ΜΕΡΟΣ Α. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 177. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Αν οι παρατηρήσεις είναι πολλές τότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων χωρίζοντας το διάστημα που ανήκουν οι παρατηρήσεις σε υποδιαστήματα. Τα υποδιαστήματα αυτά λέγονται κλάσεις. Αν για παράδειγμα έχουμε το διάστημα των παρατηρήσεων να είναι από 1 έως 5 μπορούμε να το χωρίσουμε σε 5 κλάσεις 1-1, 1-2, 2-3, 3-, -5 πλάτους 1 η καθεμία. Οι αριθμοί 1,1,2,3,,5 λέγονται άκρα των κλάσεων. Τα κέντρα των 5 αυτών κλάσεων είναι οι αριθμοί 5, 15,25,35,5 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Μια οµαδοποιηµένη κατανοµή παριστάνεται µε ιστόγραµµα, που αποτελείται από συνεχόµενα ορθογώνια, τα οποία έχουν ύψος ίσο µε τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην οµαδοποίηση των παρατηρήσεων, οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες που έχουµε βρει στον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων,δεν αναφέρονται σε µεµονωµένους αριθµούς, αλλά στις κλάσεις. Έτσι, λέµε ότι η κλάση 1-1 έχει συχνότητα 5 και σχετική συχνότητα 2% χωρίς να γνωρίζουµε τη συχνότητα καθεµιάς από τις τιµές 1, 2, 3,...9 που ανήκουν στην κλάση αυτή.
178 ΜΕΡΟΣ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ-ΔΕΙΓΜΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. ίνονται τα οµαδοποιηµένα δεδοµένα του παρακάτω πίνακα. Κλάσεις -5 5-1 1-15 15-2 Συχνότητες 3 5 8 Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Α Β Γ Δ 1 Τ ο πλάτος κάθε κλάσης είναι: 5 2 2 2 Το κέντρο της κλάσης 5-1 είναι: 5 15 7,5 1 3 Η συχνότητα της κλάσης 5-1 είναι: 8 8 8 5 5 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Το πλάτος κάθε κλάσης είναι 5-=5, 1-5=5, 15-1=5, 2-15=5(Γ) 5 + 1 2. Το κέντρο της κλάσης 5-1 είναι: = 7, 5(το Γ) 2 3. Η συχνότητα της κλάσης 5-1 είναι: 5 (το Δ) 2. ίνονται οι βαθµοί που πήραν 2 µαθητές σ ένα διαγώνισµα: 18 16 12 6 1 11 7 13 18 12 15 3 1 8 18 7 1 1 11 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις - -8 8-12 12-16 16-2 Συχνότητες 1 5 6 Σχετικές συχνότητες 5% 2% 25% 3% 2% ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 =,5 ή 5%, 2 2 =,2 ή 2%, 5 2 =,25 ή 25%, 6 2 =,3 ή 3%
ΜΕΡΟΣ Α. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 179 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Στο ιστόγραµµα δίνονται οι ηλικίες 12 ατόµων που εργάζονται σ ένα υπουργείο. Τα δεδοµένα είναι οµαδοποιηµένα σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Το ορθογώνιο της κλάσης -5 δεν είναι συµπληρωµένο. Ηλικίες εργαζομένων 6 5 3 36 8 2 1 12-2 2-3 3- -5 5-6 Ηλικίες σε έτη α) Να βρείτε τη συχνότητα των κλάσεων. Να συµπληρώσετε το ιστόγραµµα. α) Η συχνότητα της κλάσης (,2) είναι. Η συχνότητα της κλάσης (2,3) είναι 12. Η συχνότητα της κλάσης (3,) είναι 36. Η συχνότητα της κλάσης (5,6) είναι 8. Επομένως η συχνότητα της κλάσης (,5) είναι 12-(+12+36+8)=12-96=2. Ηλικίες εργαζομένων 6 5 36 8 3 2 1 2 12-2 2-3 3- -5 5-6 Ηλικίες σε έτη
