ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι για κάθε ϕυσικό n ισχύει µ(n µ(n + µ(n + 2 µ(n + 3 = 0 = µ ( n (n + (n + 2 (n + 3 όπου µ η συνάρτηση του Möbius. Λύση.. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : ( Εστω n =. Τότε n + 3 = + 3 = 4 = 2 2 = µ(n + 3 = µ(2 2 = 0 = µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0 (2 Εστω n > και n άρτιος. Τότε n = 2 a όπου a περιττός αριθµός και. Αν 2 τότε 2 2 n και άρα µ(n = 0. Υποθέτουµε ότι =. Άρα n = 2a και τότε n + 2 = 2a + 2 = 2(a +. Επειδή ο a είναι περιττός ϑα έχουµε a = 2b + για κάποιον ϑετικό ακέραιο b και τότε : n + 2 = 2(a + = 2(2b + 2 = 2 2 (b + = 2 2 n + 2 = µ(n + 2 = 0 (3 Εστω n > και n περιττός, δηλαδή n = 2a + µε a. = µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0 Αν ο a είναι περιττός τότε ο a + είναι άρτιος και άρα είναι της µορφής a + = 2b για κάποιον ϑετικό ακέραιο b. Τότε : n + = 2a + + = 2(a + = 2 2b = 2 2 b = 2 2 n + = µ(n + = 0 Άρα έπεται ότι µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0. Αν ο a είναι άρτιος τότε ο αριθµός a+2 είναι επίσης άρτιος και άρα είναι της µορφής a+2 = 2b για κάποιον ϑετικό ακέραιο b. Τότε : n + 3 = 2a + + 3 = 2(a + 2 = 2 2b = 2 2 b = 2 2 n + 3 = µ(n + 3 = 0 Συνεπώς και σε αυτή τη περίπτωση έχουµε : µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0. 2. Θα έχουµε : ( Αν ο αριθµός n είναι άρτιος, τότε και ο αριθµός n + 2 είναι άρτιος και εποµένως 2 2 = 4 n (n + (n + 2 (n + 3
2 (2 Αν ο αριθµός n είναι περιττός, τότε οι αριθµοί n + και n + 3 είναι άρτιοι και εποµένως 2 2 n (n + (n + 2 (n + 3 Ετσι σε κάθε περίπτωση 2 2 n (n+ (n+2 (n+3 και εποµένως µ ( n (n+ (n+2 (n+3 = 0. Ασκηση 2. Να δειχθεί ότι για κάθε ϕυσικό n 3 ισχύει n µ(! = Λύση. Εχουµε : µ(! = µ( =. µ(2! = µ(2 = ( =. µ(3! = µ( 2 3 = ( 2 =. µ(4! = µ( 2 3 4 = µ(2 3 3 = 0. Παρατηρούµε ότι για n 3 έχουµε ότι 2 2 n! και άρα µ(n! = 0. Εποµένως n µ(! = µ(! + µ(2! + µ(3! + + µ(n! = = = + ( + + 0 + + 0 = και άρα n = µ(! = για κάθε n 3. Ασκηση 3. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, να δειχθεί ότι :, αν n = µ( = 2 r, αν n = p pr r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > Λύση. Αν n =, τότε µ( = µ( = =. Εστω n >. Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση µ του Möbius είναι πολλαπλασιαστική. Ορίζουµε τη συνάρτηση θ : N C, θ(n = µ(n Εστω m, n ϕυσικοί αριθµοί µε (m, n =. Τότε θ(m n = µ(m n = µ(m µ(n = µ(m µ(n = θ(m θ(n και άρα η συνάρτηση θ είναι πολλαπλασιαστική. Υπενθυµίζουµε επίσης από τη ϑεωρία ότι αν f είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση τότε και η συνάρτηση F (n = f( είναι πολλαπλασιαστική. Άρα αφού η συνάρτηση θ είναι πολλαπλασιαστική έπεται ότι και η συνάρτηση F (n = θ( = µ( είναι πολλαπλασιαστική. Τότε F (n = F (p a pa 2 2... par r = F (p a F (pa 2 2 F (par r = ( p a µ( ( µ( p ar r
3 και για κάθε i =, 2,, r έχουµε µ( = µ( + µ(p i + µ(p 2 i + + µ(p a i i = + + 0 + + 0 = 2 Συνεπώς p a i i και έτσι έχουµε δείξει το Ϲητούµενο. F (n = µ( = } 2 {{ 2 } = 2 r r ϕορές Ασκηση 4. Εστω m, n N. Να δειχθεί ότι για κάθε πολλαπλασιαστική συνάρτηση f : N C, ισχύει ότι : f ( (m, n f ( [m, n] = f(mf(n Λύση. Εστω m = p a pa 2 2... pa και n = pb p b 2 2... p b όπου a i 0, b i 0. Επειδή η συνάρτηση f είναι πολλαπλασιαστική έχουµε Επίσης γνωρίζουµε από τη ϑεωρία ότι Τότε έχουµε και Παρατηρείστε ότι f(m = f(p a f(pa και f(n = f(pb f(p b (m, n = p min{a,b } p min{a,b } και [m, n] = p max{a,b } p max{a,b } f ( (m, n = f ( p min{a,b }... p min{a,b } f ( [m, n] = f ( p max{a,b }... p max{a,b } Τότε από τις σχέσεις ( και (2 έχουµε = f ( p min{a,b } = f ( p max{a,b } f(p a f(p b = f(p min{a,b} f(p max{a,b}... f ( p min{a,b }... f ( p max{a,b } f ( (m, n f ( [m, n] = f(p a... f(pa f(pb... f(p b = f(mf(n Άρα : f ( (m, n f ( [m, n] = f(mf(n. ( (2 Ασκηση 5. Μια αριθµητική συνάρτηση f : N C καλείται προσθετική αν : n, m N : (n, m = = f(nm = f(n + f(m Η f καλείται πλήρως προσθετική αν f(nm = f(n + f(m, n, m N.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(n = log n είναι πλήρως προσθετική. 2. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση ω(n = πλήθος διακεκριµµένων πρώτων παραγόντων του n, είναι προσθετική, αλλά δεν είναι πλήρως προσθετική. 3. Να δειχθεί ότι αν f είναι µια (πλήρως προσθετική συνάρτηση τότε η συνάρτηση g(n = 2 f(n είναι (πλήρως πολλαπλασιαστική. Λύση.. Αν n, m N, τότε ϑα έχουµε : και εποµένως η f είναι πλήρως προσθετική. f(nm = log(nm = log n + log m = f(n + f(m
