2. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P, που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ] και έχει τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ).. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Συμβολίζουμε με το πεδίο ορισμού (που περιέχει υποσύνολα του συνάρτησης P. Δηλαδή το μέτρο πιθανότητας Ω ) της [ ] P : 0, είναι μία συνολοσυνάρτηση από το στο [ 0, ] τέτοια ώστε για κάθε A να έχουμε 0 P( A). H δομή του Για παράδειγμα εάν AB,, είναι λογικό, εκτός των πιθανοτήτων P( A ) και P( B ) να θέλουμε να μπορούμε να υπολογίζουμε πιθανότητες της μορφής P( A ), P( B ) είτε P( A B). Για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες P( A ), P( B ) μας αρκεί το γεγονός ότι AB, εφόσον P( A ) P( A) και P( B ) P( B). Από την άλλη μεριά αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε και A, B. Για την P A B έχουμε ότι: πιθανότητα ( ) P( A B) P( AB ) + P( AB ) + P( AB) P( A B) P( A) + P( AB ) P( A B) P( B) + P( AB ) Προσθέτοντας κατά μέλη την η και 3 η εξίσωση και αφαιρώντας την η παίρνουμε την γνωστή σχέση P A B P A + P B P AB. ( ) ( ) ( ) ( ) Είναι εμφανές λοιπόν ότι για να μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες P( A ), P( B ), και P( A B) θα πρέπει να ανήκουν στο εκτός από τα A και B, και τα υποσύνολα του Ω Ο χώρος Ω που καθορίζει το τυχαίο πείραμα ή φαινόμενο. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

A B, A, B, AB, AB, A B. Για πρακτικούς λόγους, θα θέλαμε να μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου A Ω δηλαδή θα θέλαμε να έχουμε σαν πεδίο ορισμού της συνάρτησης P το δυναμοσύνολο του Ω, δηλαδή το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Ω, που συμβολίζουμε με Ω είτε ( Ω). Αυτό όμως μπορεί να γίνει μόνο για διακριτά σύνολα Ω. Εάν για παράδειγμα το Ω είναι κάποιο πεπερασμένο υποσύνολο του, τότε το αξίωμα της επιλογής μας λέει ότι εάν θέσουμε σαν μέτρο πιθανότητας 3 P( A) µ ( A) / µ ( Ω), µ ( A) το μήκος του A, τότε υπάρχουν παθολογικά υποσύνολα του Ω στα οποία η έννοια της πιθανότητας δεν μπορεί να οριστεί (για παράδειγμα τα σύνολα τύπου Vtal δεν έχουν μήκος). Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση, το θα είναι μικρότερο από το δυναμοσύνολο του Ω, δηλαδή Ω Έτσι το πεδίο ορισμού του μέτρου πιθανότητας, είναι μια οικογένεια μετρήσιμων υποσυνόλων του Ω, που όμως γενικά δεν περιέχει όλα τα δυνατά υποσύνολα του Ω. Ορισμός: Ένα σ πεδίο (σ feld ή σ algebra ή Borel feld) πάνω στο δειγματικό χώρο Ω, είναι μια οικογένεια υποσυνόλων του Ω τέτοια ώστε:. Ω. A A A, A A A. 3. Στα παρακάτω όταν αναφερόμαστε σε πεδίο του Ω θα εννοούμε σ πεδίο του Ω. Άσκηση Εάν το Ω είναι δειγματικός χώρος και το πεδίο ενδεχομένων του, τότε 4 : ( ), { A ( A ) I επίσης { A I ( A ) I. I Το αξίωμα της επιλογής μας λέει ότι από κάθε οικογένεια συνόλων { I ακριβώς στοιχείο x Sαπό κάθε σύνολο της οικογένειας, δηλαδή δοθέντος της { κατασκευάσουμε το { x. I 3 Για παράδειγμα εάν A ( ab, ) τότε ορίζουμε σαν ( ) ( ) ευκλείδεια απόσταση. 4 Ο συμβολισμός { A σημαίνει ότι A, I I S μπορούμε να διαλέξουμε ένα S μπορούμε να µ A b a b a τη μονοδιάστατη. I Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

Παρατηρήσεις. Από τον ορισμό φαίνεται ότι η οικογένεια είναι κλειστή κάτω από τις πράξεις ( ),., Δηλαδή χρησιμοποιώντας τις πράξεις ( ),, πάνω στα στοιχεία του, το αποτέλεσμα είναι και πάλι στοιχεία που ήδη ανήκουν στο πεδίο.. Κάθε πεδίο πάνω στον δειγματικό χώρο Ω βρίσκεται μεταξύ των πεδίων Ω, (το τετριμμένο πεδίο) και Ω (το δυναμοσύνολο του Ω ). { Παραδείγματα. Εάν οι οικογένεια υποσυνόλων είναι ένα πεδίο του Ω, τότε το περιέχει και τις αριθμήσιμες τομές των στοιχείων του A A A A A. { { ( ) I I I I I. Εάν η ακολουθία ενδεχομένων { lm f A A ανήκει στο, τότε τα ενδεχόμενα και lmsup A που ορίζονται σαν lm f A A, lm sup A A ανήκουν στο. Παράδειγμα. Εάν { F, SF, FSF,, F S, S F,, S Ω όπου F και S με P S P F p τότε Ω. Εάν συμπληρωματικές καταστάσεις 5 ( ) ( ) ορίσουμε την συνάρτηση X : Ω, έτσι ώστε X ( ω ) ο αριθμός των S στο δειγματικό σημείο ω, παρατηρούμε ότι ο χώρος καταστάσεων S της X θα είναι: ( ) { 0,,, S X Ω. Θέτοντας Ω έχουμε ότι 5 Falure, Success Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

