4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4 Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές Στο προηγούμενο κεφάαιο εισαγάγαμε την έννοια της τυχαίας μεταβητής και είδαμε ότι σε κάθε τέτοια μεταβητή, έστω Χ, αντιστοιχεί μία κατανομή Είναι η κατανομή της συνοικής πιθανότητας που έχει κατανεμηθεί στο R από τον Ω μέσω της τμ Χ Η κατανομή αυτή εκφράζεται μέσω της συνάρτησης κατανομής F ή εναακτικά μέσω της συνάρτησης πιθανότητας ή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας αν η Χ είναι διακριτή ή συνεχής τμ αντίστοιχα Δεν είναι ίγες οι περιπτώσεις όπου, τυχαίες μεταβητές που προέρχονται από τη μεέτη φαινομενικά διαφορετικών μεταξύ τους στοχαστικών μοντέων, ακοουθούν την ίδια κατανομή έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής F Υπάρχουν οιπόν ορισμένες κατανομές οι οποίες εμφανίζονται αρκετά συχνά σε ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών Σε αυτό το κεφάαιο θα μεετήσουμε τις κυριότερες και πιο εύχρηστες από αυτές τις κατανομές Ειδικές Διακριτές Κατανομές 4 Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή εμφανίζεται στις περιπτώσεις όπου η υπό εξέταση τμ Χ παίρνει πεπερασμένο πήθος τιμές πχ Χ {,,,} και όες οι πιθανότητες P είναι ισοπίθανες Πχ Αν Χ εκφράζει το αποτέεσμα της ρίψης ενός ζαριού, τότε προφανώς P,,,, και η Χ ακοουθεί την ομοιόμορφη στο {,,,} κατανομή Γενικότερα η διακριτή ομοιόμορφη κατανομή ορίζεται ως εξής: Ορισμός 4 Η κατανομή με σπ f,,,, καείται διακριτή ομοιόμορφη κατανομή στο σύνοο {α,α,,α } Σύμφωνα με την κατανομή αυτή, η συνοική πιθανότητα κατανέμεται ομοιόμορφα στα σημεία {α, α,,α } του R στο καθένα από αυτά κατανέμεται πιθανότητα /} Η συνάρτηση κατανομής της διακριτής ομοιόμορφης θα είναι f F f,,,, F - - Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 9 Η μέση τιμή της το «κέντρο βάρους» των μαζών πιθανότητας θα δίνεται από τη σχέση P, δηαδή θα είναι ίση με τον μέσο όρο των συμβ με ενώ επίσης P, και άρα V Η τεευταία ισότητα ισχύει διότι Ας υποθέσουμε τώρα ότι μία τμ Χ ακοουθεί τη διακριτή ομοιόμορφη στο {,,,} Χ {,,, } δηαδή, για,,, Η συνάρτηση κατανομής της θα είναι f F,,,, ενώ για τη μέση τιμή και τη διασπορά τώρα θα ισχύει P, και P από όπου προκύπτει 4 V 4 Η Διωνυμική κατανομή Η διωνυμική κατανομή εμφανίζεται στις περιπτώσεις όπου μεετάμε το πήθος των επιτυχιών σε μία ακοουθία ανεξάρτητων και ισόνομων δοκιμών Ειδικότερα, έστω ότι εκτεούμε όμοια και στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα πχ ρίψεις ενός νομίσματος Έστω επίσης ότι το αποτέεσμα κάθε ενός από τα αυτά πειράματα μπορεί να είναι είτε Ε: επιτυχία είτε Α: αποτυχία με πιθανότητες και q αντίστοιχα πχ είτε «κεφαή» Ε είτε «γράμματα» Α με πιθανότητες 5 και 5 αντίστοιχα Δηαδή - πείραμα : q A με πιθ με πιθ,,,, Μία πραγματοποίηση αυτού του πειράματος μπορεί να είναι η ακόουθη: AAAAΕAAA Θέτουμε Χ την τυχαία μεταβητή που εκφράζει το πήθος των επιτυχιών Ε σε αυτά τα πειράματα πχ Χ στην παραπάνω πραγματοποίηση Προφανώς, Χ {,,,}

Ας δούμε ποια είναι η κατανομή αυτής της τμ υποογίζοντας την πιθανότητα P, {,,, } Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτεείται από όες τις διατάξεις των Ε ή Α στοιχείων ανά με επανάηψη Συνεπώς, Ω {,,, : {,A}}, Ω Το ενδεχόμενο A, [Χ ] {ακριβώς επιτυχίες στις δοκιμές} θα είναι A, {ω Ω: ω} {α,α,,α Ω: ακριβώς από τα α,α,,α να είναι } Πριν αναζητήσουμε την πιθανότητα του Α, στην γενική περίπτωση, ας εξετάσουμε την απή περίπτωση που 4, Θα είναι A 4, [ ] {Ε,Ε,A,A, Ε,Α,Ε,A, Ε,Α,A,Ε, Α,Ε,Ε,A, Α,Ε,A,Ε, Α,Α,Ε,Ε} και επομένως, για 4 δοκιμές, P PA 4, PΕ,Ε,A,A PΕ,Α,Ε,A PΑ,Α,Ε,Ε Σε αυτό το σημείο είναι σημαντική η παρατήρηση ότι υπάρχει μία αντιστοίχηση μεταξύ των στοιχείων του Α 4, και του συνόου των δυνατών συνδυασμών των 4 στοιχείων {,,,4} ανά χωρίς επανάηψη ως εξής: Ε,Ε,A,A {,}, Ε,Α,Ε,A {,}, Ε,Α,A,Ε {,4}, Α,Ε,Ε,A {,}, Α,Ε,A,Ε {,4}, Α,Α,Ε,Ε {,4} πχ το Ε,Ε,Α,Α αντιστοιχεί στο συνδυασμό {,} διότι τα στοιχεία, του Ε,Ε,Α,Α είναι ε- πιτυχίες Επομένως Α 4, 4!/!4! Αυτή η παρατήρηση θα μας βοηθήσει να δούμε τι γίνεται και στην γενική περίπτωση Παρατηρούμε οιπόν γενικά ότι το πήθος των στοιχείων του ενδεχομένου A, είναι ανάογα με παραπάνω ίσο με το πήθος των συνδυασμών των στοιχείων ανά χωρίς επανάηψη Αυτό συμβαίνει διότι κάθε στοιχείο α,α,,α του A, μπορεί να ηφθεί επιέγοντας από τα το πήθος α και θέτοντάς τα ίσα με Ε ενώ τα υπόοιπα τα θέτουμε Α Κάθε τέτοια ε- πιογή αντιστοιχεί σε ένα συνδυασμό των ανά χωρίς επανάηψη Έστω τώρα ένα στοιχείο α,α,,α του A, Αυτό θα έχει πιθανότητα P,,, P στην η δοκιμή P στην -οστή δοκιμή αφού ακριβώς από τα α είναι Ε και ακριβώς είναι Α Άρα τεικά, στην γενική περίπτωση, P P,,,,, A,,, A, A, για,,,, Η κατανομή αυτή εμφανίζεται αρκετές φορές στις εφαρμογές για αυτό και έχει ιδιαίτερη ονομασία Ορισμός 4 Η κατανομή με σπ f,,,,, Αυστηρότερα, μπορούμε να πούμε ότι το σύνοο B {{ b,, b }: b {,,,, b b j } το οποίο περιέχει όους, } τους συνδυασμούς των στοιχείων ανά χωρίς επανάηψη είναι ισοπηθικό με το A διότι η απεικόνιση g: A B, έτσι ώστε g,,, { b, b,, b : b } b είναι - και επί Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7

Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7 καείται διωνυμική κατανομή με παραμέτρους >,, συμβοίζεται και με B, Στην ουσία, παραπάνω αποδείξαμε και την ακόουθη πρόταση: Πρόταση 4 Αν μία τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές σε κάθε μία από τις οποίες εμφανίζεται επιτυχία με πιθ και αποτυχία με πιθ τότε ~ B, Η διωνυμική κατανομή είναι πράγματι κατανομή f, Σf διότι είναι γνωστό ότι τύπος διωνύμου του Νεύτωνα b b, α, b R και άρα f Η συνάρτηση κατανομής της διωνυμικής κατανομής θα είναι f P F,,,, Η συνάρτηση πιθανότητας και η συνάρτηση κατανομής της διωνυμικής κατανομής δίνεται στα επόμενα σχήματα για, και, 5 5 5 5 5, f, F 5 5 4 8, f 5 5 5 5 5 5, F 5 5 5 4 8 Έστω τώρα μία τμ Χ ~ B, Η μέση τιμή της θα είναι f!!!

Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7 Έτσι αν πχ έχουμε δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας / στην κάθε μία, τότε η μέση τιμή είναι επιτυχίες Για την εύρεση της διασποράς της διωνυμικής τμ Χ χρειαζόμαστε τον υποογισμό της δεύτερης ροπής ΕΧ Επειδή όμως ο απευθείας υποογισμός της ΕΧ είναι δύσκοος, ε- ναακτικά υποογίζουμε την ΕΧΧ η οποία ονομάζεται και δεύτερη παραγοντική ροπή της τμ Χ από την οποία θα προκύψει η ΕΧ Θα είναι f!!! και επειδή προκύπτει ότι Άρα τεικά, V Για η κατανομή B, είναι γνωστή και ως κατανομή Beroull Αν Χ ~ Β, τότε Χ {,} και P και P ενώ, V Άσκηση 4 Ένας ασφαιστής ασφαίζει άτομα με την ίδια ηικία και κατάσταση υγείας Αν κάθε άτομο αυτής της κατηγορίας έχει πιθανότητα % να ζει μετά από χρόνια τότε να υποογιστεί η πιθανότητα να ζουν μετά από χρόνια α κανένας, β το πού άτομα, και γ τουάχιστον 7 άτομα Ποίος είναι ο μέσος αριθμός ατόμων που θα ζουν μετά από χρόνια; ύση Έστω Χ ο αριθμός των ατόμων από τα που ζουν μετά από χρόνια Αν θεωρήσουμε ως -δοκιμή πείραμα την καταγραφή της κατάστασης του -ατόμου μετά από χρόνια θεωρώντας ως «επιτυχία» την επιβίωση του, τότε η τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών στις αυτές ανεξάρτητες δοκιμές με πιθ επιτυχίας % και αποτυχίας 4% Δηαδή ~ B, α Η πιθανότητα να μην ζει κανένας μετά από χρόνια θα είναι 4 4 P β Η πιθανότητα να ζουν το πού άτομα θα είναι P P 7 8 9 4 7 4 45 4 4 54

γ Η πιθανότητα να ζουν τουάχιστον 7 άτομα θα είναι P 7 7 P 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 δ Είναι γνωστό ότι όταν ~ B, τότε ΕΧ Επομένως εδώ και άρα ο μέσος αριθμός ατόμων που θα ζουν μετά από χρόνια είναι 8 Άσκηση 4 Μια αεροπορική εταιρεία γνωρίζει ότι, κατά μέσο όρο, το 5% των ατόμων που κάνουν κράτηση για να ταξιδέψουν δεν εμφανίζονται Αν η εταιρεία κάνει κράτηση για 5 άτομα σε μια πτήση που γίνεται με αεροσκάφος χωρητικότητας 5 ατόμων τότε ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει διαθέσιμο κάθισμα για κάθε ένα επιβάτη που εμφανίζεται για να ταξιδέψει; ύση Έστω Χ ο αριθμός των ατόμων που θα εμφανιστούν από τα 5 Εδώ έχουμε να κάνουμε με 5 ανεξάρτητα πειράματα ή δοκιμές κάθε άτομο εμφανίζεται ή όχι ανεξάρτητα από τα υπόοιπα Κάθε πείραμα συνίσταται από την εμφάνιση η όχι του -ατόμου,,,,5 Αν ως επιτυχία θεωρήσουμε την εμφάνιση του ατόμου, η τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών στις 5 αυτές ανεξάρτητες δοκιμές με πιθ επιτυχίας 95% και αποτυχίας 5% Δηαδή ~ B5, 95 Η πιθανότητα να υπάρχει διαθέσιμο κάθισμα για κάθε ένα επιβάτη που εμφανίζεται για να ταξιδέψει είναι ίση με την πιθανότητα να εμφανιστούν το πού 5 άτομα Δηαδή, 5 5 5 P 5 Επειδή είναι αρκετά επίπονο να υποογίσουμε την πιθανότητα αυτή μέσα από το παραπάνω ά- θροισμα, χρησιμοποιούμε εναακτικά τη σχέση P 5 P > 5 5 5 5 5 5 5 5 9 7 74% Άσκηση 4 Πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει μια οικογένεια ώστε να έχει ένα τουάχιστον α- γόρι και ένα τουάχιστον κορίτσι με πιθανότητα μεγαύτερη του α 9%, β 95%, και γ 99% ύση Έστω ότι η οικογένεια έχει παιδιά και Χ ο αριθμός των αγοριών Όμοια και με τις προηγούμενες ασκήσεις, η τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές με πιθ επιτυχίας 5% επιτυχία: γέννηση αγοριού Δηαδή ~ B, 5 Η οικογένεια θα έχει ένα τουάχιστον αγόρι και ένα τουάχιστον κορίτσι με πιθανότητα P < < P P α Αν α 9 θα είναι Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7

