Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hip://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

Βασικές Έννοιες Πινάκων Ορίζουσα Πίνακα: Α C ορίζουµε την ορίζουσα ως όπου ο συµπαράγων (co-factor) δίδεται από την και η ελάσσων (mior) Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο Παράδειγµα: A = a C για δεδοµένο i j= A = a C για δεδοµένο j j= ij ij ij ij a ij Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

Βασικές Έννοιες Πινάκων Εξ ορισµού όπου οπότε που οδηγεί στο Αντίστροφος Πίνακα: Α C ο αντίστροφος Α - ορίζεται ως ο (µοναδικός) πίνακας που ικανοποιεί την AA = A A= I Ευρίσκεται από τη σχέση: όπου Είναι προφανές, ότι για την ύπαρξη του αντίστροφου θα πρέπει Παράδειγµα: Ο πίνακας Α παραπάνω έχει αντίστροφο γιατί Α = -8 0. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Βασικές Έννοιες Πινάκων Από προηγουµένως. Για να βρούµε τον C και εποµένως C = + M = 2 ( ) Μετά από 4 4-2=4 τέτοιους υπολογισµούς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Βασικές Έννοιες Πινάκων Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο: Α C το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ορίζεται ως. Είναι προφανές ότι είναι µονικό (moic) δηλ. είναι ένα πολυώνυµο βαθµού (όσο και η διάσταση του Α) µε συντελεστή στο λ. Δεδοµένου οτι + adj X = C ij M = ij και επειδή η ελάσσων Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Χ αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο i-j τότε ο πίνακας adj λ I A αποτελείται από πολυώνυµα χαµηλότερης τάξης του. [ ] ( ) T i j [ ] T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Διανυσματικοί Χώροι Ορισµός : Ένας Γραµµικός Διανυσµατικός Χώρος X επι ενός σώµατος F είναι ένα σύνολο στοιχείων (ονοµάζονται διανύσµατα) που είναι κλειστό σε 2 πράξεις: διανυσµατική πρόσθεση και πολλαπλασιασµό. Δηλαδή x + x X x, x X a x X x X a F 2 2 Επιπροσθέτως,, ισχύουν τα παρακάτω:. Αντιµεταθετική: xx,, x, x X aa,, a F 2 3 2 x + x = x + x 2 2 2. Προσεταιριστική: 3. Επιµεριστική: 4. Μηδενικό & Μοναδιαίο Στοιχείο: ( x+ x2) + x3 = x+ ( x2 + x3) ( a a ) x= a ( a x) 2 2 ( ) ( ) a x + x = a x + a x 2 2 a + a x= a x+ a x 2 2 0 X x+ 0= x 0, F 0 x= 0 x= x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Διανυσματικοί Χώροι: Παραδείγματα { ( ) } F = x= x, x2,, x xi F, i=,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R, C παριστούν το πραγµατικό & µιγαδικό Ευκλείδιο χώρο, αντίστοιχα. { } m F = A= a ij aij F, i=,, m j =,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R m, C m παριστούν τα σύνολα των πραγµατικών & µιγαδικών m πινάκων. [, ] Cab [ ] : a, b F : είναι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων, µε τη διανυσµατική πρόσθεση και πολ/µο να ορίζονται ως : [ ] F ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] f, g C a, b, a f + g x : = f x + g x a f x : = a f x x a, b f Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Άνοιγμα & Ανεξαρτησία x, x,, xk X Ορισµός 2: Γιά 2 τό άνοιγµά (spa) τους ορίζεται ως spa{ x, x2,, xk} : = { x = α x+ α2 x2 + αk xk, αi F} δηλ. το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των x x x.,,, k 2 { x x x },,, k Ορισµός 3: Ένα σύνολο διανυσµάτων 2 είναι Γραµµικά Ανεξάρτητα αν ισχύει α x + α x + α x = 0 α = α = = α = 0 2 2 k k 2 k { x x x },,, k Λήµµα 4: Αν είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων 2 διανυσµάτων και x spa{ x, x2,, xk} τότε είναι µοναδικοί οι συντελεστές που ικανοποιούν τη σχέση: α i x= α x + α x + α x 2 2 k k Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

