1 Αδιατατοποιημένο Κριτήριο Ατοχίας Τοιχοποιίας υπό ιαξονική ένταη Non-Dimensional Masonr Failure Criterion under Biaial Stress Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Π Γ ΑΣΤΕΡΗΣ 1, ΚΑ ΣΥΡΜΑΚΕΖΗΣ Λέξεις κλειδιά: Τοιχοποιία, κριτήριο ατοχίας, κυβικό τανυτικό πολυώνυμο ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούα εργαία παρουιάζεται μία μέθοδος για τον προδιοριμό της επιφάνειας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταη Ειδικότερα προτείνεται η χρήη του κυβικού τανυτικού πολυωνύμου και μάλιτα ε αδιατατοποιημένους όρους ένταης Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται με επιτυχία για τον προδιοριμό του κριτηρίου ατοχίας μιας ανιότροπης τοιχοποιίας της οποίας η υμπεριφορά τη φάη της ατοχίας έχει μελετηθεί πειραματικά ABSTRACT : This paper presents a method to define a general non-dimensional anisotropic (orthotropic) failure surface for the masonr material under biaial stress, using a cubic tensor polnomial The evaluation of strength parameters is performed using eisting eperimental data via a least squares approach The derived failure surface is shown to be in good agreement with classical eperimental results ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρόλο ότι η τοιχοποιία, είναι ένα από τα αρχαιότερα δομικά τοιχεία, οι γνώεις για την μηχανική υμπεριφορά της, και ιδιαίτερα για την υμπεριφορά της τη φάη της ατοχίας, εξακολουθούν να είναι αρκετά περιοριμένες Μόνο δε, τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, η τοιχοποιία τόο από πλευράς μηχανικής, όο και από πλευράς ανάλυης, αποτελεί αντικείμενο υτηματικής έρευνας, τόο την Ελλάδα, όο και διεθνώς 1 Επίκουρος Καθηγητής, Ανώτατη Σχολή Παιδαγωγικής & Τεχνολογικής Εκπαίδευης, email: pasteris@otenetgr Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο, email: isaarsr@centralntuagr
Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Μία αποτελεματική διερεύνηη της υμπεριφοράς των κατακευών από τοιχοποιία, με χρήη ύγχρονων μεθόδων ανάλυης, προϋποθέτει την ύπαρξη αναλυτικών μαθηματικών προομοιωμάτων, τα οποία να περιγράφουν ικανοποιητικά τη υμπεριφορά της τοιχοποιίας Η περίπλοκη όμως μηχανική υμπεριφορά της και ή έντονα ανιότροπη φύη της (Σχήμα 1), καθιτά ιδιαίτερα δύκολη μία τέτοια αναλυτική διατύπωη, ειδικά τη φάη της ατοχίας Παρά ταύτα, αρκετές προτάεις αναλυτικών μαθηματικών προομοιωμάτων έχουν προταθεί ((Dhanasekar, Page and Kleeman, 1985, Vratsanou, 199, Srmakezis et al, 1995, Srmakezis et al, 1997, Srmakezis and Asteris 001, Bortolotti, Carta and Cireddu 005) Μία παράλληλη εξέλιξη τον πειραματικό τομέα παρέχει ουιατική υποτήριξη τις αναλυτικές προπάθειες (Samarasinghe, 1980, Page, 1980, Page, 1981, Tassios et al, 1989) Κύριο γνώριμα των περιοτέρων προτάεων αποτελεί το ότι για την περιγραφή των επιφάνειας ατοχίας προτείνονται περιότερες της μίας υναρτήεις υνήθως διαφορετική για κάθε εντατική περιοχή Σχήμα 1 Καμπύλες ατοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονική θλίψη ε όρους κυρίων τάεων 1,, θ (Page 1981) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Για τον προδιοριμό της επιφάνειας ατοχίας της τοιχοποιίας προτείνεται η χρήη του κυβικού τανυτικού πολυωνύμου το οποίο και έχει προταθεί για ύνθετα υλικά Ειδικότερα η επιφάνεια ατοχίας μπορεί να περιγραφεί από την παρακάτω εξίωη (Tsai and Wu 1971, Wu 197, Jiang and Tennson 1989, Srmakezis and Asteris 001, Asteris and Srmakezis 009):