l > < < l < l > 4 l και επομένως θα πρέπει 5 β Όμοια, αν α95 l l 95 > 5 l l και επομένως θα πρέπει γ Τέος, αν α99 l l 99 > 774 l l και επομένως θα πρέπει 8 4 Η γεωμετρική κατανομή Η γεωμετρική κατανομή εμφανίζεται σε προβήματα που έχουν σχέση με τον αριθμό των δοκιμών μέχρι την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας Πιο συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι τα α- ποτεέσματα ενός πειράματος μπορεί να είναι είτε επιτυχία Ε είτε αποτυχία Α με πιθανότητα και αντίστοιχα Το πείραμα αυτό επανααμβάνεται έτσι ώστε το αποτέεσμα κάθε πειράματος να μην εξαρτάται από το αποτέεσμα των προηγούμενων μέχρι την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας Έστω Χ το πήθος των δοκιμών πειραμάτων που χρειάστηκαν μέχρι και την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας Το ενδεχόμενο [Χ ] είναι το ενδεχόμενο «στις πρώτες δοκιμές είχαμε αποτυχία ενώ στην -οστή εμφανίστηκε επιτυχία» Συνεπώς, P PA στην η δοκιμή PA στην -οστή δοκιμήpε στην -οστή δοκιμή,,, Θα έχουμε οιπόν τον επόμενο ορισμό: Ορισμός 4 Η κατανομή με σπ f,,, καείται γεωμετρική κατανομή με παράμετρο συμβοίζεται και με Ge Παραπάνω αποδείξαμε και την ακόουθη πρόταση: Πρόταση 4 Αν μία τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των δοκιμών μέχρι και την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας σε μία ακοουθία ανεξάρτητων δοκιμών με πιθανότητα επιτυχίας τότε ~ Ge Η γεωμετρική κατανομή είναι πράγματι κατανομή f, Σ f διότι f Η συνάρτηση κατανομής της διωνυμικής κατανομής θα είναι F P f,,, Για την μέση τιμή της Χ ~ Ge θα είναι Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 74

f Παραγωγίζοντας και τα δυο μέη της γνωστής παράστασης και άρα τεικά προκύπτει ότι Όσο οιπόν η πιθανότητα επιτυχίας μικραίνει, τόσο η μέση τιμή του πήθους των δοκιμών μέχρι την εμφάνισή της μεγαώνει Για την εύρεση της διασποράς της τμ Χ~ Ge χρειαζόμαστε τον υποογισμό της δεύτερης ροπής ΕΧ Επειδή όμως ο απευθείας υποογισμός της ΕΧ είναι και εδώ δύσκοος, θα την υποογίσουμε μέσω της δεύτερης παραγοντικής ροπής ΕΧΧ Θα είναι f Παραγωγίζοντας δύο φορές την παράσταση και άρα προκύπτει ότι και επειδή προκύπτει ότι Άρα τεικά, V Η συνάρτηση πιθανότητας και η συνάρτηση κατανομής της γεωμετρικής κατανομής δίνεται στα επόμενα σχήματα για και 4 4 f F 8 4 4 4 Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 75

4 f 4 8 F 4 4 4 8 4 5 5 Τέος, αξίζει να παρατηρηθεί ότι η τμ Υ Χ εκφράζει το πήθος των αποτυχιών αντί των δοκιμών μέχρι και την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας Η τμ Υ θα έχει σπ f P Y P P f,,,, Y Παρατηρούμε ότι Υ {,, } ενώ Χ {, } Συνήθως έγεται ότι η ακοουθεί τη γεωμετρική από το κατανομή Ge, ενώ η Υ ακοουθεί τη γεωμετρική από το κατανομή Ge Θα είναι και F P Y P P Y F,,,, Y, V Y V V Άσκηση 44 Ένα πείραμα εκτεείται συνεχώς έως ότου εκτεεστεί επιτυχώς για πρώτη φορά Το κόστος εκτέεσης του πειράματος την πρώτη φορά είναι 5 χι δρχ, ενώ οι επόμενες εκτεέσεις του απαιτούν χι δρχ έκαστη Αν η πιθανότητα επιτυχούς εκτέεσης του πειράματος είναι ίση με / σταθερή σε κάθε επανάηψη του πειράματος τότε να βρεθεί το αναμενόμενο συνοικό κόστος των πειραμάτων που θα χρειαστούν Ποια η πιθανότητα να χρειαστούν περισσότερες από 8 χι δρχ ύση Έστω Χ το πήθος των πειραμάτων που θα εκτεεστούν μέχρι και την πρώτη επιτυχή ε- κτέεση Σύμφωνα με τα παραπάνω, η τμ θα ακοουθεί γεωμετρική από το κατανομή με παράμετρο / Το κόστος Υ του πειράματος θα είναι Y 5 Χ 4 χιιάδες δρχ Επομένως το αναμενόμενο κόστος ΕΥ του πειράματος θα είναι Y 4 4 4 4 55 χιιάδες δρχ Η πιθανότητα να χρειαστούν περισσότερες από 8 χι δρχ θα είναι 4 P Y > 8 P 4 > 8 P > 4 P 4 F 4 4 Άσκηση 45 Κάποιος που παίζει ρουέτα στο καζίνο του Mote Crlo ποντάρει συνέχεια στο μαύρο και η πιθανότητα να έρθει μαύρο σε κάθε γύρισμα της ρουέτας είναι ίση με ½ Ο παίκτης ξεκινάει ποντάροντας $ και κάθε φορά που χάνει διπασιάζει το ποντάρισμα στο επόμενο παιχνίδι ενώ σταματά όταν κερδίσει για πρώτη φορά Να βρεθεί το αναμενόμενο κέρδος του παίκτη και το αναμενόμενο ποσό χρημάτων που θα χρειαστεί να ποντάρει Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7

