Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

. Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας, αν το ίδιο κεφάλαιο το τοκίσουμε για ένα ακόμη έτος, θα δώσει πάλι τόκο ίσο με I= i. Συνολικά λοιπόν στα δύο έτη δημιουργείται τόκος Ι =Κ ι. Σημειώνεται ότι ο δείκτης στο σύμβολο του τόκου I δείχνει ότι πρόκειται για τον τόκο στα δύο έτη. Ανάλογα αν το κεφάλαιο τοκισθεί για τρία έτη, δημιουργούνται συνολικά τόκοι Ι =Κ ι. Συνεχίζοντας με την ίδια λογική μπορούμε να γενικεύσουμε τον τύπο για την εύρεση του τόκου μετά από n έτη ως εξής: In n i Το νέο κεφάλαιο που δημιουργείται στο τέλος των n ετών είναι ίσο με το αρχικό κεφάλαιο συν τους τόκους των n ετών, το συμβολίζουμε με n και είναι: n In ή n n i Αυτή είναι η βασική εξίσωση του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη και το επιτόκιο είναι ετήσιο. Όταν έχουμε ετήσιο επιτόκιο, αλλά ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες, τον ανάγουμε σε έτη διαιρώντας με το, οπότε έχουμε για τον τόκο: I i και για το νέο κεφάλαιο: i Όταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, τον ανάγουμε σε έτη διαιρώντας με το 65, οπότε για τον τόκο έχουμε: I i 65 και για το νέο κεφάλαιο: i 65 Πολλές φορές, για ευκολία στους υπολογισμούς, θεωρούμε ότι το έτος έχει 60 ημέρες και ο κάθε μήνας 0 ημέρες. Στην περίπτωση αυτή το έτος καλείται εμπορικό έτος. Το εμπορικό έτος χρησιμοποιείται στις συναλλαγές στις σκανδιναβικές χώρες, στη Γερμανία, στη Ρωσία κ.α. Όταν χρησιμοποιούμε το ημερολογιακό έτος με τους μήνες στην πραγματική τους διάρκεια, δηλαδή 0 ή ημέρες και 8 ή 9 για τον Φεβρουάριο, το έτος καλείται πολιτικό έτος. Το πολιτικό έτος το χρησιμοποιούν στις συναλλαγές τους η Μεγάλη Βρετανία και οι ΗΠΑ. Κάτι ενδιάμεσο το οποίο χρησιμοποιείται από τη χώρα μας και άλλες χώρες (όπως Ιταλία, Ισπανία, Γαλλία κ.α.) είναι το μικτό έτος. Εδώ οι μήνες λαμβάνονται όπως στο ημερολογιακό έτος, αλλά το σύνολο των ημερών του έτους θεωρείται 60 ημέρες. Όλα τα παραπάνω φαίνονται στον πίνακα.: Έτος Μήνας Χρόνος Πολιτικό 8, 9, 0, μέρες 65 ή 66 μέρες Εμπορικό 0 μέρες 60 μέρες Μικτό 8, 9, 0, μέρες 60 μέρες Πίνακας. Είδη ετών

... Εύρεση του τόκου Παράδειγμα Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου.000 το οποίο τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 7% για 5 έτη. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: στον τύπο του απλού τόκου: μικτό.).000 n 5 i 0,07 I5 ni I5 5i.000 50,07.050 Παράδειγμα Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου.000 το οποίο τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 4% για 8 μήνες. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: στον τύπο του απλού τόκου I.000 8 i 0,04 i.000 80,04 I8 80 Παράδειγμα Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 0.000 το οποίο τοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 9% για 70 ημέρες. (Έτος Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: στον τύπο του απλού τόκου I 0.000 70 i 0,09 i 0,000 70 0.09 I 75 60 60 Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 0.000 το οποίο τοκίστηκε από την η Ιανουαρίου 05 έως τις 6 Μαρτίου 05 με ετήσιο επιτόκιο 9%. (Έτος μικτό.) Από την η Ιανουαρίου 05 έως τις 5 Μαρτίου 05 έχει μέρες ο Ιανουάριος, 8 μέρες ο Φεβρουάριος και 5 μέρες ο Μάρτιος, δηλαδή το κεφάλαιο μας τοκίζεται για +8+6-=84 ημέρες. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα: 0.000 84 i 0,09 στον τύπο του απλού τόκου και έχουμε: i 0.000 84 0,09 I I 0 60 60 Το νέο κεφάλαιο που δημιουργείται είναι το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου, δηλαδή: I 0.000 0 0.0

... Εύρεση του επιτοκίου Παράδειγμα 5 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο 5.000 για 5 έτη και έδωσε τόκο 4.500; Θα αντικαταστήσουμε τα δεδομένα της άσκησης στον τύπο του απλού τόκου (=5.000 n=5 I=4.500). I 4.500 I ni i i 0,06 n 75.000 Δηλαδή το επιτόκιο είναι 6%. Παράδειγμα 6 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο 7.000 από τις 5 Ιανουαρίου 05 έως τις 0 Μαρτίου 05 και έδωσε τόκο ; (Έτος μικτό.) Ο αριθμός των ημερών που τοκίζεται το κεφάλαιο είναι: Ιανουάριος: 7 Φεβρουάριος: 8 Μάρτιος: 0 Δηλαδή, συνολικά 7+8+0=65 ημέρες από τις οποίες αφαιρούμε μία, άρα έχουμε 64 τοκοφόρες ημέρες. (ν=64) Επιπλέον, γνωρίζουμε το κεφάλαιο Κ=790 και τον τόκο Ι=. Λύνουμε τον τύπο του απλού τόκου ως προς το επιτόκιο: 60 I i 60 I i i I 60 αντικαθιστούμε τα δεδομένα: 60 I 60 i 0,09 7.000 64 Παρατήρηση Προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αριθμό των τοκοφόρων ημερών μιας περιόδου, για να μην μετράμε τις ημέρες κάθε μήνα, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον πίνακα τοκοφόρων ημερών. Ο πίνακας αυτός (.) σε κάθε ημερομηνία αντιστοιχίζει τον αριθμό ημερών από την η του έτους. Αρκεί να βρούμε σε πόσες ημέρες από την αρχή του έτους αντιστοιχεί η ημερομηνία έναρξης και λήξης της περιόδου τοκισμού και να τις αφαιρέσουμε για να βρούμε τις τοκοφόρες ημέρες που αντιστοιχούν. Στο παραπάνω παράδειγμα η περίοδος τοκισμού είναι από 5 Ιανουαρίου 05 μέχρι 0 Μαρτίου 05. Έναρξη στις 5 Ιανουαρίου 05 σημαίνει 5 ημέρες από την η του έτους. Λήξη στις 0 Μαρτίου 05 σημαίνει 79 ημέρες από την η του έτους. Άρα, οι τοκοφόρες ημέρες είναι: 79 5=64 ημέρες. Αν η περίοδος τοκισμού εκτείνεται σε περισσότερα από ένα έτη π.χ. από 0 Νοεμβρίου 04 έως 5 Φεβρουαρίου 05, τότε υπολογίζουμε τον αριθμό των τοκοφόρων ημερών δύο περιόδων, δηλαδή από 0 Νοεμβρίου 04 έως Δεκεμβρίου 04 και από η Ιανουαρίου 05 έως 5 Φεβρουαρίου 05. Για την περίοδο από 0 Νοεμβρίου 04 έως Δεκεμβρίου 04 έχουμε: 65 4=5 ημέρες. Για την περίοδο από η Ιανουαρίου 05 έως 5 Φεβρουαρίου 05 έχουμε 56 ημέρες. Άρα, για την περίοδο από 0 Νοεμβρίου 04 έως 5 Φεβρουαρίου 05 έχουμε συνολικά 5+56=07 τοκοφόρες ημέρες. Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α Σ Ο Ν Δ 60 9 5 8 44 74 05 5 6 9 5 8 4 45 75 06 6 4 6 9 54 84 5 46 76 07 7

