«Διδακτική Δραστηριότητα στην αίθουσα των υπολογιστών»

Σχετικά έγγραφα
x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Μεθοδολογία Παραβολής

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ. Ε. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των τροχιών του 4ου και του 12ου μαθητή.

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Σελίδα 1 από 3. f ( x ) 0. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ( Μονάδες 5 ) (Α3) Πότε η ευθεία y x

< και δεδομένου ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συμπεραίνουμε ότι

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Δύναμη σημείου ως προς κύκλο: ένας αθέατος κόσμος συμμεταβολών

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

. Μονάδες 3 β) Τα διανύσματα και. τότε x1x2 y1y2. είναι κάθετα αν και μόνο αν 0 Μονάδες 3 γ) Το διάνυσμα,

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Δύναμη Σημείου ως προς Κύκλο: ένας αφανής κόσμος συμμεταβολών

1 0, να βρείτε την τιμή του α. 4. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης είναι : χ=3(2θ ημ2θ) ψ=3(1 συν2θ) α) Να δείξετε ότι : =σφθ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης

f(x) = και στην συνέχεια

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ : Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης : Β Ενιαίου Λυκείου

Κάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

20 επαναληπτικά θέματα

Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της


ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 7: ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΕΣ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΜΠΥΛΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

2. Ιδιότητες Συναρτήσεων

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

, για κάθε x. Άρα, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G(x) F(x) c, για κάθε x. ΘΕΜΑ Β. x,y

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 2 /

Μπολοτάκης Γιώργος. Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, συγγραφέας του βιβλίου «GeoGebra εύκολα και απλά»

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

ΛΥΣΕΙΣ. f(x) = g(x)+c. Α2. ί. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού;; (Να κάνετε πρόχειρο σχήμα).

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2011

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Μαθηματικές Συναντήσεις

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ.

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = x

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

Φύλλο Εργασίας: Το Ορθογώνιο Σύστημα Αξόνων

Transcript:

«Διδακτική Δραστηριότητα στην αίθουσα των υπολογιστών» Καθηγητής ΜΠΟΥΖΑΛΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ e mail mbouzalis@otenet.gr Κλάδος Π Ε, Μαθηματικός Σχολείο ο Ενιαίο Λύκειο Καλαμαριάς Τάξη Θετική - Τεχνολογική κατεύθυνση Β! Λυκείου Αριθμός μαθητών τριών 5 Λογισμικό GRAPHMATIA for WINDOWS. Ελεύθερο για κατέβασμα http//www.graphmatica.com/ Διδακτική Ενότητα ΣΤΟΧΟΙ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κύκλος Σχέδιο μαθήματος. Να θυμηθούν οι μαθητές τριες τον Ευκλείδειο ορισμό του κύκλου.. Να μπορούν οι μαθητές τριες να βρουν την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων.. Να αναγνωρίζουν οι μαθητές τριες την εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου.. Να κάνουν την γραφική παράσταση κύκλων με κέντρο την αρχή των αξόνων και να αναγνωρίζουν τους ομόκεντρους κύκλους καθώς και να βρίσκουν τις ακτίνες τους. 5. Να βρίσκουν και να αναγνωρίζουν τους διάφορους κύκλους που προκύπτουν από παράλληλη μετατόπιση ενός αρχικού κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και έτσι να ανακαλύψουν την γενική εξίσωση του κύκλου ( x x ) + ( y y ) = ρ 6. Να βρίσκουν από την γραφική παράσταση τα στοιχεία των κύκλων. 7. Να αναγνωρίζουν πότε ένας κύκλος εφάπτεται στους άξονες και να βρίσκουν τις αλγεβρικές συνθήκες ώστε να συμβαίνει αυτό. 8. Να βρίσκουν τις θέσεις δύο κύκλων καθώς και τις αλγεβρικές συνθήκες για να συμβαίνει αυτό. ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΟΡΦΗ Καθοδηγούμενη μάθηση με στοιχεία ανακάλυψης ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Απόσταση δύο σημείων Γνώσεις κύκλου από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΤΟΧΩΝ Η επεξεργασία της ενότητας γίνεται με την βοήθεια Φύλλου Εργασίας που διανέμεται σε όλους τους μαθητές τριες. Η δομή του αποσκοπεί στην υλοποίηση των στόχων που ετέθησαν. Οι στόχοι πραγματοποιούνται με τα παρακάτω βήματα που αντιστοιχούν στα διαδοχικά βήματα του φύλλου εργασίας. Γίνεται κινητοποίηση των μαθητών τριών με τον Ευκλείδειο ορισμό του κύκλου.. Με την βοήθεια του ορισμού του κύκλου και της απόστασης βρίσκουν οι μαθητές τριες την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων.. Δίνεται η εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου και ζητείται να βρεθεί τι παριστά και πως ονομάζεται.. ι ) Ζητείται να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις τριών ομόκεντρων κύκλων. ιι) Ζητείται να αναγνωριστούν και να γραφούν τα στοιχεία τους. 5. ι ) Ζητείται να γίνει η γραφική παράσταση τεσσάρων κύκλων που δεν έχουν κέντρο μόνο την αρχή των αξόνων. ιι ) Ζητείται να αναγνωρίσουν οι μαθητές τριες ότι η γραφική παράσταση των τριών από τους κύκλους αυτούς προέκυψαν με παράλληλη μετατόπιση οριζόντια ή κατακόρυφη από την

