Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες των πρώτων αριθμών, του μέγιστου κοινού διαιρέτη, του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου, των κλασμάτων, των δυνάμεων αριθμών, των τετραγωνικών ριζών και των ποσοστών. 4
Περιεχόμενα ενότητας Πρώτοι αριθμοί. Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Κλάσματα. Δυνάμεις αριθμών. Τετραγωνικές ρίζες. Ποσοστά. 5
Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού (1) Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμός του με όλους τους φυσικούς αριθμούς. Τα πολλαπλάσια του 5 είναι 0*5=5 1*5=5 2*5=10 3*5=15 6
Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού (2) Το μικρότερο μη μηδενικό από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δυο η περισσότεροι φυσικοί αριθμοί λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Το ΕΚΠ των αριθμών 4 και 6. Πολλαπλάσια του 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20. Πολλαπλάσια του 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30. Ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 4 και του 6 και είναι διάφορος του μηδενός είναι το 12. 7
Πρώτοι αριθμοί Όλοι οι αριθμοί που διαιρούν έναν αριθμό λέγονται διαιρέτες. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1, 2, 4, 8 και 16 είναι διαιρέτες του 16. Κάθε αριθμός έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 έχει διαιρέτες το 1 και το 5 και κανέναν άλλο. Οι αριθμοί που έχουν ως διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό τους λέγονται πρώτοι αριθμοί. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 8
Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων είναι ο μεγαλύτερος δυνατός φυσικός αριθμός που να διαιρεί όλους τους αριθμούς ακριβώς. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσοτέρων ακεραίων είναι ο μικρότερος δυνατός φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο όλων των αριθμών. 9
Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) (1) Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, τον καθένα με τη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται. Ο αριθμός που προκύπτει είναι ο ΜΚΔ. 10
Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) (2) 11
Εύρεση Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) (1) Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών και μη κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, τον καθένα με τη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται. Ο αριθμός που προκύπτει είναι το ΕΚΠ. 12
Εύρεση Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) (2) 13
Άσκηση 1 Να βρείτε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών 96 και 360. 14
Κλάσματα (1) Προσέξτε ότι: Κάθε φυσικός αριθμός α γράφεται και με τη μορφή κλάσματος ως α 1 = α. Όταν οι όροι του κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα ισούται με την μονάδα. Δηλαδή, α = 1, για α 0. α Όταν ο αριθμητής του κλάσματος ισούται με μηδέν, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το μηδέν. Δηλαδή, 0 α = 0, για α 0 Στο κλάσμα k εάν κ > ν τότε k n n k < 1 n > 1, ενώ εάν κ < n τότε 15
Κλάσματα (2) Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα θα πρέπει οι παρονομαστές να είναι ίδιοι, με άλλα λόγια τα κλάσματα να είναι ομώνυμα. Στη συνέχεια, για την πρόσθεση προσθέτουμε και για την αφαίρεση αφαιρούμε τους αριθμητές και απλοποιούμε όσο γίνεται το κλάσμα. Για παράδειγμα: 7 16 + 1 16 = 7 + 1 16 = 8 16 = 1 2, 7 16 1 16 = 7 1 16 = 6 16 = 3 8 16
Κλάσματα (3) Εάν όμως οι παρονομαστές δεν είναι ίδιοι τότε τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Η μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα γίνεται με τη χρήση του κοινού παρονομαστή, ο οποίος προκύπτει από το γινόμενο όλων των παρονομαστών. 17