4 4 5 6 94 4 55 85 6 47 77 08 8 5 5 6 64 95 5 56 86 7 48 78 09 9 6 6 7 65 96 6 57 87 8 49 79 0 0 7 7 8 66 97 7 58 88 9 50 80 4 8 8 9 67 98 8 59 89 0 5 8 4 9 9 40 68 99 9 60 90 5 8 4 0 0 4 69 00 0 6 9 5 8 4 44 4 70 0 6 9 54 84 5 45 4 7 0 6 9 4 55 85 6 46 44 7 0 64 94 5 56 86 7 47 4 4 45 7 04 4 65 95 6 57 87 8 48 5 5 46 74 05 5 66 96 7 58 88 9 49 6 6 47 75 06 6 67 97 8 59 89 0 50 7 7 48 76 07 7 68 98 9 60 90 5 8 8 49 77 08 8 69 99 0 6 9 5 9 9 50 78 09 9 70 00 6 9 5 0 0 5 79 0 40 7 0 6 9 4 54 5 80 4 7 0 64 94 5 55 5 8 4 7 0 4 65 95 6 56 54 8 4 74 04 5 66 96 7 57 4 4 55 8 4 44 75 05 6 67 97 8 58 5 5 56 84 5 45 76 06 7 68 98 9 59 6 6 57 85 6 46 77 07 8 69 99 0 60 7 7 58 86 7 47 78 08 9 70 00 6 8 8 59 87 8 48 79 09 40 7 0 6 9 9 88 9 49 80 0 4 7 0 6 0 0 89 0 50 8 4 7 0 4 64 90 5 4 04 65 Πίνακας. Αριθμός τοκοφόρων ημερών Παράδειγμα 7 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο 7.000 το οποίο μετά από 7 έτη έγινε.40; Εδώ μας δίνεται το νέο κεφάλαιο το οποίο δημιουργήθηκε, δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο συν τους τόκους I, το αρχικό κεφάλαιο και ο χρόνος τοκισμού και πρέπει να βρούμε το επιτόκιο. Θα πάρουμε τον τύπο απλού τόκου και θα λύσουμε ως προς το επιτόκιο I n i n i i n Εφαρμόζουμε τον τύπο στα δεδομένα του παραδείγματος:.40 7.000 i i 0,09 n 7.000 7 Δηλαδή το επιτόκιο είναι 9%.

Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να βρούμε τον τόκο αφαιρώντας το αρχικό από το τελικό κεφάλαιο και να δουλέψουμε όπως στα προηγούμενα παραδείγματα. Παράδειγμα 8 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε κεφάλαιο το οποίο διπλασιάστηκε σε 0 έτη; Το νέο κεφάλαιο είναι. Γνωρίζουμε ότι στον απλό τόκο ισχύει: ( n i) όπου αντικαθιστούμε το ίσο του ( n i) μπορούμε να διαγράψουμε το από τα δύο μέλη, οπότε έχουμε ni ni i 0, n 0 Παρατηρούμε ότι το ερώτημα είναι ανεξάρτητο του κεφαλαίου. Δηλαδή, οποιοδήποτε κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο, χρειάζεται επιτόκιο 0% προκειμένου να διπλασιαστεί σε 0 έτη. αυτού; Παράδειγμα 9 Με ποιο επιτόκιο τοκίστηκε ένα κεφάλαιο για 6 μήνες και έφερε τόκο ίσο με το /8 του κεφαλαίου O τόκος είναι ίσος με το /8 του κεφαλαίου I 8 από την άλλη το κεφάλαιο τοκίζεται για 6 μήνες, άρα δίνει τόκο i I i από τις δύο σχέσεις έχουμε i i 0,5 8 4 Άρα, το επιτόκιο είναι 5%. Παράδειγμα 0 Με ποιο επιτόκιο τοκίσθηκε κεφάλαιο 600 που μετά από 6 μήνες έγινε με τους τόκους του 68; Οι τόκοι του κεφαλαίου είναι I 68 600 8 αφού το κεφάλαιο τοκίστηκε για 6 μήνες θα έχουμε 6 I i 600 i 00i από την παραπάνω σχέση έχουμε 8 00i 8 i 0,06 00 Άρα, το επιτόκιο είναι 6%.... Εύρεση του χρόνου Παράδειγμα. Πόσα έτη πρέπει να τοκισθεί κεφάλαιο 5.000 με επιτόκιο 5% για να γίνει 7.50; Γνωρίζουμε το αρχικό και το τελικό κεφάλαιο από όπου βρίσκουμε τον τόκο I 7.50 5.000.50

