lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης του κεφ.1. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 4 3 x (x) =. lnx Βήμα 1 ο : Βάζω τους απαραίτητους περιορισμούς για το x. Δηλαδή: α) x > 0. β) ln x 0 11 ln x ln l x 1. γ) 4 3 x 0 3 x 4 4 x 3 4 1 x 7. Βήμα ο : Συναληθεύουμε τους περιορισμούς και λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού: x (0,1) (1,7]. Άρα το D = (0,1) (1,7]. 1

Παράδειγμα. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης x x 3 (x) 1 3. Για την εύρεση του πεδίου ορισμού θέτουμε αρχικά τους απαραίτητους περιορισμούς, δηλαδή x x 3 x x 3 1 3 0 3 1 x x 3 0 η οποία ισχύει για κάθε x, γιατί η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ<0. Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι D. Μεθοδολογία Αρχικά απαιτούμε η υπόριζη ποσότητα να είναι μη αρνητική. Η επίλυση της εκθετικής ανισότητας πραγματοποιείται με τη χρήση μονοτονίας και κατόπιν λύνουμε την εμφανιζόμενη ανισότητα β βαθμού χρησιμοποιώντας τη Διακρίνουσα του τριωνύμου και το πρόσημο του τριωνύμου.

Παράδειγμα 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) Τα κοινά σημεία των C και β) Τα σημεία τομής των C και 3 (x) = x + x και C. C με τους άξονες xx, yy. γ) Τα διαστήματα στα οποία η C είναι πάνω από τη (x) = x + 5x 6. Να βρεθούν: C. δ) Τα διαστήματα στα οποία η C είναι κάτω από τον xx. α) Κατ' αρχήν οι, έχουν κοινό πεδίο ορισμού το R διότι και οι δύο είναι πολυωνυμικές. Δηλαδή D = D = R. Τα κοινά σημεία των C, C τα βρίσκω από τη λύση της εξίσωσης (x) = (x), δηλαδή: 3 3 x + x = x + 5x 6 x x 4x + 4 = 0 x (x 1) 4(x 1) = 0 (x 1)(x 4) = 0 δηλαδή: x = 1 ή x = ή x =. Άρα τα κοινά σημεία είναι: Α(1,0), Β(, 1), Γ(,8). β) Τα κοινά σημεία της C και Με τον xx': C με τους άξονες τα βρίσκω από τις λύσεις των εξισώσεων: (x) = 0 x + 5x 6= 0 x = 1 ή x = 6. Άρα Δ(1,0) και Ε( 6,0). Με τον yy': (0) = y y = 6. Άρα Z(0, 6). 3 Με τον xx': (x) = 0 x + x = 0 με Horner βρίσκω ότι: (x) = (x 1)(x + x + ) (x 1)(x + x + ) = 0 x = 1 Άρα Κ(1,0). Με τον yy': (0) = y y =. Άρα Λ(0, ). γ) Τα διαστήματα στα οποία η C είναι πάνω από τη C προκύπτουν από τη λύση της ανίσωσης (x) > (x), δηλαδή 3 3 x + x > x + 5x 6 x x 4x + 4 > 0 3

(x 1)(x 4) > 0 < x < 1 ή x >. Άρα η C είναι πάνω από τη C στο (,1) (, + ). δ) Τα διαστήματα στα οποία η C είναι κάτω από τον άξονα xx' προκύπτουν από τη λύση της ανίσωσης (x) < 0, δηλαδή x + 5x 6 < 0 (x 1)(x + 6) < 0 6 < x < 1. Επομένως η C είναι κάτω από τον άξονα xx' στo ( 6,1). 4

Παράδειγμα 4. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης όταν ισχύει για κάθε x R. (x 1) = 4x x 5 (1) ω+ 1 Θέτουμε: x 1=ω x =ω+ 1 x =, με ω R. Αφού η σχέση (1) ισχύει για κάθε x R θα ισχύει και για (1) και () λαμβάνουμε: ω+ 1 x = (). Άρα από τις σχέσεις ω+ 1 ω+ 1 ω+ 1 = ( 1) 4( ) ( ) 5 ( ω ) = ( ω+ 1) ( ω+ 1) 5 ( ω ) =ω +ω 5 Άρα (x) = x + x 5, x R. 5

