αν είναι θ < 0, τότε έχουμε πάλι ότι x!. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση x 3 4 έχουμε x 3 4 x 3 4 ή x 3 4 x 7 ή x 1 x (, 1] [7,+ ). Παράδειγμα. Για την ανίσωση x +1 3 έχουμε x +1 3 η x +1 3 x η x 1 η x (, ] [1,+ ). x +1 3 x 4 x 7.""Πώς"θα"λύσω"μια"ανίσωση"δευτέρου"βαθμού; Η επίλυση ανισώσεων δευτέρου βαθμού είναι από τα σημαντικότερα θέματα της Άλγεβρας, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι και δύσκολη υπόθεση! ΑΠΑΡΑΒΑΤΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ! Πάντα να μεταφέρεις όλους τους όρους της ανίσωσης σ' ένα μέλος, ώστε το x να έχει θετικό συντελεστή, και στο δεύτερο μέλος να έχεις μηδέν!! Το πρώτο που πρέπει να κάνεις είναι να βρεις τις ρίζες του τριωνύμου του πρώτου μέλους (αν έχει). Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: Α) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x 1,x (ας είναι x 1 < x ), τότε φτιάξε τον ακόλουθο πίνακα x 1 x + αx + βx + γ ομ#σημο του α ετερ#σημο του α ομ#σημο του α και πάρε τα διαστήματα που απαντούν στο ζητούμενο της ανίσωσης, δηλαδή: αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ > 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x (,x 1 ) (x,+ ). αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x (,x 1 ] [x,+ ). αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ < 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x (x 1,x ). αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x [x 1,x ]. - 18 -
Παράδειγμα με συνοδευτικά σχόλια. Να λύσετε την ανίσωση x 3x + > 0. Λύση. Το τριώνυμο του πρώτου μέλους έχει διακρίνουσα Δ = ( 3) 4 1 = 9 8 = 1, οπότε έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις x 1, = 3 ± 1 = 3 ±1 x 1 = 3 +1 ή x = 3 1 x 1 = ή x = 1. Δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα 1 + x 3x + + + απ' όπου προκύπτει ότι x (,1) (,+ ). Σχόλια. α) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x 3x + 0, τότε το μόνο που θ' άλλαζε θα ήταν ότι στο τέλος θα έγραφες x (,1] [,+ ). β) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x 3x + < 0, τότε το μόνο που θ' άλλαζε θα ήταν ότι στο τέλος θα έγραφες x (1,). γ) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x 3x + 0, τότε το μόνο που θ' άλλαζε θα ήταν ότι στο τέλος θα έγραφες x [1,]. Όλη η υπόλοιπη εργασία (εύρεση ριζών και δημιουργία πίνακα) θα ήταν ακριβώς η ίδια!! Β) Αν το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα x 0, τότε παραγοντοποιείται υπό την μορφή αx + βx + γ = α(x x 0 ), οπότε σε κάθε περίπτωση προκύπτει στο πρώτο μέλος της ανίσωσης η παράσταση α(x x 0 ). Έχοντας, όμως, όπως είπα στην αρχή, μεταφέρει όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, ώστε ο συντελεστής του x να είναι θετικός, θα έχεις πάντα ότι α > 0, οπότε: ) > 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x! {x 0 }. ) 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x!. ) < 0, τότε θα γράψεις ότι η ανίσωση είναι αδύνατη στο!. ) 0, τότε θα προκύψει ότι α(x x 0 ) = 0 x x 0 = 0 x = x 0 (διπλή ρίζα). - 19 -
