Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ
Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα. ηλαδή εκφράζου τη κατά µέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω. Τα πιο συηθισµέα µέτρα που χρησιµοποιούται µόο για ποσοτικές µεταβλητές είαι ο αριθµητικός µέσος ή µέση τιµή και η διάµεσος. Α Μέση Τιµή σε διακριτή µεταβλητή Έστω η µεταβλητή Χ µε παρατηρήσεις τις t, t,..., t και τιµές Ορίζουµε σα µέση τιµή αυτώ το πηλίκο Ας προσέξουµε και x,x,..., xκ, κ µε απόλυτες συχότητες τις,,..., κ t + t +... + t x = = t = και σχετικές συχότητες τις = = t Σt = Σt = f,f,..., fκ τη πιο κάτω χρήσιµη έκφραση µε τη βοήθεια τω τιµώ και τω συχοτήτω τους. x κ κ κ x + x +... + xκκ = Είαι x = = = x = x = κ = = = x f, κ
Παρουσίαση 3 Έας καθηγητής για α συγκρίει δύο διαφορετικά τµήµατα Α και Β της ίδιας τάξης, ως προς τη επίδοσή τους σε έα µάθηµα, πήρε τυχαία µαθητές από κάθε τµήµα. Η βαθµολογία τους στο µάθηµα αυτό ήτα: Τµήµα Α : 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 Τµήµα Β : 8 4 6 0 0 0 0 Η µέση τιµή τω βαθµώ στο τµήµα Α µε βαθµούς: 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5 5 + 5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 είαι x A = = 4, 8 8 5 + 4 Μπορούµε και µε το τύπο x A = = 4, 8 Η µέση τιµή τω βαθµώ στο τµήµα Β µε βαθµούς: 8,,,, 4, 6, 0, 0, 0, 0 8 + + + + 4 + 6 + 0 + 0 + 0 + 0 είαι x Β = = 4, 8 8 + 3 + 4 + 6 + 4 0 Μπορούµε και µε το τύπο x Β = = 4, 8 Παρατηρούµε ότι η βαθµολογία και τω δύο τµηµάτω είαι συγκετρωµέη γύρω από στο 5 και το δεύτερο τµήµα παρουσιάζει µεγαλύτερη διασπορά βαθµώ από το πρώτο. ηλαδή οι βαθµοί του Β τµήµατος είαι περισσότερο διασκορπισµέοι γύρω από µια κετρική τιµή, σε σχέση µε τους βαθµούς του Α τµήµατος. Η µέση τιµή από µόη της δε δίει και σηµατικές πληροφορίες αφού δύο δείγµατα µε το ίδιο µέσο όρο, µπορεί α συµπεριφέροται διαφορετικά. Έστω ο διπλαός πίακας συχοτήτω που δίει τη καταοµή του χρόου t (σε sec) 40 µαθητώ που χρειάστηκα για α τρέξου µια δεδοµέη απόσταση. Να αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω παρατηρήσεω είαι 7, 5 x 0 40 50 60 5 5 6 4
Παρουσίαση 4 Β Σταθµικός µέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα ή έµφαση στις τιµές x ατί της µέσης τιµής, x,..., x χρησιµοποιούµε το σταθµισµέο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο. Α σε κάθε τιµή x, x,..., x, δώσουµε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται µε τους λεγόµεους συτελεστές βαρύτητας w τότε ο σταθµικός µέσος x w + x w βρίσκεται από το τύπο x = w + w +... + x +... + w w = = = x w w, w,..., w Έστω ο υποψήφιος µαθητής του πιο κάτω παραδείγµατος. Γεικός Βαθµ ός πρόσβασης 8, 8, x 8 = 45,6 Μαθηµ ατικά Κατεύθυσης ο Μάθηµ α αυξηµ έης βαρύτητας 7 7 x,3 =, Μαθηµ ατικά Γεικής παιδείας ο Μάθηµ α αυξηµ έης βαρύτητας 8 8 x 0,7 =,6 Τελικός Μ έσος όρος 45,6 +, +,6 = 80,3 80,3 x 0 = 8.030 Είαι x = 8, και w = 8, οπότε w 45, 6 x = x = 7 και w =, 3, οπότε w, x = x 3 = 8 και w 3 = 0, 7, οπότε w, 6 x 3 3 = x w + xw + x3w3 45,6+,+,6 80,3 Ο σταθµικός µέσος είαι x = = = = 8, 03 w + w + w 8 +,3+ 0,7 3 Να βρείτε το σταθµικό µέσο εός µαθητή µε βαθµό πρόσβασης 8 πρώτο µάθηµα βαρύτητας, βαθµού8 και δεύτερο µάθηµα βαρύτητας, βαθµού 0
Παρουσίαση 5 Γ Μέση Τιµή σε συεχή µεταβλητή Για α βρούµε τη µέση τιµή σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα, χρησιµοποιούµε σα τιµές, τις κετρικές τιµές. Έστω ο παρακάτω πίακας που δείχει το ύψος σε cm µιας οµάδας παιδιώ. 4 8 9 4 4 5 7 8 9 7 4 6 6 4 4 3 7 7 8 9 5 5 5 8 8 8 8 7 4 4 4 3 30 3 3 33 39 Η µέση τιµή τω πιο πάω παρατηρήσεω t + t + t 3 +... + t 50 + + 4 +... + 39 606 είαι x = = = = 0, 5 50 50 50 Για ευκολότερο όµως υπολογισµό οµαδοποιούµε τα δεδοµέα για παράδειγµα σε 4 ισοπλατείς κλάσεις όπως φαίεται πιο κάτω. Κλάσεις [ - ) Κετρικές τιµ ές x Συχότητα [ 0, ) [, 0) [ 0, 30) [ 30, 40) 5 5 5 35 5 5 5 5 x 55 75 35 675 50 6050 Η µέση τιµή θα είαι x x = 55 + 75 + 35 + 675 = = 50 6050 50 = cm Παρατηρούµε ότι οι δύο µέσες τιµές που βρήκαµε διαφέρου µεταξύ τους. Η διαφορά αυτή οφείλεται στο γεγοός ότι κατά τη οµαδοποίηση, υποθέσαµε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι οµοιόµορφα καταεµηµέες και ότι οι τιµές σε κάθε κλάση εκπροσωπούται από τη ατίστοιχη κετρική τιµή x Αυτό φυσικά σηµαίει απώλεια πληροφοριώ, αλλά απλούστευση διαδικασιώ. Να βρείτε το µέσο όρο τω βαθµώ εός τµήµατος µε επιδόσεις 9, 7,,, 3,, 6,,, 3,,, 6,, 3, 3,, 7,, 8 α οµαδοποιήσουµε τα δεδοµέα στις κλάσεις [ 0,) και [,0) Να παρατηρήσουµε ότι πιο πάω, θα ήτα καλύτερα α οµαδοποιήσουµε στις κλάσεις ( 0,] και (,0],α θέλαµε οπωσδήποτε αυτά τα άκρα στη οµαδοποίηση γιατί το 0 δε αποτελεί βαθµό, αφού τότε το 0, δε θα υπήρχε στη 0 -βάθµια κλίµακα.