18 ΜΕΡΟΣ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ-ΔΕΙΓΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 2 Ο αριθµός των τροχαίων παραβάσεων στην Εθνική Οδό, που έγινε κατά τη διάρκεια ενός µήνα ανά ηµέρα, ήταν: 261 211 223 282 272 211 233 267 27 23 27 221 29 21 29 21 22 211 262 285 298 272 21 232 215 272 25 21 263 22 α) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους Να γίνει το ιστόγραμμα συχνοτήτων. α) Κλάσεις Διαλογή Συχνότητες 2-22 8 22-2 2-26 7 26-28 7 28-3 ΣΥΝΟΛΑ 3 9 8 7 6 5 3 2 1 8 7 7 2-22 22-2 2-26 26-28 28-3 αριθμός τροχαίων παραβάσεων ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε µια έρευνα ρωτήθηκαν 5 άτοµα για τον αριθµό των ηµερών που ξεκουράστηκαν τον τελευταίο µήνα. Προέκυψαν οι παρατηρήσεις 2 3 1 2 6 1 1 2 5 7 2 7 1 2 5 2 1 6 3 6 2 6 9 3 8 5 6 2 3 8 3 8 3 3 5 6 α) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους. Να γίνει το ιστόγραµµα συχνοτήτων. α)
ΜΕΡΟΣ Α. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 181 Κλάσεις Διαλογή Συχνότητες -2 8 2-15 -6 15 6-8 8 8-1 ΣΥΝΟΛΑ 5 ΑΡΙΘΜΟΣ ΗΜΕΡΩΝ ΞΕΚΟΥΡΑΣΗΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΤΟΜΩΝ 16 1 12 1 8 6 2 (-2) (2-) (-6) (6-8) (8-1) ΗΜΕΡΕΣ ΞΕΚΟΥΡΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ Η βαθµολογία 3 µαθητών σ ένα διαγώνισµα στο κεφάλαιο της Στατιστικής είναι: 18 1 19 1 12 1 1 1 19 12 6 12 1 1 12 1 1 12 1 19 8 16 18 6 16 18 18 α) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους. Να γίνει το ιστόγραµµα συχνοτήτων. α) Κλάσεις Διαλογή Συχνότητες - 1-8 5 8-12 12-16 11 16-2 9 ΣΥΝΟΛΑ 3 ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 12 11 1 9 ΒΑΘΜΟΙ 8 6 5 2 1 (-) (-8) (8-12) (12-16) (16-2) ΚΛΙΜΑΚΑ ΒΑΘΜΩΝ
182 ΜΕΡΟΣ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ-ΔΕΙΓΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 5 Από µία έρευνα που έγινε µεταξύ 8 εργαζοµένων µιας επιχείρησης για το πόσες ηµέρες ήταν άρρωστοι τον περασµένο χρόνο, βρέθηκαν τα αποτελέσµατα που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Ημέρες ασθένειας -1 1-2 2-3 3- ποσοστό 35% % 15% 1% Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα κατανομής συχνοτήτων ΠΟΣΟΣΤΟ 5 35 3 25 2 15 1 5 35 (-1) (1-2) (2-3) (3-) 15 ΗΜΕΡΕΣ ΑΣΘΕΝΕΙΑΣ 1
ΜΕΡΟΣ Α. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 183 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ενότητα: Ομαδοποίηση παρατηρήσεων. - Εύρεση μέσης τιμής ομαδοποιημένων παρατηρήσεων. Στόχοι: Να κατανοήσουν οι μαθητές τη διαδικασία ομαδοποίησης στατιστικών δεδομένων καθορίζοντας το πλάτος των κλάσεων και να μπορούν να υπολογίσουν τη μέση τιμή ομαδοποιημένων παρατηρήσεων. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας Οι μετρήσεις για το ύψος σε cm, παιδιών αμέσως μετά τη συμπλήρωση του 18ου μήνα της ζωής τους είναι: α) Να γίνει η διαλογή των παρατηρήσεων και να συμπληρωθούν οι επόμενοι πίνακες.
18 ΜΕΡΟΣ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ-ΔΕΙΓΜΑ Από το δεύτερο πίνακα να βρεθεί το μέσο ύψος των παιδιών. γ) Να συμπληρώσετε το διπλανό ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.