{ { ( ) ω : ( ω) X B X B X B Ω, για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του (τότε λέμε ότι η συνάρτηση X : Ω B /,3/ τότε επειδή B είναι μια τυχαία μεταβλητή). Για παράδειγμα εάν ( ) θα έχουμε { X B { SF, FSF,, F S Γνωρίζουμε τότε ότι η κατανομή της τ.μ. X είναι διωνυμική, δηλαδή X ~ B, p με ( ) px ( x) P{ X x B ( x, p ) x Για { ω ( ω) p x p x x ( ), { 0,,, { { X : X SF, FSF,, F S { X 0, elsewhere. Ω και εφόσον, παίρνουμε ( { ) { ( P X P X p p), ενώ Ω X { 0,,, X { x X { x x 0 x 0 P( Ω ) P X { x P { X 0 { X P X x x 0 x 0 x x p ( p ) ( p + ( p )) x 0 x ( ) {. Για τον δειγματικό χώρο { S, FS,, F S, πάλι Ω. Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές Ω μπορούμε να θέσουμε και X : Ω έτσι ώστε X ( ω ) ο αριθμός των F στο ω αριθμός των αποτυχιών έως την πρώτη επιτυχία, Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

Y : Ω έτσι ώστε Y( ω) X ( ω) + ο αριθμός των S και F στο ω αριθμός των δοκιμών έως την πρώτη επιτυχία. Για παράδειγμα x ( { ) { { ( ) ( ) P X x PX x P FS p px, 0, και γνωρίζουμε ότι η τ.μ. X ~ ( ) x Geo p ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p, παραμετρικοποιημένη ως προς τον αριθμό των αποτυχιών x. Φυσικά και ισχύει ότι x P( Ω ) P X ({ x ) p( p) p. ( p) Ισοδύναμα x 0 x 0 y ( ({ )) { ( ) ( ) ~ ( ) ~+ ( ). PY y PY y PF S p p, y,ενώ X Y Geo p Y Geo p Δηλαδή η τ.μ. Y ~ Geo( p) y + ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p, παραμετρικοποιημένη όμως, ως προς τον αριθμό των δοκιμών Beroull x. 3. Για τον δειγματικό χώρο Ω S, FS, SFS,, S F, F S, FS F,, S FS, + + έχουμε Ω και θέτουμε: X ( ω ) ο αριθμός των F στο ω αριθμός των αποτυχιών έως την οστη επιτυχία, S X Ω, +, +,, X ( ) { ( ω) ( ω) Y ( ) { 0,,, Y X ο αριθμός των δοκιμών έως την οστη επιτυχία, Ω. SY { x P X Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

P{ επιτυχίες στις πρώτες x δοκιμές, επιτυχία στην x δοκιμή P{ επιτυχίες στις πρώτες x δοκιμές P{ επιτυχία στην x δοκιμή (, ) (, ) B x p B p x ( ) ( ) ( ) x x p ( p), x {, +, +, x p p p, και γνωρίζουμε ότι η τ.μ. X~ ( p, ) 0, elsewhere ακολουθεί την αρνητική διωνυμική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p και αριθμό επιτυχιών, παραμετρικοποιημένη ως προς τον αριθμό των δοκιμών x έως τις πρώτες επιτυχίες. Η παραμετρικοποίηση ως προς τον αριθμό των αποτυχιών έως τις πρώτες επιτυχίες είναι y+ p p y PY { y PY { x 0, elsewhere. y ( ), { 0,,, Το Ω λοιπόν αποτελείται από τα στοιχειώδη αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος (είναι ο χώρος του πειράματος ή του τυχαίου φαινομένου). Ω { δειγματικά σημεία { οι δυνατές ερωτήσεις που μπορούμε να απαντήσουμε με τα δεδομένα που έχουμε από το τυχαίο πείραμα Το πεδίο λοιπόν έχει δομή πληροφορίας. Εάν μάλιστα όσο περνάει ο χρόνος η πληροφορία που διαθέτουμε αυξάνεται, το μπορεί να αντικατασταθεί με μία αύξουσα δομή πληροφορίας (αύξουσα ακολουθία πεδίων), που συχνά ονομάζεται διήθηση (fltrato). 3 Θεώρημα Για κάθε οικογένεια υποσυνόλων του δειγματικού χώρου Ω υπάρχει πεδίο σ, που περιέχει όλα τα σύνολα της και είναι το μικρότερο πεδίο με αυτήν ( ) την ιδιότητα. Λέμε ότι το σ ( ) είναι το πεδίο που παράγεται από την οικογένεια υποσυνόλων του Ω. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

