Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003

Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα των οµάδων Ζ και Ζ 5 *. Όπως γνωρίζουµε ισχύει ότι: Z * {[ a] : 0 a } και Z {[ a] Z : gcd( a, ) } Εφαρµόζοντας τα παραπάνω έχουµε ότι Ζ {0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} κάνοντας τη γνωστή σύµβαση ότι το 0 αναπαριστά το [0] κοκ. Επίσης έχουµε ότι Ζ 5 {0,,,3,4,5,6,7,8,9,0,,,3,4} άρα Ζ * 5{,,4,7,8,,3,4}. Στη συνέχεια προκειµένου να βρούµε τις υποοµάδες των οµάδων, χρησιµοποιούµε στοιχεία γεννήτορες που προέρχονται από τα σύνολα των οµάδων. Με κάθε στοιχείο a της οµάδας δηµιουργούµε και µια υποοµάδα σύµφωνα µε τη σχέση < a > a a a. Έτσι για την οµάδα Ζ οι υποοµάδες της έχουν τον τελεστή + και τα ακόλουθα σύνολα: <0>{0} <>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <3>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <4>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <5>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <6>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <7>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <8>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <9>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} <0>{0,,,3,4,5,6,7,8,9,0} Επίσης για την οµάδα Ζ * 5 έχουµε υποοµάδες µε τελεστή τον 5 και µε τα ακόλουθα σύνολα: <>{} <>{,,4,8} <4>{,4} <7>{,4,7,3,4} <8>{,,4,8} <>{,} <3>{,4,7,3} <4>{,4}

Άσκηση Έστω ότι υπάρχει ακέραιος 0 τέτοιος ώστε να ισχύουν gcd( ab,ab) για κάθε πρώτο < 0 και gcd( ab,ab) για κάθε πρώτο > 0. είξτε ότι gcd(a,b). Αρχικά αναπαριστούµε τους αριθµούς a και b ως γινόµενο πρώτων παραγόντων. Έστω λοιπόν ότι: e e ek e f a k : < k < 0 και : > k > 0 f fk f και b, όπου ισχύει ότι Επίσης χρησιµοποιούµε µηδενικούς εκθέτες έτσι ώστε να έχουµε κοινούς πρώτους παράγοντες για τους a και b. Με αυτά υπόψη το γινόµενο ab ορίζεται ως ακολούθως: ab e+ f e+ f ek + fk e+ f k ενώ gcd( a, b) k ( e, f ) ( e, f ) ( ek, fk ) k ( e, f ) Εφόσον ισχύει ότι gcd( ab,ab) για όλους τους πρώτους που είναι µικρότεροι από το 0, αυτό σηµαίνει όλοι οι πρώτοι που είναι µικρότεροι από το 0 θα είναι διαιρέτες του γινοµένου ab. Επίσης αποκλείεται η περίπτωση να είναι διαιρέτης του γινοµένου ab ένας αριθµός της µορφής µε I<k και >. Αν υπάρχει ab µ ℵ : µ ab και εποµένως έχουµε ότι ab, άρα. Κάτι τέτοιο όµως είναι άτοπο διότι και 443 ab > 4 µ µ εµείς γνωρίζουµε ότι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο. Με τα προηγούµενα καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι τα αθροίσµατα των εκθετών e +f για όλους τους πρώτους που είναι µικρότεροι από 0. Όµως το ότι το άθροισµα