ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους τους δακτύλιους µε την ιδιότητα αυτή. Η κλάση των δακτυλίων αυτών (ηµιαπλοί δακτύλιοι) παίζει σηµαντικότατο ρόλο στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασµένων οµάδων, πράγµα που θα δούµε στο κεφάλαιο 7. Το κύριο θεώρηµα του παρόντος κεφαλαίου είναι αυτό του Wedderbur που χαρακτηρίζει τους ηµιαπλούς δακτύλιους. 2.. Θεώρηµα του Wedderbur Ένα -πρότυπο λέγεται ηµιαπλό αν είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Ο λέγεται ηµιαπλός δακτύλιος αν είναι ηµιαπλό ως -πρότυπο. 2.. Παραδείγµατα. Κάθε D-πρότυπο είναι ηµιαπλό, όπου D είναι δακτύλιος διαίρεσης (Θεώρηµα.5.). Ειδικά κάθε k-διανυσµατικός χώρος (πεπερασµένης ή άπειρης διάστασης) είναι ηµιαπλό k-πρότυπο. 2. Για κάθε πρώτο αριθµό, το Z -πρότυπο Z είναι απλό και άρα ηµιαπλό. Επίσης και το Z... Z είναι ηµιαπλό. 3. Έστω q δυο πρώτοι αριθµοί. Τότε το Z -πρότυπο Z q είναι ηµιαπλό αφού έχουµε έναν ισοµορφισµό Z -προτύπων Zq Z Z q. 4. Έστω ένας πρώτος αριθµός. Το Z -πρότυπο Z 2 δεν είναι ηµιαπλό. Πράγµατι, αν ήταν ηµιαπλό θα είχαµε έναν ισοµορφισµό Z -προτύπων της µορφής Z 2, όπου κάθε είναι απλό Z -πρότυπο. Τότε κάθε I ήταν ισόµορφο µε απλό Z - υποπρότυπο του Z 2 θα, δηλαδή θα ήταν ισόµορφο µε το Z (από την ταξινόµηση υποοµάδων πεπερασµένης κυκλικής οµάδας). Τότε Z 2 Z που είναι άτοπο. I 5. Το Z -πρότυπο Z είναι ηµιαπλό αν και µόνο αν το δεν διαιρείται µε το τετράγωνο ακεραίου > (γιατί;)

26 6. Αν και S είναι ηµιαπλοί δακτύλιοι τότε και ο S είναι ηµιαπλός. Πράγµατι, γράφοντας S = S, όπου τα και =, I J S είναι απλά ιδεώδη των και S αντίστοιχα, βλέπουµε ότι τα απλά ιδεώδη = { 0}, S = {0} S του S έχουν την ιδιότητα S = S. I J όπου Μια οικογένεια { } υποπροτύπων του Μ θα λέγεται ανεξάρτητη αν I m = 0 κάθε m = 0, m είναι όλα σχεδόν µηδέν. Τότε ορίζεται το εσωτερικό ευθύ άθροισµα σύµφωνα µε την Πρόταση.2. και ισχύει =. I I 2..2 Πρόταση. ) Κάθε πρότυπο που παράγεται από απλά πρότυπα είναι ηµιαπλό. ) Έστω 0 L N 0 µια ακριβής ακολουθία -προτύπων, όπου το Μ είναι ηµιαπλό. Τότε τα L, N είναι ηµιαπλά -πρότυπα και επιπλέον η ακολουθία διασπάται. Απόδειξη: ) Έστω =, όπου τα είναι απλά υποπρότυπα του Μ. Θα I δείξουµε ότι =, για κάποιο J I. Με τη βοήθεια του λήµµατος του Zor, J εύκολα επαληθεύεται ότι το σύνολο { J I { } J είναι ανεξάρτητο} έχει µέγιστο στοιχείο, έστω J. Ισχύει =. Πράγµατι, J J. Για την άλλη σχέση, θεωρούµε ένα τυχαίο γιατί το Συνεπώς και παρατηρούµε ότι = 0 ή, J είναι απλό. Η πρώτη περίπτωση δεν ισχύει λόγω του µεγίστου του J. για κάθε = J I. Άρα για κάθε και. J J