Παρουσίαση 6 ιάµεσος σε διακριτή µεταβλητή Η διάµεσος, είαι έα ακόµα µέτρο θέσης, το οποίο µας δείχει µία «µέση τιµή» του «κέτρου τω παρατηρήσεω» και είαι αεξάρτητη από τα άκρα. ιάµεσο εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθµός ή το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθµός. Έστω οι 3 παρατηρήσεις: 3 4 0 6 5 8 6 8 9 Αυτές σε αύξουσα σειρά είαι: 0 3 4 5 6 6 8 8 9 Η διάµεσος είαι η έβδοµη παρατήρηση (µεσαία παρατήρηση), δηλαδή το δ = 4 Να τοίσουµε ότι η µεσαία παρατήρηση σε δείγµα περιττού µεγέθους είαι η t + και µάλιστα η διάµεσος είαι τιµή του δείγµατος. Έστω οι παρατηρήσεις:,, 3, 4,, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 3,,, Να βρείτε τη διάµεσο παρατήρηση. Έστω οι 4 παρατηρήσεις: 3 4 0 6 5 8 6 8 9 9 Αυτές σε αύξουσα σειρά είαι: 0 3 4 5 6 6 8 8 9 9 Οπότε η διάµεσος είαι το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω 4 + 5 δηλαδή της έβδοµης και όγδοης παρατήρησης, δηλαδή είαι η δ = = 4, 5 Να τοίσουµε ότι η µεσαίες παρατηρήσεις σε δείγµα άρτιου µεγέθους είαι οι: t, t, αλλά όµως η διάµεσος δε είαι πάτα τιµή του δείγµατος. + Έστω οι παρατηρήσεις:,, 3, 4,, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 3,,,, Να βρείτε τη διάµεσο παρατήρηση. Η διάµεσος, είαι η τιµή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σχεδό σε δύο ίσα µέρη, ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού µε σειρά τάξης µεγέθους. Συγκεκριµέα, η διάµεσος είαι εκείος ο αριθµός για το οποίο το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες από αυτό και το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από αυτό. Η διάµεσος δε επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις, α οι παρατηρήσεις αυτές είαι προφαώς περισσότερες από
Παρουσίαση 7 Ε ιάµεσος σε συεχή µεταβλητή Για βρούµε τη διάµεσο σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα από το σηµείο εκείο του άξοα Ο y τω εκατοστιαίω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω που είαι το 50% τω παρατηρήσεω φέρουµε τη κάθετη σ αυτό µέχρι α τµήσουµε το πολύγωο συχοτήτω και από κει, τη κάθετη στο άξοα Ο x και βρίσκουµε τελικά το διάµεσο αριθµό δ % F 50% O δ x Να παρατηρήσουµε ότι και εδώ το 50 % τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες ή ίσες από αυτή και το 50% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες ή ίσες από τη τιµή αυτή. Θεωρούµε ξαά τα δεδοµέα του ύψους τω µαθητώ στο πιο κάτω πίακα. Κλάσεις [ - ) [0, ) [, 0) [0, 30) [30, 40) Κετρικές τιµές x 5 5 5 35 Συχότητες 5 5 5 5 Σχετικές Συχότητες f 0, 0,3 0,5 0, Σχετικές Συχότητες f % 30 50 Αθροιστικές Σχετικές Συχότητες F % 40 90 0 50 0 Ακολουθώτας τη προηγούµεη διαδικασία βρίσκουµε ότι η διάµεσος δ είαι αάµεσα στο διάστηµα [ 0,30) Περίπου θα λέγαµε ότι είαι δ 3 F % 0 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 0 30 40 60 x δ Αργότερα, µε τη βοήθεια τω ααλογιώ θα ετοπίσουµε ακριβέστερα αυτή. Α στο παραπάω πίακα καταοµής, από λάθος το όργαο µέτρησης έδειχε cm λιγότερο, α βρείτε τη πραγµατική διάµεσο.
