Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση Βήμα 1ο: Βρίσκουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση και τις ιδιοτιμές του., δηλαδή λύνουμε την Πράγματι Οπότε λαμβάνουμε ισοδυνάμως Ψάχνουμε λύσεις της μορφής, όπου διαιρέτης του σταθερού όρου και διαιρέτης του συντελεστή του μεγιστοβαθμίου, δηλαδή εν προκειμένω ±1,,±2, ±5, ±10, ±25 και ενώ.
Αυτό έχει 2 ρίζες οι οποίες είναι οποίες ευρέθησαν με την σειρά που αναφέρονται. που είναι διπλή ρίζα, οι Βήμα 2ο: Α) Εύρεση ιδιοδιανύσματος για την ιδιοτιμή Λύνουμε το σύστημα Επιλέγουμε τυχαία την πάνω αριστερά υποορίζουσα, η οποία είναι διάφορη του μηδενός. Άρα επιλύουμε το άνωθεν σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το, τον οποίο επιλέξαμε γιατί δεν πολλαπλασιάζει κανένα στοιχείο της υποορίζουσας αυτής. Συνεπώς λαμβάνουμε: Επομένως προκύπτει η λύση και άρα το ιδιοδιάνυσμα Ή διαλέγοντας 1 προκύπτει Β) Όσον αφορά την ιδιοτιμή που έχει αλγεβρική πολλαπλότητα 2, εργαζόμεθα ως εξής: Κατ αρχήν λύνουμε το σύστημα
Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα είναι διάφορη του μηδενός και επιλύουμε το άνωθεν σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το : Επομένως προκύπτει η λύση και άρα το ιδιοδιάνυσμα Ή διαλέγοντας λαμβάνουμε Προσοχή: τα ανωτέρω σημαίνουν ότι ο υπόχωρος της διπλής ιδιοτιμής έχει διάσταση 1 γεγονός που συνεπάγεται ότι: πρώτον ότι η γεωμετρική πολλαπλότητα της είναι ένα και δεύτερον ότι (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) Το γεγονός ότι η διαφορά είναι μεγαλύτερη του μηδενός σημαίνει ότι ο αρχικός πίνακας δεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Σε αυτές τις περιπτώσεις η καλύτερη δυνατότητα είναι να μετασχηματίσουμε τον σε έναν «σχεδόν διαγώνιο πίνακα», με τον τρόπο που θα περιγραφεί κατωτέρω. Πράγματι, προσδιορίζουμε ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα λύνοντας το σύστημα
Παρατηρούμε ότι η πάνω αριστερά υποορίζουσα του ανωτέρω πίνακα είναι διάφορη του μηδενός. Συνεπώς λύνουμε τις δυο πρώτες εξισώσεις με ελεύθερο άγνωστο το Παρατηρούμε ότι αυτό το σύστημα έχει, όπως αναμενόταν, τον ίδιο ακριβώς πίνακα συντελεστών με την (1), αλλά διαφορετικούς σταθερούς όρους, αφού σε αυτούς της (1) έχουν προστεθεί οι αντίστοιχες συντεταγμένες του. Συνεπώς προκύπτει το κάτωθι αντίστοιχο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα. Διαλέγοντας έχουμε ότι Βήμα 3:Εν προκειμένω επειδή (αλγεβρική πολλαπλότητα - γεωμετρική πολλαπλότητα) ο πίνακας δημιουργείται με συνένωση των δύο ιδιοδιανυσμάτων και του γενικευμένου ιδιοδιανύσματος, οπότε προκύπτει
Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος διότι εκ κατασκευής τα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ή ισοδυνάμως (πράγματι, ). Διαπιστώνουμε ότι ο οδηγεί τον σε κανονική μορφή Jordan μέσω της σχέσεως όπου ο αριθμός των άσσων δεξιά από τη διαγώνιο στο Jordan block των πολλαπλών ιδιοτιμών ισούται με. Επιστρέφοντας τώρα στην επίλυση της αρχικής διαφορικής εξισώσεως, παρατηρούμε ότι αυτή, με βάση τα ανωτέρω, γράφεται ισοδυνάμως ως εξής: Θέτοντας τον βοηθητικό πίνακα και έχουμε:
Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν είναι αποσυμπλεγμένη. Α) Για Σε αυτό το σημείο υπενθυμίζουμε ότι κάθε μία από τις εξισώσεις έχει γενική λύση, η οποία είναι άθροισμα της γενικής λύσεως της ομογενούς συν μία ειδική λύση. Ειδικώτερα για τις ομογενείς λύσεις ισχύει: Τονίζουμε ότι γράψαμε πρώτα τις λύσεις των εξισώσεων, οι οποίες αντιστοιχούν σε γραμμές που δεν έχουν άσσο (1), δεξιά του διαγωνίου στοιχείου και μετά αυτές που έχουν άσσο, εν γένει από κάτω προς τα πάνω. Σε αυτές που έχουν άσσο πολλαπλασιάζουμε τα εκθετικά με ανάλογα με την πολλαπλότητα ούτως ώστε οι λύσεις να είναι συνολικά γραμμικά ανεξάρτητες κατά Wronski. Εν συνεχεία, βρίσκουμε τις ειδικές λύσεις αυτών των ανωτέρων εξισώσεων, για είσοδο με τη γνωστή μέθοδο, δηλαδή δοκιμάζοντας ειδική λύση της μορφής: A) Για την εξίσωση έχουμε ότι: Όπου είναι το πρώτο στοιχείο του όπου Άρα I. ii. iii. Άρα η ειδική λύση της πρώτης αποσυμπλεγμένης εξίσωσης είναι:
Β)Για την εξίσωση Έχουμε ότι Όπου είναι το τρίτο στοιχείο του I. ii. iii. Άρα η ειδική λύση της τρίτης αποσυμπλεγμένης εξίσωσης είναι Γ) Για την εξίσωση και χρησιμοποιώντας τη ισχύει: Όπου είναι το δεύτερο στοιχείο του I. ii. iii. Άρα η ειδική λύση της εξίσωσης είναι, με, η: Η λύση είναι του συστήματος Δ.Ε. ως προς σε μητρική μορφή είναι η:
Όπου και Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με τον πίνακα και τα δύο μέλη της ανωτέρω εξισώσεως και λόγω του ορισμού προκύπτει: Για να συνδέουμε τo με το, θέτουμε στην ανωτέρω εξίσωση οπότε λαμβάνουμε : Κατά συνέπεια η λύση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων γράφεται και ως εξής:
Τονίζεται ότι στη ανωτέρω εξίσωση οι όροι αποτελούν μία ειδική λύση του αρχικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, διαφορετική της Πράγματι Οπότε, η νέα ειδική λύση είναι η Στο σημείο αυτό θα ελέγξουμε πάλι εάν μπορεί να οριστεί ο πίνακας, μολονότι ο δεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Για το σκοπό αυτό παρατηρούμε ότι, εάν θέσουμε, τότε προκύπτει
Οπότε προσθέτοντας τους προαναφερόμενους όρους και όλες τις ανάλογες δυνάμεις, λαμβάνουμε: Παρατηρούμε ότι οι παραστάσεις κάθε διαγώνιου στοιχείου του πίνακα είναι της μορφής : Όπου η αντίστοιχη ιδιοτιμή -2,-5,-5. Επιπλέον το στοιχείο (2, 3) του πίνακα είναι :
Επομένως η προαναφερθείσα σειρά πινάκων συγκλίνει στον κάτωθι πίνακα: Συνεπώς ορίζουμε τον ως τον πίνακα O πίνακας αυτός έχει όλες τις ιδιότητες του αντίστοιχου πίνακα, όπως αυτές έχουν αναφερθεί για την περίπτωση διαγωνοποιήσιμου. Ειδικότερα, η λύση του αρχικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων δίνεται και από τον ( formal ) τύπο : H ειδική λύση αντιστοιχεί στην τυπική (formal) ειδική λύση.