Σσντελεστής γραμμικής σσστέτισης

Σσντελεστής γραμμικής σσστέτισης Ο ζπληειεζηήο γξακκηθήο ζπζρέηηζεο κεηξάεη ην βαζκό ζπζρέηηζεο κεηαμύ δύν ηπραίσλ κηβ όηαλ απηέο είλαη εθθξαζκέλεο ζηελ ηππηθή ηνπο κνξθή θαη ζπκβνιίδεηαη κε r X,Y : r X, Y Cov( x, y) Var ( x) Var ( y) Σηελ πεξίπησζε ηνπ απινύ γξακκηθνύ ππνδείγκαηνο παιηλδξόκεζεο, ην r X,Y νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο απλής γξακκηθήο ζπζρέηηζεο θαη ππνινγίδεηαη, επίζεο, σο ε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνύ (πξνζνρή! όρη ηνπ δηνξζσκέλνπ). Δίλαη θαλεξό όηη ε ηηκή θαη ην πξόζεκν ηνπ r X,Y εμαξηώληαη από ηελ ηηκή θαη ην πξόζεκν ηεο ζπλδηαθύκαλεο ησλ κηβ ζηηο αξρηθέο ηνπο ηηκέο. Δηδηθόηεξα, αλ νη δύν κηβ ζπκκεηαβάιινληαη πξνο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε, δειαδή αλ έρνπλ ζεηηθή ζπλδηαθύκαλζε, ηόηε ε ηηκή ηνπ r X,Y είλαη ζεηηθή, ελώ όηαλ νη κηβ θηλνύληαη ζε αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο ε ηηκή ηνπ r X,Y είλαη αξλεηηθή, δηόηη ε ζπλδηαθύκαλζε είλαη αξλεηηθή. Τν r X,Y παίξλεη ηελ ηηκή 0 όηαλ ε ζπλδηαθύκαλζε είλαη 0 πνπ ζεκαίλεη όηη ηα Φ θαη Υ δε ζπζρεηίδνληαη, ζηελ πεξίπησζε απηή νη κηβ νλνκάδνληαη αζπζρέηηζηεο ή ζηαηηζηηθά αζπζρέηηζηεο. Όηαλ r X,Y = 1, ππάξρεη πιήξεο ζεηηθή γξακκηθή ζπζρέηηζε κεηαμύ ησλ Φ θαη Υ, ελώ όηαλ r X,Y = -1 ππάξρεη πιήξεο αξλεηηθή γξακκηθή ζπζρέηηζε κεηαμύ ηνπο. Γεληθά, όηαλ ε ηηκή ηνπ r X,Y πιεζηάδεη ην +1, ιέκε όηη κεηαμύ ησλ κηβ ππάξρεη ηζρπξή ζεηηθή γξακκηθή ζπζρέηηζε. Αληίζεηα, όηαλ ε ηηκή ηνπ r X,Y πιεζηάδεη ην 1, ιέκε όηη ππάξρεη ηζρπξή αξλεηηθή γξακκηθή ζπζρέηηζε. Τέινο, όηαλ ην r X,Y ηείλεη ζην 0, ιέκε όηη δελ ππάξρεη έλδεημε ζπζρέηηζεο κεηαμύ ησλ δύν κηβ. Γηεπθξηλίδεηαη όηη ε έιιεηςε ζπζρέηηζεο κεηαμύ δύν κηβ δελ ππνδειώλεη όηη νη κηβ απηέο είλαη αλεμάξηεηεο, ελώ ην αληίζεην ηζρύεη πάληνηε. Ιδιόηηηες ηοσ ζσνηελεζηή γραμμική ζσζτέηιζης Ο ζπληειεζηήο γξακκηθήο ζπζρέηηζεο έρεη ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο πνπ ηνλ θαζηζηνύλ πνιύ ηθαλνπνηεηηθό κέηξν ηνπ βαζκνύ γξακκηθήο ζπζρέηηζεο κεηαμύ δύν ηπραίσλ κηβ.: 1. είλαη απαιιαγκέλνο από ηηο κνλάδεο κέηξεζεο ησλ κηβ ησλ νπνίσλ κεηξάεη ην βαζκό ζπζρέηηζεο θαη, σο εθ ηνύηνπ, δελ επεξεάδεηαη από ηηο αιιαγέο ζηηο κνλάδεο κέηξεζεο ησλ κηβ. Απηό ζπλάγεηαη ηόζν από απιή επηζθόπεζε ηνπ Page 1