Παράδειγμα Θεωρούµε το x =! 3 # " $ και τα διανύσµατα q =! 3 # T " $ q 2 =! 2 2 # T " $ τα οποία (να αποδειχθεί ότι) είναι γραµµικά ανεξάρτητα και εποµένως καθιστούν βαση. Αν φέρουµε (τις διακεκοµµένες) παράλληλες προς τα q 2,q γραµµές τότε (όπως φαίνεται στο σχήµα) αυτές τέµνουν τους φορείς των αντίστοιχα στα. q,q 2 q,2q 2 q,q 2 Εποµένως η παράσταση του x ως προς τα Τ είναι " 2 $ # %. Αυτό πιστοποιείται από την T x =! " 3 # $T =! " q q 2 # $! " 2 Τ! # $ = 3 2 ( " 2 #! ) ( $ " 2 # ) $ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Υπόχωροι - Βάσεις Ορισµός 5: Ένας Γραµµικός Υπόχωρος S ενός γραµµικού διανυσµατικού χώρου X είναι ένα υποσύνολο του X που είναι από µόνος του γραµµικός διανυσµατικός χώρος µε διανυσµατική πρόσθεση και πολλ/µο επι του X. Ορισµός 6: Μία βάση (basis) ενός γραµµικού υπόχωρου είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων { x, x2,, xk} έτσι ώστε S = spa x, x2,, xk Η βάση για τον S µπορεί να µήν είναι µοναδική, αλλά Όλες οι βάσεις του S έχουν τον ίδιο αριθµό στοιχείων k που ορίζει την διάσταση (dimesio) του S. Επειδή τα παραπάνω ισχύουν και για τον X. X X 3 Αν X! τότε: { } {0}, ο µηδενικός υπόχωρος (zero subspace), είναι ένας υπόχωρος µηδενικής διάστασης. Κάθε ευθεία που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι µονο-διάστατος υπόχωρος µε βάση κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα επί της ευθείας. Κάθε επίπεδο που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι ένας 2-διάστατος υπόχωρος µε βάση οιαδήποτε µη-συνευθειακά διανύσµατα επί του επιπέδου. 3 3 Επειδή!!, έχει βάση 3 οιαδήποτε µη συνεπίπεδα διανύσµατα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 0

Υπόχωροι - Βάσεις: Παραδείγματα 2 2 Ο χώρος! είναι 4-διάστατος µε βάση επειδή 2 2 Το υποσύνολο του! που αποτελείται από τους άνω-τριγωνικούς πίνακες είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος µε βάση που προκύπτει, από την παράπάνω βάση, παραλείποντας τον. 2 2 Το υποσύνολο του! που αποτελείται από τους συµµετρικούς πίνακες Α=Α Τ είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος µε βάση Το σύνολο όλων των πολυωνύµων k-βαθµού είναι ένας (k+)-διάστατος υπόχωρος του «άπειρης»-διάστασης διανυσµατικού χώρου Cab [, ]. Η βάση του είναι. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

Τυπική Βάση (Stadard Basis) { } [ ] Στον! η τυπική βάση (stadard basis) e, e2,, e ορίζεται από e = 0! 0 0! 0 [ ] Παρατηρούµε ότι e e2! e = I i-th στοιχείο i 3 Στον! έχουµε: 0 0 e = 0 e 2 e 3 0 = = 0 0 3 Και κάθε στοιχείο x! γράφεται: [ ] x= x e + x e + x e = x x x 2 2 3 3 2 3 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

Αλλαγή Βάσεων { } { } Αν x, x2,, x και y, y2,, y είναι βάσεις ενός -διάστατου γραµµικού διανυσµατικού χώρου X επί του F, τότε x X x= α x = β y (! ) ( ) όπου οι -αδες α, α2,, α και β, β2,!, β είναι οι συντεταγµένες του x ως προς τις βάσεις { x, x2,, x} και { y, αντιστοίχως., y2,, y} Παρατηρούµε επίσης ότι yj X yj = tij xi tij F i, j =,, i= Επειδή = α = β = β = β α = β = ή σε µορφή πίνακα α = T β όπου T = [! ] = [! ] i i i i i= i=! x i xi j yj j tij xi tij j xi i tij j i,, i= j= j= i= i= j= j= α α α β β β Για να είναι δυνατή η «αµφίδροµη» µετατροπή µεταξύ των βάσεων (δηλ. η εύρεση συντεταγµένων απο το ένα σύστηµα στο άλλο) θα πρέπει ο πίνακας Τ να είναι είναι αντιστρέψιµος, οπότε β = T α T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3 t! t T = " # " t! t

