4. Παραμόρφωση του πετρώματος Σύνοψη Εξετάζεται η ανάλυση της παραμόρφωσης του πετρώματος. Δίνεται η έννοια της τροπής και οι ορθές και διατμητικές συνιστώσες της τροπής.. Αναπτύσσεται ο τανυστής της τροπής και ο υπολογισμός των κύριων τροπών και των κύριων διευθύνσεών τους. Αναλύεται η έννοια της μέγιστης μ διατμητικής τροπής και της ογκομετρικής τροπής. Παρουσιάζεταιι ο κύκλος Mohr των τροπών. Η ανάλυση της τροπής εφαρμόζεται για τον υπολογισμό του τανυστή της τροπής από πειραματικές μετρήσεις. Στη συνέχεια εξετάζεται η σχέση τάσης-τροπήςτ ς, αναφέροντας αρχικά τα εξιδανικευμένα διαγράμματα. Αναλύεται η ελαστική συμπεριφορά καιι δίνονται τα μητρώα δυστροπίας και ενδοτικότητας για την ισότροπη ελαστικότητα. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση της βιβλιογραφίας και μεε ερωτήσεις θεωρίας και ασκήσεις εμπέδωσης της ύλης. Προαπαιτούμενη γνώση Γραμμική άλγεβρα. Συναρτήσεις δύο μεταβλητών.. Αντοχή των υλικών. 4.1. Η έννοια της τροπής Στο Σχήμα 39α ένα δοκίμιο πετρώματος με αρχικό μήκος l φορτίζεται αξονικά. α Το δοκίμιο βραχύνεται ώστε το τελικό μήκος του να είναι l'. Η ορθή τροπή (normal strain) ορίζεται ως ω η σχετικήή αλλαγή του μήκους του δοκιμίου: = = (4.83) Όπως προκύπτει από τη σχέση (4.83), η ορθή τροπή είναι αδιάστατο μέγεθος και δίδεται ως καθαρός αριθμός. Σε ορισμένες περιπτώσεις εκφράζεται ως εκατοστιαία αναλογία (%), ενώ στη διεθνή βιβλιογραφία α συναντάται συχνά η ψευδομονάδα «strain», όπου 1 strain αντιστοιχείί σε τροπή ε=1 (1 mstrain=10-3 και 1μstrain=10-6 ). Στη μηχανική των πετρωμάτων,, όταν το δοκίμιο υφίσταται βράχυνση, τότε η ορθή τροπή θεωρείται θετική. Αντίθετα, όταν το μήκος του δοκιμίου αυξάνεται, η ορθή τροπή θεωρείται αρνητική. Οι ορθές τάσεις προκαλούν την ανάπτυξη ορθών τροπών. Αντίστοιχα, η δράση των διατμητικών τάσεων προκαλεί μεταβολή γωνιών, όπως φαίνεται στο Σχήμα 39β, που π καλείταιαι διατμητική τροπή γ. Ο ορισμός της διατμητικής τροπής είναι η μεταβολή της γωνίας μεταξύ δύο δ ευθειών αρχικά κάθετων μεταξύ τους. Η θετική διατμητική τροπή οδηγεί σε αύξηση της γωνίας. Η διατμητική δ τροπή είναι θετική όταν προκαλεί μείωση του μήκους ΑΒ στο Σχήμα 39β (εδώ Α Β >ΑΒ καιι συνεπώς η διατμητική τροπή είναι αρνητική). Σχήμα 39. Ορθή και διατμητική τροπή. Η ανάπτυξη των επόμενων παραγράφων ακολουθεί τη σχετική βιβλιογραφία της μηχανικής των πετρωμάτων (Goodman 1989, Hudson & Harrison 1997, Harrison & Hudson 2000, Brady & Brown 2006, Jaeger et al. 2007). 61
4.2. Μετατόπιση και τροπή Η εφαρμογή δυνάμεων στα πετρώματα προκαλεί παραμόρφωση, που μπορεί να ορισθεί ως η μεταβολή της σχετικής θέσης των σημείων του πετρώματος. Η μετατόπιση (displacement) είναι τοο διάνυσμα που εκφράζει αυτή τη μεταβολή σε σχέση με κάποιο σύστημα συντεταγμένων στην αρχική κατάσταση. Στη γενική περίπτωση, η μετατόπιση θα μεταβάλλεται ανάλογα με τη θέση τουυ υλικού σημείου. Η ανάλυση των μετατοπίσεων στοχεύει στον υπολογισμό του διανύσματος της μετατόπισης σε κάθε σημείο μέσα στο πέτρωμα. Η ανάλυση των μετατοπίσεων διευκολύνεται εάν θεωρηθεί η παραμόρφωσηη του πετρώματος σε δύο διαστάσεις, όπως π.χ. για πέτρωμα σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης. Στο Σχήμα 4.40 φαίνεται η αρχική θέση δύο σημείων A και B στο πέτρωμα. Υπό την επίδραση ενός συνόλου εφαρμοζόμενων φορτίων το σημείο A μετατοπίζεται στο A και το Β στοο σημείο Β. Το διάνυσμα Α Β μπορεί να έχει διαφορετικό μέγεθος και κατεύθυνση από το διάνυσμα ΑΒ. Υπό την προϋπόθεση ορισμένων παραδοχών, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί το Α Β εφόσον είναι γνωστό το ΑΒ και η γενική μορφή της παραμόρφωσης στο πέτρωμα. Σχήμα 4.40. Μετατόπιση των σημείων Α και Β στα σημεία Α και Β λόγω φόρτισης του πετρώματος. Αν η μετατόπιση θεωρηθεί ότι μεταβάλλεται απόό σημείο σε σημείο μέσαα στο πέτρωμα, τότε είναι συνάρτησηη της θέσης του σημείου (x, y). Το διάνυσμα των μετατοπίσεων στο επίπεδο xy θαα είναι u(u x, u y ), όπου η μετατόπιση κατά τη διεύθυνση x θα είναι u x (x, y) ) και η μετατόπιση κατά τη διεύθυνση y θα είναιι u y (x, y). Στο Σχήμα 4.40 φαίνεται η αρχική και η τελική θέση των σημείων Α και Β. Τα Τ σημεία αυτά βρίσκονται αρχικά σε απόσταση (dx, dy). Μετά την παραμόρφωση το Α μετατοπίζεται κατά (ux,u y ), ενώ το Β κατά (u x +du x, u y +du y ). Υπό την προϋπόθεση ότι το πεδίο των τ μετατοπίσεων είναι συνεχές, η μετατόπιση μ του σημείου Β μπορεί να υπολογιστεί ως: (+, +) = (, ) + (+, +) = (, ) + (4.84) 62
