ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται πέρας του διανύσµατος AB Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως όταν γνωρίζουµε τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του, που ορίζονται ως εξής: ιεύθυνση ή φορέας ενός διανύσµατος AB, καλείται η ευθεία πάνω στην οποία κείται το διάνυσµα AB Φορά ενός διανύσµατος AB καλείται ο προσανατολισµός του, δηλαδή η µία από τις δύο αντικείµενες ηµιευθείες που ορίζει η αρχή Α του διανύσµατος, πάνω στην οποία κείται το διάνυσµα AB Μέτρο ενός διανύσµατος AB, συµβολικά AB, καλείται το µήκος του αντίστοιχου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ Η διεύθυνση και η φορά ενός διανύσµατος AB καλείται κατεύθυνση του AB Ένα διάνυσµα µέτρου καλείται µοναδιαίο διάνυσµα Μηδενικό διάνυσµα, συµβολικά O, είναι εκείνο το διάνυσµα που η αρχή και το πέρας του συµπίπτουν ύο διανύσµατα a, b καλούνται ίσα (γράφουµε a = b ), όταν: βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς, έχουν την ίδια φορά, έχουν ίσα µέτρα ύο διανύσµατα καλούνται αντίθετα, όταν: βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς, έχουν αντίθετη φορά, έχουν ίσα µέτρα Αν a είναι ένα διάνυσµα, το αντίθετο διάνυσµα αυτού συµβολίζεται µε a

ύο διανύσµατα a, b καλούνται συγγραµικά, (συµβολικά a // b ), όταν τα διανύσµατα αυτά βρίσκονται πάνω στον ίδιο ή σε παράλληλους φορείς ύο διανύσµατα καλούνται οµόρροπα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση, ενώ καλούνται αντίρροπα όταν έχουν αντίθετες κατευθύνσεις Γωνία µεταξύ δυο διανυσµάτων ab, καλούµε την κυρτή γωνία τους, συνεπώς: Πράξεις µε διανύσµατα ( ab, ) 8 Έστω δύο διανύσµατα a, b Ορίζουµε ένα διάνυσµα b = b έτσι ώστε το πέρας του a να είναι αρχή του b Εάν a = AB, b = ΒΓ, τότε ορίζουµε ως άθροισµα a+ b των διανυσµάτων a, b το κάτωθι διάνυσµα: a + b = Α Γ Ισοδύναµα, εάν Ο A = a, ΟΒ = b είναι δύο διανύσµατα µε κοινή αρχή O, ορίζουµε ως άθροισµα a+ b το διάνυσµα: a+ b= ΟΓ, όπου ΟΓ είναι το διάνυσµα της διαγωνίου ΟΓ του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ µε πλευρές τα διανύσµατα a και b Η αφαίρεση a b δύο διανυσµάτων a, b ορίζεται ως εξής: a b = a + b Σχήµα : Το διάνυσµα a b Γινόµενο αριθµού µε διάνυσµα:

Ορίζουµε ως γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε διάνυσµα a, να είναι ένα νέο διάνυσµα λa : (α) λ a οµ ό ρροπο του a οταν λ > = αντί ρροπο του a οταν λ < (β) λ a = λ a ιάνυσµα θέσης-καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Ορισµός Έστω Ο είναι ένα σταθερό σηµείο του χώρου και Μ ένα οποιοδήποτε άλλο σηµείο, τότε το διάνυσµα Ο Μ καλείται διάνυσµα θέσης του σηµείου Μ ή διανυσµατική ακτίνα του σηµείου Μ Ορισµός Έστω ευθεία x x Εκλέγουµε αυθαίρετα ένα σηµείο Ο ως αρχή και ένα σηµείο Ι ώστε το διάνυσµα OI = i να είναι µοναδιαίο Τότε η ευθεία x x καλείται άξονας Με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνουµε µια - αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων της ευθείας και του συνόλου των πραγµατικών αριθµών ως εξής: Έστω Μ ένα τυχαίο σηµείο του άξονα, τότε x : OM = x i και το x είναι µοναδικό διότι αν υπήρχε x x : OM = x i, θα έπρεπε να ισχύει: Άρα έχουµε: ( x x ) i = O x = x και γράφουµε Μ ή Μ(x) έχοντας στο µυαλό µας ότι το σηµείο Μ έχει διάνυσµα θέσης Ο Μ και τετµηµένη x Ορισµός Στο επίπεδο θεωρούµε καθέτους άξονες που τέµνονται σε σηµείο Ο, το οποίο θεωρούµε ως κοινή αρχή τους Ένα τέτοιο σύστηµα καλείται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Έστω i και j τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων, όπως φαίνονται στο κάτωθι σχήµα:

Έστω Μ τυχαίο σηµείο του επιπέδου, τότε x, y : ΟΜ = OA + AM = OA + OB = x i+ y j, άρα σε κάθε σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών ( x, y ), διότι αν υπήρχε και άλλο ζεύγος ( x, y ) : ΟΜ = x i + y j, τότε θα έπρεπε: x x i y y j, ( ) = ( ) το οποίο είναι άτοπο, διότι τα διανύσµατα i και j δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση, συνεπώς δεν µπορούν να είναι ίσα Ορίζεται λοιπόν µία - αντιστοιχία: Στο εξής όταν γράφουµε M ( x, y) =, θα εννοούµε ότι: στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διατεταγµένο ζεύγος αριθµών x, y το οποίο καλούµε ως συντεταγµένες του σηµείου Μ, στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ένα µοναδικό διάνυσµα, το διάνυσµα θέσης του OM Ορισµός Θα συµβολίζουµε µε, το σύνολο των διατεταγµένων ζευγών x, y : x, y, δηλαδή: {( x, y) : x, y } = Ο παραπάνω ορισµός γενικεύεται και για > : 4

{( x, x ): xi, i,, } = = 4 Ο Ευκλείδιος χώρος Εφοδιάζουµε το σύνολο Πρόσθεση: µε τις ακόλουθες πράξεις: Έστω ( a, a,, a ), B ( b, b,, b ) συνόλου Α = = είναι δύο στοιχεία του, ορίζουµε το άθροισµα αυτών ως εξής: A + B = a,, + b a + b και ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: A + B = B + A ( A + B) + Γ = A + ( B + Γ ) A + O = A, O = (,,,) µοναδικο σηµ ειο B Ò : A + B = O Γεωµετρικά, η πράξη της πρόσθεσης ταυτίζεται µε τη συνήθη πρόσθεση των διανυσµάτων που περιγράψαµε παραπάνω Γινόµενο πραγµατικού αριθµού λ µε στοιχείο A ( a a ) και ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: λ A = λ a,, λ a =,, : ( λµ ) A = λ ( µ A) ( + ) = + ( + ) = + λ µ A λ A µ A λ A B λ A λ B A = A Γεωµετρικά, η παραπάνω πράξη ταυτίζεται µε τη γνωστή έννοια του γινοµένου αριθµού µε διάνυσµα που περιγράψαµε παραπάνω Ορισµός 4 Το σύνολο εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις καλείται διανυσµατικός χώρος και τα στοιχεία του καλούνται διανύσµατα Εστω ένα σηµείο A ( a a a ) =,, του χώρου, τότε: (,, ) (,,, ) (,,,, ) (,,, ) A = a a a = a + a + + a 5

(,,, ) (,,,, ) (,,) = a + a + + a = ae + a e + + a e, όπου e i =,,,, Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα,, e e είναι i γραµµικώς ανεξάρτητα, δηλαδή: λ e + + λ e = O λ = = λ =, δηλαδή κάθε διάνυσµα ( ) και παράγουν το χώρο,, a a γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του συνόλου e,, e Συνεπώς το σύνολο: { } { e,, e } αποτελεί µία βάση του χώρου, η οποία καλείται κανονική βάση του Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Oρισµός 5 Έστω a = ( a, a,, a ), b = ( b, b,, b ) oποιαδήποτε στοιχεία του χώρου, η συνάρτηση: = ab i i (, ): : ( ab, ) k = είναι δύο καλείται εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και b εάν ισχύουν oι ακόλουθες ιδιότητες: a b = b a ( a + b) c = a c + b c λ ( a b) = a ( λ b) = ( λ a) b a = a a Στο εξής θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό: ab = k = ab i i Εφόσον ισχύει a, υπάρχει η οπότε µπορούµε να ορίσουµε µία νέα συνάρτηση ως εξής: a = a a = a + a + + a, 6

Oρισµός 6 Έστω a = ( a a a ),,,, η συνάρτηση: + : : a = a = a + + a καλείται νόρµα του διανύσµατος a Η νόρµα ενός διανύσµατος ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: a, λ a = λ a, a b a + b a + b Γεωµετρικά, η νόρµα ενός διανύσµατος αποτελεί τη γενίκευση της έννοιας της απόλυτης τιµής Ο θετικός αριθµός a είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης του a Με τη βοήθεια της νόρµας, µπορούµε πλέον να ορίσουµε την απόσταση µεταξύ σηµείων Α και Β ως εξής: Oρισµός 7 Έστω A ( a, a,, a ), B ( b, b,, b ) = = είναι δύο oποιαδήποτε σηµεία του χώρου ορίζουµε τη συνάρτηση: µε αντίστοιχα διανύσµατα θέσης a και b, τότε + d : : d A, B = b a = b a + + b a i i O µη αρνητικός αριθµός d(α,β) καλείται απόσταση µεταξύ των σηµείων Α και Β και ικανοποιεί τις ιδιότητες: (, ) = = (, ) = (, ) (, ) (, Γ ) + (, Γ ) d A B A B d A B d B A d A B d A d B Oρισµός 8 Ο διανυσµατικός χώρος γινόµενου καλείται ευκλείδειος χώρος εφοδιασµένος µε την πράξη του εσωτερικού Θεώρηµα Το εσωτερικό γινόµενο ab ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: ab = a b συν a b (, ) Παρατηρήσεις: 7

