Γεώργιος Λ. Καρακώστας. Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

Γεώργιος Λ. Καρακώστας Τµῆµα Μαθηµατικῶν Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2- ΙΑΣΤΑΤΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΝΟΜΕΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΙΑΦΟΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΦΟΡΟ- ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ). (ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) 1 Μαρτίου 2016

Κεφάλαιο 1 ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ 1.1 ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ Ενα σύστηµα πρώτης τάξης συνήθων διαφορικῶν ἐξισώσεων εἶναι ἕνα σύστηµα τῆς µορφῆς du 1 dt = F 1(t, u 1,..., u n ), du n dt = F n (t, u 1,..., u n ). Πολλοὶ τύποι συνήθων διαφορικῶν ἐξισώσεων µποροῦν νὰ µετασχηµατισθοῦν καὶ νὰ λάβουν τὴν παραπάνω µορφή : Γιὰ παράδειγµα, ἄς ϑεωρήσουµε τὴν n- τάξης συνήθη διαφορικὴ ἐξίσωση Θέτουµε ὁπότε ϐρίσκουµε τὸ σύστηµα du 1 dt = u 2, u (n) = f(t, u, u, u (n 1) ). u 1 = u, u 2 = u,, u n = u (n 1), du 2 dt = u 3,. du n 1 dt = u n, du n dt = f(t, u 1, u 2,, u n ). Τὸ σύστηµα αὐτὸ µπορεῖ νὰ γραφεῖ στὴ µορφὴ τῆς γενικῆς συνήθους διαφορικῆς ἐξίσωσης u = F (t, u), ὅπου u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),, u n (t)) εἶναι µιὰ συνάρτηση µὲ πεδίο ὁρισµοῦ τουλάχιστον ἕνα διάστηµα I τῆς πραγ- µατικῆς εὐθείας, µὲ τιµὲς στὸν n-διάστατο χῶρο R n καὶ κάθε συντεταγµένη της u j εἶναι παραγωγίσιµη στὸ σύνολο I. ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1.1.1 Η συνάρτηση F εἶναι ὁρισµένη σὲ ἕνα σύνολο τῆς µορ- ϕῆς I V, ὅπου V εἶναι ὑποσύνολο τοῦ R n καὶ παίρνει τιµὲς στὸν R n. Ωστόσο, ἡ µελέτη ποὺ ἀκολουθεῖ, µπορεῖ νὰ ἀναφέρεται καὶ στὴν περίπτωση ὅπου ἡ συνάρτηση F εἶναι ὁρισµένη σὲ ἕνα σύνολο τῆς µορφῆς I V, ὅπου V εἶναι ὑποσύνολο τοῦ C n καὶ παίρνει τιµὲς στὸν C n. Εδῶ C εἶναι τὸ σύνολο τῶν µιγαδικῶν ἀριθµῶν. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1.1 οθέντος (, x 0 ) I o V, διαµορφώνεται τὸ λεγόµενο πρόβληµα ἀρχικῶν τιµῶν, u = F (t, u), u( ) = x 0, (E) 2

1.1. ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ 3 τὸ ὁποῖο ἀναφέρεται στὴν ὕπαρξη ἑνὸς τ > 0 µὲ [ τ, + τ] I καὶ µιᾶς (παραγωγίσιµης) συνάρτησης u : [ τ, + τ] V, ποὺ ἱκανοποιεῖ τὶς σχέσεις u (t) = F (t, u(t)), t [ τ, + τ], u( ) = x 0. (1.1) Μιὰ τέτοια λὐση λέγεται τοπικὴ, ἐνῶ, ἄν ὁρίζεται σὲ ὁλόκληρο τὸ διάστηµα I, αὐτὴ λέγεται ὁλική. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.1.1 Τὸ πρόβληµα ἀρχικῶν τιµῶν u = 2 u, u(0) = 0 δὲν ἔχει (µὴ µηδενικὴ) λύση γιὰ t 0. Προτοῦ προχωρήσουµε στὴ µελέτη ὕπαρξης τοῦ προβλήµατος ἀρχικῶν τι- µῶν, χρειαζόµαστε κάποια προκαταρκτικὰ στοιχεῖα. Η στάθµη κάθε διανύσµατος 1 x = (x 1,, x n ), ὁρίζεται µὲ τὸν τύπο x = x 2 1 + + x 2 n. Επίσης, τὸ ἐσωτερικὸ γινόµενο ὁρίζεται µὲ τὸν τύπο x, y = n x j y j = x 1 y 1 + + x n y n, j=1 ὅπου y = (y 1,, y n ). Ισχύει ἡ τριγωνικὴ ἰδιότητα x + y x + y καὶ ἡ ἀνισότητα Schwartz (ἀπόδειξη ;) x, y x y. Γιὰ κάθε διανυσµατικὴ συνάρτηση µὲ διαφορίσιµες συντεταγµένες, ἔχουµε καὶ β α x(t) = (x 1 (t),, x n (t)), t [α, β] x (t) = (x 1(t), x 2(t),, x n(t)), ( β x(t)dt = α β ) x 1 (t)dt,, x n (t)dt. α Επίσης ἔχουµε τὴν ἀκόλουθη χρήσιµη ἀνισότητα (ἀπόδειξη ;): β α x(t)dt β α x(t) dt. οθέντος ἑνὸς ὑποσυνόλου V τοῦ R n, ἕνα διανυσµατικὸ πεδίο στὸ V εἶναι µιὰ συνεχὴς συνάρτηση µὲ x V. F (x) = (F 1 (x 1,, x n ),, F n (x 1, x n )), 1 Παρακάτω, ἕνα στοιχεῖο τοῦ χώρου R n ἤ τοῦ C n ϑὰ τὸ παριστάνουµε ὡς µιὰ σειρὰ ἤ ὡς µιὰ στήλη, ἀνάλογα µὲ τὴ ϑέση ποὺ τὸ χρησιµοποιοῦµε, δηλαδὴ ὡς x = (x 1,, x n), ἤ ὡς x 1 x 2 x = (x 1, x 2,, x n) T := x n.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LIPSCHITZ ΟΡΙΣΜΟΣ 1.2.1 Θεωροῦµε δυὸ µετρικοὺς χώρους (X, ρ 1 ), (Y, ρ 2 ) καὶ µιὰ συνάρτηση f : X Y. Λέµε ὅτι ἡ f ἱκανοποιεῖ τοπικὰ τὴ συνθήκη Lipschitz, ἤ ὅτι ἡ f εἶναι συνάρτηση τοπικὰ Lipschitz, ἄν γιὰ κάθε σηµεῖο z X, ὑπάρχουν ἀριθµοὶ L > 0 καὶ δ > 0, τέτοιοι ὥστε, γιὰ κάθε x, y X, µὲ νὰ ἰσχύει ρ 1 (x, z) < δ καὶ ρ 1 (y, z) < δ, ρ 2 (f(x), f(y)) Lρ 1 (x, y). Αν ἡ παραπάνω ἰδιότητα ἰσχύει γιὰ κάποια L καὶ δ τὰ ὁποῖα δὲν ἐξαρτῶνται ἀπὸ τὸ σηµεῖο z, τότε λέµε ὅτι f ἰκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz, ἤ εἶναι συνάρτηση Lipschitz. ΠΡΟΤΑΣΗ 1.2.1 Αν f : [α, β] R εἶναι παραγωγίσιµη συνάρτηση 2 τέτοια ὥστε f (x) L, γιὰ κάθε x [α, β], τότε ἡ f ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz στὸ διάστηµα [α, β] µὲ τὴ συνήθη µετρικὴ. Ἀπόδειξη: Εστωσαν x, y [α, β], µὲ x < y. Ἀπό τὸ ϑεώρηµα µέσης τιµῆς, ἕπεται ὅτι ὑπάρχει s (x, y) τέτοιο ὥστε f(x) f(y) = f (s)(x y). Αρα καὶ f(x) f(y) = f (s)(x y) L x y. Γενικώτερα ἔχουµε τὴν ἑξῆς πρόταση : ΠΡΟΤΑΣΗ 1.2.2 Εστω V ἕνα κυρτὸ ὑποσύνολο τοῦ χώρου R R n καὶ F (, ) = (F 1 (, ), F 2 (, ),, F n (, )) : V R n µιὰ συνάρτηση τῆς ὁποίας οἱ µερικὲς παραγώγους ὡς πρὸς x εἶναι ϕραγµένες συναρτήσεις. Τότε αὐτὴ ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz. Ἀπόδειξη: Ορίζουµε M := max i,j sup F i(t, x). x V x j Γιὰ κάθε συνιστώσα F i καὶ (t, x), (t, y) V, ὑπάρχει s i [0, 1] τέτοιο ὥστε F i (t, x + y) F i (t, x) = j F i x j (t, x + s i y)y j. Επειδὴ τὸ σύνολο V εἶναι κυρτό, ἕπεται ὅτι (t, x + s i y) V. Τώρα ἡ ἀνισότητα Schwartz δίνει ὅτι F i ( (t, x + s i y)y j F ) i 1/2( ) 1/2 (t, x + s i y) 2 y j 2 x j x j j 2 Στὰ ἄκρα ϑεωροῦµε τὶς πλευρικὲς παραγώγους j ( ) 1/2 y M 2 = nm y. j j

1.3. ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟ ΛΥΣΕΩΝ 5 Αρα ( ) 1/2 F (t, x + y) F (t, x) = F i (t, x + y) F i (t, x) 2 i ( ( ) 1/2 nm. y ) 2 = nm y. i ΠΡΟΤΑΣΗ 1.2.3 Υποθέτουµε ὅτι ἡ συνάρτηση f : X Y ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz. Τότε ἡ f εἶναι ὁµοιόµορφα συνεχής. ΠΡΟΤΑΣΗ 1.2.4 Εστω V ἕνα ἀνοικτὸ ὑποσύνολο τοῦ χώρου R R n καὶ F (t, x) : V R n µιὰ συνάρτηση τῆς ὁποίας οἱ µερικὲς παραγώγους ὡς πρὸς x εἶναι συνεχεῖς συναρτήσεις. Τότε αὐτὴ ἱκανοποιεῖ τὴν τοπικὴ συνθήκη Lipschitz. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.2.1 Νὰ ἐξεταστεῖ σὲ ποιὰ ἀπὸ τὰ παρακάτω σύνολα ἡ συνάρτηση F (t, x) := x2 +1 ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz: [1, 2] [0, 1], (1, 2) t [0, 2], [1, 2] [0, + ), [1, + ) [0, r]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.2.2 Ἀφοῦ γραφεῖ ἡ ἐξίσωση u + u 2 = 1 ὡς σύστηµα στὸν 3-διάστατο χῶρο, νὰ ἀποδειχτεῖ ὅτι τὰ σύνολα πάνω στὰ ὁποῖα αὐτὴ ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz εἶναι τῆς µορφῆς {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 a}, ὅπου a > 0 εἶναι σταθερὸς πραγµατικὸς ἀριθµός. 1.3 ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟ ΛΥΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ 1.3.1 Αν τὸ διανυσµατικὸ πεδίο F (t, x) ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz σὲ ἕνα σύνολο V, τότε ὑπάρχει τὸ πολὺ µία λύση τῆς διαφορικῆς ἐξίσωσης u = F (t, u), µὲ ἀρχικὴ τιµὴ u( ) = c V. Ἀπόδειξη : Εχουµε ὡς ὑπόθεση ὅτι F (t, x) F (t, y) L x y, γιὰ κάθε (t, x), (t, y) V, γιὰ κάποιο L > 0. Υποθέτουµε ὅτι u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),, u n (t)), v(t) = (v 1 (t), v 2 (t),, v n (t)) εἶναι δυὸ λύσεις τοῦ προβλήµατος. Τότε u( ) = v( ) = c. Ορίζουµε σ(t) := u(t) v(t) 2 = i (u i (t) v i (t)) 2 0, ὁπότε σ( ) = 0. Επίσης ἔχουµε σ (t) = i 2(u i(t) v i(t))(u i (t) v i (t)) = i 2(F i (t, u(t)) F i (t, v(t)))(u i (t) v i (t)) = 2 F (t, u(t)) F (t, v(t)), u(t) v(t)

