Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην η Ενότητα: (Αξιωματικός Ορισμός, Δεσμευμένη-Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία, Κανόνας του Bayes, Συνδυαστική) Άσκηση. Ένα νόμισμα ρίχνεται συνεχώς μέχρι να έρθει κορώνα. Έστω ότι συμβολίζεται με k τον αριθμό των ρίψεων μέχρι να εμφανιστεί κορώνα. Έστω τα ενδεχόμενα A= k>5 και B= k>. C Υπολογίστε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: A, B, B, A B, A B. Άσκηση 2. α) Ένας φοιτητής έχει στην διάθεσή του 4 παντελόνια για την καθημερινή του ένδυση. Ποτέ όμως δεν φορά το ίδιο παντελόνι δύο συνεχόμενες ημέρες. Πόσοι είναι οι δυνατές επιλογές παντελονιών σε διάστημα 5 ημερών; β) Πόσα είναι τα συνολικά 7-ψήφια τηλεφωνικά νούμερα αν το πρώτο ψηφίο δεν είναι ή ; γ) Για να παραγγείλετε μια πίτσα τύπου «πολυτελείας» χρειάζεται να επιλέξετε 4 συστατικά μεταξύ 5 διαθέσιμων συστατικών. Πόσοι οι διαφορετικοί συνδυασμοί αν επιτρέπεται το ίδιο συστατικό να εμφανιστεί περισσότερες από μία φορές ; Πόσοι αν απαγορεύεται; δ) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους φοιτητές μπορούν να τοποθετηθούν σε θέσεις εργασίας; Με πόσους σε 2 θέσεις; Άσκηση 3. Μία τράπουλα αποτελείται από κόκκινες κάρτες αριθμημένες από το έως το, και μαύρες κάρτες αριθμημένες από το έως το. Με πόσους δυνατούς τρόπους μπορείτε να διατάξετε τις 2 κάρτες; Ας υποθέσουμε ότι ρίχνεται τις κάρτες με τυχαίο τρόπο και τις διατάσσετε. Ποια η πιθανότητα οι κόκκινες και οι μαύρες κάρτες να εναλλάσσονται; Άσκηση 4. Σε μία αφύλακτη περιοχή υπάρχουν Ν αδέσποτα ζώα εκ των οποίων εξ αυτών έχουν ήδη συλληφθεί και μαρκαριστεί κατά το παρελθόν. Έστω ότι συλλαμβάνονται 2 αδέσποτα ζώα. Βρείτε την πιθανότητα 5 από αυτά να έχουν ήδη μαρκαριστεί. Έστω ότι η πιθανότητα αυτή είναι p(n). Βρείτε την τιμή του Ν που μεγιστοποιεί αυτή την πιθανότητα. Υπόδειξη: Συγκρίνετε τον λόγο p(n)/p(n-) με την μονάδα. Άσκηση 5. Σε μία παρτίδα από μηχανήματα 2 μηχανήματα ελέγχονται και η παρτίδα απορρίπτεται αν κάποιο από τα μηχανήματα βρεθεί ελαττωματικό. α) Βρείτε την πιθανότητα αποδοχής της παρτίδας αν γνωρίζεται ότι υπάρχουν 5 ελαττωματικά μηχανήματα. Επαναλάβατε αν υπάρχουν ελαττωματικά. β) Υπολογίστε τις πιθανότητες αποδοχής της παρτίδας του ερωτήματος α) αν 3 μηχανήματα ελέγχονται και αν αποδεχόσαστε μία παρτίδα όταν το πολύ ένα από τα 3 μηχανήματα βρεθεί ελαττωματικό.