ύση Έστω Χ το πήθος των παιχνιδιών που ποντάρει ο παίκτης έως ότου κερδίσει για πρώτη φορά Στο πρώτο παιχνίδι ποντάρει $, στο δεύτερο $, στο τρίτο 4$ κοκ Το κέρδος Υ του παίκτη θα είναι Y $ στο -παιχνίδι ο παίκτης ποντάρει $ και άρα αν κερδίσει, θα έχει καθαρό κέρδος $ μείον το ποσό που έχει ποντάρει στα πρώτα παιχνίδια που είναι $ Επομένως ο παίκτης θα κερδίσει με βεβαιότητα δοάριο Άρα, αν ο παίκτης ακοουθήσει το ίδιο σύστημα φορές θα κερδίσει με βεβαιότητα δοάρια! Και τότε γιατί δεν ακοουθείται αυτό το σύστημα για να κερδίζει κανείς με βεβαιότητα; Εδώ υπάρχει μια ουσιώδης επτομέρεια Για να κερδίσει ο παίκτης αυτό το $ θα πρέπει να έχει να ποντάρει όσα θα χρήματα θα απαιτηθούν μέχρι να κερδίσει για πρώτη φορά Αν τα χρήματα του τεειώσουν πριν κερδίσει τότε φυσικά δεν μπορεί να συνεχίσει το παιχνίδι Αά πόσα κατά μέσο όρο χρήματα χρειάζεται να ποντάρει μέχρι να κερδίσει το δoάριο; Έστω Ζ το ποσό χρημάτων που θα χρειαστεί να ποντάρει Θα ισχύει ότι Z και άρα, Z f Επομένως, για να είναι κάθε φορά σε θέση ο παίκτης να συνεχίζει το παιχνίδι μέχρι τέους θα πρέπει να διαθέτει άπειρο χρηματικό ποσό! πρακτικά, να διαθέτει ποσό μεγαύτερο από αυτό που διαθέτει το καζίνο! Κάτι τέτοιο φυσικά δεν είναι δυνατό οπότε θα υπάρχουν φορές που ο παίκτης θα αναγκαστεί να σταματήσει το παιχνίδι έχοντας χάσει όα του τα χρήματα Αά ας εξετάσουμε τι γίνεται στην περίπτωση που ο παίκτης διαθέτει ποσό $, δηαδή μπορεί να ποντάρει μέχρι και φορές Σε αυτή την περίπτωση το κέρδος του παίκτη θα είναι και άρα Y αν P Το αναμενόμενο κέρδος του παίκτη θα είναι αν > Y P, P Y P > Y P Y P Y 44 Η κατανομή Posso Η κατανομή Posso ανακαύφθηκε από τον SD Posso το 87 ως προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής Η κατανομή αυτή συνήθως εμφανίζεται κατά τη μεέτη ενός πού μεγάου αριθμού από σπάνια και ανεξάρτητα μεταξύ τους ενδεχόμενα Πιο συγκεκριμένα, έστω, όπως και στην περίπτωση της διωνυμικής κατανομής, ότι εκτεούμε όμοια και στοχαστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα το καθένα από τα οποία μπορεί να καταγραφεί ως επιτυχία με πιθανότητα και αποτυχία με πιθανότητα q Ας συμβοίσουμε με Χ την τυχαία μεταβητή που εκφράζει το πήθος των επιτυχιών σε αυτά τα πειράματα Σύμφωνα με την Παράγραφο 4, η τμ Χ θα ακοουθεί διωνυμική κατανομή B, Είναι όμως αρκετά συνήθης η περίπτωση όπου το πήθος των πειραμάτων είναι αρκετά μεγάο ενώ η πιθανότητα επιτυχίας είναι πού μικρή Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 77

Για παράδειγμα, έστω ότι μία ασφαιστική εταιρία έχει ασφαισμένους και είναι η πιθανότητα ένας ασφαισμένος να ζητήσει αποζημίωση επιτυχία: απαίτηση αποζημίωσης για κάποιο α- τύχημα που είχε πχ κατά τη διάρκεια μίας συγκεκριμένης ημέρας Το πήθος Χ των αποζημιώσεων που θα κηθεί να καύψει η εταιρία κατά τη διάρκεια της συγκεκριμένης ημέρας θα ακοουθεί διωνυμική κατανομή B, Εδώ όμως, συνήθως ισχύει ότι το είναι αρκετά μεγάο ενώ το είναι αρκετά μικρό Σε ανάογες περιπτώσεις πχ πήθος εισαχθέντων σε ένα νοσοκομείο από κατοίκους, ο καθένας από τους οποίους εισάγεται με πιθ, πήθος πεατών που προσήθαν σε ένα εμπορικό κατάστημα από τα άτομα μιας περιοχής, το καθένα από τα οποία προσέρχεται με πιθ κοκ όπου,, η τμ Χ μπορεί γενικότερα να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των πραγματοποιήσεων από ένα μεγάο αριθμό «σπάνιων» ενδεχομένων Είναι συνεπώς αρκετά χρήσιμη η μεέτη της κατανομής Β, κάτω από τις συνθήκες:,, ΕΧ, Η τρίτη συνθήκη εξασφαίζει ότι ο μέσος αριθμός επιτυχιών πήθος πραγματοποιήσεων των «σπάνιων» ενδεχομένων δεν είναι ή Αν οιπόν ισοδύναμα ισχύει ότι, / τότε P! Επειδή τώρα, και!!! προκύπτει τεικά ότι! e, Επομένως, καταήγουμε στον επόμενο ορισμό Ορισμός 44 Η κατανομή με σπ e /,,,,,! f e,,,,! καείται κατανομή Posso με παράμετρο συμβοίζεται και με Po Παραπάνω αποδείξαμε και την ακόουθη πρόταση: Πρόταση 4 Αν μία τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των πραγματοποιήσεων από ένα μεγάο αριθμό «σπάνιων» ενδεχομένων ή ισοδύναμα, το πήθος των επιτυχιών σε ένα μεγάο αριθμό δοκιμών με πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή τότε προσεγγιστικά ~ Po Η κατανομή Posso είναι πράγματι κατανομή f, Σf διότι f e e e e!! Η συνάρτηση κατανομής της κατανομής Posso θα είναι Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 78