3 ( ) = F F F 1= 0 l i i ij i j ijk i j k (1) Όπου l (l = 1,,, 6) οι υνιτώες της ένταης και F i, F ij, F ijk (i, j, k = 1,,, 6) οι τανυτές αντοχής δευτέρας, τετάρτης και έκτης τάξης αντίτοιχα Προφανώς για τιμές l 0 δεν υπάρχει ατοχία, ενώ για l 0 η ατοχία έχει ήδη επέλθει Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Με κατάλληλες παραδοχές βαιζόμενες κυρίως την υμμετρία του υλικού (Jiang and Tennson 1989, Srmakezis and Asteris 001, Asteris and Srmakezis 009) η παραπάνω πολυωνυμική εξίωη για την περίπτωη της επίπεδης ένταης και επιλέγοντας τις ορθές τάεις (,, τ) αντί των ( 1,, 6 ), η εξίωη 1 γράφεται:,, τ = F F F F F τ F 3F 1 11 66 1 11 166 66 3F 3F τ 3F τ 1= 0 1 Για τον προδιοριμό του κριτηρίου ατοχίας εναπομένει ο υπολογιμός των παραμέτρων αντοχής δηλαδή των τανυτών F, ο οποίος και παρουιάζεται διεξοδικά την αμέως επόμενη παράγραφο ΠΡΟΣΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΝΤΟΧΗΣ Ο προδιοριμό των παραμέτρων αντοχής F πραγματοποιείται ε δύο διακριτά βήματα Στο πρώτο βήμα υπολογίζονται οι υντελετές (F i, F ii ) ενώ το δεύτερο βήμα οι εναπομείναντες (F ij, F ijk ) Βήμα 1ο: Οι παράμετροι F i και F ii, μπορούν να προδιοριτούν χρηιμοποιώντας τις μοναξονικές εφελκυτικές και θλιπτικές αντοχές κατά μήκος των αξόνων και, καθώς επίης και την αντοχή ε διάτμηη το επίπεδο Ειδικότερα υμβολίζοντας με X και X τις μονοαξονικές αντοχές ε εφελκυμό και θλίψη αντίτοιχα κατά μήκος του άξονα (άξονας παράλληλος τους οριζόντιους αρμούς της τοιχοποιίας) τα δύο ημεία τομής της επιφάνειας ατοχίας της τοιχοποιίας με τον άξονα των είναι το (X, 0, 0) και (-X, 0, 0) Για αυτά τα δύο ημεία (υνοριακές τιμές) η εξίωη γράφεται: FX F X = 1, FX F X = 1 (3) 1 11 1 11 () Η λύη της οποίας δίδει τις τιμές των παρακάτω υντελετών:
4 F 1 1 1 =, F = X X XX 1 11 (4) Αντίτοιχα με χρήη των μονοαξονικών αντοχών τον άξονα (άξονας κάθετος τους οριζόντιους αρμούς της τοιχοποιίας), προκύπτουν οι τιμές των παρακάτω υντελετών: Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 F 1 1 1 =, F = Y Y YY Τέλος με δοκιμή της τοιχοποιίας ε καθαρή διάτμηη καθορίζονται τα ημεία της επιφάνειας (0, 0, S) και (0, 0, -S) για τα οποία από την εξίωη προκύπτει ότι: F 1 = S 66 Βήμα ο: Για τον πλήρη καθοριμό του κριτηρίου ατοχίας της τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταη (Εξίωη ) εναπομένει ο υπολογιμός των εναπομεινάντων τανυτών αντοχής F 1, F 11, F 1, F 166 και F 66 ο οποίος και πραγματοποιείται με χρήη της μεθόδου των ελαχίτων τετραγώνων Ειδικότερα οι υντελετές μπορούν να προκύψουν από την λύη του παρακάτω υτήματος: E E E E E ν ν ν ν ν = 0, = 0, = 0, = 0, = 0 (7) F F F F F όπου: Eν 1 11 1 166 66 ( = ν F1 i F i F11i Fi F66τi F1ii i= 1 3F ) 11ii 3F166iτ i 3F66iτ i 1 i i, i (i=1,,,ν) η ν-άδα των πειραματικών δεδομένων των οποίων και επιδιώκουμε την βέλτιτη προέγγιη και (, τ ) Η επιφάνεια που αντιτοιχεί τις προκύπτουες τιμές των υντελετών F 1, F 11, F 1, F 166 and F 66 πρέπει να ελεγχθεί εάν είναι κλειτή Για τον κοπό αυτό ελέγχεται κατά πόον η ολική κατά Gauss καμπυλότητα K είναι θετική ε όλα τα ημεία της επιφάνειας, δηλαδή (Stoker 1969, Mishchenko, Solovev and Fomenko 1985): (5) (6) (8)