Παράδειγμα 5. Δίδονται οι συναρτήσεις (x) = x x 1 και x (x) = x 1. Να δειχθεί ότι και να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει =. Βρίσκουμε τα D, D. α) x 1 0 x > 1 x 1 x 1 x ή 0 x(x 1) 0 x 1 ή x 0 x 1 x 0 D = (, 0] (1, + ). x 0 x 0 β) x > 1 D = (1, + ). x 1> 0 x > 1 Άρα D D.Το ευρύτερο όμως υποσύνολο του R που ορίζονται οι δύο συναρτήσεις είναι το E = D D = (1, + ). x x Οπότε για κάθε x (1, + ) : (x) = = = (x). x 1 x 1 Άρα =. 6

Παράδειγμα 6. Δίνονται οι συναρτήσεις +,, και. (x) = x + x και (x) = 4 x. Να ορίσετε τις συναρτήσεις: Βρίσκουμε τα D, D.(α) Πρέπει x + x 0 (1) Θέτουμε x = y 0 οπότε η (1) γράφεται: y + y 0 Οι ρίζες του τριωνύμου είναι 1 και -, και η ανίσωση αληθεύει για y 1 ή y. Επειδή όμως y 0, ισχύει μόνο y 1. Άρα x 1 δηλ. x 1 ή x 1 Άρα (β) D = (, 1] [1, + ). 4 x 0 x x. Άρα D = [, ]. Άρα A = D D = [, 1] [1, ]. Επομένως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων, ως εξής: ( + )(x) = x + x + 4 x ( )(x) = x + x 4 x ( )(x) = x + x 4 x = (x + x ) (4 x ) με πεδίο ορισμού για τις τρείς πράξεις το Α και + x x ( )(x) = 4 x με x 4 x ± Δηλαδή το πεδίο ορισμού του πηλίκου είναι: D = (, 1] [1, ). 7

Παράδειγμα 7. Δίδονται οι συναρτήσεις (x) = x και (x) = lnx. Να βρείτε τη συνάρτηση o Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των, (α) x 0 x A = D = (,] (β) x > 0 B= D = (0, + ) Βρίσκουμε κατ' αρχήν το: D o = {x A : (x) B} = {x : x > 0} = (, ). Άρα 1 1 (o)(x) = ((x)) = ( x) = ln x = ln( x) = ln( x). 8

Παράδειγμα 8. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; i. (x)= x3 +1 x 1 3 ii. (x) = x 4x + 3 iii. (x) = lo( x 3) iv. (x) = x x i. Η συνάρτηση ορίζεται, αν και μόνο αν x 1 0. Το τριώνυμο x 1 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και -1. Έτσι έχουμε: x 1 0 x ±1 Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι: D = R\{1, 1}. ii. Η συνάρτηση ορίζεται, αν και μόνο αν x 4x + 3 0. Το τριώνυμο x 4x + 3 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 3. Έτσι η ανίσωση αληθεύει, αν και μόνο αν x 1 ή x 3. Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι: D = (, 1] [3, + ). iii. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν x 3 > 0 ή x > 3 ή (x < 3 ή x > 3). Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = (, 3) (3, + ). iv. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν x 0. Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = [0, + ). Μεθοδολογία Δίνεται μια συνάρτηση. i. Αν (x) = P(x), όπου P(x) πολυώνυμο, τότε D = R. 9

ii. Αν (x) = h(x) (x), όπου h, συναρτήσεις, τότε D = x D h D (x) 0. ν iii. Αν (x) = (x), όπου συνάρτηση, τότε D = x D (x) 0. iv. Αν (x) = lo α (x), 0 < α 1, όπου συνάρτηση, τότε D = x D (x) > 0. v. Αν (x) = α (x), 0 < α 1, όπου συνάρτηση, τότε D = D. 10

Παράδειγμα 9. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; i. (x) = lo 4 x (x ) ii. (x) = ( x 1) x iii. (x) = εφ(x π 6 ) iv. (x) = σφ(x π 6 ) i. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν x > 0 x > x > 4 x > 0 x < 4 4< x < 4 x 3 4 x 1 x 3 x ± 3 και <x<4 Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D = (,3) (3,4). ii. Η συνάρτηση ορίζεται, αν και μόνο αν x 0 x 0 x 0 x > 1 x 1> 0 x > 1 x > 1 Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D = (1, + ). iii. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν x π κπ + π, κ Z. 6 Έτσι έχουμε: x π 6 κπ + π, κ Z x κπ + π + π 6, κ Z x κπ + π 3, κ Z x κπ + π 3, κ Z Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = R\ κπ + π 3, κ Z. iv. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν x π 6 κπ, κ Z. Έτσι έχουμε: x π 6 κπ, κ Z x κπ + π 6, κ Z. 11

Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = R\ κπ + π 6, κ Z. Μεθοδολογία Δίνεται μια συνάρτηση. i. Αν (x) = lo (x) h(x), όπου h, συναρτήσεις, τότε D = {x D h D h(x) > 0 και 0 < (x) 1}. ii. Αν (x) = ((x)) h(x), όπου h, συναρτήσεις, τότε D = x D h D (x) > 0. iii. Αν (x) = ηµ(x), όπου συνάρτηση, τότε D = D. iv. Αν (x) = συν(x), όπου συνάρτηση, τότε D = D. v. Αν (x) = εφ(x), όπου συνάρτηση, τότε D = R\ x D (x) = κπ + π, κ Z. vi. Αν (x) = σφ(x), όπου συνάρτηση, τότε D = R\ x D (x) = κπ, κ Z. 1

Παράδειγμα 10. Έστω η συνάρτηση με (x) = + x 1. i. Να εξετάσετε αν ο αριθμός 5 είναι τιμή της. ii. Να εξετάσετε αν ο αριθμός -3 είναι τιμή της. i. Επιλύουμε την εξίσωση (x) = 5 στο σύνολο D. Έτσι έχουμε: (x) = 5 + x 1= 5 x 1= 3 x 1 = 9 x = 10 x = 10 x D x 1 x 1 x 1 x 1 Άρα ο 5 είναι τιμή της για x=10, δηλαδή (10) = 5. ii. Επιλύουμε την εξίσωση (x) = 3 στο σύνολο D. (x) = 3 + x 1= 3 x 1= 5 x D x 1 x 1 Η εξίσωση δεν έχει λύση στο D, αφού είναι x 1 0 για κάθε x 1. Μεθοδολογία Για να εξετάσουμε ότι ένας αριθμός y είναι τιμή της, θα πρέπει η εξίσωση (x) = y να έχει λύση στο D. 13

Παράδειγμα 11. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: i. (x) = x x ii. (x) = x x i. Η ορίζεται για κάθε x R, άρα το πεδίο ορισμού Α της είναι Α = R. Επιλύουμε την εξίσωση y = (x) στο σύνολο Α = R, με άγνωστο το x. Έτσι έχουμε: y= x x x x y= 0 (1) x x Για να έχει η (1) λύσεις στο Α = R θα πρέπει: ( 1) + 4y 0 ή 1 + 4y 0 ή y 1 4 Άρα για κάθε y 1 4 η (1) έχει λύση στο Α. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι: (A) = [ 1 4, + ) ii. Η ορίζεται αν και μόνον αν x 0 x. Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α = R\{}. Επιλύουμε την εξίσωση y = (x) στο Α = R\{}, με άγνωστο το x. Έτσι έχουμε: x y = y(x ) = x (y 1)x = y (1) x x x x Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις. Έστω y = 1. Αν θέσουμε στην (1) όπου y=1 τότε η (1) γίνεται: 0x= που είναι αδύνατη. Άρα y = 1 (A). Έστω y 1 τότε x = y. y 1 x Α y. y 1 Είναι y y = y = y 0y = αδύνατη. Άρα για κάθε y 1 ο αριθμός A. y 1 y 1 Άρα κάθε y 1 είναι τιμή της. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι: (A) = R\{1}. 14

Μεθοδολογία Για να προσδιορίσουμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, βρίσκουμε τους πραγματικούς αριθμούς y, για τους οποίους η εξίσωση y=(x) με άγνωστο το x έχει λύση στο σύνολο Α. 15

Παράδειγμα 1. Δίνονται οι συναρτήσεις και με τύπο (x) = lo(5 x) και (x) = 1 + lox. i. Εξετάστε αν η C τέμνει τους άξονες. ii. Εξετάστε αν οι γραφικές παραστάσεις C και C έχουν κοινά σημεία. Η συνάρτηση ορίζεται, αν και μόνο αν 5 x > 0. Είναι: 5 x > 0 x < 5 x (, 5) Επομένως το D = (, 5). Η συνάρτηση ορίζεται, αν και μόνο αν x > 0. Επομένως το D = (0, + ). i. To 0 D άρα η C τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, lo5). Επειδή: (x) = 0 lo(5 x) = 0 5 x = 1 x = 4 x = 4 x D x < 5 x < 5 x < 5 Το 0 είναι τιμή της άρα η C τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Β(4,0). ii. (x) = (x) lo(5 x) = 1+ lo x x D D x (0,5) 5 x lo(5 x) lo x = 1 lo = 1 x x (0,5) x (0,5) 5 x = 10 5 x = 10x 11x = 5 5 x x = x (0,5) x (0,5) 11 x (0,5) 5 11 = lo 5 5 50 = lo 11 11 Άρα οι C και C έχουν ένα κοινό σημείο το Γ 5 50, lo. 11 11 16