4 2. Αν n =, τότε ω(n = 0. Εστω n, m N. Άν n =, τότε προφανως (n, m = και ω(nm = ω(m = 0 + ω(m = ω(n + ω(m. Παρόµοια ω(nm = ω(n = ω(n + 0 = ω(n + ω(m, αν m =. Υποθέτουµε τώρα ότι n, m >, όπου (n, m =, και επιλέγουµε πρωτογενείς αναλύσεις n = p a pa & m = q b qb l l p i q j, για κάθε i =,, και j =,, l, διότι (n, m =. Τότε η πρωτογενής ανάλυση του nm είναι nm = p a pa qb qb l l = ω(nm = + l = ω(n + ω(m Εποµένως η ω είναι προσθετική. Η ω δεν είναι πλήρως προσθετική διότι ω(2 2 = ω(4 = και ω(2 + ω(2 = + = 2, άρα ω(2 2 ω(2 + ω(2. 3. Εστω n, m N και υποθέτουµε ότι (n, m =. Τότε χρησιµοποιώντας ότι η f είναι προσθετική, ϑα έχουµε : g(n m = 2 f(n m = 2 f(n+f(m = 2 f(n 2 f(m = g(n g(m και άρα η g είναι πολλαπλασιαστική. Παρόµοια αν η f είναι πλήρως προσθετική οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι η g είναι πλήρως πολλαπλασιαστική. Ασκηση 6. Εστω λ: N C, η συνάρτηση του Liouville, δηλαδή η αριθµητική συνάρτηση, αν n = λ: N C, λ(n = ( + + r, αν n = p pr r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > ( Να δειχθεί ότι η συνάρτηση λ είναι πολλαπλασιαστική. (2 Να υπολογισθεί το άθροισµα λ( Λύση. ( Εστω (m, n =. Αν m = ή n = τότε λ(µ ν = λ(µ λ(ν διότι λ( =. Υποθέτουµε ότι m > και n >. Εστω m = p a... pa και n = q b... qbs s οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών m και n αντίστοιχα. Αφού (m, n = τότε mn = p a... pa qb... qbs s είναι η πρωτογενής ανάλυση του mn και άρα λ(m n = ( a + +a +b + +b s = ( a + +a ( b + +b s = λ(m λ(n Άρα η συνάρτηση λ του Liouville είναι πολλαπλασιαστική. (2 Για n = τότε λ( = λ( = λ( = Εστω n > και n = p a... pa η πρωτογενής ανάλυση του n. Αφού η συνάρτηση λ είναι πολλαπλασιαστική τότε και η συνάρτηση λ( είναι πολλαπλασιαστική. Άρα και λ( = p a λ( λ( p a
5 p a i i λ( = λ( + λ(p i + λ(p 2 i + + λ(p a i i = + ( + ( 2 + + ( a i = Ετσι αν κάποιο από τα a i είναι περιττός τότε λ( = 0 ενώ αν όλα τα a i είναι άρτιοι τότε Εποµένως λ( =, αν n = m 2, m N λ( = 0, διαφορετικά, αν a i : άρτιος 0, αν a i : περιττός Ασκηση 7. Αν λ είναι η συνάρτηση του Liouville, να δειχθούν οι σχέσεις : µ(λ( = λ ( = µ( = 2 r όπου n = p a par r είναι η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >. Λύση. Εχουµε δείξει στο µάθηµα (ως συνέπεια του ότι η λ είναι πλήρως πολλαπλασιαστική ότι : λ (n = µ(n = (µ λ(n = µ(n λ(n, n Άρα αρκεί να δείξουµε ότι µ( = 2r. Αυτό όµως προκύπτει από την Άσκηση 3. Εδώ δίνουµε µια διαφορετική απόδειξη, δείχνοντας ισοδύναµα ότι µ(λ( = 2r. Επειδή η συνάρτηση του Liouville είναι πολλαπλασιαστική, ϑα έχουµε 2 : µ(λ( = ( λ(p ( λ(p r = ( ( ( ( = } 2 {{ 2 } = 2 r r ϕορές Ασκηση 8. Εστω Λ η συνάρτηση του Magnolt, δηλαδή η αριθµητική συάρτηση log p, αν n = p m, m N & p : πρώτος Λ: N C, Λ(n = 0, διαφορετικά Υπενθυµίζουµε την απόδειξη : Αν p είναι ένας πρώτος αριθµός και a N, τότε Θα έχουµε : p a µ( = µ( + µ(p + µ(p 2 + + µ(p a = + + 0 + + 0 = 2 Επειδή η µ είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση, προφανώς και η συνάρτηση n µ(n είναι πολλαπλασιαστική. Τότε όµως και η συνάρτηση n µ( είναι πολλαπλασιαστική. Εποµένως ϑα έχουµε : µ( = ( µ( ( µ( = 2 2 = 2 r p a p ar r 2 Υπενθυµίζουµε ότι αν f είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση, τότε : µ(f( = ( f(p ( f(p r, όπου n = p a par r είναι η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >.