F P f e,!,,, f F 5 5 8 4 5 4 8 4 8 f F 5 8 8 4 4 5 5 5 5 5 5 5 Έστω τώρα μία τμ Χ ~ Po Η μέση τιμή της θα είναι f e e e e!! Για την εύρεση της διασποράς της τμ Χ~ Po χρειαζόμαστε τον υποογισμό της ΕΧ Είναι ευκοότερο να υποογίσουμε την ΕΧ μέσω της ΕΧΧ Θα είναι e e e e!! και επειδή προκύπτει ότι Άρα τεικά, V Άσκηση 4 Ο αριθμός των τυπογραφικών αθών σε μια σείδα ενός βιβίου ακοουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο 5 Να υποογιστεί το ποσοστό των σείδων του βιβίου που περιέχουν α ακριβώς άθη, και β το πού άθη Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 79

ύση Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των τυπογραφικών αθών σε μια σείδα ενός βιβίου μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των πραγματοποιήσεων από ένα μεγάο αριθμό «σπάνιων» ενδεχομένων η σείδα περιέχει έναν μεγάο αριθμό γραμμάτων το καθένα από τα οποία γράφεται άθος με πιθανότητα Επομένως η υπόθεση ότι Χ ~ Pο είναι αηθοφανής Αρχικά θα υποογίσουμε την πιθανότητα P Θα ισχύει ότι 5 5 P e 84! Έστω τώρα Χ,Χ,,Χ το πήθος των τυπογραφικών αθών στην η, η,, -οστή σείδα αντίστοιχα Προφανώς ~ Po5 Αν θέσουμε, αν Y,,,,, αν τότε το ποσοστό των σείδων από τις που περιέχουν ακριβώς δύο άθη θα είναι Y Y Από το νόμο των μεγάων αριθμών γνωρίζουμε ότι Y Αά Y Y P Y P Y P Y P 84 Άρα τεικά, όταν το είναι μεγάο έχουμε βιβίο με ποές σείδες, το ποσοστό Y των σείδων που περιέχουν ακριβώς δύο άθη θα είναι περίπου 8 4% Όμοια υποογίζεται και το ποσοστό των σείδων που περιέχουν το πού άθη Παρατήρηση Η πιθανότητα ως οριακή σχετική συχνότητα Με την ευκαιρία της παραπάνω ά- σκησης, αξίζει να αναφέρουμε ένα γενικότερο αποτέεσμα το οποίο είναι αρκετά σημαντικό Έ- στω Α ένα ενδεχόμενο με πιθανότητα PA που αφορά κάποιο πείραμα και έστω ότι εκτεούμε το πείραμα αυτό φορές ανεξάρτητες μεταξύ τους Θεωρούμε τις τμ Y,Y,,Y έτσι ώστε Y αν το ενδεχόμενο Α εμφανιστεί στο -πείραμα, ενώ Y αν το ενδεχόμενο Α δεν εμφανιστεί στο -πείραμα,,,, Ο μέσος αριθμός εμφανίσεων του ενδεχομένου Α σχετική συχνότητα εμφάνισης του Α σε αυτά τα πειράματα θα είναι Y Y Επικαούμενοι και πάι το νόμο των μεγάων αριθμών προκύπτει ότι Y Αά Y P Y P Y P Y P A Y Δηαδή, ο μέσος αριθμός εμφανίσεων του ενδεχομένου Α σε ένα μεγάο πήθος επαναήψεων του πειράματος θα είναι οριακά ίσος με την πιθανότητα PΑ του ενδεχομένου Α Το γεγονός αυτό, αν και συνήθως θεωρείται ανθασμένα αυτονόητο, αποτεεί συνέπεια του νόμου των μεγάων αριθμών ο οποίος με τη σειρά του βασίζεται στα αξιώματα Kolmogorov Άρα, ο κανόνας υ- ποογισμού της πιθανότητας ως οριακής σχετικής συχνότητας από τον Vo Mses β Κεφάαιο αποτεεί και αυτός όπως και ο κατά Llce ορισμός της πιθανότητας, όπως είδαμε στο ο Κεφάαιο πόρισμα των αξιωμάτων Kolmogorov Άσκηση 47 Η πιθανότητα να έχει κάποιος ατύχημα σε ένα επικίνδυνο σημείο της εθνικής οδού είναι Αν κατά τη διάρκεια του Σαββατοκύριακου διέρχονται από το σημείο αυτό αυτοκίνητα ποιά είναι η πιθανότητα να γίνουν δύο ή περισσότερα ατυχήματα; Να γίνει υποογισμός χρησιμοποιώντας α την ακριβή κατανομή, και β την προσέγγιση με την κατανομή Posso Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