Μεθοδολογία i. H C τέμνει τον άξονα y y αν και μόνο αν το 0 D. ii. H C τέμνει τον άξονα x x αν και μόνο αν το 0 είναι τιμή της. iii. Οι C και C έχουν κοινά σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση (x) = (x) έχει λύση στο σύνολο D D. 17

Παράδειγμα 13. i. Για ποιες τιμές του x R η γραφική παράσταση της συνάρτησης με (x) = x 1 βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. ii. Για ποιες τιμές του x R η γραφική παράσταση της συνάρτησης με (x) = x + βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της με (x) = x. x i. Η ορίζεται αν και μόνο αν x 0. Άρα D = R\{0}. x 1 (x) > 0 > 0 x > x D x 0 x(x 1) 0 Οι ρίζες του τριωνύμου x 1 είναι οι αριθμοί 1 και -1 και το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Για να βρούμε το πρόσημο του γινομένου x(x 1) κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα. Άρα η γραφική παράσταση της είναι πάνω από τον άξονα x x αν 1 < x < 0 ή x > 1. ii. Η ορίζεται αν και μόνο αν x + 0. x + 0 x Άρα D = [, + ). Είναι D = R. 18

x+ < x (x) < (x) x+ < x x > 0 x x D D x x x > 0 x < 1 ή x > x > x > 0 x > 0 Μεθοδολογία i. Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων της C, ώστε η C να βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x (αντίστοιχα κάτω από τον άξονα x x), βρίσκουμε τις λύσεις της ανίσωσης (x) > 0, x D (αντίστοιχα της ανίσωσης (x) < 0, x D ). ii. Για να βρούμε τις τετμημένες των σημείων της C, που βρίσκονται πάνω από τα σημεία της C με την ίδια τετμημένη (αντίστοιχα κάτω από τα σημεία της C με την ίδια τετμημένη) βρίσκουμε τις λύσεις της ανίσωσης (x) > (x), x D D (αντίστοιχα της ανίσωσης (x) < (x), x D D ). 19

Παράδειγμα 14. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω: i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να εξετάσετε αν το -1 είναι τιμή της. iii. Να βρείτε το (-1). iv. Να βρείτε το σύνολο των τιμών της. v. Να επιλύσετε την εξίσωση (x) = 0. vi. Να επιλύσετε τις ανισώσεις (x) > 0 και (x) < 0. i. Το πεδίο ορισμού της είναι Α = [,) (,3]. ii. Η ευθεία y = 1 τέμνει τη C, άρα το -1 είναι τιμή της. iii. ( 1) = 1. iv. Το σύνολο τιμών της είναι (A) = (,1]. v. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης (x) = 0 είναι: {,3} [0,1]. vi. Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης (x) > 0 είναι: (, 0). Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης (x) < 0 είναι: (1,) (,3). 0

Μεθοδολογία Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης. Τότε έχουμε: i. Το πεδίο ορισμού Α της είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων C. ii. Το σύνολο τιμών (A) της είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της C. iii. Για να βρούμε την τιμή της στο x 0, δηλαδή το (x 0 ), βρίσκουμε την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας x = x 0 με την C. iv. Για να εξετάσουμε αν ο αριθμός β είναι τιμή της, θα πρέπει η ευθεία y=β να έχει κοινά σημεία με την C. v. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης (x) = 0 είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων τομής της C με τον άξονα x x. vi. Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης (x) > 0 (αντίστοιχα (x) < 0 ) είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της C που έχουν θετική (αντίστοιχα αρνητική) τεταγμένη, δηλαδή το σύνολο των τετμημένων των σημείων της C που βρίσκονται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα x x. 1

Παράδειγμα 15. Να παραστήσετε γραφικά κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις. i. (x) = lnx ii. (x) = ln (x 1) iii. φ(x) = lnx + 1 iv. ψ(x) = ln (x 1) + 1 i. Αρχικά παριστάνουμε γραφικά την h(x) = lnx και έπειτα την (x) = h(x). ii. Επειδή (x) = (x 1), η γραφική παράσταση της προκύπτει αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα προς τα δεξιά.