Άσκηση 6. Είσοδος -ε ε Έξοδος 2 -ε ε ε -ε Σχήμα 2 Ένα κανάλι επικοινωνίας με 3 εισόδους/εξόδους φαίνεται στο Σχήμα. Υποθέστε ότι τα σύμβολα εισόδου, και 2 έχουν πιθανότητες να επιλεγούν ½, ¼ και ¼, αντίστοιχα. α) Βρείτε τις πιθανότητες των συμβόλων εξόδου. β) Αν υποθέσουμε ότι παρατηρείτε το σύμβολο στην έξοδο, ποια η πιθανότητα η είσοδος να ήταν ; ; 2; Άσκηση 7. Έστω τυχαίο πείραμα το οποίο εκτελείτε ως εξής: αρχικά επιλέγουμε με τυχαίο τρόπο ένα δοχείο μεταξύ 2 διαθέσιμων δοχείων που περιέχουν μπάλες, και στην συνέχεια επιλέγουμε μία μπάλα από το δοχείο και παρατηρούμε το χρώμα της (μαύρο ή άσπρο). Έστω το ενδεχόμενο Α= επιλέγεται το ο δοχείο, και Β= παρατηρείται μία μαύρη μπάλα. Κάτω από ποιες συνθήκες τα 2 ενδεχόμενα Α, Β, είναι ανεξάρτητα; Άσκηση 8. Υποθέστε ότι ανακατεύετε μία τράπουλα που αποτελείται από 52 χαρτιά με τέσσερις άσσους και τέσσερις ρηγάδες α) Βρείτε την πιθανότητα το πρώτο χαρτί που θα επιλέξετε να είναι άσσος. β) Έστω ότι επιλέγετε ένα χαρτί από την τράπουλα και το παρατηρείτε. Βρείτε την πιθανότητα το δεύτερο χαρτί που θα επιλέξετε να είναι άσσος. Μεταβάλλεται η πιθανότητα αυτή αν δεν παρατηρήσετε το πρώτο χαρτί (δεν έχετε δηλαδή γνώση του αριθμού που επιλέξατε κατά την πρώτη τυχαία επιλογή σας); γ) Υποθέστε ότι επιλέγετε 7 κάρτες από την τράπουλα. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν 3 άσσοι μεταξύ των 7 αυτών καρτών; Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν 2 ρηγάδες στις 7 αυτές κάρτες; Ποια η πιθανότητα στις 7 τυχαία επιλεγόμενες κάρτες να υπάρχουν 3 άσσοι και/ή 2 ρηγάδες; δ) Υποθέστε ότι όλη η τράπουλα κατανέμεται εξίσου σε 4 παίκτες (3 κάρτες ανά παίκτη). Ποια είναι η πιθανότητα κάθε παίκτης να έχει έναν άσσο; Άσκηση 9. (Το πρόβλημα των γενεθλίων). Σε μια αίθουσα βρίσκονται k άτομα. Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο με την ίδια ημέρα γενεθλίων ; Άσκηση. Σε κάλπη Α υπάρχουν τρεις λευκές και τρεις μαύρες σφαίρες και σε κάλπη Β υπάρχουν έξι λευκές και οκτώ μαύρες σφαίρες. Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Ακολούθως από την Β εξάγεται μία σφαίρα. Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή;
Άσκηση 2. α) Αν P(A) =.9 και P(B)=.8 δείξτε ότι ισχύει η ανισότητα P(A B).7. Γενικεύοντας, αποδείξτε την ανισότητα του Bonferroni, P(A B) P(A) + P(B). β) Έστω ότι ρίχνεται 2 ίδια ζάρια. Ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο ζάρι να φέρει αποτέλεσμα μεγαλύτερο από το πρώτο ; Άσκηση 3. α) Δείξτε ότι η πιθανότητα να συμβεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα A, B είναι ίση με: P(A) + P(B) - 2 P(A B). β) Αν P(A)=a, P(B)=b και P(A B)=c, να βρεθεί η πιθανότητα P((A B C ) (A C B)). Άσκηση 4. Είσοδος Έξοδος -ε ε ε 2 -ε 2 Στο παραπάνω σχήμα παρουσιάζεται ένα δυαδικό κανάλι επικοινωνίας, και οι αντίστοιχες δεσμευμένες πιθανότητες μετάδοσης (π.χ. η ε είναι η πιθανότητα να μεταδοθεί το σύμβολο αν η είσοδος του καναλιού είναι, που ουσιαστικά είναι η πιθανότητα σφάλματος για το σύμβολο, ενώ η ε 2 είναι η πιθανότητα σφάλματος του ). Υποθέστε ότι τα σύμβολα και είναι ισοπίθανα να εμφανιστούν στην είσοδο του καναλιού. α) Βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε στην έξοδο το. β) Πόση είναι η πιθανότητα η είσοδος του καναλιού να ήταν το, αν γνωρίζουμε ότι στην έξοδο εμφανίστηκε το ; Βρείτε επίσης την πιθανότητα η είσοδος να ήταν το, αν στην έξοδο εμφανίστηκε το σύμβολο. Ποια τιμή της εισόδου είναι η πιο πιθανή ; Άσκηση 5. Το 5% ενός πληθυσμού έχει μία ασθένεια Α. Υπάρχει ένα διαγνωστικό test αλλά δεν είναι απολύτως ακριβές. Στο 96% των περιπτώσεων όπου υπάρχει η ασθένεια Α δείχνει Α (θετικό) και στο 98% των περιπτώσεων χωρίς Α δείχνει ότι δεν υπάρχει Α (αρνητικό). α) Αν το test δείξει Α ποια η πιθανότητα να υπάρχει πράγματι η Α; β) Αν το test επαναληφθεί δύο φορές και δείξει και τις δύο φορές Α ποια η πιθανότητα να υπάρχει πράγματι η Α;