Αλλαγή Βάσεων : Παράδειγμα Στον θεωρούµε την τυπική βάση, 2, 3 και µια δεύτερη βάση y = ( ) e+ ( ) e2 + ( 0) e3 0 όπου y2 = ( ) e+ ( 0) e2 + ( ) e3 οπότε T = 0 y = ( 0) e + ( ) e + ( 0) e 0 0 Έστω ένα διάνυσµα Για να παραστήσουµε το x στην βάση οπότε 3! { } 3 2 3 e e e { y, y, y } α 2 x= ( 2) e+ ( 3) e2 + ( 8) e 3 α 2 3 = α 3 8 { y, y2, y3} β 0 2 0 β = T α = β 2 0 3 8 = = β 3 0 0 8 3 ( 0) ( 8) ( 3) x= y + y + y 2 3 2 3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Αλλαγή Βάσεων : Γιατί μας αφορά? Το διπλανό µηχανικό σύστηµα µπορεί να µοντελοποιηθεί µε χρήση µεταβλητών κατάστασης (δηλ. να περιγραφεί αναφορικά µε διάφορες «βάσεις») που µπορούν να είναι οι: µεταβλητές κατάστασης Ισχύος: υ Μ, F K µεταβλητές κατάστασης Lagrage: υ Μ, x K µεταβλητές κατάστασης Hamilto: p Μ, x K Αυτές οι µεταβλητές εύκολα συσχετίζονται µέσω των # % % $ # % % $ υ Μ x K p Μ x K & # ( ( = 0 & # % ( 0 ' $ % K '( υ % M % $ F K & ( ( = # M 0 & # % ( % ' $ 0 ' $ % & ( ( ' 0 0 K # % % $ & # ( '( υ % M % $ F K & ( ( = # M 0 & # % ( % ' $ 0 ' % $ & # ( ( = M 0 & # % ( 0 ' $ % K '( υ % M % $ F K Δηλαδή µία βάση x σχετίζεται µέ κάποια άλλη z µέσω µητρωϊκών σχέσεων τύπου x = P z Ουσιαστικά όµως πρόκειται για περιγραφή του ιδίου σύστήµατος από διαφορετικό σύστηµα συντεταγµένων p Μ x K υ M x K & ( ( ' & ( ( ' Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Ορθογώνια Διανύσματα Ορισµός 7: Για τα διανύσµατα και Το εσωτερικό γινόµενο (ier product) τους ορίζεται ως xy, : = xy = x y όπου το * εκφράζει το συζυγές ανάστροφο διάνυσµα. Παρατηρούµε ότι ( ) yx, = yx= xy = xy, xy,!. xy, : = xy T = yx T = yx, xy,!. = ( ) y= ( y y y ) x x, x2,, x,,, 2 Τα διανύσµατα xy!, είναι ορθογώνια (orthogoal) αν xy, = 0. i= i i Η Ευκλίδεια Νόρµα (Euclidea Norm) του x! είναι 2 2 2 x = x, x = xi i= { } Ένα σύνολο διανυσµάτων x είναι ορθογώνιο (orthogoal), x2,, x αν. x, x = 0 i j και ορθοκανονικό (orthoormal) αν επιπροσθέτως i j x =, i=,!, k i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Ορθογωνικά Συμπληρώματα Oρθοκανονική βάση (orthoormal basis) του S είναι ένα σύνολο διανυσµάτων { x, x2,, x} που είναι ορθοκανονικό και είναι βάση του S. Το ορθογωνικό συµπλήρωµα (orthogoal complemet) S του S ορίζεται ως S : = y! / y, x = 0 x S Προφανώς, το S είναι υπόχωρος του { } Αν 2 είναι βάση του S τότε dim. S = dim! dim S = k! { x, x,, x} S : = { y! / y, xi = 0 i=, ", k} ( ) ( ) ( ) { } { } Για κάθε σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων y, y2,, y k που ικανοποιούν την yj, xi = 0 i=,!, k j =,!, k, όπου τα x, x2,, x. είναι βάση του S, ισχύει S = spa{ y, y2,, y k} 3 Παραδείγµατα: Στον! Αν S = spa{ x } [ ] τότε x = 0 T {, 2} [ 0 ] T T S = spa y y y = y2 = [ 0 0] Αν S = spa{ x τότε S,x 2 } x =! # T " $ x 2 =! 