από τον τύπο του απλού τόκου έχουμε I I ni n i αντικαθιστούμε τα δεδομένα του παραδείγματος και I.50 n 9 i 5.0000,05 Συνεπώς το κεφάλαιο θα τοκισθεί για 9 έτη. Παράδειγμα. Πόσα έτη πρέπει να τοκισθεί κεφάλαιο με επιτόκιο 5% έτσι ώστε να τριπλασιαστεί; Αν το αρχικό κεφάλαιο είναι Κ το τελικό κεφάλαιο θα είναι από όπου βρίσκουμε τον τόκο I από τον τύπο του απλού τόκου έχουμε I I ni n i i i συνεπώς ο αριθμός των ετών που απαιτούνται για τον τριπλασιασμό ενός κεφαλαίου είναι n i άρα, με επιτόκιο 5% χρειάζονται n 40 έτη. 0.05 Γενικά, για να γίνει το τελικό κεφάλαιο λ φορές το αρχικό, απαιτούνται: n έτη i (αυτό προκύπτει αν εργαστούμε ανάλογα με την παραπάνω περίπτωση του τριπλασιασμού)...4 Προβλήματα απλού τόκου με πολλά κεφάλαια Θα ασχοληθούμε με προβλήματα απλού τόκου τα οποία εμπλέκουν πολλά κεφάλαια. Παράδειγμα Κεφάλαια 4.000, 7.700, 9.500 και 0.600 ευρώ τοκίστηκαν για 64, 79, 08 και 8 ημέρες αντίστοιχα με κοινό επιτόκιο 7%. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος. Έχουμε 4.000 64 για τον συνολικό τόκο ισχύει έχουμε 7.700 79 9.500 08 0.600 8 4 4 I I I I I 4 i i i 4i 4 60 60 60 60 i 4 4 60

56.000 608.00.06.000.56.800 4 4.47.00 άρα 0,07 I.47.00 6,8 60 Ο συνολικός τόκος από τα τέσσερα κεφάλαια είναι 6,8. Παράδειγμα 4 Τοκίστηκαν τα εξής κεφάλαια: α) 500 από η Ιανουαρίου 05 έως 9 Φεβρουαρίου 05. β) 700 από 0 Μαρτίου 05 έως 0 Απριλίου 05. γ) 000 από η Ιανουαρίου 05 έως Μαρτίου 05. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος, αν το επιτόκιο είναι 7% και το έτος μικτό. Από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών (.) υπολογίζουμε πόσες μέρες τοκίστηκε το κάθε κεφάλαιο: 500, 0/- 09 /, 40-9, 4 4 700, 0 / -0 / 4, 00-79,.000, 0/- /, 90-89, ο συνολικός τόκος και πάλι είναι: i i i I I I I 60 60 60 i 60 έχουμε 9.500 Επομένως, ο συνολικός τόκος είναι: 4.700 89.000.00 0,07 I.00,95 60 Παράδειγμα 5 Κάποιος τοκίζει το / του κεφαλαίου του με επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο με 9% και εισπράττει από το δεύτερο μέρος.0 περισσότερο ετήσιο τόκο από ότι εισπράττει από το πρώτο μέρος. Ποιο είναι το συνολικό κεφάλαιο που τόκισε; Θα πρέπει πρώτα να επιμερίσουμε το αρχικό κεφάλαιο σε δύο μικρότερα κεφάλαια, έτσι ώστε: κάθε κεφάλαιο να σχετίζεται με το αρχικό ως εξής:, Επίσης, λαμβάνουμε υπόψη ότι «εισπράττει από το δεύτερο μέρος.0 περισσότερο ετήσιο τόκο από ότι εισπράττει από το πρώτο μέρος», δηλαδή

I I.0 i i.0 0, 09 0, 06.0 0, 04.0 8.000 Παράδειγμα 6 Τοκίζουμε το /6 του κεφαλαίου μας με 9% για 6 μήνες, το / με 6% για 6 μήνες και το υπόλοιπο με 8% για χρόνο. Αν ο συνολικός τόκος που πήραμε είναι.44, ποιο είναι το αρχικό μας κεφάλαιο; Θα πρέπει πρώτα να επιμερίσουμε το κεφάλαιο στα τρία μικρότερα κεφάλαια, έτσι ώστε κάθε κεφάλαιο να σχετίζεται με το αρχικό ως εξής:,, 6 6 6 4 ο συνολικός τόκος είναι i i i I I I I i i i = από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε:, 6, i =0.09 i 0.09 6, 6, i =0.06 i 0.0,, i =0.08 i 0.7 4 δηλαδή i i i 0,84 Αφού ο συνολικός τόκος για το αρχικό κεφάλαιο είναι 450, έχουμε 0,84.44 9.00 Παράδειγμα 7 Δύο κεφάλαια τοκίστηκαν επί 9 μήνες, το πρώτο με επιτόκιο 6% και το δεύτερο με 7% και έδωσαν συνολικό τόκο 4.500. Αν ο τόκος του β' κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος του τόκου του α' κεφαλαίου κατά.800, να βρεθούν τα κεφάλαια που τοκίστηκαν. Έστω και τα κεφάλαια τα οποία τοκίστηκαν. Ο τόκος του κάθε κεφαλαίου είναι: i 9 0,06 I 0,045 i 9 0,07 I 0, 055 Έχουμε ότι τα δύο κεφάλαια «έδωσαν συνολικό τόκο 4.500», δηλαδή II 4.500