κάνει σηµαίνει ότι είτε e 0 και f είτε e και f 0. Οπότε σε κάθε περίπτωση (e, f )0. Τέλος µένει να εξετάσουµε τι συµβαίνει στους εκθέτες του γινοµένου για τους πρώτους που είναι µεγαλύτεροι του 0. Εφόσον σε αυτή την περίπτωση γνωρίζουµε πως gcd( ab,ab), σηµαίνει ότι κανένας πρώτος µεγαλύτερος από 0 δεν είναι διαιρέτης του γινοµένου. Εποµένως τα αθροίσµατα e +f 0 και εφόσον οι e, f είναι θετικοί έχουµε πως e 0 και f 0, άρα (e,f )0. 0 0 0 Τελικά έχουµε ότι gcd( a, b) Άσκηση 3 Είναι οµάδα το σύνολο Ζ εφοδιασµένο µε την πράξη του πολλαπλασιασµού; Εξηγήστε. Προκειµένου να ελέγξουµε αν το σύνολο Ζ µαζί µε την πράξη του (oduo) πολλαπλασιασµού είναι οµάδα θα πρέπει να εξετάσουµε κατά πόσο ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:. Κλειστότητα.. Προσεταιριστικότητα

3. Ύπαρξη ταυτοτικού στοιχείου. 4. Ύπαρξη µοναδικού αντίθετου στοιχείου για κάθε στοιχείο του συνόλου. Αρχικά θα πρέπει να εξηγηθεί τι ακριβώς περιλαµβάνει το σύνολο Ζ. To Z είναι το σύνολο των ακεραίων που όταν διαιρεθούν µε αφήνουν υπόλοιπο από 0 ως -. Με αυτό υπόψη εύκολα βλέπουµε πως ισχύει η κλειστότητα επί του τελεστή, εφόσον το γινόµενο δύο ακεραίων είναι και αυτός ακέραιος και το oduo µας βάζει πάλι µέσα στο Z. Επίσης εύκολα βλέπουµε πως ισχύει και η προσεταιριστικότητα: ([a] [b] ) [c] [ab] [c] [(ab)c] [a(bc)] [a] ([b] [c] ) Όσον αφορά το ταυτοτικό στοιχείο µπορούµε να θέσουµε το [], εφόσον [a] [] [] [a] [a] Τέλος µένει να δείξουµε ότι για κάθε στοιχείο του Ζ υπάρχει µοναδικό αντίστροφο στοιχείο. ηλαδή ότι υπάρχει [a - ] ώστε [a] [a - ] [a - ] [a] []. Ωστόσο σύµφωνα µε το πόρισµα 3.6 του βιβλίου, για να έχει (µοναδική) λύση η εξίσωση a (od ) πρέπει gcd(a,). Κάτι που στη γενική περίπτωση δεν ισχύει για το Z. Εποµένως εφόσον δεν υπάρχει για κάθε στοιχείο του Z αντίθετο, το (Ζ, οµάδα. Άσκηση 4 ) δεν αποτελεί Βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης 33 (od 60). Προκειµένου να λύσουµε την εξίσωση «τρέχουµε» την ρουτίνα MODULAR-LINEAR- EQUATION-SOLVER(a,b,) που περιγράφεται στην παράγραφο 3.4 του βιβλίου, µε a33, b και 60. Αρχικά θα πρέπει να τρέξουµε τη ρουτίνα EXTENDED-EUCLID(60,33) (προκειµένου να εκτελέσουµε την EXTENDED-EULCID έχουµε αντιστρέψει τα a, ). Οπότε έχουµε: a b b a / d y 60 33 3 5-9 33 7 3-4 5 7 6 4 3-4 6 3 3 0 3 0-3 0 Στη συνέχεια πρέπει να ελέγξουµε αν d b δηλαδή αν 3 που ισχύει, οπότε προχωρούµε για να βρούµε τις d(3) λύσεις. Έχουµε ότι 0-9(/3) od 604. Οπότε 4+(60/3) od 6044, 4+(60/3) od 604. Οπότε οι τρεις λύσεις της εξίσωσης είναι: X 0 4 X 44 X 4