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ καὶ ἔτσι, ἀπὸ τὴν ἀνισότητα τοῦ Schwartz προκύπτει Αρα σ (t) σ (t) = 2 F (t, u(t)) F (t, v(t)), u(t) v(t) 2 F (t, u(t)) F (t, v(t)) u(t) v(t) 2L u(t) v(t) 2 = 2Lσ(t). d ) (σ(t)e 2Lt = (σ (t) 2Lσ(t))e 2Lt 0, dt πρᾶγµα που δηλώνει ὅτι ἡ συνάρτηση t σ(t)e 2Lt εἶναι ϕθίνουσα γιὰ t. Αρα, γιὰ κάθε t >, ϑὰ ἰσχύει 0 σ(t)e 2Lt σ( )e 2L = 0, ὁπότε καὶ σ(t) = 0, t. Γιὰ t ἐργαζόµαστε ὡς ἑξῆς : Εχουµε σ (t) σ (t) 2Lσ(t), ὁπότε καὶ d ) (σ(t)e +2Lt = (σ (t) + 2Lσ(t))e +2Lt 0. dt Εποµένως ἡ συνάρτηση σ(t)e +2Lt εἶναι αὔξουσα γιὰ t. Αρα, γιὰ κάθε t ϑὰ ἰσχύει σ(t)e +2Lt σ( )e +2L = 0, ὁπότε καὶ, πάλι, σ(t) = 0, t. 1.4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ 1.4.1 Θεωροῦµε ἕνα διανυσµατικὸ πεδίο F (t, x) ποὺ ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz σὲ ἕνα σύνολο V µὲ σταθερὰ L καὶ ὑποθέτουµε ὅτι u, v εἶναι δυὸ λύσεις τῆς ἐξίσωσης u = F (t, u) µὲ πεδίο ὁρισµοῦ ἕνα διάστηµα I τῆς πραγµατικῆς εὐθείας. Τότε γιὰ κάθε t, I ἰσχύει u(t) v(t) e L t u( ) v( ). Ἀπόδειξη : Οπως καὶ στὴν ἀπόδειξη τοῦ συµπεράσµατος µονοσηµάντου, ὁρίζουµε τὴ συνάρτηση σ(t) := u(t) v(t) 2 = i (u i (t) v i (t)) 2 0. Τότε γιὰ κάθε t ϐρίσκουµε σ (t) 2L u(t) v(t) 2 = 2Lσ(t), ὁπότε καὶ ἄρα d ) (σ(t)e 2Lt 0, dt σ(t)e 2Lt σ( )e 2L. (1)

1.5. ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (PICARD) 7 Παρόµοια, ἄν t ϐρίσκουµε ὁπότε καὶ ἄρα σ (t) 2L u v 2 = 2Lσ(t), d ) (σ(t)e +2Lt 0, dt Ἀπὸ τὶς σχέσεις (1) καὶ (2) ἕπεται τὸ συµπέρασµα. σ(t)e +2Lt σ( )e +2L. (2) ΠΟΡΙΣΜΑ 1.4.1 Υποθέτουµε ὅτι γιὰ τὸ διανυσµατικὸ πεδίο F ἰσχύουν οἱ ὑποθέσεις ὅπως παραπάνω, καὶ ὅτι u(t; c) εἶναι ἡ λύση τῆς ἐξίσωσης µὲ ἀρχικὴ τιµὴ u (t) = F (t, u), u( ; c) = c καὶ πεδίο ὁρισµοῦ ἕνα διάστηµα [ τ, + τ], ὅπου c U := {c : c c 0 K}. Τότε 1) ἡ συνάρτηση (t, c) u(t; c) εἶναι συνεχὴς καὶ ὡς πρὸς τὶς δύο µεταβλητὲς στὸ σύνολο (t, c) [ τ, + τ] U, καὶ ἀκόµη 2) ἰσχύει lim c c u(t; c) = u(t; c ), ὁµοιόµορφα γιὰ t [ τ, + τ]. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.4.1 Ενα πρόβληµα ἀρχικῶν τιµῶν λέγεται well-posed ἄν οἱ λύσεις ὑπάρχουν, εἶναι µοναδικὲς καὶ ἐξαρτῶνται συνεχῶς ἀπὸ τὶς ἀρχικὲς τιµὲς. 1.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (Picard) Εστω [α, β] =: I ἕνα κλειστὸ διάστηµα τῆς πραγµατικῆς εὐθείας καὶ F : I R n R n µιὰ συνεχὴς συνάρτηση. Γιὰ τυχὸν σηµεῖο (, x 0 ) τοῦ χώρου (α, β) R n R n ϑεωροῦµε τὸ πρόβληµα ἀρχικῶν τιµῶν u = F (t, u), u( ) = x 0. (1) Τοῦτο εἶναι ἰσοδύναµο (γιατὶ ;) µὲ τὴν ὁλοκληρωτικὴ ἐξίσωση Ορίζουµε τὸν χῶρο u(t) = x 0 + F (s, u(s))ds. (2) X := {x : [α, β] R n, x συνεχὴς} καὶ τὸν τελεστὴ (T u)(t) := x 0 + F (s, u(s))ds, u X.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ Μιὰ συνάρτηση u εἶναι λύση τοῦ προβλήµατος (1) αν καὶ µόνο ἄν αὐτὴ ἱκανοποιεῖ τὴν ἐξίσωση u = T u, δηλαδὴ, ἄν u εἶναι ἕνα σταθερὸ σηµεῖο τοῦ τελεστὴ T. Σχηµατίζουµε τὴν ἀκολουθία διαδοχικῶν συνθέσεων ὡς ἑξῆς : δηλαδὴ u 0 = x 0, u 1 = T (u 0 ), u 2 = T (u 1 ),, u n = T (u n 1 ) = T n (x 0 ), n = 1, 2, Τὸ σχῆµα αὐτὸ λέγεται ἐπαναληπτικὴ ἀκολουθία Picard. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.5.1 Αν ἡ συνάρτηση F εἶναι συνεχὴς ὡς πρὸς τὶς δύο µετα- ϐλητὲς (t, x) I R n καὶ Lipschitz ὡς πρὸς τὴ δεύτερη µεταβλητὴ µὲ σταθερὰ L, τότε ἡ ἐπαναληπτικὴ ἀκολουθία Picard συγκλίνει ὁµοιόµορφα πρὸς κάποια συνάρτηση u(t), t [α, β]. Ἀπόδειξη: Θέτουµε M := sup F (t, x 0 ). t I Θὰ ἀποδείξουµε ἐπαγωγικὰ ὅτι, γιὰ κάθε n = 1, 2,, ἰσχύει u n (t) u n 1 (t) M [L t ] n. (3) L n! Θεωροῦµε πρῶτα τὴν περίπτωση ὅπου t β. Γιὰ n = 1 ἔχουµε u 1 (t) u 0 (t) = F (s, u(s))ds F (s, u(s)) ds M Γιὰ n = 2 ἔχουµε u 2 (t) u 1 (t) = ds = M(t ) = M L L [L(t )] 1. 1! [F (s, u 1 (s)) F (s, u 0 (s))]ds F (s, u 1 (s)) F (s, u 0 (s)) ds L Υποθέτουµε ὅτι γιὰ n = k ἰσχύει M(s )ds = M L u k (t) u k 1 (t) M L [L(t )] 2. 2! [L(t )] k. k! καὶ ϑὰ ἀποδείξουµε ὅτι ἰσχύει γιὰ n = k + 1. Πράγµατι ἔχουµε u k+1 (t) u k (t) = [F (s, u k (s)) F (s, u k 1 (s))]ds u 1 (s) u 0 (s) ds F (s, u k (s)) F (s, u k 1 (s)) ds L u k (s) u k 1 (s) ds L M [L(s )] k ds = M [L(t )] k+1. L k! L (k + 1)!

1.5. ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (PICARD) 9 Αρα ἡ σχέση (3) ἰσχύει γιὰ t. Παρόµοια ἀποδεικνύουµε καὶ τὴν περίπτωση ὅπου α t. Τώρα, γιὰ κάθε t [, β] καὶ k N, ἔχουµε ἐνῶ, προφανῶς, ἡ σειρὰ M L [L t ] k k! + k=1 M L M L [L(β α)] k k! [L(β α)] k, k! συγκλίνει πρὸς τὸν ἀριθµὸ M L (el(β α) 1). Ετσι, µὲ ϐάση τὸ κριτήριο σύγκρισης σειρῶν, προκύπτει ὅτι καὶ ἡ σειρὰ u 0 (t) + n [u k (t) u k 1 (t)] k=1 συγκλίνει ὁµοιόµορφα στὸ διάστηµα [α, β] πρὸς κάποια συνεχὴ συνάρτηση u. Ἀλλὰ ἔχουµε n u 0 (t) + [u k (t) u k 1 (t)(t)] = u n (t), k=1 ὁπότε συµπεραίνουµε ὅτι ἡ ἀκολουθία (u n ) συγκλίνει ὁµοιόµορφα πρὸς τὴ συνάρτηση u στὸ διάστηµα [α, β]. Ἀλλὰ ἰσχύει ὅτι u n (t) = T (u n 1 )(t) = x 0 + F (s, u n 1 (s))ds, ὁπότε παίρνοντας τὰ ὅρια καὶ στὰ δύο µέλη ϐρίσκουµε u (t) = x 0 + F (s, u (s))ds, ΘΕΩΡΗΜΑ 1.5.2 ( Υπαρξη ὁλικῆς λύσης) Υποθέτουµε ὅτι ἡ συνάρτηση F εἶναι συνεχὴς ὡς πρὸς τὶς δύο µεταβλητὲς (t, x) I R n καὶ Lipschitz ὡς πρὸς τὴ δεύτερη µεταβλητὴ. Τότε τὸ πρόβληµα ἀρχικῶν τιµῶν (Ε) ἔχει ἀκριβῶς µία λύση. Ἀπόδειξη: Τὸ µονοσήµαντο προκύπτει ἀπό τὸ ϑεώρηµα µονοσηµάντου ;;. Τώρα, ἡ ἐπαναληπτικὴ ἀκολουθία Picard (u n ), ποὺ εἴδαµε παραπάνω, συγκλίνει ὁµοιόµορφα πρὸς τὴ συνάρτηση u καὶ ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση u n+1 (t) = x 0 + Ετσι, µεταβαίνοντας στὰ ὅρια ϐρίσκουµε ὅτι u (t) = x 0 + F (s, u n (s))ds. F (s, u (s))ds, πρᾶγµα ποὺ δηλώνει ὅτι ἡ συνάρτηση u εἶναι ἡ µοναδικὴ λύση τοῦ προβλήµατος (1).

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ 1.5.3 ίνεται µιὰ πραγµατικὴ συνάρτηση f(t, x), (t, x) [0, β] R, ἡ ὁποία εἶναι συνεχὴς, ϕραγµένη καὶ ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz ὡς πρὸς x, µὲ σταθερὰ L. Τότε ἡ ἐπαναληπτικὴ ἀκολουθία Picard ἡ ὁποία ὁρίζεται µὲ τὸν τύπο u n+1 (t) = x 0 + f(s, u n (s))ds συγκλίνει πρὸς τὴ λύση u, ἡ ὁποία ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση ὅπου u(t) u n (t) M := MLn (n + 1)! tn+1, sup f(t, x). (t,x) [0,β] R Ἀπόδειξη: Θὰ ἐφαρµόσουµε ἐπαγωγή. Εστω n = 1. Τότε γιὰ κάθε t ὑπάρχει ξ [0, t], τέτοιο ὥστε u(t) u 0 (t) = u(t) u(0) = u (ξ) t = f(ξ, u(ξ)) t Mt, ὁπότε ἡ σχέση ἰσχύει γιὰ n = 0. Υποθέτουµε ὅτι ἰσχύει γιὰ n = k, δηλαδὴ ὅτι Τότε ἔχουµε u(t) u k+1 (t) = 0 0 u(t) u k (t) 0 MLk (k + 1)! tk+1. f(s, u(s))ds f(s, u(s)) f(s, u k (s)) ds 0 L MLk (k + 1)! sk+1 = ML k+1 t k+2 (k + 2)!. Τὸ γεγονὸς τοῦτο ἀποδεικνύει τὸ συµπέρασµα. 0 f(s, u k (s))ds L u(s) u k (s) ds ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.5.1 Νὰ ἐπιλυθεῖ τὸ πρόβληµα u = u, u(0) = 1, µὲ τὴν ἐπαναληπτικὴ ἀκολουθία Picard. 1.6 ΑΡΧΗ ΣΥΣΤΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 1.6.1 Η f λέγεται συστολή, ἄν ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz µε σταθερὰ Lipschitz L µὲ 0 < L < 1. ΠΟΡΙΣΜΑ 1.6.1 Αν µιὰ συνάρτηση f : [α, β] [α, β] εἷναι συνεχής καὶ παραγωγίσιµη καὶ τέτοια ὥστε sup x [α,β] f (x) < 1, τότε ἡ f εἶναι συστολή. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.6.1 (Ἀρχή τῆς συστολῆς, ἤ Θεώρηµα σταθεροῦ σηµείου Banach) Εστω (X, ρ) ἕνας πλήρης µετρικὸς χῶρος καὶ f : X X µιὰ συστολή. Τότε ἡ f ἔχει ἕνα µοναδικὸ σταθερὸ σηµεῖο x. Μάλιστα, δέ, γιὰ κάθε x 0 X ἡ ἀκολουθία x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ),, x n = f(x n 1 ),, συγκλίνει πρὸς τὸ σταθερὸ σηµείο x.