Επίσης έχουμε ότι «ο τόκος του β κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος του τόκου του α κεφαλαίου κατά.800», δηλαδή I.800 I Από τις δύο τελευταίες σχέσεις βρίσκουμε τον τόκο του κάθε κεφαλαίου I.800 I 4.500 I.700 I.50 I.50 και. Από τις σχέσεις τόκου κεφαλαίου βρίσκουμε τα κεφάλαια.50 0, 045 0.000.50 0, 055 60.000 Παράδειγμα 8 Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά 50. Το μεγαλύτερο τοκίστηκε με επιτόκιο 6% και το μικρότερο με 8%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν αντίστοιχα και οι ετήσιοι τόκοι προκύπτουν ίσα ποσά. Ποια ήταν τα κεφάλαια αυτά; Ας ονομάσουμε το μεγαλύτερο και το μικρότερο κεφάλαιο αντίστοιχα. Εφόσον διαφέρουν κατά 50 ισχύει: 50 Από το γεγονός ότι αν στα δύο κεφάλαια προστεθούν οι αντίστοιχοι ετήσιοι τόκοι προκύπτουν ίσα νέα κεφάλαια έχουμε: ( i ) ( i ) συνεπώς.700. ( 50)( i ) ( i ) ( i ) 50( i ) ( i ) ( i ) ( i ) 50( i ) ( i i ) 50( i ) i,06 i i 0,0 50 50.650 Παράδειγμα 9 Ένα κεφάλαιο τοκίζεται για 80 μέρες με επιτόκιο 9% ενώ τριπλάσιο κεφάλαιο τοκίζεται για 6 μήνες με επιτόκιο i. Ο συνολικός τόκος ανέρχεται στο /5 του αρχικού κεφαλαίου. Να βρεθεί το επιτόκιο με το οποίο τοκίζεται το δεύτερο κεφάλαιο. (Έτος Μικτό.) Έστω το πρώτο κεφάλαιο, ο τόκος του είναι: i 80 0,09 0,0 60 60 Το δεύτερο κεφάλαιο θα είναι Κ και ο τόκος του i 6i i Τα άθροισμα των τόκων είναι ίσο με το /5 του πρώτου κεφαλαίου, δηλαδή: 0,0 i 5 0, 0 i i 0, 5 Άρα, το δεύτερο κεφάλαιο τοκίζεται με επιτόκιο %. Παράδειγμα 0

Κεφάλαια 4.000 και 6.000 τοκίστηκαν με δύο διαφορετικά επιτόκια και έδωσαν συνολικό ετήσιο τόκο 60. Αν ο ετήσιος τόκος του πρώτου κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος του ετήσιου τόκου του δεύτερου κατά 0, με ποια επιτόκια τοκίστηκαν τα πιο πάνω κεφάλαια; έχουμε Έστω 4.000, 6.000 και i, i τα αντίστοιχα επιτόκια. Αν I I 60 I, I οι αντίστοιχοι ετήσιοι τόκοι II 0 Προσθέτουμε κατά μέλη το σύστημα αυτό και βρίσκουμε ότι: I 0, I 00 από τον τύπο του απλού τόκου έχουμε I 0 I i i 0,08 4.000 Άρα το πρώτο κεφάλαιο τοκίστηκε με επιτόκιο 8%, όμοια βρίσκουμε ότι το δεύτερο κεφάλαιο τοκίστηκε με επιτόκιο 5%. Παράδειγμα Δύο κεφάλαια που διαφέρουν κατά.000 τοκίζονται και τα δύο μαζί με επιτόκιο 0% και δίνουν στον ίδιο χρόνο τόκους που διαφέρουν κατά 00. Να βρεθεί ο χρόνος (σε μήνες). Επειδή τα κεφάλαια διαφέρουν κατά.000, έχουμε:.000 όπου είναι το μεγαλύτερο από τα δύο κεφάλαια. Αφού το επιτόκιο και ο χρόνος είναι ίδια, το μεγαλύτερο κεφάλαιο θα δώσει και μεγαλύτερο τόκο και η διαφορά των τόκων είναι 00, άρα i i 00 i 00.000 0, 00 6 Άρα, τα κεφάλαια τοκίζονται για 6 μήνες. Παράδειγμα Τόκισε κάποιος τα /5 του κεφαλαίου του με ετήσιο επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο με 8% για ένα έτος. Η διαφορά των τόκων είναι 60. Ποιο ήταν το συνολικό κεφάλαιο που τοκίστηκε; Η διαφορά των ετήσιων τόκων είναι 60, συνεπώς: 0, 08 0, 06 60 5 5 (0, 4 0,) 60 5.000 5 Παράδειγμα Πατέρας ο οποίος έχει τρία παιδιά με ηλικίες, και 6 ετών έχει στη διάθεσή του το ποσό των 6.000 και επιθυμεί να τους το μοιράσει και να καταθέσει στην τράπεζα το μερίδιο του καθενός με ετήσιο επιτόκιο 0%, έτσι ώστε όταν κάθε παιδί γίνει ετών να εισπράξει το ίδιο ποσό. Να βρεθούν τα μερίδια που θα κατατεθούν στην τράπεζα σήμερα για κάθε παιδί. Εδώ έχουμε τρία κεφάλαια (μερίδια) για το παιδί ηλικίας ετών το ποσό αυτό θα τοκιστεί για n 0 έτη για το παιδί ηλικίας ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για n 8 έτη

για το παιδί ηλικίας 6 ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για και πρέπει να αθροίζουν σε 6.000. Δηλαδή πρέπει 6.000 n 5 Τα κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο και για κάθε παιδί όταν θα γίνει ετών γίνονται: ( n i) ( n i),8 ( n i),5 Τα τελικά κεφάλαια πρέπει να είναι ίσα δηλαδή οπότε έχουμε,8 0,9,8,5, Αντικαθιστούμε στη σχέση () 0,9, 6.000 συνεπώς, 6.000 0.000 8.000 4.000 έτη () Παράδειγμα 4 Τρία κεφάλαια Κ, Κ, Κ είναι ανάλογα των αριθμών, 9, 8. Το πρώτο τοκίζεται για μήνες με επιτόκιο 6%, το δεύτερο για 4 μήνες με επιτόκιο 8% και το τρίτο για 6 μήνες με 5% και δίνουν συνολικό τόκο.45. Να βρεθούν τα κεφάλαια που τοκίστηκαν. Αφού τα κεφάλαια είναι ανάλογα των αριθμών, 9, 8 ισχύει: 9 9 8 8 Ο συνολικός τόκος είναι.45: 4 6 0, 06 0, 08 0, 05.45 0, 045 0, 4 0,.45 Τα κεφάλαια είναι: 0, 485.45 5.000 5.000 45.000 40.000..5. Κεφάλαια που τοκίζονται διαδοχικά Παράδειγμα 5 Καταθέτουμε κεφάλαιο Κ για μήνες με επιτόκιο 8%. Μετά το τέλος των μηνών το επιτόκιο αλλάζει και γίνεται 0%. Αφήνουμε το κεφάλαιο για άλλους 6 μήνες. Αν τελικά πήραμε κεφάλαιο και τόκους μαζί.85, ποιο είναι το ποσό που τοκίσαμε;