Άσκηση 6. Σας δίνεται το πλέγμα του επόμενου σχήματος: Υποθέστε την εξής διαδικασία Α->Β: Ξεκινώντας από το σημείο Α, σε κάθε βήμα μπορείτε να κάνετε (ισοπίθανα) είτε ένα βήμα προς τα πάνω, είτε ένα βήμα προς τα δεξιά, έως ότου φτάσετε στο σημείο Β. α) Πόσο είναι το πλήθος των διαφορετικών μονοπατιών για να μεταβείτε από το Α στο Β ; (σημειώστε ότι για να πάτε από το Α στο Β πρέπει να κάνετε 4 βήματα δεξιά και 3 βήματα επάνω). β) Πόσο είναι το πλήθος των διαφορετικών μονοπατιών από το Α στο Β με ενδιάμεσο σταθμό το σημείο με το κόκκινο αστεράκι ; Άσκηση 7. Τα A, B, C και D είναι ενδεχόμενα ενός τυχαίου πειράματος, με πιθανότητες P(A)=/4, P(B)=/8, P(C)=5/8 και P(D)=3/8. Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, ενώ τα C και D είναι ανεξάρτητα, τότε: α) είναι τα Α, Β ανεξάρτητα ενδεχόμενα ; β) είναι τα C C, D C ανεξάρτητα ενδεχόμενα ; γ) Υπολογίστε τις πιθανότητες P(A B), P(A B), P(A B), P(A B C ), P(A B C ), δ) Υπολογίστε τις πιθανότητες P(C D), P(C D), P(C D), P(C D C ), P(C D C ), P(C C D C ) Άσκηση 8. Ένα κουτί περιέχει 5 νομίσματα (αριθμημένα από έως 5) ανομοιογενή. Συγκεκριμένα το i-οστό νόμισμα έχει μία πιθανότητα να έρθει Κορώνα p i = i/5. Έστω ότι επιλέγετε ένα νόμισμα, το περιστρέφετε και το αποτέλεσμα ήταν Γράμματα. Ποια η πιθανότητα να επιλέχτηκε το i-οστό νόμισμα; Άσκηση 9. Μία τάξη αποτελείται από μαθητές, 6 γυναίκες και 4 άντρες. Είναι γνωστό ότι το 6% των γυναικών κατάγονται από την Ήπειρο, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τους άντρες είναι 45%. α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας μαθητής που επιλέγεται και είναι από την Ήπειρο να είναι γυναίκα; β) Είναι τα ενδεχόμενα «Μαθητής άντρας» και «Μαθητής από την Ήπειρο» ανεξάρτητα και γιατί; Άσκηση 2. Ένας φοιτητής ξυπνά καθημερινά την χρονική στιγμή Τ και κοιμάται την στιγμή Τ 2 (υποθέστε ότι T 2 -T 24). α) Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; (σχεδιάστε τον στο x-y επίπεδο); β) Ποια είναι η περιοχή του δ.χ. που ορίζεται από το ενδεχομένο Α= ο φοιτητής μένει ξύπνιος τουλάχιστον 4 ώρες αφότου ξυπνήσει ; (σχεδιάστε τον ξανά στο επίπεδο) γ) Κάντε το ίδιο και για το ενδεχόμενο Β= ο φοιτητής είναι ξύπνιος λιγότερες ώρες απ όσες κοιμάται.
δ) Σχεδιάστε την περιοχή που ορίζει το ενδεχόμενο A C C και περιγράψτε το με λόγια. Άσκηση 2. Έστω ότι επιλέγεται τυχαία έναν αριθμό από τους πρώτους ακεραίους {, 2,, }. Αν γνωρίζεται ότι ο αριθμός που επιλέξατε διαιρείται ακριβώς με το 2, βρείτε την πιθανότητα να διαιρείται ακριβώς και με το 3 ή με το 5. Άσκηση 22. Μία νέα μέθοδο ταυτόχρονης ανίχνευσης τριών τύπων ασθενειών (A, B, Γ) βρίσκεται σε πειραματικό στάδιο και ελέγχεται ως προς την πιστότητά της. Η μελέτη έδειξε ότι η μέθοδος είναι σε θέση να ανιχνεύει την ασθένεια τύπου Α με ποσοστό επιτυχίας 99,7 %, την ασθένεια τύπου Β με ποσοστό 99,5 % και του τύπου Γ 89,7 %. Σε περίπτωση όπου δεν υπάρχει κάποια από τις τρεις ασθένειες, η μέθοδος δεν δίνει κάποιο αποτέλεσμα (δηλ. δεν δίνει σήμα). Η πειραματική διαδικασία συνεχίζεται σε πραγματικούς ασθενείς χρησιμοποιώντας ένα δείγμα πληθυσμού αποτελούμενο από 6% με ασθένεια τύπου Α, 27% τύπου Β