γραφική παράσταση του πρώτου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και στην συνέχεια να οδηγούνται στην γενική εξίσωση του κύκλου ( x x ) + ( y y ) = ρ 6. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών κύκλων και ζητείται να συμπληρωθεί πίνακας με τα στοιχεία τους. 7. ι ) Δίνονται τρεις κύκλοι και ζητείται να γίνει στο ίδιο σύστημα αξόνων η γραφική τους παράσταση. ιι ) Ζητείται να βρεθούν οι αλγεβρικές συνθήκες που ισχύουν ώστε οι κύκλοι να εφάπτονται στους άξονες. 8. ι ) Δίνονται κύκλοι και ζητείται να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις. ιι ) Ζητείται να συμπληρωθεί πίνακας που αναφέρεται στην θέση τους και στις συνθήκες που ισχύουν για κάθε θέση τους ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Θα γίνει με επανάληψη του ορισμού και των εξισώσεων του κύκλου ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ Από την παράγραφο., οι υποπαράγραφοι εξίσωση κύκλου, και η άσκηση ΕΠΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Φύλλο εργασίας, Στυλό, Υπολογιστές, Λογισμικό, Προτζέκτορας ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Οδηγίες για την χρήση των προγραμμάτων λογισμικού

Ενότητα Ο Κύκλος Φύλλο εργασίας. Τι λέγεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( ορισμός Ευκλείδειας Γεωμετρίας ) ;. Τι πρέπει να ισχύει για να ανήκει ένα σημείο Μ ( x, y ) στον κύκλο ;. Τι είναι η εξίσωση x + y = ; Πως ονομάζεται ;. ι ) Κάντε με την βοήθεια του GRAPHMATIA στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των x + y =, x + y =, x + y = 9

ιι ) Γράψτε εδώ τα στοιχεία τους 5. ι )Βρείτε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των κύκλων 5 x + y =, ( x ) + y =, x + ( y ) =, ( x ) + ( y ) = ιι) Εξηγείστε πως προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των,, από την γραφική παράσταση της Γράψτε εδώ ποια είναι κατά την γνώμη σας η γενική εξίσωση του Κύκλου

5 6. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των κύκλων,, -7-6 -5 - - - - 5 6 7 - - - Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται στα στοιχεία τους - Εξίσωση του κύκλου Συντεταγμένες κέντρου Μέτρο ακτίνας 8. ι ) Κάντε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των κύκλων ( x ) + ( y ) =, ( x + ) + ( y - ) =, ( x + ) + ( y + ) = ιι ) Γιατί ο, εφάπτεται στον x x, ο στον y y και ο και στους δύο άξονες;

6 9. ι ) Κάντε τις παραστάσεις των ( x ) + ( y ) =, ( x + ) +( y + ) =, ( x 5 ) + ( y ) =, ( x 6 ) + ( y ) =, 5 ( x 5 ) + ( y ) =, 6 ( x + ) + ( y + ) = ιι ) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Θέση των κύκλων μεταξύ τους Αιτιολόγηση,,,, 5, 6, 5 Οι απαντήσεις του φύλλου εργασίας στην επόμενη σελίδα