Το αρχικό κεφάλαιο τοκίζεται σε δύο φάσεις. Πρώτα για μήνες και στη συνέχεια το κεφάλαιο που δημιουργείται για άλλους 6 μήνες. Έστω το αρχικό κεφάλαιο, το νέο κεφάλαιο που δημιουργείται μετά από μήνες και τέλος έστω Σχηματικά 0 το τελικό κεφάλαιο αφού περάσουν άλλοι 6 μήνες. 6 0 i 0,08 i 0,.85 Εφαρμόζουμε δύο φορές τον τύπο του απλού τόκου i 0 i Από εδώ μπορούμε να συνεχίσουμε με δύο τρόπους: ος τρόπος. Από τη δεύτερη σχέση γνωρίζουμε τα άρα μπορούμε να βρούμε το,, i 60,.85.85, 05 85 /, 05.40 στη συνέχεια αντικαθιστούμε στην πρώτη και έχουμε i 0 0,08.40 0.40, 0.000 0 0 ος τρόπος. Αντικαθιστούμε την πρώτη στη δεύτερη σχέση και έχουμε i i 0 i i i i 0 0,0 0,05 0,00 0 0,07.85.000,07,07 0 Παράδειγμα 6 Τόκισε κάποιος, με απλό τόκο, 4.400. Το επιτόκιο κατάθεσης ήταν στην αρχή 5% άλλαξε όμως μετά από μερικές ημέρες (ν) και έγινε 4%. Να βρεθεί ο αριθμός των ημερών (ν) από την αρχή της κατάθεσης μέχρι να αλλάξει το επιτόκιο, αν είναι γνωστό ότι το σύνολο των τόκων στο τέλος του έτους ήταν 67,4. Έτος μικτό. Η συνολική περίοδος που τοκίστηκε το κεφάλαιο είναι ένα έτος. Τις πρώτες έστω ημέρες τοκίστηκε με επιτόκιο i 0,05, ενώ τις επόμενες 60 ημέρες τοκίστηκε με επιτόκιο i 0,04. Επίσης γνωρίζουμε το αρχικό κεφάλαιο 0 4.400 και το συνολικό τόκο I 67,4. Τα δεδομένα αυτά περιγράφονται σχηματικά παρακάτω

4.400 67, 4 60 0 i0,05 i0,04 0 Εφαρμόζουμε δύο () φορές τον τύπο του απλού τόκου i i 0, 60 60 Αντικαθιστούμε και έχουμε i i 0 60 60 i i i i 0 60 60 60 i (60 ) i (60 ) i i 0 60 60 60 άρα i i i i i i 0 i 60 60 60 60 i i i i i i 0 i 60 60 i i i i i i i 60 60 0 i i i i i i i 0 60 60 0 0.00 0.0 0,00875 0 60 60 Λύνουμε την παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση και βρίσκουμε λύσεις 90 και.070 μέρες. Προφανώς δεκτή είναι η πρώτη λύση άρα το αρχικό κεφάλαιο τοκίζεται με επιτόκιο 5% και για τις υπόλοιπες 70 μέρες με επιτόκιο 4%. Παράδειγμα 7 Δυο κεφάλαια, από.000 το καθένα, τοκίστηκαν με κοινό επιτόκιο 8%. Έως σήμερα, το πρώτο έδωσε τόκο 70 και το δεύτερο 0. Σε πόσο χρόνο (ημέρες) από σήμερα, ο συνολικός τόκος του πρώτου κεφαλαίου θα είναι διπλάσιος του συνολικού τόκου του δεύτερου κεφαλαίου; Εδώ έχουμε δύο κεφάλαια τα οποία τοκίζονται σε δύο φάσεις, η πρώτη φάση τοκισμού δεν γνωρίζουμε αν άρχισε μαζί για τα δύο κεφάλαια αλλά η δεύτερη φάση τοκισμού άρχισε μαζί και διήρκεσε ίδιο χρόνο ημέρες. Έχουμε λοιπόν I I I I όπου I, Iοι συνολικοί τόκοι για κάθε κεφάλαιο, και I, Iοι τόκοι της πρώτης φάσης τοκισμού. Εφαρμόζουμε τον τύπο του απλού τόκου για την πρώτη φάση τοκισμού i 60I 60 70 I 5 60 i 80 i 60I 60 0 I 5 60 i 80 Θέλουμε «ο συνολικός τόκος του πρώτου κεφαλαίου να είναι διπλάσιος του συνολικού τόκου του δεύτερου κεφαλαίου», δηλαδή I I

τότε το πρώτο κεφάλαιο θα έχει τοκιστεί συνολικά ημέρες και το δεύτερο συνεπώς i i 60 60 45 Δηλαδή θα χρειαστεί να τοκιστούν ακόμα 45 ημέρες από σήμερα. ημέρες, Παράδειγμα 8 Κεφάλαιο Κ τοκίσθηκε για 0 ημέρες και έγινε με τους τόκους του.000. Το ποσό αυτό τοκίσθηκε στη συνέχεια με το ίδιο επιτόκιο για 90 ημέρες και έγινε μαζί με τους τόκους του.99,. Να βρεθεί το επιτόκιο και το αρχικό κεφάλαιο Κ (έτος εμπορικό). Πάλι εδώ έχουμε ένα κεφάλαιο το οποίο τοκίζεται σε δύο φάσεις, στην αρχή για 0 ημέρες και στη συνέχεια για 80 ημέρες. Τα δεδομένα της άσκησης φαίνονται παρακάτω 0 90 0 i i.560.900 και i i 0, 60 60 Στη δεύτερη εξίσωση το μόνο άγνωστο μέγεθος είναι το επιτόκιο, λύνουμε ως προς αυτό: i i 60 i 60 60 60.99, i 4 0,0 0,08 90.560 Άρα το κοινό επιτόκιο είναι 8%. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το αρχικό κεφάλαιο: 0 0 i 60.560.560 0.000 0 0.08.067 60 Άρα το ζητούμενο αρχικό κεφάλαιο είναι.000. Παράδειγμα 9 Μια επιχείρηση δανείζει για 40 μέρες ένα ποσό 4.600 με μηνιαίο επιτόκιο 6% και μετά το κεφάλαιο και τον τόκο που πήρε, τα καταθέτει σε μια Τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο 8%. Μετά από πόσες μέρες θα έχει δυνατότητα να αποσύρει από την τράπεζα, όποια στιγμή θέλει, ποσό 7.00; Οι 40 ημέρες αντιστοιχούν σε 8 μήνες έτσι τα δεδομένα της άσκησης παριστάνονται σχηματικά: =4.600 7.00 40 0 i0,06 i0,08 Ισχύει 0( i ) από όπου υπολογίζουμε το νέο κεφάλαιο : ( i ) 4.600( 80,06) 0 4.600,48 6.808 Για τη δεύτερη φάση έχουμε i i 60 60 60 0, 09 7.00 4.000 0 6.808