Παρουσίαση 8 α Μέση τιµή σε διακριτές µεταβλητές Εδώ γίεται απλή εφαρµογή τύπω. Ας δούµε τα πιο κάτω θέµατα. Θέµα Α η µέση τιµή 0 παρατηρήσεω t < t < t 3 <... < t 0 είαι, 5 και η µέση τιµή τω 30 µικρότερω παρατηρήσεω είαι 8 α αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω υπολοίπω είαι 3 Απάτηση 0 t Από x 0 =, 5, είαι = =, 5 ή t = 50 0 = 30 0 t 30 = και από x 30 = 8, είαι = 8 ή t 540 30 = = 0 0 t t t = 3 = = 50 540 Οπότε x 70 = = = = 3 70 70 70 Θέµα 30 Έστω x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5 οι τιµές µιας µεταβλητής X σε έα δείγµα µεγέθους v µε µέση τιµή τη x = 3 Οι συχότητες,, 3, 4 τω x, x, x 3, x 4 είαι ίσες µε v =, =,,3, 4 Θα βρούµε τη συχότητα 5 Απάτηση Επειδή =, = 4, 3 = 6 και 4 = 8, είαι + + + + = 0+ 5 Επειδή x _ = 3 = 3 4 5 x + x + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 4 + 6 3 + 8 4 + 5 είαι = 3 ή 5 = 3 0 + ή + 8 + 8 + 3 + 5 5 = 3(0 + 5 ) ή 60 + 5 5 = 60 + 3 5 ή 5 = 0 Να τοίσουµε ότι βολεύου οι τύποι µε τις τιµές 5 x και όχι µε τις παρατηρήσεις t
Παρουσίαση 9 Θέµα 3 Έστω x =, x =, x 3 = 3 οι τιµές µιας µεταβλητής X σε έα δείγµα. Α ξέρουµε ότι f % = 0% και f % = 40%, θα βρούµε τη µέση τιµή αυτώ. Απάτηση Είαι f % = 0% ή f = 0, και f % = 40% ή f = 0, 4 Συεπώς για τη σχετική συχότητα f 3 είαι f 3 = 0, 0,4 = 0, 4 Οπότε Θέµα 4 3 x = x f = f + x f + x f = 0, + 0,4 + 3 0,4 =, = x 3 3 Σε µια κάλπη υπάρχου Άσπρες, Μαύρες, Κόκκιες και Πράσιες σφαίρες σε ααλογία %, 0 %, 30 % και 40 % ατίστοιχα. Το βάρος κάθε Άσπρης είαι gr κάθε Μαύρης gr, κάθε Κόκκιης gr και κάθε Πράσιης 3 gr Θα βρούµε τη µέση τιµή του βάρους όλω τω σφαιρώ α στη κάλπη υπάρχου α) σφαίρες β) δε γωρίζουµε το αριθµό τους. Απάτηση α) Άσπρες: = 0 0 Mαύρες: = 0 30 Κόκκιες: = 3 0 40 Πράσιες: = 4 0 + + 3 + 4 3 Είαι x = = gr β) Άσπρες: 0,x Μαύρες: 0,x Κόκκιες: 0,3x Πράσιες: 0,4x Έστω x ο αριθµός τω σφαιρώ. 0, x + 0, x + 0,3 x + 0,4 x 3 x (+,+ 3,6+ 5,) Είαι x = = = gr x x Ο x είαι πολλαπλάσιο του, γιατί οι συχότητες είαι φυσικοί αριθµοί.
Παρουσίαση Ασκήσεις α. Στις παρατηρήσεις: 0, 0, 0,, 0, 0, 0, η µέση τιµή είαι η τιµή α. Η βαθµολογία µαθητώ σε Τεστ ήτα: 7,,, 3, 5, 3,,, 4, 4 Να υπολογίσετε τη µέση τιµή τους. α.3 Να βρείτε τη µέση τιµή τω παρατηρήσεω, α.4 Από 5 παρατηρήσεις, η µέση τιµή τω 4 εξ αυτώ είαι, 5 Α η α, 3, 3, 3 + α,, 0 η 5 παρατήρηση είαι 5, α βρείτε τη µέση τιµή και τω 5 παρατηρήσεω. α.5 Η µέση ηλικία 8 αγοριώ και κοριτσιώ µιας τάξης είαι 5, 4 χρόια. Α η µέση ηλικία τω αγοριώ είαι 5, 8 χρόια, α βρείτε τη µέση ηλικία τω κοριτσιώ. α.6 Οι θερµοκρασίες σε βαθµούς Κελσίου C 5 ηµερώ µιας πόλης το µήα Ιαουάριο ήτα,, α, 8 και β Α η µέση τιµή τους είαι και η διαφορά του β από το α είαι C α αποδείξετε ότι α = και β = 9 α.7 Έστω οι παρακάτω καταοµές συχοτήτω. Α Β x f x f % Γ 0, 40 3 0, 5 5 30 4 0, 4 0 30 x 0 5 0 0 5 x 5 0 3 35 Να βρείτε τη µέση τιµή. α.8 Στους παρακάτω πίακες α βρείτε τις συχότητες που λείπου. Α x α 0 8 Β x f 0, 0 α 30 0, 40 β α για τη πρώτη καταοµή Α γωρίζουµε ότι η µέση τιµή της είαι 0, 5 α για τη δεύτερη καταοµή Β γωρίζουµε ότι η µέση τιµή της είαι 30
Παρουσίαση α.9 Το µέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστώ µιας οµάδας είαι 05 cm α) Α για α ψηλώσει ο προποητής τη οµάδα «πάρει» έα ακόµη παίκτη µε ύψος 6 cm, α βρείτε το µέσο ύψος της οµάδας τώρα. β) Α ήθελε α ψηλώσει τη οµάδα στα 08 cm, πόσο ύψος έπρεπε α έχει ο καλαθοσφαιριστής που πήρε; α. Σε έα δοχείο υπάρχου Άσπρες, Μαύρες και Γκρι σφαίρες. Το % είαι Άσπρες, το 40 % είαι Μαύρες και οι υπόλοιπες είαι Γκρι. Το βάρος κάθε Άσπρης σφαίρας είαι gr, κάθε Μαύρης σφαίρας είαι 40 gr Α το µέσο βάρος όλω τω σφαιρώ είαι 67 gr, δείξτε ότι κάθε Γκρι σφαίρα ζυγίζει 0 gr α. Οι τιµές µιας µεταβλητής X σε έα δείγµα είαι: x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4 και x 5 = 5, ώστε για τις σχετικές συχότητες αυτώ α είαι: 5f =, 5f =, 5f 3 =, 5f 4 = 4, 3f 5 = α) Να βρείτε τη µέση τιµή x β) Α ισχύει η σχέση = 5 x v = 55, α βρείτε τις v, v, v 3, v 4 και v 5 α. Έστω το δείγµα µεγέθους 0 και µε µέση τιµή τω παρατηρήσεω x ώστε x ( x) = Να αποδείξετε πρώτα ότι x (0,) και [,5] Α τώρα ο πάρει τη µεγαλύτερη τιµή του, α αποδείξετε ότι x = 5 α.3 Το διαγώισµα της Στατιστικής που έβαλε στη Τρίτη τάξη ο καθηγητής τω Μαθηµατικώ σε 0 µαθητές, παρουσίασε µέση βαθµολογία 7 Επειδή όµως καέας δε έγραψε πάω από 8, για α «βοηθήσει» τους µαθητές του έκαε δύο σκέψεις. Να προσθέσει µοάδες στο βαθµό κάθε γραπτού. Να αυξήσει τη βαθµολογία κάθε γραπτού κατά 0% Με ποια από τις δύο παραπάω σκέψεις, ο καθηγητής θα «βοηθήσει» πιο πολύ τους µαθητές του ;