iii. Επειδή φ(x) = (x) + 1, η γραφική παράσταση της φ προκύπτει αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα κατακόρυφα προς τα πάνω. iv. Επειδή ψ(x) = (x 1) + 1 = (x) + 1, η γραφική παράσταση της ψ προκύπτει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα δεξιά και στη συνέχεια μια μονάδα κατακόρυφα προς τα πάνω. Μεθοδολογία i. Η γραφική παράσταση της (x) = (x c) με c > 0 προκύπτει αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά c μονάδες δεξιά. ii. Η γραφική παράσταση της (x) = (x + c) με c > 0 προκύπτει αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά c μονάδες αριστερά. iii. Η γραφική παράσταση της (x) = (x) c με c > 0 προκύπτει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά c μονάδες κατακόρυφα προς τα κάτω. 3

iv. Η γραφική παράσταση της (x) = (x) + c με c > 0 προκύπτει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά c μονάδες κατακόρυφα προς τα πάνω. v. Τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x και τα συμμετρικά ως προς τον άξονα x x των τμημάτων της C, που βρίσκονται κάτω από αυτόν, αποτελούν την γραφική παράσταση της. 4

Παράδειγμα 16. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο (x) = x 3 1. Να παρασταθούν γραφικά οι παρακάτω συναρτήσεις: i. y = (x) ii. y = (x) iii. y = ( x) iv. y = ( x) v. y = (x) i. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (x) προκύπτει αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = x 3 κατά μία μονάδα προς τα κάτω. ii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (x) προκύπτει, αν θεωρήσουμε τη συμμετρική της C ως προς τον άξονα x x. 5

iii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = ( x) προκύπτει αν θεωρήσουμε τη συμμετρική της C ως προς τον άξονα y y. iv. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = ( x) προκύπτει αν θεωρήσουμε τη συμμετρική της C ως προς την αρχή του συστήματος αναφοράς. 6

v. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (x) είναι: Μεθοδολογία Όταν δίνεται συνάρτηση με τύπο y = (x) τότε για τη C έχουμε: i. Η συμμετρική της C ως προς τον άξονα x x έχει τύπο y = (x). ii. Η συμμετρική της C ως προς τον άξονα y y έχει τύπο y = ( x). iii. Η συμμετρική της C ως προς την αρχή του συστήματος αναφοράς έχει τύπο y = ( x). 7

Παράδειγμα 17. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι =. Στις περιπτώσεις που είναι να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει (x) = (x). i. (x) = x 1 + x, (x) = x + x 1 x+1 ii. (x) = x + + x 1, (x) = x + + x 1 i. Είναι D = [0, + ) και D = [0, + ). Άρα D = D. Για x 0 έχουμε: (x) = x 1 x + 1 + x = x 1 x 1 x + 1 + x = + x = x 1 + x = (x) x + 1 x + 1 Άρα (x) = (x) για κάθε x 0 και επομένως =. ii. Είναι D = [, + ) και D = [1, + ). Άρα D D. Ωστόσο D D = [1, + ) και για κάθε x 1 έχουμε: (x) = x + + x 1 = x + + x 1 = x + + x 1 = (x) Άρα το ευρύτερο υποσύνολο του R ώστε να ισχύει (x) = (x) είναι το [1, + ). Επομένως οι συναρτήσεις, είναι ίσες στο [1, + ). Μεθοδολογία 1. Για να δείξουμε ότι δυο συναρτήσεις και είναι ίσες πρέπει και αρκεί να ισχύουν τα εξής: i) D = D και ii) (x) = (x) για κάθε x D = D. Αν D D τότε. Όμως αναζητούμε το ευρύτερο υποσύνολο Γ του συνόλου D D ώστε (x) = (x) για κάθε x Γ. Θα λέμε τότε ότι = στο σύνολο Γ. 3. Αν υπάρχει x D D ώστε (x) (x) τότε. 8