Παράδειγμα Εάν A και B ενδεχόμενα του Ω, να βρεθεί σε κάθε περίπτωση το πεδίο σ { AB, που παράγεται από την οικογένεια { AB,. AB και A B Ω.. AB και A B Ω. 3. AB και A B Ω. 4. AB και A B Ω.. Όταν AB και A B Ω, θα έχουμε {, AB,,, A, B Ω A B, A B, A B, A B,. AB, AB, A B, A B Η οικογένεια δεν είναι ακόμα κλειστή κάτω από τις πράξεις ( ),., Παρατηρούμε ότι τα σύνολα που μπορούμε να παράγουμε με ενώσεις από τις τομές AB, AB, A B, A B είναι: ( ) ( ) AB AB A B B A AB A B A A B B AB A B A B 6 ( ) ( ) ( ) AB A B A B AB A B A A B B AB AB A B B A Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε τώρα ότι το σύνολο 3, { A B ( A B) 6 Η συμμετρική διαφορά A B των A και B, ορίζεται σαν η ένωση των A και B εκτός των κοινών τους σημείων: ( ) \ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) A B A B AB A B AB A B A B AB A B ( A B) ( A B) ( AB) ( A B ) ( AB) Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

είναι κλειστό ως προς τις πράξεις ( ),,, ή ότι: σ { AB, Ω,, ABA,,, B, A BA, B, A BA, B,. AB, AB, A B, A B, ( AB ) ( A B), ( A B ) ( AB) 3. Στην ειδική περίπτωση που AB ( A B B A ) τότε από το (.) έχουμε: Ω,, ABA,,, B, A B, A B, A B, A B B A AB A B Ω Ω,, ABA,,, B, σ { AB, AB, AB, A B, A B, A B,. A B AB ( AB ) ( A B),( A B ) ( AB) A B ( AB ) 3. A B Ω, AB ( A B B A) Ω,, ABA,,, B, A B, A B, A B, A B Ω,, ABA,,, B, Ω A B A B σ { AB,, AB, AB, A B, A B, A B B A ( A B ) AB A B, ( A B) 4. Όταν A B σ { AB Ω και AB ( A B A B) Ω,, ABA,,, B,, {,,, A B, AB AB Ω. Ω AA Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

Άσκηση Να βρεθεί το πεδίο { AB, σ στις εξής περιπτώσεις:. Ω { abcd,,, και A { ab,, B { bc, πεδίο σ { AB, είναι ίσο με το Ω ).. Ω { abcde,,,, και A { abc,,, B { cde,,. Σε αυτή την περίπτωση { AB Πράγματι σ { AB (σε αυτή την περίπτωση δείξτε ότι το. σ, 6 και γνωρίζουμε ότι Ω Ω 6. A { ab B { bc A { cd B { ad {,,, {,,, {,,, {,, {, {, {, {, {,,( ) {, Ω,,,,,,,,,, A B abc A B abd A B bcd A B acd, AB b AB a A B c A B d A B ac A B bd. Σε αυτή τη περίπτωση έχουμε ότι A BΩ και AB. Αυτή είναι ακριβώς η περίπτωση (4.) της προηγούμενης άσκησης σ { AB, Πρόταση { { { { Ω,, A abc,,, B cde,,, A de,, B ab,, A B, A B A, A B B, A B { a, b, d, e { c Ω. AB { c, AB B, A B A, A B, A B { c, ( A B) { c. Δίνεται ότι τα για I είναι πεδία πάνω στον Ω, όπου το I είναι ένα πεπερασμένο είτε άπειρο σύνολο δεικτών. Δείξτε ότι και η οικογένεια I είναι πεδίο πάνω στον Ω.. Δείξτε ότι γενικά η ένωση πεδίων δεν είναι πεδίο.. () Ω, I Ω I, () A A, I A, I A I I, () Aj, j J Aj, j J, I I Ω Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

A, I A. j J j j I j J. Δείχνουμε το (.) με ένα αντιπαράδειγμα. Επειδή σ { A { Ω,, AA, και σ { B { Ω,, BB, και παρατηρούμε ότι { AB, σ{ A σ{ B σ{ AB,. Επειδή το σ { AB, είναι το ελάχιστο πεδίο που περιέχει την οικογένεια {, σ{ A σ{ B δεν είναι πεδίο. Παρατήρηση Εμφανώς σ ( σ{ A σ{ B ) σ{ AB, των πεδίων σ { A και σ { B το συμβολίζουμε με σ{ A σ{ B AB, το. Το πεδίο που παράγεται από την ένωση. Πρόταση Εάν,, A A τότε σ { A,, A. A j Έστω ότι Ej και A το σύνολο όλων των δυνατών τομών μεταξύ j 0 των A, A και των συμπληρωμάτων τους, δηλαδή, { B : B E, E, E,, j { 0,, j j j Εάν όλες οι τομές είναι διαφορετικά σύνολα, τότε ενώ εάν τα ενδεχόμενα,, A A αποτελούν διαμέριση του Ω ( A Ω και AA για j) τότε θα j έχουμε μόνο διαφορετικά σύνολα, δηλαδή. Γενικά λοιπόν εάν, τότε χρησιμοποιώντας ενώσεις, μπορούμε να πάρουμε διαφορετικά σύνολα. Έτσι έχουμε ότι { { σ A,, A, σ A,, A Ορισμός B( ) : Το σύνολο Borel του είναι το σ πεδίο που παράγεται από όλα τα διαστήματα της μορφής (, x] για x. Δηλαδή ( ) σ {(, x]: x B, Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 0