0 # T = spa{ y } y = [ ] " $ 0 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Έστω X και Y είναι γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι επι του ιδίου σώµατος F. Ο µετασχηµατισµός A: X Y είναι γραµµικός αν ( ) A αx+ α2x2 = αax+ α2ax2 x, x2 X α, α2 F Έστω { x, x2,, x} βάση του C και { } A:!! y, y2,, ym βάση του C m, και m ένας γραµµικός µετασχηµατισµός. Τότε x j j=,, επειδή, ένεκα του µετασχηµατισµού Α : προφανώς αυτό έχει µοναδική παράσταση Ax = a y + a y +! + a y j j 2j 2 mj m Ax! αναφορικά µε την βάση 2 του C m Όπως έχουµε δει, η m-αδα ( aj, a2j,!, amj) ορίζει τις συντεταγµένες του m στοιχείου ως προς την βάση y y y. Ax! { } j { y y y },,, m,,, m 2 j m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί x C m και y: = Ax! έχουµε τις αντίστοιχες (µοναδικές) παραστασεις αναφορικά µε τις κατάλληλες βάσεις η -αδα ( α! α ) ορίζει τις,, συντεταγµένες του x C ως προς την βάση { x x x },,, 2 η m-αδα ( β,!, βm ) ορίζει τις συντεταγµένες του y C m ως προς την βάση { y y y },,, m 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Από τα προηγούµενα β y = y= Ax= A α x = α Ax = α a y = a α y β = a α i=,, m m m m! i i j j j j j ij i ij j i i ij j i= j= j= j= i= i= j= j= και σε µητρωική µορφή ή συµπαγώς a! a β = A α A = T " # " T όπου, β = [ β! β m ] α = [ α! α ] am! a m Αυτή η σχέση δίνει τον µετασχηµατισµό Α µεταξύ των παραπάνω χώρων, για την δεδοµένη επιλογή βάσεων. Αν επιλεγούν διαφορετικές βάσεις είτε για τον C είτε για τον C m τότε θα καταλήξουµε σε διαφορετική µήτρα Α. Συχνά επιλέγονται οι «κανονικές βάσεις» για τους C και C m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα Έστω ο γραµµικός µετασχηµατισµός µεταξύ των κανονικών βάσεων των παραπάνω χώρων : Εποµένως, αν θεωρήσουµε τις ορθοκανονικές βάσεις τόσο για τον R 3 όσο και για τον R 2 : Αν εναλλακτικά θεωρήσουµε την παρακάτω βάση για τον R 3 : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα 6 0 9 Εποµένως Ax = Ax2 Ax3 5 = 22 = 8 ή σε συµπτυγµένη µορφή Α x x 2 x 3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραµµικό µετασχηµατισµό δηλαδη για τον πίνακα A! m Ο χώρος απεικόνισης (rage space / image) ορίζεται ως Ο µηδενοχώρος (ull space / kerel) ορίζεται ως Ο Im A είναι υπόχωρος του C m ( 0 C m 0 Im A) O Ker A είναι υπόχωρος του C ( 0 C 0 Ker A) { } Αν α,, είναι οι στήλες του πίνακα Α τότε! α Αν rak(a) είναι η διάσταση του Im A και ullity(a) η διάσταση του Ker A τότε το rak(a), Α C m µπορεί να χαρακτηρισθεί από τα εξής: Τον µέγιστο αριθµό γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A, Τον µέγιστο αριθµό γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A, και Το µέγεθος του µέγιστης διάστασης υποπίνακα του A που είναι µη-ιδιόµορφος. Νόµος Μηδενικότητας του Sylvester : rak(a)+ ullity(a) = (# στηλών Α) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Έστω ο γραµµικός µετασχηµατισµός µε Αναζητούµε τα rak(a), ullity(a) και, για να λάβουµε την την άνω τριγωνική µορφή A R του A, κάνουµε χρήση των ιδιοτήτων των στοιχειωδών πράξεων επι των γραµµών πινάκων: Πολλ/µός γραµµής µε µη-µηδενικό βαθµωτό αριθµό, Ανταλλαγή µεταξύ γραµµών, και Πρόσθεση βαθµωτού πολλαπλασίου µίας γραµµής σε άλλη γραµµή Βήµα : Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Βήµα 2: Βήµα 3: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