Παρουσίαση α.4 Η επίδοση εός µαθητή σε πέτε µαθήµατα είαι:,, 6, 8, 4 α) Να βρείτε τη µέση επίδοση του µαθητή. β) Α τα µαθήµατα είχα συτελεστές στάθµισης, 3,, και 3 ποια θα ήτα η µέση επίδοση του; α.5 Οι 60 µαθητές της Γ τάξης εός σχολείου έγραψα δύο διαγωίσµατα. Στο πρώτο διαγώισµα, η µέση βαθµολογία ήτα 3 Στο δεύτερο διαγώισµα, 40 µαθητές έγραψα κατά 4 µοάδες καλύτερα µαθητές κατά µοάδα χειρότερα και οι υπόλοιποι πήρα το ίδιο βαθµό. Να βρείτε τη µέση βαθµολογία στο δεύτερο διαγώισµα. α.6 Θεωρούµε δείγµα µεγέθους µε παρατηρήσεις τις t, t,..., t λ Ορίζουµε τη συάρτηση f(x) = (t x) + (t x) +... + (t λ x) α) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο στη θέση της µέσης τιµής. β) Α τώρα η τιµή του ελαχίστου ισούται µε 0, τότε t = t =... = t x λ = α.7 Έστω οι παρατηρήσεις t, =,,..., 0 εός δείγµατος µίας µεταβλητής X ώστε t < t < t3 <... < t0, οι οποίες έχου µέση τιµή x = Α 40 = 0 t = t, αποδείξτε ότι η µέση τιµή τω t < t <... < t40 είαι ίση µε, 5 = 4 α.8 Θεωρούµε δείγµα µεγέθους µε παρατηρήσεις τις t t... t α ) Να αποδείξετε ότι x [t, t ] Πότε είαι x = t ή x = t ; α ) Α οι παρατηρήσεις είαι φυσικοί αριθµοί, αποδείξτε ότι Για κάθε τιµή κ 3 κ κ κ = x Q x της µεταβλητής X είαι x 3x + x 0 β ) Να αποδείξετε ότι αυτές οι τιµές είαι µόο 3 και α τις βρείτε. β ) Να αποδείξετε ότι για τη µέση τιµή τους x είαι (3 + )x + 3 0 x
Παρουσίαση 3 β Μέση τιµή σε συεχείς µεταβλητές Στη ουσία εδώ, βρίσκουµε τις κετρικές τιµές και ααγόµαστε στη εύρεση µέσης τιµής σε διακριτή µεταβλητή. Θέµα Ο διπλαός πίακας δείχει το µήκος σε cm µιας οµάδας ατικειµέω όπου λείπει η συχότητα 4 της τέταρτης κλάσης Α η µέση τιµή είαι, θα προσδιορίσουµε τη 4 Κλάσεις [ - ) Κετρική τιµή x Συχότητα x [0,) x = 5 = 5 5 [,0) x = 5 = 5 5 [0,30) x 3 = 5 3 = 5 65 [30,40) x 4 = 35 4 35 4 Απάτηση Από = x x 5 + 5 + 65 + 35 4 = =, τελικά βρίσκουµε 4 = 5 cm + 45 4 Θέµα Ο διπλαός πίακας δίει το βαθµό στα µαθηµατικά τω µαθητώ µίας τάξης της. Θα υπολογίσουµε τη µέση τιµή τους. Απάτηση Βαθµός Κέτρο Κλάσης f x f [ 0,4) 0,0 0,40 [ 4,8) 6 0,30,80 [ 8,) 0,5,50 [,6) 4 0,5, [ 6,0) 8 0,,80 Βαθµός [ 0,4) [ 4,8) [ 8,) [,6) [ 6,0) f 0,0 0,30 0,5 0,5 0, Σύολο,00 Με βάση τιµές τις κετρικές τιµές, η µέση τιµή υπολογίζεται απλά και είαι ίση 5 µε x = x f = xf + xf + x3f3 + x4f4 + x5f5 = 0,40+,80+,50+,+,80 = 8, = 6
Παρουσίαση 4 Ασκήσεις β. Έστω οι πιο κάτω βαθµοί 0 µαθητώ.,, 5,, 0, 0,,5,5,5,5, 8, 9,, 5,,5,7,4, 0 Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάω δεδοµέα σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους τις ( 0,5], ( 5,], (,5] και ( 5,0] Να βρείτε τη µέση βαθµολογία µε βάση τη οµαδοποίηση. β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή στη διπλαές οµαδοποιηµέες καταοµές. Βαθµός β.3 Η βαθµολογία 50 φοιτητώ στις εξετάσεις εός µαθήµατος είαι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 9 8 7 7 6 3 5 8 3 4 5 6 7 9 9 8 7 6 5 Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάω δεδοµέα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, ώστε η κετρική τιµή της πρώτης κλάσης α ισούται µε Να βρείτε τη µέση βαθµολογία µε βάση τη οµαδοποίηση. β.4 Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή µεγέθους 0 Γωρίζουµε ότι η ευθεία ( ε) : x = 6 χωρίζει το χωρίο που σχηµατίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το άξοα x ' x σε δύο ισεµβαδικά χωρία. α) Να αποδείξετε ότι = 0 και 4 = 30 β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή. β.5 Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή. Γωρίζουµε ότι το µέγεθος είαι = 0 και η µέση τιµή είαι x = 50 α) Να αποδείξετε ότι α = 40 και β = 30 β) Α θέλουµε η µέση τιµή α γίει x = 00 α βρείτε πόσες παρατηρήσεις πρέπει α αφαιρέσουµε από τη κλάση [ 350,450) Α [,5) [ 5,9) [ 9,3) 0 300 0 Βαθµός [ 0,4) [ 4,8) [ 8,) [,6) Βαθµός Βαθµός f % [ 0,5) [ 5,) [,5) [50,50) [50,50) [ 50,350) [ 350,450) 5 45 30 40 4 0 α β Β
Παρουσίαση 5 β.6 Έστω ο διπλαός πίακας. Να συµπληρώστε το πίακα και α υπολογίσετε τη µέση τιµή τω παρατηρήσεω. Κλάσεις [, ) x f 3-5 0, 5-7 0, 7-9 0,3 9- Σύολο β.7 Σε µια οµαδοποιηµέη καταοµή µε κλάσεις ίσου πλάτους το πολύγωο τω εκατοστιαίω σχετικώ συχοτήτω f % έχει διαδοχικές κορυφές, τις Α( 3,0), B (3,), Γ (9,0), (5,y ), E (,40) και (7,0) Η µέση τιµή της καταοµής είαι x = 5 α) Να αποδείξετε ότι οι κλάσεις της καταοµής είαι οι [ 0,6), [ 6,), [,8) και [ 8,4) β) Να βρείτε τη τεταγµέη του β.8 Η βαθµολογία 50 µαθητώ στη Ιστορία κυµαίεται από µέχρι 0 και καέας δε είαι «κάτω» από τη βάση. 5 µαθητές έχου βαθµό κάτω από, 5 µαθητές κάτω από 4, 5 µαθητές µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και 5 µαθητές µεγαλύτερο ή ίσο του 6 Να υπολογίσετε τη µέση βαθµολογία. β.9 Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για το ύψος τω µαθητώ αλλά τα δεδοµέα «χάθηκα» και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Να βρείτε το µέσο ύψος τω µαθητώ. Ν 50 35 40 0 0 45 55 65 75 85 95 05 5 x