και μπορεί να αποδειχθεί ότι το B ( ) περιέχει όλα τα μετρήσιμα υποσύνολα (τα Borel υποσύνολα) του. B( ) \{ υποσύνολα του που δεν έχουν μέτρο Ορισμός: Το μέτρο πιθανότητας P είναι μια συνάρτηση P : τέτοια ώστε:. P( A) 0, A. P ( Ω ) (κανονικοποίηση του μέτρου πιθανότητας) P A P A, A : A A j, j I 3. ( ) ( ) { I I Ονομάζουμε την τριάδα ( Ω,,P) χώρο πιθανότητας. : Μια ακολουθία ενδεχομένων A λέμε ότι είναι μονότονη όταν: Ορισμός {. Αύξουσα A A A A3. Φθίνουσα A A A A3 : Το όριο μονότονης ακολουθίας ενδεχομένων A ορίζεται με τον εξής τρόπο: sup A, lm A f A, Ορισμός { Ορίζουμε την ενδεχομένων οστης τάξης ουρά (tal) της ακολουθίας σαν την ακολουθία ( ) { T A. Επίσης ορίζουμε την τομή και την ένωση των στοιχείων της οστης τάξης ουράς της ακολουθίας σαν M J ( ) A (the meet of the tal ( ) T ) ( ) A (the jot of the tal ( ) T ). Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

Πρόταση Η ακολουθίες τομής { M και ένωσης { J τάξης ουράς της ακολουθίας { ενδεχομένων της οστης A, είναι πάντα μονότονες 7. + + + M A A A A M M + + +. J A A A A J J Αυτό που μας λέει η προηγούμενη πρόταση είναι ότι οι ακολουθίες ενδεχομένων M και J έχουν όριο. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Επειδή έχουμε: lm f A lm M, lm sup A lm J lm f A lm M sup M A, και επειδή έχουμε ότι: lm sup A lm J f J A. Πρόταση. Έστω ότι πραγματοποιείται το ενδεχόμενο, τότε αυτό είναι ισοδύναμο με την πραγματοποίηση άπειρων από τα ενδεχόμενα της ακολουθίας 8.. Εάν πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο, τότε αυτό είναι ισοδύναμο με την πραγματοποίηση όλων των ενδεχομένων της ακολουθίας εκτός ίσως από κάποιο αρχικό πεπερασμένο πλήθος 9. 7 Η αρχική ακολουθία δεν χρειάζεται να είναι μονότονη. 8 Το ενδεχόμενο lmsup A συμβολίζεται και ως { A, o. ά. { ω : ω A για πειρα Ω δηλαδή τα ενδεχόμενα στην ακολουθία πραγματοποιούνται απείρως συχνά (ftely ofte). Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

. Η πραγματοποίηση άπειρων από τα ενδεχόμενα της ακολουθίας είναι ισοδύναμη με το εξής: εάν ω τότε υπάρχει υπακολουθία { A τέτοια ώστε ω A,. Πράγματι ( ) A A A ( ) { ω ω ω ω ( ) : ω A και : ω A και A : ω A,.. Εάν ω τότε υπάρχει N τέτοιο ώστε για N να έχουμε ω A. Πράγματι A ( A A ) ( N : ω A ω A, N N ) ω ω ω ω Παράδειγμα Δίνεται η ακολουθία ενδεχομένων { m { A { b { b { b { α { β { α { β { α { β,,,,,,,,,,,, όπου b διαφορετικά μεταξύ τους και διαφορετικά των α και β, τότε ( ) M A M, 9 Το ενδεχόμενο lmf A συμβολίζεται και ως { A, aa. ά. { ω Ω: ω A τελικ δηλαδή τα ενδεχόμενα πραγματοποιηθούν όλα. Ισοδύναμα λέμε ότι τα ενδεχόμενα πραγματοποιούνται σχεδόν πάντα (almost always). A, από κάποιο πεπερασμένο N και μετά, θα A Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

{ αβ b, bm, bm,, J A J { bm, αβ, m { αβ, > m { αβ, Εύκολα παρατηρούμε ότι εάν ορίσουμε α, β, α, β,, α, β, τότε και πάλι έχουμε {{ { { { { { B { αβ lm sup, δηλαδή η μη ύπαρξη του πεπερασμένου bloc { b,{ b,,{ bm αποτέλεσμα. Παρατηρείστε ότι εάν τα { b { b { b στην ακολουθία, δεν επηρεάζει το τελικό,,, m βρίσκονταν σε οποιεσδήποτε θέσεις μέσα στην ακολουθία, και πάλι θα είχαμε το ίδιο αβ, (αυτό διότι το m είναι πεπερασμένο). lmt superor { Επίσης παρατηρούμε ότι για κάθε στοιχείο ω του { αβ, υπακολουθία της { ω + A υπάρχει που το περιέχει. Για παράδειγμα εάν ω α τότε A, m και εάν ω β τότε ω A, m+. Πρόταση Όταν η ακολουθία { είναι μονότονη ισχύει ότι: A lmf A lm A lmsup A Εάν A τότε γνωρίζουμε ότι lm A A. A M A AA A A + + lm f A sup A A lm A A A, A A,, A A A A ( ) lmsup A f A A A lm A, Εάν A τότε γνωρίζουμε ότι lm A A. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

A A A A A A A A lmsup A A lmf A. Λήμμα: Ισχύει ότι. ος τρόπος: Εμφανώς έχουμε ότι A A για κάθε, ή ότι M J. Όμως M και J παίρνοντας το όριο όταν έχουμε ότι lm. M lm J ή ότι ος τρόπος: ω ω A ( ω A ω A ) ( N : ω A) ( ω A, N) N ω N N A A N A A N ω ω AN A N A N A N+ ω ω ω Άσκηση Να βρεθεί, εάν υπάρχει, το όριο των ακολουθιών ενδεχομένων:.. 3. A A A B,, C,, +, /, /, 4. A (, / ],. J A B C A B C M A B C A B C Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