ύση Έστω Χ το πήθος των ατυχημάτων στο σημείο αυτό της εθνικής οδού κατά τη διάρκεια του Σαββατοκύριακου Ας θεωρήσουμε ως πείραμα την παρατήρηση ενός αυτοκινήτου που διέρχεται από το συγκεκριμένο σημείο το Σαββατοκύριακο με δύο δυνατά αποτεέσματα: «επιτυχία» πραγματοποίηση ατυχήματος με πιθ και «αποτυχία» μη πραγματοποίηση ατυχήματος Εδώ μπορεί να θεωρηθεί ότι έχουμε τέτοια ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα διέευση αυτοκινήτων και άρα η τμ Χ εκφράζει το πήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές σε κάθε μία από τις οποίες εμφανίζεται επιτυχία με πιθ ή αποτυχία με πιθ q 9999 Από την Πρόταση 4 έπεται ότι Χ ~ Β, και άρα η πιθανότητα να γίνουν δύο ή περισσότερα ατυχήματα είναι P P < P P P 999 999 9999 9999 948 949 48 Επίσης, επειδή το είναι αρκετά μεγάο και αρκετά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η τμ Χ εκφράζει το πήθος των πραγματοποιήσεων ενός μεγάου αριθμού «σπανίων» ενδεχομένων και Πρόταση 4 προσεγγιστικά θα είναι Χ ~ Po με Άρα θα ισχύει προσεγγιστικά ότι, P P P e! e! e e 47 το οποίο είναι προσεγγιστικά ίσο με το αποτέεσμα που προέρχεται από τη χρήση της διωνυμικής 45 Η Υπεργεωμετρική κατανομή Ας δούμε ένα τυπικό παράδειγμα όπου εμφανίζεται η υπεργεωμετρική κατανομή Έστω μία κάπη η οποία περιέχει ευκές και Ν μαύρες σφαίρες Αν επιέξουμε στην τύχη σφαίρες χωρίς επανάθεση από την κάπη αυτή και συμβοίσουμε με Χ των αριθμό των ευκών σφαιρών στο δείγμα των σφαιρών, τότε β πχ ασκ θα ισχύει ότι P Πράγματι, αν αριθμήσουμε τις σφαίρες ώστε {,,,} είναι οι ευκές σφαίρες και {,,Ν} οι μαύρες, τότε το σύνοο Ω των δυνατών αποτεεσμάτων περιέχει όες τις -άδες {α,α,,α } που αποτεούνται από διαφορετικά στοιχεία του {,,,Ν} δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη ενώ πρέπει κάθε -άδα να έχει διαφορετικά στοιχεία Συνεπώς το Ω αποτεείται από όους τους συνδυασμούς των Ν ανά και άρα Ω Το ενδεχόμενο [Χ] {ακριβώς ευκές σφαίρες στο δείγμα των σφαιρών} Ω αποτεείται από όες τις -άδες του Ω με αριθμούς από το {,,,} και αριθμούς από το {,,Ν} Το πήθος των -άδων από το {,,,} είναι ίσο με το πήθος των συνδυασμών των ανά Επίσης, για κάθε μία από αυτές τις -άδες, οι υπόοιποι αριθμοί μπορούν να επιεγούν κατά Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

τρόπους Από την ποαπασιαστική αρχή, έπεται ότι το ενδεχόμενο [Χ] θα αποτεείται από στοιχεία και τεικά, [ ] P Ω Παρατηρούμε ότι η P μπορεί να πάρει θετικές τιμές όταν το είναι τέτοιο ώστε και ώστε οι συνδυασμοί στον αριθμητή να μην είναι Δηαδή το πρέπει να είναι ένας ακέραιος μεταξύ των m{,ν}, και m{,} Γενικά θα έχουμε τον επόμενο ορισμό: Ορισμός 45 Η κατανομή με σπ f, m{, },,m{, } καείται υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους, Ν,, < συμβ και με HG,Ν, Παραπάνω αποδείξαμε και την ακόουθη πρόταση: Πρόταση 44 Αν μία τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των ευκών σφαιρών ανάμεσα σε τυχαία επιεγμένες σφαίρες χωρίς επανάθεση από μία κάπη με ευκές και μαύρες τότε η τμ θα ακοουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους, Ν, Αν μία τμ ακοουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους, Ν, τότε α- ποδεικνύεται ότι και V Ν Ν Ν Παρατήρηση Αν η επιογή των σφαιρών δεν γίνεται χωρίς επανάθεση αά με επανάθεση εκέγεται η η σφαίρα, καταγράφεται το χρώμα της και επιστρέφει στην κάπη, στη συνέχεια ε- κέγεται η η σφαίρα κοκ τότε η κατανομή του αριθμού Χ των σφαιρών δεν ακοουθεί υπεργεωμετρική κατανομή Συγκεκριμένα, αν κάθε σφαίρα επιστρέφει στην κάπη μετά την εκογή της, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε τις εκογές σφαιρών σαν ανεξάρτητα και όμοια πειράματα Αν ως επιτυχία θεωρήσουμε την επιογή ευκής σφαίρας, τότε η τμ Χ μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας Pεπιογή ευκής σφαίρας /Ν και με πιθανότητα αποτυχίας /Ν Επομένως, αν η τμ Χ εκφράζει το πήθος των ευκών σφαιρών ανάμεσα σε τυχαία επιεγμένες σφαίρες με επανάθεση από μία κάπη με ευκές και μαύρες τότε η τμ θα ακοουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους και /Ν Δηαδή, P,,,,, Είναι διαισθητικά φανερό αά μπορεί να αποδειχθεί και αυστηρά ότι όταν το πήθος των σφαιρών Ν στην κάπη είναι αρκετά μεγάο, τότε η επιογή σφαιρών με σχετικά μικρό χωρίς επανάθεση είναι περίπου «ισοδύναμη» με την επιογή σφαιρών με επανάθεση Αυτό γίνεται φανερό από το γεγονός ότι, όταν το είναι αρκετά μεγάο, η επιστροφή ή όχι πχ της πρώτης Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8 σφαίρας στην κάπη εάχιστα επηρεάζει την πιθανότητα επιογής μαύρης ή ευκής σφαίρας στη δεύτερη επιογή σφαίρας κοκ Επομένως, θα ισχύει ότι για μεγάο, HG,Ν, B,/Ν Δηαδή, Η άσκηση και οι συμπηρωματικές ασκήσεις 7, 9, του πρώτου κεφααίου μπορούν αμεσότερα να υθούν παρατηρώντας ότι οι πιθανότητες που ζητούνται σε αυτές έχουν άμεση σχέση με την υπεργεωμετρική κατανομή Για παράδειγμα, ας ύσουμε ξανά την άσκηση : Άσκηση 48 Άσκηση Σε μία κήρωση Lotto τοποθετούνται στην κηρωτίδα 49 σφαίρες αριθμημένες από το έως το 49 και εκέγονται στην τύχη αριθμοί που κερδίζουν Ποια είναι η πιθανότητα να κηρωθεί μία συγκεκριμένη εξάδα που έχουμε προσημειώσει; Ποια είναι η πιθανότητα να περιέχονται α και οι αριθμοί β 5 αριθμοί γ 4 αριθμοί που κερδίζουν ανάμεσα σε αριθμούς που έχουμε προσημειώσει; ύση Η κηρωτίδα περιέχει 49 σφαίρες από τις οποίες έχουμε προσημειώσει τις Ας θεωρήσουμε αυτές τις σφαίρες ως ευκές Δηαδή και Ν49 Από την κάπη τυχαία επιέγουμε κηρώνονται σφαίρες και ζητείται η πιθανότητα να κηρωθούν και οι σφαίρες που έχουμε προσημειώσει Αν Χ είναι το πήθος των προσημειωμένων «ευκών» σφαιρών στο δείγμα μεγέθους τότε ζητείται η πιθανότητα η εκογή των σφαιρών προφανώς γίνεται χωρίς επανάθεση 49 49 49 P Όμοια με το, η κηρωτίδα περιέχει 49 σφαίρες από τις οποίες έχουμε προσημειώσει τις Ας θεωρήσουμε και πάι αυτές τις σφαίρες ως ευκές, Ν49 Από την κάπη τυχαία επιέγουμε κηρώνονται σφαίρες και ζητείται η πιθανότητα να κηρωθούν και οι, β 5, γ 4 αριθμοί από τους προσημειωμένους Αν Χ είναι και πάι το πήθος των προσημειωμένων «ευκών» σφαιρών στο δείγμα μεγέθους τότε ζητούνται οι πιθανότητες 49 49 49 P, 49 9 5 49 5 49 5 5 P,