Tα ολικά διαφορικά du x και du y μπορούν να υπολογισθούν ως: = + = + (4.85) ή αλλιώς: = = ( () (4.86) grad(u) είναι η βαθμίδα της μετατόπισης. Η σχετική μετατόπιση που ορίζεται από την εξίσωση (4.85)( μπορεί να προκύψει τόσο από παραμόρφωση του στοιχείου, που περιλαμβάνει ι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όσο και από περιστροφή του στοιχείου ως στερεό σώμα (Σχήμα 41). Σχήμα 41. Περιστροφή του πετρώματος ως άκαμπτο σώμα, η οποία προκαλεί μετατοπίσεις τωνν γειτονικών σημείων. Για τον διαχωρισμό της παραμόρφωσης από τη στροφή του στοιχείου ως στερεό σώμα, θεωρείται το συμμετρικό μέρος του μητρώου των μεταβολώνν της μετατόπισης, το οποίο δίνει το μητρώο των τροπών και το αντισυμμετρικό μέρος, που δίνει το τ μητρώο των στροφών (Βαρδουλάκης 1997): = + 0 0 (4.87) Έτσι, το μητρώο των τροπών γράφεται ως: = = 1 2 + = 1 2 + 1 2 + (4.88) ή σύμφωνα με τη σύμβαση της μηχανικής πετρωμάτων για τα πρόσημα: 63
= = 1 2 + 1 2 + (4.89) ε xx, ε yy είναι οι ορθές συνιστώσες της τροπής και ε xy η διατμητική συνιστώσα, η οποία είναι γνωστή ως τανυστική (tensorial) ή μαθηματική διατμητική τροπή. Ορίζεται επίσης η συνιστώσα της τροπής γ xy, η οποία καλείται τεχνική διατμητική τροπή (engineering shear strain) και σχετίζεται με τη μαθηματική διατμητική τροπή με τη σχέση: = 2 (4.90) Η μορφή της εξίσωσης (4.89) δείχνει ότι η παραμόρφωση του στοιχείου του πετρώματος καθορίζεται με έναν τανυστή δεύτερης τάξης, που είναι γνωστός ως τανυστής της τροπής (strain tensor) ε. Όπως και ο τανυστής της τάσης, έτσι και ο τανυστής της τροπής είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο και έχει συνεπώς τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες στο επίπεδο, οι οποίες σχετίζονται μόνο με τη βαθμίδα της μετατόπισης στο σημείο αυτό: = ; = ; = + (4.91) Στις τρεις διαστάσεις ο τανυστής της τροπής ε γράφεται ως: = (4.92) και έχει έξι ανεξάρτητες συνιστώσες: = ; = ; = = = 1 2 + ; = = + ; = = + (4.93) 4.2.1. Μετασχηματισμός του τανυστή της τροπής Για τον τανυστή της τροπής ισχύει ο ίδιος νόμος μετασχηματισμού που ισχύει για τον τανυστή της τάσης. Έτσι, ο τανυστής της τροπής σε ένα οποιοδήποτε σύστημα αξόνων που σχηματίζει γωνία θ με το αρχικό υπολογίζεται από την εξίσωση: = (4.94) όπου R είναι ο πίνακας μετασχηματισμού: = (4.95) Τα στοιχεία του πίνακα μετασχηματισμού είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης των αξόνων του νέου συστήματος (έστω l, m, n) ως προς τους άξονες του αρχικού (έστω x, y, z). Η εξίσωση μετασχηματισμού (4.94) στο επίπεδο γράφεται ως: 64
cos sin = sin cos cos sin sin cos cos 2 + sin 2 +2 sin cos (cos 2 sin 2 ) sin cos = (cos 2 sin 2 ) sin cos sin 2 + cos 2 2 sin cos απ όπου προκύπτουν οι εξισώσεις μετασχηματισμού των τροπών στο επίπεδο: = cos + sin +2 sin cos = sin + cos 2 sin cos = (cos sin ) sincos (4.96) Εάν αντί της τανυστικής διατμητικής τροπής ε xy χρησιμοποιηθεί η τεχνική διατμητική τροπή γ xy, οι εξισώσεις μετασχηματισμού γράφονται ως = cos + sin + sin cos = sin + cos sin cos = (cos sin ) 2 sincos (4.97) 4.2.2. Κύριες τροπές Όπως και για τις συνιστώσες της τάσης, έτσι και για τις συνιστώσες της τροπής υπάρχει ένας προσανατολισμός του συστήματος αξόνων όπου οι διατμητικές τροπές μηδενίζονται και οι ορθές τροπές είναι κύριες. Εφόσον η παραμόρφωση του πετρώματος σε μία θέση καθορίζεται από έναν τανυστή δευτέρας τάξης, ο προσδιορισμός των κυρίων τροπών πραγματοποιείται με τρόπο ανάλογο με τον προσδιορισμό των κυρίων τάσεων. Έτσι, οι κύριες τροπές και οι κύριες διευθύνσεις των τροπών προσδιορίζονται ως οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του τανυστή της τροπής. Στις τρεις διαστάσεις οι τιμές των τριών κύριων τροπών υπολογίζονται από την επίλυση της εξίσωσης: + = 0 (4.98) I 1ε, I 2ε, I 3ε είναι η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη αναλλοίωτη του τανυστή της τροπής: = + + = = + + + + = +2 + + (4.99) Η επίλυση της εξίσωσης (3.51) ως προς ε δίνει τρεις πραγματικές λύσεις για τις κύριες τροπές, που συμβολίζονται με ε 1, ε 2, ε 3 με φθίνουσα σειρά, δηλ. ε 1 >ε 2 > ε 3. Ειδικότερα, στις δύο διαστάσεις υπάρχουν δύο αμοιβαία ορθογώνιες διευθύνσεις, έτσι ώστε η ορθή τροπή σε μία από αυτές τις διευθύνσεις είναι η μέγιστη και η άλλη η ελάχιστη. Οι κύριες διευθύνσεις των ορθών τροπών ορίζονται από τη γωνία θ, όπου: 2 tan 2 = (4.100) Στις κύριες διευθύνσεις, ευθείες που ήταν αρχικά κάθετες μεταξύ τους παραμένουν κάθετες και μετά την παραμόρφωση του πετρώματος. Οι ορθές τροπές στις κύριες διευθύνσεις είναι οι κύριες τροπές ε 1 και ε 2 (ε 1 >ε 2 ) και υπολογίζονται από τις εξισώσεις: 65