6 ( Είναι η συνάρτηση Λ πολλαπλασιαστική ή ενελικτικά αντιστρεπτή ; (2 Να δείξετε ότι, n N: Λ( = log n Λύση. ( Από τον ορισµό της συνάρτησης του Magnolt Λ έχουµε ότι Λ( = 0, Λ(2 = log 2, Λ(3 = log 3, Γνωρίζουµε από τη ϑεωρία ότι η ενελικτικά αντίστροφη µια αριθµητικής συνάρτησης f υπάρχει αν και µόνο αν f( = 0. Άρα η συνάρτηση Λ δεν είναι ενελικτικά αντιστρεπτή. Επίσης αν η Λ ήταν πολλαπλασιαστική τότε ϑα είχαµε Λ( =, το οποίο είναι άτοπο. Συνεπώς η συνάρτηση Λ δεν είναι ούτε πολλαπλασιαστική. (2 Εστω n =. Τότε log = 0 = Λ( = Λ( και άρα η Ϲητούµενη σχέση ισχύει. Εστω n > και n = p a... pa η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n. Αν = τότε Λ( = 0. Αν Αν > και η πρωτογενής ανάλυση του διαιρέτη περιέχει περισσότερους από έναν από τους πρώτους p i τότε από τον ορισµό της συνάρτησης Λ έχουµε Λ( = 0 ενώ αν περιέχει ακριβώς ένα από τα p i, δηλαδή = p b i i Λ( = log p i 0 µε b i a i, τότε Εποµένως έχουµε Λ( = ( Λ(p + + Λ(p a + + ( Λ(p + + Λ(p a = ( ( log p + + log p }{{} + + log p + + log p }{{ } a ϕορές a ϕορές = a log p + + a log p = log p a + + log pa = log (p a pa = log n Άρα πράγµατι n N: Λ( = log n. Ασκηση 9. Να δειχθεί ότι για την συνάρτηση Λ του Magnolt, ισχύει ότι : Λ(n = µ( log(
7 Λύση. Σύµφωνα µε την Άσκηση 8, έχουµε log(n = Λ(. Από το τύπο αντιστροφής του Möbius Λ(n = µ( log( n = µ((log(n log( = µ( log(n µ( log( Επειδή, n : Εποµένως καταλήγουµε :, αν n = µ( = ɛ(n = και επειδή log( = 0, έπεται ότι, n : 0, αν n >, µ( log(n = log(n µ( = 0 Λ(n = µ( log( Υπενθυµίζουµε ότι αν f : N C είναι µια αριθµητική συνάρτηση, για την οποία ισχύει ότι f( 0, τότε ορίζεται η ενελικτικά αντίστροφη της f αριθµητική συνάρτηση f : N C, και η οποία είναι η µοναδική συνάρτηση έτσι ώστε : f f = ɛ = f f Ασκηση 0. Εστω ότι f : N C είναι µια αριθµητική συνάρτηση. Να δειχθεί ότι η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική 3 η f είναι πολλαπλασιαστική και f = f µ Λύση. «=» Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική. Τότε προφανώς η f είναι πολλαπλασιαστική. Ιδιαίτερα η f είναι ενελικτικά αντιστρεπτή και άρα υπάρχει η ενελικτικά αντίστροφη f της f. Για να δείξουµε ότι f = m f, αρκεί να δείξουµε ότι : Για κάθε n N, ϑα έχουµε : ( f (µ f (n = f ( n f (µ f = ɛ = (µ f f (µ f( = f ( n µ(f( = f ( n f(µ( Επειδή η συνάρτηση f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική, έπεται ότι f ( ( n f( = f n = f(n και εποµένως f ( n f(µ( = f(nµ( = f(n µ( Οµως µ( = µ(ν ( n = (µ ν(n = ɛ(n =, αν n = 0, αν n > Άρα χρησιµοποιώντας ότι η πράξη ενελικτικού γινοµένου είναι µεταθετική, ϑα έχουµε n N: ( f (µ f (n = ɛ(n = ( (µ f f (n δηλαδή f (µ f = ɛ = (µ f f και εποµένως, λόγω µοναδικότητας της ενελικτικά αντίστροφης f της f, έπεται ότι : f = µ f «=» Υποθέτουµε ότι η f είναι πολλαπλασιαστική και f = µ f. 3 Υπενθυµίζουµε ότι η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική αν : f(n m = f(n f(m, n, m N.