Άσκηση 5 Έστω ένας σύνθετος ακέραιος. είξτε ότι τουλάχιστον Z δεν έχουν πολλαπλασιαστικό αντίστροφο. στοιχεία του Όπως γνωρίζουµε το µέγεθος του Ζ είναι. Επίσης γνωρίζουµε πως το Ζ * είναι ένα υποσύνολο του Ζ στο οποίο κάθε στοιχείο έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο. Ακόµη από το πόρισµα 3. του βιβλίου προκύπτει πως δεν υπάρχει περίπτωση να υπάρχει στοιχείο στο Z που να έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο και να µην ανήκει στο Ζ *. Τέλος γνωρίζουµε πως το µέγεθος του Ζ * δίνεται από τη συνάρτηση φ ( ) ( ). Εποµένως καταλαβαίνουµε πως αρκεί να δείξουµε ότι φ ( ) ( ) φ ( ). ( ) ( ( )) ( ) () Προκειµένου να αποδείξουµε την τελευταία σχέση διακρίνουµε περιπτώσεις για το. είναι πρώτος. Εφόσον καταλήγουµε στο συµπέρασµα πως ο µόνος πρώτος παράγοντας του είναι ο και εποµένως η () ισχύει µε την ισότητα. είναι σύνθετος. Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε να διασπάσουµε τον σε e e e γινόµενο πρώτων παραγόντων ως. Έτσι το γινόµενο της () γίνεται ( )( )( ). Εφόσον πάντα ισχύει ότι < έχουµε ότι > <. Άρα το γινόµενο φράσσεται από το. Τέλος παρατηρούµε ότι εφόσον το είναι σύνθετος ακέραιος, άρα > < <. Και έτσι αποδείχθηκε ότι η () ισχύει και όταν είναι σύνθετος. Εποµένως σε κάθε περίπτωση ισχύει η () και εποµένως πάντα θα υπάρχουν τουλάχιστον στοιχεία του Ζ που δεν θα έχουν πολλαπλασιαστικό αντίστροφο.

Άσκηση 6 είξτε ότι ανάµεσα σε δύο συνεχόµενους πρώτους υπάρχουν αυθαίρετα πολλοί ακέραιοι. Προκειµένου να δείξουµε ότι µεταξύ δύο συνεχόµενων πρώτων υπάρχουν αυθαίρετα πολλοί σύνθετοι, αρκεί να αποδείξουµε ότι για κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει µια ακολουθία διαδοχικών ακεραίων που δεν είναι πρώτοι. Θέτουµε σαν ακολουθία την: (+)!+, (+)!+3,, (+)!+(+). Μπορούµε να αποδείξουµε ότι σε αυτή την ακολουθία κανένας αριθµός δεν είναι πρώτος. Παρατηρούµε ότι κάθε όρος της ακολουθίας έχει τη µορφή (+)!+k µε <k<+. Κάθε όρος µπορεί να διαιρεθεί µε το k. Αυτό διότι το k προφανώς διαιρεί τον εαυτό του και εφόσον k<+ θα εµπεριέχεται ως γινόµενο µέσα στο παραγοντικό. Έτσι κάθε όρο µπορούµε να τον ξαναγράψουµε ως k(+(..3 k-)(k+)(k+) (+)). Ξεκάθαρα φαίνεται ότι κανείς από τους όρους της ακολουθίας δεν είναι πρώτος. Άσκηση 7 είξτε πώς µπορεί να υπολογιστεί το a - * od για κάθε a Z, χρησιµοποιώντας την ρουτίνα MODULAR-EXPONENTATION. Υποθέστε ότι γνωρίζετε το φ(). Σε αυτή την άσκηση το ζητούµενο είναι να βρούµε έναν τρόπο προκειµένου να υπολογίσουµε τον πολλαπλασιαστικό αντίστροφο εκτελώντας µόνο ύψωση σε θετική δύναµη oduo. Αυτό δηλαδή που κάνει η ρουτίνα MODULAR-EXPONENTATION. Το κλειδί για τη λύση είναι το θεώρηµα του Euer: φ ( ) a (od). Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη µε a - φ ( ) φ ( ) od έχουµε: a a a (od ) a a (od ). Εποµένως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα τον πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του a καλώντας την MODULAR-EXPONENTATION για το a µε εκθέτη το φ()-. Βέβαια αυτό προϋποθέτει ότι θα γνωρίζουµε το φ(). Άσκηση 8 είξτε ότι gcd( s -, t -) αν και µόνο αν gcd(s,t). ( ) Υποθέτουµε ότι gcd(s,t) και θέλουµε να αποδείξουµε ότι gcd( s -, t -). Για να αποδείξουµε ότι gcd( s -, t -)αρκεί να βρούµε έναν γραµµικό συνδυασµό των s - και t - που να είναι ίσος µε τη µονάδα. Σε αυτή την περίπτωση ο συνδυασµός θα είναι ο ελάχιστος δυνατός θετικός άρα θα είναι και gcd, και προφανώς θα ισχύει ότι gcd( s -, t -). Εφόσον gcd(s,t) θα υπάρχουν,y τέτοια ώστε s+ty, κατόπιν µπορούµε να γράψουµε ότι - s+ty -> s ty - ty + ty ->

ty ( s -)+( ty -) () Στη συνέχεια µπορούµε να διασπάσουµε τα ( s -), ( ty -) σύµφωνα µε γνωστή ταυτότητα ως ακολούθως: s -( s ) -( s -)( s(-) + s(-) + s(-3) + + s ) () ty -( t ) y -( t -)( t(y-) + t(y-) + t(y-3) + + t ) (3) Μετά από αυτή τη διάσπαση παρατηρούµε ότι µπορούµε να θέσουµε τις ποσότητες Όπου τα µ,λ είναι απλώς ακέραιοι. ( s(-) + s(-) + s(-3) + + s )µ (4) ( t(y-) + t(y-) + t(y-3) + + t )λ (5) Έτσι αντικαθιστώντας τις (4), (5) στις (), (3) και αυτές στην () έχουµε: µ ty ( s -)+λ( t -) (6) Από τη σχέση (6) έχουµε αποδείξει το ζητούµενο εφόσον έχουµε φέρει τα ( s -), ( t -) σε µορφή γραµµικού συνδυασµού που κάνει. ( ) Υποθέτουµε ότι gcd( s -, t -) και θέλουµε να αποδείξουµε ότι gcd(s,t). Ωστόσο χρησιµοποιώντας την αρχή της αντιθετοαντιστροφής µπορούµε ισοδύναµα να αποδείξουµε ότι δεδοµένου ότι gcd(s,t) ισχύει πως gcd( s -, t -). Έστω ότι gcd(s,t)d>, τότε θα υπάρχουν w,v Z ώστε sdw και tdv. Εποµένως έχουµε ότι: s - dw -( d -)µ (7) t - dv -( d -)λ (8) Από τις σχέσεις (7) και (8) προκύπτει ότι τα ( s -), ( t -) έχουν ως κοινό τους διαιρέτη το ( d - ). Εφόσον d> άρα και d -> εποµένως αποδείχτηκε το ζητούµενο ότι gcd( s -, t -). Άσκηση 9 Λύστε το σύστηµα των εξισώσεων: X4 (od 5) X (od 9) X (od ) Προκειµένου να επιλύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων χρησιµοποιούµε το κινέζικο θεώρηµα και θέτουµε τις εξισώσεις του συστήµατος ως τις συνιστώσες a του a. Θεωρούµε δηλαδή ότι το είναι το άγνωστο για εµάς ενώ έχουµε ήδη τις συνιστώσες του (4,, ). Αυτό που πρέπει να κάνουµε είναι να ανακατασκευάσουµε το από τις συνιστώσες. Το πρόβληµα είναι καλώς ορισµένο εφόσον τα (5, 9, ) είναι πρώτοι µεταξύ τους και εποµένως µπορούµε να προχωρήσουµε. Για να βρούµε το πρέπει να υπολογίσουµε τα c και να χρησιµοποιήσουµε την σχέση (3.8) του βιβλίου. Υπενθυµίζουµε ότι αυτά ορίζονται ως εξής: k.