, = + 2 ± + + 2 (4.101) Ο τανυστής της τροπής στο σύστημα των κυρίων διευθύνσεων γίνεται: = 0 0 (4.102) Η ορθή ε και διατμητική γ τροπή σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα της μέγιστης κύριας τροπής υπολογίζονται από τις σχέσεις: = cos + sin = 1 2 ( ) sin 2 (4.103) 4.2.3. Μέγιστη διατμητική τροπή Από την εξίσωση (4.103) προκύπτει ότι η μέγιστη διατμητική τροπή ασκείται σε επίπεδο που διχοτομεί τη γωνία, την οποία σχηματίζουν τα επίπεδα της μέγιστης και της ελάχιστης κύριας τροπής. Η μέγιστη διατμητική τροπή δίνεται από τη σχέση: = 1 2 ( ) (4.104) Στη μηχανική των πετρωμάτων η μέγιστη διατμητική τροπή χρησιμοποιείται συχνά για τη διερεύνηση των διευθύνσεων αστοχίας του πετρώματος, π.χ. κατά τη μελέτη της αστοχίας πρανούς κερματισμένης και ασθενούς βραχόμαζας. Εξάλλου, ορισμένα κριτήρια αστοχίας του πετρώματος είναι εκφρασμένα συναρτήσει της μέγιστης διατμητικής τροπής. 4.2.4. Ογκομετρική τροπή Η πρώτη αναλλοίωτος της τροπής έχει τη φυσική σημασία της ογκομετρικής τροπής (δηλ. της ανηγμένης μεταβολής του όγκου ως προς τον αρχικό όγκο) σε ένα σημείο (x,y,z) του πετρώματος. Αυτό αποδεικνύεται θεωρώντας ένα στοιχειώδες τετράγωνο με πλευρές μήκους L, οι οποίες μετά την παραμόρφωση του πετρώματος έχουν μήκος L(1 - ε xx ) και L(1 - ε yy ). Η ανηγμένη μεταβολή του εμβαδού του τετραπλεύρου θα είναι: = (1 )1 =1 (1 )1 = + (4.105) Με την παραδοχή μικρών παραμορφώσεων, τα γινόμενα των τροπών μπορούν να θεωρηθούν αμελητέα. Η παραπάνω σχέση γίνεται: = + Ομοίως, θεωρώντας έναν στοιχειώδη κύβο πετρώματος η ογκομετρική τροπή, που ορίζεται ως ο λόγος της μεταβολής του όγκου προς τον αρχικό όγκο θα είναι: ε = + + = (4.106) 66
Καθώς η I 1ε είναι αναλλοίωτος, η ογκομετρική τροπή μπορεί να υπολογιστεί από τηνν (4.106) σε οποιοδήποτε σύστημα αξόνων. Συχνά η ογκομετρική τροπή συμβολίζεται και ως Δ. Μία παραμόρφωση λέγεται ισόογκη, όταν το άθροισμα τον ορθών τροπών είναι μηδέν. 4.2.5. Ο κύκλος Mohr των τροπών Όπως και για τις τάσεις έτσι και για τις τροπές μπορεί να σχεδιαστείί ο κύκλος του Mohr σε διάγραμμαα αξόνων ορθής-διατμητικής τροπής (ε, γ xy /2), όπως φαίνεται στο Σχήμα 42. 4 Ο κύκλος έχει κέντρο {(ε 1 +ε 2 ))/2, 0} και ακτίνα (ε 1 -ε 2 )/2. Η διάμετροςς του κύκλου εκφράζει την τροπή σε σ δύο αμοιβαία κάθετα επίπεδα του στοιχειώδους τετραπλεύρου του πετρώματος. Η τομή του κύκλου με τον άξονα τωνν ορθών τροπών δίνει τις κύριες τροπές. Σχήμα 42. Ο κύκλος Mohr των τροπών. 4.3. Εξισώσεις συμβιβαστού των τροπών Στις δύο διαστάσεις υπάρχουν δύο συναρτήσεις της μετατόπισης u x (x, y) και u y (x,y) και τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες του τανυστή της τροπής. Σε τρεις διαστάσεις υπάρχουν έξι ανεξάρτητες α συνιστώσες του τανυστή της τροπής και τρεις συναρτήσεις της τ μετατόπισης, οι u x (x,y,z) και u y (x,y,z) και u z (x,y,z). Εάν το πεδίο της μετατόπισης είναι γνωστό, οι συνιστώσες τηςς τροπής μπορούν να υπολογιστούνυ ν απλά από τις μερικές παραγώγους των συναρτήσεων u x, uy, y u z. Ωστόσο, η απαίτηση της φυσικής συνέχειαςς του πεδίου μετατόπισης σε όλο το πέτρωμα, οδηγεί σε αναλυτικές σχέσεις μεταξύ της βαθμίδας της μετατόπισης, περιορίζοντας έτσι τον βαθμό ανεξαρτησίας των συνιστωσών τηςς τροπής. Οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις συμβιβαστού των τροπών και βρίσκονται παίρνοντας τη δεύτερη παράγωγο των συνιστωσών της τροπής: = = = = απ όπου προκύπτει: + = + = =2 2 + 2 2 2 =22 (4.107) 67
4.4. Σχέση τάσης-τροπής 4.4.1. Εξιδανικευμένα διαγράμματα τάσης-τροπής Κατά την ανάλυση της τάσης και της τροπής δεν έγινε καμία αναφορά στις μηχανικές ιδιότητες του πετρώματος. Εντούτοις, οι τροπές είναι το αποτέλεσμα της εντατικής κατάστασης και ο τρόπος με τον οποίο σχετίζονται η τάση και η τροπή αποτελεί την καταστατική συμπεριφορά του πετρώματος. Για τα πετρώματα έχουν αναπτυχθεί διάφορα εξιδανικευμένα καταστατικά μοντέλα στη βάση των θεωριών ελαστικότητας, πλαστικότητας και ιξώδους συμπεριφοράς, καθώς και συνδυασμών τους. Για κάθε καταστατικό μοντέλο, η τάση και η τροπή ή άλλες ποσότητες παραγόμενες από αυτές (π.