Τελικά, προκειμένου να δημιουργηθεί απόθεμα 7.00 ευρώ, θα χρειαστεί να τοκισθεί το νέο ποσό για επιπλέον 0 ημέρες...6. Μέσο επιτόκιο Έστω δύο κεφάλαια και τα οποία τοκίζονται για και ημέρες και με επιτόκια και αντίστοιχα. Αυτά δίνουν συνολικό τόκο i i I 65 65 Αν τα ίδια κεφάλαια και τοκισθούν και πάλι για και ημέρες αντίστοιχα αλλά με κοινό επιτόκιο i, τότε ο τόκος που δίνουν είναι i i I 65 65 Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι αν γνωρίζουμε τα,,, και, να βρούμε το κοινό επιτόκιο το οποίο θα δημιουργούσε τον ίδιο τόκο. Το επιτόκιο αυτό καλείται μέσο επιτόκιο. Είναι προφανές ότι το μέσο επιτόκιο δεν ξεπερνά το μεγαλύτερο από τα δύο επιτόκια και είναι μεγαλύτερο από το μικρότερο από τα δύο επιτόκια (βρίσκετε δηλαδή ανάμεσα τους αν ). Για να βρούμε το μέσο επιτόκιο των δύο κεφαλαίων i i i i 65 65 65 65 i i i i i i i i i i i i 65 65 i i i i i i Μπορούμε να γενικεύσουμε για m κεφάλαια,,, m τα οποία τοκίζονται για,,, m ημέρες με αντίστοιχα επιτόκια i, i,, i m τότε το μέσο επιτόκιο δίνεται από τον τύπο i i m i i m m ή i m j m j i j Είναι φανερό ότι ο ίδιος τύπος ισχύει αν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες ή έτη. Παράδειγμα 0 Δίνονται δύο κεφάλαια.000 και.000 ευρώ τα οποία τοκίζονται για 0 και 60 ημέρες και με επιτόκια i 0,09 και i 0,06 αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέσο επιτόκιο. j j j j m m

Εφαρμόζουμε τα δεδομένα στον τύπο του μέσου επιτοκίου και έχουμε i i.000 0 0,09.000 60 0,06 i.000 0.000 60,6 0,07 00 Δηλαδή το μέσο επιτόκιο είναι 7,%. Παράδειγμα Κεφάλαια.000,.800 και.00 τοκίστηκαν αντίστοιχα επί 90, 50 και 00 ημέρες με αντίστοιχα επιτόκια 5%, 7%, 9%. Να υπολογιστεί το μέσο επιτόκιο. Έτος μικτό. Εφαρμόζουμε τον τύπο του μέσου επιτοκίου i i i i.000 900,05.800 50 0,07.00 00 0,09.000 90.800 50.00 00 4,5 8,9 57,6 8 0,08 90 70 640 000 Δηλαδή το μέσο επιτόκιο είναι 8,%. Παράδειγμα Κεφάλαια.000,.000 και 5.000 τοκίστηκαν με επιτόκια 5%, 8%, 0% αντίστοιχα για τον ίδιο αριθμό ημερών. Να υπολογιστεί το μέσο επιτόκιο. Εφαρμόζουμε τον τύπο του μέσου επιτοκίου i i i i i i i.000 0, 05.000 0, 08 5.000 0,.000.000 5.000 00 40 500 840 0,084 0.000 0.000 Άρα το μέσο επιτόκιο είναι 8.4%. Παράδειγμα Κεφάλαια.000 και.000 τοκίστηκαν για 00 και 00 ημέρες αντίστοιχα. Αν το μέσο επιτόκιο είναι 8% και το δεύτερο κεφάλαιο τοκίστηκε με επιτόκιο %, να υπολογιστεί το επιτόκιο με το οποίο τοκίστηκε το πρώτο κεφάλαιο. Παίρνουμε τον τύπο του μέσου επιτοκίου i i i και λύνουμε ως προς i.

i i i i i i i i i i i i ( i i ).000 00 i i ( i i ) i 0, 08 (0, 08 0,) 0, 05.000 00 Άρα το επιτόκιο με το οποίο τοκίστηκε το πρώτο κεφάλαιο είναι 5%. Παράδειγμα 4 Τρία κεφάλαια ανάλογα των αριθμών, 5 και 8 τοκίζονται για τον ίδιο αριθμό ημερών με επιτόκια 5%, 7% και % αντίστοιχα. Να βρεθεί το μέσο επιτόκιο. Αφού τα κεφάλαια είναι ανάλογα των αριθμών, 5 και 8 ισχύει: 5 5 8 8 αντικαθιστούμε στον τύπο μέσου επιτοκίου i i i i 5i 8i i 5 8 i 5i 8i 0,05 50,07 80, 0.09 5 8 6 Για περισσότερη θεωρία και λυμένα παραδείγματα δες: Αλεξανδρή (989), Αποστολόπουλο (996), Αποστολόπουλο (00), Βασιλάκη (005), Βόσκογλου (996), Καραπιστόλη (994), Κιόχο και Κιόχο (999), Κούγια και Γεωργίου (004), Οικονομόπουλο (00), Σφακιανό και Σφακιανό (00), Τσεβά (00), Φράγκο (007), Χουβαρδά (998), Zima και Brown (997).. Ασκήσεις... Λυμένες ασκήσεις Άσκηση Κεφάλαιο τοκίζεται για 8 μήνες και αυξάνει κατά τα /5 αυτού. Να βρεθεί το επιτόκιο με το οποίο έγινε ο τοκισμός; O τόκος είναι ίσος με το /5 του κεφαλαίου I. 5 Tο κεφάλαιο τοκίζεται για 0 μήνες άρα δίνει τόκο 8 I i i i Από τις δύο σχέσεις έχουμε: i i 0%. 5 5 5 Άσκηση Κάποιος τόκισε τα εξής κεφάλαια: α) Κ =.000 από Μαΐου μέχρι Ιουλίου. β) Κ =.000, από 4 Ιουνίου μέχρι 8 Αυγούστου.