8 Θα δείξουµε πρώτα ότι για κάθε πρώτο p και για κάθε a N, ισχύει ότι : f(p a = f(p a ( Αν a =, τότε η σχέση ( προφανώς είναι αληθής. Υποθέτουµε ότι η σχέση ( είναι αληθής για κάθε, όπου < < a. Επειδή (f f (p a = ɛ(p a = 0, και επειδή f = µ f, ϑα έχουµε : 0 = f ( p a (p a (p a (µ f( = µ(f( = f(µ( = p a p a f p a f = f ( p a (p a (p a f(µ( + f f(pµ(p + f f(p 2 p p 2 µ(p 2 + + f ( p a f(p a p a µ(p a Επειδή µ(p b = 0, b 2, και µ( = = f(, και µ(p =, ϑα έχουµε : 0 = f ( p a (p a f(µ( + f f(pµ(p = f(p a f(p a f(p = f(p a = f(p a f(p p Επειδή από την επαγωγική υπόθεση έχουµε f(p a = f(p a, έπεται ότι : f(p a = f(p a f(p = f(p a f(p = f(p a δηλαδή η σχέση ( είναι αληθής. Από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, η σχέση ( είναι αληθής για κάθε πρώτο p και για κάθε ϑετικό ακέραιο a. Επειδή η f είναι πολλαπλασιαστική, έπεται ότι αν n = p a pa 2 2 pa είναι η πρωτογενής ανάλυσης του ϑετικού ακέραιου n >, ϑα έχουµε : f(n = f ( p a pa 2 2 pa = f(p a f(pa 2 2 f(pa = f(p a f(p 2 a2 f(p a ( Εστω n, m δύο ϑετικοί ακέραιοι >. Τότε µπορούµε να γράψουµε n = p a pa 2 2 pa και m = p b p b 2 2 p b, όπου a i, b i 0 και εποµένως n m = p a +b p a 2+b 2 2 p a +b Χρησιµοποιώντας τη σχέση (, ϑα έχουµε f(n m = f ( p a +b p a 2+b 2 2 p a +b = f(p a +b f(p 2 a 2+b2 f(p a +b = = f(p a f(p b f(p 2 a 2 f(p 2 b2 f(p a f(p b = f(p a f(p 2 a2 f(p a f(p b f(p 2 b2 f(p b = f(p a f(pa 2 2 f(pa f(pb f(p b 2 2 f(p b = f(p a pa 2 2 pa f(pb p b 2 2 p b = f(n f(m Εποµένως η συνάρτηση f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική. Ασκηση. Αν f : N C είναι µια πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση, να υπολογισθεί το άθροισµα : f ( Λύση. Γνωρίζουµε από την Άσκηση 0 ότι : «η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική αν και µόνον αν η f είναι πολλαπλασιαστική και f = f µ» Εποµένως ϑα έχουµε : f ( = (µ f( = µ( f( Αν n =, επειδή η f είναι πολλαπλασιαστική ϑα έχουµε f( = και άρα µ( f( = µ(f( = =. Εστω n > και έστω n = p a par r η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >. Τότε ϑα έχουµε : µ( f( = ( f(p ( f(p r
9 Άρα :, n = f ( = ( f(p ( f(p r, n > Ασκηση 2. Εστω a N, και έστω η αριθµητική συνάρτηση (a, : N C, (a, (b = (a, b = ΜΚ (a, b Να δειχθεί ότι η συνάρτηση (a, είναι πολλαπλασιαστική. Λύση. ος Τρόπος: Εστω b, c N µε (b, c =. Θα δείξουµε ότι (a, bc = (a, b(a, c. Αν a = b = c = τότε ϕανερά ισχύει. Υποθέτουµε ότι τουλάχιστον ένα από τα a, b, c είναι µεγαλύτερο του. Εστω p,..., p οι πρώτοι που διαιρούν τουλάχιστον ένα από τα a, b, c. Τότε υπάρχουν µη αρνητικοί ακέραιοι a i, b i, c i ώστε a = p a pa, b = pb p b, c = p c pc. Αφού (b, c =, έχουµε ότι αν b i > 0 τότε c i = 0 και αν c i > 0 τότε b i = 0. Εχουµε ενώ bc = p b +c p b +c, (a, bc = p min{a,b +c } p min{a,b +c }, (a, b = p min{a,b } p min{a,b }, (a, c = p min{a,c } p min{a,c }, (a, b(a, c = p min{a,b }+min{a,c } p min{a,b }+min{a,c }. Επειδή a i, b i, c i 0, και b i > 0 συνεπάγεται ότι c i = 0, και επειδή c i > 0 συνεπάγεται ότι b i = 0, έπεται ότι min{a i, b i } + min{a i, c i } = min{a i, b i + c i } για κάθε i και εποµένως ότι (a, bc = (a, b(a, c. Άρα η συνάρτηση (a, : N C, (a, (b = (a, b είναι πολλαπλασιαστική. 2ος Τρόπος: Χρησιµοποιώντας ότι (b, c =, καθώς και γνωστές ιδιότητες που αφορούν τον µέγιστο κοινό διαιρέτη, ϑα έχουµε : (a, bc = (a 2, a, bc = (a 2, a, bc = (a 2, a (b, c, bc = ( a 2, (ab, ac, bc = (a 2, ab, ac, bc = ((a 2, ab, (ac, bc = (a(a, b, (a, bc = (a(a, b, c(a, b = (a, c(a, b = (a, b(a, c 3ος Τρόπος: είτε την Άσκηση 5.(2 του ϕυλλαδίου 3.