27 ) Έστω g: N ο επιµορφισµός της δοθείσας ακριβούς ακολουθίας. Γράφουµε, όπου κάθε I είναι απλό, και παρατηρούµε ότι g ( ) = 0 ή g( ). Άρα η εικόνα g ( ) = N παράγεται από κάποια απλά πρότυπα, οπότε λόγω του ) είναι ηµιαπλό πρότυπο. Το ίδιο ισχύει και για τον πυρήνα Kerg = L, δηλαδή το ker g για κάποιο J I. Τέλος, ο ker g είναι ευθύς προσθετέος J του Μ και συνεπώς η ακριβής ακολουθία διασπάται (Πρόταση.2.4). Σηµειώνουµε ότι, σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση, κάθε υποπρότυπο και κάθε πηλίκο ηµιαπλού προτύπου είναι ηµιαπλό πρότυπο. Τονίζουµε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του πρώτου ισχυρισµού της Πρότασης 2..2 ). Για παράδειγµα, αν είναι πρώτος, το Z -πρότυπο Z 2 δεν είναι ηµιαπλό ενώ το Z είναι ηµιαπλό και έχουµε την ακριβή ακολουθία 0 Z Z Z 0. 2 2..3 Θεώρηµα Weddebur. Για κάθε δακτύλιο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναµες. ) είναι ηµιαπλός 2) κάθε -πρότυπο είναι ηµιαπλό 3) κάθε ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 -προτύπων διασπάται 4) κάθε -πρότυπο είναι προβολικό 5) κάθε -πρότυπο είναι εµφυτευτικό 6) ως δακτύλιοι ( D )... ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Απόδειξη. ) 2). Από την υπόθεση και την Πρόταση.3. ) κάθε ελεύθερο -πρότυπο είναι ηµιαπλό. Από την Πρόταση.3. ) προκύπτει ότι κάθε -πρότυπο είναι ηµιαπλό. 2) 3). Επειδή το Β είναι ηµιαπλό, η ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 διασπάται σύµφωνα µε την Πρόταση 2.. ). 3) ). Παρατήρηση: Με την υπόθεση 3) ισχύει ότι κάθε ιδεώδες I 0 του περιέχει ένα

28 απλό ιδεώδες. Απόδειξη: Έστω a I, a 0. Έστω ότι το κύριο ιδεώδες (a) δεν είναι απλό. Τότε υπάρχει ιδεώδες J µε 0 J ( a). Χρησιµοποιώντας το λήµµα του Zor, συµπεραίνουµε ότι υπάρχει µέγιστο τέτοιο J. (Η απόδειξη είναι πανοµοιότυπη µε αυτή της Πρότασης.4.2 µε την παρατήρηση ότι το ρόλο του παίζει εδώ το α). Η ακριβής ακολουθία -προτύπων 0 J ( a) ( a) / J 0 διασπάται σύµφωνα µε την υπόθεση. Έτσι το ( a ) / J είναι ισόµορφο ως -πρότυπο µε ιδεώδες του, που είναι απλό λόγω του µεγίστου του J. Επιστρέφουµε τώρα στην απόδειξη 3) ). Έστω Ι το ιδεώδες που παράγεται απ όλα τα απλά ιδεώδη του. Είναι I 0 λόγω της παρατήρησης. Από την ακριβή ακολουθία και την υπόθεση παίρνουµε ότι το 0 I / I 0 / I είναι ισόµορφο µε ιδεώδες J του. Ισχύει I J = 0, γιατί η προηγούµενη ακολουθία διασπάται. Αν J 0, η παρατήρηση µας πληροφορεί ότι το J περιέχει απλό ιδεώδες και κατά συνέπεια ο ορισµός του I δίνει I J 0, άτοπο. Άρα / I = 0, δηλαδή = I. Από τον ορισµό του Ι και την Πρόταση 2..2 ) παίρνουµε ότι το είναι ηµιαπλός. ( 3) (4) (5) Έπεται αµέσως από την Πρόταση.3.3 ) και τον ορισµό στη Σηµείωση.3.6. ( ) (6) Ξεκινάµε µε τρεις απλές παρατηρήσεις. α) Υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων Ed ( ), r f r, όπου f r ( a) = ar (πολλαπλασιασµός από δεξιά), a, r.(άσκηση.3). β) Έστω Μ ένα -πρότυπο. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων o Ed ( ) ( Ed ( )). Πράγµατι, αν g Ed ( ) θέτουµε g Ed ( ), g : ε...... g π όπου ε ( m) = (0,..., m,...,0) είναι η εµφύτευση στη συνιστώσα και π ( m,..., m ) = m είναι η προβολή στην συνιστώσα. Ορίζεται έτσι οµοµορφισµός