Παράδειγμα 18. Δίνονται οι συναρτήσεις (x) = x 1 και (x) = 3 x. Να βρείτε τις συναρτήσεις +,,,, 3. Η ορίζεται αν και μόνο αν x 1 0 x 1. Άρα D = [1, + ). Η ορίζεται αν και μόνο αν 3 x 0 x 3. Άρα D = (, 3]. Θεωρούμε την τομή D D = [1,3]. Έτσι έχουμε: ( + )(x) = (x) + (x) = x 1 + 3 x, για κάθε x [1,3] ( )(x) = (x)(x) = x 1 3 x, για κάθε x [1,3] ( )(x) = (x) (x) = x 1 3 x, για κάθε x [1,3] Για να ορίσουμε το πηλίκο, εξετάζουμε αν το σύνολο Γ = x D D : (x) 0. x D 1 x 3 D 1 x 3 x [1, 3) (x) 0 3 x 0 x 3 Άρα το σύνολο Γ. Το σύνολο Γ είναι το σύνολο ορισμού της. Έτσι έχουμε: (x) (x) = = x 1 (x) 3 x, για κάθε x [1,3). Η συνάρτηση 3 έχει πεδίο ορισμού το πεδίο ορισμού της. Έτσι έχουμε: (3)(x) = 3(x) = 3 x 1, για κάθε x 1. Μεθοδολογία Για να ορίζονται οι συναρτήσεις +,,, θα πρέπει το σύνολο D D να μην είναι το κενό σύνολο. Το πεδίο ορισμού των τριών αυτών συναρτήσεων είναι το σύνολο D D. Οι τύποι των συναρτήσεων αυτών είναι αντίστοιχα οι εξής: ( + )(x) = (x) + (x) ( )(x) = (x) (x) ( )(x) = (x)(x) Για να ορίζεται η συνάρτηση θα πρέπει το σύνολο Γ = x D D (x) 0 να μην είναι το κενό σύνολο. Αν το Γ τότε ορίζεται η και το σύνολο Γ θα είναι το πεδίο ορισμού της. Ο τύπος της συνάρτησης είναι: (x) (x) = (x) 9

Παράδειγμα 19. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις o και o αν (x) = 1 x και (x) = ηµx. Η ορίζεται αν και μόνο αν 1 x 0 1 x 1. Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι: D = [ 1,1]. Το πεδίο ορισμού της είναι: D = R. 1. Για να ορίζεται η o, θα πρέπει το σύνολο Α 1 = x D (x) D. x D x x x (x) D (x) [ 1,1] 1 ηµ x 1 Άρα Α 1 = R. Επομένως ορίζεται η o. Το πεδίο ορισμού της o είναι το σύνολο Α 1 = R. Έτσι η o είναι: (o)(x) = (x) = (ηµx) = 1 ηµ x = συν x = συνx για κάθε x R.. Για να ορίζεται η o, θα πρέπει Α = x D (x) D. x D x [ 1,1] x [ 1,1] (x) D (x) Άρα Α = [ 1,1]. Επομένως ορίζεται η o. Το πεδίο ορισμού της o είναι το σύνολο Α = [ 1,1]. Έτσι η o είναι: (o)(x) = (x) = 1 x = ημ 1 x, x [ 1,1] Μεθοδολογία Όταν δίνονται δυο συναρτήσεις, και ζητείται η συνάρτηση o τότε ενεργούμε ως εξής: i. Εξετάζουμε αν ορίζεται η o. H o ορίζεται αν το σύνολο Α 1 = x D (x) D. ii. Προσδιορίζουμε τον τύπο της o. Ο τύπος της o προσδιορίζεται από την σχέση: (o)(x) = ((x)) 30

ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει: (x) = + x, x και o (x) = 1 x, x ( ) Πεδίο ορισμού της (x) = + x είναι το και της Για κάθε x έχουμε (x) = + x και Άρα ( + x) = 1 x με x (1) Τώρα θα βρούμε τη (x). Θέτουμε y= + x x = y, με y. ( (x)) = 1 x. Η σχέση (1) γράφεται πλέον (y) = 1 (y ) με y ή (y) = 1 y + 4y 4 = y + 4y 3 με y ή ισοδύναμα (x) = x + 4x 3 με x. ( (x)) = 1 x ομοίως το. 31

Παράδειγμα. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει: 1 x+ ( o )(x) = 3x +, x και (x) =, x. 3 x Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: ( (x)) = 3x + (1) και x+ (x) = x Άρα (x) + ((x)) =,(x) (x) () Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε: (x) + = 3x + (x) με (x) και (x) + = (3x + ) [ (x) ] (x) + = 3x (x) + (x) 6x 4 3x (x) + (x) = 6x + 6 6( x + 1) (3x+ 1)(x) = 6(x + 1) (x) = 3x + 1 με 1 x 3 Πρέπει όμως (x) δηλαδή 6( x + 1) 6x + 6 6x + 3x + 1 η οποία ισχύει πάντα. Άρα 6( x + 1) (x) = 3x + 1 με 1 x { }. 3 Ημερομηνία τροποποίησης: 3//01 3