a b = a b a b = ± a b a // b του χώρου όπως ορίστηκε παραπάνω είναι ορθοκανονική βάση, δηλαδή ei = i και επιπλέον ei ej i j H κανονική βάση { e,, e} 4 ύο διανύσµατα a, b του ευκλείδιου χώρου είναι γραµµικώς εξαρτηµένα αν και µόνον αν είναι συγγραµικά διανύσµατα, δηλαδή υπάρχει λ : a = λ b 5 Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα Ορισµός 9 Έστω a, b είναι τα διανύσµατα θέσης δύο σηµείων Α και Β, τότε ορίζουµε ως προβολή του διανύσµατος a πάνω στο διάνυσµα b, συµβολικά π ροβ a b να είναι το διάνυσµα OK όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Σχήµα : προβ = b a O K Θεώρηµα προβ = συν (, ) a a b a b b b Απόδειξη: Aπό το σχήµα φαίνεται ότι c : ΟΚ = c O B, άρα: a b = OA OB συν a b ΟΚ + Κ Α b = OA OB a b και επειδή ΚΑ b = έχουµε: ( ) (, συν, ) ΟΚ b = OA OB συν a, b c b b = OA OB συν a, b c OB = OA OB συν a, b c OB = OA συν a, b και εφόσον ΟΚ = c O B, αντικαθιστώντας την τιµή του c έχουµε το ζητούµενο, 8

Έστω τώρα a = ae + + a e το ανάπτυγµα του a ως προς την κανονική βάση του χώρου, τότε: a i a ei = ai a ei συν ( a, ei) = ai συν ( a, ei) =, a και τα ( ae, i ) συν την κατεύθυνση e i, ισχύει δε: καλούνται συνηµίτονα κατεύθυνσης του διανύσµατος a ως προς συν a, e + + συν a, e = ( ), διότι το µοναδιαίο διάνυσµα a ( a,, a ) ( = = =, ),, συν (, ) a a c συν a e a e = = προφανώς ικανοποιεί την ισότητα: ( c συν a, ei ) i = 6 Εξωτερικό και µικτό γινόµενο στο χώρο Το εξωτερικό γινόµενο ορίζεται ΜΟΝΟΝ στο χώρο Ορισµός Έστω { e, e, e} είναι µία δεξιόστροφη βάση του (δηλ εάν κινηθούµε από το e e e, η κίνηση γίνεται µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού), τότε εάν a = ( a, a, a) b = ( b, b, b) είναι δύο διανύσµατα του, ορίζουµε ως εξωτερικό γινόµενο αυτών το διάνυσµα : e e e a b = a a a, b b b όπου η ορίζουσα αν και δεν έχει τη γνωστή έννοια αφού η πρώτη γραµµή είναι διανύσµατα και όχι αριθµοί, εν τούτοις χρησιµοποιείται ως ένας καλός µνηµονικός κανόνας, µε τη σύµβαση η ορίζουσα να αναπτύσσεται πάντα ως προς την πρώτη γραµµή Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: 9

Το διάνυσµα a ( b c) Θεώρηµα a b = b a λ a b = a λ b = λ a b a b c a b a c a b c ac b ab c ( + ) = + ( ) = καλείται δισ-εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a, b, c ύο διανύσµατα του χώρου είναι γραµµικώς εξαρτηµένα a b = Έστω a, b είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου, τότε το εξωτερικό γινόµενο a b είναι διάνυσµα, κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα a και b Εάν τα διανύσµατα, a, b είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου, τότε το σύνολο{ a, b, a b} αποτελεί µια βάση του a b = a b ηµ ( a, b ) O θετικός αριθµός a b ισούται µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου µε πλευρές τα διανύσµατα a και b a b = a b ( a b) Ορισµός Μικτό γινόµενο µιας διατεταγµένης τριάδας διανυσµάτων a = a, a, a b = b, b, b, c = c, c, c καλείται ο αριθµός:, a a a a b c = b b b c c c Θεώρηµα 4 Εστω a = ( a, a, a ), b = ( b, b, b ), c = ( c, c, c ), τότε: Το µικτό γινόµενο είναι αναλλοίωτο ως προς την κυκλική µετάθεση των a, b, c a b c = b c a = c a b δηλαδή

