ΝΟΜΟΣ DARCY
Πορώδη µέσα - Εξισώσεις ροής (1) Αρχή διατήρησης µάζας - Εξίσωση συνέχειας (2) Εξισώσεις κίνησης (εξισώσεις Navier-Stokes) Ροή συνήθως στρωτή, µε πολύµικρό αριθµό Reynolds =έρπουσα ροή, εποµένως: 2 V 2g 0 Π.Γ. Γ.Ε. Αντί των εξισώσεων Navier-Stokes νόµος Darcy Ροή γενικά τρισδιάστατη (3D models, µεταβολές κατά x, y, z) Υδροφορείς µη οµογενείς και ανισότροποι ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 2
Βασικές έννοιες Μέση ταχύτητα ροής, συνήθως συµβολίζεται q υπολογίζεται σε όλη τη διατοµήα Υδροδυναµική ταχύτητα ροής v υπολογίζεται στο τµήµα τηςδιατοµής που έχει νερό na, n=(µέσο) πορώδες / ενεργό πορώδες Παροχή Q ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 3
φ l Νόµος Darcy (1) φ1 φ2 φ Q= K A = K A l l p φ = z + = πιεζοµετρικό φορτίο γ Q = q = ειδική παροχή A φ = J = υδραυλική κλίση l q = K J ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 4
Νόµος Darcy (2) Ονόµος του Darcy γενικεύεται ως εξής: J q = KJ dφ = = υδραυλική κλίση ds φ= s = πιεζοµετρικό φορτίο διεύθυνση της ροής ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 5
Γενικευµένη µορφή του νόµου του Darcy J x = ϕ x r r Jy = ϕ q= K J= K gradϕ y J z = ϕ z ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 6
Υδραυλική αγωγιµότητα Κ Παλαιότερα: συντελεστής διαπερατότητας ιαστάσεις ταχύτητας Εξαρτάται: Από τη φύση του πορώδους µέσου και από τις διαστάσεις των πόρων Από τις ιδιότητες του ρευστού ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 7
Φυσική διαπερατότητα k=φυσική διαπερατότητα [L 2 ] γ=ειδικό βάρος µ=δυναµική συνεκτικότητα ν=κινηµατική συνεκτικότητα γ g K = k = k µ ν 1 darcy = 10-8 cm 2 Εµπειρική σχέση k = cd Ιλυώδης άµµος c= 45 cm 100 Καθαρή άµµος c = 140 Eξίσωση Kozeny - Von Karman k = 2 2 3 d n 180 (1 n) 2 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 8
Αναλογία µε ροή Poiseuille Η ροή ρευστού σε πορώδες µέσο παρουσιάζει απόλυτη αναλογία προς την στρωτή ροή Poiseuille. Για στρωτή ροή σε σωλήνα ακτίνας r,ισχύει η ακόλουθη σχέση για την µέση ταχύτητα της ροής : r 2 γ d V p µ = γ + z 8µ ds Άρα: r 2 K γ 8µ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 9
ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 10
Εργαστηριακή εκτίµηση της υδραυλικής αγωγιµότητας ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 11
Νόµος Darcy (3) Ισχύς του νόµου για Re<1 10, Re=q d/ν q=ειδική παροχή ή ταχύτητα Darcy J=υδραυλική κλίση K=υδραυλική αγωγιµότητα ήσυντ. διαπερατότητας h=πιεζοµετρικό φορτίο ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 12
Συσχέτιση πραγµατικής ταχύτητας v και ειδ. παροχής q Ειδική παροχή q=q/a =λογιστικό µέγεθος Α=διατοµή τουσυνεχούςµέσου Πραγµατική διατοµή της ροής=na, n=πορώδες Μέση πραγµατική ταχύτητα ροής v: v = Q = q na n Αντί n, n eff =ενεργό πορώδες ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 13
Άρα, 3 µεγέθη µε διαστάσεις ταχύτητας Ειδική παροχή ή ταχύτητα Darcy, q=q/a=kj Υδραυλική αγωγιµότητα Κ Μέση πραγµατική υδροδυναµική ταχύτητα, v=q/n ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 14
Εξισώσεις Darcy Παίζουν ρόλο εξισώσεων κίνησης (αντί των εξισώσεων Navier Stokes) εν περιγράφουν λεπτοµερώς τη ροή εν περιγράφουν την πραγµατική ταχύτητα Αποτελούν "µακροσκοπικό στατιστικό ισοδύναµο των εξισώσεων Navier - Stokes" ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 15
ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ DARCY ΓΙΑ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟ Υ ΡΟΦΟΡΕΑ
Ανισότροποι υδροφορείς Ισότροπος υδροφορέας: δεν παρουσιάζει προτιµώµενες διευθύνσεις ροής, δηλαδή σε κάθε σηµείο η διαπερατότητα δεν εξαρτάται από την διεύθυνση της ροής. Παράδειγµα: Ιζηµατογενή πετρώµατα ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 17
Τιµές υδραυλικής αγωγιµότητας για ανισότροπα εδάφη Εδάφη Ανυδρίτης Κιµωλία Ασβεστόλιθος, δολοµίτης Ψαµµίτης Σχιστόλιθος Αλάτι Οριζόντια αγωγιµότητα (m/sec) 10 14-10 -12 10-10 -10-8 10-9 -10-7 5 10-13 -10-10 10-14 -10-12 10-14 Κατακόρυφη αγωγιµότητα (m/sec) 10-15 -10-13 5 10-11 -5 10-9 5 10-10 -5 10-8 2,5 10-13 -5 10-11 10-15 -10-13 10-14 P. Domenico - F. Schwartz, 1990 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 18