49 9 4 4 4 P 4 49 49 Άσκηση 49 Από τους εργαζόμενους σε μία επιχείρηση, οι 4 είναι γυναίκες Έστω ότι για κάποια συγκεκριμένη εργασία επιέγονται τυχαία 5 εργαζόμενοι Να υποογιστεί η πιθανότητα όπως μεταξύ των 5 οι είναι γυναίκες Ποιος θα είναι ο αναμενόμενος αριθμός γυναικών ανάμεσα στους 5; Η παραπάνω πιθανότητα να υποογισθεί και με τη χρήση κατάηης προσέγγισης ύση Έστω Χ ο αριθμός των γυναικών ανάμεσα στους 5 τυχαία επιεγμένους Η τμ Χ μπορεί ισοδύναμα να θεωρηθεί ότι εκφράζει το πήθος των ευκών σφαιρών ανάμεσα σε 5 τυχαία επιεγμένες σφαίρες χωρίς επανάθεση από μία κάπη με 4 ευκές και μαύρες σφαίρες Από την Πρόταση 44, η τμ θα ακοουθεί υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους 4, Ν, 5 Ζητείται η πιθανότητα P 4 4 4 5 5 5 4 9 59 58 5! 78 4 545!! 99 98 97 9 75875 Ο αναμενόμενος αριθμός γυναικών ανάμεσα στους 5 τυχαία επιεγμένους θα είναι 4 5 Ν Τέος, σύμφωνα με παραπάνω παρατήρηση, μπορούμε να προσεγγίσουμε την HG,Ν, με την B,/Ν το Ν είναι σχετικά μεγάο σε σχέση με το 5 Ειδικότερα, θα ισχύει προσεγγιστικά ότι P 5 4 4 5 4 45 Ειδικές Συνεχείς Κατανομές 4 Η ομοιόμορφη συνεχής κατανομή Η ομοιόμορφη συνεχής κατανομή εμφανίζεται σε περιπτώσεις όπου η υπό εξέταση τμ Χ παίρνει τιμές σε ένα διάστημα [, b] R ενώ πιθανότητες της μορφής P [, ] είναι ανάογες του μήκους του διαστήματος [, ] < b Ορισμός 4 Η συνεχής κατανομή με σππ f, [, b] b f, [, b] καείται συνεχής ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [,b] Η συνάρτηση κατανομής της συνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 84

F f t dt dt, [, b] b b ενώ F αν <, F αν > b f F /b b b Σύμφωνα με αυτή την κατανομή, η συνοική πιθανότητα έχει «απωθεί» σε όο το διάστημα [, b] με ομοιόμορφο τρόπο βέπουμε ότι η πυκνότητα της πιθανότητας είναι σταθερή σε όο το [, b] Η μέση τιμή και διασπορά της συνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι f d b d b b b b b b Όπως οιπόν αναμενόταν το «κέντρο βάρους» της κατανομής αυτής είναι το μέσο του διαστήματος [α,b] Για τη διασπορά θα είναι b b b b f d d b b b και άρα b b b b b V 4 Άσκηση 4 Ένας αριθμός εκέγεται τυχαία από το διάστημα [,] Να υποογιστούν οι πιθανότητες α το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του αριθμού να είναι το ή το 5, και β Αν γνωρίζουμε ότι Χ > 5, ποια είναι η πιθανότητα τεικά να είναι Χ < ; ύση Η συνάρτηση κατανομής της Χ θα είναι F, [,] ενώ F αν <, F αν > α Στην ουσία ζητείται η πιθανότητα P < ή 5 < P[ < ]![5 < ] Πρόκειται για την πιθανότητα μιας ένωσης δύο ξένων ενδεχομένων Επομένως, β Θα είναι P < P5 < F F F F5 5 Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 85