Επειδή δεν υπάρχει το όριο της ακολουθίας A. Σε αυτή την lm A B C, B C. περίπτωση ένας καταχρηστικός συμβολισμός θα ήταν {. J A, 0, + + επειδή 0 A,, f J 0, ( 0,] +, επειδή A,. M A,, +, sup M, ( 0,]. Ενώ η δεν είναι μονότονη, έχει όριο, διότι ( 0,] τους τιμή lm A ( 0, ]. 3. Παρατηρούμε ότι [ ]. Το όριο είναι η κοινή A, v, v, v v,, v, <. J A,, J, (,) M A, sup M Ενώ η δεν είναι μονότονη, έχει όριο διότι τα lmf A και lmsup A ταυτίζονται. Το όριο είναι η κοινή τιμή lm A. 4. Η A (, / ], είναι lm A A (, / ] (, 0 Άσκηση Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

Δίνεται η ακολουθία ενδεχομένων { A, με A [ a, b] για θετικά κ και λ. Να βρεθεί το lm A και κ < a < κ < b < λ, εάν υπάρχει, στις εξής περιπτώσεις: a a, b b, a, a b b, a, a b b, a, a b b.. a, b J + [ a, b] ( a, b f J + + + (, (, a b a b M [ a, b ] a, b + sup a, b + ( a +, b + + + μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm A ( a, b.. a, b J ( ) [ a, b ] a, b ) f a, b ) a, b ) M ( ) [ a, b ] a, b sup a, b a, b ) μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm A a, b ). 3. a, b A [ a, b ] lm A [ a, b ] a, b + 4. a, b A [ a, b ] lm A [ a, b ] ( a +, b ). Άσκηση Δίνεται ότι X ~ Exp ( λ ) και { A, με ισχύει η ισότητα lm P{ X A P{ X lm A A., +,. Επαληθεύστε ότι Παράδειγμα. Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { B ενδεχομένων { BB, j και j με B A B. A. Δείξτε ότι για την ακολουθία A, έχουμε A \ A j j > Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

. Δείξτε την ανισότητα του Boole για άπειρα ενδεχόμενα, δηλαδή ότι για κάθε ακολουθία { A ισχύει P ( A ) P ( A ).. Υποθέτουμε < j και έχουμε ότι B A A A και Bj A A A A + A j Aj, από όπου και BB j. Παρατηρούμε επίσης ότι ( ) ( ) ( 3 3 4) ( A A) ( AAA ) ( AAAA ) B A AA AAA AAAA 3 3 4 ( A A) ( A A) A 3 ( AA A 3A4) ( A A A) ( AAAA ) 3 3 4 ( A A A3) ( A A A3) A 4 A A A A 3 ενώ B A P ( B ) P ( A ). P ( A ) P ( B ) P ( B ). που δίνει P ( A ) P ( B ) P ( A ) Παρατήρηση Εάν { A τότε A j j A και B A A. A \ A \ j > A A j > Παράδειγμα Δείξτε την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα, δηλαδή ότι P A P A για κάθε ( ) ( ) ισχύει P( A A ) P( A ) P( A ) P( AA ) P( A ) P( A ) Για + +. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

και αποδεικνύουμε την ανισότητα για Δεχόμαστε ότι P ( A ) P ( A ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) P A P A A P A + P A + P( A) P( A+ ) P( A). + +. Πρόταση Η πιθανότητα είναι μια συνεχής συνολοσυνάρτηση πάνω σε μονότονες ακολουθίες ενδεχομένων. Δηλαδή θέλουμε να δείξουμε ότι εάν η { A είναι μια μονότονη ακολουθία ενδεχομένων, τότε Εάν ( ) ( lm ) lm P A P A. { + A, έχουμε lm A A A ( A \ A) 3 3 και τα ενδεχόμενα B A, B A \ A, B A \ A, είναι ξένα μεταξύ τους. ( ) ( ) ( ) ( ) ( lm ) { ( \ ) \ + + + lm { P( A) P( A \ ) lm { ( \ ) + A P A A + A P A P A A A P A P A A + ( ( ) ( ) ( 3 3 4) ( ) ) lm ( ) lm P A AA A A A A A A P A Εάν A τότε A και από τα προηγούμενα lm P( A ) P( lm A ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( A) P( A) P( A) P( A) lm P A P A lm P A P A lm lm lm lm, Εφαρμογή, που δίνει Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα δείξτε την ανισότητα του Boole για άπειρα ενδεχόμενα κάνοντας χρήση της συνέχειας του μέτρου πιθανότητας πάνω σε μονότονες ακολουθίες ενδεχομένων, Από την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα, έχουμε ότι ( ) ( ) P A P A για κάθε. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

Παίρνοντας το όριο για έχουμε ότι ( ) ( ) lm P A P A, και επειδή C A έχουμε ( lm ) ( ) ( ) ( ) P A P A P A P A Άσκηση. Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { A. Εάν P( A ), M M ( ), δείξτε ότι:. P( M ),.. P( ) P( )... P ( M ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) 0. Παίρνοντας το όριο για στην εξίσωση ( ) έχουμε ( ) ( ) ( ) lm P M P lm M P. και P M και επειδή M, Το γεγονός ότι τελικά μας δίνει P( ) P( ), ή ότι P ( ). Παράδειγμα (,, PX ) 0,, δηλαδή ~ ( 0,) Ας θεωρήσουμε το χώρο πιθανότητας Ω ( ) X ( ) { ( ) P A P X A < x < dx A A όπου X. Έχουμε ότι: A ( 0, ), B { / A\ B, τότε και + PX ( A\ B) PX, P X < < + + Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 0