0 Ασκηση 3. Να ϐρεθεί η ενελικτική αντίστροφη µ της συνάρτησης µ του Möbius. Λύση. Θεωρούµε τη συνάρτηση µ του Möbius:, αν n = µ(n = 0, αν υπάρχει p : πρώτος έτσι ώστε p 2 n (, αν n = p p µε p i : πρώτοι και p i p j, i j Υπενθυµίζουµε από τη ϑεωρία ότι αν f : N C είναι µια αριθµητική συνάρτηση και f( 0 τότε η αριθµητική συάρτηση f υπάρχει και ορίζεται αναδροµικά ως εξής : f(, n = f (n = f( f( n f (, n >, <n Άρα επειδή µ( = 0 έπεται ότι η ενελικτική αντίστροφη µ της µ υπάρχει. Θέτουµε και ϑα έχουµε : Αν n =, τότε ν( = µ( = =. Αν n = 2, τότε ν(2 = µ( <n µ = ν µ ( n ν( = µ(2ν( = ( = µ( Αν n = 3, τότε ν(3 = µ( <n µ ( n ν( = µ(3ν( = ( = µ( Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι ν( = για κάθε N µε 3 < n. Αν n = p a pa είναι η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n τότε από την επαγωγική υπόθεση έχουµε ν(n = µ ( n ν( = µ ( p b µ( p b 0 b,,b, <n Στο παραπάνω άθροισµα οι µη-µηδενικοί όροι εµφανίζονται όταν υπάρχουν στο p b p b γινόµενα διακεκριµένων πρώτων 4. Άρα αν p b p b = p p r, όπου p i {p,..., p }, τότε στο παραπάνω άθροισµα ϑα έχουµε µ(p p r = ( r Για κάθε r =,..., ο αριθµός των τρόπων που µπορούµε να διαλέξουµε r πρώτους από τους πρώτους {p,..., p } είναι ο διωνυµικός συνελεστής (! = r r! ( r! ( 4 ηλαδή µ p b p b 0 αν και µόνον αν p b p b = p i p i2 p ir για κάποιο σύνολο διακεκριµένων πρώτων { } { } pi, p i2,, p ir p, p 2,, p, r.
Συνεπώς υπάρχουν ( r επιλογές έτσι ώστε µ(p p r = ( r. Τότε έχουµε ν(n = 0 b,,b µ ( p b p b = [ ( ( ( + + + ( 2 ] = [ ( ( ( ( + + + ( 0 2 ] ( ] 0 = [( + ( ( 0 = (0 = Συνεπώς η ενελικτική αντίστροφη µ της συνάρτησης µ του Möbius είναι η συνάρτηση µ = ν : N C, ν(n =, n N Ασκηση 4. Αν a N, ϑεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση f a : N C, f a (n = (a, n Αφού δείξετε ότι η f a είναι ενελικτικά αντιστρεπτή, να υπολογίσετε την τιµή : f 897 (205 Λύση. Επειδή f a ( = (a, = 0, από γνωστό Θεώρηµα έπεται ότι η f a είναι ενελικτικά αντιστρεπτή. Η ενελικτικά αντίστροφή της f a δίνεται τότε από τον αναδροµικό τύπο f a (n = f a(, <n f(, n = f a ( n f a (, n > Σηµειώνουµε ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθµός, τότε χρησιµοποιώντας ότι f a ( = και τη σχέση (, ϑα έχουµε : f a (p = f a ( p, p f a ( n fa ( = p, p ( f a ( p fa ( = f a (p = (a, p ( Εστω τώρα a = 897. Θα προσδιορίσουµε την