Το µικτό γινόµενο είναι αναλλοίωτο ως προς την εναλλαγή εσωτερικού και a b c = a b c εξωτερικού γινόµενου, δηλαδή: είναι γραµµικώς εξαρτηµένα a ( b c) = Τα a, b, c Εάν a ( b c) >, τότε το σύνολο { a, b, c} του διαφορετικά αποτελεί αριστερόστροφη βάση Ο θετικός αριθµός a ( b c) πλευρές τα διανύσµατα a, b, c 6 Εξισώσεις ευθείας στο χώρο αποτελεί δεξιόστροφη βάση ισούται µε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου µε Για να έχουµε εποπτική παράσταση θα εργασθούµε στο χώρο αποτελέσµατα γενικεύονται και σε οποιοδήποτε χώρο, >, αλλά τα Ευθεία που διέρχεται από το σηµείο A και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα b είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου Β, τότε η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο A και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα X = x, x, x που ικανοποιούν τη σχέση: Έστω A = ( a, a, a ) και b= ( b, b, b ) b, είναι το σύνολο των σηµείων OX = OA + AX Εφόσον τα διανύσµατα AX και b είναι συγγραµικά παίρνουµε: OX = OΑ + t b, t ( διανυσµατική εξίσωση ευθείας) Από τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας προκύπτουν άµεσα οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας:

( x, x, x ) = ( a, a, a ) + t ( b, b, b ) άρα: x = a + t b x = a + t b, t x = a + t b (παραµετρικές εξισώσεις ευθείας) Εάν bi i, τότε απαλείφοντας το t σε κάθε µία από τις παραπάνω εξισώσεις, παίρνουµε την συµµετρική µορφή της ευθείας: x a x a x a b b b = = Ευθεία που διέρχεται από δύο σηµεία A ( a, a, a ) B = ( b, b, b ) = και Στην περίπτωση αυτή, η ευθεία µας διέρχεται από σηµείο A ( a, a, a ) = και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα AB οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση Η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας είναι: OX = OΑ + t ΑB, t, ενώ οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι: x = a + t b a x = a + t b a, t x = a + t b a Oρισµός Γωνία ϕ µεταξύ δυο ευθειών ( ε ) και ( ε ) γωνία µεταξύ δύο οποιονδήποτε διανυσµάτων a, b των ( ε ) και ( ) γωνία ϕ υπολογίζεται από τη σχέση: ab π συνϕ = ϕ a b 8 Εξισώσεις επιπέδου στο χώρο Έστω P = ( x, y, z ) και N = ( A, B, C ), καλούµε τη µικρότερη ε αντίστοιχα Η είναι το διάνυσµα θέσης σηµείου N Καλούµε υπερεπίπεδο που διέρχεται από το P και είναι κάθετο στο N, το σύνολο των σηµείων X ( x, y, z) = που ικανοποιούν τη σχέση:

PP N = (διανυσµατική εξίσωση επιπέδου) Η παραπάνω σχέση γράφεται ως εξής: PP N = OP OP N = x x A+ y y B+ z z Γ = Ax + By + Γ z = Ax + By + Γ z D Ax+ By+ Γ z = D (αναλυτική εξίσωση επιπέδου) Το κάθετο διάνυσµα N στο επίπεδο καλείται κανονικό διάνυσµα του επιπέδου Επίπεδο που διέρχεται από σηµείο P και είναι παράλληλο προς δυο µη a = a, a, a b = b, b, b : συγγραµικά διανύσµατα, Εφόσον τα διανύσµατα a και b είναι µη συγγραµικά, είναι γνωστό ότι το εξωτερικό τους γινόµενο a b είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο των διανυσµάτων a και b, οπότε αναγόµαστε στην προηγούµενη περίπτωση µε N = a b Αρα, η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου είναι η ακόλουθη: PX a b = και από τον τύπο του µικτού γινοµένου προκύπτει η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου:, x x y y z z a a a b b b =

Εφόσον το σύνολο { aba,, b} αποτελεί µία βάση του χώρου PP όπου Ρ,Ρ σηµεία του επιπέδου γράφεται ως εξής: PP= c a+ c b+ c a b, κάθε διάνυσµα oπότε: άρα: = PP a b = + + c a b c =, P P c a c b OP c a c b = + ΟΡ = + + Η παραπάνω εξίσωση καλείται παραµετρική εξίσωση του επιπέδου Αναφέρουµε επίσης και την αναλυτική εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από µη συνευθειακά σηµεία: x y z a a a b b b c c c = Oρισµός Γωνία ϕ µεταξύ δυο επιπέδων Ε και Ε, καλούµε τη µικρότερη γωνία µεταξύ των αντιστοίχων κανονικών διανυσµάτων τους N και N Η γωνία ϕ υπολογίζεται από τη σχέση: N N π συνϕ = ϕ N N 9 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες στο χώρο Εστω (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου Ρ, ορίζουµε µία αντιστοιχία -: όπου: ( x, yz, ) ( ρθ,, z), ρ είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης OA της προβολής Α του σηµείου Ρ = (x,y,z) πάνω στο επίπεδο των x, y 4