P5 < < F F5 5 P < > 5 P > 5 F5 5 Άσκηση 4 Κάθε 4 επτά αναχωρεί τρένο από Αθήνα για Χακίδα Κάποιος που δεν γνωρίζει την ώρα που αναχωρεί το τρένο εισέρχεται στο σταθμό για να ταξιδέψει με αυτό Να υποογιστεί ο μέσος χρόνος που χρειάζεται να περιμένει έως ότου αναχωρήσει το τρένο Αν περιμένει ήδη επτά χωρίς να έχει αναχωρήσει τρένο, ποια είναι η πιθανότητα να περιμένει ακόμη περισσότερα από επτά; ύση Έστω Χ ο χρόνος μεταξύ της άφιξης του ταξιδιώτη Α και της επόμενης αναχώρησης τρένου Η Χ είναι συνεχής τμ με τιμές στο διάστημα [ m, 4 m] Ο ταξιδιώτης Α εισέρχεται στο σταθμό σε τυχαίο χρόνο και άρα η πιθανότητα άφιξης του ταξιδιώτη σε κάθε απειροστό διάστημα χρόνου μεταξύ των δύο αναχωρήσεων τρένου είναι η ίδια πχ η πιθανότητα άφιξης του Α σε οποιοδήποτε δευτερόεπτο μεταξύ δύο αναχωρήσεων είναι η ίδια Συνεπώς, η τμ Χ θα ακοουθεί την ομοιόμορφη στο [, 4] κατανομή και άρα ο μέσος χρόνος αναμονής έως ότου αναχωρήσει το τρένο θα είναι 4 m Αν ο Α περιμένει ήδη επτά χωρίς να έχει αναχωρήσει τρένο, η πιθανότητα να περιμένει ακόμη περισσότερα από επτά θα είναι P >, > P > / 4 P > > 5 5% P > P > / 4 47 Η εκθετική κατανομή Η εκθετική κατανομή εμφανίζεται συνήθως σε περιπτώσεις όπου μεετάμε το χρόνο αναμονής μέχρι την πραγματοποίηση ενός γεγονότος Ας δούμε πως εμφανίζεται αυτή η κατανομή μέσα από ένα παράδειγμα Έστω ότι, μία ακοουθία από γεγονότα πραγματοποιούνται σε τυχαίες στιγμές στο χρόνο και ανεξάρτητα το ένα από το άο πχ αφίξεις πεατών σε ένα κατάστημα Ειδικότερα, υποθέτουμε ότι σε κάθε πού μικρό χρονικό διάστημα μήκους h, η πραγματοποίηση ενός γεγονότος συμβαίνει με πιθανότητα περίπου h ενώ είναι ανεξάρτητη από το τι έχει συμβεί στα υπόοιπα διαστήματα πχ έχουμε σταθερό «ρυθμό» άφιξης πεατών, δηαδή η πιθανότητα άφιξης ενός πεάτη κατά τη διάρκεια οποιουδήποτε δευτεροέπτου είναι σταθερή και ίση πχ με ενώ επίσης οι πεάτες προσέρχονται ανεξάρτητα ο ένας από τον άον Έστω Υ ο χρόνος αναμονής μέχρι την εμφάνιση του πρώτου γεγονότος πχ του πρώτου πεάτη Σχηματικά: Y h στιγμές πραγματοποίησης γεγονότων Το παραπάνω μοντέο είναι αρκετά σύνηθες στις εφαρμογές και συνεπώς είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε, κάτω από τις παραπάνω συνθήκες, την κατανομή του χρόνου αναμονής Έστω οιπόν ότι αναζητούμε την PY t, t > Χωρίζοντας το χρονικό διάστημα,t] σε μικρά διαστήματα μήκους t/ το καθένα παρατηρούμε ότι PY > t Pσε κανένα από τα διαστήματα δεν συνέβη το γεγονός Pδεν συνέβη στο ο διάστημα Pδεν συνέβη στο -οστό διάστημα Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

t t t Αν χωρίσουμε το διάστημα σε πάρα ποά απειροστά διαστήματα δη, τότε προκύπτει τεικά ότι P Y > t lm και επομένως η συνάρτηση κατανομής και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου Y α- ναμονής μέχρι την εμφάνιση του πρώτου γεγονότος πχ πεάτη θα είναι F P Y > e, > f Y, Y Y, Επομένως, καταήγουμε στον επόμενο ορισμό Ορισμός 47 Η συνεχής κατανομή με σππ f e, t d F d e t > f, < καείται εκθετική κατανομή με παράμετρο d d Η συνάρτηση κατανομής της εκθετικής κατανομής θα είναι F f t dt e t t e dt e e, ενώ F αν < Η μέση τιμή και διασπορά της εκθετικής κατανομής από τις ασκήσεις 7, 9γ θα είναι f και V F e > Άσκηση 4 Ο χρόνος ζωής σε ώρες μιας ηεκτρικής συσκευής ακοουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο > Η εταιρεία πουάει τη συσκευή με καθαρό κέρδος δρχ και δίνει στους πεάτες της εγγύηση α ωρών ειτουργίας Σε περίπτωση που η συσκευή παρουσιάσει βάβη πριν τη ήξη της εγγύησης, επισκευάζεται δωρεάν από την εταιρεία η οποία και επιβαρύνεται με κόστος επισκευής δρχ Αν Υ είναι το κέρδος της εταιρείας ανά συσκευή, να υποογιστεί η σπ της Υ και να δειχθεί ότι το μέσο κέρδος δίνεται από τον τύπο Y e α Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 87

Εφαρμογή Έστω ότι / 5, δρχ, δρχ Αν η εταιρεία θέει να έχει μέσο κέρδος 5 δρχ ανά συσκευή, ποιος είναι ο χρόνος εγγύησης που θα πρέπει να δίνει στους αγοραστές της συσκευής; ύση Έστω Χ ο χρόνος ζωής της ηεκτρικής συσκευής Το κέρδος της εταιρείας ανά συσκευή θα είναι, > Y, και επομένως η Υ είναι μία διακριτή τμ που παίρνει δύο τιμές,, Η συνάρτηση πιθανότητας της τμ Y θα είναι και P Y P > F e, Y P Y P Y e P Y P F e e e Αν α ο χρόνος εγγύησης που θα πρέπει η εταιρία να δίνει στους αγοραστές της συσκευής, θα πρέπει Y e όπου c5 και άρα ισοδύναμα, l 5l 4574 444 ημέρες c 5 c Άσκηση 4 Ας υποθέσουμε ότι η διάρκεια σε επτά των υπεραστικών τηεφωνικών συνδιαέξεων ακοουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή επτά Να βρεθούν οι πιθανότητες η διάρκεια μιας υπεραστικής συνδιάεξης α να υπερβεί τα επτά, β να είναι μεταξύ 4 και επτών γ να είναι μικρότερη από 4 επτά, και δ να είναι μικρότερη από επτά δεδομένου ότι ήταν μεγαύτερη από 4 επτά ύση Αν Χ είναι η διάρκεια σε επτά των υπεραστικών τηεφωνικών συνδιαέξεων τότε από την εκφώνηση θα ισχύει ότι και άρα, F P e e, / α Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια μιας υπεραστικής συνδιάεξης να υπερβεί τα επτά είναι Αντίστοιχα, / P > F e 498 β 4 4 / 4 / 4 / P < < F F e e e e / 855, γ P < F e 4 / 84, 4 / / P4 < < F F 4 e e γ P < > 4 4 / P > 4 F 4 e Περισσότερες και σημαντικότερες συνεχείς κατανομές θα μεετηθούν στα παίσια του μαθήματος Στατιστική ΙΙΙ Boutss MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 88