5 K= D> 0 ( ) ( τ) 1 (9) ή, επειδή ο παρανοματής είναι πάντα θετικός: Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 D = τ τ τ τ τ τ τ 0 Εάν η παραπάνω υνθήκη δεν ικανοποιείται τότε η εξίωη δεν αντιτοιχεί ε κλειτή επιφάνεια Αυτό είναι αρκετά ύνηθες και τούτο λόγω του ότι, ο προδιοριμός των υντελετών με χρήη της μεθόδου των ελαχίτων τετραγώνων, απαιτεί ημαντικό αριθμό πειραματικών δεδομένων, για να οδηγήει ε κλειτή επιφάνεια ατοχίας, και μάλιτα απαιτεί δεδομένα για όλους τους δυνατούς υνδυαμούς της ένταης (διαξονική θλιπτική, εφελκυτική και ετερόημη ένταη) Η απαίτηη αυτή εκτός του ότι αυξάνει κατά πολύ το κότος μιας τέτοιας διερεύνηης για κάποιες περιοχές της ένταης είναι και δύκολα πραγματοποιήιμη Όταν η προκύπτουα επιφάνεια δεν είναι κλειτή προτείνεται η αναζήτηη, αντί του ακρότατου (δηλαδή της λύης του υτήματος 7), το τοπικά ελάχιτο ακρότατο τις περιοχές εξαφάλιης του κλειτού της επιφάνειας ατοχίας ή αλλιώς της ικανοποίηης της υνθήκης 10 Προκειμένου να αναζητηθούν τα όρια των περιοχών αυτών, γίνεται παραμετρική διερεύνηη ως προς μία των πέντε παραμέτρων/τανυτών, πχ τη ταθερά F 1 Για διάφορες τιμές της F 1 (- F 1 ), επίης από το ύτημα των εξιώεων 7, προκύπτουν οι τιμές των υπολοίπων τεάρων ταθερών F 11, F 1, F 166 και F 66 Η προτεινόμενη μεθοδολογία μας παρέχει/αποκαλύπτει το ύνολο των κλειτών επιφανειών του κυβικού τανυτυκού πολυωνύμου και μεταξύ αυτών την βέλτιτη προς τα πειραματικά δεδομένα (είναι αυτή που αντιτοιχεί την μικρότερη απόκλιη δηλαδή την μικρότερη τιμή για την υνάρτηη της εξίωης 8) ΕΦΑΡΜΟΓΗ Σε εφαρμογή των παραπάνω, αναπτύχθηκε το Εργατήριο Στατικής και Αντιειμικών Ερευνών του ΕΜΠ κατάλληλο λογιμικό Με χρήη αυτού του λογιμικού προδιορίζεται η επιφάνεια ατοχίας για μία πραγματική περίπτωη υλικού τοιχοποιίας η οποία έχει διερευνηθεί πειραματικά από τον Page (1981) 0 (10)
6 καθώς επίης τα αποτελέματά της έχουν χρηιμοποιηθεί και από πολλούς άλλους ερευνητές (Dhanasekar, Page and Kleeman 1985, Naraine and Sinha 1991, Bortolotti, Carta and Cireddu 005) Όπως περιγράφηκε παραπάνω ο προδιοριμός των παραμέτρων πραγματοποιείται ε δύο βήματα Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Βήμα 1ο: Οι παράμετροι F i και F ii, υπολογίζονται από τις εξιώεις 4-6 χρηιμοποιώντας τις πειραματικές μονοαξονικές αντοχές του Πίνακα 1 Οι τιμές των υντελετών (F i, F ii ) δίδονται τον Πίνακα X Πίνακας 1 Μονοαξονικές αντοχές τοιχοποιίας (Page 1981) X Y Y S = S 0,40 4,365 0,10 7,555 0,40 Πίνακας Συντελετές F i, και F ii F 1 F 11 F F F 66-1 - -1 - - 07E01 0573E00 0987E01 013E01 065E01 Βήμα ο: Για τον προδιοριμό των πέντε εναπομεινάντων παραμέτρων F 1, F 11, F 1, F 166, και F 66 γίνεται χρήη των πειραματικών δεδομένων του Πίνακα 3 Από το ύτημα 7 με χρήη των πειραματικών αυτών δεδομένων προκύπτουν τιμές για τις παραμέτρους οι οποίες δεν αντιτοιχούν ε κλειτή επιφάνεια ατοχίας Εφόον η λύη δεν εξαφαλίζει το κλειτό της επιφάνειας γίνεται παραμετρική διερεύνηη ως προς τη ταθερά F 1 Η βέλτιτη λύη αντιτοιχεί για τιμή της F 1 =-0150 -, για την οποία οι τιμές των υπολοίπων παραμέτρων είναι: F 11 =03195E-0-3, F 1 =01045E-0-3, F 166 =09466E-01-3 και F 66 =01563E00-3 Για τις τιμές αυτές το κριτήριο ατοχίας περιγράφεται από την παρακάτω εξίωη: 7 987 0573 13 65τ 030 0009585 0003135 08398 τ 04689 τ = 1 (11)