1.7. ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ 11 Ἀπόδειξη: Επειδή ἡ f εἶναι συστολή, ὑπάρχει l (0, 1) τέτοιο ὥστε γιὰ κάθε x, y X. Αρα ἔχουµε. ρ(f(x), f(y)) lρ(x, y), ρ(x 1, x 2 ) = ρ(f(x 1 ), f(x 0 )) lρ(x 0, x 1 ) ρ(x n 1, x n ) = ρ(f(x n 2 ), f(x n 1 )) l n 1 ρ(x 0, x 1 ) Τώρα, γιὰ κάθε k > n( N) παίρνουµε Οµως ρ(x n, x k ) ρ(x n, x n+1 ) + ρ(x n+1, x n+2 ) + + ρ(x k 1, x k ) l n ρ(x 0, x 1 ) + + l k 1 ρ(x 0, x 1 ) lim ln 1 l ρ(x 1, x 0 ) = 0, ὁπότε γιὰ κάθε ε > 0 ὑπάρχει r N τέτοιο ὥστε ln 1 l ρ(x 0, x 1 ) n r = ln 1 l ρ(x 1, x 0 ) < ε καὶ κατ ἀνάγκη ϑὰ ἰσχύει n r = ρ(x n, x k ) < ε. Τοῦτο σηµαίνει ὅτι ἡ (x n ) εἶναι ϐασικὴ, ὁπότε καὶ ϑὰ συγκλίνει πρὸς κάποιο σηµεῖο x X, ἀφοῦ ὁ X εἶναι πλήρης. Ετσι ἔχουµε lim n x n+1 = x, δηλαδὴ lim f(x n) = lim x n+1 = x. n Ἀλλὰ τότε, λόγω τῆς συνέχειας τῆς f ϑὰ ἰσχύει καὶ f(x n ) f(x). Εποµένως ἔχουµε f(x) = x, ὁπότε τὸ σηµεῖο x εἶναι σταθερό σηµεῖο τῆς f. Αν ὑπῆρχαν δύο σταθερά σηµεῖα, x, y, µὲ x y, ϑὰ εἴχαµε f(x) = x καὶ f(y) = y, ὁπότε τότε ρ(f(x), f(y)) lρ(x, y) ρ(x, y) lρ(x, y) < ρ(x, y), πρᾶγµα ἄτοπο. 1.7 ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ Εστω ὅτι ἡ συνάρτηση F εἶναι ὁρισµένη σὲ ἕνα σύνολο τῆς µορφῆς I U R R n, ὅπου I καὶ U εἶναι ἀνοικτά. Θεωροῦµε ἕνα σηµεῖο (, x 0 ) I U. Υπάρχουν ἀριθµοὶ a, b > 0, τέτοιοι ὥστε K a,b (, x 0 ) := [ a, + a] {x R n : x x 0 b} I U.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ 1.7.1 ( Picard) Υποθέτουµε ὅτι ἡ F εἶναι συνάρτηση συνεχὴς ποὺ ἱκανοποιεῖ ὡς πρὸς τὴ δεύτερη µεταβλητὴ τὴ συνθήκη Lipschitz στὸ K a,b (, x 0 ), µὲ σταθερὰ Lipschitz L. Εστω καὶ τ τέτοιο ὥστε M := max F (t, x 0) t [ a, +a] 0 < τ < min{a, b Lb + M }. Τότε ὑπάρχει µόνο µία συνάρτηση u : [ τ, + τ] R n, τέτοια ὥστε ὅπου (T u)(t) := x 0 + T u = u, Ἀπόδειξη : ΒΗΜΑ 1ο. Υπάρχει L > 0 τέτοιο ὥστε F (s, u(s))ds. F (t, x 1 ) F (t, x 2 ) L x 1 x 2, γιὰ κάθε (t, x 1 ), (t, x 2 ) K a,b (, x 0 ). Εστω M := max F (t, x 0). t [ a, +a] Τότε ϐρίσκουµε F (t, x) F (t, x) F (t, x 0 ) + F (t, x 0 ) L x x 0 + M Lb + M, γιὰ κάθε (t, x) K a,b (, x 0 ). Ορίζουµε τὸ σύνολο X := {u C([ τ, + τ], R n ) : u x 0 b}. Εφοδιάζουµε τὸ σύνολο τοῦτο µὲ τὴ στάθµη 3 ποὺ ὁρίζεται ὡς ἑξῆς : u v k := sup e k t t0 u(t) v(t), t [ τ, +τ] ὅπου k > L. Αρα, ἄν ϑέσουµε ρ := L, τότε ἔχουµε ρ < 1. Ως πρὸς τὴ στάθµη k αὐτὴ ὁ χῶρος X γίνεται ἕνας χῶρος Banach (γιατί ;). ΒΗΜΑ 2ο. Θὰ δείξουµε ὅτι ὁ τελεστὴς T ἀπεικονίζει τὸ σύνολο X στὸ σύνολο X. Πράγµατι, γιὰ κάθε u X, ἡ συνάρτηση T u εἶναι συνεχὴς (γιατὶ ;). Επίσης ἔχουµε (T u)(t) x 0 = F (s, u(s))ds (Lb + M)ds τ(lb + M) b, F (s, u(s)) ds 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Νὰ ἀποδειχτεῖ ὅτι, πράγµατι, ὁ τύπος αὐτὸς ὁρίζει µιὰ στάθµη.

1.8. ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (PEANO) 13 ὁπότε καὶ T u x 0 k = sup e k t t0 (T u)(t) x 0 sup (T u)(t) x 0 b, t τ t τ πρᾶγµα ποὺ ἀποδεικνύει ὅτι T u X, γιὰ κάθε u X. ΒΗΜΑ 3ο. Ο T εἶναι µιὰ συστολὴ στὸν χῶρο X. Πράγµατι, γιὰ κάθε t, ἔχουµε (T u 1 )(t) (T u 2 )(t) = e k(s t0) e k(s t0) (F (s, u 1 (s)) F (s, u 2 (s))ds L e k(s t0) e k(s t0) u 1 (s) u 2 (s) ds L k [ek(t ) 1] u 1 u 2 k, ὁπότε καὶ e k(t ) (T u 1 )(t) (T u 2 )(t) L k [1 e k(t ) ] u 1 u 2 k Επίσης, γιὰ t ϐρίσκουµε ὅτι Ετσι παίρνουµε L k u 1 u 2 k = ρ u 1 u 2 k. e k( t) (T u 1 (t) T u 2 (t) ρ u 1 u 2 k. T u 1 T u 2 k ρ u 1 u 2 k. ΒΗΜΑ 4ο. Εφαρµόζουµε τὴν Αρχὴ τῆς συστολῆς καὶ συµπεραίνουµε ὅτι ὑπάρχει ἀκριβῶς ἕνα σηµεῖο u X τέτοιο ὥστε T u = u. Προφανῶς, ἡ συνάρτηση u εἶναι ἡ λύση τοῦ προβλήµατος ἀρχικῶν τιµῶν. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.7.1 Νὰ ἀποδειχτεῖ ὅτι ἡ διαφορικὴ ἐξίσωση u = u + u 1/2 ἔχει µὶα µοναδικὴ λύση ποὺ διέρχεται ἀπὸ τὸ σηµεῖο (, x 0 ), ὅταν x 0 0, καὶ ὑπάρχουν περισσότερες ἀπὸ µία λύσεις ὅταν x 0 = 0. 1.8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (Peano) Κλείνουµε τὴ µελέτη ὕπαρξης λύσεων τῆς διαφορικῆς ἐξίσωσης (Ε) µὲ τὸ λεγόµενο Θεώρηµα τοῦ Peano. Τὸ χαρακτηριστικὸ τοῦ ϑεωρήµατος τούτου εἶναι ὅτι δὲν ἀπαιτεῖται νὰ ἱκανοποιεῖται ἡ συνθήκη Lipschitz ἀπὸ τὴ συνάρτηση F. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.8.1 ( Peano) Υποθέτουµε ὅτι F (t, x) εἶναι συνάρτηση συνεχὴς σὲ ἕνα κλειστὸ σύνολο τῆς µορφῆς K a,b (, x 0 ) := {(t, x) : t a, x x 0 b}. Τότε τὸ πρόβληµα (Ε) ἔχει τουλάχιστον µία λύση ὁρισµένη γιὰ κάθε t µὲ ὅπου t τ := min{a, M := b M }, sup F (t, x). (t,x) K a,b (,x 0 )

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ Ἀπόδειξη: Γιὰ νὰ ἀποδείξουµε τὸ ϑεώρηµα αὐτὸ χρειαζόµαστε τὸν ἀκόλουθο ὁρισµὸ : ΟΡΙΣΜΟΣ 1.8.1 Μιὰ οἰκογένεια συναρτήσεων S ὁρισµένων σὲ ἕνα διάστη- µα [α, β] τῆς πραγµατικῆς εὐθείας λέγεται ἰσοσυνεχὴς, ἄν, γιὰ κάθε t [α, β] καὶ κάθε ɛ > 0, ὑπάρχει δ > 0 τέτοιο ὥστε t s < δ = u(t) u(s) < ɛ, u S. Τὸ Θεώρηµα ποὺ ἀκολουθεῖ εἶναι γνωστὸ ὡς Θεώρηµα Arzela-Ascoli καὶ ἡ ἀπόδειξη (µιᾶς γενικώτερης διατύπωσης) τούτου µπορεῖ νὰ ϐρεθεῖ στὸ ϐιβλίο Πραγµατικὴ Ἀνάλυση τοῦ Γ. Λ. Καρακώστα, Ιωάννινα 1996. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.8.2 (Arzela-Ascoli) Υποθέτουµε ὅτι µιὰ ἀκολουθία (u n ) συναρτήσεων εἶναι ὁρισµένη σὲ ἕνα διάστηµα [α, β]. Αν ἡ ἀκολουθία αὐτὴ εἶναι ϕραγµένη καὶ ἰσοσυνεχὴς, τότε ὑπάρχει ὑπακολουθία της ἡ ὁποία συγκλίνει ὁµοιόµορφα ἐπὶ τοῦ [α, β]. Τώρα εἴµαστε ἕτοιµοι νὰ ἀποδείξουµε τὸ Θεώρηµα τοῦ Peano. Χωρὶς ϐλάβη τῆς γενικότητας (γιατί ;) µποροῦµε νὰ ὑποθέσουµε ὅτι = 0. Ορίζουµε µιὰ ἀκολουθία συναρτήσεων ὡς ἑξῆς : u n (t) = { x 0, 0 t τ n, x 0 + τ n 0 F (s, u n (s))ds, τ n < t τ. Θὰ δείξουµε ὅτι ἰσχύει u n (t) x 0 b, γιὰ κάθε t [0, τ] καὶ γιὰ κάθε n N. Πράγµατι, ἄν 0 t τ n ἡ ἀνισότητα ἀληθεύει. Αν ὑποθέσουµε ὅτι αὐτὴ ἀληθεύει γιὰ κάθε t µὲ 0 t k τ n, γιὰ κάποιο k {1, 2,, n 1}, τότε καὶ γιὰ κάθε t στὸ διάστηµα k τ n < t (k + 1)τ n ϑὰ ἰσχύει τ u n n (t) x 0 = F (s, u n (s))ds M t τ Mτ b. 0 n Τοῦτο συνεπάγεται ὅτι (t, u n (t)) K a,b (, x 0 ), καὶ ἀκόµη ὅτι ἡ ἀκολουθία (u n ) εἶναι ϕραγµένη στὸ διάστηµα [0, τ], ἀφοῦ ἰσχύει u n (t) x 0 + b.

1.8. ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ (PEANO) 15 Επίσης, ἡ ἀκολουθία αὐτὴ εἶναι ἰσοσυνεχὴς. Πράγµατι ἔχουµε 0, t 1, t 2 [0, τ ], n 2 τ n F (s, u n (s))ds 0, t 1 [0, τ ], t n 2 ( τ, τ], n u n (t 1 ) u n (t 2 ) = 1 τ n F (s, u n (s)ds 0, t 2 [0, τ ], t n 1 ( τ, τ], n 2 τ n F (s, u n (s)ds, t 1, t 2, ( τ, τ] n t 1 τ n M t 1 t 2 Εφαρµόζοντας τὸ Θεώρηµα Arzela-Ascoli συµπεραίνουµε ὅτι ὑπάρχει µιὰ ὑπακολουθία (u kn ) τῆς (u n ) ἡ ὁποία συγκλίνει ὁµοιόµορφα πρὸς κάποια συνάρτηση u ὁρισµένη στὸ διάστηµα [0, τ]. Τώρα, γιὰ κάθε t (0, τ] διαλέγουµε ἕνα n 0 τέτοιο ὥστε Τότε γιὰ κάθε n n 0 ἔχουµε u kn (t) = x 0 + ὁπότε παίρνοντας τὰ ὅρια ϐρίσκουµε 0 τ k n0 < t. F (s, u kn (s))ds t τ kn F (s, u kn (s))ds, ἀφοῦ ἰσχύει u (t) = x 0 + t τ kn 0 F (s, u (s))ds, F (s, u kn (s))ds M τ 0. k n ΘΕΩΡΗΜΑ 1.8.3 Υποθέτουµε ὅτι F (t, x) εἶναι ὁρισµένη σὲ ἕνα ἀνοικτὸ ὑποσύνολο D τοῦ χώρου R R n καὶ ἔστω τυχὸν (, x 0 ) D. α) Αν ἡ συνάρτηση F εἶναι συνεχὴς, τότε, τὸ πρόβληµα (Ε) ἔχει τουλάχιστον µία τοπικὴ λύση. ϐ) Αν ἡ συνάρτηση F ἔχει συνεχεῖς µερικὲς παραγώγους F i (t, x) x j, σὲ κάθε σηµεῖο (t, x) D, γιὰ κάθε Ϲεῦγος δεικτῶν i, j {1, 2,, n}, τότε τὸ πρόβληµα (Ε) ἔχει ἀκριβῶς µία τοπικὴ λύση. Ἀπόδειξη: Επειδὴ τὸ πεδίο ὁρισµοῦ D εἶναι ἀνοικτὸ, ὑπάρχουν a, b τέτοια ὥστε K a,b (, x 0 ) D. Τώρα τὸ (α) προκύπτει ἀπὸ τὸ Θεώρηµα ;;, ἐνῶ τὸ (ϐ), ἀπὸ τὸ Θεώρηµα ;;, ἀφοῦ, λόγω τῆς Πρότασης ;;, ἡ F ἱκανοποιεῖ τὴ συνθήκη Lipschitz στὸ σύνολο K a,b (, x 0 ).