Βήµα 4: Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Εποµένως: rak(a) = ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων γραµµών του A ή A R, ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων στηλών του A ή A R, ο αριθµός των µη-µηδενικών γραµµών στον A R 2 Και από τον νόµο του Sylvester: = 4 2 = 2 { } Για το Im A: υπενθυµίζουµε ότι: Αν α, είναι οι στήλες του πίνακα!, α Α τότε, Οπότε, επειδή rak(a) = 2, αναζητούµε 2 γραµµικά ανεξάρτητες στήλες του Α (όχι του A R ). Πιθανές επιλογές είναι οι παρακάτω όπου πρέπει να ελεγχθούν άν οι σχετικοί 3 2 πίνακες εµπεριέχουν 2 2 µη-ιδιόµορφους υποπίνακες. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Για το Ker A: υπενθυµίζουµε ότι: Εποµένως, αναζητούµε ullity(a) = 2 γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στην εξίσωση Α x = 0 ή ισόδύναµα στην Α R x = 0 : Προφανώς: και εποµένως το σύνολο Ker A είναι κατάλληλο ως βάση του Ο σχετικός 4 2 πίνακας εµπεριέχει 2 2 µη-ιδιόµορφους υποπίνακες. Η MATLAB διαθέτει τις εντολές orth, ull και rak για την εύρεση των rage space, ull space και rak. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραµµικό µετασχηµατισµό ισχύουν [ Im. A] = Ker A A. [ Ker A] = Im A * : ο ανάστροφος & συζυγής πίνακας του Α. όπου υπενθυµίζουµε ότι: [ ] ορίζει το ορθογωνικό συµπλήρωµα (orthogoal complemet) ενός χώρου, και [ ] * ορίζει το συζυγή ανάστροφο (cojugate traspose) πίνακα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Για έναν πίνακα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο (characteristic polyomial) του Α έχει πάντοτε συντελεστή στο όρο λ και είναι: Οι ιδιοτιµές (eigevalues) του Α είναι οι ρίζες της χαρακτηρ. εξίσωσης: Ό ταν Aν A R είναι µιγαδικές και εµφανίζονται σε συζυγή ζεύγη. Το φάσµα (spectrum) του Α είναι το σύνολο των ιδιοτιµών του i ( ) υ! ( λi I A) υ = 0 λi υ = A υ ονοµάζεται δεξί ιδιοδιάνυσµα (right eigevector) του Α που σχετίζεται µε την λ i. λ σ( A) w 0! ( λ ) = 0 λ = λ σ A καθε 0 που ικανοποιεί την καθε που ικανοποιεί την ονοµάζεται αριστερό ιδιοδιάνυσµα (left eigevector) του Α που σχετίζεται µε την λ i. Παρατήρηση: αν στη σχέση ορισµού του w* εφαρµόσουµε το συζυγές ανάστροφο διαπιστώνουµε ότι to w είναι το δεξί ιδιοδιάνυσµα του Α* σχετιζόµενο µε την ιδιοτιµή Από τον ορισµό των ιδιοτιµών Εποµένως και βέβαια i w I A w w A λi σ( A) λi I A 0 Ker( λi I A) ( λi I A) υ = 0 υ 0 Ker( λi I A) c υ Ker ( λ I A) c= scalar i i = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28 i λ i _ w*=w T