-π θ π είναι η προσανατολισµένη γωνία µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Οx και του διανύσµατος OA H τρίτη συντεταγµένη z παραµένει η ίδια ως είχε Η διατεταγµένη τριάδα ( ρθ,,z) καλείται κυλινδρικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ Καλείται έτσι διότι για ρ=σταθερό και z ±, σχηµατίζεται κύλινδρος µε άξονα συµµετρίας τον άξονα των z Είναι εύκολο να δούµε ότι εάν είναι γνωστές οι κυλινδρικές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες από τις σχέσεις: x = ρ συνθ y = ρ ηµθ z = z Aντιστρόφως, εάν είναι γνωστές οι καρτεσιανές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις κυλινδρικές συντεταγµένες από τις σχέσεις: ρ = x + y y θ = τοξ εϕ x Συνήθως χρησιµοποιούµε αυτό το µετασχηµατισµό συντεταγµένων, όταν έχουµε σχήµα συµµετρικό ως προς ευθεία Σφαιρικές συντεταγµένες Εστω (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου Ρ, ορίζουµε µία αντιστοιχία -: όπου: ( xyz,, ) ( rθ,, φ ), 5

r είναι το µέτρο του διανύσµατος θέσης OP του σηµείου Ρ = (x,y,z) -π θ π είναι η προσανατολισµένη γωνία µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Οx και του διανύσµατος OA, όπου Α είναι η προβολή του σηµείου Ρ πάνω στο επίπεδο των x, y φ π είναι η µικρότερη γωνία µεταξύ του άξονα Oz και του διανύσµατος θέσης OP Η διατεταγµένη τριάδα ( r, θ, φ ) καλείται σφαιρικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ Καλούνται έτσι διότι για r=σταθερό, σχηµατίζεται σφαίρα µε κέντρο την αρχή των αξόνων Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, µε χρήση κλασσικής τριγωνοµετρίας σε ορθογώνια τρίγωνο υπολογίζουµε: z συνφ = z = r συνφ r OA ηµφ = OA = r ηµφ r Εάν καλέσουµε θ τη γωνία µεταξύ του άξονα Οx και του διανύσµατος ΟΑ όπου Α είναι η προβολή του σηµείου Ρ πάνω στο επίπεδο των x, y, τότε: οπότε: x συνθ = x = ΟΑ συνθ = r συνθ ηµφ ΟΑ y ηµθ = y = ΟΑ ηµθ = r ηµθ ηµφ ΟΑ x = r συνθ ηµφ y = r ηµθ ηµφ z = r συνφ δηλαδή, εάν είναι γνωστές οι σφαιρικές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις καρτεσιανές συντεταγµένες από τις παραπάνω σχέσεις Aντιστρόφως, εάν είναι γνωστές οι καρτεσιανές συντεταγµένες, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τις σφαιρικές συντεταγµένες από τις σχέσεις: r = x + y + z y θ = τοξ εϕ x z z φ = τοξσυν = τοξσυν r x + y + z 6

Συνήθως χρησιµοποιούµε αυτό το µετασχηµατισµό συντεταγµένων, όταν έχουµε σχήµα συµµετρικό ως προς σηµείο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια από τα διανύσµατα PQ και AB είναι παράλληλα; (α) P= (, ), Q= ( 4, ), Α= (, 5), Β = ( 7,) (β) P= (, 4 ), Q= (, 5 ), Α = ( 5, 7), Β = ( 9,) Υπάρχουν ίσα διανύσµατα PQ, AB; Υπάρχουν κάθετα διανύσµατα της παραπάνω µορφής; Λύση: (α) PQ = ( 4, ( ) ), ΑΒ = ( 7 ( ), 5) PQ = (, 4 ), ΑΒ = ( 8, 4) Ισχύει ότι PQ // ΑΒ αν και µόνον αν η ορίζουσα των συν/νων τους 4 8 4 είναι µη µηδενική Η παραπάνω ορίζουσα ισούται µε -44 άρα PQ, AB είναι µη παράλληλα PQ ΑΒ, διότι οι αντίστοιχες συντεταγµένες τους δεν είναι ίσες PQ ΑΒ PQ ΑΒ= 8+ 4 ( 4) = 4 6= 8, άρα τα PQ, AB δεν είναι κάθετα Οµοια εργαζόµαστε και για την περίπτωση (β) Υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου µε κορυφές: Α = (,,), Β = (,, 5), Γ = (, 4, 4) ΑΒ= = (,, 5 ) (,, 6) Λύση: ΑΓ = = (, 4 ( ), 4 ) (,, 5), 7