τιµή f897 (205. Σύµφωνα µε την Άσκηση 2, η συνάρτηση f 897 είναι πολλαπλασιαστική. Από γνωστό Θεώρηµα γνωρίζουµε τότε ότι και η συνάρτηση f897 είναι πολλαπλασιαστική. Εποµένως για να υπολογίσουµε την τιµή f897 (205, ϑα πρέπει να προσδιορίσουµε την πρωτογενή ανάλυση του 205, η οποία εύκολα ϐλέπουµε ότι είναι 205 = 5 3 3 Εποµένως, επειδή η πρωτογενής ανάλυση του 897 είναι 897 = 3 3 23, χρησιµοποιώντας τη σχέση (, ϑα έχουµε : f 897 (205 = f 897 (5 f897 (3 f897 (3 = = ( (897, 5 ( (897, 3 ( (897, 3 = ( ( 3 ( = 3
2 Υπενθυµίζουµε κάποιες από τις αριθµητικές συναρτήσεις οι οποίες ϑα χρησιµοποιηθούν στις επόµενες ασκήσεις : ν : N C, ν(n = ι : N C, ι(n = n φ : N C, φ(n = { N n & (, n = } τ : N C, τ(n = = πλήθος ϕυσικών διαιρετών του n σ : N C, σ(n = = άθροισµα ϕυσικών διαιρετών του n, n = ɛ : N C, ɛ(n = 0, n > µ : N C, µ(n =, αν n = 0, αν υπάρχει p : πρώτος έτσι ώστε p 2 n (, αν n = p p µε p i : πρώτοι και p i p j, i j Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε αριθµητική συνάρτηση f ισχύει : f ɛ = f = ɛ f, και, αν η f είναι ενελικτικά αντιστρεπτή, οπότε υπάρχει η ενελικτική αντίστροφή της f, τότε : f f = ɛ = f f. Ασκηση 5. Θεωρούµε τις αριθµητικές συναρτήσεις : σχέσεις : φ, ν, σ, τ, ɛ, και ι. Να δείξετε τις ακόλουθες µ = ν, τ = ν ν, τ = µ µ, φ = µ ι, σ = ν ι, σ = φ τ, σ φ = ι ι, ι ι = ι τ Λύση. Η σχέση µ = ν αποδείχθηκε στην Άσκηση 3. Για κάθε n N έχουµε (ν ν(n = ν( ν ( n = = = τ(n = τ = ν ν Επειδή µ = ν από τη δεύτερη σχέση ϑα έχουµε µ µ = ν ν = τ = (µ µ = τ = ((µ µ = τ = τ = µ µ
3 Εστω n N. Από το Θεώρηµα του Gauss 5 έχουµε n = φ( = ι(n = φ( Αντιστροφή Möbius = φ(n = = φ(n = = φ(n = µ( ι ( n µ( n µ ( n = φ(n = (µ ι(n = φ = µ ι Εστω n N. Τότε έχουµε (ν ι(n = ν( ι ( n = n = Εχουµε τ = ν ν (φ ν(n = φ( ν( = n = φ( = n = ι(n και άρα φ τ = ι ν = ν ι = σ = σ = φ τ n = = σ(n = σ = ν ι φ τ = (φ ν ν φ ν = ι Τέλος από τις παραπάνω σχέσεις έχουµε σ φ = σ µ ι = ν ι µ ι = ν µ ι ι = ɛ ι ι = ι ι = σ φ = ι ι Εχουµε 6 (ι ι(n = ι(ι( n = n = n = n τ(n = ι(n τ(n = (ι τ(n = ι ι = ι τ Ετσι δείξαµε όλες τις Ϲητούµενες σχέσεις. 5 Υπενθυµίζουµε ότι το Θεώρηµα του Gauss πιστοποιεί ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n ισχύει ότι : n = φ( 6 Υπενθυµίζουµε ότι αν f, g είναι αριθµητικές συναρτήσεις, τότε f g συµβολίζει το συνηθισµένο γινόµενο συναρτήσεων (f g(n = f(n g(n.