και 3 % τύπου Γ. Έστω ότι επιλέγουμε έναν ασθενή και ελέγχεται από την μέθοδο. α) Ποια είναι η πιθανότητα η μέθοδος ανίχνευσης να μην δώσει σήμα; β) Εάν η μέθοδος δώσει κάποιο σήμα, ποια είναι η πιθανότητα να ανιχνευτή η ασθένεια τύπου Γ; Άσκηση 23. Μία παρτίδα φορητών H/Y περιλαμβάνει ως επιπλέον αξεσουάρ έναν εξωτερικό σκληρό δίσκο, ή/και μία εξωτερική μονάδα εγγραφής DVD RW, σύμφωνα με τον επόμενο πίνακα: Εξωτερικός σκληρός δίσκος DVD RW Ναι Όχι Ναι 5 8 Όχι 4 Έστω ότι Α είναι το ενδεχόμενο ένας φορητός Η/Υ να έχει έναν εξωτερικό σκληρό δίσκο και Β το ενδεχόμενο να έχει μία μονάδα εγγραφής DVD RW, και επίσης έστω ότι επιλέγεται τυχαία έναν φορητό Η/Υ. Υπολογίστε τις εξής πιθανότητες: P(A), P(A B), P(A B), P(A c B), P(A B) Άσκηση 24. Ένα e-mail μήνυμα μεταδίδεται μέσω ενός εκ των 2 διαδρομών (roots) από serves του τμήματός μας. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την πιθανότητα σφάλματος κατά την μετάδοση ενός μηνύματος στους serves των 2 διαδρομών: % μηνυμάτων Πιθανότητα σφάλματος κατά την μετάδοση που εξυπηρετεί Server Server 2 Server 3 Server 4 Διαδρομή 3..5 Διαδρομή 2 7.2.3 Υποθέστε ότι οι servers είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. α) Ποια είναι η πιθανότητα της μετάδοσης ενός μηνύματος χωρίς σφάλμα; β) Αν σε ένα μήνυμα παρουσιαστεί κάποιο σφάλμα κατά την μετάδοσή του, ποια είναι η πιθανότητα να μεταδόθηκε μέσω της διαδρομής ;
Άσκηση 25. Μία εταιρεία προσπαθεί να μελετήσει την επίδραση της επισκεψιμότητας του web site της στο Διαδίκτυο στην προσέλκυση πιθανών μελλοντικών πελατών της. Έτσι, παρατήρησε ότι όσες περισσότερες Ιστοσελίδες της εταιρείας επισκέπτεται ένας χρήστης, τόσο πιθανότερο είναι να στείλει τελικά τα στοιχεία επικοινωνίας του (στην ειδική φόρμα), όπως φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα: Αριθμό σελίδων που επισκέπτεται 2 3 4 ή περισσότερες % επισκεπτών 4 3 2 % επισκεπτών που τελικά προσφέρουν στοιχεία επικοινωνίας 2 4 α) Ποια η πιθανότητα ένας επισκέπτης στο web site της εταιρείας να δώσει τα στοιχεία επικοινωνίας του; β) Αν ένας επισκέπτης δώσει τα στοιχεία επικοινωνίας του, ποια είναι πιθανότητα να επισκέφτηκε 4 ή περισσότερες σελίδες; Ποια η αντίστοιχη πιθανότητα να επισκέφτηκε 2 ή περισσότερες σελίδες; Άσκηση 26. Μία παρτίδα 4 μικροτσίπ για την οποία γνωρίζουμε ότι εξ αυτών είναι ελαττωματικά, ελέγχεται επιλέγοντας ένα μικρό δείγμα 5 μικροτσίπ. α) Πόσες είναι οι διαφορετικές επιλογές (δείγματα των 5) που έχουμε; β) Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα να βρεθεί ακριβώς ένα ελαττωματικό μικροτσίπ; γ) Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα να βρεθεί τουλάχιστον ένα ελαττωματικό μικροτσίπ; Άσκηση 27. Ένα άτομο ξεκινά από το σημείο Α του παρακάτω σχήματος και σε κάθε σημείο που υπάρχει δυνατότητα επιλογής κατεύθυνσης επιλέγει εντελώς τυχαία προς τα πού θα κινηθεί. α) Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσει το άτομο στη θέση Β; β) Αν είναι γνωστό ότι το άτομο έφτασε στη θέση Β, τότε ποια είναι η πιθανότητα να έχει ακολουθήσει μία από τις 3 μεσαίες διαδρομές; A 2 n B 2 n Άσκηση 28. Σε k κάλπες έχουν τοποθετηθεί n, n 2,, n k σφαίρες, αντίστοιχα, εκ των οποίων οι r, r 2,, r k είναι λευκές (Λ). Αρχικά επιλέγουμε μία κάλπη και στην συνέχεια διαλέγουμε εντελώς τυχαία μία από τις σφαίρες της κάλπης. Ποια είναι η πιθανότητα να εξαχθεί λευκή σφαίρα αν: α) η επιλογή της κάλπης γίνεται τυχαία β) η επιλογή της i-οστής κάλπης γίνεται με πιθανότητα ρ i > (i=, 2,, k), όπου ρ + ρ 2 + + ρ k =.