/ c ( - od ) Στην περίπτωση µας έχουµε ότι 5*9*495. c (od) Επίσης έχουµε ότι 99, 55, 3 45. Στη συνέχεια πρέπει να βρούµε τους πολλαπλασιαστικούς αντιστρόφους των. Για να βρεθεί αυτό πρέπει να λυθούν οι εξισώσεις - od. Τελικά βρίσκουµε ότι 99-4 od 5 55 - od 9 45 - od. Κατόπιν βρίσκουµε τα c C 99(4 od 5)396 C 55( od 9)55 C 3 45( od )45 Οπότε τελικά έχουµε ότι 396*4+55*+45*79 od 495 Άσκηση 0 είξτε ότι Αν α και β άρτιοι τότε gcd(a,b)gcd(a/,b/). Αν α είναι περιττός και β είναι άρτιος, τότε gcd(a,b)gcd(a,b/). Αν α και β είναι περιττοί τότε gcd(a,b)gcd((a-b)/,b).. Για τo πρώτο µέρος του ερωτήµατος µπορούµε να κάνουµε άµεσα εφαρµογή του πορίσµατος 3.4. Υπενθυµίζω ότι το πόρισµα αυτό ορίζει την αλήθεια της ακόλουθης σχέσης: gcd(a,b)gcd(a,b) Εφόσον οι α, β είναι άρτιοι µπορούµε να τους γράψουµε στην µορφή aκ, bλ για κάποιους ακέραιους κ, λ. Εποµένως έχουµε: Gcd(a,b)gcd(κ,λ)gcd(κ,λ)gcd(a/,b/). Για να λύσουµε το δεύτερο µέρος του ερωτήµατος διασπούµε τους α,β σε γινόµενο πρώτων παραγόντων λαµβάνοντας υπόψη ότι α είναι περιττός και β άρτιος. Έτσι έχουµε: Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα αποτελέσµατα της άσκησης 7.

0 e e a k f f b (0, k ) ( e, f ) ( e, f ) ( e, f ) Οπότε έχω gcd( a, b) > gcd( a, b) ( e, f ) ( e, f ) k f f Επίσης b / f gcd( a, b / ) ( e, f ), οπότε e (0, k ) ( e, f ) ( e, f ) ( e, f ) > f gcd( a, b / ) Οπότε δείξαµε το ζητούµενο. ( e, f ) ( e, f ) ( e, f ) gcd( a, b) 3. Προκειµένου να αποδείξουµε και το τρίτο µέρος της άσκησης αρχίζουµε κάνοντας πράξεις µε τους gcd. Έτσι έχουµε: gcd(a,b)a+by για κάποιους ακέραιους, y () gcd(a-b,b)(a-b)+by για κάποιους ακέραιους, y () Από την () έχω: gcd(a,b)a+by+b-b(a-b)+(y+)b, ωστόσο από τη () έχουµε ότι ο gcd(a-b,b) (α-β) και gcd(a-b,b) b, άρα gcd(a-b,b) gcd(a,b) (3) Επίσης από την () έχω: gcd(a-b,b)a+(y-)b, ωστόσο από την () έχω ότι gcd(a,b) a και gcd(a,b) b άρα gcd(a,b) gcd(a-b,b) (4). Εποµένως από (3) και (4) έχω ότι gcd(a,b)gcd(a-b,b). Επίσης εφόσον α,β είναι περιττοί η διαφορά τους θα είναι άρτια και εποµένως σύµφωνα µε το δεύτερο µέρος της άσκησης µπορούµε να γράψουµε την ακόλουθη ζητούµενη σχέση: gcd(a,b)gcd((a-b)/,b)