ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Παρουσίαση των συναρτήσεων μεταφοράς των Γ.Χ.Α συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Συναρτήσεις μεταφοράς 2. Ανάλογα συστήματα 3. Μαθηματικά μοντέλα φυσικών συστημάτων 4. Λυμένες ασκήσεις 5. Ασκήσεις για Λύση 5

Συνάρτηση μεταφοράς Γ.Χ.Α αναλογικών συστημάτων 6

Shift-Invariant System 7

Συνάρτηση Μεταφοράς (1) Κατά τη μελέτη των συστημάτων χρησιμοποιούνται συχνά οι συναρτήσεις μεταφοράς που χαρακτηρίζουν τις σχέσεις εισόδου - εξόδου των Γ.Χ.Α συστημάτων. Συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ορίζεται το πηλίκο του μετασχηματισμού Laplace της εξόδου ενός γραμμικού αμετάβλητου συστήματος προς το μετασχηματισμό Laplace της εισόδου του, όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές και αντιστοιχεί σε μία σχέση με την οποία περιγράφεται η δυναμική του συστήματος υπό εξέταση. 8

Συνάρτηση Μεταφοράς (2) 9

Συνάρτηση Μεταφοράς (3) Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει τις δυναμικές χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος. Το πολυώνυμο του παρονομαστή της Σ.Μ ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο και η μελέτη του μας δίνει την δυνατότητα να ελέγξουμε ορισμένες προδιαγραφές του συστήματος όπως η ευστάθεια κλπ. 10

Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς (1) Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) από ένα σύστημα μπορεί (με βάση τον ορισμό της) να προκύψει με την εφαρμογή του μετασχηματισμού L στη διαφορική εξίσωση του, με την προϋπόθεση ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν ένα Γ.Σ. περιγράφεται από την: dy dt 4y dx 2 dt x Να βρεθεί η G(s) 11

Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς (2) 12

Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς (3) 3. Η Σ.Μ. G(s) ενός Γ.Σ. ισούται με τον μετασχηματισμό L της συνάρτησης εξόδου Y(s), όταν το σύστημα διεγείρεται από τον μοναδιαίο παλμό δ(t) με μηδενικές Α.Σ. 13

Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς (4) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Έστω το δικτύωμα του σχήματος, να αποδειχθεί γι αυτό η παραπάνω ιδιότητα. 14

Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς 5. Ο παρονομαστής της συνάρτησης μεταφοράς εξισωμένος με το μηδέν, δίνει την χαρακτηριστική εξίσωση (Χ.Ε) της διαφορικής εξίσωσης του Γ.Σ. (5) 15

Ιδιότητες Συνάρτησης Μεταφοράς 6. Οι ρίζες του αριθμητού της συνάρτησης μεταφοράς λέγονται μηδενικά ( zeros) ενώ οι ρίζες του παρονομαστή της Σ.Μ. λέγονται πόλοι (poles). (6) 16

Διάγραμμα πόλων μηδενικών (pole-zero diagram) (1) 17

Διάγραμμα πόλων μηδενικών (pole-zero diagram) (2) 18

Γ Χ Α Συστήματα Που Περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις (1) Όταν δίνεται η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την σχέση εισόδου-εξόδου ενός γραμμικού και χρονικά αναλλοίωτου συστήματος, η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να προσδιοριστεί άμεσα μετασχηματίζοντας κατά Laplace τα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης με τον περιορισμό των μηδενικών αρχικών συνθηκών. 19

Γ Χ Α Συστήματα Που Περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις (2) 20

Γ Χ Α Συστήματα Που Περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις (3) 21

Παράδειγμα εύρεσης Σ.Μ από Δ.Ε (1) Να βρεθούν οι συναρτήσεις μεταφοράς και οι κρουστικές αποκρίσεις των γραμμικών χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων που περιγράφονται από τις διαφορικές εξισώσεις: 22

Παράδειγμα εύρεσης Σ.Μ από Δ.Ε (2) ΛΥΣΗ 23

Συνάρτηση μεταφοράς και Η ευστάθεια ενός αιτιατού, γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος με ρητή συνάρτηση μεταφοράς προσδιορίζεται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η γενική μορφή μιας ρητής συνάρτησης μεταφοράς είναι: Ευστάθεια (1) 24

Συνάρτηση μεταφοράς και Η ευστάθεια του συστήματος καθορίζεται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Χ.Ε) η οποία είναι: Ένα σύστημα συνεχούς χρόνου είναι ευσταθές όταν οι πόλοι της Σ.Μ (δηλ. οι ρίζες της Χ.Ε) έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Ευστάθεια (2) 25

Συνάρτηση μεταφοράς και Ευστάθεια (3) 26

Συνάρτηση μεταφοράς και ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΣΤΑΘΕΣ Ευστάθεια (7) 30

