ΘΕΜΑ A A.1 Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με το χρόνο. Το σημείο που αντιστοιχεί σε απομάκρυνση x=-a είναι: a) το σημείο Α. b) το σημείο Β. c) το σημείο Γ. d) το σημείο Δ. Μονάδες 5 A. Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται ένα κύκλωμα LC είναι T. Τη στιγμή μηδέν η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι μέγιστη. Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή θα γίνει για δεύτερη φορά μέγιστη μετά από χρόνο: T T 3T d) T a) b) c) Μονάδες 5 A.3 Το σώμα μάζας m του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μέσα σε ρευστό από το οποίο δέχεται δύναμη της μορφής F =-bυ με b=σταθ. Ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f. Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι k: a) 1 k το σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα m. b) η ταλάντωση του σώματος παρουσιάζει διακρότημα. c) το σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα f. d) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μειώνεται σε σχέση με το χρόνο. e) Μονάδες 5 A. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίδιο πλάτος Α και συχνότητες f 1 και f που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Το πλάτος της κίνησης που εκτελεί το σώμα ισούται με: a. 1 (f f ) t b. 1 (f f )t f f ( )t 1 c. f f ( ) t 1 d. Μονάδες 5 A.5 Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα x x διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Το στιγμιότυπο του κύματος παριστάνει: a) την απομάκρυνση ψ των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με τη θέσης τους x, σε δεδομένη χρονική στιγμή t. b) την απομάκρυνση ψ ενός σημείου του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο. c) την ταχύτητα της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο. d) την ταχύτητα της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους x, την ίδια χρονική στιγμή. e) Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Β Β.1 Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια 100J και αρχικό πλάτος A o. Το έργο της δύναμης αντίστασης μετά από N ταλαντώσεις είναι 8J. Άρα το πλάτος ταλάντωσης μετά από N ταλαντώσεις είναι: α). Β1.α Β1.β Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση των απλών αρμονικών ταλαντώσε- ων x 1 =0,0ημ00πt και x =0,0ημ0πtt (SI). Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και στην ίδια διεύθυνση. Τη χρονική στιγμή t 1 το πλάτος της κίνησης που εκτελεί το σώμα είναι 0,08m. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος θα μηδενιστεί για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή a) t 1 +0,5. b) t 1 +0,5. c) t 1 +1 Β.α Β.β Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β.3 Δύο σώματα με μάζες m 1 και m m συνδέονται στο ελεύθερο κάτω άκρο δύο κατακόρυφων ελατηρίων των οποίων τα πάνω άκρα είναι σταθερά στε- ισχύει k 1 =k. Παρατηρούμε ότι ρεωμένα. Για τις σταθερές των δύο ελατηρίων το πρώτο ελατήριο, όταν ισορροπεί το σώμα, έχει επιμηκυνθεί κατά d 1, ενώ το δεύτερο κατά d =d 1. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις ισχύει για τις συχνότητες ταλάντωσης των δύο σωμάτων (Θεωρούμε ότι και τα δύο σώματα εκτε- λούν Α.Α.Τ.). α) β) γ) Β3.α Β3.β Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β). γ). Μονάδες Μονάδες Μονάδες Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'0x διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: ψ = 0,1ημ(πt - )(S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και πx 10π 17π (Ν) του μέσου, τα οποία βρίσκονται δεξιά της πηγής (Ο), είναι φ Μ = rad και φ N = rad αντίστοιχα. 3 6 Γ.1 Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. Μονάδες 7 Γ. Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. Γ.3 Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1sec. Γ. Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. Γ.5 ΘΕΜΑ Δ Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=kg και ισορροπεί στερεωμένο στο πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=00n/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Εκτρέπουμε το σώμα από τη Θ.Ι. του φέρνοντάς το στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή m t=0 δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα υ = 3, προς τα πά- sec νω. Δ.1 Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης. Δ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης ψ=f(t). Δ.3 Να υπολογίσετε τη μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου. Μονάδες 7 Μονάδες Μονάδες Δ. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για δεύτερη φορά, μετά τη στιγμή t=0. Δ.5 Να βρείτε την ορμή του σώματος κατά τη χρονική στιγμή t sec. 50 Δ.6 Μονάδες m 1 3 Δίνονται: g 10, ημ, συν και ότι η θετική φορά είναι προς τα πάνω. sec 6 6 Καλή Επιτυχία
ΘΕΜΑ A A.1= d, A.=c, A.3=c, A.=a, A.5=a ΘΕΜΑ B B.1 B. Σωστή απάντηση είναι η γ. Μετά από N ταλαντώσεις στο ταλαντούμενο σύστημα έχει απομείνει ενέργεια ίση με Η ενέργεια της ταλάντωσης Σχηματίζουμε το πηλίκο των δύο ενεργειών Συνεπώς, σωστή απάντηση είναι η γ. 1 1 1 t t 0,5sec B.3 Η συνθήκη που ισχύει στη θέση ισορροπίας για το κάθε σύστημα είναι: (1) Διαιρώ τις (1) και () κατά μέλη: Άρα (3) Διαιρώ τις (3) και () κατά μέλη: και 1 1 1 1 t... f f f f f f Απαντήσεις Η αρχική ενέργεια της ταλάντωσης βρίσκεται από τη σχέση μετά από N ταλαντώσεις βρίσκεται από τη σχέση 1 1 και () ()
Άρα ΘΕΜΑ Γ α) Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα βρεθεί από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής. Συγκρίνοντας την εξίσωση με τη γενική εξίσωση των κυμάτων, έχουμε ότι: Συνεπώς β) Όπως φαίνεται από τη σχέση που δίνει τη φάση του κύματος, όσο πιο μακριά είναι ένα σημείο από την πηγή τόσο μικρότερη είναι η φάση του. H φάση του σημείου Μ, Άρα. Συνεπώς πιο κοντά στην πηγή είναι το σημείο Μ. Ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ των σημείων Μ και Ν γίνεται με αφαίρεση των δύο φάσεων. γ) Υπολογίζουμε σε πόση απόσταση θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρονικό διάστημα 1s. Σε χρόνο, το κύμα θα έχει διαδοθεί απόσταση ίση με δύο μήκη κύματος (λ) Βρίσκουμε την κίνηση χαρακτηριστικών υλικών σημείων. Τα υλικά σημεία στις θέσεις χ=0, χ=λ και χ=λ, θα βρίσκονται σε απομάκρυνση y=0 και είναι έτοιμα να κινηθούν κατά τη θετι- κή φορά. δ) Επειδή τα σημεία Μ, Ν, απέχουν μεταξύ τους 1m, παρουσιάζουν διαφορά φά- σης, με το σημείο Μ να προηγε είται. Έτσι, όταν το Μ είναι στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, τότε το Ν περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. και σωστή απάντηση είναι η α., είναι μεγαλύτερη από τη φάση του σημείου Ν,
a) ΘΕΜΑ Δ Στη θέση ισορροπίας ισχύει Εφαρμόζουμε τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση μεταξύ της θέσης που ξεκινά η ταλάντωση και της πάνω ακρότατης θέσης. U+K=E b) Γενικά η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: και της ταχύτητας είναι Για t o =0 γίνονται ψ=αημφ ο και υ=ωασυνφ ο. Από την εκφώνηση για t o =0,ψ=0,1m=A/ και 0 6 1 Με αντικατάσταση βρίσκουμε: ή 5 0 6 Δεκτή γίνεται η τιμή 0 (1 ο τεταρτημόριο, ). 6 Από τη σχέση παίρνουμε Άρα, η εξίσωση της απομάκρυνσης γίνεται c) Η μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου βρίσκεται στη θέση της μέγιστης παραμόρφωσης του, δηλαδή στην κάτω α- κρότατη θέση της ταλάντωσης. d) Η ταχύτητα αποκτά τη μέγιστη τιμή της όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, δηλαδή όταν: e) απορρίπτεται 1 η φορά η φορά. Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι το σώμα κινείται προς τα κάτω.