γ) Κ =.000 από Μαΐου μέχρι 0 Ιουλίου. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος, αν το επιτόκιο είναι 5% και το έτος μικτό. Έχουμε τα εξής δεδομένα: Κ=.000, Μαΐου Ιουλίου, ν=0-4=60, Κ=.000, 4 Ιουνίου 8 Αυγούστου, ν=40-75=65, Κ=.000, Μαΐου 0 Ιουλίου, ν=9-=60 Ο συνολικός τόκος είναι: i i i I I I I 60 60 60 0,05 60 0,05.000 60.000 65.000 60 60 0,05 600 60 60.000 60 5 600 50 60 Άσκηση Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά 500. Το μεγαλύτερο τοκίσθηκε με επιτόκιο 4% και το μικρότερο με επιτόκιο 5%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν αντίστοιχα και οι ετήσιοι τόκοι τους, προκύπτουν ίσα κεφάλαια. Ζητείται να ευρεθούν τα αρχικά κεφάλαια. Έστω, τα κεφάλαια με, τότε 500 Αφού οι ετήσιοι τόκοι είναι ίσοι έχουμε: 0,04 0,05 0,04 0,05 500 (500 )0, 04 0, 05 500 0 0, 0 5.000 Άσκηση 4 Δύο κεφάλαια, 7.000 και 4.000 έχουν τοποθετηθεί με δύο διαφορετικά επιτόκια και έδωσαν μαζί σε ένα έτος, τόκο 750. Εάν ο τόκος του πρώτου κεφαλαίου είναι μικρότερος από τον τόκο του δευτέρου κεφαλαίου κατά 50, να βρεθούν τα επιτόκια με τα οποία τοκίσθηκε το κάθε κεφάλαιο. Έχουμε II 750 και I I 50 Από όπου προκύπτει ότι I 50, I 400 Καθώς

I i 50 7.000i 50 i 5%. 0 I i 400 4.000i 400 i 0%. 0 Άσκηση 5 Πατέρας ο οποίος έχει δυο παιδιά με ηλικίες n και k ετών έχει στη διάθεση του ποσό και επιθυμεί να τους το μοιράσει και να καταθέσει στην τράπεζα το μερίδιο του καθενός με ετήσιο επιτόκιο 0% έτσι ώστε όταν κάθε παιδί γίνει 0 ετών να εισπράξει το ίδιο ποσό. Να βρεθούν τα μερίδια που θα κατατεθούν στην τράπεζα σήμερα για κάθε παιδί. Εδώ έχουμε τρία κεφάλαια (μερίδια) για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκιστεί για 0-n έτη για το παιδί ηλικίας k ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για 0-k έτη και πρέπει να αθροίζουν σε. Δηλαδή πρέπει Τα κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο και για κάθε παιδί όταν θα γίνει 0 ετών γίνονται: 0 n i 0 n 0, 0,n 0 0 0, 0, k i k k Τα τελικά κεφάλαια πρέπει να είναι ίσα δηλαδή 0,n 0,k 0, 0, 6 0, 0, 0,k 6 0,nk n k n k k Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι αν τα παιδιά έχουν την ίδια ηλικία n=k θα μοιραστούν εξίσου το ποσό. Αν για παράδειγμα το ένα παιδί είναι 0 ετών και το άλλο είναι 6 ετών, τότε το μεγαλύτερο θα πρέπει να πάρει 0,k 0, 6,4 0,545 6 0, n k 6 0, 0 6 4,4 Άσκηση 6 Πατέρας ο οποίος έχει τρία παιδιά, έχει στη διάθεση του ποσό και επιθυμεί να τους το μοιράσει και να καταθέσει στην τράπεζα το μερίδιο του καθενός με ετήσιο επιτόκιο 0%, έτσι ώστε όταν κάθε παιδί γίνει 0 ετών να εισπράξει το ίδιο ποσό. Να βρεθούν τα μερίδια που θα κατατεθούν στην τράπεζα σήμερα για κάθε παιδί. Εδώ έχουμε τρία κεφάλαια (μερίδια) για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκιστεί για 0 n έτη για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για 0 n έτη για το παιδί ηλικίας n ετών το ποσό αυτό θα τοκισθεί για 0 n έτη και πρέπει να αθροίζουν σε. Δηλαδή πρέπει Τα κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο και για κάθε παιδί όταν θα γίνει 0 ετών γίνονται:

0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, n i n n n i n n n i n n Τα τελικά κεφάλαια πρέπει να είναι ίσα Εκφράζουμε τα και ως προς 0, 0, 0, n n n 0,n 0,n 0,n 0,n Έχουμε 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 6 0,( n n ) 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 0,n 6 0,( n n ) Άσκηση 7 Τρία κεφάλαια συνολικής αξίας.700 των οποίων οι αξίες, με την σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τοκίζονται το πρώτο για 90 μέρες, το δεύτερο για 0 μέρες και το τρίτο για 50 μέρες. Αν το επιτόκιο είναι 0% και ο συνολικός τόκος που πήραμε είναι 95, να βρεθούν τα τρία κεφάλαια. Έτος Μικτό. Έστω, και. Επειδή το άθροισμα των τριών κεφαλαίων είναι.700 έχουμε:.700.700.700 900 Ο συνολικός τόκος είναι 95 δηλαδή: i i i I 95 I I I 95 95 60 60 60 i i i 95 60 60 60 900 90 0, 900 0 0, 900 50 0, 95 60 60 60 8.00 90.800.500 595 60 Άρα 600, 900 6.800 00 και.00 Άσκηση 8 Τρία κεφάλαια τοκίζονται στον απλό τόκο, το πρώτο για 90 μέρες με επιτόκιο 8%, το δεύτερο για 0 μέρες με επιτόκιο 0% και το τρίτο για 00 μέρες με επιτόκιο 9%. Αν το μέσο επιτόκιο είναι 9,%, τα τρία κεφάλαια, με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και το γινόμενο των τριών κεφαλαίων ισούται με 6.000.000, να βρεθούν τα τρία κεφάλαια.