Παρουσίαση 6 γ ιάµεσος σε διακριτές µεταβλητές Να προσέχουµε α διατάσουµε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά. Θέµα Έστω η γήσια φθίουσα και περιττή στο R συάρτηση f Θα προσδιορίσουµε τη διάµεσο τω f( 3), f( ), f( ), f (0), f (), f (), f (3) Απάτηση Επειδή η f είαι γήσια φθίουσα, από 3 < < < 0 < < < 3 είαι και f( 3) > f( ) > f( ) > f (0) > f () > f () > f (3) ή f (3) < f () < f () < f (0) < f( ) < f( ) < f( 3) Οπότε αφού έχουµε 7 παρατηρήσεις, η διάµεσος είαι δ = f(0) = 0 Να θυµηθούµε ότι για κάθε περιττή στο R συάρτηση f είαι f(0)=0, αφού από f(-x)=-f(x) Θέµα και για x=0, προκύπτει f(0)=-f(0) ή f(0)=0 Θα βρούµε το διάµεσο αριθµό, τω αριθµώ 4,8,,6,...,6, 0 Απάτηση Ας δούµε πρώτα ποιο είαι το πλήθος τω αριθµώ. Πρόκειται για διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε α = 4 και ω = 4 Από = α + ( ) ω είαι 0 = 4 + ( ) 4 ή 6 = 4( ) ή = 30 α Οπότε πρόκειται για άρτιο πλήθος παρατηρήσεω α + α6 (α + 4ω) + (α + 5ω) (4 + 56) + (4 + 66) 60 + 64 ηλαδή δ = = = = = Θέµα 3 5 6 Σε µια κάλπη υπάρχου Άσπρες, Μαύρες, Κόκκιες και Πράσιες σφαίρες σε ααλογία %, 0 %, 30 % και 40 % ατίστοιχα. Το βάρος κάθε Άσπρης είαι gr, κάθε Μαύρης gr,κάθε Κόκκιης gr και κάθε Πράσιης είαι 3 gr Θα βρούµε το διάµεσο βάρος όλω τω σφαιρώ. Απάτηση Έστω x = α ο αριθµός τω σφαιρώ, προφαώς πολλαπλάσιο του Είαι: Άσπρες: 0,x = α Μαύρες: 0,x = α Κόκκιες: 0,3x = 3α Πράσιες: 0,4x = 4α Το Πλήθος είαι ίσο µε x και είαι 64748 α 4 64748 α,,...,,,,...,, 64748 3 α 4 64748 4α,,...,, 3,3,... 3 Οι δύο µεσαίες παρατηρήσεις είαι αυτές µε αριθµό 5α και 5α +, δηλαδή δ =
Παρουσίαση 7 Ασκήσεις γ. Στις παρατηρήσεις: 0,,, 3, 4, 5, 6 η διάµεσος είαι η τιµή 3 γ. Σε έα δείγµα η διάµεσος είαι µία τιµή της µεταβλητής. Τότε είαι βέβαιο ότι αποκλείεται α έχουµε 00 παρατηρήσεις. γ.3 Α σε µία διακριτή µεταβλητή, όλες οι παρατηρήσεις είαι διαφορετικές τότε η διάµεσος δε είαι βέβαιο ότι ισούται µε µία παρατήρηση. γ.4 Η διάµεσος δ εός δείγµατος 0 διαφορετικώ παρατηρήσεω σε µία ποσοτική διακριτή µεταβλητή, είαι η τιµή που το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή µεγαλύτερες από αυτή είαι ακριβώς το 50% τω παρατηρήσεω. γ.5 Η διάµεσος πέτε αριθµώ µε άθροισµα 5 είαι 5 Α οι τρεις από αυτούς είαι οι αριθµοί, 7,, α βρείτε τους άλλους δύο. γ.6 Μία καταοµή συχοτήτω παίρει τρεις τιµές, τις, 3, 5 και οι συχότητες τω τιµώ και 3 είαι 3 και 3 ατίστοιχα. Α η διάµεσος τω παρατηρήσεω είαι 4, τότε η συχότητα της τιµής 5 είαι ίση µε Α: B: 33 Γ: 44 : Τίποτα από τα προηγούµεα. γ.7 Έστω έα δείγµα στο οποίο εξετάζουµε τα µήκη εξαρτηµάτω. Α η διάµεσος είαι δ = cm, η διάµεσος τω τετραγώω θα είαι δ = cm γ.8 Να βρείτε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω, στις πιο κάτω περιπτώσεις.,,, 5, 3,, 5, 5,,, 5, 3,, 5, 5, 0 γ.9 Να βρείτε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω στους παρακάτω πίακες. x x 3 4 30 5 5 40 3 4 30 5 6 40 γ. Να βρείτε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω, στις πιο κάτω περιπτώσεις. 3, 6, 9,,..., 300 3, 6, 9,,..., 300, 303
Παρουσίαση 8 γ. Να βρείτε τις τιµές του κ {,,0 } ώστε η διάµεσος τω αριθµώ: κ, κ, 3 κ, γ. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος τω αριθµώ κ, 4 κ, 3 4 κ α είαι θετική. α, α, 0, α, α α +, 0. 5 µε * α Ν είαι σταθερή. γ.3 Στο διπλαό πίακα, δίοται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις ατίστοιχες σχετικές συχότητες. Α η διάµεσος είαι, 5, α βρείτε τη τιµή του λ Τιµές Συχότητες 5 3 λ 4 0 γ.4 Οι παρατηρήσεις σε µία δειγµατοληψία είαι: x + ω,x + ω, x + 3ω, x + 4ω, x + 5ω, µε ω > 0 Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ταυτίζεται µε τη µέση τιµή. γ.5 Έστω 8 διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι. Α αυτοί οι αριθµοί έχου µέση τιµή 64, α βρείτε τη διάµεσο τους. γ.6 Έστω η συάρτηση f(x) = e + x, x R α) Να αποδείξετε ότι η συάρτηση f είαι γήσια αύξουσα στο R x β) Να βρείτε τη διάµεσο τω αριθµώ f( x ), f( x ), f (0), f (), f(x + ) γ.7 Έστω η µεταβλητή Χ, µε παρατηρήσεις τις: t < < t < t 3 <... t και τιµές x =, x = 4, x 3 = 6 και x 4 = 8 µε συχότητες,, 3, 4 Ξέρουµε ότι η διάµεσος είαι περιττός αριθµός. α) Να αποδείξετε ότι ο φυσικός αριθµός είαι άρτιος. 3 β) Να αποδείξετε ότι δ 5δ + 7δ 5 = 0 γ) Α + >, αποδείξτε ότι δ = 3, όπως επίσης και = + 3 + 4 γ.8 Σε έα πίακα παρουσιάζοται τα ποσοστά τω απατήσεω σχετικά µε το πόσες εφηµερίδες διαβάζου 00 άτοµα τη εβδοµάδα. εδοµέου ότι όλοι διαβάζου τουλάχιστο εφηµερίδα, καέας δε διαβάζει πάω από 3 εφηµερίδες, το 50% τω ατόµω διαβάζει ή εφηµερίδες και το 70% τω ατόµω διαβάζει ή 3 εφηµερίδες, α υπολογίσετε τη διάµεσο.