ηύπνπ (1), όζν θαη από ην όηη πξνθύπηεη από ηελ ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνύ, ν νπνίνο είλαη απαιιαγκέλνο από κνλάδεο κέηξεζεο. 2. είλαη ζπκκεηξηθόο, δειαδή r X,Y = r Υ,Φ. 3. εθαξκόδεηαη κόλν ζηελ πεξίπησζε πνπ ε ζρέζε, ε νπνία ζπλδέεη ην Φ θαη ην Υ είλαη γξακκηθή. 4. παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα [-1, 1], πνπ ζεκαίλεη όηη είλαη κηα θξαγκέλε ζπλάξηεζε. Αστοσσστέτιση Τν θαηλόκελν ηεο απηνζπζρέηηζεο εκθαλίδεηαη όηαλ παξαβηάδεηαη ε θιαζηθή ππόζεζε πεξί αλεμαξηεζίαο ησλ ηηκώλ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ηνπ ππνδείγκαηνο, όηαλ, δειαδή, θάπνηεο ή όιεο νη δηαδνρηθέο ηηκέο ηνπ ζθάικαηνο ζπζρεηίδνληαη κεηαμύ ηνπο πνπ ζεκαίλεη όηη ε ζπλδηαθύκαλζή ηνπο είλαη δηάθνξε ηνπ κεδελόο: Cov(ε t,ε t-s ) = Δ(ε t,ε t-s )#0, s#0 Η απηνζπζρέηηζε είλαη έλα θαηλόκελν πνπ παξαηεξείηαη ζπλήζσο ζηελ αλάιπζε ζηνηρείσλ ρξνλνινγηθώλ ζεηξώλ θαη πην ζπάληα ζηελ αλάιπζε δηαζηξσκαηηθώλ δεδνκέλσλ. Η εκθάληζε απηνζπζρέηηζεο πνπ αθνξά ζηνηρεία ρξνλνινγηθώλ ζεηξώλ αλαθέξεηαη ζπρλά σο απηνπαιηλδξόκεζε ή σο ζεηξηαθή ζπζρέηηζε. Ο βαζκόο εμάξηεζεο ησλ ηηκώλ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ κεηξάηαη κε ην ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο: t, t s Cov(, Var( ) t t t s ) Var( t s, όπνπ -1 ξ 1, s#0. ) Λόγοι ποσ προκαλούν ηην ασηοζσζτέηιζη 1. Η εζθαικέλε αιγεβξηθή εμεηδίθεπζε ηνπ ππνδείγκαηνο. 2. Η παξάιεηςε κίαο ή πεξηζζόηεξσλ εξκελεπηηθώλ κηβ. 3. Η ύπαξμε ζπζηεκαηηθνύ ζθάικαηνο κέηξεζεο ζηηο κεηαβιεηέο. 4. Η εθηίκεζε κέξνπο ησλ παξαηεξήζεσλ κε παξεκβνιή. 5. Η θαηαλνκή ηεο επίδξαζεο νξηζκέλσλ ηπραίσλ γεγνλόησλ ζε πεξηζζόηεξεο από κηα ρξνληθέο πεξηόδνπο. Page 2

Μορθές ασηοζσζτέηιζης Γηα λα αληηκεησπίζνπκε ην πξόβιεκα ηεο απηνζπζρέηηζεο είλαη απαξαίηεην λα γλσξίδνπκε ηε κνξθή ηεο, δειαδή ηε ζηνραζηηθή δηαδηθαζία πνπ αθνινπζνύλ νη ηηκέο ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ηεο ζεηξάο. Αλ ε ηηκή ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ηελ πεξίνδν t εμαξηάηαη από ηελ ηηκή ηνπ ηελ ακέζσο πξνεγνύκελε πεξίνδν t-1, έρνπκε έλα απηνπαιίλδξνκν ζρήκα 1 νπ βαζκνύ ή κηα ζηνραζηηθή δηαδηθαζία πξώηνπ βαζκνύ θαηά Markov: AR(1): ε t = ξε t-1 + λ t, όπνπ ξ = ζπληειεζηήο απηνζπζρέηηζεο κεηαμύ ησλ ηηκώλ ησλ ε t θαη ε t-1 θαη λ t = κία ηπραία κηβ πνπ ππνζέηνπκε όηη ηθαλνπνηεί ηηο ππνζέζεηο ηεο απζηεξήο εμσγέλεηαο (i) θαη ησλ ζθαηξηθώλ ζθαικάησλ (ii), δειαδή: (i) Δ(λ t ) = 0, γηα όια ηα t (ii) Var(λ t ) = E (λ 2 t ) = ζ 2 < v E(λ t λ S ) = Cov(λ t,λ S ) = 0, γηα όια ηα t s Καη αλαινγία κε ην AR(1) έρνπκε θαη ηα απηνπαιίλδξνκα ζρήκαηα αλσηέξνπ βαζκνύ: AR(2): ε t = ξε t-1 + ξε t-2 + λ t AR(3): ε t = ξε t-1 + ξε t-2 + ξε t-3 + λ t AR(k): ε t = ξε t-1 + ξε t-2 + ξε t-3 + + ξε t-θ + λ t Όια ηα παξαπάλσ απηνπαιίλδξνκα ζρήκαηα είλαη πιήξε δηόηη ζε όια ηζρύεη ξ j 0, j =1,2,3,.,k. Αλ, έζησ θαη έλα είλαη ίζν κε ην 0, ηόηε ην απηνπαιίλδξνκν ζρήκα νλνκάδεηαη κε πιήξεο. Άιιεο ζηνραζηηθέο δηαδηθαζίεο πνπ ελδέρεηαη λα αθνινπζνύλ νη ηηκέο ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ηνπ ππνδείγκαηνο είλαη ε δηαδηθαζία ηνπ θηλεηνύ κέζνπ (MA), θαζώο θαη ν ζπλδπαζκόο απηνπαιίλδξνκνπ ζρήκαηνο θαη θηλεηνύ κέζνπ (ARMA). Διαπίζηωζη ηης ασηοζσζτέηιζης Έζησ ην πνιπκεηαβιεηό γξακκηθό ππόδεηγκα κε ζηνηρεία ρξνλνινγηθώλ ζεηξώλ: Page 3

(1) Υπνζέηνπκε όηη ηζρύνπλ όιεο νη θιαζζηθέο ππνζέζεηο θαη όηη ειέγρνπκε κόλνλ εθείλε πνπ αλαθέξεηαη ζηελ κε ύπαξμε απηνζπζρέηηζεο ζην ππόδεηγκα. Απηό ζεκαίλεη όηη ηζρύεη θαη ε ππόζεζε ηνπ κεδεληθνύ κέζνπ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ πνπ ζπλεπάγεηαη απζηεξά εμσγελείο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο θαη, άξα, δηαζθαιίδεη ηελ κε εκθάληζε ρξνληθώλ πζηεξήζεσλ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ζην αξηζηεξό κέξνο ηνπ ππνδείγκαηνο Δπηζπκνύκε λα ειέγμνπκε αλ ηα θαηάινηπα ηεο παιηλδξόκεζεο ηνπ ππνδείγκαηνο (1) αθνινπζνύλ κία ζηνραζηηθή δηαδηθαζία πξώηνπ βαζκνύ θαηά Markov. Γηαηππώλνπκε ηελ ππόζεζε ειέγρνπ, ζέηνληαο σο αξρηθή ηελ επηζπκεηή, όπσο άιισζηε θάλνπκε θαη όηαλ ειέγρνπκε ην ππόδεηγκα γηα εκθάληζε πνιπζπγγξακκηθόηεηαο ή εηεξνζθεδαζηηθόηεηαο.. Δπνκέλσο: H 0 : ξ=0 (δελ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε) H 1 : ξ 0 (ππάξρεη απηνζπζρέηηζε) 1 ος ηρόπος: ρξεζηκνπνηώληαο ηε ζηαηηζηηθή t Βήκα 1: παιηλδξνκνύκε ηελ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ζηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο κε OLS θαη παίξλνπκε ηα θαηάινηπα. Βήκα 