29 δακτυλίων Φ : Ed ( ) ( Ed ( )), ( g) ( g ). Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουµε οµοµορφισµό δακτυλίων Ψ : ( Ed ( )) Ed ( ), ( f ) f όπου, f ( m,..., m ) = fk ( mk ),..., f k ( mk ). (Συµβολικά, f ( m,..., m ) k k m = ( f ) πολλαπλασιασµός πινάκων). Είναι θέµα ρουτίνας να επαληθεύσουµε m ότι οι συνθέσεις Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις. γ) Έστω Μ, Ν δυο -πρότυπα µε Hom (, N) = Hom ( N, ) = 0. Τότε υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων Ed ( N) Ed ( ) Ed ( N). Πράγµατι, λόγω της Πρότασης.2.2 και της υπόθεσης στα, Ν υπάρχει ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων Ed ( N) Ed ( ) Ed ( N). Αυτός ο συγκεκριµένος ισοµορφισµός (δες την απόδειξη της Πρότασης.2.2) εύκολα επαληθεύεται ότι είναι ισοµορφισµός δακτυλίων. Επιστρέφουµε τώρα στην απόδειξη ( ) (6). Έστω =, όπου τα είναι απλά ιδεώδη. Επειδή το είναι πεπερασµένα παραγόµενο -πρότυπο το ίδιο συµβαίνει για το. Άρα µόνο πεπερασµένου πλήθους συνιστώσες του I I είναι µη-µηδενικές, δηλαδή το Ι είναι πεπερασµένο. Μπορούµε έτσι να γράψουµε = I όπου. Έχουµε τώρα διαδοχικά ισοµορφισµούς δακτυλίων o ( ) o o ( Ed ( )) (παρατήρηση α) o = Ed = o = ( Ed ) (γιατί Hom (, ) = 0 αν. Παρατήρηση γ) = o o o o ( Ed ( ) ) ( S) S ) =

30 = o ( ( Ed( ) )). (παρατήρηση β και άσκηση.3.3 )). Από το λήµµα του Schur (Λήµµα..7), κάθε Ed ) είναι δακτύλιος διαίρεσης ( και συνεπώς κάθε o D := Ed ( ) είναι δακτύλιος διαίρεσης. Έχουµε ( D ). = ( 6) () Λόγω του Παραδείγµατος 2.. 6), για να δείξουµε ότι ( 6) () αρκεί να δείξουµε ότι: D δακτύλιος διαίρεσης (D) ηµιαπλός δακτύλιος. Έστω µορφής I το (αριστερό) ιδεώδες του (D) που αποτελείται από πίνακες της k όπου τα ότι κάθε 0 a 0 a 0 0 a υπάρχουν στην k στήλη. Προφανώς I k είναι απλό. Έστω ( D) = I... I. Θα δείξουµε α (α ) = I k, α 0, και β I k. Με E συµβολίζουµε τον πίνακα που έχει µηδέν παντού εκτός από τη θέση (, ), όπου το στοιχείο είναι. Αφού α 0 υπάρχει 0 µε α k 0. Αν γράψουµε β = β E k, τότε εύκολα ελέγχουµε µε πράξεις πινάκων ότι Άρα το β = β α 0k E 0 0 α. I k παράγεται σαν ιδεώδες από το τυχαίο µη µηδενικό στοιχείο του. Η απόδειξη είναι πλήρης. Σηµειώνουµε ότι η συνθήκη 6) στο Θεώρηµα του Wedderbur είναι ιδιαίτερα σηµαντική καθώς µας παρέχει πληροφορίες για τη δοµή του δακτυλίου. 2..4 Παρατήρηση. Στην προηγούµενη απόδειξη, είδαµε ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος έχει πεπερασµένο πλήθος απλά ιδεώδη και επιπλέον είναι το ευθύ άθροισµά τους. 2.2 Εφαρµογή: Θεώρηµα του achke.