χ. ρυθμός τάσης ή τροπής), σχετίζονται μέσω ενός συνόλου καταστατικών εξισώσεων. Η ελαστικότητα αποτελεί τη συνηθέστερα χρησιμοποιούμενη καταστατική συμπεριφορά για πολλά πετρώματα, και αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη περισσότερο πολύπλοκων καταστατικών σχέσεων. Το απλούστερο δυνατό διάγραμμα τάσης-τροπής, σε μία δοκιμή μονοαξονικής θλίψης δοκιμίου πετρώματος, παρουσιάζεται στο Σχήμα 43α. Η παραμόρφωση του πετρώματος αυξάνεται γραμμικά με τη φόρτιση μέχρι την αστοχία. Η μετρούμενη τροπή είναι γραμμική συνάρτηση της τάσης και αντίστροφα. Η σχέση αυτή περιγράφεται από την κλασική εξίσωση της γραμμικά ελαστικής συμπεριφοράς: = (4.108) Στο Σχήμα 43β δίνεται το διάγραμμα σ-ε ενός μη-γραμμικά ελαστικού (non-linearly elastic) πετρώματος, στο οποίο η τροπή αυξάνεται μη γραμμικά με την αύξηση της φόρτισης. Η κλίση της καμπύλης μεταβάλλεται με τη φόρτιση. Σε ένα τέτοιο πέτρωμα μπορούν να ορισθούν δύο μέτρα ελαστικότητας, που μεταβάλλονται με τη φόρτιση. Το τέμνον (secant) μέτρο ελαστικότητας ορίζεται ως ο λόγος της συνολικής τάσης προς τη συνολική τροπή σε ένα σημείο Σ του διαγράμματος σ-ε και ισούται με την κλίση της ευθείας ΟΣ. Το εφαπτομενικό (tangent) μέτρο ελαστικότητας ισούται με την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Σ. Στα γραμμικά ελαστικά υλικά Ε s =Ε t =Ε. Το διάγραμμα φόρτισης των πραγματικών πετρωμάτων στην ελαστική περιοχή είναι συχνά διαφορετικό από το διάγραμμα της αποφόρτισης, παρουσιάζοντας υστέρηση. Με την απομάκρυνση της εξωτερικής φόρτισης το πέτρωμα μπορεί επιπλέον να έρχεται στην αρχική αφόρτιστη κατάσταση. Η συμπεριφορά αυτή φαίνεται στο Σχήμα 43γ. Το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας κατά την αποφόρτιση είναι διαφορετικό απ αυτό της φόρτισης και δίνεται από την κλίση της ευθείας ΣΤ. Το έργο που παράγεται κατά τη φόρτιση ή την αποφόρτιση αντιπροσωπεύεται από το εμβαδό που περικλείεται από το διάγραμμα φορτίου-βράχυνσης του πετρώματος. Όταν το πέτρωμα παρουσιάζει υστέρηση, το έργο που παράγεται κατά τη φόρτιση είναι μεγαλύτερο από το έργο κατά την αποφόρτιση, λόγω κατανάλωσης ενέργειας (από την τριβή στις διεπιφάνειες των κόκκων, των κρυστάλλων και των μικρορωγμών του πετρώματος). Στην ελαστική συμπεριφορά η παραμόρφωση του πετρώματος είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο. Ωστόσο, υπό ορισμένες συνθήκες, ένα πέτρωμα που παραμορφώνεται βραδέως υπό την επίδραση διατμητικών τάσεων μπορεί να θεωρηθεί, τουλάχιστον εν μέρει, ως ένα ιξώδες ρευστό, για το οποίο ο ρυθμός μεταβολής της διατμητικής τροπής με τον χρόνο συνδέεται με τη διατμητική τάση με τη σχέση: = (4.109) η είναι το δυναμικό ιξώδες (viscocity) και η τελεία επάνω από το σύμβολο της διατμητικής τροπής συμβολίζει τον ρυθμό μεταβολής ως προς το χρόνο. Οι μονάδες του ιξώδους είναι Pa sec (ή kg m -1 sec -1 ). Σύμφωνα με την εξίσωση (4.109), για τα ιξώδη ρευστά η τάση είναι ανάλογη του ρυθμού μεταβολής της τροπής και συνεπώς, η παραμόρφωση είναι εξαρτώμενη από τον χρόνο. 68
Σχήμα 43. Τρεις εξιδανικευμένες μορφέςς ελαστικής συμπεριφοράς. (α) Γραμμική ελαστικότητα: : οι διαδρομέςς της φόρτισης και της αποφόρτισης είναι γραμμικές και ταυτίζονται. Η κλίση περιγράφεται από το μέτρο ελαστικότητας. (β) Μη-γραμμική ελαστικότητα: : η ίδια μη γραμμική διαδρομή ακολουθείται κατά τη φόρτιση και τηνν αποφόρτιση. (γ) Ελαστικότητα με υστέρηση: οι διαδρομές φόρτισης και αποφόρτισης είναι μη-γραμμικές και διαφορετικές. Τα περισσότερα πετρώματα, όταν φορτίζονται, εμφανίζουν τόσο στιγμιαία όσο και χρονικά εξαρτώμενη παραμόρφωση και ως εκ τούτου αναφέρονται ως ιξωδοελαστικά (viscoelastic). Έτσι, η ροϊκή τους συμπεριφορά περιγράφεται συνδυάζοντας απλουστευμένα ελαστικά και ιξώδη μηχανικά ανάλογα και παράγοντας μαθηματικά μοντέλα, όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 44, το οποίο είναιι γνωστό ως ιξωδοελαστικό μοντέλοο Burger. Το μοντέλο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση της χρονικά εξαρτώμενης παραμόρφωσης του πετρώματοςς σε εργαστηριακές δοκιμές μηχανικής πετρωμάτων (π.χ. Harrison & Hudson 1997), καθώς και για την ανάλυση της ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς τηςς βραχομάζας γύρω από σήραγγες κυκλικής διατομής (Nomikos et al. 2011). Η χρονικά εξαρτώμενη παραμόρφωση των πετρωμάτων ερμηνεύεται από διάφορους μηχανισμούς ς, που δρουν στη μικροκλίμακα της δομής του πετρώματος. Οι μηχανισμοί αυτοί σχετίζονται τόσο με την ορυκτολογική σύσταση του πετρώματος όσο καιι με την κρυσταλλική τουυ δομή και διαφέρουν ανάλογα με το πέτρωμα και με τις συνθήκες πίεσης, θερμοκρασίας, υγρασίας και άλλων εξωγενώνν παραγόντων. Σε μερικά πετρώματα, όπως π.χ. το ορυκτό αλάτι, η χρονικά εξαρτώμενη παραμόρφωση σχετίζεται με ατέλειες στο κρυσταλλικό πλέγμα των ορυκτών τους και σε ενδοκρυσταλλικές ολισθήσεις. Άλλα πετρώματα, όπως π.χ. ορισμένα οργανικά πετρώματα, είναι εκ φύσεωςς ιξώδη ειδικά σε υψηλέςς θερμοκρασίες. Στα σκληρά ψαθυρά 69