Παράδειγμα με συνοδευτικά σχόλια. Να λύσετε την ανίσωση x 4x + 4 > 0. Λύση. Το τριώνυμο του πρώτου μέλους έχει διακρίνουσα Δ = ( 4) 4 1 4 = 16 16 = 0, οπότε έχει μια διπλή ρίζα, την x 0 = 4 1 x 0 =. Άρα είναι x 4x + 4 = 1 (x ) x 4x + 4 = (x ) και, έτσι, έχω την ανίσωση (x ) > 0, απ' όπου προκύπτει x! {}. Σχόλια. α) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x 4x + 4 0, τότε θα προέκυπτε η ανίσωση (x ) 0, οπότε στο τέλος θα έγραφες x! (αφού (x ) 0, για κάθε x! ). β) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x 4x + 4 < 0, τότε θα προέκυπτε η ανίσωση (x ) < 0, που είναι αδύνατη (διότι είναι (x ) 0, για κάθε x! ). γ) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x 4x + 4 0, τότε θα προέκυπτε η ανίσωση (x ) 0, απ' όπου θα είχες ότι (x ) = 0 x = 0 x = (διπλή ρίζα), αφού δεν μπορεί να είναι (x ) < 0. Γ) Αν το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε επειδή, όπως είπα στην αρχή, έχεις μεταφέρει όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, ώστε ο συντελεστής του x να είναι θετικός, θα έχεις πάντα ότι το τριώνυμο είναι θετικό, για κάθε x!, οπότε: αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ > 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x!. αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x!. αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ < 0, τότε θα γράψεις ότι η ανίσωση είναι αδύνατη στο! (διότι είναι αx + βx + γ > 0, για κάθε x! ). αν έχεις την ανίσωση αx + βx + γ 0, τότε θα γράψεις ότι η ανίσωση είναι αδύνατη στο! (διότι είναι αx + βx + γ > 0, για κάθε x! ). Παράδειγμα με συνοδευτικά σχόλια. Να λύσετε την ανίσωση x + x +1 > 0. Λύση. Το τριώνυμο του πρώτου μέλους έχει διακρίνουσα οπότε είναι x + x +1 > 0, για κάθε x!. Δ = 1 4 1 1 = 1 4 = 3 < 0, Αυτό σημαίνει ότι λύση της ανίσωσης είναι κάθε x!. - 0 -
Σχόλια. α) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x + x +1 0, τότε στο τέλος πάλι θα έλεγες ότι x!. β) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x + x +1 < 0, τότε θα έλεγες ότι είναι αδύνατη στο! (διότι είναι x + x +1 > 0, για κάθε x! ). γ) Αν είχες να λύσεις την ανίσωση x + x +1 0, τότε θα έλεγες ότι είναι αδύνατη στο! (διότι είναι x + x +1 > 0, για κάθε x! ). 8.""Πώς"θα"λύσω"μια"παραγοντοποιημένη"ανίσωση; Οι παραγοντοποιημένες ανισώσεις που συνήθως συναντώνται, είναι πολυωνυμικές, μπορεί δε να είναι εξ αρχής παραγοντοποιημένες ή να χρειαστεί εσύ να την παραγοντοποιήσεις (για παράδειγμα, για να λύσεις μια ανίσωση τρίτου, ή μεγαλύτερου, βαθμού). α) Σε μια πολυωνυμική ανίσωση, φρόντισε οι παράγοντες να είναι πολυώνυμα πρώτου και δευτέρου βαθμού και, μάλιστα, με τον συντελεστή του x (στα πολυώνυμα πρώτου βαθμού) να είναι θετικός, όπως επίσης και με τον συντελεστή του x (στα πολυώνυμα δευτέρου βαθμού) να είναι θετικός. Φτιάξε έναν πίνακα, σημείωσε, στην πρώτη του γραμμή, τις ρίζες κάθε παράστασης (τους αριθμούς που τις μηδενίζουν