7 Ενότητα Ο Κύκλος. Τι λέγεται κύκλος ; Φύλλο εργασίας Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν από ένα σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ρ λέγεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τι πρέπει να ισχύει για να ανήκει ένα σημείο Μ ( x, y ) στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ ; Ένα σημείο Μ ( x, y ) ανήκει στον κύκλο, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει ( ΟΜ ) = ρ. Όμως ( ΟΜ ) = x y άρα x y = ρ ή ισοδύναμα x + y = ρ. Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την τελευταία εξίσωση. Άρα ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο (, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x + y = ρ.. Τι είναι η εξίσωση x + y = ; Πως ονομάζεται ; Είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο Ο (, ) και ακτίνα ρ =. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται μοναδιαίος κύκλος.. ι ) Κάντε με την βοήθεια του GRAPHMATIA στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των x + y =, x + y =, x + y = 9-7 -6-5 - - - - 5 6 7 - - - -

8 ιι ) Γράψτε εδώ τα στοιχεία τους Είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το σημείο Ο (, ) και ακτίνες,, 5. ι )Βρείτε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των κύκλων x + y =, ( x ) + ( y ) = ( x ) + y =, x + 5 ( y ) =, -7-6 -5 - - - - 5 6 7 - - - ιι) Εξηγείστε πως προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των,, από την γραφική παράσταση της Η γραφική παράσταση της προκύπτει από την γραφική παράσταση της με οριζόντια παράλληλη μετατόπιση δεξιά κατά μονάδες. Η γραφική παράσταση της προκύπτει από την γραφική παράσταση της με κατακόρυφη παράλληλη μετατόπιση προς τα πάνω κατά 5/ μονάδες. Τέλος η γραφική παράσταση της προκύπτει από την γραφική παράσταση της με οριζόντια παράλληλη μετατόπιση αριστερά κατά και κατακόρυφη παράλληλη μετατόπιση προς τα κάτω κατά μονάδες. Γράψτε εδώ ποια είναι κατά την γνώμη σας η γενική εξίσωση του κύκλου ( x x ) + ( y y ) = ρ, με κέντρο το Κ (x, y ) και ακτίνα ρ -

9 6. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των,, -7-6 -5 - - - - 5 6 7 - - - - Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται στα στοιχεία τους Κύκλος Συντεταγμένες κέντρου Μέτρο ακτίνας x + y = ( x ) + ( y ) = ( x ) + ( y ) = (, ) (, - ) ( -, - ) 7. ι ) Κάντε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των κύκλων ( x ) + ( y ) =, ( x + ) + ( y - ) =, ( x + ) + ( y + ) = -7-6 -5 - - - - 5 6 7 - - - -

ιι ) Γιατί ο, εφάπτεται στον x x, ο στον y y και ο και στους δύο άξονες; Επειδή η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τον άξονα x x δηλαδή το y =ρ = ο κύκλος εφάπτεται στον x x. Επειδή το x x = y = ρ = ο κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες. = ρ = ο κύκλος εφάπτεται στον y y. Τέλος επειδή 8. ι ) Κάντε τις παραστάσεις των ( x ) + ( y ) =, ( x + ) +( y + ) =, ( x 5 ) + ( y ) =, ( x 6 ) + ( y ) = 5 ( x 5 ) + ( y ) =, 6 ( x + ) + ( y + ) = 5-7 -6-5 - - - - 5 6 7 6 - - - - ιι ) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Θέση των κύκλων μεταξύ τους Αιτιολόγηση, Ο ένας εκτός του άλλου Διάκεντρος μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτίνων, Εφάπτονται εξωτερικά Διάκεντρος ίση με το άθροισμα των ακτίνων, Εφάπτονται εσωτερικά Διάκεντρος ίση με τη διαφορά των ακτίνων, 5 Τέμνονται Διάκεντρος μεταξύ διαφοράς αθροίσματος των ακτίνων, 6 Ομόκεντροι Ίδιο κέντρο και διαφορετικές ακτίνες, 5 Ο ένας εντός του άλλου Διάκεντρος μικρότερη από τη διαφορά των ακτίνων