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ 1.9 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΙΕΥΘΥΝΟΝΤΟΣ ΠΕ ΙΟΥ Εστω x = f(t, x) µία διαφορικὴ ἐξίσωση, ὅπου f : [α, β] R R εἶναι συνεχὴς συνάρτηση. Γεωµετρικὰ ἡ ἐξίσωση αὐτὴ δηλώνει ὅτι σε κάθε σηµε- ῖο (t, x) ἡ κλίση dx/dt τῆς εὐθείας ποὺ ἐφάπτεται τῆς καµπύλης ποὺ παριστᾶνει τὸ γράφηµα τῆς λύσης στὸ σηµεῖο (t, x) ἔχει τιµὴ f(t, x). Τὸ γεγονὸς αὐτὸ ἀποδίδεται γραφικὰ ἐάν ἀπὸ τὸ σηµεῖο (t, x) ϕέρουµε ἕνα µικρὸ εὐθύγραµµο τµῆµα, ποὺ ὀνοµάζεται διευθῦνον στοιχεῖο, µὲ κλίση f(t, x). Τὸ σύνολο ὅλων τῶν διευθυνόντων στοιχείων ὀνοµάζεται διευθῦνον πεδίο, ἤ πεδίο διευθύνσεων, τῆς διαφορικῆς ἐξίσωσης. Σχήµα 1.1: Τὸ διευθῦνον πεδίο τῆς διαφορικῆς ἐξίσωσης x = t x 2 Ως ἀριθµητικὴ λύση µιᾶς διαφορικῆς ἐξίσωσης 1ης τάξης µὲ ἀρχικὴ τι- µὴ (, x 0 ) ἐννοοῦµε µιὰ συνάρτηση µὲ πολυγωνικὸ γράφηµα καὶ µὲ κορυφὲς σηµεῖα τῆς µορφῆς (t i, x i ), ποὺ προκύπτουν ὡς ἑξῆς : Επιλέγουµε ἕνα ϐῆµα h > 0 µὲ ϐάση τὸ ὁποῖο προχωροῦµε, δηλαδὴ ϑέτουµε x 1 := x 0 + hf(, x 0 ), t 1 := + h, x 2 := x 1 + hf(t 1, x 1 ), t 2 := t 1 + h,

1.10. ΕΚΤΑΣΗ ΛΥΣΕΩΝ 17. x k+1 := x k + hf(t k, x k ), t k+1 := t k + h. Η πολυγωνικὴ γραµµὴ µὲ κορυφὲς τὰ σηµεῖα (t j, x j ) εἶναι µιὰ προσέγγιση τῆς λύσης. Οσο πιὸ µικρὸ εἶναι τὸ ϐῆµα h τόσο πιὸ καλὴ προσέγγιση τῆς λύσης παίρνουµε. Αν γράψουµε τὰ διανύσµατα µὲ ἀρχὴ τὰ σηµεῖα (t j, x j ) καὶ συντελεστὲς κατεύθυνσης ἴσους µὲ f(t j, x j ), ἀντίστοιχα, τότε παίρνουµε µιὰ δυναµικὴ γραµµὴ τῆς διαφορικῆς ἐξίσωσης. Τὸ σύνολο τῶν δυναµικῶν γραµµῶν εἶναι τὸ διευθῦνον πεδίο. Γιὰ παράδειγµα, στὸ σχῆµα ϕαίνεται µιὰ προσέγγιση τῶν δυναµικῶν γραµµῶν τῆς ἐξίσωσης x = t x 2, ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὶς λύσεις µὲ ἀρχικὲς τιµὲς x 0 = 0, 0.5, 1, 1.5,, 5. 1.10 ΕΚΤΑΣΗ ΛΥΣΕΩΝ Υποθέτουµε ὅτι F εἶναι µία συνεχὴς συνάρτηση ὁρισµένη σὲ ἕνα ἀνοικτὸ σύνολο W τοῦ χώρου R R n. Αν δοθοῦν δύο λύσεις u(t) καὶ v(t) τοῦ προβλήµατος (Ε) ὁρισµένες στὰ διαστήµατα [s 1, t 1 ] καὶ [s 2, t 2 ] ἀντίστοιχα, ὅπου s 1 < < t 1 καὶ s 2 < < t 2, τότε ἡ συνάρτηση w(t) ποὺ ὁρίζεται νὰ εἶναι ἰση µὲ τὴν u(t) ἤ τὴν v(t), ὅπου αὐτὲς ὁρίζονται εἶναι µιὰ λύση τοῦ προβλήµατος (Ε) στὸ διάστηµα [min{s 1, s 2 }, max{t 1, t 2 }]. Ορίζουµε τὶς ποσότητες καὶ T := inf{t : τὸ (Ε) ἔχει λύση στὸ διάστηµα [t, ]} T + := sup{t : τὸ (Ε) ἔχει λύση στὸ διάστηµα [, t]}. Ετσι ὁρίζεται µιὰ λύση, ἡ ὁποία λέγεται maximal ἤ µὴ ἐπεκτάσιµη λύση, ὁρισµένη στὸ διάστηµα (T, T + ). Τὸ διάστηµα (T, T + ), λέγεται maximal διἀστηµα ὕπαρξης. ΘΕΩΡΗΜΑ 1.10.1 Υποθέτουµε ὅτι ἡ συνάρτηση F εἶναι ὁρισµένη καὶ συνεχὴς σὲ ἕνα ἀνοικτὸ ὑποσύνολο W τοῦ χώρου R R n. Τότε γιὰ κάθε (, x 0 ) W, κάθε λύση u τοῦ προβλήµατος (Ε) εἶναι ὁρισµένη σὲ ἕνα διάστηµα (T, T + ) µὲ (T, T + ), ὅπου (t, u(t)) προσεγγίζει τὸ σύνορο τοῦ συνόλου W, ὅταν t T + 0 καὶ ὅταν t T + 0. Ἀπόδειξη: Τὸ συµπέρασµα εἶναι προφανὲς στὶς ἑξῆς περιπτώσεις : (1) T = καὶ T + = +. (2) T = καὶ T + < +, καὶ u(t) εἶναι µὴ ϕραγµένη, ὅταν t T + 0. (3) < T, καὶ u(t) εἶναι µὴ ϕραγµένη, ὅταν t T + 0 καὶ T + = +. (4) < T, καὶ u(t) εἶναι µὴ ϕραγµένη, ὅταν t T + 0 καὶ T + < +, καὶ u(t) εἶναι µὴ ϕραγµένη, ὅταν t T + 0. Εποµένως, µένει νὰ ἐξεταστεῖ τὸ ϑέµα ὅταν µία τουλάχιστον ἀπὸ τὶς παρακάτω περιπτώσεις ἰσχύει : (5) < T, καὶ u(t) εἶναι ϕραγµένη συνάρτηση, ὅταν t T + 0, (6) T + <, καὶ u(t) εἶναι ϕραγµένη συνάρτηση, ὅταν t T + 0. Υποθέτουµε ὅτι < T, καὶ ὅτι ἡ u(t) εἶναι ϕραγµένη ὅταν t T + 0. Αρα ὑπάρχει συµπαγὲς σύνολο K R n τέτοιο ὥστε {u(t) : T < t } K.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΥΠΑΡΞΗ ΛΥΣΕΩΝ Επειδὴ ἡ F είναι συνεχὴς, ὑπάρχει L > 0 τέτοιο ὥστε F (t, x) L, (t, x) [T, ] K. Θεωροῦµε µιὰ ϕθίνουσα ἀκολουθία (t n ) ποὺ συγκλίνει πρὸς τὸ σηµεῖο T + 0. Τότε γιὰ κάθε Ϲεῦγος δεικτῶν m, n µὲ t n < t m, ἰσχὐει u(t m ) u(t n ) = u( ) + m m F (s, u(s))ds u( ) t n F (s, u(s)) ds L t n t m. n F (s, u(s))ds Επειδὴ ἡ ἀκολουθία (t n ) συγκλίνει, αὐτὴ εἶναι ϐασικὴ, ὁπότε, λόγω τῆς παραπάνω σχέσης, καὶ ἡ ἀκολουθία (u(t n )) εἶναι ϐασική. Ετσι αὐτὴ συγκλίνει πρὸς κάποιο σηµεῖο R R n. Εποµένως ἡ ἀκολουθία τῶν σηµείων (t n, u(t n )) συγκλίνει πρὸς τὸ σηµεῖο (T, R) W. Θὰ ἀποδείξουµε ὅτι τὸ σηµεῖο τοῦτο ἀνήκει στὸ σύνορο τοῦ συνόλου W καὶ ὄχι στὸ ἐσωτερικὸ του. Πράγµατι, ἄν τοῦτο εἶναι ἐσωτερικὸ σηµεῖο τοῦ W, τότε, σύµφωνα µὲ τὸ Θεώρηµα ;;, ὑπάρχει σύνολο τῆς µορφῆς στὸ ὁποῖο τὸ πρόβληµα ἀρχικῶν τιµῶν K a,b (T, R), u (t) = F (t, u(t)), u(t ) = R ἔχει λύση, ἔστω w. Η συνάρτηση αὐτὴ ϑὰ ὁρίζεται τουλάχιστον σὲ ἕνα διάστηµα τῆς µορφῆς [T a, T + a], γιὰ κάποιο a > 0. Ἀλλὰ τοῦτο ἀντίκειται πρὸς τὴν ὑπόθεση ὅτι τὸ σηµεῖο T εἶναι τὸ ἀριστερώτερο σηµεῖο µέχρι τὸ ὁποῖο µποροῦν νὰ ὁριστοῦν λύσεις τοῦ προβλήµατος (Ε). Τοῦτο ἀποδεικνύει τὴν περίπτωση (5). Παρόµοια ἐξετάζουµε καὶ τὴν περίπτωση (6). ΠΟΡΙΣΜΑ 1.10.1 Υποθέτουµε ὅτι ἡ συνάρτηση F εἶναι ὁρισµένη καὶ συνεχὴς σὲ ἕνα ἀνοικτὸ ὑποσύνολο W τοῦ χώρου R R n. Εστω D ἕνα συµπαγὲς ὑποσύνολο τοῦ W καὶ (, x 0 ) D o W. Τότε γιὰ κάθε λύση u τοῦ προβλήµατος (Ε) ὑπάρχει ˆt τέτοιο ὥστε (ˆt, u(ˆt)) W \ D. Ἀπόδειξη: Τοῦτο προκύπτει ἀπὸ τὸ προηγούµενο Θεώρηµα καὶ τὸ γεγονὸς ὅτι ὑπάρχει ɛ > 0 τέτοιο ὥστε x y ɛ, x D, y W c.

Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωροῦµε ὅτι ἡ ϐασικὴ ϑεωρία πινάκων καὶ ὁριζουσῶν εἶναι γνωστὴ στὸν ἀναγνώστη. Παρὰ ταῦτα, ἐδῶ ϑὰ ἐπαναλάβουµε κάποια στοιχεῖα ποὺ ϑὰ χρειαστο- ῦµε παρακάτω. Εστω A := (a ij ) = a 11 a 12 a 1n a 21 u 22 a 2n... a m1 a m2 a mn ἕνας πίνακας τάξης m n, µὲ στοιχεῖα µιγαδικοὺς ἀριθµούς. Ο συζυγὴς του εἶναι ὁ πίνακας Ā := (ā ij). Ο ἀνάστροφος τοῦ A εἶναι ὁ πίνακας A T := (a ji ). Ο συζυγὴς ἀνάστροφος τοῦ A εἶναι ὁ A := A T. Η πράξη τῆς πρόσθεσης δύο πινάκων (ἴδιας τάξης) A := (a ij ) καὶ B := (b ij ) ὁρίζεται ὡς ἑξῆς : A + B := (a ij + b ij ). Ο πολλαπλασιασµὸς ἑνὸς πίνακα A τάξης m n ἐπὶ ἕναν πίνακα B τάξης n k εἶναι ὁ τάξης m k πίνακας C ποὺ ὁρίζεται ὡς ἑξῆς : ὅπου AB = C := (c ij ), c ij := n a il b lj. l=1 Εστω A = (a ij ) ἕνας πίνακας τάξης n n. Ο µηδενικὸς πίνακας παριστάνεται µὲ 0 καὶ ὁ µοναδιαῖος µὲ I. Προφανῶς ἔχουµε 0 2 = 0 καὶ I 2 = 1. Σὲ µιὰ µετάθεση ϕυσικῶν ἀριθµῶν, οἱ ἀριθµοὶ i, j σχηµατίζουν µιὰ ἀντιστροφή, ἄν ἰσχύει i > j, ἀλλὰ ὁ i προηγεῖται τοῦ j. Μιὰ µετάθεση (i 1, i 2,, i n ) λέγεται ἄρτια, ἄν τὸ πλῆθος τῶν ἀντιστροφῶν τῶν στοιχείων της εἶναι ἄρτιος άριθ- µός, ἀλλοιῶς λέγεται περιττή. Γιὰ παράδειγµα, ἡ µετάθεση 6, 2, 3, 7, 9, 1, 5, 8, 4 τῶν ἀριθµῶν 1, 2,, 9 εἶναι ἄρτια, ἀφοῦ ἔχει 5 + 1 + 1 + 3 + 4 + 1 + 1 = 16 ἀντιστροφὲς. Τῶν ἀριθµῶν 1, 2, 3 οἱ µεταθέσεις (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) εἶναι ἀρτιες, ἐνῶ οἱ ὑπόλοιπες τρεῖς εἶναι περιττές. Η ὁρίζουσα ἑνὸς πίνακα A := (a ij ) παριστάνεται µὲ A καὶ 1 ὁρίζεται νὰ εἶναι 1 Τὸ σύµβολο C ϑὰ δηλώνει τὴν ὁρίζουσα τοῦ C, ἄν C εἶναι τετραγωνικὸς πίνκας καὶ τὴ στάθµη τοῦ C ἄν C εἶναι ἕνα n-διάστατο διάνυσµα. 19

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ὁ ἀριθµὸς A := i 1,i 2,,i n ( 1) δ(i1,i2,,in) a i1 1a i2 2 a inn, ὅπου (i 1, i 2,, i n ) εἶναι µιὰ µετάθεση τῶν ἀριθµῶν 1, 2,, n καὶ δ(i 1, i 2,, i n ) εἶναι ἴσο µὲ 1, ἄν ἡ µετάθεση (i 1, i 2,, i n ) εἶναι ἄρτια καὶ ἴση µὲ -1, ἄν ἡ µετάθεση αὐτὴ εἶναι περιττή. Ως γνωστὸν ἰσχύει ὅτι AB = A B. Αν A = 0, λέµε ὅτι ὁ πίνακας εἶναι ἰδιάζων. Αν A 0, ὁ A λέγεται µὴ ἰδιάζων. Ο συµπαράγοντας A ij ἑνὸς στοιχείου a ij τοῦ πίνακα A εἶναι ἡ προσηµασµένη ὁρίζουσα τοῦ πίνακα ποὺ προκύπτει ἄν διαγράψουµε τὴ γραµµὴ καὶ τὴ στήλη ποὺ περιέχουν τὸ στοιχεῖο αὐτό. ηλαδὴ ἔχουµε a 11 a 12 a 1(j 1) a 1(j+1) a 1n a 21 u 22 a 2(j 1) a i(j+1) a 2n..... A ij := ( 1) i+j a (i 1)1 a (i 1)2 a (i 1)(j 1) a (i 1)(j+1) a (i 1)n a (i+1)1 a (i+1)2 a (i+1)(j 1) a (i+1)(j+1) a (i+1)n..... a n1 a n2 a n(j 1) a n(j+1) a nn Ἀπὸ τὴ ϑεωρία τῶν ὁριζουσῶν γνωρίζουµε ὅτι, γιὰ κάθε i, j, ἰσχύει a ij A ij = δ ij A, ὅπου δ ij = 1, ἄν i = j καὶ = 0, ἄν i j. Ἀπὸ έδῶ προκύπτει ὅτι καὶ n a ij A ij = A, (2.1) j=1 AA = A = AA, ὅπου A = (A ij ). Αρα, ἄν ἰσχύει A 0, ὁ πίνακας 1 A =: A 1 A εἶναι ὁ ἀντίστροφος τοῦ A καὶ ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση AA 1 = I = A 1 A. Αν A = (a ij ) εἶναι ἕνας πίνακας, τότε τὸ ὡς πρὸς λ πολυώνυµο λ a 11 a 12 a 1n λi A := a 21 λ a 22 a 2n... a n1 a n2 λ a nn ϐαθµοῦ n εἶναι τὸ χαρακτηριστικὸ πολυώνυµο τοῦ A καὶ οἱ ϱίζες του εἶναι οἱ ἰδιοτικὲς τοῦ A. Αν λ 1, λ 2,, λ n εἶναι οἱ ιδιοτιµὲς, τότε ἔχουµε λi A = Π n i=1(λ λ i ).

2.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 21 ύο πίνακες A B εἶναι ὅµοιοι, ἄν ὑπάρχει µὴ ἰδιάζων πίνακας K τέτοιος ὥστε B = KAK 1. Εἶναι προφανὲς ὅτι, ἄν οἱ πίνακες A, B εἶναι ὅµοιοι, τότε A = B καὶ tr(a) = tr(b). Εδῶ tr(a) εἶναι τὸ λεγόµενο ἴχνος (trace) τοῦ A := (a ij ) ποὺ ὁρίζεται ὡς tr(a) = a 11 + a 22 + + a nn. Επίσης, ἄν οἱ πίνακες A, B εἶναι ὅµοιοι, ὁπότε ἰσχύει B = KAK 1, γιὰ κάποιον µὴ ἰδιάζοντα πίνακα K, τότε ἔχουµε λi B = KλK 1 KAK 1 = K(λI A)K 1 = K (λi A) K 1 = λi A KK 1 = λi A, πρᾶγµα ποὺ σηµαίνει ὅτι οἱ πίνακες A, B ἔχουν τὶς ἴδιες ἰδιοτικές. Τὸ ἑπόµενο ϑεµελιῶδες ϑεώρηµα τῆς Γραµµικῆς Αλγεβρας ἀποτελεῖ ἕνα ϐασικὸ ἐργαλεῖο γιὰ τὴ µελέτη τῶν γραµµικῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1.1 Εστω ὅτι ὁ πίνακας A := (a ij ) ἔχει ἰδιοτιµὲς λ 1, λ 2,, λ k, λ k+1, λ k+2, λ k+m µὲ πολλαπλότητες 1, 1,, 1, r 1, r 2,, r m, ἀντίστοιχα, ὁπότε ἰσχύει n = k + r 1 + r 2 + + r m. Τότε ὁ A εἶναι ὅµοιος πρὸς ἕναν πίνακα τῆς µορφῆς J = ὅπου J 0 εἷναι ὁ διαγώνιος πίνακας καὶ ὅπου J s = J 0 = J 0 0 0 0 0 J 1 0 0... 0 0 0 J m λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0... 0 0 0 λ k λ k+s 1 0 0 0 λ k+s 1 0... 0 0 0 λ k+s Z s = 0 1 0 0 0 0 1 0... 0 0 1 1 0 0 0 0, = λ k+si s s + Z s, εἶναι ἕνας τετραγωνικὸς πίνακας τάξης r s r s, γιὰ κάθε s = 1, 2,, m. Επο- µένως, ἄν οἱ ἰδιοτιµὲς λ 1, λ 2,, λ n τοῦ πίνακα A εἶναι διαφορετικὲς ἀνὰ δύο, τότε αὐτὸς εἶναι ὅµοιος πρὸς τὸν πίνακα J = λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0... 0 0 0 λ n,.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο παραπάνω πίνακας J εἶναι ἡ κανονικὴ µορφὴ τοῦ Jordan. Εστω λ µία ἰδιοτιµὴ τοῦ πίνακα A. Τότε ἰσχύει ὅτι λi A = 0, ὁπότε ὑπάρχει ἕν µὴ µηδενικὸ διάνυσµα v τέτοιο ὥστε (λi A)v = 0, ἤ Av = λv. Κάθε τέτοιο (µὴ µηδενικὸ) διάνυσµα v λέγεται ἰδιοδιάνυσµα τοῦ A ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν ἰδιοτιµὴ λ. Προφανῶς, ἄν v εἶναι ἕνα ἰδιοδιάνυσµα τοῦ A, τότε κάθε πολλαπλάσιὸ του µv εἶναι ἐπίσης ἰδιοδιάνυσµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Ο πίνακας A = [ 1 1 4 1 εἶναι τετραγωνικὸς τάξης 2 2 Καὶ ἔχει ἰδιοτιµὲς ποὺ ϐρίσκονται ἀπὸ τὴ σχέση ], 0 = A λi = (1 + λ) 2 4 = λ 2 + 2λ 3. Αρα ἔχουµε λ 1 = 1 καὶ λ 2 = 3. Γιὰ τὴν ἰδιοτιµὴ λ 1 ϐρίσκουµε ἕνα ἰδιοδιάνυσµα v = (v 1, v 2 ) T, ὡς ἑξῆς : Ἀπὸ τὴ σχέση Av = v, παίρνουµε τὸ σύστηµα v 1 + 4v 2 = v 1, v 1 v 2 = v 2. Λύνοντας τοῦτο προκύπτει ὅτι v 1 = 2v 2. Θέτοντας (τυχαία τιµὴ στὸ v 2, ἔστω) v 2 = 1, παίρνουµε v 1 = 2. Αρα ἕνα ἰδιοδιάνυσµα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν ἰδιοτιµὴ 1 εἶναι τὸ (2, 1) T. Παρόµοια ϐρίσκουµε ὅτι ἕνα ἰδιοδιάνυσµα ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν ἰδιοτιµὴ 3 εἶναι τὸ ( 2, 1) T. Τὸ ἑπόµενο ϑεώρηµα ϐοηθᾶ στὴν εὕρεση ἰδιοδιανυσµάτων ἑνὸς πίνακα ποὺ ἀντιστοιχοῦν σὲ γνωστὲς ἰδιοτιµὲς. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1.2 Εστω λ µία ἰδιοτιµὴ τοῦ πίνακα A διάστασης n n. Αν B i1, B i2,, B in εἶναι οἱ συµπαράγοντες τῶν στοιχείων τῆς i γραµµῆς τοῦ πίνακα B := A λi = (b ij ), τὸ διάνυσµα v := (B i1, B i2,, B in ) T εἶναι ἕνα ἰδιοδιάνυσµα τοῦ A, ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν ἰδιοτιµὴ λ. Ἀπόδειξη: Χωρὶς ϐλάβη τῆς γενικότητας ὑποθέτουµε ὅτι i = 1. Τότε, λόγω καὶ τῆς σχέσης (;;), ἔχουµε ὅτι b 11 B 11 + b 12 B 12 + + b 1n B 1n = B = A λi = 0 b 21 B 11 + b 22 B 12 + + b 2n B 1n = 0. b n1 B 11 + b n2 B 12 + + b nn B 1n = 0. Οἱ σχέσεις αὐτὲς σηµαίνουν ὅτι Bv = 0, δηλαδὴ (A λi)v = 0. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Θεωροῦµε τὸν πίνακα A = 1 0 0 1 3 0, 0 1 2