πετρώματα με χαμηλό πορώδες ως κύριος μηχανισμός έχει προταθεί η αλληλεπίδραση και επέκταση μικρορωγμών. Η διαδικασία αυτή είτε σταθεροποιείται, καταλήγοντας σεε μηδενικούς ρυθμούς παραμόρφωσης είτε επιταχύνεται, οδηγώντας τελικά το πέτρωμα σε θραύση. Σχήμα 44. Ιξωδοελαστικό μοντέλο Burger. Το μοντέλοο διαμορφώνεται συνδυάζοντας ιξώδη και ελαστικά μηχανικά ανάλογα παράλληλα και σε σειρά μεταξύ τους. Κατά την ιξώδη συμπεριφορά η παραμόρφωσηη του πετρώματος είναιι μόνιμη και μη-ανακτήσιμη με την απομάκρυνση της φόρτισης. Ωστόσο, για να προκληθεί μόνιμη παραμόρφωση στα πετρώματα, απαιτείται η εφαρμογή τάσης μεγαλύτερης από κάποιο μέγεθος, που καλείται συχνά ως όριοο ελαστικότητας ή τάση διαρροής. Πέρα από την τάση διαρροής συμβαίνει μόνιμη ή αλλιώς πλαστική παραμόρφωση του πετρώματος, πλέον της ελαστικής παραμόρφωσης. Με τηνν απομάκρυνση της φόρτισης η ελαστική παραμόρφωση ανακτάται, ενώ η μόνιμη όχι. Απαραίτητη προϋπόθεση για να συμβεί πλαστικήή παραμόρφωση είναι η διατήρηση της συνέχειας του πετρώματος, δηλαδή το πέτρωμα να μην εμφανίζει μακροσκοπική θραύση στην κλίμακα της παρατήρησης. Η πλαστική παραμόρφωση στα πετρώματα συνδέεται με μηχανισμούς στη μικροκλίμακα, όπως π..χ. πλεγματικές εκτοπίσεις (dislocations) ή διδυμίες (twinning). Εντούτοις, όπως συζητείται στα επόμενα (βλ. Κεφάλαιο 5), ταα πετρώματαα στις συνήθεις θερμοκρασίες και πιέσεις, που απαντώνται κατά την κατασκευή τεχνικών και μεταλλευτικών έργων, συμπεριφέροσ ονται κυρίωςς ως ψαθυρά, και η παραμόρφωσή τους κυριαρχείται από μικρορωγματώσεις στην κλίμακα των κόκκων του πετρώματος. Σχήμα 45. (a) Καμπύλη τάσης-τροπής για ελαστική-πλαστική συμπεριφορά. (β) Καμπύλη τάσηςς τροπής για πέτρωμα με κράτυνση, τέλεια πλαστικό, και χαλάρωση. Εάν η μόνιμη παραμόρφωση συμβαίνει με την επίτευξη της τάσης διαρροής και υπό σταθερή τάση, τότε η συμπεριφορά του πετρώματος καλείται ως τέλεια πλαστική. Τα πετρώματα γενικά δεν συμπεριφέρονται ως τέλεια πλαστικά υλικά κατά τη διάρκεια της πλαστικής παραμόρφωσης. Εάν για την αύξησηη της τροπής απαιτείται η αύξηση της εφαρμοζόμενης τάσης, τότε το φαινόμενο καλείταιι σκλήρυνση ή αλλιώς κρατυνόμενη συμπεριφορά. Το φαινόμενο της σκλήρυνσης στα πετρώματα έχει εξηγηθεί με τη θεώρηση της παραμόρφωσης του πλέγματος των κρυστάλλωνν και συγκεκριμένα με τον τ σχηματισμό και τη διάδοση των 70
πλεγματικών εκτοπίσεων. Αντίστοιχα, το φαινόμενο της αποσκλήρυνσης ή χαλάρωσης (strain softening) αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου απαιτείται μικρότερη τάση για την αύξηση της τροπής. Η αποσκλήρυνση έχει εξηγηθεί από την επίδραση της μείωσης του μεγέθους των κόκκων κατά τη διάρκεια της πλαστικής παραμόρφωσης, που καθιστά τους μηχανισμούς παραμόρφωσης, όπως την ολίσθηση στα όρια των κόκκων, πιο δραστικούς, λόγω της αύξησης της επιφάνειας του κόκκου. Άλλοι παράγοντες που μπορούν να οδηγήσουν σε χαλάρωση είναι η ανακρυστάλλωση σε νέα και ασθενέστερα ορυκτά, η επίδραση της παρουσίας ρευστών στους πόρους και η αύξηση της θερμοκρασίας. Τα πετρώματα παρουσιάζουν πολύπλοκη ροϊκή συμπεριφορά και γενικά δεν είναι αμιγώς ελαστικά, ιξώδη ή πλαστικά. Εξάλλου, όπως ήδη αναφέρθηκε, στις συνήθεις θερμοκρασίες και πιέσεις συμπεριφέρονται ως ψαθυρά υλικά. Ως εκ τούτου, η περιγραφή της συμπεριφοράς του πετρώματος απαιτεί τον συνδυασμό των εξιδανικευμένων μοντέλων παραμόρφωσης, μαζί με τη θεώρηση της ψαθυρής του συμπεριφοράς. 4.4.2. Ελαστική συμπεριφορά του πετρώματος Η γενική διατύπωση της γραμμικά ελαστικής συμπεριφοράς είναι η γενίκευση της σχέσης (4.108), δηλαδή η γενίκευση του νόμου του Hooke, στην οποία η τροπή είναι γραμμική συνάρτηση των συνιστωσών της τάσης. Έτσι, για παράδειγμα, η ορθή συνιστώσα της τροπής ε xx μπορεί να εκφρασθεί ως: = + + + + + (4.110) Οι συντελεστές a 1j δείχνουν το μέγεθος της ορθής τροπής ε xx που προκαλείται λόγω της κάθε συνιστώσας της τάσης. Ομοίως, οι υπόλοιπες συνιστώσες της τροπής μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των συνιστωσών της τάσης. Σχηματίζονται έτσι έξι εξισώσεις που συνδέουν τις συνιστώσες της τροπής με τις συνιστώσες της τάσης. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να διατυπωθούν συνοπτικά με μορφή πινάκων, ως ακολούθως: = [] = [][] (4.111) Ο πίνακας [S] καλείται μητρώο ενδοτικότητας (compliance matrix) και κάθε ένα από τα στοιχεία του a ij χαρακτηρίζεται ως μέτρο ενδοτικότητας. Παρόλο που η μορφή του μητρώου ενδοτικότητας υποδηλώνει ότι υπάρχουν 36 μέτρα ενδοτικότητας, μόνο τα 21 από αυτά είναι ανεξάρτητα, καθώς για ισόθερμη ή αδιαβατική παραμόρφωση το μητρώο είναι συμμετρικό. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι περισσότερο χρήσιμο να εκφράζονται οι συνιστώσες της τάσης συναρτήσει εκείνων της τροπής. Για παράδειγμα, η ορθή συνιστώσα της τάσης σ xx μπορεί να εκφρασθεί ως: = + + + + + (4.112) Οι συντελεστές C 1j δείχνουν το μέγεθος της ορθής τάσης σ xx που προκαλείται λόγω της κάθε συνιστώσας της τροπής. Ομοίως, οι υπόλοιπες συνιστώσες της τάσης μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των συνιστωσών της τροπής. Σχηματίζονται έτσι έξι εξισώσεις που συνδέουν τις συνιστώσες της τάσης με τις συνιστώσες της τροπής. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να διατυπωθούν συνοπτικά με μορφή πινάκων, ως ακολούθως: = [] = [][] (4.113) 71
[C] είναι το μητρώο ελαστικότητας (elasticity matrix) ή μητρώο ελαστικής δυστροπίας (elastic stiffness), και είναι το αντίστροφο του μητρώου ενδοτικότητας. Για τη γενική περίπτωση ανισότροπης ελαστικότητας υπάρχουν 21 ανεξάρτητες συνιστώσες του [C]. 4.4.3. Ισότροπη ελαστικότητα Για ένα ισότροπο πέτρωμα, η σχέση μεταξύ της τάσης και της τροπής θα είναι ίδια σε όλες τις διευθύνσεις. Στην περίπτωση της ισότροπης ελαστικότητας το μητρώο ενδοτικότητας γίνεται: 1 0 0 0 1 0 0 0 [] = 1 1 0 0 0 0 0 0 2(1+) 0 0 0 0 0 0 2(1+) 0 0 0 0 0 0 2(1+) (4.114) και το μητρώο δυστροπίας 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 (1 ) 1 1 [] = (1+)(1 2) 1 2 0 0 0 0 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 0 2(1 ) 0 0 0 0 0 1 2 2(1 ) (4.115) Από τις παραπάνω σχέσεις φαίνεται ότι στην ισότροπη ελαστικότητα υπάρχουν 2 μόνον ανεξάρτητες παράμετροι που χαρακτηρίζουν την παραμόρφωση του πετρώματος. Αυτές μπορεί να είναι το μέτρο ελαστικότητας E και ο λόγος του Poisson ν ή η σταθερές του Lame 6, λ και G: = = 2(1+) (1+)(1 2) (4.116) (4.117) G είναι το μέτρο διάτμησης (συνδέει τις διατμητικές τάσεις με τις διατμητικές τροπές) και συχνά συμβολίζεται και με μ. Οι συμβολισμοί λ και μ για τις σταθερές του Lame υποδηλώνουν τα σύμφωνα του ονόματος του εμπνευστή τους στα ελληνικά. Χρησιμοποιώντας τις σταθερές του Lame οι συνιστώσες της τάσης μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των συνιστωσών της τροπής με τη σχέση: = + 2 (4.118) δ ij είναι το δέλτα του Kronecker: = 1, = 0, (4.119) 6 Γάλλος μαθηματικός μηχανικός, πρωτοπόρος στη θεωρία ελαστικότητας. 72
και Δ είναι η ογκομετρική τροπή. Η ανάπτυξη της (4.118) για τις συνιστώσες της τάσης δίνει: = + + + 2 = (+2) + + = + + + 2 = (+2) +( + ) = + + + 2 = (+2) + + (4.120) και = 2 = = 2 = = 2 = (4.121) Αντίστοιχα, οι συνιστώσες της τροπής εκφράζονται συναρτήσει των συνιστωσών της τάσης με τις εξισώσεις: = 1 + = 1 ( + ) = 1 + = / ; = / ; = / (4.122) Επιπλέον, ισχύει η σχέση: =3 (4.123) Κ είναι το μέτρο συμπίεσης ή μέτρο συστολής ή μέτρο συνόγκου παραμόρφωσης (bulk modulus) του πετρώματος. Η πραγματική συμπεριφορά των πετρωμάτων προκύπτει από τις πειραματικές δοκιμές. Οι σχέσεις της ισότροπης ελαστικότητας μόνο ως προς προσέγγιση της πραγματικής συμπεριφοράς μπορούν να θεωρηθούν. 4.4.4. Ελαστικές σταθερές στην ισότροπη ελαστικότητα Είναι λογικό να υποτεθεί ότι ένα δοκίμιο πετρώματος θα βραχύνεται καθώς υφίσταται μία μονοαξονική θλιπτική τάση. Προκύπτει έτσι από την (4.108) ότι είναι Ε>0. Ομοίως, είναι λογικό να υποτεθεί ότι ο όγκος θα μειώνεται σε μία δοκιμή υδροστατικής θλίψης. Προκύπτει έτσι από την (4.123) ότι είναι Κ>0. Τέλος, η συνθήκη ότι μία θετική διατμητική τάση θα προκαλεί θετική διατμητική τροπή απαιτεί, σύμφωνα με τις (4.121), να είναι G>0. Δεχόμενοι ότι E>0, Κ>0 και G>0, προκύπτει: = = >0 2(1+) >0 1+>0 > 1 2(1+) 3(1 2) >0 3(1 2) >0 1 2>0 <1 2 Συνεπώς, για τον λόγο Poisson θα ισχύει: 1 < < 1 2 (4.124) 73
Αρνητική τιμή του λόγου Poisson σημαίνει ότι ένα κυλινδρικό δοκίμιο πετρώματος θα βραχύνεται πλευρικά όταν εκτείνεται αξονικά, και αντίστροφα. Παρόλο που κανένα ισότροπο πέτρωμα δεν έχει βρεθεί να συμπεριφέρεται τοιουτοτρόπως, υπάρχουν τεχνητά υλικά που έχουν λόγο Poisson 1 < ν < 0. Βιβλιογραφία/Αναφορές Brady BHG, Brown ET (2003) Rock Mechanics for Underground Mining. 3rd edition, Springer. Goodman RE (1989) Introduction to Rock Mechanics. 3 rd Ed, John Wiley. Harrison JP, Hudson JA (2000) Engineering Rock Mechanics Illustrative Worked Examples. Pergamon Press. Hudson JA, Harrison JP (1997) Engineering Rock Mechanics An Introduction to the Principles. Pergamon Press. Jaeger JC, Cook NGW, Zimmerman RW (2007) Fundamentals of Rock Mechanics. 4 th Ed, Blackwell Publishing. Nomikos PP, Rahmannejad Reza, Sofianos AI (2012). Supported axisymmetric tunnels within linear viscoelastic Burgers rocks. Rock Mech Rock Eng, 44(5):553-564. 74