Παρουσίαση 9 δ ιάµεσος σε συεχείς µεταβλητές Για το προσδιορισµό της διαµέσου σε οµαδοποιηµέα δεδοµέα συήθως κατασκευάζουµε το πολύγωο εκ. αθροιστικώ σχ. συχοτήτω. Όµως ας προσέξουµε καλύτερα το πιο κάτω θέµα. Θέµα Ο παρακάτω πίακας δείχει το ύψος σε cm µιας οµάδας παιδιώ. Κλάσεις [ - ) Κετρικές τιµές x Συχότητα Σχετική Συχότητα f Εκ. Σχετική Συχότητα % f Εκ. Αθροιστικές συχότητες % F [0,) 5 5 0, [,0) 5 5 0,3 30 40 [0,30) 5 5 0,5 50 90 [30,40) 35 5 0, 0 Σύολο 50 0 Θα βρούµε τη διάµεσο του ύψους τω παιδιώ. Απάτηση Κατασκευάζουµε το πολύγωο εκατοστιαίω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Από το σηµείο εκείο του άξοα Ο y τω αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω που είαι το 50 % τω παρατηρήσεω φέρουµε τη κάθετη σ αυτό, µέχρι α τµήσουµε το πολύγωο συχοτήτω. Από κει φέρουµε τη κάθετη στο άξοα Ο x Συγκρίουµε τα όµοια τρίγωα ΑΓ και ΑΒΕ ΑΓ Γ 90 40 30 50 Είαι = = = ΒΕ = ΑΒ ΒΕ 50 40 ΒΕ0 ΒΕ Οπότε ΚΛ = και συεπώς η διάµεσος δ ισούται µε δ = 0 + = % F 0 90 80 70 60 50 40 30 0 0 Γ Β Α Κ Λ 0 0 0 30 40 60 x δ Ε Θα µπορούσαµε όµως, α προσδιορίσουµε τη διάµεσο και από το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω, όπου από το σηµείο του Ο y, επααλαµβάουµε µε τα προηγούµεα.
Παρουσίαση 0 Να θυµηθούµε ότι είχαµε ξααβρεί τη ίδια διάµεσο προηγούµεα στη θεωρία µε βάση τα σχήµα. Να παρατηρήσουµε ότι τα πιο πάω είαι προσεγγιστικά και έχου όηµα θεωρώτας τις παρατηρήσεις οµοιόµορφα καταεµηµέες µέσα στις κλάσεις. Η θεωρία τω βέβαιω ψηφιώ απουσιάζει από τη έοια τω προσεγγίσεω και δε έχει όηµα η «ακρίβεια» του αποτελέσµατος. Θέµα Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για το ύψος τω µαθητώ αλλά τα δεδοµέα χάθηκα και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Αφού κατασκευάσουµε το πίακα συχοτήτω 0 9 7 4 8 4 0 45 55 65 75 85 95 05 5 µετά θα αποδείξουµε ότι για τη διάµεσο δ είαι 75 < δ < 85 Απάτηση Χρόια Κέτρο Κλάσης x N F % Είαι προφαής ο πίακας καταοµώ. [45-55) 50 [55-65) 60 4 0 [65-75) 70 4 8 40 [75-85) 80 6 4 70 [85-95) 90 3 7 85 [95-05) 00 9 95 [05-5) 0 0 Σύολο 0 % F 0 95 85 70 50 40 Είαι προφαές ότι η διάµεσος δ είαι αριθµός της κλάσης [ 75,85) 0 0 45 55 65 75 85 95 05 5 δ
Παρουσίαση Ασκήσεις δ. Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος της ισούται µε δ = 6, 875 Βαθµός [ 0, 5) [ 5, ) [, 5) [ 5,0) 5 0 8 7 δ. Έστω η διπλαή οµαδοποιηµέη καταοµή. α) Να αποδείξετε ότι x = 0, Βαθµός [ 5,5) [ 5,5) [ 5,35) [ 35,45) f x x x 5 x β) Να αποδείξετε ότι η διάµεσος δ τω παρατηρήσεω, ισούται µε δ = 35 δ.3 Έστω οι πιο κάτω παρατηρήσεις. 5 5 6 5 5 4 5 6 0 0 4 4 6 0 6 6 3 4 6 6 6 7 7 4 α) Να οµαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις του πίακα σε 4 ισοπλατείς κλάσεις έτσι ώστε το άω όριο της ης κλάσης α είαι 5 και το κάτω όριο της 4 ης κλάσης α είαι 5 β) Μετά α αποδείξετε ότι η διάµεσος της καταοµής ισούται µε δ = 5, 45 δ.4 Οι πιο κάτω αριθµοί δίου σε cm τα ααστήµατα 40 µαθητώ εός σχολείου. 50 7 73 54 54 58 59 86 58 87 60 6 63 66 65 79 67 68 69 69 70 5 53 77 87 77 88 77 74 66 8 59 8 86 77 87 7 84 8 5 α) Να οµαδοποιήσετε τα ααστήµατα σε κλάσεις πλάτους cm β) Να υπολογίσετε τη διάµεσο τω αριθµώ. δ.5 Α το πολύγωο τω εκατοστιαίω σχετικώ συχοτήτω µιας οµαδοποιηµέης καταοµής έχει κορυφές τα σηµεία Α (3,0), B (9,) Γ (5,0), (,5), E (7,55) και Ζ (36,0), α βρείτε τη διάµεσο της καταοµής.