Είδη ανισότροπων υδροφορέων Εδάφη µηοµογενή τύπου Ι: Παρατηρείται βαθµιαία µεταβολή της υδραυλικής αγωγιµότητας (π.χ. ιζηµατογενείς σχηµατισµοί). Εδάφη µηοµογενή τύπου ΙΙ: Ο υδροφορέας αποτελείται από πολλαπλές στρώσεις, υπερκείµενες η µια της άλλης. Εδάφη µηοµογενή τύπου ΙΙΙ: Παρατηρούνται απότοµες µεταβολές και ασυνέχειες στην τιµή τηςυδραυλικής αγωγιµότητας στον χώρο (π.χ. ρωγµατωµένα εδάφη). ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 19
Είδη ανισότροπων υδροφορέων ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 20
Ανισότροποι υδροφορείς Ένας µη οµογενής υδροφορέας τύπου ΙΙ µπορεί να θεωρηθεί ισοδύναµος προς έναν µη ισότροπο υδροφορέα. Ας θεωρηθεί σύνολο n οριζόντιων, ισότροπων στρώσεων, η κάθε µία από τις οποίες έχει πάχος Β i και υδραυλική αγωγιµότητα Κ i, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 21
Παράδειγµα στρωσιγενούς υδροφορέα (1) B B 1 B 2 K 1 K 2 K z K x z x B n K n ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 22
Παράδειγµα στρωσιγενούς υδροφορέα (2) Ας θεωρηθεί ότι υπάρχει ροή παράλληλη προς τις στρώσεις και έστω h οι απώλειες ενέργειας που παρατηρούνται κατά µήκος µιας οριζόντιας απόστασης L, κοινές για όλες τις στρώσεις. n n h Q (Q ) (K B ) K B x x i i i x i= 0 i= 0 L B K B + K B +... + K B K (K ) x h L = = = n i 1 1 2 2 n n = i = i= 0 B B ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 23
Παράδειγµα στρωσιγενούς υδροφορέα (3) Έστω ότι υπάρχει ροή κάθετη προς τις στρώσεις. Σύµφωνα µετην εξίσωση συνέχειας η κατά z παροχή Q z ανά µονάδα πλάτους είναι για όλες τις στρώσεις σταθερή. Το συνολικό ύψος απωλειών ενέργειας είναι για την περίπτωση αυτή: h = h1 + h2 +... + h n z K1 h1 K2 h2 Kn hn Kz h Q z = = =... = = B B B B B B h = Q z = ( ) Q K 1 2 n K B = = n i z n z B B1 B2 B i n i= 0 K ( ) + +... + i i= 0 K K i 1 K2 Kn B ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 24
Παράδειγµα 2-D ανισότροπου πορώδους µέσου (1) x, y=άξονες της ροής και κύριοι άξονες ανισοτροπίας η y ξ x qx Kxx 0 Jx q = 0 K J y yy y q q x y φ x φ y = Kxx = Kyy ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 25
Παράδειγµα 2-D ανισότροπου πορώδους µέσου (2) Περιστροφή των αξόνων ροής κατά γωνία φ άξονες ξ, η φ φ qξ = Kξξ Kξη qξ Kξξ Kξη Jξ ξ η q = K K J φ φ ξ η η ηξ ηη η qη = Kηξ Kηη 2 2 1 1 Kξξ = Kxx cos α + Kyy sin α = (K xx + K yy ) (K yy K xx ) cos 2α 2 2 2 2 1 1 Kηη = Kyy cos α + Kxx sin α = (K xx + K yy ) + (K yy K xx ) cos 2α 2 2 1 Kξη = K ηξ = (Kyy K xx ) sin α cos α = (K yy K xx ) sin 2α 2 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 26
Παράδειγµα 2-D ανισότροπου πορώδους µέσου (3) Εποµένως: Κλίση της γραµµής ενέργειας κατά ξ Ροή κατά x και y ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 27
[ K] Νόµος Darcy -Ανισότροποι υδροφορείς q = K J + K J + K J x xx x xy y xz z q = K J + K J + K J y yx x yy y yz z q = K J + K J + K J z zx x zy y zz z = K K K K K K K K K xx xy xz yx yy yz zx zy zz K K K xy yz xz = = = K K K yx zy zx q = K J, q= K J i ij j ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 28
Νόµος Darcy-Ανισότροποι υδροφορείς x, y, z=άξονες της ροής και κύριοι άξονες υδρ. αγωγ/τας K = K = K = q q q xy xz zy x y z = Συνήθως: K x 0 0 J x 0 K y 0 J y 0 0 K z J z K = K = K K x y horizontal z 0 = K vertical q = K J x x x q = K J y y y q = K J z z z ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 29
Εφαρµογή Darcy για απότοµη αλλαγή διαπερατότητας q Οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια ϕ1 z1 = z2 q K 1 ϕ ϕ s S K ϕ 1 =ϕ 2 = = = p1 = p2 S S q ϕ K K S Κινηµατική οριακή συνθήκη: n1 = q n2 qs 1 K qn K tanα = = K qs K tanα q 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n 2 s2 2 2 2 q 1 q n1 α 1 Κ 1 q s2 q s1 α 2 q q Κ 2 2 n2 S ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 30
ιάθλαση γραµµών ροής για 3 στρώσεις K1<K2 K1>K2 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2007 Α. ΝΑΝΟΥ 31