4 Ασκηση 6. Να δείξετε ότι : τ(µ( n = & σ(µ( n = n Επιπρόσθετα αν ο n είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε να δειχθεί ότι : σ( φ( = n, 2 Λύση. Για κάθε n N έχουµε τ(n = = ν( Αντιστροφή Möbius = ν(n = = = µ( τ ( n τ( µ ( n και σ(n = = ι( Αντιστροφή Möbius = ι(n = = n = µ( σ ( n σ( µ ( n Εστω n ελεύθερος τετραγώνου και n = p p r η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n. Θεωρούµε τη συνάρτηση g : N C, g(n = σ(n η οποία είναι πολλαπλασιαστική και άρα η συνάρτηση G: N C, G(n = g(nφ(n είναι επίσης πολλαπλασιαστική. Τότε, όπως γνωρίζουµε από τη Θεωρία, η συνάρτηση F : N C, F (n = G(n = σ( φ( είναι πολλαπλασιαστική και εποµένως F (n = F (p F (p r. Αν p είναι ένας πρώτος αριθµός τότε Εποµένως F (p = p σ( φ( = σ(φ( + σ(p φ(p = + p( + p F (n = F (p F (p r = p p r = (p p r = n (p = p και άρα πράγµατι σ( φ( = n, 2. Ασκηση 7. Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα : µ(, µ(τ(, µ(σ(, µ( Λύση. Επειδή οι αριθµητικές συναρτήσεις µ, σ, τ, είναι πολλαπλασιαστικές, έπεται ότι µ( = τ( = σ( =, απ όπου προκύπτει άµεσα ότι η τιµή των Ϲητούµενων αθροισµάτων στον ϕυσικό αριθµό n = είναι ίση µε. Εστω τώρα n > και έστω n = p a par r η πρωτογενής ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n. Τότε γνωρίζουµε από τη Θεωρία ότι για κάθε πολλαπλασιαστική συνάρτηση f ισχύει µ(f( = ( f(p ( f(p r
Επειδή η συνάρτηση τ είναι πολλαπλασιαστική, έχουµε : µ(τ( = ( τ(p ( τ(p r = ( 2 ( 2 = ( r = µ(τ( = ( r Επειδή η συνάρτηση σ είναι πολλαπλασιαστική, έχουµε : µ(σ( = ( σ(p ( σ(p r = ( (p + ( (p r + = ( p ( p r 5 = ( r p p r = µ(σ( = ( r p p r Η συνάρτηση f, όπου f(n = n είναι πολλαπλασιαστική και άρα η συνάρτηση µ(f( = µ( είναι επίσης πολλαπλασιαστική. Τότε έχουµε : µ( = ( f(p ( f(p r = ( p ( p r = n ( p ( p r n = φ(n n = µ( = φ(n n Η συνάρτηση ι, όπου ι(n = n είναι πολλαπλασιαστική και άρα µ( = ( ι(p ( ι(p r = ( p ( p r = µ( = ( p ( p r και έτσι έχουµε υπολογίσει όλα τα Ϲητούµενα αθροίσµατα. Ασκηση 8. Εστω n ένας ϑετικός ακέραιος. ( Να δειχθεί ότι ο n είναι πρώτος αν και µόνον αν σ(n = n +. (2 Να δειχθεί ο n είναι τέλειο τετράγωνο αν και µόνον αν ο τ(n είναι περιττός. Λύση. ( Αν ο n είναι πρώτος, τότε οι µόνοι ϑετικοί διαιρέτες του n είναι οι και n, και άρα σ(n = n +. Αντίστροφα, έστω ότι σ(n = n +. Αν n είναι ένας ϑετικλός διαιρέτης του n µε n, τότε προφανώς σ(n + + n > n + το οποίο είναι άτοπο. Άρα = ή = n, και εποµένως ο n είναι πρώτος. (2 Το Ϲητούµενο προφανώς ισχύει όταν n =. Υποθέτουµε ότι n > και έστω n = p a p a2 p a η πρωτογενής ανάλυση του n. Τότε γνωρίζουµε ότι Άρα τ(n = ( + a ( + a 2 ( + a τ(n : περιττός (+a (+a 2 (+a : περιττός +a i : περιττός, i =, 2,, a i : άρτιος, i =, 2,, a i = 2b i, b i 0, i =, 2,, n = p a p a2 p a = p 2b p 2b2 p 2b = (p b p b2 p b 2 n = m 2 όπου m = p b p b2 p b.
6 Υπενθυµίζουµε ότι ένας ϑετικός ακέραιος n καλείται τέλειος, αν ο n είναι ίσος µε το άθροισµα όλων των γνήσιων ϑετικών διαιρετών του : n : τέλειος n =, n ή ισοδύναµα : n : τέλειος 2n = = σ(n Ασκηση 9. Θεωρούµε τον ϑετικό ακέραιο a = 2 n (2 n, όπου n 2. Να δειχθεί ότι αν ο αριθµός 2 n είναι πρώτος, τότε ο αριθµός a είναι τέλειος. Λύση. Προφανώς (2 n, 2 n =. Εποµένως χρησιµοποιώντας ότι η αριθµητική συνάρτηση τ είναι πολλαπλασιαστική, ϑα έχουµε : σ(a = σ ( 2 n (2 n = σ(2 n σ(2 n Προφανώς ϑα έχουµε ότι οι διαιρέτες του 2 n είναι οι, 2, 2 2,, 2 n 2, 2 n, και εποµένως : και επειδή ο 2 n είναι πρώτος, ϑα έχουµε : σ(2 n = + 2 + 2 2 + + 2 n 2 + 2 n = 2 n σ(2 n = + 2 n = 2 n Άρα : Εποµένως ο αριθµός a είναι τέλειος. σ(a = σ(2 n σ(2 n = (2 n 2 n = 2(2 n (2 n = 2a Ασκηση 20. Αν n είναι ένας ϑετικός ακέραιος, τότε συµβολίζουµε µε ω(n το πλήθος των διακεκριµµένων πρώτων παραγόντων του n. Να δειχθεί ότι : µ 2 ( = 2 ω(n Λύση. Θέτουµε, n : F (n = µ 2 (. Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση µ είναι πολλαπλασιαστική. Επειδή το συνηθισµένο γινόµενο πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση 7, έπεται ότι η συνάρτηση µ 2 = µ µ είναι πολλαπλασιαστική. Τότε όµως, όπως γνωρίζουµε από τη Θεωρία, και η συνάρτηση F είναι πολλαπλασιαστική. Εποµένως αν n = p a pa είναι η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >, ϑα έχουµε F (n = F (p a F (pa = µ 2 ( = ( µ 2 ( ( µ 2 ( p a p a 7 Υπενθυµίζουµε ότι αν M είναι το σύνολο των πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων, τότε f, g M = f g M, όπου (f g(n = f(n g(n.