Παρουσίαση δ.6 Εξετάζουµε το βάρος τω µαθητώ της Γ ' τάξης εός λυκείου. ιαπιστώσαµε ότι τα βάρη αυτώ κυµαίοται από 60 µέχρι 80 κιλά Μετά ήρθα στη τάξη και δύο ακόµα µαθητές µε βάρη 55 και 85 κιλά. Να εξετάσετε α µεταβλήθηκε η διάµεσος. δ.7 Έστω ο διπλαός πίακας. Να συµπληρώστε το πίακα και α υπολογίσετε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω. Κλάσεις [, ) x f 3-5 0, 5-7 0, 7-9 0,3 9- Σύολο δ.8 Οι µισθοί τω υπαλλήλω µιας εταιρίας φαίοται στο διπλαό πίακα. Μισθοί σε εκατοτάδες uro α) Να βρείτε τη διάµεσο της καταοµής. β) Α απολυθού 0 υπάλληλοι µε µισθό κάτω από 800 uro α βρείτε τη έα διάµεσο της καταοµής. γ) Να βρείτε τη εκατοστιαία µεταβολή της διαµέσου. [ 4,8) 50 [ 8,) 30 [,6) 5 [ 6,0) 5 Σύολο 0 δ.9 Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για το ύψος τω µαθητώ αλλά τα δεδοµέα «χάθηκα» και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Να υπολογίσετε τη διάµεσο. Ν 50 35 40 0 0 45 55 65 75 85 95 05 5 x δ. Ο παρακάτω πίακας δείχει τους βαθµούς τω 9 µαθητώ µιας τάξης στα Μαθηµατικά, σε ακέραια κλίµακα. Βαθµός 3 4 5 6 7 8 9 0 Πλήθος µαθητώ? 0 3 5? 4 Επιλέγουµε τυχαία έα µαθητή της τάξης. Α η συχότητα της διαµέσου της βαθµολογίας είαι 8, α βρείτε τη µέση τιµή.
Παρουσίαση 3 Εργασία Το άθροισµα άρτιω παρατηρήσεω µε µέση τιµή το αριθµό 005 µπορεί α είαι περιττός αριθµός. Τα µέτρα θέσης που είδαµε ορίζοται µόο για ποσοτικές µεταβλητές. 3 Η διάµεσος τω παρατηρήσεω 5, 0,,,, 3, 3, 3, 4 είαι το 4 Α σε έα δείγµα έχουµε τιµές µόο τις και 4, τότε η µέση τιµή είαι 3 5 Α η διάµεσος είαι µία τιµή της µεταβλητής, τότε έχουµε περιττό αριθµό παρατηρήσεω και α δε είαι τιµή της µεταβλητής, τότε έχουµε άρτιο αριθµό παρατηρήσεω. 6 Α η µέση τιµή 0 παρατηρήσεω είαι 0 και η µέση τιµή 50 από αυτώ είαι 5, α βρείτε τη µέση τιµή τω υπολοίπω. 7 Σε έα διαγώισµα Μαθηµατικώ, η µέση βαθµολογία τω 36 αγοριώ ήτα και η µέση βαθµολογία τω 4 κοριτσιώ ήτα 7 Να βρείτε τη µέση βαθµολογία όλω τω µαθητώ µαζί. 8 Έστω η συάρτηση 3 f(x) = x + x + α, µε α R α) Να αποδείξετε ότι η f είαι γήσια αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι δε υπάρχει αριθµός α ώστε η µέση τιµή τω f (), f (), f (3), f (4), f (5) α ισούται µε τη διάµεσο. 9 Η οµάδα µπάσκετ αγοριώ, εός σχολείου αποτελείται από παίκτες. Αυτή έχει µέσο ύψος 9 cm. Σε κάποιο αγώα, έλειπε έας παίκτης µε ύψος 98 cm και ατικαταστάθηκε από άλλο που είχε ύψος 88 cm Να βρείτε το µέσο ύψος που είχε η οµάδα στο αγώα αυτό. Στο διπλαό πίακα, δίοται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις ατίστοιχες σχετικές συχότητες. Α η διάµεσος είαι 5, α βρείτε τη τιµή του λ Τιµές Συχότητες 0 λ 30 5 40 0
Παρουσίαση 4 Οι θερµοκρασίες τω 0 πρώτω ηµερώ του µήα Απριλίου σε βαθµούς Κελσίου C φαίοται στο διπλαό πίακα. Η µέση θερµοκρασία τω παραπάω ηµερώ είαι 4,4 C α ) Να συµπληρώσετε το πίακα. α ) Να βρείτε τη διάµεση θερµοκρασία. β) Από κάποιο όµως λάθος διαπιστώθηκε ότι το θερµόµετρο έδειχε έα βαθµό περισσότερο από το καοικό. Να βρείτε τη έα πραγµατική µέση θερµοκρασία. γ) Τώρα µετά τη αλλαγή τω θερµοκρασιώ, α οµαδοποιήσετε τα δεδοµέα σε 3 κλάσεις ίσου πλάτους και α βρείτε τη έα µέση τιµή. Η βαθµολογία 50 µαθητώ στη Ιστορία κυµαίεται από µέχρι 0 και καέας δε είαι «κάτω» από τη βάση. Γωρίζουµε επίσης ότι 3 µαθητές έχου βαθµό «κάτω» από 4 µαθητές «πάω» από 5 και 3 µαθητές έχου βαθµούς 3,3 και 4 Να υπολογίσετε τη διάµεσο τω παρατηρήσεω. x 3 4 4 5 6 7 3 3 Στη µία τάξη της Γ Λυκείου 8 τα αποτελέσµατα 6 7 σε έα διαγώισµα Μαθηµατικώ 4 φαίοται στο διπλαό ιστόγραµµα. 0 α) Να βρείτε το πλήθος τω µαθητώ. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. 0 4 8 6 0 x γ) Να αποδείξετε ότι η διάµεσος βαθµολογία δ βρίσκεται στο διάστηµα [,6) 4 Έστω το δείγµα µεγέθους Έστω και οι παρατηρήσεις: t, t,..., µε µέση τιµή x t Θεωρούµε τώρα και µία ακόµη παρατήρηση, τη t + Έστω και x η µέση τιµή τω παρατηρήσεω t, t,..., t, t + x + t + α) Να αποδείξετε ότι x = + β) Έστω το δείγµα µεγέθους =, µε µέση τιµή τω παρατηρήσεω τη x = 5 η Προσθέτουµε και παρατήρηση και η έα µέση τιµή όλω µαζί γίεται x = 6 Να βρείτε τη τιµή της ης παρατήρησης.