Άσκηση 29. Δύο παρέες παιδιών αποφασίζουν να δημιουργήσουν με κλήρωση μία 3μελή επιτροπή. Η πρώτη παρέα αποτελείται από 9 αγόρια και κορίτσι, ενώ η δεύτερη από αγόρι και 5 κορίτσια. Γίνεται αρχικά κλήρωση (τυχαία) ενός ατόμου από την πρώτη παρέα και ενός ατόμου από την δεύτερη. Για την επιλογή του τρίτου (δεύτερη φάση) αποφασίστηκε να τοποθετηθούν όλα τα ονόματα των παιδιών που δεν κληρώθηκαν στην πρώτη φάση σε μία κληρωτίδα και να επιλεχθεί ένα από αυτά τυχαία. Ποια η πιθανότητα το άτομο που θα επιλεγεί στην δεύτερη φάση να είναι κορίτσι; Εάν είναι κορίτσι, ποια η πιθανότητα να προέρχεται από την δεύτερη παρέα; Άσκηση 3. Τα επόμενα σχήματα δείχνουν κάποια ηλεκτρικά κυκλώματα στα οποία έχουν τοποθετηθεί διακόπτες (σημειώνονται με τους αριθμούς i =, 2, ). Κάθε διακόπτης i =, 2, λειτουργεί ανεξάρτητα από τους άλλους και μπορεί να είναι είτε κλειστός (επιτρέπει την διέλευση του ρεύματος) με πιθανότητα ρ i είτε ανοιχτός (δεν επιτρέπει την διέλευση του ρεύματος) με πιθανότητα - ρ i. 2 2 2 4 5 3 3 3 4 4 5 (α) (β) (γ) a) Αν στα άκρα του κυκλώματος εφαρμοστεί κάποια τάση, να υπολογιστεί η πιθανότητα να περάσει ρεύμα από το κύκλωμα. Να γίνει εφαρμογή για ρ i =.7 +.5 i, i=, 2, 3, 4, 5. b) Αν υποθέσετε ότι οι πιθανότητες ρ i είναι όλες ίσες μεταξύ τους, τι τιμή πρέπει να έχουν έτσι ώστε η πιθανότητα να περάσει ρεύμα από το κύκλωμα να είναι τουλάχιστον 99% ; Άσκηση 3. Ένας ακέραιος αριθμός επιλέγεται τυχαία ανάμεσα από τους αριθμούς, 2,, n=. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός αυτός : α) να μην περιέχει καθόλου το ψηφίο 3 β) να περιέχει τουλάχιστον ένα 5 και ένα 7 γ) να περιέχει τουλάχιστον μια φορά κάθε ένα από τα ψηφία, 2, 4, 6, 8 Άσκηση 32. Έστω οι n φοιτητές φ, φ 2,, φ n έχουν υποβάλλει αίτηση στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών του τμήματός μας και προσέρχονται για μια προσωπική συνέντευξη. α) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να καθοριστεί η σειρά που θα δώσουν οι φοιτητές τη συνέντευξη; β) Ποια είναι η πιθανότητα οι φοιτητές φ και φ 2 να δώσουν συνέντευξη πρώτος και δεύτερος στην σειρά; Άσκηση 33. Το ποσοστό των ατόμων μιας ορισμένης περιοχής που πάσχουν από μια σοβαρή ασθένεια είναι 4%. Ένα άτομο υποβάλλεται σε δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους τέστ, καθένα από τα οποία κάνει ορθή διάγνωση (είτε το άτομο πάσχει από την ασθένεια είτε δεν πάσχει) με πιθανότητα.98. Να υπολογιστούν οι δεσμευμένες πιθανότητες να πάσχει το άτομο, α) δεδομένου ότι ένα τουλάχιστον τέστ είναι θετικό. β) δεδομένου ότι και τα δύο τέστ είναι θετικά.