3 Το επόµενο αποτέλεσµα µας πληροφορεί πότε ο δακτύλιος k [G] µιας πεπερασµένης οµάδας G (όπου k είναι σώµα) είναι ηµιαπλός, πράγµα που θα χρησιµοποιηθεί στο κεφάλαιο 7 (αναπαραστάσεις πεπερασµένων οµάδων). 2.2. Θεώρηµα (achke). Έστω G µια πεπερασµένη οµάδα τάξης και k σώµα χαρακτηριστικής. Αν = 0 ή αν > 0 και το δεν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] είναι ηµιαπλός. Αντίστροφα, αν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] δεν είναι ηµιαπλός. Απόδειξη: " " Έστω α 0 A B C 0 µια ακριβής ακολουθία k[g]-προτύπων. Θα δείξουµε ότι διασπάται (Θεώρηµα 2..3 3)). Θεωρώντας την (*) ως ακολουθία k-διανυσµατικών χώρων αυτή διασπάται (Πρόταση.3.2). Έτσι υπάρχει k-γραµµική απεικόνιση β (*) β : C B µε την ιδιότητα β β =. Από την β κατασκευάζουµε έναν οµοµορφισµό k[g] - C προτύπων β : C B, β( c) = gβ ( g c). Παρατηρούµε εδώ ότι στο k έχουµε 0 λόγω της υπόθεσης στο. Η απεικόνιση β είναι πράγµατι οµοµορφισµός k[g]-προτύπων, γιατί αν β ( hc) = gβ ( g hc) = h h gβ ( g hc) h G τότε = h g β (( g ) c) g G = h( β( c)). (γιατί καθώς το g διατρέχει τη G, το h g = g διατρέχει τη G). ηλαδή β ( hc) = hβ( c) για κάθε h G και c G. Επειδή η β είναι προφανώς προσθετική προκύπτει ότι η β είναι οµοµορφισµός k[g]-προτύπων. Τέλος έχουµε Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουµε την απεικόνιση β, που είναι µόνο οµοµορφισµός k προτύπων, µε άλλη που είναι οµοµορφισµός kg [ ]- προτύπων. Αυτό επιτυγχάνεται λαµβάνοντας το µέσο όρο της β υπεράνω της οµάδας G.

32 β β =, γιατί αν c k[ G] τότε β β( c) = β( gβ ( g c)) = = g( ββ ( g gc ( g c) c)) (γιατί β είναι οµοµορφισµός k[g]-προτύπων) = ( c) = c. " " Έστω τώρα ότι το > 0 διαιρεί το. Θεωρούµε το k ως k[g]-πρότυπο, rg g v= rg v για κάθε v k. Θα δείξουµε ότι ακριβής ακολουθία 0 ker ε k[ G] k 0 δεν διασπάται, όπου ε : k[ G] k είναι ο οµοµορφισµός k[g]-προτύπων ε g r g = r g ε. Έστω για άτοπο ότι υπάρχει οµοµορφισµός k[g]-προτύπων ε : k kg µε εε = k και έστω ε ( ) = r g g. Τότε για κάθε h G ισχύει ε ( ) = ε ( h ) = hε () = h r g g. Άρα r g = h r g για κάθε h G. g g Συνεπώς = για κάθε g, g G (γιατί;). Άρα υπάρχει r k µε ε ( ) = r g. r g rg Όµως τότε εε ( ) = rε g = r = 0, που είναι άτοπο γιατί εε = k. 2.3. Παρατηρήσεις στο Θεώρηµα του Wedderbur Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος. Θα ασχοληθούµε εδώ µε τα εξής ερωτήµατα. Από το θεώρηµα του Wedderbur έχουµε ( D )... ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Είναι οι αριθµοί,...,, µονοσήµαντα ορισµένοι; (Θα δούµε ότι η απάντηση είναι ναι). Πόσα ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα έχει ο ;

