.
1 (INTERPOLATION)
A a 1x1 [ ] Sin[ A] [ Sin[ a]], Cos[ A] [ Cos[ a]], Tan[ A] [ Tan[ a]], Cot[ A] [ Cot[ a]]. a x + yi x, y R
Sin[ a] Cosh[ y] Sin[ x] + Cos[ x] Sinh[ y] i Cos[ a] Cos[ x] Cosh[ y] Sin[ x] Sinh[ y] i Tan[ a] Cot[ a] Sin[2 x] Sinh[2 y] + Cos[2 x] + Cosh[2 y] Cos[2 x] + Cosh[2 y] Sin[2 x] Sinh[2 y] + Cos[2 x] Cosh[2 y] Cos[2 x] Cosh[2 y] i i
a β A γ δ 2x2. a x β 2 cp( x) x ( a + δ ) x + ( αδ βγ ) γ δ x 1 2, λ λ,
Sin[ A ] ) λ1, λ 2. ( λ, Sin[ λ ]), ( λ, Sin[ λ ]) 1 1 2 2 Sin[ λ2 ] Sin[ λ1 ] λ2sin[ λ1] λ1 Sin[ λ2 ] p( x) x + λ2 λ1 λ2 λ1 Sin[ A] p( A)
Sin[ λ ] Sin[ λ ] λ Sin[ λ ] λ Sin[ λ ] λ2 λ1 λ2 λ1 2 1 2 1 1 2 Sin[ A] A+ I Sin[ A] ( a λ1 ) Sin[ λ2] ( a λ2) Sin[ λ1] β( Sin[ λ2] Sin[ λ1 ]) λ λ λ λ 2 1 2 1 γ ( Sin[ λ2 ] Sin[ λ1]) ( δ λ1) Sin[ λ2 ] ( δ λ2) Sin[ λ1] λ2 λ1 λ2 λ 1
) λ λ 1 2 (,{ Sin[ ], Cos[ ]}) λ λ λ 1 1 1 p( λ ) Sin[ λ ] p '( λ ) Cos[ λ ] 1 1 1 1 p( x) Cos[ λ ] x + Sin[ λ ] λ Cos[ λ ] 1 1 1 1
Sin[ A] p( A) Sin[ A] Cos[ λ1] A + ( Sin[ λ1 ] λ1cos[ λ1 ]) I Sin[ A] acos[ λ1 ] + Sin[ λ1] λ1 Cos[ λ1] βcos[ λ1 ] γcos[ λ1 ] δcos[ λ1 ] + Sin[ λ1] λ1cos[ λ1]
Cos[ A] ( a λ1) Cos[ λ2] ( a λ2 ) Cos[ λ1] β( Cos[ λ2] Cos[ λ1 ]) λ2 λ1 λ2 λ 1 γ ( Cos[ λ ] Cos[ λ ]) ( δ λ ) Cos[ λ ] ( δ λ ) Cos[ λ ] 2 1 1 2 2 1 λ λ λ λ 2 1 2 1 Cos[ A] asin[ λ1] + Cos[ λ1] + λ1sin[ λ1 ] βsin[ λ1] γ Sin[ λ1 ] δsin[ λ1] + Cos[ λ1 ] + λ1 Sin[ λ1]
Tan[ A] ( a λ1) Tan[ λ2 ] ( a λ2 ) Tan[ λ1 ] β ( Tan[ λ2 ] Tan[ λ1]) λ2 λ1 λ2 λ 1 γ ( Tan[ λ ] Tan[ λ ]) ( δ λ ) Tan[ λ ] ( δ λ ) Tan[ λ ] 2 1 1 2 2 1 λ λ λ λ 2 1 2 1 Tan[ A] 2 2 2 a(1 + Tan [ λ1]) + Tan[ λ1] λ1(1 + Tan [ λ1]) β(1 + Tan [ λ1 ]) 2 2 2 γ (1 + Tan [ λ1 ]) δ (1 + Tan [ λ1]) + Tan[ λ1] λ1(1 + Tan [ λ1 ])