2.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 23 Ο πίνακας αὐτὸς ἔχει ἰδιοτιµὲς τοὺς ἀριθµοὺς 1, 2, 3. Ετσι σύµφωνα µὲ τὸ προηγούµενο ϑεώρηµα, ἰδιοδιανύσµατα ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὶς τιµὲς 1, 2, 3 εἶναι, ἀντίστοιχα τὰ v 1 = 2 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 = 2 1 1 v 2 = 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 = 0 0 1 v 3 = 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 = 0 1 1 Εστω A := (a ij ) ἕνας πίνακας. Θέτουµε C k := (a k1, a k2,, a kn ), δηλαδὴ C k εἶναι ἡ k-γραµµὴ τοῦ πίνακα. Τότε γιὰ κάθε x = (x 1,, x n ) ἰσχύει Ax = [ ( n j=1 a 1j x j ) 2 + + ( n j=1 a nj x j ) 2 ] 1/2 = [ C 1, x 2 + C 2, x 2 + + C n, x 2 ] 1/2 [ C 1 2 x 2 + C 2 2 x 2 + + C n 2 x 2 ] 1/2 = [ j C j 2 ] 1/2 x =: A 2 x, ὅπου A 2 = [ j C j 2 ] 1/2 = [ j i a ij 2 ] 1/2 εἶναι ἡ 2 - στάθµη τοῦ πίνακα A. Μιὰ ἀκολουθία πινάκων (A ν ) συγκλίνει πρὸς ἕναν πίνακα A, ἄν ἰσχύει lim A ν A 2 = 0.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μιὰ σειρὰ n n πινάκων A ν συγκλίνει πρὸς ἕναν πίνακα A, ὅταν ἡ ἀκολουθία τῶν µερικῶν ἀθροισµάτων S k := A 1 + A 2 + + A k, k N συγκλίνει πρὸς τὸν πίνακα A. Εἰδικὰ ἡ σειρὰ + 1 k! Ak συγκλίνει, διότι ἰσχύει + k=0 k=0 1 + 1 k! Ak 2 k! A k 2 = e A 2. k=0 Τὸ ὅριο τῆς σειρᾶς αὐτῆς παριστάνεται µὲ τὸ σύµβολο e A, δηλαδὴ ἔχουµε e A = + k=0 1 k! Ak. Αν οἱ πίνακες A, B ἀντιµετατίθενται δηλαδή, ἄν ἰσχύει AB = BA, τότε, προφανῶς, ἔχουµε e A e B = e A+B. Εποµένως ἰσχύει καὶ e 0 = I καὶ e A e A = e 0 = I, ἀφοῦ οἱ πίνακες A καὶ A ἀντιµετατίθενται. Αρα ὁ ἀντίστροφος τοῦ πίνακα e A εἶναι ὁ πίνακας e A. 2.2 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟ Εστω I ἕνα άνοικτὸ διάστηµα τῆς πραγµατικῆς εὐθείας καὶ A : I R n n µιὰ συνάρτηση, δηλαδή τέτοια ὥστε γιὰ κάθε t I ἡ τιµὴ A(t) εἶναι πίνακας τάξης n n καὶ τὰ στοιχεῖα τοῦ πίνακα αὐτοῦ εἶναι πραγµατικὲς συναρτήσεις. Ενα διαφορικὸ γραµµικὸ σύστηµα πρώτης τάξης εἶναι ἕνα σύστηµα τῆς µορφῆς u 1(t) = a 11 (t)u 1 (t) + + a 1n (t)u n (t) + b 1 (t) u 2(t) = a 21 (t)u 1 (t) + + a 2n (t)u n (t) + b 2 (t). u n(t) = a n1 (t)u 1 (t) + + a nn (t)u n (t) + b n (t) τὸ ὁποῖο σὲ διανυσµατικὴ µορφὴ γράφεται ὡς u (t) = A(t)u(t) + b(t), (E) ὅπου u(t) := (u 1 (t), u 2 (t),, u n (t)) T, A(t) := (a ij (t)), b(t) := (b 1 (t), b 2 (t),, b n (t)) T. Εἰδικὰ τὸ σύστηµα u (t) = A(t)u(t) (E 0 ) λέγεται ὁµογενὲς γραµµικὸ σύστηµα πρώτης τάξης.

2.2. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟ 25 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2.1 Εστω I := [α, β] ἕνα διάστηµα. Αν A(t), b(t), t I εἶναι συνεχεῖς συναρτήσεις, τότε γιὰ κάθε I o καὶ x 0 R n, ὑπάρχει µοναδικὴ λύση u : I R n τοῦ συστήµατος (E), µὲ u( ) = x 0. Μάλιστα δὲ, ἰσχύει u(t) Ke L(t ), t [, β], ὅπου καὶ K := x 0 + (β α) max t I b(t) 2, L := max t I A(t) 2. Ἀπόδειξη: Ισχύει A(t)x A(t)y = A(t)(x y) A(t) 2 x y L x y, ὁπότε, µὲ ἐφαρµογὴ τοῦ Θεωρήµατος ;;, προκύπτει ἡ ὕπαρξη µιᾶς τοπικῆς λύσης, ἡ ὁποία, λόγω τοῦ Θεωρήµατος ;;, ἐπεκτείνεται σὲ ὁλόκληρο τὸ διάστηµα I. Επίσης παρατηροῦµε ὅτι u(t) = x 0 + ὁπότε γιὰ κάθε t [, β] ἔχουµε [A(s)u(s) + b(s)]ds, u(t) x 0 + A(s)u(s)+b(s) ds x 0 +L u(s) ds+(β α) max b(t) 2 t t I 0 = K + L u(s)ds K + L u(s) ds. Τὸ συµπέρασµα τοῦ ϑεωρήµατος προκύπτει ἄµεσα ἄν ἐφαρµόσουµε τὸ ἑξῆς Λῆµµα τοῦ Gronwall: ὥστε ΛΗΜΜΑ 2.2.1 Αν v, φ εἶναι συνεχεῖς µὴ ἀρνητικὲς συναρτήσεις τέτοιες τότε ἰσχύει καὶ Ἀπόδειξη: Θέτουµε v(t) K + φ(s)v(s)ds, t, t 0 v(t) Ke φ(s)ds 0. w(t) := K + καὶ ἔχουµε w( ) = K καὶ v(t) w(t). Αρα φ(s)v(s)ds, w (t) = φ(t)v(t) φ(t)w(t), δηλαδή, (w(t)e φ(s)ds ) 0,

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ὁπότε ἡ συνάρτηση t w(t)e t φ(s)ds 0 εἶναι ϕθίνουσα. Εποµένως, γιὰ κάθε t, ἰσχύει w(t)e t φ(s)ds 0 w( )e 0 t φ(s)ds 0 = K, δηλαδή, t w(t) Ke φ(s)ds 0, ἀπὸ ὅπου προκύπτει τὸ συµπέρασµα. Τὰ γραµµικὰ συστήµατα ἔχουν τὴν ἀκόλουθη ἰδιότητα : ΠΡΟΤΑΣΗ 2.2.1 Αν u 1, u 2 εἶναι δύο λύσεις τοῦ (E) καὶ c 1, c 2 εἶναι σταθε- ϱὲς, τότε ἡ συνάρτηση c 1 u 1 + c 2 u 2 εἶναι λύση τοῦ x (t) = A(t)x(t) + b 0 (t), ὅπου b 0 (t) = c 1 b 1 (t) + c 2 b 2 (t). Ἀπόδειξη: Τοῦτο ἀποδεικνύεται µὲ ἁπλῆ ἀντικατάσταση. ΠΟΡΙΣΜΑ 2.2.1 Αν u 1, u 2 εἶναι δύο λύσεις τοῦ (E 0 ) καὶ c 1, c 2 εἶναι σταθε- ϱὲς, τότε ἡ συνάρτηση c 1 u 1 + c 2 u 2 εἶναι, ἐπίσης, λύση τοῦ (E 0 ). Ἀπόδειξη: Προκύπτει ἀπὸ τὴν προηγούµενη Πρόταση, ὅταν ϑέσουµε b(t) = 0. Επίσης, τὸ ἑπόµενο συµπέρασµα προκύπτει ἀπὸ τὴν Πρόταση αὐτή. ΠΟΡΙΣΜΑ 2.2.2 Αν u 1 εἶναι µιὰ λύση τοῦ (E), τότε ἡ συνάρτηση u 2 εἶναι, ἐπίσης, λύση τοῦ (E), ἄν καὶ µόνο ἄν ἡ συνάρτηση u(t) := u 2 (t) u 1 (t) εἶναι λύση τοῦ ὁµογενοῦς συστήµατος (E 0 ). Εποµένως µποροῦµε νὰ λάβουµε ὅλες τὶς λύσεις τοῦ συστήµατος (E) ὅταν σὲ µία ὁρισµένη λύση του προσθέσουµε ὅλες τὶς λύσεις τοῦ ἀντίστοιχου ὁµογενοῦς συστήµατος. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.2.1 Ενα σύνολο u 1, u 2,, u n λύσεων τοῦ (E 0 ) ὁρισµένων σὲ ἕνα διάστηµα I ὀνοµάζεται ϐασικὸ σύνολο λύσεων, ἄν οἱ λύσεις αὐτὲς εἶναι γραµµικὰ ἀνεξάρτητες. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2.2 Υπάρχει πάντοτε ἕνα ϐασικὸ σύνολο λύσεων τοῦ συστήµατος (E 0 ). Ἀπόδειξη: Εστω ἕνα σηµεῖο τοῦ I καὶ (e 1, e 2,, e n ) µιὰ ϐάση τοῦ χώρου R n. Τότε γιὰ κάθε j = 1, 2,, n ὑπάρχει λύση u j ὁρισµένη στὸ σύνολο I καὶ τέτοια ὥστε u j ( ) = e j. Τὸ σύνολο τῶν λύσεων u j, j = 1, 2,, n εἶναι γραµµικὰ ἀνεξάρτητο. Πράγµατι, ἔστωσαν c j, j = 1, 2,, n τέτοια ὥστε n c j u j (t) = 0, t I. j=1 Η σχέση αὐτὴ ϑὰ ἰσχύει καὶ γιὰ t =. Ἀλλὰ τότε ἔχουµε 0 = n c j u j ( ) = j=1 n c j e j, ὁπότε c j = 0, j = 1, 2,, n. Τὸ γεγονὸς τοῦτο ἀποδεικνύει τὸ συµπέρασµα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ 2.2.1 Ἀπὸ τὸ προηγούµενο συµπέρασµα προκύπτει ὅτι ὁ διανυσµατικὸς χῶρος τῶν λύσεων ἔχει τὴν ἴδια διάσταση µὲ τὸν χῶρο τῶν διανυσµάτων, δηλαδὴ ἴση µὲ n. j=1

2.2. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΟ 27 ΠΟΡΙΣΜΑ 2.2.3 Αν S εἶναι ἕνα ϐασικὸ σύνολο λύσεων, τότε κάθε λύση τοῦ συστήµατος (E 0 ) γράφεται ὡς ἕνας γραµµικὸς συνδυασµὸς στοιχείων τοῦ S. Υποθέτουµε ὅτι A(t) = (a ij (t)) εἶναι συνεχὴς συνάρτηση καὶ ἔστω Φ(t) = (u ij (t)), t I ὁ n n ϐασικὸς πίνακας λύσεων, δηλαδὴ ἕνας πίνακας τοῦ ὁποίου οἱ n στῆλες ἀποτελοῦν γραµµικὰ ἀνεξάρτητες λύσεις τοῦ συστήµατος (E 0 ). Τότε, ἔχουµε d n dt u ij(t) = a ik u ki (t), t I. Τοῦτο συνεπάγεται ὅτι = d dt Φ(t) = k=1 u 11 u 12... u 1n u 21 u 22... u 2n u n1 u n2... u nn + + + u 11 u 12... u 1n u 21 u 22... u 2n u 11 u 12... u 1n u 21 u 22... u 2n u n1 u n2... u nn u n1 u n2... u nn u k1 u k2... u kn u 11 u 12... u 1n n a 1k (t) u 21 u 22... u 2n n + a 2k (t) u k1 u k2... u kn k=1 k=1 u n1 u n2... u nn u n1 u n2... u nn u 11 u 12... u 1n n + + a nk (t) u 21 u 22... u 2n. k=1 u k1 u k2... u kn = a 11 (t) Φ(t) + + a nn (t) Φ(t) = tr(a(t)) Φ(t) ὅπου tr(a) = a 11 + a 22 + a nn, εἶναι τὸ ἴχνος (trace) τοῦ πίνακα A. ἀποδείχθηκε ὁ τύπος τῶν Abel-Jacobi: ἤ, µὲ ὁλοκλήρωση d Φ(t) = tr(a(t)) Φ(t), dt t Φ(t) = Φ( ) e tr(a(s))ds 0, t I. Ετσι ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2.3 Ενας πίνακας λύσεων Φ(t) εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας λύσεων, ἄν καὶ µόνο ἄν ἰσχύει Φ(t) 0, γιὰ κάθε t I. Ἀπόδειξη: Αν Φ(t) = (u ij (t)) εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας λύσεων µὲ στῆλες τὶς λύσεις u j (t), j = 1, 2,, n, τότε γιὰ κάθε ἄλλη λύση u ὑπάρχουν c 1, c 2,, c n τέτοια ὥστε n u(t) = c j u j (t), t I. Αρα καὶ γιὰ t = ἔχουµε, ἀναλυτικὰ, n u i ( ) = c j u ij ( ), i = 1, 2,, n. j=1 j=1