33 Ένας δακτύλιος 0 λέγεται απλός αν δεν έχει αµφίπλευρα ιδεώδη 0,. Σηµειώνουµε ότι, αν είναι απλός, τότε δεν έπεται αναγκαστικά ότι είναι απλό - πρότυπο. Αν όµως είναι απλό -πρότυπο, τότε είναι απλός δακτύλιος. Για παράδειγµα κάθε δακτύλιος διαίρεσης είναι απλός. Πιο γενικά έχουµε: 2.3. Λήµµα. Ο (D) είναι απλός όταν ο D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Απόδειξη: Έστω I 0 αµφίπλευρο ιδεώδες του. Θα δείξουµε ότι I =. Έστω α = ( α ) I µε α 0. Τότε α 0 για κάποιους δείκτες k,. Για τους στοιχειώδεις πίνακες E ισχύει ke 0, αν E E q = (*) Eq, αν =. Γράφοντας α = α E, παίρνουµε από την προηγούµενη σχέση Άρα το Ι περιέχει το προκύπτει ότι E kαe k = α ( E k E ) E k = αk E E k = αk E k., αk E k και συνεπώς το E k = αk ( αk E k ). Από την (*) E I για κάθε,. Άρα I =. 2.3.2 Λήµµα. Έστω =... m και =... όπου οι και απλοί δακτύλιοι. Τότε είναι m = και (µετά από κάποια αρίθµηση) =,..., m = m. Απόδειξη: Επαγωγή στο d = m{ m, }. Η περίπτωση d = είναι προφανής. Θεωρώντας τα και ως αµφίπλευρα ιδεώδη του έχουµε =... και άρα =.... εν µπορεί να ισχύει 0 = για κάθε γιατί 0 και άρα για κάποιο έχουµε 0. Τότε το µη µηδενικό αµφίπλευρο ιδεώδες περιέχεται και στο και στο. Συνεπώς από την υπόθεση περί απλών δακτυλίων παίρνουµε =. Υποθέτοντας χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι =, παίρνουµε 2... m = 2... οπότε εφαρµόζει η επαγωγική υπόθεση.

34 Τα δύο προηγούµενα λήµµατα δίνουν αµέσως το εξής: 2.3.3 Πόρισµα. Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος οπότε όπου κάθε ορισµένος. ( D )... ( D D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Τότε ο αριθµός είναι µονοσήµαντα Το στο παραπάνω πόρισµα είναι ο αριθµός των απλών συνιστωσών του. Θα δώσουµε παρακάτω ένα άλλο χαρακτηρισµό του (Πρόταση 2.3.5) που θα βρει εφαρµογή στην απόδειξη του Θεωρήµατος 3.3.. Έστω I, I ιδεώδη των δακτυλίων 2, 2 αντίστοιχα Τα σύνολα I 0 και 0 I 2 είναι 2 -πρότυπα. (ως ιδεώδη του 2 ). ) 2.3.4 Λήµµα. Με τους προηγούµενους συµβολισµούς ισχύει ότι κάθε οµοµορφισµός -προτύπων I 0 0 I 2 είναι ο µηδενικός. 2 Απόδειξη: Έστω οµοµορφισµός 2 -προτύπων, φ: I 0 0 I 2 και έστω r. Αν φ r,0) = (0, r ), τότε ( 2 φ r,0) = φ(( e,0)( r,0) = ( e,0) φ( r,0) = ( e,0)(0, r ) (0,0), ( 2 = όπου e είναι το µοναδιαίο στοιχείο του. 2.3.5 Πρόταση. Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος οπότε όπου κάθε ( D )... ( D ), D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Tότε το πλήθος των ανά δύο µη ισόµορφων απλών -προτύπων είναι. Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουµε ότι ο έχει τουλάχιστον ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα. Έστω V το απλό ( D ) -πρότυπο που αποτελείται από πίνακες της µορφής στήλη 0 a 0 ( D ) 0 a 0