Άσκηση 34. Ένα πολεμικό αεροσκάφος με φορτίο ν οβίδων βάλει κατά στόχου μέχρι να τον καταστρέψει ή να εξαντληθεί το φορτίο των διαθέσιμων βομβών του. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος από μια βόμβα είναι ρ. Αν η βόμβα χτυπήσει τον στόχο, η πιθανότητα να τον καταστρέψει εντελώς είναι ίση με ρ 2. Οι διαφορετικές βολές θεωρούνται ανεξάρτητα «πειράματα». Να υπολογιστούν οι επόμενες πιθανότητες: α) Να επιστρέψει το αεροσκάφος από την αποστολή χωρίς να χρησιμοποιηθεί όλο το φορτίο του. β) Μετά την καταστροφή του στόχου να έχουν μείνει αχρησιμοποίητες τουλάχιστον 2 βόμβες. γ) Να χρειαστούν το πολύ δύο βόμβες για την ολοκλήρωση της αποστολής. Άσκηση 35. Το κύκλωμα του παρακάτω σχήματος αποτελείται από 5 διακόπτες οι οποίοι βρίσκονται όλοι σε κλειστή θέση, ενώ λειτουργούν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Η πιθανότητα να ανοίξει οποιοσδήποτε από τους, 2, 4, 5 διακόπτες καθώς εφαρμόζεται τάση στα άκρα είναι ρ, ενώ για τον διακόπτη 3 είναι ρ 2. Βρείτε την πιθανότητα να περάσει ρεύμα από το κύκλωμα όταν εφαρμοστεί τάση στα άκρα του. 2 3 4 5 Άσκηση 36. Μια εταιρεία διαθέτει 25 φορτηγά από τα οποία τα είναι ρυπογόνα. Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη 6 από τα 25 φορτηγά και τους κάνει έλεγχο καυσαερίων. Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει: α) ακριβώς 3 ρυπογόνα φορτηγά, β) το πολύ 2 ρυπογόνα φορτηγά, γ) τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό Άσκηση 37. Σε μία επαρχιακή πόλη κυκλοφορούν τρεις τοπικές εφημερίδες Ε, Ε 2 και Ε 3. Τα ποσοστά της αναγνωσιμότητάς τους στο σύνολο των κατοίκων της πόλης δίνονται από τον επόμενο πίνακα: Ανάγνωση Ε Ε 2 Ε 3 Ε & Ε 2 Ε & Ε 3 Ε 2 & Ε 3 Ε &Ε 2 &Ε 3 Ποσοστό(%) 2 8 2 9 4 3 2 Αν επιλέξουμε τυχαία έναν κάτοικο της πόλης, να υπολογιστεί η πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α : «ο κάτοικος διαβάζει τουλάχιστον μια από τις εφημερίδες», Α 2 : «ο κάτοικος διαβάζει τουλάχιστον δύο από τις εφημερίδες», Α 3 : «ο κάτοικος διαβάζει ακριβώς 2 από τις εφημερίδες», Α 4 : «ο κάτοικος να διαβάζει την Ε εάν είναι γνωστό ότι διαβάζει ακριβώς 2 εφημερίδες». Άσκηση 38. Αν η εμφάνιση ενός ενδεχομένου Β κάνει το ενδεχόμενο Α πιθανότερο, η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει και το ενδεχόμενο Β πιθανότερο; Ναι ή όχι και γιατί; Άσκηση 39. Τα ανταλλακτικά που κυκλοφορούν στο εμπόριο για ένα συγκεκριμένο αυτοκίνητο προέρχονται από δύο διαφορετικούς κατασκευαστές. Η συνολική παραγωγή του δευτέρου
κατασκευαστή είναι ν-πλάσια της παραγωγής του πρώτου. Τα ποσοστά ελαττωματικών ανταλλακτικών που παράγουν οι δύο κατασκευαστές είναι p και p 2, αντίστοιχα. α) Αν αγοράσουμε ένα ανταλλακτικό και διαπιστώσουμε ότι είναι ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα να προέρχεται από τον πρώτο κατασκευαστή; β) Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τα p, p 2 έτσι ώστε η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό ένα ανταλλακτικό που αγοράζουμε να είναι η ίδια είτε αυτό προέρχεται από τον πρώτο κατασκευαστή είτε από το δεύτερο. Άσκηση 4. Υπολογίστε την πιθανότητα P(A ( B c C c ) c ) στις επόμενες περιπτώσεις: α) Τα ενδεχόμενα A, B, C είναι ασυμβίβαστα και ισχύει P(A) = 3/7. β) P(A) = /2, P(B C) = /3, P(A C) =. γ) P(A c (B c C c ) ) =.65 Άσκηση 4. Ένας πομπός Π εκπέμπει τα σήματα και σε αναλογία 2 προς. Ένας δέκτης Δ λαμβάνει λανθασμένα ένα σήμα σε ποσοστό 2% των περιπτώσεων ενώ ένας δεύτερος Δ2 σε ποσοστό 3%. Αν ο Δ λαμβάνει σήμα και ο Δ2 σήμα, ποιον από τους δύο δέκτες θα πρέπει να εμπιστευτούμε; Άσκηση 42. Έστω δειγματικός χώρος Ω = { (x,y): x και y }. Βρείτε εάν τα επόμενα 2 ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα: A = { (x,y): y x.