άρα: ΑΒ ΑΓ 6 5 + 6 + 5 5 συνϑ = = = = = ΑΒ ΑΓ ( ) + + 6 + + 5 4 5 4 5 4 ( ) ( ) Όµοια υπολογίζονται και οι υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου Έστω a, b, να δείξετε ότι: a + b = a + b + a b a + b + a b = a + b Λύση: (α) a+ b = ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) a a b b a b a b a b = + + + = + + (β) Εργαζόµαστε όπως στην (α) και αποδεικνύουµε ότι: a b = a + b a b Tελικά: a+ b + a b = a + b 4 Nα δειχθεί ότι: a + cb a c a b Λύση: Aρχικά υποθέτουµε ότι a b, τότε: a+ c b = a + c b + c a b = a + c b a, άρα: a+ cb a Αντιστρόφως, έστω ότι a+ cb a c και έστω ότι ab >, τότε: a+ c b a a + c b + c a b a c b + c a b, αλλά η τελευταία ανισότητα ισχύει πάντοτε c, ενώ όταν c < ισχύει για 8

ab c b Καταλήξαµε σε άτοπο διότι υποθέσαµε εξ αρχής ότι η ανισοισότητα a+ cb a ισχύει c Αν υποθέσουµε ότι ab < και εργασθούµε ακριβώς µε την ίδια λογική πάλι καταλήγουµε σε άτοπο Αναγκαστικά λοιπόν ισχύει: a + cb a c a b = a b 5 Να υπολογίσετε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα Α =,,, Β,, σηµεία Λύση: Προφανώς: AB = (,, 4), oπότε υπολογίζουµε τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας: OX = OA + t AB, t από την οποία εύκολα προκύπτουν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας ( xyz,, ) = (,, ) + t (,, 4) x = t y =, t z = + 4 t 6 Βρείτε την εξίσωση ευθείας στον που διέρχεται από σηµείο P και είναι κάθετη Α =,, Ρ 5, σε σηµείο A, εάν Λύση: Eστω ΟΑ = (, ) a= ( a, a ) είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Α, τότε εάν είναι ένα οποιοδήποτε διάνυσµα πάνω στην ευθεία, έχουµε: a ΟΑ a ΟΑ= a a = Eπιλέγουµε a = a =, οπότε η διανυσµατική εξίσωση της ευθείας είναι: Ο X =ΟΡ+ t x y = + t (, ) (, ) ( 5, ) (,) απ όπου προκύπτουν εύκολα οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας: x= 5 + t, y = + t t 9

και µε απαλοιφή του t παίρνουµε: y = x+ 8 7 Βρείτε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο ( 4,, ) είναι κάθετο στο διάνυσµα N = (,, ) Ρ = και P = Ο ΟΡ Ν = 4 + + + = Λύση: X Ν ( X ) ( x ) ( y ) ( z ) x 4 y + + z + = x y + z = 8 Nα βρείτε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία: (,, ),(,, ),( 4,, ) Λύση: Από τη θεωρία η ζητούµενη εξίσωση είναι: x y z 4 = 9 Να ευρεθεί διάνυσµα κάθετο στα διανύσµατα a = (,, ) b = (,,) και Λύση: To ζητούµενο διάνυσµα είναι: e e e a b = = e e + e a b = e 9e 5e =, 9, 5,,, 4 4,,,,,, Εστω Ρ =, Q =, a = Έστω L είναι η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a Να υπολογισθεί η QX συναρτήσει του t Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Χ τέτοιο ώστε QX είναι ελάχιστη

Να δείξετε ότι QX είναι κάθετο στην ευθεία L Λύση: Kατ αρχήν θα υπολογίσουµε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας L H συγκεκριµένη ευθεία διέρχεται από το σηµείο P και είναι παράλληλη προς το διάνυσµα a, άρα εάν X = ( xyzw,,, ) είναι σηµείο της ευθείας L, τότε:: xt () = + t yt () = + t, zt () = + t wt () = 4+ t t είναι οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας L, συνεπώς: QX = x t + y t + z t + w t ( () 4 ) ( () ) ( () ) ( () ) = + t 4 + + t + + t + 4+ t = t + 5 Oρίζω f () t = t + 5 και υπολογίζω το ελάχιστο αυτής, οπότε: t () t f = και εύκολα βρίσκω ότι έχω ελάχιστη τιµή για t = και κατ επέκταση υπάρχει µοναδικό σηµείο το Χ = (,,,4) ώστε QX = 5είναι η ελάχιστη απόσταση του σηµείου Q από την ευθεία L QX = (,,, 4) ( 4,,,) = (,,, ), άρα: t + 5 QX a = QX ( L) Βρείτε ένα διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως τοµή των επιπέδων: x y+ z= x+ y+ z= Λύση: Έστω x άρα: = c, τότε: y+ z= c, y+ z= c 5 z= 5c z= c,

συνεπώς: 5 y= z + c= c+ c = c Τελικά η λύση του συστήµατος είναι η ευθεία µε διανυσµατική εξίσωση: c 5c 5 x, y, z = c,, =,, + c,, 5 άρα το διάνυσµα,, τοµή των δύο επιπέδων είναι παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των επίπεδων: x + y + z =, x y z = 5 Λύση: H γωνία µεταξύ δύο επιπέδων ορίζεται ως η µικρότερη γωνία µεταξύ των κανονικών διανυσµάτων τους N, N Προφανώς: N =,,, N = ( ),,, άρα: N N συνϑ = = = ϑ = τοξσυν N N Έστω Ρ = (,, 5 ) και (,,) Α = Να ευρεθεί η τοµή της ευθείας από το Ρ στην κατεύθυνση του Α και του επιπέδου x + y z = Λύση: Oι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι: x = t y = + t, t z = 5 + t Οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου και τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας, άρα: ( t 5 ) + ( + t ) (5 + t ) = t =, συνεπώς οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής είναι: 5 ( x( t), y( t), z( t )) = ( t, + t,5 + t) = 4,,