+ + + + 3 3 4 όμως και PX ( A ) από όπου και P ( B ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X PX A\ B PX A PX A PX AB PX A PX AB 0 PX ( B) 0. PX A PX A B PX A + PX B PX AB Το Λήμμα του Fatou ( lm f ) lm f ( ) lm sup ( ) lm sup (*) P A P A P A P A P( ) P( lm M) lm P( M) sup P( M ) P( ) sup f P( A ) P( M) P( A) P( A), P( M) f P( A) P( ) P( lm J) lm P( J) f P( J) P( ) f sup P( A ) P( J) P( A) P( A), P( J) sup P( A) lm ( ) f P A sup P A sup f P A f sup P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Από τις ανισότητες ( ) και ( ) παίρνουμε την τριπλή ανισότητα (*). Παρατήρηση Εάν lmf A lmsup A και ονομάσουμε την κοινή τους τιμή lm A, από την τριπλή ανισότητα ( ) * έχουμε: ( lm ) lm f ( ) lm sup ( ) ( lm ) P( A) P( A) P( A) P( A) P( A) P A P A P A P A lm lm f lm sup lm lm. lm PA ( ) Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

Το λήμμα Fatou μας λέει ότι μπορούμε να έχουμε P( lm A ) lm P( A ) ακόμα και όταν η ακολουθία { ότι lmf A Παρατήρηση : lmsup A. Εάν θέσουμε A { X x A δεν είναι μονότονη, αρκεί να ισχύει, τότε, lmf A { lmf X x ανισότητα P( lmf A ) lmf P( A ) παίρνουμε: { lm f lm f { P X x P X x x u Πρόταση ( ) ( ) lm f f u du lm f f u du. X x u. Εάν για τις ακολουθίες { a και { X και από την b με a 0 > και b > 0, ισχύει a l 0 b > όταν, τότε και οι δύο σειρές a και b ή και οι δύο συγκλίνουν ή και οι δύο αποκλίνουν.. Εάν { a a < ( a ) a με 0 < < και a 0 τότε: > 0 είτε a ( a ). a. Επειδή l > 0 όταν σημαίνει ότι για b ε > 0 υπάρχει 0 τέτοιο ώστε a για 0 να έχουμε l < ε ( l ε) b < a < ( l+ ε) b. Εάν διαλέξουμε ε < l, b τότε έχουμε: ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) a l b a < l+ b b l a b l a < + < <. Θεωρούμε τις ακολουθίες { τότε b > 0 (εφόσον 0< a < ), ενώ a με 0. < a < και { b με b log, a Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

a x a lm lm, ή ότι l 0 b x 0+ b > με l όταν. log x Από τα προηγούμενα έχουμε ότι οι δύο σειρές a και b, συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. < < > Εάν a log log ( a ) a ( ( a )) ( ) a. log > > 0 Εάν a log log ( a ) a ( ( a )) ( ) a. log 0 A. (Λήμματα των Borel Catell) Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { < τότε P lmsup A 0.. Εάν P( A) και τα ενδεχόμενα A είναι ανεξάρτητα, τότε. Εάν P( A) P lm sup A.. Θέτουμε s P( A) <, θα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) P A ( ) ( ) P A s s P. P lm sup A P lm J lm P J lm P A lm P A lm 0 0. ( P( A) ( ) ) ( ) P A P A ( P( A) ) ( P( A) ) 0,, ( ),0< < 0 Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

( ) και επειδή P( A ), έχουμε ότι P( A ) οπότε 0 ( ) 0,, ( P( A )) P( A ) P( A ) P( M ( )) και M ( ) 0. Παίρνοντας το όριο όταν δίνει ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 lm P M P lm M P A P lm f A P A P lm sup A. Παράδειγμα Σε καλλιέργεια βακτηριδίων (petry dsh) κάθε δευτερόλεπτο τα βακτηρίδια πολλαπλασιάζονται και πεθαίνουν.. Εάν η πιθανότητα τα βακτηρίδια να έχουν πεθάνει όλα έως χρόνο είναι f( ) e, να βρεθεί η πιθανότητα εξάλειψης γ των βακτηριδίων. Για αριθμητική 7 εφαρμογή θέστε f ( ) log, f ( ) + 3+ 5.. Εάν η πιθανότητα να έχουν επιζήσει βακτηρίδια την περίοδο είναι το πολύ, ποία η πιθανότητα εξάλειψης γ των βακτηριδίων.. A { έως την ή οστ γενιά έχουν πεθάνει όλα τα βακτηρίδια A { τα βακτηρίδια τελικά πεθαίνουν Παρατηρούμε ότι A από όπου ( ) ( lm ) lm ( ) exp{ lm ( ) γ P A P A P A f ( ) f log / e f ( ). { 7 + 3+ 5 B υπάρχουν ζωντανά βακτηρίδια την περίοδο P( B ) Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