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα Εποµένως ( A) = { =, 2,3 = 2 ± j} σ λ λ Στοιχειώδεις πράξεις οδηγούν σε reduced Echelo form λ = : ( λ I A) υ = 0 υ = [ 0] T Ker( λ I A) R λ 2 =2+j : λ 3 =2-j : λ3 = λ2 υ3 = υ2 = 0 j 2 2 T υ2 = 0 + j 2 2 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα A*=A T και T ( A ) = { =, 2 = 3, 3 = 2} σ λ λ λ λ λ λ οπότε, µε παρόµοιο τρόπο: T w = [ 0 0] w2 = j w3 = w2 = + j 2 2 2 2 T T Τι γίνεται όµως όταν ο πίνακας Α έχει πολλαπλές ιδιοτιµές? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

Πολλαπλές Ιδιοτιμές Αν d είναι ο αριθµός των «διακριτών» ιδιοτιµών λ,!, λd του Α, οπότε όπου m i είναι η αλγεβρική πολλαπλότητα (algebraic multiplicity) της ιδιοτιµής λ i, και η γεωµετρική πολλαπλότητα (geometric multiplicity) της ιδιοτιµής λ i είναι: Κατά συνέπεια: det { } m m2 m ( λ I A) = ( λ λ ) ( λ λ )! ( λ λ ) d λ i i=,, d 2 ( λ ) dim Ker ( λ ) = ullity I A = I A i i i { υ, υ,, υ, } i i i Υπάρχουν i γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις στην οµογενή 2 i εξίσωση ( λi I A) υ = 0 i Το σύνολο {, i,, i υ υ2 υ, } είναι η ιδιο-βάση (eigebasis) του σχετικού i ιδιο-χώρου (eigespace) Ker λi I A που σχετίζεται µε την ιδιοτιµή λ i. ( ) Προφανώς: i mi i=,, d Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες µε διαφορετικές ιδιοτιµές ειναι γραµµικά ανεξάρτητες. d Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Πολλαπλές Ιδιοτιμές : Παράδειγμα ( ) ( ) 3 det λ I A = λ µ λ = µ m = 3,2,3,4 d= d= = = 2 = 2 = 3 Ιδιο-βάσεις: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι πίνακες AB,! ονοµάζονται όµοιοι (similar) αν υπάρχει µηίδιόµορφος πίνακας T! για τον οποίο ισχύει B T = A T A= T B T T Ο πίνακας ονοµάζεται µετασχηµατισµός οµοιότητας (similarity trasformatio). Αν οι πίνακες AB,! είναι όµοιοι τότε έχουν ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυµα (... και ίδιες ιδιοτιµές). Σε ένα διαγώνιο πίνακα, ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του. Διαγωνοποίηση: Δεδοµένου ενός πίνακα Α αναζητούµε τον πίνακα µετασχηµατισµού Τ που θα µας οδηγήσει σε όµοιο διαγώνιο πίνακα Β που (κατά τις 2 προηγούµενες προτάσεις) τα στοιχεία της διαγωνίου του θα είναι οι ιδιοτιµές του Α. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Διερεύνηση της Διαδικασίας Διαγωνοποίησης: A! Έστω οι διακριτές ιδιοτιµές του µε αλγεβρικές πολλαπλότητες που ικανοποιούν την, γιατί το ΧΠ του Α έχει βαθµό Οι σχετικές γεωµετρικές πολλαπλότητες υποδεικνύουν ότι µπορούµε να βρούµε, τον αριθµό, ιδιοδιανύσµατα + +! + 2 d κατ αντιστοιχία των διακριτών ιδιοτιµών Σύµφωνα µε την γνωστή ιδιότητα... το παραπάνω σύνολο ιδιοδιανυσµάτων είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες µε διαφορετικές ιδιοτιµές ειναι γραµµικά ανεξάρτητες Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι προφανώς ισχύουσες σχέσεις AT = T Λ j j A υ = λ υ i=,, d j=,!, i i i i γράφονται ως όπου 2 2 d d T = υ! υ υ! υ! υ 2! υ d " και (! ) + + + 2 d Επειδή T ", για να είναι αυτός τετράγωνος, θα πρέπει: + 2+! + d =. Αυτό, σε συνδυασµό µε τις Ιδιο-βάσεις σχετιζόµενες m+ m2+! + md =. και µε διαφορετικές. i mi i=,, d ιδιοτιµές ειναι γραµµικά συνεπάγεται i = mi i=,, d ανεξάρτητες Εποµένως T, Λ! και επειδή, σύµφωνα µε το ότι... προκύπτει ότι το σύνολο ιδιοδιανυσµάτων του Τ είναι γραµµικά ανεξάρτητο, και κατά συνέπεια ο Τ είναι µή-ιδιόµορφος. Εποµένως Τ είναι µετασχηµατισµός που διαγωνοποιεί τον Α: " (! ) + + + ( + +! + ) ( + +! + ) 2 d 2 Λ= T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35 2 A T d d