35 (Το ότι το V είναι απλό αποδείχτηκε στο (6) () του Θεωρήµατος του Wedderbur). Έστω V = 0... V... 0 ( D )... ( D ) όπου το V βρίσκεται στην συνιστώσα. Τότε βέβαια το V είναι απλό ( D )... ( D ) -πρότυπο. Από το Λήµµα 2.3.4 (µε την προφανή γενίκευση για πεπερασµένο πλήθος συνιστώσες ) προκύπτει ότι V V / για. Θα δείξουµε τώρα ότι ο έχει το πολύ ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα. Έστω V απλό -πρότυπο. Επειδή ισχύει ( D ) = V... V και V... V ως ( D ) -πρότυπα παίρνουµε V V.... (**) Επειδή τώρα το V είναι απλό θα είναι πηλίκο του (άσκηση.) και συνεπώς πηλίκο του δεξιού σκέλους της (**). Η Πρόταση 2..2 ) και το γεγονός ότι το V είναι απλό δίνει ότι το V είναι ισόµορφο µε ένα από τα V. Γνωρίζουµε λοιπόν ότι σε έναν ηµιαπλό δακτύλιο κάθε απλή συνιστώσα του ( D ) συνεισφέρει ακριβώς ένα απλό -πρότυπο V και το σύνολο αυτών είναι ακριβώς ένα σύνολο των ανά δύο µη ισόµορφων απλών -προτύπων. 2.3.6 Πόρισµα. Έστω ηµιαπλός δακτύλιος οπότε όπου κάθε πρότυπα. Τότε για κάθε ( D )... ( D ), D είναι δακτύλιος διαίρεσης. Έστω V,...,V τα αντίστοιχα απλά - o υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων Ed( V) D και συνεπώς οι D είναι µονοσήµαντα ορισµένοι =, και συνεπώς οι αριθµοί είναι µονοσήµαντα ορισµένοι. dm D V

36 o Απόδειξη: Για τον ισοµορφισµό Ed ( V ) D βλ άσκηση 6. Η σχέση = dm V είναι σαφής. D Για τα παραδείγµατα που ακολουθούν χρειαζόµαστε την εξής πρόταση. 2.3.7 Πρόταση Έστω Α µια k-άλγεβρα διαίρεσης, όπου k αλγεβρικά κλειστό σώµα, µε dm = <. Τότε A= k. k A Απόδειξη: Έστω a A και ker Φ= ( f ( x) ) ο πυρήνας του οµοµορφισµού αλγεβρών Φ: kx [ ] A, Φ ( gx ( )) = ga ( ), gx ( ) kx [ ]. Λαµβάνουµε έναν µονοµοµορφισµό αλγεβρών [ ]/( ( )) kx f x A. Επειδή τα στοιχεία 2, aa,,..., a είναι γραµµικά εξαρτηµένα υπεράνω του k, έχουµε deg f( x). Επειδή ο Α δεν έχει διαιρέτες του µηδενός, το f ( x ) είναι ανάγωγο, και αφού το k είναι αλγεβρικά κλειστό έχουµε deg f( x ) =. Άρα f ( x) = f0 + fx, όπου f0, f k, οπότε f0 + af = 0 και εποµένως a k. 2.3.8 Πόρισµα Έστω k ένα αλγεβρικά κλειστό σώµα και G µια πεπερασµένη οµάδα τέτοια ώστε ο δακτύλιος kg [ ] είναι ηµιαπλός, οπότε κάποιους δακτύλιους διαίρεσης D. Τότε για κάθε έχουµε kg [ ] ( D)... ( D) για D = k. 2.3.9 Παραδείγµατα ) Έστω G µια αβελιανή οµάδα µε G = <. Τότε C[ G ] C... C ( φορές). Πράγµατι, από το Θεώρηµα του achke, o δακτύλιος C [ G] είναι ηµιαπλός. Από το Θεώρηµα του Wedderbur έχουµε C [ G] ( D )... ( D ), όπου D δακτύλιοι διαίρεσης. Από το Πόρισµα 2.3.8 έχουµε C[ G] ( C)... ( C ). Επειδή η G είναι αβελιανή παίρνουµε =... = =. Αφού dm C C [ G] = έχουµε = και C[ G ] C... C. Σηµείωση: Από το προηγούµενο παράδειγµα φαίνεται ότι υπάρχει ισοµορφισµός αλγεβρών CZ [ 4] CZ [ 2 Z 2] αν και οι οµάδες Z4, Z2 Z 2 δεν είναι ισόµορφες.