7 Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 α/α 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 Πίνακας 3 εδομένα διαξονικών δοκιμών (Page 1981) -077-077 -7-181 -4545-79 -8818-9454 -95-1173 -97-4181 -99-8308 -4555-581 -660-581 -660-873 -57-4181 -99-754 -8417-950 -8750-8667 -7791-8750 -479-333 -5583-1000 -8000-504 -8475-1310 -581-660 -581-660 -8475-1310 -8000-504 τ 0084-16 3571 10-3571 -10-0084 16 Το κυριότερο μειονέκτημα αυτού του ανιότροπου κριτηρίου ατοχίας της τοιχοποιίας είναι το ότι μπορεί να εφαρμοθεί μόνο για το υγκεκριμένο υλικό τοιχοποιίας το οποίο έχει μελετηθεί από τον Page (1981) Για το κοπό αυτό θα ήταν ιδιαίτερα χρήιμο να διατυπωθεί το εν λόγω κριτήριο ε αδιατατοποιημένη μορφή έτι ώτε να μπορεί να χρηιμοποιηθεί από πλήθος άλλων υλικών τοιχοποιίας με ανάλογες αντοχές Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με το να διαιρέουμε και να πολλαπλαιάουμε την ίδια τιγμή κάθε όρο της εξίωης 11 με μία από τις μονοαξονικές αντοχές της τοιχοποιίας και μάλιτα αυξημένη κατά τέτοιο βαθμό όος είναι το άθροιμα των εκθετών των τάεων/μεταβλητών,, τ Επιλέγουμε την χρήη της μονοαξονικής θλιπτικής αντοχής Y (κάθετα τους οριζόντιους αρμούς της τοιχοποιίας) η οποία ε όρους τοιχοποιίας υμβολίζεται με το ύμβολο Η εξίωη 11 γράφεται με την παρακάτω αδιατατοποιημένη μορφή:
Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 8 1 0 0 1 46 1 35 4 13 17 1 356 74 75 34 3 71 74 57 17 15 = τ τ τ (1) Η γραφική παράταη της επιφάνειας ατοχίας απεικονίζεται το χήμα Σχήμα Αδιατατοποιημένη επιφάνεια ατοχίας της τοιχοποιίας ε όρους ορθών τάεων ( τ =000 έως 045 με βήμα 005) Στα χήματα 3 και 4 απεικονίζονται οι αδιατατοποιημένες καμπύλες ατοχίας της τοιχοποιίας ε όρους κυρίων τάεων για δύο χαρακτηριτικές τιμές της γωνίας θ (5º και 45º) μαζί με τα αντίτοιχα πειραματικά αποτελέματα του Page (1981) Από τα χήματα αυτά προκύπτει ικανοποιητική προέγγιη των πειραματικών δεδομένων από το προτεινόμενο αδιατατοποιημένο ανιότροπο κριτήριο ατοχίας της τοιχοποιίας
9 Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Σχήμα 3 Αδιατατοποιημένη καμπύλη ατοχίας της τοιχοποιίας ε όρους ορθών τάεων Σχήμα 4 Αδιατατοποιημένη καμπύλη ατοχίας της τοιχοποιίας ε όρους ορθών τάεων
10 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Στην παρούα εργαία παρουιάθηκε ένα αδιατατοποιημένο κριτήριο ατοχίας της τοιχοποιίας υπό επίπεδη εντατική κατάταη Στα κυριότερα πλεονεκτήματα της μεθόδου υγκαταλέγονται α) η επίτευξη του κλειτού της επιφάνειας ατοχίας, β) η διατύπωη του κριτηρίου μέω μίας και μόνης υνάρτηης (κυβικό τανυτικό πολυώνυμο) καθιτώντας έτι εύκολη την ενωμάτωη αυτού ε υφιτάμενα λογιμικά, και γ) η δυνατότητα ικανοποιητικής προέγγιης της υμπεριφοράς της τοιχοποιίας τη φάη της ατοχίας ΑΝΑΦΟΡΕΣ Asteris, P G, and Srmakezis, C A, Non-Dimensional