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Με βάση τα προηγούµενα (Αναγκαία & Ικανή Συνθήκη Διαγωνοποίησης) : Ένας πίνακας A! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν και µόνο αν ο Α έχει, συνολικά, γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. Ισοδύναµα: αν και µόνο αν η γεωµετρική πολλαπλότητα ισούται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα για κάθε διακριτή ιδιοτιµή. Έτσι, αν ο Α έχει διακριτές ιδιοτιµές τότε d =, i = mi = i=,,. Αυτό συνεπάγεται την υπαρξηωτων γραµµικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσµάτων που απαιτούνται για την διαγωνοποίηση. Εποµένως: έχουµε την παρακάτω ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: Ένας πίνακας A! είναι διαγωνοποιήσιµος µέσω µετασχηµατισµού οµοιότητας αν έχει διακριτές ιδιοτιµές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Κανονική Μορφή τύπου- Jorda Ενώ κάθε τετραγωνικός πίνακας δεν είναι απαραίτητα διαγωνοποιήσιµος (αν δηλ. ΔΕΝ ισχύουν οι συνθήκες της προηγούµενης σελίδας), κάθε τετραγωνικός πίνακας µπορεί όµως να µετατραπεί στη κανονική µορφή τύπου-jorda, όπως ορίζεται... Η Κανονική Μορφή τύπου-jorda (Jorda Caoical Form) προαπαιτεί τον ορισµό του Jorda-Block διάστασης k k k k! Ενας Πίνακας Jorda είναι ένας block-διαγώνιος πίνακας µε Jordablocks στη διαγώνιο Αν r = k = i=,!, r τότε ο J είναι διαγώνιος πίνακας. i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

Κανονική Μορφή τύπου- Jorda Αν ο A! έχει d διακριτές ιδιοτιµές λ,!, λ µε m d, m2,!, md τις αντίστοιχες αλγεβρικές και, 2,!, d τις αντίστοιχες γεωµετρικές πολλαπλότητες, υπάρχει ένας µετασχηµατισµός οµοιότητας που οδηγεί στον πίνακα Jorda J = T A T ο οποίος αποτελείται από i i =,,d Jorda-Blocks για κάθε διοτιµή λ i, όπου το άθροισµα των µεγεθών αυτών (για κάθε i) ισούται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα m i. Οι διπλανοί πίνακες τύπου κανονικής µορφής Jorda, θα µπορούσαν να προκύψουν από ένα πίνακα µε µία διακριτή ιδιοτιµή µε αλγεβρική πολλαπλότητα 5 και γεωµετρική πολλαπλότητα 2. Αν για µια συγκεκριµένη ιδιοτιµή, η αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα είναι ίσες, τότε τα αντίστοιχα Jorda-block είναι βαθµωτά, (και αντιστρόφως). Άν το ανωτέρω ισχύει για όλες τις ιδιοτιµές τότε ο πίνακας Jorda είναι απλά διαγώνιος. Η ιδιότητα αυτή είναι σηµαντική σε πολλές εφαρµογές, όπως έλεγχος ευστάθειας, κλπ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

Θεώρημα Cayley- Hamilto Για κάθε A! µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο ισχύει A + a A +! + a A+ a I = 0 0 Δηλαδή: Ο πίνακας Α είναι ρίζα της µητρωικής µορφής της χαρακτηριστικής εξίσωσής του... λ = λ + λ + + λ+ I A a! a a0 Παράδειγµα: Αν για ένα πίνακα η Χ.Ε. είναι = 0 τότε ισχύει Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

Νόρμες Διανυσμάτων Ορισµός: Μία διανυσµατική νόρµα (vector orm) στο C είναι µία + συνάρτηση :! " που Είναι θετικά ορισµένη x 0 x!, x = 0 x= 0 Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα x+ y x + y x, y! Είναι οµογενής Η p-νόρµα ορίζεται ως και αν p τότε αποδεικνύεται ότι Παρατηρούµε ότι x. = i= x i. Ευκλείδια Νόρµα Iσχύει η ανισότητα του Hölder 0 α x = α x x!, α! x y x y x, y!, p, q 2 p q p + q = Για p = q = 2 αυτή παίρνει τη µορφή της γνωστής ανισότητας Cauchy-Swarz x y x y x y! 2 2, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

Νόρμες Πινάκων Ορισµός: Μία µητρωική νόρµα (matrix orm) στο C m είναι µία m + συνάρτηση :! " 0 που m m Είναι θετικά ορισµένη A 0 A!, A = 0 A= 0! m Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα A+ B A + B A, B! Είναι οµογενής α A = α A A! m, α! Αρχικά θεωρούµε µητρωικές νόρµες που ορίζονται από τις διανυσµατικές Ax A x x! Το ελάχιστο ανω φράγμα νόρμα φάσματος (spectral orm) Υπάρχουν και νόρµες που δεν εισάγονται από τις διανυσµατικές π.χ. Η νόρµα Frobeious ΒΙΒΟ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42