} και B = { (x,y): y - x}. Κάντε το ίδιο στην περίπτωση όπου B = { (x,y): x /4}. Άσκηση 43. Σε μια παρτίδα αποτελούμενη από 25 προϊόντα περιέχονται 2 ελαττωματικά. Έστω ότι επιλέγεται τυχαία 2 προϊόντα (χωρίς επανάθεση). α) Ποια είναι η πιθανότητα το ο προϊόν που επιλέχτηκε να είναι ελαττωματικό; β) Ποια η πιθανότητα το 2 ο προϊόν να είναι ελαττωματικό εάν το ο που επιλέξαμε βρέθηκε ελαττωματικό; γ) Ποια η πιθανότητα και τα 2 προϊόντα να είναι ελαττωματικά; Άσκηση 44. Μία ομάδα οικολόγων προσπαθούν να μελετήσουν ένα σπάνιο είδος ζώου σε έναν ορεινό όγκο όπου υπάρχουν δύο βασικοί τύποι δασών, ο τύπος Α και ο τύπος Β (υποθέστε ίση πιθανότητα ένα δάσος να είναι τύπου Α ή Β). Κατά την διάρκεια της μελέτης επιλέγονται δασικές περιοχές με τυχαίο τρόπο. Οι περιοχές αυτές μπορεί να είναι είτε «ακατάλληλες» για να κατοικήσει το ζώο και επομένως δεν υπάρχει καμία εμφάνισή του, είτε «κατάλληλες» όπου ο αριθμός εμφάνισής τους μπορεί να είναι,, 2, ή 3 με πιθανότητες.,.3,.4 και.2, αντίστοιχα. Η πιθανότητα μία δασική περιοχή να είναι «κατάλληλη» είναι.8 για το τύπο δάσους Α και.3 σε περίπτωση όπου το δάσος είναι τύπου Β. α) Ποια είναι η πιθανότητα μία τυχαία δασική περιοχή να είναι «κατάλληλη»; β) Ποια είναι η πιθανότητα σε μια τυχαία δασική περιοχή να υπάρχουν,, 2, 3 εμφανίσεις του ζώου; (υπολογίστε για κάθε έναν αριθμό μία πιθανότητα). γ) Υποθέστε ότι η ομάδα οικολόγων έχουν ελέγξει μία δασική περιοχή όπου δεν βρήκανε καμία εμφάνιση του ζώου. Ποια η πιθανότητα να είναι τύπου Α; δ) Εάν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει κανένα ζώο σε μία δασική περιοχή, ποια η πιθανότητα να είναι τύπου Α; Άσκηση 45. Οι συντελεστές του τριωνύμου (α+)x 2 + βx + γ καθορίζονται από το αποτέλεσμα της ρίψης ενός (αμερόληπτου) νομίσματος τρεις φορές, ένα για κάθε ένα συντελεστή. Πιο συγκεκριμένα, αν το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι κεφαλή θέτουμε α=, ενώ αν εμφανιστούν γράμματα θέτουμε α=. Όμοια αποφασίζουμε στην 2 η ρίψη για τον συντελεστή β και στην 3 η ρίψη για τον 3 ο συντελεστή γ. Να η πιθανότητα το τριώνυμο να μην έχει πραγματικές ρίζες.
Άσκηση 46. (θέμα προόδου 2-2) α) Για την παραγωγή μιας υπολογιστικής μηχανής χρησιμοποιούνται ανταλλακτικά από τρεις διαφορετικούς τύπους με την εξής αναλογία: το 35 % προέρχονται από το μηχάνημα τύπου Α, το 25% από μηχάνημα τύπου Β και το 4% από το μηχάνημα τύπου Γ. Είναι γνωστό ότι ο τύπος Α παράγει 2% ελαττωματικά προϊόντα, ενώ για τους άλλους δύο τύπους τα αντίστοιχα ποσοστά είναι 3% (Β) και % (Γ), αντίστοιχα. Λαμβάνεται τυχαία ένα ανταλλακτικό από την μηχανή που κατασκευάστηκε. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες το ανταλλακτικό: α) να είναι ελαττωματικό, β) να προέρχεται από τον τύπο μηχανής Α εάν γνωρίζουμε ότι είναι ελαττωματικό. β) Τηλεφωνική σύνδεση δύο κόμβων Α και Β είναι επιτυχής με πιθανότητα p=.95. Επίσης, η σύνδεση μεταξύ των κόμβων Β και Γ είναι επιτυχής με πιθανότητα q=.9. Εάν η επικοινωνία μεταξύ των κόμβων Α και Γ γίνεται μέσω του κόμβου Β, ποια η πιθανότητα επιτυχούς σύνδεσής τους; Εάν υπάρχει παράλληλη γραμμή που συνδέει τους κόμβους Α και Γ απ ευθείας και η σύνδεση αυτή είναι επιτυχής με πιθανότητα r=.8, πως τροποποιείται η πιθανότητα επιτυχούς σύνδεσης των κόμβων Α και Γ (ανεξαρτήτως διαδρομής); Άσκηση 47. (θέμα εξεταστικής Φεβρουαρίου 22) Έστω κουτί Α με 5 λευκές και 7 μαύρες σφαίρες, και κουτί Β με 3 λευκές και 2 μαύρες μπάλες. Στρίβετε ένα (δίκαιο) νόμισμα. Αν το αποτέλεσμα είναι κορώνα τότε παίρνετε μία σφαίρα από το κουτί Α, ενώ αν είναι γράμματα από το κουτί Β. Έστω ότι επιλέξατε μία λευκή σφαίρα. Ποια είναι η πιθανότητα να είχατε φέρει γράμματα; Άσκηση 48. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα δυαδικό συμμετρικό κανάλι για τη μετάδοση πληροφορίας. Η ποσότητα e συμβολίζει την πιθανότητα σφάλματος κατά την μετάδοση, δηλ. P(λήψη ψηφίου = -i εκπομπή ψηφίου = i) = e, i={, } ενώ η ποσότητα -e προσδιορίζει την πιθανότητα ορθής μετάδοσης, δηλ. P(λήψη ψηφίου = i εκπομπή ψηφίου = i) = - e, i={, } -e -e Για την αποφυγή λαθών, ένας σχετικά απλός τρόπος μετάδοσης της πληροφορίας είναι με την μέθοδο των k-αντιγράφων, σύμφωνα με την οποία ένα ψηφίο μεταδίδεται k φορές. Για παράδειγμα εάν θέλουμε να μεταδώσουμε το μήνυμα n=4 ψηφίων με χρήση k=3-αντιγράφων θα μεταδοθεί (ιδανικά) ως εξής:. Ο παραλήπτης στη συνέχεια θα λάβει το μήνυμα, θα το χωρίσει σε τμήματα k ψηφίων όπου θα μετρήσει το ψηφίο με την μεγαλύτερη συχνότητα σε κάθε τμήμα. Έτσι για παράδειγμα το μήνυμα θα χωριστεί σε ομάδες k-ψηφίων όπου τελικά θα αποκωδικοποιηθεί ως εξής με βάση τον κανόνα της μεγαλύτερης συχνότητας. Εάν υποθέσετε ότι πραγματοποιείται μετάδοση μηνύματος n=64 ψηφίων με πιθανότητα σφάλματος e=., υπολογίστε την πιθανότητα το μήνυμα να μεταδοθεί χωρίς σφάλμα α) χωρίς να χρησιμοποιηθούν k-αντίγραφα ψηφίων (ή αλλιώς με k= αντίγραφα), β) με τη χρήση της μεθόδου k-αντιγράφων με k=3 και k=5. e e
Άσκηση 49. 4α) Εάν a k b αποδείξτε ότι b k b b a k a a k a. 4β) Χρησιμοποιώντας τα πιθανοτικά αξιώματα δείξτε ότι αν A B τότε P B A' P( B) P( A). Άσκηση 5. Ένα κουτί περιέχει 3 (δίκαια) ζάρια Ζ Ζ 2 Ζ 3 με τους εξής αριθμούς: Ζ : 2 2 2 Ζ 2 : 2 2 3 3 Ζ 3 : 2 3 4 5 6 Σύμφωνα με την εκτέλεση του πειράματος, επιλέγουμε ένα ζάρι και το ρίχνουμε. α) Υποθέτοντας ότι κάθε ένα από τα 3 ζάρια έχουν ίση πιθανότητα να επιλεχθούν, ποια είναι η πιθανότητα να έρθει ; β) Εάν το αποτέλεσμα του πειράματος ήταν, ποια είναι η πιθανότητα να προήλθε από το ζάρι, Ζ. γ) Επαναλαμβάνετε το α) ερώτημα στην περίπτωση όπου το ζάρι Ζ έχει διπλάσια πιθανότητα από τα υπόλοιπα δύο (που έχουν ίδια πιθανότητα). Άσκηση 5. Σε ένα δάσος ζουν 2 ελάφια, 5 από τα οποία αιχμαλωτίστηκαν. Αφού τοποθετήθηκε μία αναγνωριστική ετικέτα σε αυτά, αφέθηκαν ελεύθερα. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, 4 από τα 2 ελάφια αιχμαλωτίστηκαν. α) Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 2 από αυτά τα 4 να είχαν ήδη την ειδική ετικέτα; β) Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον 2 από αυτά τα 4 να είχαν την ετικέτα; Άσκηση 52. Εστω ότι αφαιρείται 7 σφαίρες από δοχείο που περιέχει 2 κόκκινες, 6 μπλέ και 8 πράσινες σφαίρες. Βρείτε τις εξής πιθανότητες: α) να αφαιρέσετε 3 κόκκινες, 2 μπλέ και 2 πράσινες σφαίρες β) να αφαιρέσετε τουλάχιστον 2 κόκκινες σφαίρες γ) να αφαιρέσετε σφαίρες που έχουν όλες τους το ίδιο χρώμα, δ) να αφαιρέσετε είτε ακριβώς 3 κόκκινες είτε ακριβώς 3 μπλέ σφααίρες. Άσκηση 53. Σε μία συγκεκριμένη περιοχή, το 36% των οικογενειών έχει σκύλο και το 22% των οικογενειών που έχουν σκύλο έχουν επίσης και μία γάτα. Επιπλέον, το 3% των οικογενειών έχει μια γάτα. Υπολογίστε τις εξής πιθανότητες για μια τυχαία επιλεγμένη οικογένεια: α) να έχει και σκύλο και γάτα, β) να έχει τουλάχιστον ένα κατοικίδιο ζώο (σκύλο ή γάτα). γ) να έχει σκύλο με δεδομένο ότι έχει γάτα.