π P ( B BC ) lm sup 0 P B < 6 ( B ) P lm f ( με πιθανότητα, υπάρχει N έτσι ώστε να πραγματοποιείται το B για κάθε N) γ. Παράδειγμα Ρίχνουμε ένα μεροληπτικό νόμισμα με πιθανότητα επιτυχίας (κεφαλή) p Παράδειγμα. Εάν για οι τ.μ. : P X 0 p, δηλαδή { ( ) X ~ B, p, X Ω είναι Beroull με P{ X ορίζουμε για την ακολουθία ενδεχομένων { { ω ( ω) p και A X Ω : X (τα A δεν χρειάζεται να είναι ανεξάρτητα). p < (για παράδειγμα Εάν P( A ) τότε από το ο Λήμμα των Borel-Catell έχουμε: p δίνει p /6 π ), P lmή sup Aά P A Ω : { ω το ω αν κεισε πειρα { ά ω X ( ω) για πειρα {,.. {,.. 0 P Ω : 0 P A o P X o ( lmή f ) ό{ ωό Ω : τοaω αν κεισε σχεδ ν λατα P A P { ό ω ό X ( ω ) για σχεδ ν λατα {,.. { 0,.. P Ω : 0 P A aa P X aa Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι lm X 0 με πιθανότητα, και γράφουμε: { { ω ( ω) P lm X 0 P Ω : lm X 0. Παρατήρηση P lmή sup Aά P{ ωa Ω : το ω αν κει σε πειρα 0 Pή Ω : έ A P ή Ω : ά A { ω το ω αν κει σε πεπερασµ να { ω το ω αν κεισε πειρα. Εάν για οι τ.μ. X υποθέσουμε τώρα ότι είναι και ανεξάρτητες Beroull P X p P X 0 p, δηλαδή με { και { d ~ (, ) X B p, και θεωρήσουμε και πάλι την ακολουθία ενδεχομένων A { X ενδεχόμενα A τώρα είναι ανεξάρτητα). (για παράδειγμα Εάν P( A ) p p οι τ.μ. X είναι ανεξάρτητες, τα ενδεχόμενα A { X δίνει (όλα τα p είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και από το ο Λήμμα των Borel-Catell έχουμε: ), επειδή P lmsup ή Aά P{ ωa Ω : Pτο Xω αν o κεισε πειρα {,... P lmf A P Ω : 0,.. 0 ( ή ) ό{ ωό τοaω ανpκεισε X σχεδ aaν λατα { Σύγκλιση ακολουθίας τ.μ. με πιθανότητα ισχυρή σύγκλιση X συγκλίνει στην τ.μ. X με πιθανότητα, ή ότι η Λέμε ότι η ακολουθία τ.μ. { X συγκλίνει σχεδόν βεβαίως (almost surely) στην X και γράφουμε X as.. ό X ταν, όταν τα ενδεχόμενα για τα οποία η πιθανότητα, δηλαδή { { ω ( ω) ( ω) P lm X X P Ω: lm X X 0, X δεν συγκλίνει στην X έχουν μηδενική Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

Η σύγκλιση της ακολουθίας τ.μ εξής: για κάθε 0 X στην τ.μ. X με πιθανότητα ορίζεται ως A ε με { ε > ορίζουμε την ακολουθία ενδεχομένων ( ) { { ( ) : ( ) ( ) A ε ω Ω X ω X ω < ε X X < ε, τότε X as.. { ό X ταν P X lm X ( ) { ( ) ε > 0, P X X < ε, aa.. ε > 0, P lmf A ε ε > 0, P lmsup A ε 0 ε > 0, P X X ε, o.. 0 ε > 0, µ όνο για πεπερασµ ένο αριθµ όαπόισχύει ότι X X ε ( ) { Παρατήρηση Γνωρίζουμε από τα προηγούμενα ότι εάν { A, με P( A ), P ( A ), { lmf A( ε r) r. Έτσι θεωρώντας την ακολουθία ενδεχομένων έχουμε, όπου ε r 0 όταν r, τότε P lmf A( ε r). Έτσι ο r ορισμός της σύγκλισης με πιθανότητα, σε πιο συμπαγή μορφή είναι: { ( εr) { εr P lm X X P lmf A P X X <. r r Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να θέσουμε ε / r. Πρόταση r Μια ικανή συνθήκη για σύγκλιση της ακολουθίας τ.μ { P X X ε <, ε > 0. πιθανότητα είναι { X στην τ.μ. X με Θέτουμε m A m X X m για m, έχουμε P( A m ) <, m. ε και για τα ενδεχόμενα ( ) από υπόθεση, ότι ( ) Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

Λήμμα των Borel Catell έχουμε P lm sup A m 0, m. B lm sup A m για m και επειδή P( B ) παίρνουμε Από το ο ( ) Θέτουμε ( ) m P B P B P B m m ( m), δηλαδή m m m P X X < από όπου και X m m as.. m P Bm ή ισοδύναμα m X Παράδειγμα (Πιθανότητα ενδεχομένων σε πεπερασμένο και άπειρο χρονικό ορίζοντα). Κάποια, καθημερινά, ρίχνει m 5 νομίσματα του ενός ευρώ και εκείνα που προσγειώνονται κεφαλή τα κάνει δωρεά. Την πρώτη φορά όμως που όλα τα νομίσματα προσγειωθούν γράμματα, σταματάει οποιαδήποτε δωρεά για πάντα. X Έστω { η ακολουθία του αριθμού των κεφαλών, δηλαδή X # των κεφαλών την οστ ημέρα. Τότε, τουλάχιστον διαισθητικά, είμαστε σίγουροι ότι κάποια μέρα το ποσό δωρεάς θα μηδενιστεί, δηλαδή ότι υπάρχει για το οποίο X 0. Όμως, εάν θεωρήσουμε οποιοδήποτε πεπερασμένο ορίζοντα ημερών, ας πούμε, η πιθανότητα του ενδεχομένου A { την οστ ημέρα έγινε δωρεά { > 0, θα παραμένει θετική για κάθε. Για να το δούμε αυτό πρέπει πρώτα να παρατηρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα A δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα { 0 { 0, 0 { 0, 0 P X > P X > X + P X > X >, X επειδή P{ X > 0, 0 0, έχουμε X { 0 { 0, 0 P X > P X > X >, και επαγωγικά P{ X > 0 P{ X > 0, X > 0,, X > 0. Επειδή P{ X 0, X 0 P{ X 0 P{ X 0 X 0 > > > > >, Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