δηλαδή) και, αριστερά, βάλε τις παραστάσεις την μία κάτω από την άλλη. Στις παραστάσεις πρώτου βαθμού, βάλε ( ) αριστερά από την ρίζα και (+) δεξιά από την ρίζα. Στις παραστάσεις δευτέρου βαθμού βάλε (+) έξω από τις ρίζες και ( ) ανάμεσα στις ρίζες. Από την τελευταία γραμμή του πίνακα, όπου σημειώνεις το πρόσημο του γινομένου κάθε στήλης, θα πάρεις τα διαστήματα που χρειάζεσαι για να δώσεις την λύση της ανίσωσης. Να σημειωθεί εδώ ότι, στις ανισώσεις αυτές ανάγονται οι ανισώσεις τρίτου (ή μεγαλυτέρου) βαθμού! - 1 -
Παράδειγµα Να λύσετε την ανίσωση (x 1)(x 5x + 6) < 0. Λύση 1ο βήμα. (Βρίσκω τις ρίζες κάθε παράστασης της ανίσωσης). x 1 = 0 x = 1. x 5x + 6 = 0 x = ή x = 3. ο βήμα. (Δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα). 1 3 + x 1 + + + x 5x + 6 + + + Γιν#μενο + + 3ο βήμα. (Δίνω την λύση της ανίσωσης από την τελευταία γραμμή της αριστερής στήλης του πίνακα (στήλη «Γινόμενο»)). Από τον πίνακα προκύπτει ότι x (,1) (,3). β) Σε μια παραγοντοποιημένη ανίσωση, που δεν έχει μόνο πολυωνυμικούς όρους, κάνε ό,τι και προηγουμένως. Παράδειγµα Να λύσετε την ανίσωση (e x 1)(x 5x + 6) < 0. Λύση 1ο βήμα. (Βρίσκω τις ρίζες κάθε παράστασης της ανίσωσης). e x 1 = 0 e x = 1 x = ln1 x = 0. Επίσης: e x 1 > 0 e x > 1 x > ln1 x > 0 (ανάλογα για την e x 1 < 0 ). x 5x + 6 = 0 x = ή x = 3. ο βήμα. (Δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα). 0 3 + e x 1 + + + x 5x + 6 + + + Γιν#μενο + + - -
3ο βήμα. (Δίνω την λύση της ανίσωσης από την τελευταία γραμμή της αριστερής στήλης του πίνακα (στήλη «Γινόμενο»)). Από τον πίνακα προκύπτει ότι x (,1) (,3). 9.""Πώς"θα"λύσω"μια"κλασματική"ανίσωση; Πρώτο και κυριότερο! Αν η ανίσωση έχει παραστάσεις του x στους παρονομαστές, ΠΡΩΤΑ θέτεις τους απαραίτητους περιορισμούς. Δεύτερο! ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ ΔΙΑ ΡΟΠΑΛΟΥ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΟ- ΝΟΜΑΣΤΩΝ!! Επιτρέπεται, ΜΟΝΟ αν το πρόσημο της παράστασης που αποτελεί το Ε.Κ.Π των παρονομαστών έχει σταθερό πρόσημο, για κάθε τιμή του x (κάτι που σε πολύ λίγες περιπτώσεις συμβαίνει). Τρίτο. Αν η ανίσωση έχει εξ αρχής την μορφή f (x) > 0 (ομοίως και για άλλες ανισώ- g(x) σεις), τότε την μετατρέπεις στην ισοδύναμή της f (x) g(x) > 0, δηλαδή την μετατρέπεις σε παραγοντοποιημένη ανίσωση και εργάζεσαι όπως αναφέρθηκε παραπάνω στο 8. Αν η ανίσωση δεν έχει την παραπάνω μορφή, αλλά στο δεύτερο μέλος της έχει κάποιον αριθμό ή κάποια άλλη παράσταση του x, τότε μεταφέρεις όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, κάνεις τα κλάσματα ομώνυμα και η ανίσωση πλέον θα λάβει την μορφή f (x) > 0, οπότε εργάσου όπως αναφέρθηκε παραπάνω. g(x) Παράδειγµα 1 Να λύσετε την ανίσωση x x 1 0. 1ο βήμα. (Θέτω περιορισμό στον παρονομαστή). Λύση Πρέπει να είναι x 1 0 x 1 x 1 και x 1. ο βήμα. (Μετατρέπω το κλάσμα σε γινόμενο). Η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την (x )(x 1) 0. 3ο βήμα. (Δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα). - 3 -