Αν Ρ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας που περνά από το Ρ προς την κατεύθυνση του διανύσµατος θέσης ΟΝ και του επιπέδου που διέρχεται από το Q και είναι κάθετο στο ΟΝ, να υπολογίσετε την απόσταση Ρ Ρ 4 (α) Eστω Ρ = (,,5 ),Q = (,,7) και N = (,, ) (β) Να δείξετε ότι ο γενικός τύπος της απόστασης είναι: ΡΡ = ΡQ ON ON Λύση: (α) Θα υπολογίσουµε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας, την αναλυτική εξίσωση του επιπέδου και στη συνέχεια το σηµείο τοµής ευθείας και επιπέδου (i) Παραµετρικές εξισώσεις ευθείας: (ii) Αναλυτική εξίσωση επιπέδου: ( x, y, z) ( t, t,5 t) = + t x+ y z = + + 7 x+ y z = 5 (iii) Τοµή ευθείας και επιπέδου: Oι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας θα πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου, δηλαδή: x+ y z = 5 + t + + t 5+ t = 5 t = t =, άρα οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής Ρ είναι: oπότε: ( t t t ) 5 7 7, Ρ=, +,5 =,, 5 7 7 ΡΡ = ΡΡ = + + 5 = (β) Θα υπολογίσουµε τη διανυσµατική εξίσωση της ευθείας και του επιπέδου και στη συνέχεια το σηµείο τοµής ευθείας και επιπέδου X t ( X P) t Ο = ΟΡ + ΟΝ Ο Ο = ΟΝ ( ΟX ΟP) ΟΝ= t ΟΝ QX ΟΝ = ( ΟX ΟQ) ΟΝ = ΟX ΟΝ ΟQ ΟΝ =

Αφαιρούµε κατά µέλη και παίρνουµε: PQ ΟΝ ΟQ ΟΡ ΟΝ = t ΟΝ PQ ΟΝ = t ΟΝ t = ΟΝ Tότε: ΡΡ = ΟΡ ΟΡ = t ΟΝ ΡΡ = t ΟΝ ΡQ ΟΝ ΡQ ΟΝ = ΟΝ = ΟΝ ΟΝ 5 Να ευρεθεί η εξίσωση του επιπέδου: που διέρχεται από το σηµείο,, και είναι κάθετο στην ευθεία µε παραµετρικές εξισώσεις x = π + t, y = π + 5 t, z = 9t που περιέχει τις παράλληλες ευθείες µε εξισώσεις: x y + z 5 = = 4 x + y 4 z = = 4 Λύση: (a) Aπό τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας βρίσκουµε εύκολα ότι το διάνυσµα a = (,5,9) είναι παράλληλο στην ευθεία, οπότε το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το διάνυσµα a και εποµένως η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: 9 x + y 5+ z 9= x+ 5y+ 9z = (β) Yπολογίζουµε αυθαίρετα ένα σηµείο της ης ευθείας πχ το P = (,, 5) και δύο σηµεία της ης ευθείας πχ τα P = ( ) και P Το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου είναι το e e e, 4, 6,, N = PP PP = 4 5 5 = ( 5+ 55) e ( 8+ 5) e+ ( 44 5) e 5 7 = 9e + e 69e = 9,, 69, 4

oπότε η αναλυτική εξίσωση του επιπέδου είναι: ( x ) ( y ) ( z ) 9 + + 69 5 = 6 Είναι τα (, 4, ),( 4,, 5 ),( 5,, 8 ) σηµεία της ίδιας ευθείας; Λύση: Kατ αρχήν µελετούµε το µικτό γινόµενο των αντιστοίχων διανυσµάτων θέσης των παραπάνω σηµείων: 4 5 4 5 4 4 5 = 4 + 8 5 8 5 5 8 = 4 5 4( 5) + ( 4 5), άρα τα σηµεία είναι µη συνευθειακά αφού τα αντίστοιχα διανύσµατα θέσης αυτών αποτελούν µία βάση του χώρου 7 Να υπολογισθεί το κανονικό διάνυσµα του επιπέδου µε εξίσωση: Λύση: N = (, 4,5) 8 Nα δειχθεί ότι η ευθεία µε εξίσωση x 4 y + 5z = x y =, z = 5 είναι παράλληλη Ρ = και προς την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία 5,7,9 Ρ = ( 4,,9) Λύση: Aπό τη θεωρία είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι το διάνυσµα a = (,, ) είναι παράλληλο προς την η ευθεία, ενώ το διάνυσµα ΡΡ = 4,,9 5,7,9 =, 4, είναι παράλληλο προς τη η ευθεία Επειδή: οι δύο ευθείες είναι παράλληλες a = = = Ρ Ρ (,,) (, 4,) 9 Έστω διάνυσµα L και σηµείο Ρ που δεν ανήκει στον φορέα του L Να δειχθεί ότι η απόσταση D µεταξύ του σηµείου Ρ και του φορέα του διανύσµατος L είναι: 5

