Επίλυση του µοντέλου για b3 = 12,1 και α31 = 12,1 Baseline 31

Μεταβολή εισροής (περιορισµός C8) Η µεταβολή κάποιας εισροής υλοποιείται µε ταυτόχρονηµεταβολή δύο τεχνολογικών συντελεστών, εκείνου της αντίστοιχης µεταβλητής xj και του συντελεστή της µεταβλητής F Ως παράδειγµα, υποθέτουµε ότιηεισροήσ5 (µονάδες προσωπικού) µειώνεται στις 200 µονάδες (από 320 που είναι στο αρχικό µοντέλο). Baseline 32

Επίλυση για α81 = 200 και α85=-200 Που οφείλεται η σαφής βελτίωση της απόδοσης? Baseline 33

Το µοντέλο για την λειτουργική µονάδα Β 34

Τα αποτελέσµατα για τη λειτουργική µονάδα Β Baseline 35

Επίλυση µε το LINDO Εισαγωγή δεδοµένων 36

Επίλυση µε το LINDO Αποτελέσµατα (1) QSB Results 37

Επίλυση µε το LINDO Αποτελέσµατα (2) QSB Results 38

Επίλυση µε το Excel Εισαγωγή δεδοµένων 39

Επίλυση µε το Excel Εισαγωγή δεδοµένων - Live Μέτρηση αποδοτικότητας Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 F Συντελεστής στάθµισης 0,0000 0,3810 0,2221 0,3968 0,7846 0 0 0 0 1 Περιορισµοί: Άθροισµα συντελεστών 1 1 1 1 0 1,0 = 1 Ε1 43 40 30 70 0 49,6837 > 43 Ε2 8 5 6 12 0 8,0000 > 8 Σ1 58 30 45 47-58 -5,4307 < 0 Σ2 25 15 22 22-25 -0,2831 < 0 Σ3 30 17 25 29-30 0,0000 < 0 Σ4 70 55 10 80-70 0,0000 < 0 Σ5 320 150 120 330-320 -36,3178 < 0 είκτης απόδοσης 0,7846 Αριστερό µέλος Φορά εξιό µέλος 40

Επίλυση µε το Excel Αναφορά Αποτελεσµάτων QSB Results 41

Επίλυση µε το Excel Αναφορά Ευαισθησίας QSB Results 42

ιοικητικός ιάλογος Μπορούµε να γνωρίζουµε εκ των προτέρων το σύνολο αναφοράς? Μπορούµε να καταθέσουµε µία συγκεκριµένη πρόταση βελτίωσης? Η σύνθετη κλινική υποδεικνύει τα επίπεδα τα οποία θα µπορούσε να θέσει ως στόχους για τις εισροές και τις εκροές. Αυτό όµως δεν σηµαίνει ότι η κλινική Α δεν µπορεί να βελτιωθεί µε κάποιες άλλες τιµές για τις παραµέτρους αυτές όπως είδαµε στα προηγούµενα πειράµατα. Αρκετές φορές οι στόχοι είναι αδύνατο να επιτευχθούν, λόγω εξωγενών παραγόντων που καθορίζουν τις τιµές παραµέτρων Σχολιάστε τις έννοιες της σχετικής και της απόλυτης αποδοτικότητας Υπάρχει περίπτωση να έχουµε µόνο µία σχετικά αποδοτική λειτουργική µονάδα? Τι σηµαίνειαυτότόσογιατααποτελέσµατα που θα δώσει το γραµµικό µοντέλο όσο και για το αληθινό σύστηµα? QSB Results 43