37 2) Έστω G µια µη αβελιανή οµάδα τάξης 8. Τότε C[ G] C C C C 2( C ). Πράγµατι, όπως πριν έχουµε C[ G] ( C)... ( C ). Θεωρώντας διαστάσεις διανυσµατικών χώρων παίρνουµε 2 2 8 = +... + οπότε έχουµε τις εξής περιπτώσεις ) =... = = 8 ) = = 2 2 ) =... = =, = 2. 4 5 Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί η G δεν είναι αβελιανή. Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί κάποιο πρέπει να είναι ίσο µε σύµφωνα µε το Πόρισµα 2.3.6, αφού υπάρχει απλό C[ G] -πρότυπο διάστασης : το C µε εξωτερικό πολλαπλασιασµό rg g v= rg v του Θεωρήµατος του achke). Από την περίπτωση ) προκύπτει το ζητούµενο. για κάθε v C (βλ. την απόδειξη του ' ' Ασκήσεις. (Οι άνω τριγωνικοί πίνακες δεν είναι γενικά ηµιαπλοί δακτύλιοι). a b Έστω = abc,, C. Αποδείξτε ότι ο δεν είναι ηµιαπλός. 0 c Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θέσουµε τον πολλαπλασιασµό πινάκων a 0 2 = C µε εξωτερικό πολλαπλασιασµό b x ax + by =. Έστω L το υποπρότυπο c y cy του Μ που παράγεται από το. Τότε η ακριβής ακολουθία 0 0 L / L 0 δεν διασπάται. 2. Έστω Μ ένα πεπερασµένο παραγόµενο D-πρότυπο, όπου D δακτύλιος διαίρεσης. Ποιά µορφή έχουν τα Ed D ( ) -πρότυπα; Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ο Ed D ( ) είναι δακτύλιος πινάκων µε στοιχεία από δακτύλιο διαίρεσης και εφαρµόστε αποτελέσµατα σχετικά µε τη θεωρία των δακτυλίων αυτών. 3. Ποιοι από τους παρακάτω δακτύλιους είναι ηµιαπλοί; Για του ηµιαπλούς

38 δακτύλιους ποιά µορφή έχουν είναι τα απλά πρότυπα; ) Z, 2) Q, 3) C [ x], 4) C [ x, y], 5) 2 Q [ x]/( x 2). Υπόδειξη για το C [ x] : ένας από τους πολλούς τρόπους απόδειξης είναι να παρατηρήσουµε ότι αν ήταν ηµιαπλός, τότε από ο Θεώρηµα του Wedderbur έπεται ότι =, = και άρα ο C [ x] είναι δακτύλιος διαίρεσης, άτοπο. 4. Ένα -πρότυπο είναι ηµιαπλό αν και µόνο αν κάθε κυκλικό υποπρότυπό του είναι ηµιαπλό. 5. ) Αν ο είναι ηµιαπλός, τότε το κέντρο του είναι ηµιαπλός δακτύλιος. Υπόδειξη: Άσκηση.0. ) Κάθε µεταθετικός ηµιαπλός δακτύλιος είναι ευθύ γινόµενο σωµάτων. 6. ) Αληθεύει ότι γενικά µη µηδενικός υποδακτύλιος ηµιαπλού δακτυλίου είναι ηµιαπλός; ) Αποδείξτε ότι κάθε µη µηδενική επιµορφική εικόνα ηµιαπλού δακτυλίου είναι ηµιαπλός. Υπόδειξη: Ίσως είναι χρήσιµη η παρατήρηση ότι κάθε αµφίπλευρο ιδεώδες του... έχει τη µορφή I... I, όπου για κάθε k, το I k είναι αµφίπλευρο ιδεώδες του k, σε συνδυασµό µε το o θεώρηµα ισοµορφισµών δακτυλίων. 7. Έστω k σώµα και G πεπερασµένη οµάδα. Ο δακτύλιος k[g] είναι ηµιαπλός αν και µόνο αν το k είναι προβολικό k[g]-πρότυπο. Υπόδειξη: Βλ. την απόδειξη του Θεωρήµατος του achke. 8. Υπάρχει πεπερασµένος ηµιαπλός δακτύλιοι τάξης 2006; 9. Έστω ( D )... ( D ) ηµιαπλός δακτύλιος. Τότε υπάρχουν στοιχεία 2 e,...,e στο µε τις ιδιότητες e = e, e e = 0 για, e +... + e =, e v = v για κάθε ν στο ( D ), και e ( D ) = 0. 0. Ένας δακτύλιος λέγεται δεξιά ηµιαπλός αν είναι ευθύ άθροισµα απλών δεξιών ιδεωδών. Αποδείξετε ότι ένας δακτύλιος είναι δεξιά ηµιαπλός αν και µόνο αν είναι (αριστερά) ηµιαπλός. Ποιά είναι τα απλά δεξιά ιδεώδη του (D), όπου D