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τοῦτο εἶναι ἕνα ὁµογενὲς γραµµικὸ σύστηµα µὲ (µοναδικὴ) λύση c 1, c 2,, c n. Εποµένως πρέπει νὰ ἰσχύει Φ( ) = 0, ὁπότε, ἀπὸ τὸν τύπο τῶν Abel-Jacobi, ἔχουµε Φ(t) 0, γιὰ κάθε t I. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2.4 Αν Φ(t) εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας λύσεων καὶ D ἕνας n n µὴ ἰδιάζων πίνακας, τότε ὁ πίνακας Φ(t)D εἶναι ἐπίσης ἕνας ϐασικὸς πίνακας λύσεων. Ἀπόδειξη: Ἀπὸ τὴ σχέση d ( d ) ( ) ( ) dt (Φ(t)D) = dt Φ(t) D = A(t)Φ(t) D = A(t) Φ(t)D ἕπεται ὅτι ὁ πίνακας Φ(t)D εἶναι ἕνας πίνακας λύσεων. Επειδὴ ὁ Φ εἶναι ϐασικὸς, ϑὰ ἰσχύει Φ(t) 0, ἄρα καὶ Φ(t)D = Φ(t) D 0. Συνεπῶς ὁ πίνακας Φ(t)D εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας λύσεων. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2.5 Αν Φ(t), Ψ(t) εἶναι ϐασικοὶ πίνακες λύσεων, ὑπάρχει n n µὴ ἰδιάζων πίνακας D τέτοιος ὥστε Ψ(t) = Φ(t)D. Ἀπόδειξη: Ἀπὸ τὴ σχέση Φ(t)Φ(t) 1 = I, προκύπτει ὅτι ( d ) dt Φ(t) Φ(t) 1 + Φ(t) d ) (Φ(t) 1 = 0, dt ὁπότε d ( d ) dt Φ(t) 1 = Φ(t) 1 dt Φ(t) Φ(t) 1. Τότε γιὰ τὸν πίνακα Φ(t) 1 Ψ(t) ϐρίσκουµε ὅτι ( d ( d ( d ) Ψ(t)) dt Φ(t) 1 = )Ψ(t) dt Φ(t) 1 + Φ(t) 1 dt Ψ(t) = Φ(t) 1 ( d dt Φ(t) )Φ(t) 1 Ψ(t) + Φ(t) 1 A(t)Ψ(t) ( = ) Φ(t) 1 A(t)Φ(t)Φ(t) 1 + Φ(t) 1 A(t) Ψ(t) ( = ) Φ(t) 1 A(t) + Φ(t) 1 A(t) Ψ(t) = 0. Αρα ὁ πίνακας Φ(t) 1 Ψ(t) εἶναι σταθερὸς, ἔστω D. ηλαδὴ ἔχουµε Ψ(t) = Φ(t)D. Επειδὴ Ψ(t) 0 καὶ Φ(t) 0, ἕπεται ὅτι καὶ D 0. Η ἀπόδειξη εἶναι πλήρης. Αν Φ(t) εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας λύσεων, τότε, προφανῶς, ὁ πίνακας Ψ(t) := Φ(t)Φ( ) 1 εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας. Εποµένως κάθε λύση u(t) τοῦ συστήµατος, τέτοια ὥστε u( ) = u 0, ἔχει τὴν παράσταση u(t) = Φ(t)Φ( ) 1 u 0. ( )

2.3. ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 29 ΟΡΙΣΜΟΣ 2.2.2 Η Wronskian ὁρίζουσα ἑνὸς συστήµατος λύσεων u 1 := (u 11, u 21,, u n1 ) u 2 := (u 12, u 22,, u n2 ). u n := (u 1n, u 2n,, u nn ) τῆς ἐξίσωσης (E 0 ) εἶναι ἡ ὁρίζουσα ποὺ ὁρίζεται µὲ τὸν τύπο W (t) := W (u1,u 2,,u n)(t) := u 11 (t) u 12 (t)... u 1n (t) u 21 (t) u 22 (t)... u 2n (t) u n1 (t) u n2 (t)... u nn (t) Εφαρµόζοντας τὸν τύπο τῶν Abel-Jacobi, εὔκολα, προκύπτει τὸ ἀκόλουθο συµπέρασµα : ΠΡΟΤΑΣΗ 2.2.2 Η Wronskian ὁρίζουσα W (t) ἑνὸς ϐασικοῦ πίνακα λύσεων ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση t W (t) = W ( )e tr(a(s))ds 0, t I. Εποµένως, ἄν W (t) εἶναι ἡ ὁρίζουσα ἑνὸς ϐασικοῦ πίνακα λύσεων Ψ(t) µὲ Ψ( ) = I, τότε ἰσχύει t W (t) = e tr(a(s))ds 0, t I, ἀφοῦ ἔχουµε W ( ) = I = 1.. 2.3 ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ 2.3.1 Αν Φ(t) εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας τοῦ συστήµατος (E 0 ) τότε ἡ συνάρτηση u(t) := Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds, t I εἶναι ἡ λύση τοῦ συστήµατος (E) τέτοια ὥστε u( ) = 0. Ἀπόδειξη: Υποθέτουµε ὅτι µιὰ συνάρτηση τῆς µορφῆς x(t) = Φ(t)c(t), t I εἶναι λύση. Τότε ϑὰ ἔχουµε Φ(t) c(t)+φ(t)c (t) = x (t) = A(t)x(t)+b(t) = A(t)Φ(t)c(t)+b(t) = Φ(t) c(t)+b(t), ὁπότε Αρα ἰσχύει καὶ ἑποµένως c(t) = Φ(t)c (t) = b(t). c (t) = Φ(t) 1 b(t) Φ(s) 1 b(s)ds.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ἀπὸ τὰ παραπάνω ἕπεται ὅτι ἡ λύση u τοῦ συστήµατος (E) µὲ u( ) = u 0, δίνεται ἀπὸ τὸν τύπο u(t) = y(t) + Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds, ὅπου y(t) εἶναι µιὰ λύση τοῦ ὁµογενοῦς συστήµατος, τέτοια ὥστε y( ) = u 0. Ετσι, λαµβάνοντας ὑπ ὄψη τὸν τύπο ( ) συµπεραίνουµε ὅτι ἡ λύση u τοῦ συστήµατος (E) µὲ u( ) = u 0, δίνεται ἀπὸ τὸν τύπο u(t) = Φ(t)Φ( ) 1 u 0 + Φ(t) Φ(s) 1 b(s)ds. 2.4 ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωροῦµε τὸ n n διαφορικὸ σύστηµα u (t) = Au(t). (E 1 ) Τοῦτο λέγεται αὐτόνοµο σύστηµα. πραγµατικὴ εὐθεῖα. Εδῶ τὸ πεδίο ὁρισµοῦ εἶναι ὁλόκληρη ἡ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2.4.1 Τὸ σύστηµα ẋ 1 = 5x 1 + 2x 2 + 2x 3, ẋ 2 = 2x 1 + 2x 2 + x 3, ẋ 3 = 2x 1 + x 2 + 2x 3 γράφεται στὴ µορφὴ (E 1 ), ὅπου ὁ πίνακας A εἶναι ὁ A := 5 2 2 2 2 1 2 1 2 Εστω v ἕνα n διάστατο µὴ µηδενικὸ διάνυσµα µὲ µιγαδικὲς συντεταγµένες. Ἀναζητοῦµε µιὰ λύση x τοῦ συστήµατος (E 1 ) τῆς µορφῆς x(t) = e λt v, ὅπου λ C. Τότε πρέπει νὰ ἰσχύει λe λt v = Ae λt v, δηλαδὴ (A λi)v = 0. Επειδὴ v 0, ϑὰ πρέπει νὰ ἰσχύει ὅτι A λi = 0, δηλαδή, ὁ µιγαδικὸς ἀριθµὸς λ εῖναι µιὰ ἰδιοτιµὴ τοῦ πίνακα A. Ετσι προκύπτει τὸ ἑξῆς συµπέρασµα : ΘΕΩΡΗΜΑ 2.4.1 Μιὰ συνάρτηση τῆς µορφῆς x(t) = e λt v εἶναι λύση τοῦ συστήµατος (E 1 ), ἄν καὶ µόνο ἄν ὁ λ εἶναι µιὰ ἰδιοτιµὴ τοῦ πίνακα A..

2.4. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 31 Υποθέτουµε ὅτι ὁ πίνακας A ἔχει n ἰδιοδιανύσµατα v 1, v 2,, v n, ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὶς (διαφορετικὲς) ἰδιοτιµὲς λ 1, λ 2,, λ n. Εἶναι εὔκολο νὰ δοῦµε ὅτι οἱ συναρτήσεις u 1 (t) = e λ 1(t ) v 1, u 2 (t) = e λ 2(t ) v 2,. u n (t) = e λn(t ) v n ὁρίζουν ἕνα ϐασικὸ σύστηµα λύσεων τοῦ συστήµατος (E 1 ). Πράγµατι, ἔστω x 0 C n, σταθερό. Επειδὴ, ὡς γνωστὸ, τὰ διανύσµατα v 1, v 2,, v n ἀποτελοῦν ϐάση τοῦ χώρου C n, ὑπάρχουν µιγαδικοὶ ἀριθµοὶ c 1, c 2,, c n τέτοιοι ὥστε x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n. Τότε ἡ λύση x τοῦ συστήµατος µὲ x( ) = x 0, δίνεται ἀπὸ τὸν τύπο x(t) = c 1 e λ 1(t ) v 1 + c 2 e λ 2(t ) v 2 + + c n e λn(t ) v n. Γενικὰ, ἄν δὲν εἶναι γνωστὲς οἱ ἰδιοτιµὲς τοῦ A, µποροῦµε νὰ ϐροῦµε τὴ γενικὴ λύση τοῦ συστήµατος (E 1 ) χρησιµοποιῶντας τὴν ἔννοια τῆς δύναµης µὲ ἐκθέτη ἕναν πίνακα C. Οπως εἶναι γνωστὸ, ὁ πίνακας-δύναµη ὁρίζεται µὲ τὸν τύπο + e C 1 = k! Ck. k=0 Τώρα παρατηροῦµε ὅτι µιὰ συνάρτηση τῆς µορφῆς x(t) = e (t )A x 0 (ποὺ ὁρίζεται γιὰ κάθε t R), ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση ( + = d ( d + dt x(t) = dt k=0 k=1 1 ) ( k! [(t t + 0)A] k x 0 = 1 ) ( (k 1)! (t t + 0) k 1 A k x 0 = A k=0 k=0 1 ) k! (t ) k A k x 0 1 ) k! (t ) k A k x 0 = Ax(t). ηλαδή, ἡ συνάρτηση x εἶναι λύση τοῦ (E 1 ). Υποθέτουµε ὅτι λ 1, λ 2,, λ n εἶναι (διαφορετικὲς) ἰδιοτιµὲς τοῦ πίνακα A. Τότε ὑπάρχει µὴ ἰδιάζων πίνακας P τέτοιος ὥστε A = P 1 λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 0 0... λ n P. Εἶναι εὔκολο νὰ δοῦµε ὅτι ἰσχύει καὶ e λ 1(t ) 0... 0 e (t t0)a = P 1 0 e λ 2(t )... 0 P. 0 0... e λn(t ) Στὴν περίπτωση ὅπου ὁ πίνακας A ἔχει ἰδιοτιµές λ 1, λ 2,, λ k µὲ πολλαπλότητα 1 καὶ ἰδιοτιµὲς λ k+j, j = 1, 2,, m µὲ πολλαπλότητες, ἀντίστοιχα,

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ s 1, s 2,, s m, ὅπου k + s 1 + s 2 + s m = n, χρησιµοποιοῦµε τὴ λεγόµενη κανονικὴ µορφὴ Jordan. ηλαδὴ ἕναν n n πίνακα J τῆς µορφῆς J 0 0 0 0 0 J 1 0 0 J j = J = 0 0 0 J m ὅπου J 0 εἶναι διαγώνιος k k πίνακας µὲ στοιχεῖα λ 1, λ 2,, λ k καὶ J j εἶναι s j s j πίνακας τῆς µορφῆς λ k+j 1 0 0 0 λ k+j 1 0 0 0 0 λ k+j ὅπου Z j εἷναι ὁ διαστάσεως s j s j πίνακας 0 1 0 0 0 0 1 0 Z j = 0 0 0 1. 0 0 0 0 Εὔκολα προκύπτει ὅτι ὅπου καὶ e (t )J j e (t )J = e (t )J 0 =, = λ k+ji sj s j + Z j, e (t )J 0 0 0 0 0 e (t )J 1 0 0 0 0 0 e (t )J m e λ 1(t ) 0 0 0 0 e λ 2(t ) 0 0 0 0 0 e λ k(t ) (t t 1 t ) 2 0 2! = e (t )λ k+j 0 1 t, (t ) s j 1 (s j 1)! (t ) s j 2 (s j 2)! 0 0 0 1 Σύµφωνα µὲ τὸ ϑεώρηµα τοῦ Jordan, ὑπάρχει ἕνας µὴ ἰδιάζων πίνακας P, τέτοιος ὥστε AP = P J. Τότε ϐρίσκουµε e (t )A = e (t )P JP 1 = P e (t )J P 1. Ετσι, ἄν ἡ κανονικὴ µορφὴ Jordan τοῦ πίνακα A εἶναι γνωστὴ, µποροῦµε νὰ ϐροῦµε τὴ λύση τοῦ συστήµατος µὲ τὴ ϐοήθεια τῶν παραπάνω ἐκφράσεων..