Ερωτήσεις-Ασκήσεις Ερώτηση 1 Εξηγείστε, δίνοντας και κατάλληλο σκαρίφημα, την έννοια της ορθής και της διατμητικής τροπής. Ερώτηση 2 Υπολογίστε το μητρώο των στροφών από τη σχέση (4.87). Δείξτε ότι το μητρώο αυτό είναι αντισυμμετρικό και ότι έχει μία μόνο ανεξάρτητη συνιστώσα στις δύο διαστάσεις. Ερώτηση 3 (α) Πώς μπορεί να υπολογιστεί η ορθή τροπή σε μια συγκεκριμένη διεύθυνση από τις συνιστώσες του τανυστή της τροπής; (β) Πώς μπορεί να εκτιμηθεί η παραμορφωσιακή κατάσταση σε ένα σημείο του πετρώματος από μετρήσεις της ορθής τροπής σε τρεις διαφορετικές διευθύνσεις; (γ) Πώς μπορεί ακολούθως να εκτιμηθεί η εντατική κατάσταση του πετρώματος; Απάντηση (α) Η ορθή τροπή σε μια συγκεκριμένη διεύθυνση μπορεί να υπολογιστεί από τις συνιστώσες του τανυστή της τροπής με τη βοήθεια των εξισώσεων μετασχηματισμού (4.97): = cos + sin + sin cos (β) Εάν μετρηθεί η τροπή σε τρεις διαφορετικές διευθύνσεις υπό γωνίες θ 1, θ 2, θ 3 ως προς τον άξονα x ενός συστήματος αναφοράς xy, τότε η παραπάνω σχέση μπορεί να διατυπωθεί τρεις φορές, μία για κάθε διεύθυνση: = cos + sin + sin cos = cos + sin + sin cos = cos + sin + sin cos Οι παραπάνω εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα τριών εξισώσεων με αγνώστους τις συνιστώσες του τανυστή της τροπής ε xx, ε yy, γ xy. Από την επίλυση του συστήματος προκύπτει ο τανυστής της τροπής για το πέτρωμα και συνεπώς και η παραμορφωσιακή κατάσταση σε ένα σημείο του πετρώματος. (γ) Η εντατική κατάσταση του πετρώματος μπορεί να εκτιμηθεί θεωρώντας ότι το πέτρωμα έχει ελαστική συμπεριφορά. Εάν οι ελαστικές σταθερές του πετρώματος είναι γνωστές, τότε εφαρμόζοντας την εξίσωση (4.118) μπορούν να προκύψουν οι συνιστώσες του τανυστή της τάσης. Ερώτηση 4 Σχεδιάστε ποιοτικά τη καμπύλη τάσης-τροπής για πέτρωμα: (α) γραμμικά ελαστικό, (β) μη-γραμμικά ελαστικό, (γ) ελαστικό με υστέρηση, (δ) ελαστικό-τέλεια πλαστικό, (ε) με κρατυνόμενη συμπεριφορά, (στ) με χαλαρούμενη συμπεριφορά. Ερώτηση 5 Από ποιους μηχανισμούς ερμηνεύεται η χρονικά εξαρτώμενη συμπεριφορά των πετρωμάτων; 75
Άσκηση 1 Δίνεται ο τανυστής της τροπής σε μία θέση τουυ πετρώματος = = (α) Να υπολογιστούν οι κύριες τροπές και οι διευθύνσεις τους. (β) Να υπολογιστεί ο τανυστής της τροπής σε σύστημα αξόνων στραμμένο κατά 45 ο ως προς το σύστημα Oxy. (γ) Να υπολογιστεί η ορθή και διατμητική τροπή σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 30 ο με τον άξοναα της μέγιστης κύριας τροπής. (δ) Να σχεδιαστεί ο κύκλος Mohr των τροπών για τη δεδομένη παραμορφωσιακή κατάσταση και να απαντηθούν τα ερωτήματα (α), (β), (γ) γραφικά. Άσκηση 2 Να δειχθεί ότι, εάν σε βάθος z από τηνν επιφάνεια το πέτρωμα βρίσκεται υπό μονοαξονική παραμορφωσιακή κατάσταση, τότε οι οριζόντιες τάσεις είναι σ xx =σσ yy =ν/(1-v)σ z zz, όπου v είναι ο λόγος Poisson. Άσκηση 3 Μετρήσεις της τροπής σε δοκίμιο πετρώματοςς σε τρεις διαφορετικέςς διευθύνσεις έδωσαν: ε (1) =150x10-6, ε (2) =15x10-6, ε (3) =-30x100-6. Η διεύθυνση του τροπόμετρου (1) είναι κατακόρυφη, του (3) οριζόντια, ενώ το τροπόμετροο (2) σχηματίζει γωνία 45 ο (αντιωρολογιακά) ως προς τον οριζόντιο άξονα. (α) Να προσδιορισθεί ο τανυστής της τροπής. β) Να σχεδιαστεί ο κύκλοςς του Mohrr για τις τροπές και να βρεθούν οι κύριες τροπές. Σχήμα 4.46. Τρία τροπόμετρα σε διαφορετικές διευθύνσεις (ροζέτα) κολλημένα στην επιφάνεια του πετρώματος. Άσκηση 4 α) Να αποδειχτεί ότι για έναν κύβο πετρώματος που παραμορφώνεται ομοιόμορφα σε κάθεε σημείο του ισχύει: ε v =ε xx +ε yy +ε zz. β) Να αποδειχτεί ότι για έναν κύλινδρο πετρώματος που παραμορφώνεται ομοιόμορφα σε κάθε σημείο του ισχύει: ε v =ε a +2ε d. Άσκηση 5 Υπολογίστε την ογκομετρική τροπή ενός ψαμμίτη σε υδροστατική εντατική κατάσταση MPa. Δίνονται για τον ψαμμίτη: μέτρο ελαστικότητας Ε= =40GPa και λόγος Poisson v=0.2. με πίεση 40 Λύση (α) Υδροστατική εντατική κατάσταση είναι η εντατική κατάσταση όπου οι κύριες τάσεις είναι σ 1 =σ 2 =σ 3 =p. Οι κύριες τροπές δίνονται από τη σχέση: 76