Επειδή τα τρία κεφάλαια αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, ορίζουμε και. Επειδή το γινόμενο των τριών κεφαλαίων ισούται με 6.000.000, έχουμε: 6.000.000 6.000.000 6.000.000 Άρα Ο τύπος του μέσου επιτοκίου είναι: i i i X Κάνουμε αντικατάσταση και έχουμε: i i i X 600, 600 90 0,08 600 0 0, 600 00 0,09 0,09 600 90 600 0 600 00 4.0 7.00 5.400 0,09 54.000 7.000 60.000 4.968 4.0 6.64 5.50 7.00 5.400 648 0 576 0 576 648 0 5 4 7 0 ή 9 5 Συνεπώς τα τρία κεφάλαια είναι: 00, 600,.800 ή.000, 600,.080.... Άλυτες ασκήσεις. Κάποιος που κέρδισε ένα χρηματικό ποσό Κ θέλησε να το καταθέσει σε δύο τράπεζες. Το / του ποσού το κατέθεσε για χρόνια 5 μήνες και μέρες με επιτόκιο 6% και το υπόλοιπο για χρόνια μήνες και ημέρες με επιτόκιο %, και εισέπραξε και από τις δύο καταθέσεις συνολικό τόκο 654. Να βρεθεί το ποσό Κ. (Έτος μικτό.) ( 5.787,6). Κεφάλαιο Κ τοκίζεται με επιτόκιο 6% για 5 μήνες, κεφάλαιο Κ τοκίζεται με 8% για χρόνια και τέλος κεφάλαιο Κ με 9 % για 60 ημέρες αντίστοιχα. Το άθροισμα των τόκων των Κ, Κ είναι 69, των Κ, Κ είναι 0 και των Κ, Κ είναι 450. Να βρεθούν τα κεφάλαια. (Κ= 6.800, Κ=.700, Κ=.000). Δύο κεφάλαια 0.000 και 5.000 τοκίστηκαν με διάφορα επιτόκια και σε 00 ημέρες έφεραν συνολικά τόκους 8.000. Αν ο τόκος του δεύτερου κεφαλαίου είναι μεγαλύτερος κατά.000 με ποια επιτόκια τοκίστηκαν τα κεφάλαια αυτά; (Έτος μικτό.) (i=0,4, i=0,5) 4. Τρία αδέλφια ηλικίας 9, και 5 χρόνων καταθέτουν σε τράπεζα ποσά που είναι ανάλογα των ηλικιών τους. Ο πρώτος καταθέτει τα χρήματα του για 8 μήνες με επιτόκιο 8%,ο δεύτερος για 0 μήνες με επιτόκιο 6% και τέλος ο τρίτος για χρόνια με επιτόκιο 7%. Αν στο τέλος πήραν συνολικό τοκοκεφάλαιο.8 να βρεθεί το ποσό που κατέθεσε ο καθένας. (Κ= 900, Κ=.00, Κ=.500)

5. Τοκίζουμε ένα κεφάλαιο για 6 μήνες και γίνεται μαζί με τους τόκους του 8.890. Αν το είχαμε τοκίσει με επιτόκιο % μικρότερο θα χρειαζόταν μήνα περισσότερο για να δώσει το ίδιο τοκοκεφάλαιο. Να βρεθούν τα επιτόκια και το κεφάλαιο (i=0,4, = 7.000) 6. Καταθέσαμε ένα κεφάλαιο για 8 μήνες και έγινε μαζί με τους τόκους του 4.68. Το τοκοκεφάλαιο 4.68 τοκίστηκε για χρόνια, με το ίδιο επιτόκιο, και έγινε μαζί με τους τόκους του 4.89,6. Ποιο ήταν το αρχικό κεφάλαιο και ποιο το επιτόκιο; (= 4.00, i=0,06) 7. Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά.000. Τοκίζουμε το ο για 9 μήνες με επιτόκιο 4% και το για 6 μήνες με επιτόκιο 6%. Ο συνολικός τόκος είναι 870. Να βρεθούν τα κεφάλαια. (Κ=.000, Κ=.000) 8. Τοκίζουμε δύο κεφάλαια Κ, Κ με επιτόκια 4% και 6% αντίστοιχα και παίρνουμε συνολικό ετήσιο τόκο 8.00. Αν εναλλάξουμε τα επιτόκια θα πάρουμε συνολικό ετήσιο τόκο 00 περισσότερο. Να βρεθούν τα δύο κεφάλαια. (Κ= 0.000, Κ= 5.000) 9. Δύο κεφάλαια συνολικού ποσού 6.000 τοποθετούνται: το πρώτο με 5% για 0 ημέρες και το δεύτερο με 4% για 50 ημέρες. Ο τόκος του πρώτου είναι το / του τόκου του δεύτερου. Να βρεθούν τα δύο κεφάλαια. (Κ=.000, Κ= 4.000)

Βιβλιογραφία Αλεξανδρής, Ν. (989). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Σταμούλη. Αποστολόπουλος, Θ. (996). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Αποστολόπουλος Θ. Αποστολόπουλος, Θ. (00). Οικονομικά μαθηματικά και στοιχεία τραπεζικών εργασιών. Εκδόσεις Αποστολόπουλος Θ. Βασιλάκης, Κ. (005). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις INTERBOOS. Βόσκογλου, Μ. (996). Μαθηματικά για τον τομέα διοίκησης και οικονομίας. Μακεδονικές Εκδόσεις. Καραπιστόλης, Δ. (994). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Κιόχος, Π. & Κιόχος, Α. (999). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις INTERBOOS. Κούγιας, Γ. & Γεωργίου, Δ. (004). Χρηματοοικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών. Οικονομόπουλος, Γ. (00). Οικονομικά Μαθηματικά. Εκδόσεις Οικονομόπουλος Γ. Σφακιανός, Κ. & Σφακιανός, Π. (00). Οικονομικά Μαθηματικά με Οικονομικά Προγράμματα Υπολογιστών. Εκδόσεις INTERBOOS. Τσεβάς, Αναστάσιος (00). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Φράγκος, Χ. (007). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Σταμούλη. Χουβαρδάς, Β. (998). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Zima, P. & Brown, R. (997). Outline of Mathematics of Finance, Schaums nd edition. Εκδόσεις McGraw- Hill.