7η ιεθνής Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη 18 22 Μαρτίου 215 Ολοκληρωτικές εξισώσεις: τριτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση Κυριαζής Χρήστος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος 1
Ενότητες παρουσίασης Εισαγωγικές έννοιες Ολοκληρωτικές εξισώσεις και πανελλαδικές εξετάσεις Μετατροπές ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία 2
Εισαγωγικές έννοιες Ολοκληρωτική εξίσωση: ονοµάζεται κάθε εξίσωση που περιέχει την άγνωστη συνάρτηση µέσα στο ολοκλήρωµα y(t) 1 y(s)ds Εφαρµογές εµφανίζονται στην: Ιατρική, στη διάδοση µάζας και θερµότητας, στη θεωρία παιγνίων, στη θεωρία ελέγχου, στην οικονοµία, στη θεωρία δυναµικού, στην ηλεκτροδυναµική, στην ακουστική κ.τ.λ. t = + 3
ιάκριση ολοκληρωτικών εξισώσεων Εξισώσεις Fredholm (σταθερά άκρα ολοκλήρωσης) Εξισώσεις Volterra (υπάρχει µεταβλητό άκρο ολοκλήρωσης) Αν K :[ α, β ] [ α, β] R έχουµε: β u() = K(, t)u(t)dt+ f (), [ α, β], α u() = K(, t)u(t)dt+ f (), [ α, β]. α Εισαγωγικές έννοιες 4
Μέθοδοι επίλυσης ολοκληρωτικών εξισώσεων µέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων, µέθοδος των επαναληπτικών πυρήνων, µέθοδος Fredholm, µέθοδος Hilbert-Schmidt, µέθοδος των ολοκληρωτικών µετασχηµατισµών και µετατροπή της σε ισοδύναµο πρόβληµα Σ Ε ή Μ Ε. Εισαγωγικές έννοιες 5
ιαφορικές vs ολοκληρωτικές εξισώσεις ιαφορικές εξισώσεις µη φραγµένοι τελεστές σηµειακός χαρακτηρισµός των λύσεων Ολοκληρωτικές εξισώσεις φραγµένοι τελεστές ολικός χαρακτηρισµός των λύσεων οι λύσεις περιέχουν τις αρχικές ή τις συνοριακές συνθήκες Εισαγωγικές έννοιες 6
Ολοκληρωτικές εξισώσεις και πανελλαδικές εξετάσεις 4 ο Θέµα 21 1 2 2 f () = 1 2 t f (t)dt 2 f () 1 2 u f (u)du = Volterra 2ου είδους 2 f '() = 2f (), µε f () = 1 f () = 1 2 + 1 7
4 ο Θέµα 28 2 3 f () (1 3) f (t)dt 45 = + Fredholm 2ου είδους - εξίσωση Hammerstein 2 c f (t)dt = 3 f () = 1c + 3c 45 3 f () = 2 + 6 45 Ολοκληρωτικές εξισώσεις και πανελλαδικές εξετάσεις 8
Θέµα 21 t Θέµα 211 f () = + 3+ dt f (t) t 2t 1 f () e = 2 Volterra e g(+ t) 2t 1 g() e = Θέµα 212 2 e f (+ t) ln t t ln = dt+ e f () f (t) 1 dt dt Ολοκληρωτικές εξισώσεις και πανελλαδικές εξετάσεις 9
Μετατροπές ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων Για κάθε συνεχή συνάρτηση f µε α ισχύει: s f (y)dyds = f (y) y dy ( ) α α α Η γενίκευσή του για εξισώσεις νιοστής τάξης είναι: t t t t 1 n 1... f (t )dt dt...dt dt = ( t t ) f (t )dt n 1! 1 2 n 1 ( ) n n n 1 2 1 1 1 1 α α α α α t 1
Π.Α.Τ. σε Ολοκληρωτική εξίσωση u ''() + p()u '() + q()u() = f (), για > α u(α) = u u '(α) u = 1 α { [ ]} u() = p(y) + ( y) q(y) p '(y) u(y)dy + ( ) + ( + )( ) + α y f (y)dy p(α)u u α u 1 Μετατροπές ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων 11
Σ..Ε. σε Ολοκληροδιαφορική εξίσωση u ''() + p()u '() + q()u() = f (), για > α u(α) = u u '(α) = u1 u() = α w(s)ds w '() + p()w() + q() w(s)ds= f (), για > α α Μετατροπές ολοκληρωτικών και διαφορικών εξισώσεων 12
Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια Με διαδοχικές προσεγγίσεις f () = 1 + (t )f (t)dt Θέτουµε Af () = 1 + (t )f (t)dt και επιλέγουµε f () = 1 13
ιαδοχικές προσεγγίσεις (2/2) Τότε Af () = 1 2 2 και µε µαθηµατική επαγωγή αποδεικνύουµε ότι n n k A f () = ( 1) k= άρα η λύση είναι { n } 2k (2k)! f () = lim A f () = cos n 2 4 2 A f () = 1 + 2! 4! Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια 14
Μέθοδος επαναληπτικών πυρήνων (1/2) Έστω Τότε οπότε 1/2 u() u(t)dt = + K 1(, t) = 1 K 1 1 2(, t) =, K 3(, t) = 2 4 Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια 15
Μέθοδος επαναληπτικών πυρήνων (2/2) Με µαθηµατική επαγωγή αποδεικνύεται ότι K (, t) n n 1 2 1 =, n N * Τότε, ο Fredholm επιλύων πυρήνας του K(, t) είναι άρα i R(, t; λ ) = λ Κ i+ 1(, t) = 2 i= 1/2 u() = + 1 2tdt= + 1 4 Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια 16
Με χρήση του µετασχηµατισµού Laplace (1/2) Έστω Με χρήση του µετασχηµατισµού Laplace οπότε f () = ( t)f (t)dt L{f ()} = L() L ( t)f (t)dt 1 1 F(s) = 2 2 s s F(s) Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια 17
Με χρήση του µετασχηµατισµού Laplace (2/2) Τότε F(s) = 1 2 s + 1 Με αντιστροφή του µετασχηµατισµού Laplace 1 s + 1 1 f () = L = sin 2 Ολοκληρωτικές εξισώσεις στα Πανεπιστήµια 18
Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα Νόµος του Gauss για τον ηλεκτρισµό Ε da= Ω 1 ε Ω ρdv ρ η συνολική πυκνότητα του φορτίου Ω ένας όγκος που περιέχει την κλειστή επιφάνεια Ε το ηλεκτρικό πεδίο da η στοιχειώδης επιφάνεια dv ο στοιχειώδης όγκος ε η διηλεκτρική σταθερά του κενού Ω 19
Νόµος του Gauss για τον ηλεκτροµαγνητισµό Β d = A Ω Ω µια κλειστή επιφάνεια B το µαγνητικό πεδίο da η στοιχειώδης επιφάνεια Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 2
Νόµος του Faraday για την επαγωγή Σ Ε dl= Β d t A Σ Σ µη κλειστή επιφάνεια εντός χωρίου Ε το ηλεκτρικό πεδίο B το µαγνητικό πεδίο da στοιχειώδης επιφάνεια dl στοιχειώδες µήκος Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 21
Ο κλιµακωτός νόµος του Ampere Β d l = µ J d Α+ µ ε Ε da Σ Σ Σ µια επιφάνεια εντός χωρίου Ε το ηλεκτρικό πεδίο B το µαγνητικό πεδίο J η πυκνότητα ρεύµατος da η στοιχειώδης επιφάνεια ε η διηλεκτρική σταθερά του κενού Σ Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 22
Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 23
Πρόβληµα ελέγχου κατά την απογραφή αποθεµάτων (1/2) k(t) ποσοστό που µένει απούλητο µετά από χρόνο t Ποιος είναι ο ρυθµός προµήθειας του εµπορεύµατος ώστε το απόθεµα να παραµένει σταθερό; Θεωρούµε: u(t) το ρυθµό προµήθειας εµπορευµάτων α την αρχική ποσότητα των εµπορευµάτων. Τότε: u(τ) τ η προµήθεια από τη στιγµή τ ως τη τ + τ, k(t - τ)u(τ) τ η απούλητη ποσότητα τη στιγµή t Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 24
Πρόβληµα ελέγχου κατά την απογραφή αποθεµάτων (2/2) Τότε η απούλητη ποσότητα τη στιγµή t είναι: t αk(t) + k(t τ)u(τ)dτ H ποσότητα του αρχικού που παραµένει απούλητη άρα πρέπει να λυθεί η εξίσωση Volterra: t αk(t) + k(t τ)u(τ)dτ= α Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 25
ιάφορα προβλήµατα - αναφορές Εύρεση σχήµατος συγκεκριµένων καµπύλων Εύρεση του σχήµατος της εγκοπής ενός ρυθµιστικού φράγµατος ποταµού Κατανοµή πυκνότητας αλυσίδας για να λαµβάνει συγκεκριµένο σχήµα Μελέτη της εξέλιξης ενός πληθυσµού Εύρεση ρυθµού αντικατάστασης µηχανηµάτων ώστε µια στιγµή να λειτουργεί συγκεκριµένος αριθµός µηχανηµάτων. Πηγή: Σιαφαρίκας, Π. (23). Ολοκληρωτικές εξισώσεις. Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών Ολοκληρωτικές εξισώσεις σε πραγµατικά προβλήµατα 26
Συµπεράσµατα Οι ολοκληρωτικές εξισώσεις: είναι ένας σηµαντικός τοµέας της Μαθηµατικής Ανάλυσης, έχουν µεγάλο φάσµα εφαρµογών, επιλύονται µε πολλούς τρόπους, µετασχηµατίζονται σε διαφορικές εξισώσεις και αντιστρόφως, αποτελούν θέµατα πανελλαδικών εξετάσεων 27
Βιβλιογραφία Σιαφαρίκας, Π. (23). Ολοκληρωτικές εξισώσεις. Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών. Logan, J. D. (25). Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης. άσιος, Γ. (21). έκα διαλέξεις Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών. Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης. Ντούγιας, Κ. Σ. (21). Ολοκληρωτικές εξισώσεις. Εκδόσεις Συµµετρία.. Collins, J. P. (26). Differential and Integral Equations. Oford University Press. Corduneanu, C. (28). Integral equations and applications. Cambridge University Press. 28
29