= = =/(3) K είναι το μέτρο συστολής του πετρώματος: = 3(1 2) = 40 = 22.222 3(1 2 0.2) H ογκομετρική τροπή υπολογίζεται ως: = + + = = 50 22222 =2.25 10 Άσκηση 6 Ένα πρισματικό δοκίμιο πετρώματος υποβάλλεται σε ομοιόμορφη μονοαξονική θλίψη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 47. Το πέτρωμα έχει μέτρο ελαστικότητας Ε=45 GPa και λόγο Poisson v=0.2. (α) Υπολογίστε τη συνιστώσα της τροπής ε zz για σ zz =40 MPa. Ποια θα είναι η βράχυνση του δοκιμίου σε αυτήν την τάση; (β) Υπολογίστε τις συνιστώσες της τροπής ε xx και ε yy. Πόσο θα έχει εκταθεί πλευρικά το δοκίμιο; (γ) Υπολογίστε την ογκομετρική τροπή και τη μεταβολή του όγκου του πετρώματος. Σχήμα 47. Πρισματικό δοκίμιο πετρώματος σε μονοαξονική θλίψη. Λύση (α) Μονοαξονική εντατική κατάσταση: είναι η εντατική κατάσταση ενός δοκιμίου πετρώματος που φορτίζεται ομοιόμορφα σε μία διεύθυνση, ενώ η πλευρική του επιφάνεια είναι ελεύθερη τάσεων. Είναι η συνηθέστερη εντατική κατάσταση στην οποία υποβάλλονται δοκίμια πετρώματος στο εργαστήριο. Οι κύριες τάσεις είναι σ 1 0, και σ 2 =σ 3 =0. Με την υπόθεση ελαστικής συμπεριφοράς του πετρώματος, η τροπή ε zz υπολογίζεται από τη σχέση: = 1 + = = 40 45000 =8.89 10 Από τον ορισμό της ορθής τροπής: = Δ = =8.89 10 110 = 9.78 10 Συνεπώς, η βράχυνση του δοκιμίου σε αυτή την τάση είναι 97.78 μm (<0.1 mm) (β) Οι συνιστώσες της τροπής ε xx και ε yy υπολογίζονται από τις σχέσεις: 77
= 1 + = = 1 ( + )= Από τον ορισμό της ορθής τροπής: 40 = 0.2 = 1.78 10 45000 40 = 0.2 = 1.78 10 45000 = Δ = = 1.78 10 50 = 8.89 10 Το δοκίμιο θα έχει εκταθεί πλευρικά 8.89 μm. (γ) Η ογκομετρική τροπή δίνεται από τη σχέση: ε = + + = 1.78 10 1.78 10 +8.89 10 =5.33 10 Από τον ορισμό της ογκομετρικής τροπής: = = =5.33 10 (110 50 50) = 146.575 Για μονοαξονική εντατική κατάσταση του πετρώματος οι κύριες τροπές δίνονται από τις σχέσεις: = ; = = και η ογκομετρική τροπή μπορεί να υπολογισθεί ως: =ε + + = 1 2 Άσκηση 7 Ένα κυλινδρικό δοκίμιο πετρώματος υποβάλλεται σε ομοιόμορφη μονοαξονική θλίψη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 48. Το πέτρωμα έχει μέτρο ελαστικότητας Ε=40 GPa και λόγο Poisson v=0.2. α) Υπολογίστε τη συνιστώσα της τροπής ε zz για σ zz =50 MPa. Ποια θα είναι η βράχυνση του δοκιμίου σε αυτήν την τάση; β) Υπολογίστε τη μεταβολή της διαμέτρου και του όγκου του δοκιμίου. Σχήμα 48. Κυλινδρικό δοκίμιο πετρώματος σε μονοαξονική θλίψη. 78
Άσκηση 8 Το πρισματικό δοκίμιο της Άσκησης 5 υποβάλλεται σε ομοιόμορφη μονοαξονική παραμόρφωση με ε zz =1x10-3. Θεωρώντας ότι η παραμόρφωση των πλευρικών επιφανειών του δοκιμίου παρεμποδίζεται, υπολογίστε τις κύριες τροπές και τις κύριες τάσεις. Λύση Μονοαξονική παραμόρφωση είναι η κατάσταση του πετρώματος που βραχύνεται ομοιόμορφα σε μία διεύθυνση, ενώ η πλευρική παραμόρφωση εμποδίζεται είτε από την παρουσία του γειτονικού πετρώματος είτε από άκαμπτες επιφάνειες σε επαφή με την επιφάνεια του πετρώματος. Εφόσον δεν υπάρχουν διατμητικές παραμορφώσεις οι διευθύνσεις των κυρίων τροπών συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των αξόνων x,y,z. Οι κύριες τροπές είναι ε 1 =ε zz =1x10-3, ε 2 =ε 3 =0. Ομοίως, εφόσον δεν υπάρχουν διατμητικές παραμορφώσεις, οι διατμητικές τάσεις είναι μηδέν, όπως προκύπτει από τις εξισώσεις (4.121). Συνεπώς οι διευθύνσεις των κυρίων τάσεων ταυτίζονται με τις διευθύνσεις των αξόνων x,y,z. Οι ορθές τάσεις δίνονται από τις σχέσεις (4.120): = (+2) + + = = = (+2) +( + ) = = = (+2) + + =(+2) = (+2) Οι κύριες τάσεις δίνονται από τις σχέσεις: = = (+2) = = = 1 Άσκηση 9 Σε ένα σημείο του πετρώματος μετρήθηκαν ε xx =2x10-4, ε yy =3x10-4, ε xy =1x10-4, ε zz =ε xz =ε yz =0. Το πέτρωμα έχει μέτρο ελαστικότητας Ε=70 GPa και λόγο Poisson ν=0.2. Υπολογίστε τις κύριες τάσεις και διευθύνσεις. Λύση Το πέτρωμα στη δεδομένη θέση βρίσκεται σε κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης. Επίπεδη παραμόρφωση είναι η κατάσταση που θεωρείται πολύ συχνά κατά την εντατική ανάλυση γύρω από γεωτρήσεις ή επιμήκη υπόγεια ανοίγματα. Οι κύριες τροπές είναι ε 1 0, ε 2 0 και ε 3 =0, με τον άξονα της ε 3 παράλληλο προς τον διαμήκη άξονα του ανοίγματος. Οι ορθές τάσεις δίνονται από τις σχέσεις (4.120): = (+2) + + =(+2) + =21.39 = (+2) +( + ) = (+2) + = 27.22 = (+2) + + = + = 9.72 Όπου = = 19444,44 (1+)(1 2) = = 29166.67 2(1+) Οι διατμητικές τάσεις δίνονται από τις σχέσεις (4.121): 79
= 2 = 5.83 = 2 =0 = 2 =0 Ο τανυστής της τάσης είναι: 21.39 5.83 0 =5.83 27.22 0 0 0 9.72 Οι κύριες τάσεις υπολογίζονται οι ιδιοτιμές της χαρακτηριστικής εξίσωσης. 80