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων (1) Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα πολλαπλασιάζουμε τους αντίστοιχους όρους μεταξύ τους, αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή, στη συνέχεια απλοποιούμε όσο γίνεται και έχουμε το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, 3 8 2 5 = 3 2 8 5 = 6 40 = 3 20 18
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων (2) Η διαίρεση δύο κλασμάτων γίνεται με ένα μικρό τρικ: αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα. Για παράδειγμα, 3 8 2 5 = 3 8 5 2 = 3 5 8 2 = 15 16 19
Δυνάμεις αριθμών Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του παίρνουμε δυνάμεις αυτού του αριθμού. Για παράδειγμα, η έκφραση 5 5 5 5 γράφεται 5 4. Γενικά, για έναν αριθμό α, το γινόμενο α α α α όπου παίρνουμε n φορές το α, ονομάζεται νιοστή δύναμη του α ή δύναμη του α στη n, και συμβολίζεται με α n. Το n λέγεται δύναμη ή εκθέτης και ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης. 20
Ειδικές περιπτώσεις δυνάμεων Η πρώτη δύναμη ενός αριθμού α, είναι ο ίδιος ο αριθμός α. Δηλαδή, α 1 = α. H μηδενική δύναμη ενός αριθμού α, δίνει ως αποτέλεσμα πάντα την μονάδα. Δηλαδή, α 0 = 1. Οι δυνάμεις του 1 είναι όλες ίσες με 1. Δηλαδή, 1 n = 1. 21
Ιδιότητες δυνάμεων (1) 1 η ιδιότητα: α m α n = α m+n Παράδειγμα: 5 4 5 5 = 5 4+5 = 5 9 2 η ιδιότητα: αm α n = αm n ΠαρΦδειγμα: 56 5 2 = 56 2 = 5 4 3 η ιδιότητα: α n β n = α β n Παράδειγμα: 2 3 3 3 = 2 6 3 = 12 3 22
Ιδιότητες δυνάμεων (2) 4 η ιδιότητα: αn = α β n β Παράδειγμα: 22 3 2 = 2 3 n 2 5 η ιδιότητα: α n m = a n m Παράδειγμα: 4 2 3 = 4 2 3 = 4 6 6 η ιδιότητα Παράδειγμα: α β n β n = 2 3 α 3 = 3 2 3 23
Άσκηση 2 Να γράψετε στη μορφή μιας δύναμης με βάση x τους αριθμούς: x 5 x 4, x 12 3, Απάντηση: x 32 x 12 x 5 x 4 = x 5+4 = x 9 x 12 3 = x 12 3 = x 36 x 32 x 12 = x32 12 = x 20 24
Πρόσημο δύναμης Οποιαδήποτε δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, εάν α > 0, τότε α n > 0. Εάν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης άρτιος (ζυγός) τότε η δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, εάν α < 0, και n άρτιος, τότε α n > 0. Παράδειγμα: 2 2 = 4. Εάν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός (μονός) τότε η δύναμη είναι αρνητικός αριθμός. Δηλαδή, εάν α < 0, και n περιττός, τότε α n < 0. Παράδειγμα: 2 3 = 8. 25
Προτεραιότητα πράξεων Η σειρά των πράξεων είναι η εξής: Εάν η παράσταση δεν περιέχει παρενθέσεις: Υπολογισμός δυνάμεων Υπολογισμός πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων Υπολογισμός προσθέσεων και αφαιρέσεων 26
Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = 3 5 2 2 3 2 7 + 3 1 8 5 + 6 2 27
Παράδειγμα 1 - λύση Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = 3 5 2 2 3 2 7 + 3 1 8 5 + 6 2 Απάντηση: Α = 3 5 2 2 3 2 7 + 3 1 8 5 + 6 2 = 3 17 2 10 8 5 + 36 = 51 20 40 + 36 = 27 28
Τετραγωνικές ρίζες (1) Είδαμε ότι εάν το 5 υψωθεί στο τετράγωνο παίρνουμε τον αριθμό 25, δηλαδή, 5 2 = 25. Η αντίστροφη διαδικασία είναι να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 25 που είναι το 2 5. Η τετραγωνική ρίζα του 25 συμβολίζεται ως 25 = 5 ή πιο απλά 25 = 5. Επομένως, τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, καλείται ο θετικός αριθμός, ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει σαν αποτέλεσμα τον αριθμό α, δηλαδή εάν α = β τότε β 2 = α. 29
Τετραγωνικές ρίζες (2) Όμως, παρατηρούμε ότι και το 5 2 = 25. Επομένως, τετραγωνική ρίζα του 25 δεν είναι μόνο το 5 αλλά μπορεί να είναι και το 5. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι κάθε θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες (ή πιο απλά, ρίζες), μία θετική και μία αρνητική. Προσέξτε ότι οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν τετραγωνικές ρίζες, αφού δεν υπάρχει αριθμός ο οποίος υψωμένος στο τετράγωνο να μας δώσει αρνητικό αριθμό. 30