Συνάρτηση μεταφοράς και Ευστάθεια (8) BIBO ευσταθές σύστημα Ασταθές σύστημα Οριακά ευσταθές σύστημα Ασταθές σύστημα 31

Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς καθορίζουν τη δυναμική απόκριση 32

Πόλος πραγματικός στο αριστερό ημιεπίπεδο Im Re 33

Πόλοι μιγαδικοί συζυγείς στο αριστερό ημιεπίπεδο s Im Re 34

Πόλοι μιγαδικοί συζυγείς στο δεξί ημιεπίπεδο s Im Re 35

Συνάρτηση Μεταφοράς Συνδεσμολογίας Συστημάτων (1) 36

Χρήση του MATLAB για υπολογισμό Σ.Μ σε συνδεσμολογία σειράς (1) 37

Χρήση του MATLAB για υπολογισμό Σ.Μ σε συνδεσμολογία σειράς (2) 38

Χρήση του MATLAB για υπολογισμό Σ.Μ σε σύνδεση παράλληλα 40

Χρήση του MATLAB για υπολογισμό Σ.Μ σε σύνδεση ανατροφοδότησης (1) 42

Παραδείγματα υπολογισμού Σ.Μ από σύνδεση συστημάτων (1) 45

Συνάρτηση μεταφοράς στο MATLAB Matlab function: tf Τρόπος(a) num = [0 0 25]; den = [1 4 25]; G = tf(num,den) Τρόπος(b) s = tf('s'); G = 25/(s^2 +4*s +25) 51

Zero-Pole-Gain στο MATLAB Matlab function: zpk zeros = [1]; poles = [2-i 2+i]; gain = 3; H = zpk(zeros,poles,gain) 52

Απεικόνιση πόλων και μηδενικών pzmap(sys) 53

Μαθηματικά Μοντέλα Φυσικών Συστημάτων 54

ΠΙΝΑΚΑΣ #1 Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων Πυκνωτής Αντίσταση - Αυτεπαγωγή 55

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η Σ.Μ του RC κυκλώματος Από Μετ/σμό Laplace των εξισώσεων έχουμε: Οι εξισώσεις του RC κυκλώματος είναι: 56

Παράδειγμα 1: Λύση (1) 57

Παράδειγμα 1: Λύση (2) Η ζητούμενη συνάρτηση μεταφοράς του RC κυκλώματος είναι: T=Eo(s)/Ei(s)=(1/RCS)/(1+1/RCS) T=Eo(s)/Ei(s)=1/(RCS+1) 58

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η Σ.Μ του RLC κυκλώματος. 59

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η Σ.Μ του κυκλώματος 2 βρόχων του σχήματος. 60

Παράδειγμα 3: Λύση (2) Μετασχηματίζουμε κατά Laplace τις εξισώσεις (1), (2) και(3), θεωρώντας τις Α.Σ μηδενικές οπότε: 62

Παράδειγμα 3: Λύση (3) Επομένως η ζητούμενη συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ των Eo(s) και Ei(s) είναι: 63

Παράδειγμα 3: Λύση (4) Χρησιμοποιώντας σύνθετες αντιστάσεις. Το κύκλωμα του σχήματος (a) μπορεί να σχεδιαστεί όπως απεικονίζεται στο σχήμα (b) ή στο σχήμα (c). 64

Παράδειγμα 3: Λύση (6) Αντικαθιστώντας Z1 = R1, Z2 = 1/(C1S), Z3 = R2, και Z4 = 1/(C2S) έχουμε: 66

Παράδειγμα 4:Inverting Amplifier 67

Παράδειγμα 5: Non- Inverting Amplifier 68

Παράδειγμα 6: Να βρεθεί η Σ.Μ του τελεστικού ενισχυτή του σχήματος 69

Παράδειγμα 6: Λύση (1) Λύση με χρήση σύνθετων αντιστάσεων: 70

ΠΙΝΑΚΑΣ #2 Στοιχεία μηχανικών συστημάτων Ελατήριο Αποσβεστήρας - Μάζα 72

Παράδειγμα 1 (1) Να βρεθεί η Σ.Μ X(s)/F(s) του συστήματος 73

Παράδειγμα 1 (2) Μετασχηματίζουμε κατά Laplace την Δ.Ε θεωρώντας Α.Σ μηδενικές 74

Παράδειγμα 1 (3) 75

Παράδειγμα 1 (4) 76

Προσομοίωση του συστήματος μάζας ελατηρίου με χρήση του MATLAB (1) 77

Προσομοίωση του συστήματος μάζας ελατηρίου με χρήση του MATLAB (2) 78

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η Σ.Μ X2(s)/F(s), του συστήματος (1) Το σύστημα έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, αφού κάθε μάζα μπορεί να μετακινηθεί οριζόντια ενώ η άλλη διατηρείται ακίνητη. Έτσι, δύο ταυτόχρονες εξισώσεις κίνησης απαιτούνται για την περιγραφή του συστήματος. Αυτές οι δύο εξισώσεις προκύπτουν από τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος (free body diagrams) κάθε μάζας. 79