39 δακτύλιος διαίρεσης;. Αν Μ είναι ένα -πρότυπο, συµβολίζουµε µε oc ( ) (το βάθρο του Μ) το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από τα απλά υποπρότυπα του Μ. Αν το Μ δεν έχει απλά υποπρότυπα θέτουµε oc ( ) = 0. Παρατηρούµε ότι ένα µη µηδενικό Μ είναι ηµιαπλό αν και µόνο αν oc ( ) =. Ποια είναι τα oc Z ( Z ), oc Z ( Z 2 ) όπου πρώτος, oc Z ( Q ) ; 2. Ένα ηµιαπλό πρότυπο είναι πεπερασµένα παραγόµενο αν και µόνο αν είναι ευθύ άθροισµα πεπερασµένου πλήθους απλών προτύπων. 3. Αν το Μ είναι πεπερασµένα παραγόµενο ηµιαπλό -πρότυπο, τότε ο δακτύλιος Ed ( ) είναι ηµιαπλός. Υπόδειξη: Υπολογίστε τον Ed ( ). (Bλ.απόδειξη ) 6) του Θεωρήµατος του Wedderbur). 4. Έστω ένας ηµιαπλός δακτύλιος. ) Η γραφή κάθε πεπερασµένα παραγόµενου -προτύπου ως ευθύ άθροισµα απλών προτύπων είναι ουσιαστικά µοναδική. ) Η τάξη ελεύθερου -προτύπου είναι καλά ορισµένη. 5. ) Να βρεθούν όλοι οι ηµιαπλοί δακτύλιοι το κέντρο των οποίων είναι σώµα. ) Αποδείξτε ότι το κέντρο της C [ S3] έχει διάσταση 3, όπου S 3 είναι η οµάδα µεταθέσεων 3 συµβόλων. ) Έστω G µια οµάδα τάξης 0 για την οποία η άλγεβρα C [ G] έχει τουλάχιστον 8 ανά δύο µη ισόµορφα απλά πρότυπα. Αποδείξτε ότι G Z. 0 6. Έστω D ένας δακτύλιος διαίρεσης και ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούµε το v δακτύλιο = ( D) και το -πρότυπο V = v D µε εξωτερικό v

40 πολλαπλασιασµό τον πολλαπλασιασµό πινάκων. o ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση Φ : D Ed ( V), Φ ( d)( v) = vd (προσοχή στη σειρά των v,d) είναι µονοµορφισµός δακτυλίων. ) Αποδείξτε ότι η Φ είναι επί. 0 Υπόδειξη: Ένας οικονοµικός τρόπος είναι ο εξής. Έστω v= V. Επειδή 0 ως -πρότυπο, το V είναι απλό, βλ. απόδειξη του Θεωρήµατος Wedderbur, έχουµε V = v. Αν f Ed ( V ), τότε η f καθορίζεται από την εικόνα f () v και έχουµε ( ) f () v = f E v = E f() v = dv= vd =Φ ( dv), για κάποιο d D. (Σηµείωση: Η ίδια ιδέα εφαρµόζει και στην άσκηση 9 ) του Κεφαλαίου ).