Ιδιότητες ριζών Παράδειγμα: α β = α β και α β = α β 4 25 = 4 25 και 4 25 = 4 25 31
Κυβικές ρίζες n n α k α β n a n n = a και α n n n n α β = α β = α n = α (προσοχψ: πρχπει β 0) n β n = α k όπου k θετικός ακχραιος n α n n β = α β 32
Κλασματικές δυνάμεις (1) Παραδείγματα: α n = 1 α n Ψ αλλιώς αn = 1 α n 3 2 = 1 3 2 = 1 9, 1 3 2 = 32 = 9 x 1 = 1 x 1 = 1 x, x 2 = 1 x 2 33
Κλασματικές δυνάμεις (2) Εάν η δύναμη είναι εκφρασμένη σε κλάσμα ισχύει ότι α 1 n n = a. Επομένως, η τετραγωνική ρίζα του α γράφεται α = α 1 2,. η κυβική ρίζα του α γράφεται 3 α = α 1 3 η τέταρτη ρίζα του α γράφεται 4 α = α 1 4 34
Ποσοστά (1) 35
Ποσοστά (2) 36
Παράδειγμα 1 με ποσοστά Να μετατραπούν τα παρακάτω ποσοστά σε κλάσματα: α) 8% β) 39,5% γ) 105% 37
Παράδειγμα 1 με ποσοστά - λύση Να μετατραπούν τα παρακάτω ποσοστά σε κλάσματα: α) 8% β) 39,5% γ) 105% Απάντηση: α) 8% = 8 100 = 2 25 β) 39,5% = 39,5 100 = 395 1000 = 79 200 γ) 105% = 105 100 = 21 20 38
Παράδειγμα 2 με ποσοστά Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ποσοστά επί τοις εκατό: α) 14 200 β) 5 10 γ) 7 8 39
Παράδειγμα 2 με ποσοστά - λύση Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ποσοστά επί τοις εκατό: α) 14 200 β) 5 10 γ) 7 8 Απάντηση: α) β) α) 14 200 = 7 100 = 7% 5 10 = 50 100 = 50% 7 8 = 0,875 = 87,5% 40
Παράδειγμα 3 με ποσοστά Να μετατραπούν οι παρακάτω δεκαδικοί σε ποσοστά επί τοις εκατό: α) 0,345 β) 0,071 γ) 3,4 41
Παράδειγμα 3 με ποσοστά - λύση Να μετατραπούν οι παρακάτω δεκαδικοί σε ποσοστά επί τοις εκατό: α) 0,345 β) 0,071 γ) 3,4 Απάντηση: α) 0,345 = 34,5 100 = 34,5% β) 0,071 = 7,1 100 = 7,1% γ) 3,4 = 340 100 = 340% 42
Ποσοστιαία μεταβολή Η ποσοστιαία μεταβολή βρίσκεται από τον τύπο παλια τιμη νεα τιμη ποσοστιαωα μεταβολή = 100 παλια τιμη Έτσι, εάν η τιμή ενός προϊόντος ήταν 200 και την επόμενη χρονιά είναι 250 η ποσοστιαία μεταβολή είναι 250 200 100 = 50 100 = 25% 200 200 Εάν η νέα τιμή είναι υψηλότερη από την παλιά τότε βρίσκουμε το ποσοστό αύξησης, εάν όμως η νέα τιμή είναι χαμηλότερη από την παλιά τότε βρίσκουμε αρνητικό αποτέλεσμα, δηλαδή έχουμε το ποσοστό μείωσης. 43
Φόρος Προστιθέμενης Αξίας, τόκοι: διάφορες εφαρμογές Ο φόρος προστιθέμενης αξίας (ΦΠΑ) είναι ένας γενικός φόρος ο οποίος επιβάλλεται σχεδόν σε όλα τα αγαθά και τις παρεχόμενες υπηρεσίες. Οπότε εάν για ένα αγαθό ο συντελεστής ΦΠΑ είναι x%, τότε στο αγαθό αντιστοιχεί ΦΠΑ = x (αρχικψ αξια) 100 44
Παράδειγμα 4 Για την αγορά ενός προϊόντος που έχει συντελεστή ΦΠΑ 19% διαθέσαμε συνολικά (συμπεριλαμβάνοντας το ΦΠΑ) 357. α) Να βρεθούν το ΦΠΑ και η αξία του προϊόντος χωρίς το ΦΠΑ. β) Ο ΦΠΑ αυξήθηκε σε 23%. Ποιά είναι η επιβάρυνση αυτής της αύξησης στην τελική τιμή του προϊόντος; 45
Παράδειγμα 4 λύση (1) Έστω ότι η αξία του προϊόντος χωρίς το ΦΠΑ είναι x. Ο ΦΠΑ που αντιστοιχεί στην τιμή αυτήν είναι: 19% x = 19 100 x = 0,19 x Στη συνέχεια, εύκολα σχηματίζουμε την εξίσωση: αξια προ ΦΠΑ + ΦΠΑ = τελικη τιμη x + 0,19 x = 357 1,19 x = 357 x = 300 Άρα η αξία του προϊόντος χωρίς ΦΠΑ είναι 300 και το ποσό του ΦΠΑ είναι: ΦΠΑ = 357 300 = 57. 46
Παράδειγμα 4 λύση (2) β) Εφόσον η αρχική τιμή είναι 300 με συντελεστή ΦΠΑ 23% έχουμε ΦΠΑ = 23% 300 = 69. Η τελική τιμή του προϊόντος είναι πλέον 369 και η επιβάρυνση που προέκυψε από την αύξηση του συντελεστή ΦΠΑ από 19% σε 23% είναι 369 357 = 12. Μπορούμε να υπολογίσουμε αυτήν την αύξηση και με άλλο τρόπο: εφόσον το ΦΠΑ αυξάνει κατά 23% 19% = 4%, έχουμε πρόσθετη επιβάρυνση στην τιμή 300 4% = 12. 47
Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN 978-960-93-3978-0. 48