7 Οµως για κάθε πρώτο p και κάθε ϑετικό ακέραιο a, έχουµε : p a µ 2 ( = µ 2 ( + µ 2 (p + µ 2 (p 2 + + µ 2 (p a = µ(µ( + µ(pµ(p + µ(p 2 µ(p 2 + + µ(p a µ(p a = + ( ( + 0 0 + + 0 0 = 2 Εποµένως, αν n > και n = p a pa έχουµε : µ 2 ( = ( µ 2 ( ( p a είναι η πρωτογενής ανάλυση του n, τότε επειδή ω(n =, ϑα p a µ 2 ( = } 2 {{ 2 } = 2 = 2 ω(n ϕορές Τέλος αν n =, τότε προφανώς ω( = 0 και ϑα έχουµε : µ 2 ( = µ 2 ( = µ( µ( = = = 2 0 = 2 ω( Άρα n N: µ 2 ( = 2 ω(n. Ασκηση 2. Εστω f και g δύο αριθµητικές συναρτήσεις, και έστω f(n = g( Θεωρούµε τον n n πίνακα ϕυσικών αριθµών M = (m ij, όπου m ij = f((i, j, δηλαδή f((, f((, 2 f((, n f((2, f((2, 2 f((2, n M =........ f((n, f((n, 2 f((n, n και f((i, j είναι η τιµή της f στον µέγιστο κοινό διαιρέτη (i, j των i και j. ( Να δείξετε ότι : Det(M = n g( (2 Αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική και f(p 0, για κάθε πρώτο p, τότε : n Det(M = f(j ( f(p j= p j = Λύση. Ορίζουµε έναν n n πίνακα A = (a ij, όπου, αν j i a ij = 0, αν j i και ορίζουµε ένα πίνακα B = (β ij, όπου β ij = g(j a ij
8 Παρατηρούµε ότι, αν i και j a i a j = 0, αν i ή j =, αν (i, j 0, αν i ή j ( Τότε έχουµε 8 (B ta ij = n g(a i a j = ( = (i,j g( = (B ta ij = f((i, j = B ta = M = Det(B Det( t A = Det(M = Det(B Det(A = Det(M Παρατηρούµε οτι ο πίνακας A είναι κάτω τριγωνικός διότι a ij = 0, αν j > i (πράγµατι για j > i ισχύει ότι j i διότι διαφορετικά j i. Επιπλέον τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο του πίνακα A είναι προφανώς όλα ίσα µε. Εποµένως Det(A = και άρα Ωστε : Det(B = n g(j j= Det(M = Det(A Det(B = n g( ( Αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική τότε, επειδή f(p 0, για κάθε πρώτο p, έπεται ότι f(n 0, n N, και ϑα έχουµε f( f ( j ( j f(j = f(j = f = f( Εποµένως g(j = j µ(f ( j µ( = f(j f( = f(j ( ( = Det(M = f(p j p j και άρα έχουµε το Ϲητούµενο. = n j= f(j p j ( f(p Ασκηση 22. Να δείξετε ότι : (, (, 2 (, n (2, (2, 2 (2, n........ (n, (n, 2 (n, n = φ(φ(2 φ(n Λύση. Θέτουµε f(n = n. Τότε f(n = n = g( Αντιστροφή Möbius = g(n = µ(f ( n = f(µ ( n = µ ( n 8 Ο πίνακας t A είναι ο ανάστροφος του πίνακα A: ( t A ij = (A ji = a ji.
9 Επειδή η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική από την Άσκηση 2 έχουµε n (i, j = j ( = φ( φ(2 φ(n p j= p j και έτσι δείξαµε το Ϲητούµενο. Ασκηση 23. Να δείξετε ότι : [, ] [, 2] [, n] [2, ] [2, 2] [2, n]........ [n, ] [n, 2] [n, n] n = φ( ( p = p Λύση. Θέτοντας f(m = m, m N, αποκτούµε µια αριθµητική συνάρτηση η οποία είναι προφανώς πλήρως πολλαπλασιαστική, και ισχύει ότι f(p 0 για κάθε πρώτο αριθµό p. Τότε g( = m και επειδή από την Άσκηση 7 έχουµε m µ( = p m ( p, έπεται οτι g(m = µ( f ( m = µ( m = µ( = m m m m = g(m = m ( p = φ(m ( p p m m 2 m p m m ( p Τότε το Ϲητούµενο προκύπτει από την Άσκηση 2 χρησιµοποιώντας επίσης ότι [i, j] (i, j = ij. p m