Κεφάλαιο 3 2- ΙΑΣΤΑΤΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωροῦµε τὸ σύστηµα x = X(x, y), y = Y (x, y), (1) ὅπου X, Y : R 2 R εἶναι συνεχεῖς συναρτήσεις. Κάθε λύση (x(t), y(t)) τοῦ (1) ὁρίζει µιὰ καµπύλη, δηλαδὴ τὴν τροχιὰ t (x(t), y(t)), t R. Γιὰ κάθε t 1 τὸ διάνυσµα (X(x(t 1 ), y(t 1 )), Y (x(t 1 ), y(t 1 )) = E(t 1 ) ἐφάπτεται τῆς καµπύλης στὸ σηµεῖο (x(t 1 ), y(t 1 )). Τὸ E(t 1 ) καθορίζει καὶ τὴ ϕορὰ τῆς καµπύλης. Στὰ δύο σχήµατα δείχνονται οἱ τροχιὲς τῶν λύσεων δύο συστηµάτων. Σχήµα 3.1: Οἱ τροχιὲς τοῦ συστήµατος x = 2x, y = y. ΟΡΙΣΜΟΣ 3.0.1 Εστω (a, b) R 2 ἕνα κρίσιµο σηµεῖο, δηλαδὴ τέτοιο ὥστε X(a, b) = 0 = Y (a, b). Τὸ σηµεῖο τοῦτο λέγεται α) εὐσταθὲς, ἄν γιὰ κάθε ɛ > 0 ὑπάρχει δ > 0 τέτοιο ὥστε κάθε λύση (x(t), y(t)) µὲ (x(0), y(0)) (a, b) < δ ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση (x(t), y(t)) (a, b) < ɛ, t 0. ϐ) ἄτρακτος, ἄν ὑπάρχει δ > 0 τέτοιο ὥστε κάθε λύση (x(t), y(t)) µὲ (x(0), y(0)) (a, b) < δ, ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση lim t + (x(t), y(t) = (a, b). 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. 2- ΙΑΣΤΑΤΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σχήµα 3.2: Οἱ τροχιὲς τοῦ συστήµατος x = 2x, y = y. Τὸ σηµεῖο (a, b) λέγεται ὁλικὸς ἄτρακτος, ἄν κάθε λύση συγκλίνει πρὸς αὐτό. γ) ἀσυµπτωτικὰ εὐσταθὲς, ἄν τοῦτο εἶναι εὐσταθὲς καὶ ἄτρακτος. δ) ἀδιάφορα εὐσταθὲς, ἄν εἶναι εὐσταθὲς, ἀλλὰ ὄχι ἄτρακτος. ε) ἀσταθὲς, ὅταν τοῦτο δὲν εἶναι εὐσταθές. στ) ἀσθενῶς ἀσταθὲς, ὅταν γιὰ κάθε ɛ > 0 ὑπάρχει λύση (x(t), y(t)) καὶ > 0 τέτοια ὥστε (x(0), y(0)) (a, b) < ɛ καὶ ɛ < (x(t), y(t)) (a, b), t >. Ἀργότερα ϑὰ δοῦµε ὅτι γιὰ γραµµικὰ αὐτόνοµα συστήµατα µιὰ ἄτρακτος εἶναι εὐσταθὲς σηµεῖο. Γενικὰ ὅµως δὲν εἶναι, ὅπως ϕαίνεται στὸ παρακάτω παράδειγµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.0.2 Στὸ σχῆµα (3,3) τὸ σηµεῖο (0,0) εἶναι ἄτρακτος ἀλλὰ ὄχι εὐσταθές. Σχήµα 3.3: Τὸ σηµεῖο (0,0) εἶναι ἄτρακτος ἀλλὰ ὄχι εὐσταθές. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.0.2 Εστω V (x, y) µιὰ συνεχῶς διαφορίσιµη πραγµατικὴ συνάρτηση. Θεωροῦµε τὸ σύστηµα x = V y (x, y), y = V x (x, y). (2)

35 Τότε κάθε τροχιὰ τοῦ συστήµατος ἱκανοποιεῖ τὴ σχέση V (x(t), y(t)) = c, t R, ὅπου c εἶναι τυχοῦσα σταθερὰ. Ἀπόδειξη: Εχουµε V t (x(t), y(t)) = V x (x(t), y(t))x (t) + V y (x(t), y(t))y (t) = V x (x(t), y(t))v y (x(t), y(t)) V y (x(t), y(t))v x (x(t), y(t)) = 0. ὅ.ἔ.δ. Τὸ σύστηµα (1) γράφεται στὴ µορφὴ (2), ὅταν ὑπάρχει V τέτοια ὥστε X = V y, Y = V x. Αν X, Y εἶναι συνεχῶς διαφορίσιµες, τότε ἰσχύει X x + Y y = V yx V xy = V xy V xy = 0. Ἀντίστροφα, ἄν ἰσχύει X x +Y y = 0, ἀναζητοῦµε V τέτοια ὥστε V y = X, V y = Y. Τότε ϐρίσκουµε ὁπότε V x (x, y) = Αρα, ϑέτοντας ἡ συνάρτηση y V (x, y) = y y 0 X(x, s)ds + W (x), y 0 X x (x, s)ds + W (x) = y = Y (x, y) + Y (x, y 0 ) + W (x). V (x, y) = ἱκανοποιεῖ τὸ σύστηµα (2). x W (x) := Y (r, y 0 )dr, x 0 y y 0 X(x, s)ds x y 0 Y y (x, s)ds + W (x) x 0 Y (r, y 0 )dr ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.0.3 Θεωροῦµε τὸ σύστηµα x = y, y = x 3 x. Εδῶ οἱ συναρτήσεις X(x, y) = y καὶ Y (x, y) = x 3 x ἱκανοποιοῦν τὴ σχέση V x + V y = 0. Αρα ὑπάρχει συνάρτηση V ποὺ ἱκανοποιεῖ τὸ σύστηµα (2). Ο τύπος (3) δίνει V (x, y) = y y 0 sds x x 0 (r 3 r)dr = 1 2 y2 1 4 x4 + 1 2 x2 c, ὅπου c = 1 2 y2 0 1 4 x4 0 + 1 2 x2 0. Ετσι οἱ τροχιὲς τῶν λύσεων κεῖνται πάνω στὶς καµπῦλες µὲ ἐξίσωση 1 2 y2 1 4 x4 + 1 2 x2 = c,

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. 2- ΙΑΣΤΑΤΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σχήµα 3.4: Τὸ σηµεῖο (0,0) εἶναι ἄτρακτος ἀλλὰ ὄχι εὐσταθές. ἤ 1 y = ± 2 (x2 1) + c 1 4. Αὐτὲς δείχνονται στὸ παρακάτω σχῆµα. Τὰ κρίσιµα σηµεῖα εἶναι τὰ (0, 0), (1, 0), ( 1, 0). Τὸ (0, 0) εἶναι ἀδιάφορα εὐσταθὲς καὶ τὰ σηµεῖα (1, 0), ( 1, 0) εἶναι ἀσταθῆ. Βλέπε σχῆµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3.0.4 Τὸ ἁπλὸ ἐκκρεµές. Η κίνηση τοῦ ἁπλοῦ ἐκκρεµοῦς περιγράφεται µὲ τὴν ἐξίσωση ὅπου ml θ(t) = mg sin(θ(t)) kl θ(t), m εἶναι ἡ µάζα τοῦ σώµατος, g εἶναι ἡ παγκόσµια σταθερὰ ἔλξης λόγω ϐαρύτητας, θ = θ(t) εἶναι ἡ γωνία ἀπόκλισης τοῦ ἐκκρεµοῦς (στὸν χρόνο t), ἡ ὁποία, προφανῶς, παίρνει τιµὲς µόνο στὸ διάστηµα ( π, π). l εἷναι τὸ µῆκος τοῦ (ἀβαροῦς) νήµατος ποὺ συγκρατεῖ τὸ σῶµα, καὶ k εἶναι µιὰ σταθερὰ τριβῆς, ἡ ὁποία ἐπιδρᾶ γιὰ καὶ ἐπιβραδύνει τὴν κίνηση.

3.1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 37 Η ἐξίσωση αὐτὴ γράφεται ὡς θ = v, v = g l sin θ. Θέτοντας X(θ, v) := v, Y (θ, v) := g l sin θ, ἔχουµε X θ + Y v = 0, ὁπότε σύµφωνα µὲ τὸν τύπο (3) ἔχουµε ὅπου V (θ, v) = v v 0 sds + θ θ 0 g l sin rdr = v2 2 g l cos θ c, c = v2 0 2 g l cos θ 0. Ετσι οἱ τροχιὲς τῶν λύσεων κεῖνται πάνω στὶς καµπῦλες τοῦ (θ, v)-ἐπιπέδου, ὅπως στὸ σχῆµα. Εδῶ τὰ σηµεῖα (kπ, 0), ὅπου k = 0, ±1, ±2, εἶναι κρίσιµα. Τὸ (0, 0) (καὶ κάθε σηµεῖο τῆς µορφῆς (2kπ, 0)) εἶναι ἀδιάφορα εὐσταθὲς σηµεῖο, ἐνῶ τὰ σηµεῖα ( π, 0) καὶ (π, 0) (καὶ κάθε σηµεῖο τῆς µορφῆς ((2k + 1)π, 0)) εἶναι ἀσθενῶς ἀσταθῆ σηµεῖα. 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωροῦµε τὸ διαφορικὸ σύστηµα x = αx + βy, y = γx + δy, ὅπου α, β, γ, δ εἶναι πραγµατικοὶ ἀριθµοί. Τοῦτο γράφεται ὡς u = Au, ὅπου ( ) x(t) u(t) = y(t) καὶ ( ) α β A = γ δ Αν A 0, τὀτε τὸ (0, 0) εἶναι τὸ µόνο κρίσιµο σηµεῖο, ἐνῶ, ἄν A = 0, τότε κάθε σηµεῖο (x, y) ποὺ ἱκανοποιεῖ τὶς σχέσεις εἶναι κρίσιµο. αx + βy = 0, γx + δy = 0,

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. 2- ΙΑΣΤΑΤΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1.1 Αν c 1 = ( c11 c 21 ) καὶ c 2 = ( c12 c 22 ) εἶναι δύο γραµµικὰ ἀνεξάρτητα ἰδιοδιανύσµατα τοῦ A ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὶς (δια- ϕορετικὲς) ἰδιοτιµὲς λ 1, λ 2, τότε ὁ πίνακας ( ) e λ 1 Φ(t) = t c 11 e λ2t c 12 e λ1t c 21 e λ2t c 22 εἶναι ἕνας ϐασικὸς πίνακας. Ἀπόδειξη : Τοῦτο προκύπτει ἀπὸ τὸ Θεώρηµα ;;. ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1.2 Υποθέτουµε ὅτι c = c R + ic I = ( ) cr1 + ic I1 c R2 + ic I2 εἶναι ἕνα µιγαδικὸ ἰδιοδιάνυσµα τοῦ A ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴ µιγαδικὴ ἰδιοτιµὴ λ = λ R + iλ I, ὅπου λ I 0. Τότε ὁ πίνακας ( ) Φ(t) = e λ Rt B11 B 12, B 21 B 22 ὅπου B 11 := c R1 cos(λ I t) c I1 sin(λ I t) B 12 := c R1 cos(λ I t) + c I1 sin(λ I t) B 21 := c R2 cos(λ I t) c I2 sin(λ I t) B 22 := c R2 cos(λ I t) + c I2 sin(λ I t), ἀποτελεῖ ἕναν ϐασικὸ πίνακα λύσεων τοῦ συστήµατος. Ἀπόδειξη: Ἀπὸ τὴ σχέση ϐρίσκουµε d [ ] e (λ R+iλ I )t (c R + ic I ) = d dt dt eλt c = A(e λt c = A(e (λ R+iλ I )t (c R + ic I )), d [ ( )] [ ( )] e λ Rt c R cos(λ I t) c I sin(λ I t) = A e λ Rt c R cos(λ I t) c I sin(λ I t), dt καὶ d [ ( )] [ ( )] e λ Rt c I cos(λ I t) + c R sin(λ I t) = A e λ Rt c I cos(λ I t) + c R sin(λ I t). dt Αρα οἱ ποσότητες ποὺ εἶναι µέσα στὶς µεγάλες ἀγκῦλες, εἶναι λύσεις τοῦ συστήµατος. Πρέπει νὰ ἀποδείξουµε ὅτι αὐτὲς εἶναι γραµµικὰ ἀνεξάρτητες. Μάλιστα δὲ, σύµφωνα µὲ τὸ Θεώρηµα τοῦ Abel-Liouville, ἀρκεῖ νὰ ἀποδείξουµε ὅτι οἱ τιµὲς τους γιὰ t = 0 εἶναι γραµµικὰ ἀνεξάρτητα διανύσµατα. Πρὸς τοῦτο ὑποθέτουµε ὅτι ὑπάρχουν σταθεροὶ πραγµατικοὶ ἀριθµοὶ a 1, a 2, τέτοιοι ὥστε a 1 c R + a 2 c I = 0.