Masonr Failure Criterion under Biaial Stress State, in Proceedings of the 11 th Canadian Masonr Smposium, Toronto, Ontario, Ma 31-June 3 (009) Bortolotti, L, Carta, S, and Cireddu, D, Unified Yield Criterion for Masonr and Concrete in Multiaial Stress States Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol 17, No 1 (005) 54-6 Dhanasekar, M, Page, A W, and Kleeman P W, The failure of brick masonr under biaial stresses Proceedings, The Institution of Civil Engineers, Part, 79 (1985) 95-313 Jiang, Z, and Tennson, R C, Closure of the cubic tensor polnomial failure surface Journal of Composite Materials, Vol 3 (1989) 08-31 Mishchenko, A S, Solovev, Yu P, and Fomenko, A T, «Problems in Differential Geometr and Topolog», Translated from the Russian b Oleg Efimov, Mir Publishers, Moscow (1985) Naraine, K, and Sinha, S, Cclic Behavior of Brick Masonr under Biaial Compression Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol 117, No 5 (1991) 1336-1355 Page, A W, A biaial failure criterion for brick masonr in the tensiontension range The International journal of Masonr Construction, Vol 1, No 1 (1980) 6-30 Page, A W, The biaial compressive strength of brick masonr Proc Instn Civ Engrs, Part, Vol 71, Sept (1981) 893-6 Samarasinghe, W, «The in-plane failure of brickwork», PhD thesis, Universit of Edinburgh (1980) Stoker, J J, «Differential Geometr», Wile (1969) Srmakezis, CA, Chronopoulos, MP, Sophocleous, AA and Asteris, PG, Structural analsis methodolog for historical buildings, in Proceedings of the Fourth International Conference on Structural Studies of Historical Buildings, STREMA 95, Vol 1, pp 373-38, 30 Ma 1995, Crete, Greece Srmakezis, CA, Asteris, PG, and Sophocleous, AA, Earthquake resistant design of masonr tower structures, in Proceedings of the Fifth International
11 Πρακτικά 16ου Συνεδρίου Σκυροδέματος, Πάφος, Κύπρος, 1-3 Οκτωβρίου 009 Conference on Structural Studies of Historical Buildings, STREMA 97, 5-7 June, 1997, San Sebastian, Spain Srmakezis, C A, and Asteris, P G, Masonr Failure Criterion under Biaial Stress State Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol 13, No 1 (001) 58-64 Tassios TP, and Vachliotis Ch, Failure of masonr under heterosemous biaial stresses, in Proceedings of the Int Conf Conservation of Stone, Masonr-Diagnosis, Repair and Strengthening, Athens, 1989 Tsai, S W, and Wu, E M, A general failure criterion for anisotropic materials Journal of Composite Materials, Vol 5 (1971) 58-80 Vratsanou V, «Das nichtlineare Verhalten unbewehrter Mauerwerksscheiben unter Erdbebenbeanspruchung - Hilfsmitel zur Bestimmung der q-faktoren-», Zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs von der Fakuktät für Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität Fridericiana zu Karlsruhe (TH), 199 Wu, E M, Optimal eperimental measurements of anisotropic failure tensors Journal of Composite Materials, Vol 6 (197) 47-480 Wu, E M, and Scheublein, J K, Laminate Strength - A Direct Characterization Procedure Composite materials: Testing and Design (Third Conference), ASTM STP 546, American Societ for Testing and Materials (1974) 188-01