Cot[ A] ( a λ1) Cot[ λ2] ( a λ2 ) Cot[ λ1] β( Cot[ λ2] Cot[ λ1]) λ2 λ1 λ2 λ 1 γ ( Cot[ λ ] Cot[ λ ]) ( δ λ ) Cot[ λ ] ( δ λ ) Cot[ λ ] 2 1 1 2 2 1 λ λ λ λ 2 1 2 1 Cot[ A] 2 2 2 a( 1 Cot [ λ1]) + Cot[ λ1] + λ1(1 + Cot [ λ1]) β( 1 Cot [ λ1]) 2 2 2 γ ( 1 Cot [ λ1 ]) δ( 1 Cot [ λ1]) + Cot[ λ1] + λ1(1 + Cot [ λ1])
2 (POWER SERIES)
Sin[ x ] 3 5 7 + 2 k 1 x x x k 1 x Sin[ x] x + +... ( 1), 3! 5! 7! k 1 (2k 1)! x R. A nxn, Sin[ A ] 3 5 7 9 11 A A A A A Sin[ A] A + + +... 3! 5! 7! 9! 11! 2.
Cos[ x ] 2 4 6 + 2k x x x k 1 x Cos[ x] 1 + +... ( 1), 2! 4! 6! k 1 (2 k)! x R. A nxn, Cos[ A ] 2 4 6 8 10 A A A A A Cos[ A] I + + +... 2! 4! 6! 8! 10! 2.
Tan[ x ] 3 5 7 + 2k 2k x 2x 17 x B 2 (2 1) k Tan[ x] x + + + +... x 3 15 315 (2 k)! k 1 π π x, 2 2. A nxn, Tan[ A ] 2k 1 3 5 7 + 2k 2k A 2A 17 A Bk 2 (2 1) Tan[ A] A + + + +... A 3 15 315 k 1 (2 k)! 2. 2k 1
Cot[ x ] 3 5 + 2k 1 x x 2x B 2 k 2 k 1 Cot[ x]... x x 3 45 945 (2 k)! x ( 0, π ). k 1 A nxn, Cot[ A ] 3 5 + 2k 1 A A 2A Bk 2 2k 1 Cot[ A] A... A 3 45 945 k 1 (2 k)! 2.
B n Bernoulli (2 n)! 1 1 1 Bn 1... 2 n 1 2n + + + + 2n 2n 2n 2 π 2 3 4 B n n 4 π e 2n π n
Sin[ A ], Cos[ A ], Tan[ A ] Cot[ A ] ; 2 2 Sin [ A] + Cos [ A] I 1 Sin[ A] Tan[ A] Sin[ A] Cos[ A] Cos[ A] 1 Cos[ A] Cot[ A] Cos[ A] Sin[ A] Sin[ A] 2 2 1 1 I + Tan [ A] ( Cos [ A]) 2 Cos [ A] 2 2 1 1 I + Cot [ A] ( Sin [ A]) 2 Sin [ A]
2 Sin[2 A] 2 Sin[ A] Cos[ A] 2 2 Cos[2 A] Cos [ A] Sin [ A] 2 Tan[ A] Tan[2 A] 2 I Tan [ A] Cot 2 [ A] I Cot[2 A] 2 Cot[ A]
; Sin[ X ] A Cos[ X ] A Tan[ X ] A Cot[ X ] A.
A + B ; Sin[ A + B] Sin[ A] Cos[ B] + Cos[ A] Sin[ B] Cos[ A+ B] Cos[ A] Cos[ B] Sin[ A] Sin[ B] Tan[ A] + Tan[ B] Tan[ A + B] I Tan[ A] Tan[ B] Cot[ A] Cot[ B] I Cot[ A+ B] Cot[ A] + Cot[ B]
e-mail : petrakis@hot mail.com