με P{ X X P{ X X > 0 > 0 0 > 0 m, όπου m ο αριθμός των νομισμάτων και παρατηρούμε ότι ( X x X > 0 ) ~ B m,. Τότε η πιθανότητα P{ X 0 > γίνεται m { 0 ( ) P{ X 0 P X > >. Ανακυκλώνοντας την προηγούμενη σχέση παίρνουμε τελικά m { > 0 ( ) P{ X > 0 m m ( ) ( P{ X ) ( ) P X 0 > 0,. Δηλαδή η πιθανότητα του ενδεχομένου A { την οστ ημέρα έγινε μη μηδενική > 0 είναι θετική για κάθε. X δωρεά { Όταν όμως το ζητούμενο είναι ο άπειρος χρονικός ορίζοντας (δηλαδή θέλουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: «το πείραμα μπορεί να πραγματοποιείται για πάντα;») θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ο Λήμμα των Borel Catell: m P( A) P{ X ( ) m > 0 < ( ) ( ) { { { P 0 P P A, aa.. P X 0, aa.. P lmx 0, δηλαδή ο αριθμός των ω Ω για τα οποία X ( ω) lm 0 είναι πεπερασμένα. Έτσι είμαστε σίγουροι με πιθανότητα, ότι κάποια μέρα (για πεπερασμένο ) το ποσό δωρεάς θα γίνει 0 (και θα παραμείνει 0 για πάντα). Άσκηση (Θεωρητική) P Η σύγκλιση ακολουθίας τ.μ. ως προς πιθανότητα X X όταν (covergece probablty) ορίζεται με τον εξής τρόπο: P { { X X lm P X X ε 0 lm P X X < ε, ε > 0. Να δειχθεί ότι { P lm X X X X. P Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

lm P{ X X ε lm P { X X ε P { X X ε, επειδή { X X ε P lmsup { X X ε P{ X X ε, o.., ε > 0. Επειδή P{ X X P{ X X ε o lm,.. 0, ε > 0 από όπου και { lm P X X ε 0, ε > 0. Άσκηση (Θεωρητική) P Να δειχθεί ότι εάν X X τότε υπάρχει υπακολουθία { τέτοια ώστε { P lm X X, δηλαδή υπάρχει υπακολουθία { X της { X που συγκλίνει ισχυρά στην τ.μ. X. { ε X X lm P X X 0, ε > 0 P { P{ X { X { P X X : : < { { P X X <, aa.., P lm X X. Παράρτημα Α lmf και lmsup για ακολουθίες πραγματικών αριθμών Έστω { a ακολουθία πραγματικών αριθμών. Τότε f f a το μεγαλύτερο κάτω φράγμα της (greatest lower boud), sup supa το μικρότερο άνω φράγμα της (lowest upper boud). Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 30

f a το έχει μικρότερο στοιχείο m a f a supa το έχει μεγαλύτερο στοιχείο max a sup a f ( ) sup( ) Παραδείγματα { x x { x x f : 0 < < f : 0 0 { x x { x x { x x sup : < sup : < <, f : < f ( ) + :, sup ( ) : Ορίζουμε τις ακολουθίες z f a και Z sup a για. Έχουμε ότι: ( ) { { z lm z lm f a sup f a sup f a : : lmf a, { { Z lm Z lm sup a f sup a f sup a : : lmsup a. Ισχύουν τα παρακάτω:. lmf a lmsup( a ).. lm a a lmf a lmsupa a 3. f a lm f a lm sup a sup a. Για να δείξουμε την τελευταία ανισότητα παρατηρούμε ότι: f a f a sup f a supa supa f supa ( ) f a supa lm f a lm supa sup f a f supa Παρατηρήσεις: lm f a f. Έστω ότι lm a lm supa sup και εάν f sup τότε { a και το όριο της a υπάρχει, δηλαδή a a. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

. Το σύνολο αποτελείται από τα όρια όλων των συγκλινουσών υπακολουθιών,. Παράδειγμα Α. a στο { { ( ) { {,,,, {, { lm, lm a a a από όπου lmf a f και lmsupa sup. Παράδειγμα Α. s( π / ) { a { a, a, a3, a4, a5 5, a6, a7, a8, a9 9, 3 7 { lm a l lm a lm 4 3 m, 4, lm a4 lm 0, lm a4 lm { 0,,, από όπου lmf a f 0, lmsupa sup. Παράδειγμα Α.3, odd + Θέτουμε { a με a, eve + a, a 0 { 0,, + από όπου lmf a f 0, lmsupa sup. Παράδειγμα Α.4 Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

π { a s 3 π π 3π 4π 5π 6π 7π 8π s,s,s,s,s,s,s,s, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3,,0,,,0,,,0,,,0, 3 3 3 3,0, lm f a f, lm supa sup. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 33