ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 13 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15 e-mail: nsagias@uop.gr
Θεώρημα Nyquist για μηδενισμό της ISI: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν οι παλμοί μετά το φίλτρο λήψης την ιδιότητα 1, m = 0 r( mt ) = είναι να ισχύει ότι 0, m 0 + k f + = T k = T Ας θεωρήσουμε εύρους ζώνης παλμού B W (δηλαδή H (f) = 0, f > B W ) + Περίπτωση Ι: Αν T < 1 / ( B W ), το ( ) αποτελείται από μη k = f+ kt επικαλυπτόμενα αντίγραφα του (f) και δεν υπάρχει τρόπος να μηδενιστεί η ISI (f) + k = k f + T -B W 0 B W f - 1/T -B W -1/T +B W -1/T -B W 0 B W 1/T -B W 1/T +B W 1/T f
Περίπτωση ΙΙ: Αν T = 1 / ( B W ), δηλαδή ρυθμό Nyquist: = 1 / T = B W, + k = k f + T -1/T - 0 1/T f (f) υπάρχει μόνο ένα φάσμα πλάτους παλμού, (f), κατάλληλο T ώστε να μηδενιστεί η ISI με χαρακτηριστική μεταφοράς T, f < B W ( f ) = 0,διαφορετικά Ο παλμός στο πεδίο του χρόνου έχει την παρακάτω μορφή t r( t) = sin c T Οι παραπάνω παλμός είναι δύσκολα υλοποιήσιμος και -B W 0 B W f χαρακτηρίζεται από αργό ρυθμό σύγκλισης προς το μηδέν t / T 3
+ Περίπτωση ΙΙΙ: Αν T > 1 / ( B W ), το ( ) αποτελείται από επικαλυπτόμενα k = f+ kt αντίγραφα του (f) και υπάρχουν πολλές επιλογές για να μηδενιστεί η ISI Μία από τις ποιο συνήθεις επιλογές είναι να χρησιμοποιηθούν παλμοί με φάσμα δύναμης συνημιτόνου (raised cosine ) Το φάσμα πλάτους και η μορφή του παλμού στο πεδίο του χρόνου είναι 1 α T, 0 f T π T 1 α 1 α 1+ α t cos( παtt) ( f ) = T cos f, f r ( t) = sin c α T T T T ( ) 1 α tt 1+ α 0, f T Χαρακτηριστικό του παραπάνω παλμού είναι η παράμετρος α (0 α 1) (roll-off factor) Η παράμετρος α χαρακτηρίζει το πλεονάζων εύρος ζώνης (excess andwidth) του παλμού πέραν της συχνότητας Nyquist (π.χ. όταν α = 0.5, το πλεονάζων εύρος ζώνης είναι 50%) 4
(f) T α = 0 α = 0.5 α = 0.5 α = 1-1 / T -1 / ( T ) 0 1 / ( T ) 1 / T f Φάσμα Παλμών για α = 0, 0.5, 0.5 και 1 5
r (t) α = 1 α = 0.5 α = 0 α = 0.5-3 T - T -T T T 3 T t Μορφή Παλμών Φάσματος για α = 0, 0.5, 0.5 και 1 6
Προσδιορισμός παραμέτρου α, τάξης διαμόρφωσης, M, και ρυθμού μετάδοσης συμβόλων, s : Θεωρούμε ως δεδομένα: Το ρυθμό μετάδοσης it,, και Το εύρος ζώνης του καναλιού μετάδοσης, Το εύρος ζώνης του παλμού, B W, που θα χρησιμοποιήσουμε πρέπει να ισούται με το εύρος ζώνης του καναλιού μετάδοσης, = B W Όπως φαίνεται στο σχήμα με το φάσμα των παλμών, το εύρος ζώνης του παλμού πρέπει να είναι μεταξύ s / και s, δηλαδή B W = (α + 1) S / Συνεπώς, s / s ή s Δεδομένου του παραπάνω περιορισμού και χρησιμοποιώντας τη σχέση s = / log (M), προσδιορίζουμε τα κατάλληλα ζεύγη M και s Αν βρεθούν δύο ή περισσότερα ζεύγη, επιλέγουμε το ζεύγος με τις υψηλότερες τιμές Τέλος, ισχύει ότι = (α + 1) s /, και άρα a = / s 1 7
Για το δυαδικό PAM έχει ήδη βρεθεί ότι η πιθανότητα να συμβεί ένα σφάλμα δίδεται από e ( ) P = Q SN με το SN να είναι ο λόγος σήματος προς θόρυβο μετά το δειγματολήπτη Για P e ελάχιστο, θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί το SN ή να ελαχιστοποιηθεί το 1 / SN Αποδεικνύεται ότι υπό την επίδραση θορύβου AWGN, το 1 / SN δίδεται ως 1 N ( f ) 0 = H ( f ) df df SN E H( f ) H( f ) Χρησιμοποιώντας την ανισότητα auchy-schwartz 1 ( f ) N0 N ( f 0 = H ( f ) df df ) H ( f ) SN E ( ) ( ) E H f H f H f H f δηλαδή ( f ) ( ) E SN df N H f 0 ( ) ( ) df 8
Το ίσον αντιστοιχεί στη μέγιστη δυνατή τιμή για το SN και επιτυγχάνεται όταν και ( ) ( ) ( ) με K 1 και K αυθαίρετες σταθερές ώστε να ικανοποιείται η P g (f) H T (f) H (f) H (f) = (f) Τα άριστα φίλτρα εκπομπής και λήψης καθορίζονται μόνο από το φάσμα πλάτος τους Το φίλτρο λήψης είναι ίδιο με το φίλτρο εκπομπής και μάλιστα H (f) = K 3 H T (f) με K 3 = K 1 / K ( ) ( f ) f f H ( f ) = K1 H ( f ) K, f 1 H f H f = H ( f ) ( f ) H ( f ) = K, f T H 9
Επιδόσεις Συστήματος PAM Υπό την Παρουσία Παραμορφώσεων Καναλιού Μετάδοσης Υπό την επίδραση του καναλιού μετάδοσης και γνωρίζοντας επ ακριβώς τη χαρακτηριστική μεταφοράς του, η πιθανότητα σφάλματος του δυαδικού PAM δίδεται από ( f E ) P = Q d e f N 0 H ( f ) Αν το κανάλι είναι ιδανικό, δηλαδή H (f) = 1, f <, τότε δεδομένου ότι η παραπάνω σχέση εύκολα απλοποιείται στην γνωστή E P = Q e N0 δηλαδή την πιθανότητα σφάλματος του δυαδικού PAM υπό την επίδραση μόνο AWGN Με ίδια ανάλυση για το M-ιαδικό PAM, η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου προκύπτει M 1 log ( M ) E ( f ) Pse = Q 6 df M M 1 N0 H ( f ) Παρατηρούμε ότι οι απώλειες λόγω του καναλιού είναι 0log 10 ( f ) H ( f ) df ( ) d = 1, f f 10