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η Σ.Μ X2(s)/F(s), του συστήματος (2) 80

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η Σ.Μ X2(s)/F(s), του συστήματος (3) Περίπτωση-I: Δυνάμεις στη μάζα M1 Εάν κρατήσουμε τη M2 ακίνητη και μετακινήσουμε τη M1 δεξιά, βλέπουμε τις δυνάμεις που απεικονίζονται στο Σχήμα1. Μετά μετακινούμε τη M2 δεξιά και κρατάμε τη M1 ακίνητη. 81

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η Σ.Μ X2(s)/F(s), του συστήματος (4) Περίπτωση-IΙ: Δυνάμεις στη μάζα M2 Εάν κρατήσουμε τη M1 ακίνητη και μετακινήσουμε τη M2 δεξιά, βλέπουμε τις δυνάμεις που απεικονίζονται στο Σχήμα2. Μετά μετακινούμε τη M1 δεξιά και κρατάμε τη M2 ακίνητη. 82

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η Σ.Μ X2(s)/F(s), του συστήματος (5) 83

ΠΙΝΑΚΑΣ #3 Στοιχεία συστημάτων σε περιστροφική κίνηση Ελατήριο Αποσβεστήρας - Αδράνεια 84

Παράδειγμα:Μάζα Ελατήριο Αποσβεστήρας (Περιστροφικό σύστημα) 85

Ανάλογα Συστήματα Μελετώντας τα ηλεκτρικά ανάλογα φυσικών συστημάτων, μπορούμε εύκολα να βρούμε για κάθε σύστημα ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, αποτελούμενο από παθητικά στοιχεία R, L, C, που να έχει σαν μαθηματικό ομοίωμα μια γραμμική διαφορική εξίσωση, ανάλογη εκείνης του φυσικού συστήματος. Τα μαθηματικά πρότυπα, είναι ιδεατά ομοιώματα του φυσικού συστήματος που περιγράφουν. Ο στόχος είναι να κατασκευαστούν πραγματικά ομοιώματα των φυσικών συστημάτων και ειδικότερα ηλεκτρονικά ανάλογα των φυσικών συστημάτων. 86

Series Analog 87

Παράδειγμα (1) Μετατροπή ενός μηχανικού συστήματος σε ένα ηλεκτρικό ανάλογο σε σειρά σύστημα (Series Analog) 88

Παράδειγμα (2) 89

Parallel Analog 90

Παράδειγμα (1) Μετατροπή ενός μηχανικού συστήματος σε ένα ηλεκτρικό ανάλογο σε σειρά σύστημα ( Parallel Analog) 91

Παράδειγμα (2) 92

Συναρτήσεις Μεταφοράς Φυσικών Συστημάτων 93

DC Κινητήρας (1) Μαθ/κό μοντέλο κινητήρα Να βρεθεί η Σ.Μ του DC κινητήρα του σχήματος 94

DC Κινητήρας (2) 95

Συναρτήσεις μεταφοράς φυσικών συστημάτων (1) 96

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ Συναρτήσεις μεταφοράς

Άσκηση 1 Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του ηλ/κού κυκλώματος 100

Λύση 1 ης Άσκησης 101

Άσκηση 2 102

Λύση 2 ης άσκησης (1) α) Το μαθηματικό μοντέλο του υδραυλικού συστήματος είναι: 103

Λύση 2 ης άσκησης (2) β) Μετασχηματίζουμε κατά Laplace το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θεωρώντας μηδενικές τις Α.Σ: 104

Υπολογισμός της Σ. Μεταφοράς 105

Υπολογισμός της βημ. Απόκρισης (1) 106

Σχεδίαση της βημ. απόκρισης Βάσει της σχέσης (10) σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της παροχής q2(t). 109

Άσκηση 3 Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος προπορείαςκαθυστέρησης (Lead- Lag) του διπλανού σχήματος: 110

Λύση 3 ης άσκησης (1) 111

Άσκηση 4 (1) Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς, Vo(s)/Vi(s). 115

Άσκηση 4 (2) 116

Άσκηση 5 Να βρεθεί η Σ.Μ, Vo(s)/Vi(s). 117

Ασκήσεις για Λύση

Άσκηση 1 Θεωρήστε τις ακόλουθες συναρτήσεις μεταφοράς. Υπολογίστε τους πόλους και τα μηδενικά του κάθε συστήματος Σχεδιάστε τα διαγράμματα πόλων - μηδενικών Εκφράστε συμπεράσματα για την ευστάθεια των συστημάτων 119

Άσκηση 2 Γράψτε το μαθηματικό μοντέλο του παραπάνω συστήματος 120

Άσκηση 3 (1) Βρείτε τις συναρτήσεις μεταφοράς των συστημάτων: 121

Άσκηση 3 (2) 122

Άσκηση 4 Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς X2(s)/F(s) 123

Τέλος Ενότητας