D = L Ρ Ρ, L όπου Ρ είναι οποιοδήποτε σηµείο πάνω στο φορέα του L Λύση: Έστω, τότε: Ρ οποιοδήποτε σηµείο του φορέα του L, εάν θ = ( Ρ Ρ, L ) L Ρ Ρ = L Ρ Ρ ηµθ άρα: D = Ρ Ρ ηµθ = L Ρ Ρ L Να βρείτε την εξίσωση κυλίνδρου µε άξονα συµµετρίας τον άξονα x x και ακτίνα ρ Λύση: Προφανώς ο κύλινδρος αυτός είναι το σύνολο των σηµείων που απέχουν σταθερή απόσταση ρ από την ευθεία x x Επειδή κάθε σηµείο του άξονα x x είναι της µορφής,, P x, εάν (,, ) P x y z είναι σηµείο του κυλίνδρου, τότε: PP= y z PP = y + z (,, ) άρα η εξίσωση του κυλίνδρου είναι η: y + z = ρ, Να ευρεθούν οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το x y+ P = (,, ) και είναι παράλληλη στην ευθεία µε εξισώσεις = = z 4 Λύση: Aπό τη θεωρία ένα διάνυσµα παράλληλο στη η ευθεία είναι το ( 4,, ), οπότε η διανυσµατική εξίσωση της ζητούµενης ευθείας είναι η: OX = OP + t ( 4,, ), t 6

και οι παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι οι ακόλουθες: x = + 4t x = + t, t x = + t Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (, 7,5 ) και (,, ) παράλληλη µε την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (,8,7) και (,,5) Λύση: Υπολογίζω δύο διανύσµατα παράλληλα προς τις αντίστοιχες ευθείες: a = (,, ) (, 7,5) = (, 5, 6) b =,,5,8,7 = 4,, Για να είναι οι δύο ευθείες παράλληλες, αρκεί να δείξουµε ότι a b= O : e e e 5 6 6 5 5 6 = e e + e = e e + e = O 4 4 4 είναι ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποια από τα διανύσµατα PQ και AB είναι παράλληλα; (α) P = (, ), Q= (, 9 ), Α= (, 5), Β = ( 4, 7) (β) P = (,4, ) Q= (,9, ) Α = (,), Β = ( 4, ) Υπάρχουν ίσα διανύσµατα PQ, AB; Υπάρχουν κάθετα διανύσµατα της παραπάνω µορφής; Υπολογίστε το PQ AB Να υπολογίσετε τις παραµετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα Α =,,, Β, 5,9 σηµεία Yπολογίστε την εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σηµείο (,, ) είναι κάθετο στο διάνυσµα N = (,, 4) 4 Να ευρεθεί η εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τα σηµεία: (,, ),(,, ),( 4,, ) Ρ = και 7

5 Να ευρεθεί διάνυσµα κάθετο στα διανύσµατα a = (,, ) b = (,, ) και 6 Να ευρεθεί διάνυσµα παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται ως τοµή των επιπέδων: x+ y z= x+ y z= 4 7 Υπολογίστε τη γωνία µεταξύ των επίπεδων: x + y + z =, x y = 8 Έστω Ρ = (,, ) και (,, ) Α = Να ευρεθεί η τοµή της ευθείας από το Ρ στην κατεύθυνση του Α και του επιπέδου x + y z = 4 Αν Ρ είναι το σηµείο τοµής της ευθείας που περνά από το Ρ προς την κατεύθυνση του διανύσµατος θέσης ΟΝ και του επιπέδου που διέρχεται από το Q και είναι κάθετο στο ΟΝ, να υπολογίσετε την απόσταση Ρ Ρ 9 (α) Eστω Ρ = (,, ),Q = (,, ) και N = (,, ) Να ευρεθεί η εξίσωση του επιπέδου: που διέρχεται από το σηµείο (,,) και είναι κάθετο στην ευθεία µε παραµετρικές εξισώσεις x = t, y = + t, z = 5t που περιέχει τις παράλληλες ευθείες µε εξισώσεις: x + y z + = = x + y z + = = 4 4 6 Είναι τα (,, ),(,, ),(, 4, ) σηµεία της ίδιας ευθείας; Έστω διάνυσµα L = (,,) και σηµείο Ρ = (, 4,9) που δεν ανήκει στον φορέα του L Να υπολογίσετε την απόσταση D µεταξύ του σηµείου Ρ και του φορέα του διανύσµατος L Να ευρεθεί η απόσταση µεταξύ του σηµείου Ρ = (,, ) και του επιπέδου µε εξίσωση x + y 5z = 8