2: παιηλδξνκνύκε ηα θαηάινηπα ζηελ πξώηε ηνπο ρξνληθή πζηέξεζε θαη παίξλνπκε ηνλ ακεξόιεπην εθηηκεηή ηνπ ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο ^, θαζώο θαη ηελ ηηκή ηεο t ζηαηηζηηθήο. Βήκα 3: ρξεζηκνπνηνύκε ηελ ηηκή ηεο t ζηαηηζηηθήο γηα λα ειέγμνπκε ηελ H 0. Τνλίδεηαη όηη ε απηνζπζρέηηζε πνπ, θαηά κείδνλα ιόγν, απαληάκε είλαη ζεηηθή, γη απηό θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε δηαηππώλεηαη σο H 1 : ξ 0. 2 ος ηρόπος: ρξεζηκνπνηώληαο ηε ζηαηηζηηθή ησλ Durbin-Watson. Όπσο θαη ν πξνεγνύκελνο, έηζη θαη ν ηξόπνο απηόο, βαζίδεηαη ζηα θαηάινηπα ηεο παιηλδξόκεζεο ηνπ αξρηθνύ ππνδείγκαηνο. Η θαηαλνκή πηζαλόηεηαο ηνπ d ησλ D-W εμαξηάηαη από ηηο ηηκέο ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ ηνπ εθάζηνηε ππνδείγκαηνο πνπ ζεκαίλεη όηη γηα θάζε δηαθνξεηηθό ππόδεηγκα, δειαδή γηα θάζε δηαθνξεηηθή κήηξα αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ ε θξηηηθή Page 4

πεξηνρή ζα δηαθέξεη. Με ηε βνήζεηα δύν νξίσλ, ελόο άλσ d U θαη ελόο θάησ d L ην πξόβιεκα απηό επηιύεηαη. Σπγθεθξηκέλα, ηζρύεη όηη : α) όηαλ d d L, ηόηε: ξ>0 (απνξξίπηνπκε ηελ H 0 ). β) όηαλ d d L, ηόηε ν έιεγρνο νδεγεί ζε πεξηνρή όπνπ ην απνηέιεζκα είλαη αβέβαην. γ) όηαλ d U d, ηόηε: ξ=0 (δελ απνδερόκαζηε ηελ H 0, αιιά όρη απαξαίηεηα όηη ε H 1 είλαη νξζή, ρξεηάδεηαη πεξαηηέξσ δηεξεύλεζε). Όηαλ παξαβηάδεηαη ε ζπλζήθε ηεο απζηεξήο εμσγέλεηαο, κία ή πεξηζζόηεξεο από ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο ηνπ ππνδείγκαηνο ζπζρεηίδεηαη κε ηα θαηάινηπα. Σηελ πεξίπησζε απηή δελ κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ηνλ έιεγρν κε ηελ D-W, ώζηε λα αλαγλσξίζνπκε αλ ππάξρεη ή όρη απηνζπζρέηηζε 1 νπ βαζκνύ ζην ππόδεηγκα. Πξνθεηκέλνπ λα θάλνπκε θάηη ηέηνην ππάξρνπλ νη εμήο δύν κέζνδνη: α) Φξεζηκνπνηνύκε ηε ζηαηηζηηθή Durbin-h, ηεο νπνίαο, όκσο, ε ηηκή δελ είλαη εθηθηό λα ππνινγίδεηαη πάληα, γεγνλόο πνπ απνηειεί ζνβαξό κεηνλέθηεκα. β) Παιηλδξνκνύκε αξρηθά ηελ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ζηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο κε OLS θαη ελ ζπλερεία παιηλδξνκνύκε ηα θαηάινηπα ζηελ πξώηε ρξνληθή ηνπο πζηέξεζε, θαζώο θαη ζε όλες ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο ηνπ αξρηθνύ ππνδείγκαηνο. Παίξλνπκε ηελ ηηκή ηνπ ακεξόιεπηνπ εθηηκεηή ηνπ ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο ^, θαζώο θαη ηελ ηηκή ηεο t ζηαηηζηηθήο ηνπ θαη ειέγρνπκε ηελ H 0. Σεκεηώλεηαη όηη ε H 0 είλαη αθξηβώο ε ίδηα κε εθείλε πνπ ειέγμακε πξνεγνπκέλσο πνπ ίζρπε ε ππόζεζε ηεο απζηεξήο εμσγέλεηαο. Η κέζνδνο απηή επηηξέπεη ζε θάζε εξκελεπηηθή κεηαβιεηή λα ζπζρεηίδεηαη κε ηελ πξώηε πζηέξεζε ησλ θαηαινίπσλ κε ζπλέπεηα ε t ηνπ ^ λα πξνζεγγίδεη ηελ ηηκή ηελ θαηαλνκή ηεο t ηνπιάρηζηνλ γηα κεγάια δείγκαηα. Τέινο, ζεκεηώλεηαη όηη ε κέζνδνο απηή δύλαηαη λα εθαξκνζηεί θαη όηαλ ε ππόζεζε ηεο απζηεξήο εμσγέλεηαο ηζρύεη. H απηνζπζρέηηζε ζηηο ηηκέο ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ελδέρεηαη όπσο, εμάιινπ, έρεη πξναλαθεξζεί- λα αθνινπζεί θαη απηνπαιίλδξνκν ζρήκα αλσηέξνπ βαζκνύ. Γηα λα δηαπηζηώζνπκε ηελ ύπαξμε βαζκνύ 2 είηε πξνβαίλνπκε ζε έιεγρν κε ηε F, αθξηβώο όπσο θάλακε ηνπο ειέγρνπο κε ηελ ακέζσο πην πάλσ είηε ρξεζηκνπνηνύκε ηε γεληθεπκέλε ζηαηηζηηθή, γλσζηή σο Lagrange Multiplier test (LM test), ζπλήζσο ην ηεζη ησλ Breusch-Godfrey. Page 5

Περιοριζμοί ζηην εθαρμογή ηης D-W ζηαηιζηικής 1. Γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ D-W ζα πξέπεη ην ππόδεηγκα λα έρεη ζηαζεξό όξν. 2. Υπάξρνπλ δύν πεξηνρέο ζηηο νπνίεο ην θξηηήξην D-W δελ νδεγεί ζε θαλέλα ζπκπέξαζκα. 3. Αλ ζην δεμηό κέξνο ηεο εμίζσζεο παιηλδξόκεζεο ζπκπεξηιακβάλνληαη θαη ρξνληθέο πζηεξήζεηο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ηνπ ππνδείγκαηνο, νη OLS εθηηκεηέο απηώλ ζα είλαη κεξνιεπηηθνί θαη αζπλεπείο. Σηελ πεξίπησζε απηή ε ηηκή d ηείλεη πξνο ην 2 αλεμάξηεηα από ηελ ύπαξμε ή κε απηνζπζρέηηζεο ζην ππόδεηγκα. Άξα, ην ηεζη είλαη αλαμηόπηζην θαη δελ εθαξκόδεηαη ζηελ πεξίπησζε ύπαξμεο ρξνληθώλ πζηεξήζεσλ ηεο εξκελεπόκελεο κεηαβιεηήο ζην δεμηό κέξνο ηεο παιηλδξόκεζεο. 4. Δθαξκόδεηαη γηα ηε δηαπίζησζε απηνζπζρέηηζεο μόνο 1 νπ βαζκνύ. Σσνέπειες ηης ασηοζσζτέηιζης -Οη OLS εθηηκεηέο παύνπλ λα είλαη απνηειεζκαηηθνί. -Τα ηππηθά ζθάικαηα ησλ ζπληειεζηώλ πνπ πξνθύπηνπλ κε ηελ OLS ππνεθηηκνύληαη. -Αλ ππάξρνπλ ρξνληθέο πζηεξήζεηο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ζην αξηζηεξό κέξνο ηεο παιηλδξόκεζεο, νη OLS εθηηκεηέο εθηόο από κε απνηειεζκαηηθνί γίλνληαη θαη κεξνιεπηηθνί, θαζώο θαη κε ζπλεπείο. Page 6