Παρουσίαση 5 5 Έστω η συάρτηση f(x) = e x x α) Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιµή της f είαι ίση µε f(in) = In4 β) Η µεταβλητή εός δείγµατος A µεγέθους v N έχει τιµές t, t, t 3,..., t v και η µεταβλητή εός άλλου δείγµατος B µεγέθους v N t t έχει τιµές τις e t,e t, e t 3,..., e t v Να αποδείξετε ότι για τις µέσες τιµές τω δύο δειγµάτω είαι t 3 t v x < x A B 6 Σε µία παρέα, η µέση ηλικία τω ατόµω αυτής ήτα 5 έτη. Κάποια στιγµή ήρθα στη παρέα άλλοι δύο, µε ηλικίες 7 και 3 α) Να αποδείξετε ότι η µέση τιµή τω ηλικιώ δε µεταβλήθηκε. β) Στη συέχεια ήρθε και έα ακόµη άτοµο ηλικίας 64 ετώ και η µέση τιµή τω ηλικιώ αυξήθηκε κατά 3 Να αποδείξετε ότι η αρχική παρέα είχε άτοµα. 7 Α η διάµεσος τω πρώτω φυσικώ αριθµώ,,3,..., είαι δ =, 5 α αποδείξετε ότι = 0 8 Σε έα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευα για τους βαθµούς τω µαθητώ σε κλίµακα από 0 µέχρι 0 Τα δεδοµέα «χάθηκα» και βρέθηκε µόο το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος είαι ίση µε 5 Ν 60 80 40 0 0 0 5 5 0 9 Έστω η πιο κάτω οµαδοποιηµέη καταοµή σε 4 ισοπλατείς κλάσεις. Κλάσεις x 5 [0, ) 5 Σύολο 50 5 f f % F % 0, α αποδείξετε ότι η για τη διάµεσο δ και τη µέση τιµή µ είαι δ µ =
Παρουσίαση 6 Απατήσεις τω ασκήσεω
Παρουσίαση 7.4 Μέτρα θέσης α Μέση τιµή σε διακριτές µεταβλητές α. Λ α. α.3 8 7 α.4 3 77,6 α.5 x κ = = 4. 8 α.6 α.7 Α) x = 3, 3 Β) x = 4, 5 Γ) x = 4 ) x =, 4 α.8 Α) α = 6 Β) α = 0, β = 0, 5 α.9 α) x = 06, cm β) 35 cm α. α. α) 55 x = 5 β) v = 5, v =, v =, v 3 = 3, v 4 = 4, v 5 = 5 β α. v = 5 x = = = 5 α α.3 Άρα η πρώτη επιλογή θα τους «βοηθήσει» α.4 α) x = 4 β) x = 3 α.5 x = 5, 5 α.6 α) β) α.7 α.8 α ) α ) β ) 0,, β ) β Μέση τιµή σε συεχείς µεταβλητές β. x =, 5 [, ) x [ 3) [ 5 ) [ 7) [ 9 ) [ ) x 5 3 4 8 3 5 6 6 96 7 8 4 9 7 70 Σύολο 50 30
Παρουσίαση 8 β. Α) x = 7 Β) x = 7, 75 β.3 x = 6, 4 β.4 α) β) x = 7, β.5 α) β) 5 β.6 x = 8 β.7 α) β) 30 [, ) x [ 5 ) [ 7) [ 9) [ ) f x f 3 4 0, 0, 4 5 6 0,, 7 8 0, 3, 4 9 0, 4 4 Σύολο 8 β.8 x = 5 β.9 x = 79 cm γ ιάµεσος σε διακριτές µεταβλητές γ. Σ γ. Λ γ.3 Σ γ.4 Λ γ.5 t =, t 3 = 5 γ.6 Γ γ.7 Σ γ.8 δ = 5, δ = 5 γ.9 δ =, 5, δ = 3 γ. δ = 5, 5, δ = 53 γ. κ =, δ = 3 γ. γ.3 λ = 5 γ.4 γ.5 δ = 64 γ.6 α) β) δ = f(0) = 0 γ.7 α) β) γ) γ.8 δ =, 5 Εφηµερίδες
Παρουσίαση 9 δ ιάµεσος σε συεχείς µεταβλητές δ. δ. α) β) δ.3 α) β) δ.4 α) δ = 70 β) δ.5 δ 4, 54 δ.6 Η διάµεσος δε θα µεταβληθεί. δ.7 Κλάσεις [ 5, 5) 5 [ 5, 5) 8 [ 5,5) 8 [ 5,5) 4 Κλάσεις [ 50,60) [ 60,70) [ 70,80) [ 80,90) x 55 65 75 85 Κλάσεις [ 3,5 ) [ 5,7) [ 7,9 ) [ 9,) x 4 6 8 f 0,5 0,5 0,5 0,5 Σύολο 40 f 0, 0, 0,3 0,4 Σύολο F 0,5 0,50 0,75,00 F 0, 0,3 0,6 δ.8 α) δ = 8 β) δ 9, 33 γ) 6,63% δ.9 δ 78, 3 δ. x = 5, 8 Εργασία Λ Σ 3 Λ 4 Λ 5 Λ 6 x = 5 7 x = 4 8 α) β) 9 x = 9 λ = 5 x 3 4 4 6 5 3 6 7 3 α ) α ) δ = 4 β) x = 3, 4 γ) x = 3, 9 δ = 4 F,00 0,70 0,40 0,4 0 4 8 6 0 3 α) = 5 β) γ) 4 α) β) t = 6 5 α) β) 6 α) β) 7 8 9
Παρουσίαση 30